Объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий и орбифолдов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На оравах рукописи

Веснин Андрей Юрьевич

ОБЪЕМЫ И ИЗОМБТРИИ ТРЕХМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ И ОРВИФОЛДОВ

01.01.04 — геометрия и топология у/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-2005

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Матвеев Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Родионов Евгений Дмитриевич

доктор физико-математических наук, доцент Чуешев Виктор Васильевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет

Защита диссертации состоится 20 октября 2005 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан " августа 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. Е. Гутман

н^ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Объектом исследования в данной работе являются объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. Первый пример некомпактного неориентируемого трехмерного гиперболического многообразия был построен в 1912 г. Гисекингом. Первые примеры замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий были построены Ф. Лёбеллем в 1931 г. и К. Вебером и X. Зейфертом в 1933 г. Бурное развитие теории трехмерных гиперболических многообразий наг чалось в последние 25 лет и связано прежде всего с работами У. Терсто-на, его учеников и последователей. В настоящее время теория трехмерных гиперболических многообразий является активно развивающейся областью геометрии и топологии, элегантно сочетающей в себе идеи и методы гиперболической геометрии, теории трехмерных многообразий, теории узлов, геометрической теории групп, теории клейновых групп и многих других разделов современной математики.

Под трехмерным гиперболическим коническим многообразием принято понимать трехмерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны с сингулярностями конического типа вдоль замкнутых геодезических [36]. При этом, каждой компоненте сингулярного множества сопоставлен конический угол, являющийся неотрицательным вещественным числом, не превосходящим 2я. Гиперболические конические многообразия возникают как естественное обобщение гиперболических 3-многообразий (которые соответствуют случаю, когда все конические углы равны 2п) и гиперболических 3-орбифолдов (которые соответствуют случаю, когда конические углы имеют вид 2ж/п для некоторых целых п > 1). Таким образом, каждое коническое многообразие С может быть охарактеризовано как тройка С = (М,Т,,а), где многообразие М является его носителем, Е = и*=1 является его сингулярным множеством, причем каждая компонента £_/ гомеоморф-на окружности, и множеством конических углов а = (ах,... ,£**), где

(РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СЛетерфуг ХгЛ.

" 09 Ш^шш^Л

' 1,11 штштшГ* «

а3, ] = 1,..., к, соответствует компоненте При этом, равенство конического угла нулю означает удаление соответствующей компоненты.

Точное вычисление объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий является актуальной задачей, поскольку в силу теоремы жесткости Мостова объем трехмерного гиперболического многообразия является его топологическим инвариантом. Однако эта задача является достаточно трудной и связана, в частности, с проблемой вычисления объема многогранника в пространстве Лобачевского Н3. Первые результаты в этом направлении были получены Н.И. Лобачевским в 1832 г. Для некоторых классов многогранников формулы объемов были найдены Э.Б. Винбергом [1], Р. Кел-лерхалс [33], Дж. Милнором [46] и выражаются через функцию Лобачевского

Так, тетраэдр Т в И3 с четырьмя идеальными вершинами описывается (с точностью до изометрии) единственным комплексным параметром г, Imz > 0 (двугранные углы тетраэдра Т = Tz равны arg z, arg arg и каждый из них встречается дважды — при паре противолежащих ребер). Его объем выражается формулой [1, 46]

В некоторых случаях для вычисления объемов многогранников, многообразий, орбифолдов и конических многообразий удобно использовать вариационную формулу Шлефли, принимающую в трехмерном гиперболическом случае следующий вид. Пусть - гладкое однопарамет-рическое семейство конических многообразий с носителем и сингулярным множеством Е = фиксированных топологических типов. Тогда

где I] - длина компоненты а а, конический угол вокруг нее.

Свойства объемов трехмерных гиперболических многообразий кардинально отличаются от свойств объемов гиперболических многообразий других размерностей. Под п-мерным гиперболическим многообразием будем понимать фактор-пространство Мп = Нп/Г, где Г — дискретная группа изометрий пространства Лобачевского Нп, действующая без

volTz = A(arg z) + Л (arg -—- ) + Л (arg

j

неподвижных точек. Далее мы будем рассматривать ориентируемые гиперболические многообразий конечного объема.

Двумерный случай полностью описывается теоремой Гаусса - Бонне. Если М2 — гиперболическая поверхность рода дек выколотыми точками, то area M2 = 2ж(2д — 2 + к). В частности, множество площадей гиперболических поверхностей является дискретным, существуют компактные и некомпактные поверхности равной площади и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число поверхностей равной площади.

В трехмерном случае имеет место теорема Терстона — Ергенсена: множество объемов трехмерных гиперболических многообразий образует на числовой прямой вполне упорядоченное подмножество типа и)ш и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число многообразий равного объема.

В [7] C.B. Матвеев и А.Т. Фоменко высказали гипотезу о строении начального отрезка множества объемов, которая была основана на большом количестве компьютерных вычислений объемов. В [29] К. Ходж-сон и Дж. Вике уточнили первые десять наименьших многообразий и их объемы, проводя вычисления с помощью разработанной Дж. Виксом компьютерной программы SnapPea [60]. Наименьшее известное замкнутое ориентируемое 3-многообразие М\, объем которого равен 0.9427..., было независимо обнаружено C.B. Матвеевым и А.Т. Фоменко [7] а также Дж. Виксом [59]. Оно может быть представлено в виде Mi = W(5, — 2; 5, — 1), где через W(m,n-,p,q) обозначается многообразие, полученное хирургиями Дэна с параметрами (m, п) и (р, (?) на компонентах зацепления Уайтхеда W. Второе многообразие М2, с объемом 0.9813..., было построено Р. Мейерхгофом (см. [58]) с помощью (5, -1)-хирургии Дэна на узле восьмерка. Поскольку узел восьмерка может быть получен (1,1) -хирургией Дэна на одной компоненте зацепления W, это многообразие может быть описано как М2 = W(l, 1; 5,-1). Третье многообразие M3 = W(3, — 2; 6, — 1) было обнаружено Р. Мейерхгофом и В. Нойманом [44]. Его объем равен 1.0149____ Авторами были высказаны гипотезы о арифметичности M3 и точном равенстве его объема объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского Н3.

Наименьший объем некомпактных ориентируемых гиперболических многообразий реализуется для двух многообразий, одним из которых является дополнение к узлу восьмерка [17]. Их объем равен 2,02... и соответствует предельному ординалу.

В [58] У. Терстон поставил вопрос о существовании компактного ги-

перболического многообразия, объем которого соответствует предельному ординалу.

По-видимому, до сих пор остается открытым вопрос М. Громова [24] о существовании пары трехмерных гиперболических многообразий с иррациональным отношением объемов.

Аналог теоремы Терстона — Ергенсена для трехмерных гиперболических орбифолдов доказан В. Данбаром и Р. Мейерхгофом [20]. Орби-фолды наименьших объемов с нежесткими каспами описаны К. Адам-сом [9], и минимальный среди них - орбифолд, униформизируемый группой Пикара Р5Ь(2,й[г]).

Напомним, что в теории римановых поверхностей важную роль играют гиперэллиптические римановы поверхности. Обобщая это понятие, будем называть п-мерное многообразие Мп гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией г такой, что фактор-пространство Мп/(т) гомеоморфно п-мерной сфере 5". При этом г называется гиперэллиптической инволюцией. В случае, когда многообразие допускает введение геометрической структуры, будем подразумевать, что инволюция г является изометрией. Существование гиперэллиптических многообразий в каждой из восьми трехмерных геометрий Терстона [58] установлено А.Д. Медных в [42]. Оценки на число гиперэллиптических инволюций трехмерных гиперболических многообразий были получены М. Рени и Б. Циммерманном [53].

С изучением гиперэллиптических инволюций тесно связана следующая проблема, поставленная Дж. Бирман в [34, проблема 3.25]. Пусть К — узел в 53, а Мг(АГ) — его двулистное разветвленное накрытие. Будем говорить, что два узла К\ и К^ эквивалентны, если и только если соответствующие многообразия М2{К\) и Мг^г) гомеоморфны. Проблема состоит в описании классов эквивалентных узлов и преобразований узлов, сохраняющих классы эквивалентности.

Хорошо известно, что группа изометрий трехмерного гиперболического многообразия конечного объема является конечной группой. Как установил С. Коджима [35], каждая конечная группа может быть реализована таким образом. Вычисление группы изометрий заданного многообразия является достаточно трудной задачей, решение которой в отдельных случаях возможно благодаря использованию алгебраических (см., например, [40]), геометрических (см., например, [2]), или компьютерных (см., например, [29]) методов. В то же время, группы симметрий гиперболических узлов и зацеплений изучены достаточно хорошо [14]. Естественно возникает вопрос: можно ли описать группу изометрий п-листного циклического разветвленного накрытия гиперболического

узла, исходя из знания группы симметрии этого узла? В частности, можно ли при этом указать оценку на п, гарантирующую отсутствие на п-листном накрытии скрытых изометрий, т. е. не являющихся поднятиями симметрий узла? Такая оценка, хотя и весьма далекая от точной, была получена М. Рени и Б. Циммерманном [52].

Следуя [31], будем говорить, что группа (7 является группой с циклическим представлением если при некоторых п и ю она допускает представление

С? = С„(гу) = {х1,...,хп\\а, г}(ь)), ..., т?""1^)),

где т?: Еп —> - автоморфизм свободной группы Рп = (а^,..., хп) ранга п, определенный по правилу 1](хг) = агг+1> г = 1,..., п — 1, т)(хп) = , а щ £ 1„ - циклически приведенное слово. Слово ги называется определяющим словом. Как показал Дж. Столлингс, не существует алгоритма который по представлению группы позволил бы выяснить является ли данная группа фундаментальной группой трехмерного многообразия. Естественно возникает вопрос: какие группы с циклическим представлением являются фундаментальными группами трехмерных гиперболических многообразий? Например, такое представление имеют фундаментальные группы разветвленных циклических накрытий одно-мостовых узлов рода один [23]. В [55] установлены условия на слово ги при которых естественное 1ДОК-расширение группы Оп(и;), соответствующее автоморфизму ??, является группой узла коразмерности два в /с-мерной сфере к > 3.

Цель работы. Целью диссертации является развитие теории трехмерных гиперболических многообразий. Основное внимание уделено получению точных формул объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов, конических многообразий, выпуклых оболочек кьазифуксовых групп; изучению многообразий и орбифолдов малого объема; построению и исследованию гиперэллиптических многообразий; описанию групп изометрий разветвленных циклических накрытий двухмостовых узлов.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- установлено существование бесконечного семейства пар компактных и некомпактных трехмерных гиперболических многообразий равных объемов, что дает ответ на вопрос Терстона о предельных порядковых числах в теореме Терстона — Ергенсена об объемах трехмерных гиперболических многообразий;

- установлено существование трехмерных гиперболических много-

образий хегорова рода два со сколь угодно большими объемами и группами изометрии сколь угодно большого порядка;

- дан ответ на вопрос Мейерхгофа — Ноймана о точном значении объема и об арифметичности третьего по объему известного компактного ориентируемого гиперболического трехмерного многообразия;

- получены точные формулы для объемов гиперболических конических многообразий Уайтхеда;

- получены точные формулы для объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп проколотого тора;

- развита теория построения трехмерных гиперэллиптических и лин-зово-гиперэллиптических многообразий из многогранников Коксетера;

- установлен трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности и линзовой-гиперэллиптичности трехлистного неразветвленного накрытия многообразия хегорова рода два;

- в терминах хирургии Дэна получено описание многообразий, являющихся циклическими накрытиями трехмерной сферы, разветвленными над двухмостовыми узлами;

- получена оценка на порядок циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над гиперболическим двухмостовым узлом, гарантирующая отсутствие на таком гиперболическом многообразии скрытых изометрий.

К другим результатам, имеющим и самостоятельный интерес, отнесем следующие:

- дано единое описание десяти известных наименьших по объему компактных трехмерных ориентируемых гиперболических многообразий в терминах хирургии на зацеплении Уайтхеда и как двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы;

- описано действие группы изометрий на многообразии Викса — Матвеева —Фоменко;

- получены точные формулы объемов многообразий Лёбелля;

- установлена связь между параметрами хирургий на орбифолдах Адамса и параметрами хирургий на накрывающих их некомпактных многообразиях;

- исследованы многообразия, получаемые хирургиями на зацеплении Уайтхеда и обладающие тремя гиперэллиптическими инволюциями; дано описание множеств ветвлений этих инволюций.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы трех-

мерной топологии и теории узлов, методы гиперболической геометрии, методы теории клейновых групп, методы геометрической теории групп и методы теории конечных групп.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории трехмерных гиперболических многообразий, теории узлов, геометрической теории групп. Часть результатов уже вошли в современные учебники по теории гиперболических многообразий (см., например, [41, 51]. Многие из доказанных в диссертации теорем могут быть включены в спецкурсы по теории трехмерных гиперболических многообразий для студентов и аспирантов.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных и международных конференциях в Новосибирске (1994, 1996-2000, 2004), Пусане (1994), Омске (1995), Казани (1996), Киото (1996), Берлине (1998), Москве (1998), Гданьске (1998), Будапеште (2002), Сеуле (2003), Варшаве (2003), Кортоне (2005). Они обсуждались на специализированных семинарах в университетах Билефельда, Сеула, Пусана, Осаки, Хельсинки, Гданьска, Модены, Триеста, Болоньи, Лилля, Монтпелье, Лозанны, а также на семинарах в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Результаты диссертации входили в отчеты по грантам РФФИ 95-01-01410, 98-01-00699, 02-01-01118, руководителем которых являлся соискатель, а также по грантам ИНТАС 94-1474, 0351-3663.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*]-[28*]. Часть результатов, вошедших в диссертацию, получены в неделимом соавторстве с А. Д. Медных, Б. Циммерманном, М. Мулаццани, М. Рени, А. Щепаньским и Дж. Паркером.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 17 параграфов, содержит 131 рисунок, 6 таблиц и изложена на 259 страницах. Список литературы содержит 200 наименований, из них 28 работ автора по теме диссертации.

Автор признателен своим учителям, соавторам и коллегам за доброжелательное внимание и всестороннюю поддержку.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проведенных в диссертационной работе исследований, перечисляются основные полученные результаты, дается краткое описание работы.

В первой главе диссертации исследуются объемы трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. При этом, основное внимание уделяется изучению вопросов, связанных с теоремой Терстона - Ергенсена и получению точных формул объемов.

В §1.1 рассматривается классическое многообразие Лёбелля и его естественные обобщения и устанавливаются явные формулы для объемов этих многообразий в терминах функции Лобачевского.

Пусть R - ограниченный прямоугольный (все двугранные углы равны 7г/2) многогранник в пространстве Лобачевского Н3. Обозначим через G группу, порожденную отражениями в гранях R. Для каждой вершины многогранника R ее стабилизатор в группе G изоморфен вось-миэлементной абелевой группе Z2 ф Ъч ф Ъч = Ъ\, которая может быть рассмотрена как векторное пространство над полем GF{2). Чтобы описать построение многообразия из восьми экземпляров многогранника R, мы рассмотрим эпиморфизм <р : G Z3.

Лемма 1.1.1 [1*] Пусть группа G порождена отражениями в гранях ограниченного прямоугольного многогранника й ей3. Ядро Ker<р эпиморфизма tp : G —» Z3 не содержит элементов конечного порядка тогда и только тогда, когда образы отражений в любых трех гранях многогранника R, имеющих общую вершину, являются линейно независимыми в группе Z3 рассматриваемой как векторное пространство над полем GF{2).

Таким образом, если эпиморфизм tp удовлетворяет условию леммы 1.1.1, то M = Н3/Кег<£ является замкнутым гиперболическим 3-многообразием.

Указанным способом может быть получено классическое многообразие Лёбелля из [38]. А именно, рассмотрим прямоугольный (2п + 2)-гранник R(n) верхним и нижним основаниями которого являются п-угольники, а боковая поверхность состоит из двух циклов пятиугольников (смежных, соответственно, с верхним и нижним основаниями). В частности, R(5) является прямоугольным додекаэдром, a R(6) является прямоугольным 14-гранником, использованным Ф. Лёбеллем в [38].

Обозначим через G(n) группу порожденную отражениями в гранях R(n). Рассмотрим эпиморфизм ipn : G(n) —» Z3 ядро которого Ker ipn не содержит элементов конечного порядка. Гиперболическое многооб-

разие L(n) = ШР/Кег <рп назовем многообразием Лёбелля. Многообразие L(n) зависит от эпиморфизма <рп и не определяется однозначно по п. При этом, классическое многообразие Лёбелля, построенное в [38], является могообразием Лёбелля для п = 6. Первый пример замкнутого неориентируемого гиперболического 3-многообразия, построенный Н. Аль-Джубори в [10], является многообразием Лёбелля для п = 5.

Существование ориентируемых и неориентируемых многообразий Лёбелля для п > 5 устанавливается в следующих теоремах.

Теорема 1.1.1 [1*] Для любого целого п > 5 существует ориентируемое многообразие Лёбелля L(n).

Теорема 1.1.2 [1*] Для любого целого п > 5 существует неориентиру емое многообразие Лёбелля L(n).

Последняя теорема подтверждает предположение Ф. Лёбелля [38] о том, что подходящими склеиваниями из восьми экземпляров R(6) можно получить как ориентируемые, так и неориентируемые многообразия.

Далее показывается, что число многообразий Лёбелля, имеющих равные объемы, не ограничено и доказывается формула для объемов многообразий Лёбелля в терминах функции Лобачевского.

Теорема 1.1.3 [2*] Для любого целого N существует не менее чем N попарно негомеоморфных многообразий Лёбелля с равным объемом.

Более того, для указанных многообразий может быть выбран общий фундаментальный многогранник.

Следствие 1.1.1 [2*] Для любого целого N существуем прямоугольный многогранник Н3, который является фундаментальным для по крайней мере N попарно негомеоморфных замкнутых ориентируемых многообразий.

Напомним, что согласно теореме Тёрстона — Ергенсена [24], число гиперболических 3-многообразий заданного конечного объема всегда конечно. Теорема 1.1.3 и следствие 1.1.1 показывают, что эти числа не ограничены в совокупности. Другие примеры компактных гиперболических 3-многообразий, иллюстрирующих это свойство, строились в [32], [11] и [65], а некомпактных - в [61].

Строение многогранника R(n) позволяет применить результаты работы [33] для вычисления его объема.

Теорема 1.1.5 [3*] Пусть L(n), п > 5, является многообразием Лёбелля. Тогда

volL{n) = An (2Л(0) + Л (в + + Л (в - - Л (20 - |)) , где в = f - arccos 2с06^/п).

В частности, объем классического многообразия Лебелля, построенного в 1931 г., равен 48.184368....

В §1.2 дается положительный ответ на вопрос Терстона [58] о существовании компактных многообразий объемы которых соответствуют предельным ординалам в теореме Терстона — Ергенсена. А именно, показывается, что существует бесконечное семейство пар компактных и некомпактных многообразий равного объема. Доказательство основано на получении точных формул в терминах функции Лобачевского для объемов конических многообразий с сингулярным множество узел восьмерка и орбифолдов с сингулярным множеством 2-компонентное зацепление

Начнем с рассмотрения семейства трехмерных компактных ориентируемых гиперболических многообразий, униформизируемых группами Фибоначчи. Группы Фибоначчи F(2,m) введены Дж. Конвеем [18] и имеют следующее представление:

F(2, тп) = (xi, Х2, ■ ■ •, хт | X{Xl+i = £¿+2, г mod m).

Известно, что группа F(2, m) конечна тогда и только тогда, когда т = 1,2,3,4,5,7 (см. обзор [57]). Различные обобщения групп F(2,m) вводились и изучались в [30, 39, 4*].

Изучении групп Фибоначчи в контексте теории гиперболических многообразий связано с работой [25], где было показано, что группа F(2,2п), п > 4, изоморфна дискретной кокомпактной подгруппе группы PSL2 (С) — полной группы сохраняющих ориентацию изометрий пространства Лобачевского Н3. При этом, факторпространство Мп = M3/F(2,2п), п > 4, является замкнутым ориентируемым гиперболическим 3-многообразием, которое будем называть гиперболическим многообразием Фибоначчи. Отметим, что группа F(2,4) изоморфна Z5 и действует на S3 таким образом, что факторпространство Mi = S3/F(2,4) является линзовым пространством L{5,2). А группа F(2,6) изоморфна 3-мерной афинной группе и многообразие М3 = E3/F(2,6) является многообразием Ханц-ше — Вендта, изучавшемся в [62]. Многообразия М2 и Мз также будем называть многообразиями Фибоначчи.

В [26] X. Хилден, М. Лозано и X. Монтесинос установили, что многообразие Фибоначчи М„, п > 2, является циклическим n-листным накрытием сферы S3, разветвленным над узлом восьмерка 3е = 4t\. Обозначим через Т(а) коническое многообразие с носителем S3 и сингулярным множеством узел восьмерка с сингулярным углом а. Следующее утверждение дает формулу объема конического многообразия !F(a) в терминах функции Лобачевского Л(х).

Теорема 1.2.3 [6*] Пусть Т(а) - гиперболическое коническое многообразие. Тогда

vol Т(а) = 2

[л(Ц2)+л(Ця)]

где в = arccos(cosa - 1/2).

Поскольку многообразие Фибоначчи Мп является циклическим п-листным накрытием орбифолда Т{2ж/п), получаем

Следствие 1.2.6 [6*] Объем гиперболического многообразия Фибоначчи Мп, п> 4, равен

vol Мп = 2n(A(ß + ô) + A(ß - 6)),

где S = 7г/п и ß = \ arccos(cos(2J) - 1/2).

Перейдем к рассмотрению семейства некомпактных многообразий. Обозначим через Thn,n> 2, замыкание 3-нитиевой косы (aiа^1) , где о\ и оъ - стандартные порождающие группы кос на трех нитях. Члены семейства Thn хорошо известны. В частности, Th^ — это узел восьмерка, Th3 — зацепление борромеевы кольца, Т/14 — узел турецкая чалма 8x8, а Г/15 — узел IO123 в обозначениях [54]. Как показал У. Терстон [58], многообразия S3 \ Thn, п > 2, являются гиперболическими. Точная формула для объемов этих многообразий приведена в следующем утверждении.

Следствие 1.2.8 [6*] При п > 2 объем некомпактного гиперболического многообразия S3 \ Thn равен

vol (S3 \ Thn) = 4 n (A(a + 7) + A(a - 7)),

где 7 = 7г/2n и a = | arccos(cos(27) - 1/2).

Сравнивая приведенные формулы объемов компактных многообразий М2„, п > 2, и объемов некомпактных многообразий S3\Thn, п > 2, получаем следующий результат.

Теорема 1.2.4 [5*] /Три п > 2 имеет место следующее равенство объемов:

volM2n = vol (S3 \ Thn).

Таким образом, объемы компактных многообразий Фибоначчи Мгп соответствуют предельным ординалам в теореме Тёрстона — Ергенсена. В частности, объем многообразия Фибоначчи М4 равен объему дополнения к узлу восьмерка, а объем многообразия Фибоначчи Мб равен объему дополнения к зацеплению борромеевы кольца.

В §1.3 исследуется класс конических многообразий с сингулярностя-ми вдоль зацепления Уайтхеда W = 5?. Определим коническое многообразие Уайтхеда W(a, ß) как коническое многообразие с носителем трехмерная сфера S3 и сингулярным множеством W с коническими углами а и ß, соответствующими его компонентам. Область гиперболичности для W(a, ß) была описана в [27]. В частности, если вещественные числа тип превосходят 2.507, то коническое многообразие является гиперболическим. Далее мы всегда будем предполагать, что а и ß таковы, что W(a, ß) гиперболическое.

Основным результатом этого параграфа является следующая формула объема гиперболического конического многообразия Уайтхеда.

Теорема 1.3.1 [21*] Пусть W(a,ß) - гиперболическое коническое многообразие Уайтхеда с коническими углами а и ß. Положим А = ctg f и В = ctg §. Тогда

гСа

vol\V(a,ß) = i log ■/<1

где Ci = С u (2 = С) -frrc(C) > 0, - корни кубического уравнения С3 + \ {А2В2 + А2 + В2 - 1) С2 - А2В2С + А2В2 = 0.

At

Доказательство этой теоремы основано на вариационной формуле Шлефли (см. [3], [28]), точных вычислениях длин сингулярных геодезических конического многообразия W(a,ß) с использованием результатов [43].

Следующий параграф, §1.4, посвящен исследованию выпуклых сердцевин квазифуксовых групп. Напомним, что группа G называется клей-новой, если она является дискретной подгруппой PSL(2, С), полной группы изометрий трехмерного гиперболического пространства И3. Такая группа действует конформными автоморфизмами на римановой сфере С = <9Н3. При действии G точки сферы С разбиваются на множество разрывности 0(G), на котором действие является собственно разрывным, и предельное множество A (G), на котором действие является минимальным, то есть каждая орбита плотна. Предельное множество A(G) является множеством предельных точек неподвижных точек группы G. Группа G называется квазифуксовой, если Л((?) является топологической окружностью.

Пусть М — H3/G - трехмерное многообразие, униформизируемое клейновой группой G. Выпуклой сердцевиной С ¡G многообразия М называется наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все

2 (za + Ä')(z2 + В2) dz .(1 + Л2)(1+Б2)(г2-г3) z2-l'

замкнутые геодезические многообразия М. При этом, С может быть определено в универсальном накрывающем пространстве Н3 как гиперболическая выпуклая оболочка предельного множества Л (С), называемая также областью Нильсена группы О. Граница дС выпуклой оболочки образована выпуклыми подмножествами гиперболических плоскостей, пересекающихся вдоль попарно непересекающегося множества полных геодезических, называемых складками [16, 22].

Хорошо известно, что клейнова группа геометрически конечна тогда и только тогда, когда ее выпуклая сердцевина имеет конечный объем. Более того, конечнопорожденные квазифуксовы группы являются геометрически конечными.

В данном параграфе рассматривается случай, когда О является группой проколотого тора:

б? = (Х,У | [X, У] - параболическая изометрия И3),

где X и У - изометрии пространства И3, а [X,У] = ХУХ~1У~1. А именно, рассмотрены следующие два случая групп проколотого тора (X, У) для которых:

(I) изометрии X и У являются чисто гиперболическими;

(II) изометрии ХУ и ХУ"1 являются чисто гиперболическими.

Напомним, что изометрия X пространства ШГ3 называется чисто гиперболической если для соответствующей матрицы X из 8Ь(2,<С) след 1г(Х) является вещественным числом большим 2 или меньшим -2. Геометрически, такая изометрия является гиперболическим сдвигом (без поворота) вдоль геодезической.

Для каждого из указанных случаев построены гиперболические многогранники, являющиеся фундаментальными для выпуклых сердцевин квазифуксовых групп проколотого тора, и получены формулы для их объемов. При этом, развиваются два подхода к нахождению соотношений между длинами складок и двугранных углов вдоль них {такие соотношения обычно называют соотношениями складок). С одной стороны, используются соотношения складок, полученные Дж. Паркером и К. Сериес в [50]. С другой стороны, эти соотношения и другие формулы, необходимые для вычисления объемов, получаются из матриц Грама многогранников. Это позволяет воспользоваться формулой Ц1ле-фли (см. [3, 13, 45]) для нахождения объемов этих многогранников, а следовательно, и объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп. Полученные формулы приведены в теореме 1.4.1 и следствии 1.4.3. Результаты этого параграфа опубликованы в [15*].

Во второй главе диссертации изучаются многообразия и орбифол-ды малого объема.

Прежде всего, в §2.1 дается единое описание десяти известных наименьших по объему замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий Mi, ■ ■., M\q- Эти многообразия были описаны в [29] в терминах хирургий Дэна на некоторых зацеплениях в S3 выбор которых был обусловлен геодезическими спектрами многообразий. Нетрудно заметить, что эти многообразия допускают единое описание. А именно, все они могут быть получены хирургиями на компонентах зацепления Уайт-хеда W. Это обуславливает важность изучения класса замкнутых 3-многообразий W(m,n]p,q), получаемых хирургиями Дэна с параметрами (m,n) и (р, q) на компонентах зацепления Уайтхеда W.

В силу теоремы X. Монтесиноса [48], многообразие полученное хирургиями Дэна на строго обратимом зацеплении, может быть представлено как 2-листное накрытие S3, разветвленное над некоторым зацеплением. Применение алгоритма Монтесиноса к случаю многообразий yV(m,n;p,q) позволяет получить следующий результат.

Теорема 2.1.2 [19*] Пусть М = W(m,n;p,g) — замкнутое 3-мно-гообразие, полученное (т, п) и (р, q) хирургиями Дэна на зацеплении Уайтхеда W. Тогда М является 2-листным накрытием S3, разветвленным над зацеплением C(m,n;p,q), имеющем следующий вид, где 2 + 4 и — + 2 обозначают соответствующие рациональные танглы:

Описание многообразий М.1,... ,Мю в виде УУ(т,п;р^) дано ниже в таблице, где соответствующие параметры хирургии приведены в первом столбце. Гиперболические объемы и группы изометрий приведены во втором и третьем столбцах, где В„ обозначает группы диэдра порядка 2п и обозначает полудиэдральную группу порядка 16. По теореме 2.1.2, многообразия М.\,... ,Мю являются 2-листными накрытиями 53, разветвленными над зацеплениями вида £(т,п;р,<?). Обозначим эти зацепления через .. ,Сю, соответственно. Дополнения Б3 \ £г, г = 1,..., 10, являются гиперболическими многообразиями. В

четвертом столбце таблицы приведены объемы этих многообразий. В последнем столбце для зацеплений Сг приведены обозначения в соответствии со стандартными таблицами узлов и зацеплений малого порядка из [14] и [54].

Ьо1Мг 1(Мг) Ь01 (Б3 \ Сг) ¿г

М1 = И*(5, -2; 5, -1) 0.9427... ©в 9.4270... 949

М2 = Щ 1,1; 5,-1) 0.9813... ©2 5.6387... 10161

Мз = И>(3, -2; 6, -1) 1.0149... 8.1195... Ю?38

Мк = П>(5,-1;5,-1) 1.2637... ©4 9.2505... Ю155

М5 = ММ; 6,-1) 1.2844... ©2 5.8430... 11?

Мв = УУ(1,1;1,-2) 1.3986... ©2 5.8296... 147

М7 = 1,-2; 6,-1) 1.4140... ©2 5.9782... 11?

М6 = 1; 5, —1) 1.4140... ©2 7.7948... 11?

Мд = И>(7,-3;5,-1) 1.4236... ©2 10.6933... Ю162

М10 = >^(1,1; 3,-2) 1.4406... ©2 7.1180... 13?

Это, в частности, дает новые описания многообразий Мг, Мч и Мз. Следствие 2.1.1 [19*] Многообразие Бикса — Матвеева — Фоменко М 1 является 2-листным накрытием 53, разветвленным над узлом 949.

Следствие 2.1.2 [19*] Многообразие Мейерхгофа М% является 2-листным накрытием 53, разветвленным над узлом 10161-

Следствие 2.1.3 [19*] Многообразие Мейерхгофа — Ноймана Мз является 2-листным накрытием 53, разветвленным над 2-компонентным зацеплением Ю^зд

Далее в §2.1 устанавливается, что эти многообразия являются максимально симметричными ©6-многообразиями.

Напомним [63], что для кренделя Уя рода д > 2 максимально возможный порядок конечной группы его сохраняющих ориентацию автоморфизмов равен 12 (д - 1). Оценка такого типа является 3-мерным аналогом классической оценки Гурвица 84(д - 1) для порядка конечной группы автоморфизмов римановой поверхности рода д > 2. Следуя В. Циммерманну [64], будем говорить, что замкнутое 3-многообразие М является С?-многообразием рода д, если оно допускает действие конечной группы (7, и д — минимальный род такого сплетения Хегора многообразия М, что оба его креднеля остаются инвариантными при действии О. Если, более того, О имеет максимально возможный порядок 12 {д -1), то (3-многообразие М и соответствующее действие группы

(7 называются максимально симметричными. Случай (^-многообразий рода д = 2 был изучен в [64]. В частности, установлено, что (? может являться одной из следующих четырех групп: ©2, ©4 или В>е. При этом, максимально симметричные ©6-многообразия являются в точности 3-листными накрытиями 53 разветвленными над 2-мостовыми зацеплениями.

В следующем утверждении мы используем стандартные обозначения для узлов и зацеплений следуя [54]. Пусть 7Ут(&) — орбифолд с носителем 53, сингулярным множеством которого является узел порядка N с индексом сингулярности к. Пусть 1,к2) — орбифолд с носителем 53, сингулярным множеством которого является 2-компонентное зацепление порядка N с индексами сингулярности к\ и к? на его компонентах. Поскольку компоненты 2-мостового зацепления эквивалентны, это обозначение корректно.

Утверждение 2.1.3 [19*] Следующие диаграммы накрытий коммутативны и многообразия = УУ(5, —1;5, — 2), >У(3, —2; 9, —2) и >У(7, —2;7, —3) являются максимально симметричными ©в -многообразиями:

>У(5, -1; 5, —2) —2; 9, —2)

V X

94э(2) 5з(3) 947(2) 5?(3,3)

з\ /2 з\ /2

7? (2,3) 81(2,3) 71(2,3)

Интересно отметить, что >У(5, —2; 10, -3) также имеет хегоров род 2 и группу изометрий ©6, однако, эта группа не оставляет инвариантными крендели сплетения Хегора рода 2.

Утверждение 2.1.4 [19*] Род Хегора д = 2 и порядок группы изометрий С? = ©е многообразия Н'(5, —2; 10, —3) удовлетворяют условию |(7| = \2{д - 1), но И>(5, -2; 10, —3) не является максимально симметричным ©6 -многообразием.

В §2.2 продолжается исследование многообразия Викса — Матвеева — Фоменко М1- В теореме 2.2.1 дается описание действия полной группы изометрий на этом многообразии и всех возникающих при этом фактор-орбифолдов. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [18*].

В §2.3 многообразия Фибоначчи описываются как двулистные раз-

Щ7,- -2; 7,-3)

V • ^

г %1 (2) 61(3)

«\ /2

ветвленные накрытия трехмерной сферы и даются ответы на вопросы Мейерхгофа и Ноймана о точном значении объема и арифметичности многообразия Мз. Ключевым результатом этого параграфа является следующая

Теорема 2.3.1 [7*] Многообразие Фибоначчи Мп, п >2, является 2-листным накрытием 53 разветвленным над зацеплением ТНп.

Поскольку зацепление ТКп является замыканием трехнитиевой косы {&1<Т2~1)п 1 оно допускает трехмостовое представление. В силу теоремы О.Я.Виро [4] и поскольку многообразие М„ является евклидовым при п = 3 и гиперболическим при п > 4 получаем

Следствие 2.3.1 [7*] При п > 3 хегоров род многообразия Фибоначчи Мп равен двум.

В силу этого факта и результатов параграфа 2.1 многообразия Фибоначчи выступают как явные примеры в следующих утверждениях.

"Утверждение 2.3.1 [8*] Существуют трехмерные гиперболические многообразия хегорова рода 2 с группой изометрий сколь угодно большого порядка.

Утверждение 2.3.3 [8*] Существуют трехмерные гиперболические многообразия хегорова рода 2 со сколь угодно большим объемом.

Теоремы 2.3.1 и следствие 2.1.3 позволяют установить следующую интересную связь между многообразием Мейерхгофа - Ноймана Мз и гиперболическим многообразием Фибоначчи М±.

Теорема 2.3.3 [7*] Многообразие Фибоначчи является 2-лист-ным неразветвленным накрытием многообразия Мейерхгофа — Ноймана Мг-

Объем многообразия Мз, вычисленный [44] с точностью до Ю-50, приближенно совпал с объемом правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского. Авторами был поставлен вопрос о точном равенстве этих объемов. Там же была высказана гипотеза об арифметичности многообразия Мз над полем <Щ\/-3) (см. об арифметичности [41]). Справедливость этих гипотез установлена в следующей теореме.

Теорема 2.3.4 [7*] Многообразие Мейерхгофа — Ноймана Мз — )Л>(3,-2;6,-1) арифметично над полем <5(\/—3), и его объем равен объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского.

В §2.4 изучаются найденные К. Адамсом в [9] три наименьших гиперболических 3-орбифолда с нежесткими каспами; их объемы равны 0.3053 -.., 0.4444... и 0.4579 — Мы будем называть эти орбифолды ор-бифолдами Адамса и обозначать через А\, Аг и Лз, соответственно. Целью этого параграфа является установление связи между парамет-

рами орбифолдных хирургий на орбифолдах Адамса и параметрами хирургий на накрывающих их некомпактных многообразиях.

Орбифолд А\ известен как орбифолд Пикара, поскольку он является фактор-пространством Н3 по действию группы Пикара PSL(2, Z[i}). Известно, что он 24-листно накрывается многообразием 53\63, где трех-компонентное зацепление борромеевы кольца. Обозначим через б3 (р, q) коническое многообразие, полученное применением (р, <?)-хирургий на всех трех компонентах зацепления б|. Группа сохраняющих ориентацию симметрий зацепления б3 изоморфна симметрической группе §4 порядка 24 (см. [12] или [62]) и может быть реализована ортогональным действием §4 на 3-сфере, оставляющим зацепление инвариантным. Действие §4 на дополнении к зацеплению б3 индуцирует действие §4 на 6 l(p,q).

Теорема 2.4.1 [12*] Для любых рациональных чисел р и q коническое многообразие 63(р, q), полученное §4 -эквивариантной (p,q)-хирургией на борромеевых кольцах б3, является регулярным §4-иакрытием конического многообразия Ai{p — 2q,p + 2q), полученного (p—2q,p + 2q)-хирургией на орбифолде Пикара.

В теоремах 2.4.3 и 2.4.4 аналогичные результаты доказываются для орбифолдов Адамса А2 и Аз и накрывающих их дополнений к зацеплениям б3 и 8|, соответственно. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [12*].

Основным объектом исследования в третьей главе диссертации являются трехмерные гиперэллиптические многообразия. Трехмерное многообразие называется гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией фактор-пространство по действию которой гомеоморфно трехмерной сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической.

В § 3.1 изучаются гиперэллиптические инволюции на трехмерных многообразиях W{m,n\p,q). В теоремах 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.3 устанавливается, что многообразия W(l,n;l,g), W(l,n;2,q) и W(2,n; 2, q) обладают тремя гиперэллиптическими инволюциями, и описываются соответствующие тройки узлов, возникающих как множества ветвления. В теореме 3.1.4, описывается действие группы диэдра ГО>2 на многообразиях W(m,n;m,n). Результаты этого параграфа опубликованы в [11*].

В §3.2 рассматривается трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности 3-листных неразветвленных накрытий римановых поверхностей рода два [8]. Установленный результат разбивается на два случая, которые рассмотрены в следующих теоремах.

Теорема 3.2.2 [16*] Пусть W2 - трехмерное многообразие хего-рова рода два, а W - его регулярное 3-листное неразветвленное на-

крытие. Тогда IV является 2-листным разветвленным накрытием 3-многообразия, допускающего хегорово сплетение рода один (т. е. накрытием 3-сферы, линзового пространства или 52 х в1).

Теорема 3.2.3 [16*] Пусть - трехмерное многообразие хегорова рода два, иШ - его нерегулярное 3-листное неразветвленное накрытие. Тогда IV является гиперэллиптическим.

В §3.3 развивается теория построения трехмерных гиперэллиптических многообразий из прямоугольных многогранников Коксетера. Подход к построению таких многообразий основан на обобщении идей из параграфа 1.1 и связан с существованием на многограннике гамильто-новых циклов.

Следующий результат является гиперболическим случаем теоремы, доказанной в [42] для трехмерных геометрий Терстона. Однако, в отличии от [42], приводимое в параграфе 3.3 доказательство конструктивно.

Теорема 3.3.1 [42, 9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а Д(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что Р является гамильтоновым. Тогда существует подгруппа Г < Д(Р), | Д(Р) : Г| = 8, действующая без неподвижных точек в Н3, такая, что фактор-пространство М3 — Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

Известно, что не всякий прямоугольный многогранник в Н3 является гамильтоновым. Для расширения класса рассматриваемых многогранников в данном параграфе вводятся понятия тэта-гамильтоновости и К4 -гамильтоновости, естественно обобщающие понятие классической гамильтоновости. Развитие метода доказательства теоремы 3.3.1 позволяет установить следующие свойства.

Теорема 3.3.2 [9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а Д(Р) — группа, порожденная отраженьями в гранях Р. Предположим, что многогранник Р тэта-гамильтонов. Тогда существует подгруппа Г < Д(Р), |Д(Р) : Г| = 16, действующая без неподвижных точек в И3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

Следствие 3.3.1 [9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а Д(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что многогранник Р является К4-гамильтоновым. Тогда существует подгруппа Г < Д(Р), |Д(Р) : Г| = 32, действующая без неподвижных точек в Н3, такая, что фактор-пространство М3 = И3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

В §3.4 и §3.5 подход к построению гиперэллиптических трехмерных многообразий развивается в двух направлениях. В §3.4 расширяется

класс рассматриваемых коксетеровских многогранников. Основным результатов этого параграфа является следующая

Теорема 3.4.1 [10*] Пусть р - коксетеровский многогранник в §3 и Р - коксетеровский многогранник вХ3, где X3 = И3, Е3, §3, §2 х Е1 или Н2 хЕ1, а 8(р) и Д (Р) - соответствующие им группы отражений. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный скелету р1 многогранника р и все ребра РХ\Т имеют вес 2. Тогда в группе Д(Р) существует подгруппа б индекса |Д(Р) : С?| = 2|<5(р)| без кручения такая, что М3 — Х3/С? - гиперэллиптическое многообразие.

В §3.5 описывается метод построения 2-листных разветвленных накрытий пространств Ь(р,</) и 53 х5' при которых фундаментальные группы возникающих многообразий являются подгруппами конечного индекса в группах Коксетера. Обозначим через К,(р) взвешенный полный граф на четырех вершинах два несмежных ребра которого имеют веса р, а остальные ребра имеют вес 2.

Теорема 3.5.1 [20*] Пусть Р - многогранник Коксетера в пространстве X3, где X3 = Е3,Н3,§2 х Е1,Н2 х Е1, и Д(Р) - группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный 1С(р), и что все ребра из Р1 \Т имеют вес два. Тогда существует подгруппа без кручений Г < Д(Р) индекса &р такая, что М3 = Х3/Г является Ь(р, д)-гиперэллиптическим многообразием.

Рассматривая вместо /С(р) двойной тэта-граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами (все - веса 2), получаем аналогичный результат для накрытий многообразия 52 х 51.

Теорема 3.5.2 [20*] Пусть Р - многогранник Коксетера в пространстве X3, где X3 = Е3, Н3,§2 х Е1,!!2 х Е1, и А(Р) - группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный графу и что все ребра из Р1 \Т имеют вес два. Тогда существует подгруппа без кручений Г < Д(Р) индекса 16 такая, что М3 = Х3/Г является 52 х 51 -гиперэллиптическим многообразием.

В четвертой главе диссертации изучаются многообразия с циклической симметрией, в частности, циклические накрытия 3-сферы, разветвленные над двухмостовыми узлами.

В §4.1 вводится класс трехмерных обобщенных многообразий Така-хаши, обобщающих класс многообразий введенный М. Такахаши в [56]. Для пары целых положительных чисел тип рассмотрим зацепление £п,т С 53 с 2тп компонентами. Все его компоненты с^-, где 1 < г < 2п

и 1 < ] < 771, являются незаузленными окружностями и образуют 2п подсемейств из т незацепленных окружностей а<3, 1 < ] < т, с общим центром (зацепление £ю,1 изображено на рисунке ниже).

Зацепление СП1т обладает вращением порядка л, относительно которого указанные 2п подсемейств окружностей разбиваются на два класса эквивалентности. Рассмотрим многообразие, получаемое хирургией Де-на на 53 вдоль зацепления Сп,т с коэффициентами хирургии Рк^/Як^, соответствующими компонентам сгк-\,з, и гь^/зк^, соответствующими компонентам С2к,}, для \<к<тл\<]<т. Без ограничения общности, мы далее всегда полагаем, что 5сс1 {рк,з-,Чк,з) — 1, £сс1(г(=|-)',) = 1 и Рк,з,Гк,} > 0. Полученное трехмерное многообразие будем обозначать Тп,т(Рк,з/Чк,]\Гк,]/&к,з) и называть обобщенным многообразием Такаха-ши (случай т = 1 дает многообразия Такахаши из [56]).

Теорема 4.1.1 [23*] Фундаментальная группа обобщенного многообразия Такахаши Тп>т{рк,31 Як,з'^к^Ьк,]) имеет следующее сбалансированное представление с 2птп порождающими А — } 1<г<2п,к^<т и 2птп соотношениями:

2к—1,] — а2к-2,]а2к-2,]+1 а2к-2,та2к,т а2к^+1 а2 к,3

1.1 -Як, 1 1,1 а2к~1,1 а2к-1,]-1

l<k<n,l<j<m)

гГТк— П9к+1'3 . . . л'9*'1 ...п~Чк-'-1 п~9к'> ■

°2 к,з — а2к+1,з 2к+1,з-1 а2*+1,1 а2*-1,1 а2к-1,]-1 а2к-1^>

Если параметры хирургии являются п-периодическим, т.е. рк,з — р3, Чк,з = Чз>гк,з = гз и 8к,з = 83, получаемое многообразие ТПгт(р3/д,;г3/з3) называется обобщенным периодическим (п-периодическим) многообразием Такахаши.

Следствие 4.1.1 [23*] Фундаментальная группа обобщенного периодического многообразия Такахаши Тп<т{р^ ¡8д) имеет следующее представление:

( } 1<«<2п, 1 <]<т | а2к~1,} = ''' °2*-2,т а2*,т ' ' ' а2к'з >

а~гз — „Ъ ... „И „-91 . . . п~Чг .

I <к <П, \ < ] <т).

Теорема 4.1.3 [23*] Обобщенное периодическое многообразие Такахаши является циклическим п-листным накрытием связной суммы 2т линзовых пространств Ь(р1,91)#Ь(п,в1)# • • • #Ь(рт,дт)#Ь(гт,зт), разветвленных над некоторым узлом, не зависящим от п.

Следующий результат показывает, что семейство обобщенных периодических многообразий Такахаши содержит класс всех циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов. Ниже мы используем обозначения Конвея для двухмостовых узлов (см. [19]).

Теорема 4.1.4 [23*] Обобщенное периодическое многообразие Такахаши ГП)ТЛ(1/дл; 1/«?) является циклическим п-листным разветвленным накрытием двухмостового узла, соответствующего параметрам, Конвея [—2^1,2«1,..., — 2дт> 2ят].

Из теоремы 4.1.4 следует, что обобщенное периодическое многообразие Такахаши Гп,т(1/дл; 1/вл) гомеоморфно многообразию Минкуса Мп(а,Ь) [47], многообразию Линса-Мандела 5(п, а, Ь, 1) [37, 49] и многообразию Данвуди М((а - 1)/2,0,1 ,Ь/2,п,[21, 23], где а/Ь определяется по правилу а/Ь = -2^1 + 1 1 .

Параграф 4.1 завершается описанием алгоритма нахождения фундаментальных групп многообразий, являющихся циклическими разветвленными накрытиями двухмостовых узлов, основанного на полученном выше представлении этих многообразий.

В §4.2 изучаются изометрии циклических накрытий 3-сферы, разветвленных над гиперболическими двухмостовыми узлами. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 4.2.6 [24*] Пусть п> 5, К - гиперболический двухмосто-вый узел, и М — Мп(К) - (гиперболическое) циклическое п-листное разветвленное накрытие Б3, разветвленное над К. Обозначим через ьп объем наименьшего ориентируемого гиперболического 3-орбифолда

с кручением порядка п. Если

i уо1 (Б3 \ К)

V '

то Мп(К) не имеет скрытых симметрии.

Использование этой оценки иллюстрируется следующими примерами.

Следствие 4.2.4 Пусть К - гиперболический двухмостовый узел, задаваемый рациональным параметром р/д = 2к ± ^. Ясли п > 6, то Мп(К) не имеет скрытых симметрий.

Следствие 4.2.5 Пусть К - двухмостовый узел, задаваемый рациональным параметром р/д = 2к± Ц —. Если п > 9, то Мп(К)

не имеет скрытых симметрий.

В параграфе 4.3, рассматриваются хирургии на зацеплениях, соответствующих Платоновым телам. А именно, пусть М(Р) - медианный граф для плоского графа Р. Альтернированное зацепление С(Р) для которого М(Р) является проекцией будем называть медианным зацеплением, соответствующим графу Р. В частности, если Р является скелетом тетраэдра, то соответствующим ему медианным зацеплениям являются борромеевы кольца 6®. Группа симметрий этого зацепления изоморфна §4, а фактор-пространством по действию этой группы на Б''' \ 62 является орбифолд Пикара И3/РЗЬ(2,%[г]). Связь между параметрами §4~эквивариантных хирургий на и параметрами орбифолдных хирургий на орбифолде Пикара была установлена в §2.4. В данном параграфе рассматривается 4-компонентное октаэдральное зацепление £4 являющееся медианным для скелета октаэдра. Его группа симметрий изоморфна §4 х Z2, а фактор-пространством по действию этой группы на Б3 \ £4 является орбифолд Бианки Вь, — Ш3/РОЬ(2,02), где 02 - кольцо целых алгебраического поля <0>(л/-2). Связь между параметрами §4~эквивариантных хирургий на £4 и параметрами орбифолдых хирургий на Ва установливается в следующей теореме.

Теорема 4.3.1 [28*] Многообразие М(р,о), полученное §4 х Ъ2-эк-вивариантной хирургией на октаэдральном зацеплении £4, является регулярным (§4 х Z2)-накрытием орбифолда В^(р - Зд,р + Зд), полученного {р — Зд,р + 3<?)-хирургией на каспе орбифолда Бианки = Ш3/РвЬ(2,02).

Возникающие в теореме 4.3.1 многообразия являются интересными примерами максимально-симметричных многообразий.

Следствие 4.3.1 [28*] При целых q многообразие М(± 1 - 3q, q), полученное эквивариантной хирургией на октаэдральном зацеплении Ci, является максимально симметричным (§4 х Z2)-многообразием.

В §4.4 рассматриваются геометрические вопросы, связанные с группами с циклическим представлением.

Как было отмечено в параграфе 1.2, группы Фибоначчи

F(2,m) = (xi,...,xm I XiXi+i = xi+2, t = l,...,m)

с четным числом порождающих обладают интересными геометрическими свойствами. А именно [25], при т = 2n, п > 4 они являются фундаментальными группами трехмерных гиперболических многообразий, которые мы называли многообразиями Фибоначчи. Естественно возникает вопрос о том, обладают ли аналогичным свойством группы Фибоначчи с нечетным числом порождающих и обобщения групп Фибоначчи? Как показал К. Маклачлан [39], если m нечетно, то группа F(2,m) не может быть группой гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.

В данном параграфе рассматриваются два введенных в [15] семейства групп, естественно обобщающих группы Фибоначчи. Группы первого семейства, F(r,m,k), г > 2, т > 3, к > 1, называемые обобщенными группами Фибоначчи, имеют представление

F(r,m,k) = (xi,...,xm I xtxt+i ■ ■ ■ x,+r-i = xi+r-i+k> » = l,...,m),

где индексы берутся по модулю т. Группы второго семейства, Н(г, ш, к), г > 2, m > 3 , fe > 1, имеют представление

Н(г,т,к) = ... ,хт | xtxi+i ■ --Xt+r-i = xi+r ■ - -a;i+r_ii = 1,... ,m),

где индексы берутся по модулю т.

Развитие метода из [39] позволяет установить следующий результат.

Теорема 4.4.1 [26*] Пусть г четно, а т нечетно и взаимно просто с г + 2к — 1. Тогда обобщенная группа Фибоначчи F(r, т., к) не реализуется как группа гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.

В некоторых случаях удается установить, что группы из рассматриваемых семейств являются группами негиперболических трехмерных многообразий.

Утверждение 4.4.2 [26*] При к > 1 группа F(2,2к + 1, к) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия,

получаемого как циклическое (2к + 1)~листное накрытие трехмерной сферы, разветвленное над узлом трилистник.

Утверждение 4.4.3 [26*] При к >2 группа Н(к,2к - 1,к - 1) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия которое может быть получено как циклическое (2к—\)-листное накрытие трехмерной сферы разветвленное над торическим (2k—1,2)-f узлом.

Список литературы

[1] Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников A.C. Геометрия пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М. 1988. Р. 5-146.

[2] Веснин А.Ю., Рассказов A.A. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 14-29.

[3] Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., 1988. С. 147-259.

[4] Виро О.Я. Зацепления, двулистные разветвленные накрытия и косы // Матем. сборник. 1972. Т. 82. JY« 2. С. 216-228.

[5] Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны // М.: Наука, 1982.

[6] Клейн Ф. Неевклидова геометрия // М.: ОНТИ НКТП, 1936.

[7] Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Изоэнергетические поверхности га» мильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // Успехи мат. наук. 1988. Т. 43. Jfr 1. С. 5-22.

»

[8] Accola R.D.M. On lifting of the hyperelliptic involutions // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 122. P. 341-347.

[9] Adams C.C. Limit volumes of hyperbolic 3-orbifolds //J. DifT. Geom. 1991. V. 34. P. 115-141.

[10] Al-Jubouri N.K. On nonorientable hyperbolic 3-manifolds // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). 1980. V. 31. P. 9-18.

[11] Apanasov B.N., Gutsul I. S. Greatly symmetric totally geodesic surfaces and closed hyperbolic 3-manifolds which share a fundamental polyhedron // Topology'90, (eds. B. Apanasov, W. Neumann, A. Ried and L. Siebenmann), de Gruyter, Berlin, 1992. P. 37-53.

[12] Bolieau M., Zimmermann B. The 7r-orbifold group of a link // Math. Z. 1989. Bd 200. S. 187-208.

[13] Bonahon F. A Schlafli-type formula for convex cores of hyperbolic 3-manifolds // J. Diff. Geom. 1998. V. 50. N. 1. P. 25-58.

[14] Burde G., Zieschang H. Knots, de Gruyter Studies in Mathematics, 5, Berlin-New York, 1985.

[15] Campbell C.M., Robertson E.F. A class of finitely presented groups of Fibonacci type // J. London Math. Soc. 1975. V. 11. P. 249-255.

[16] Canary R.D., Epstein D.B.A., Green P. Notes on notes of Thurston // Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), 3-92, London Math. Soc. Lecture Note Ser. Ill, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.

[17] Cao C., Meyerhoff G.R. The orientable cusped 3-manifolds of minimum volume // Invent. Math. 2001. V. 146. V. 3. P. 451-478.

[18] Conway J. Advanced problem 5327 // Amer. Math. Monthly. 1965. V. 72. P. 915.

[19] Conway J.H. An enumeration of knots and links and some of their related properties // Computational problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967 (ed. J.Leech), Pergamon Press. 1969. P. 329358.

[20] Dunbar W., Meyerhoff R. Volumes of hyperbolic 3-orbifolds // Indiana Univ. Math. J. 1994. V. 43. P. 611-637.

[21] Dunwoody M. Cyclic presentations and 3-manifolds // Groups-Korea '94, Proc. Inter. Conf. held in Pusan, August 18-25, 1994 (eds. A.C. Kim and D.L. Johnson), Walter de Gruyter & Co. Berlin-New York 1995. P. 47-55.

[22] Epstein D.B.A., Marden A. Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces // Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), 113253, London Math. Soc. Lecture Note Ser. Ill, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.

[23] Grasselli L., Mulazzani M. Genus one 1-bridge knots and Dunwoody manifolds // Forum Math. 2001. V. 13. N. 3. P. 379-397.

[24] Gromov M. Hyperbolic manifolds according to Thurston and j0rgensen // Lect. Notes Math. V. 842. Berlin: Springer-Verlag, 1981. P. 40-53.

[25] Helling H., Kim A.C., Mennicke J.L. A geometric study of Fibonacci groups // Journal of Lie Theory. 1999. V. 8. P. 1-23.

[26] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos@-Amilibia J.M. The arithmeticity of the figure eight knot orbifolds // Topology'90, Columbus, 1990. Berlin: de Gruyter, 1992. P. 169-183.

[27] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. A characterization of arithmetic subgroups of SL(2, K) and SL(2,C) // Math. Nach. 1992. V. 159. P. 245-270.

[28] Hodgson C.D. Schlafli revisited: variation of volume in constant curvature spaces'// Preprint.

[29] Hodgson C.D., Weeks J.R. Symmetries, isometries and length spectra of closed hyperbolic 3-manifolds // Experiment. Math. 1994. V. 3. P. 101113.

[30] Johnson D.L., Wamsley J.W., Wright D. The Fibonacci groups // Proc. London Math. Soc. 1974. V. 29. P. 577-592.

[31] Johnson D.L. Topics in the theory of group presentations // London Math. Soc. Lect. Note Ser. V. 42. Cambridge Univ. Press, Cambridge, U.K., 1980.

[32] Kawauchi A. Almost identical imitations of (3,l)-dimensional manifold pairs and the branched coverings / / Osaka J. Math. 1992. V. 29, P. 299327.

[33] Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541-569.

[34] Kirby R. Problems in low-dimensional topology // Geom. Topology. 1997. Part 2. P. 35-473.

[35] Kojima S. Isometry transformations of hyperbolic 3-manifolds // Topology and Its Appl. 1988. V. 29. P. 297-307.

[36] Kojima S. Deformation of hyperbolic 3-cone-manifolds // J. Differential Geometry. 1999. V. 48. P. 469-516.

[37] Lins S., Mandel A. Graph-encoded 3-manifolds // Discrete Math. 1985. V. 57. P. 261-284.

[38] Löbell F. Beispiele geschlossene dreidimensionaler Clifford — Kleinischer Räume negative Krümmung // Ber. Verh. Sächs. Akad. Lpz., Math.-Phys. Kl. 1931. V. 83. P. 168-174.

[39] Maclachlan C. Generalizations of Fibonacci numbers, groups and manifolds / / Combinatorial and Geometric Groups Theory, Edinburgh 1993, ed. by A.J. Duncan, N.D. Gilbert and J. Howie, LMS Lecture Notes 1995. V. 204. P. 233-238.

[40] Maclachlan C., Reid A.W. Generalized Fibonacci manifolds // Transform. Groups. 1997. V. 2. P. 165-182.

[41] Maclachlan C., Reid A.W. The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds // Graduate texts in math., Springer, 2003, 463 pp.

[42] Mednykh A.D. Three-dimensional hyperelliptic manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1990. V. 8. P. 13-19.

[43] Mednykh A. On the remarkable properties of the hyperbolic Whitehead link cone-manifold // Knots in Hellas'98, Proc. of the Intern. Conf. on Knot Theory and Ramifications, World Scientific, Singapore, 2000, P. 290-305.

[44] Meyerhoff R., Neumann W.D. An asymptotic formula for the eta invariants of hyperbolic 3-manifolds // Comment. Math. Helv. 1992. V. 67. P. 28-46.

[45] Milnor J. The Schläfli differential equality // in: Collected papers. Vol. 1. Geometry, Publish or Perish, Inc., Houston, TX, 1994, P. 281-295.

[46] Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 9-24.

[47] Minkus J. The branched cyclic coverings of 2 bridge knots and links // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1982. V. 255. P. 1-68.

[48] Montesinos J.M. Surgery on links and double branched covers of S3 // In: Knots, group, and 3-manifolds, Edited by L.P. Neuwirth, Princeton Univ. Press, Princeton, 1975. P. 227-259.

[49] Mulazzani M. All Lins-Mandel spaces are branched cyclic coverings of S3 // J. Knot Theory Ramifications 1996. V. 5. P. 239-263.

[50] Parker J.R., Series C. Bending formulae for convex hull boundaries // J. Anal. Math. 1995. V. 67. P. 165-198.

[51] RatclifFe J.G. Foundations of hyperbolic manifolds. Graduate Texts in Mathematics, V. 149, Springer-Verlag, New York, 1994.

[52] Reni M., Zimmermann B. Isometry groups of hyperbolic three-manifolds which are cyclic branched coverings // Geom. Dedicata. 1999. V. 74. P. 23-35.

[53] Reni M., Zimmermann B. On hyperelliptic involutions of hyperbolic 3-manifolds // Math. Ann. 2001. V. 321, P. 295-317.

[54] Rolfsen D. Knots and links. Publish or Perish Inc., Berkely, Ca., 1976.

[55] Szczepariski A., Vesnin A. HNN extension of cyclically presented groups // Journal of Knot Theory and Its Ramifications 2001. V. 10. N 8. P. 1269-1279.

[56] Takahashi M. On the presentations of the fundamental groups of 3-manifolds // Tsukuba J. Math. 1989. V. 13. P. 175-189.

[57] Thomas R.M. The Fibonacci groups revised // In: Groups St. Andrews 1989, edited by D.Johnson, London Math. Soc. Lecture Notes Series V. 160. P. 445-456.

[58] Thurston W.P. The geometry and topology of three-manifolds. Lecture Notes. Princeton Univ. Press, 1980.

[59] Weeks J. Hyperbolic structures on 3-manifolds // Ph. D. Thesis, Princeton University. 1985.

[60] Weeks J. SnapPea // Software to study hyperbolic 3-manifolds, available from http:// ftp.geometrygames.org/SnapPea/index.html

[61] Wielenberg N. Hyperbolic 3-manifolds which share a fundamental polyhedron // in: Riemann surfaces and related topics, Proceedings 1978 Stony Brook Conference, eds. I.Kra and B.Maskit, Ann. of Math. Studies, V. 97, Princeton Univ. Press, 1981, P. 505-513.

[62] Zimmermann В. On the Hantzche — Wendt manifold // Monatsh. Math. 1990. V. 110, N 3-4. P. 321-327.

[63] Zimmermann В. Finite group actions on handlebodies and equivariant Heegaard genus for 3-manifolds // Topology and Its Appl. 1992. V. 43. P. 263-274.

[64] Zimmermann В. On cyclic branched coverings of hyperbolic links // Topology and Its Appl. 1995. V. 65. P. 287-294.

[65] Zimmermann В. A note on hyperbolic 3-manifolds of the same volume // Monatsh. Math. 1994. V. 117. P. 139-143.

Работы автора по теме диссертации

[1*] Веснин А.Ю. Трехмерные гиперболические многообразия типа Лё-белля // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28. № 5. С. 50-53.

[2*] Веснин А.Ю. Трехмерные гиперболические многообразия с общим фундаментальным многогранником / / Матем. заметки. 1991. Т. 49. N 6. С. 29-32.

[3*] Веснин А.Ю. Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лёбелля // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 1. С. 17-23.

[4*] Веснин А.Ю., Ким А.Ч. Дробные группы Фибоначчи и многообразия // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, № 4. С. 765-775.

[5*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. О предельных порядковых числах в теореме Тёрстона — Ергенсена об объемах трехмерных гиперболических многообразий // Докл. РАН 1994. Т. 336. N 1. С. 7-10.

[6*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. Гиперболические объемы многообразий Фибоначчи // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, JV» 2. С. 266-277.

[7*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. Многообразия Фибоначчи как двулистные накрытия трехмерной сферы и гипотеза Мейергофа-Ноймана // Сиб. матем. журн. 1996, Т. 37, № 3, С. 534-542.

[8*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. О роде Хегора трехмерных гиперболических многообразий малого объема // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 5. С. 1013-1018.

[9*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. Трехмерные гиперэллиптические многообразия и гамильтоновы графы // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. JV* 4. С. 745-763.

[10*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. Сферические группы Коксетера и гиперэллиптические 3-многообразия // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 2. С. 173-177.

[11*] Веснин А.Ю., Медных А.Д. Трехмерные гиперболические многообразия малого объема с тремя гиперэллиптическими инволюциями // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. JV« 5. С. 1035-1051.

[12*] Веснин А.Ю. Медных А.Д. Циммерманн Б. Хирургии на трехмерных гиперболических орбифолдах малого объема // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. N 2. С. 318-331

[13*] Kim А.С., Kim Y., Vesnin A. On a class of cyclically presented groups // In: Proc. Inter. Conf., Groups-Korea '98, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 2000. P. 211-220.

[14*] Kim G., Kim Y., Vesnin A. The knot 5г and cyclically presented groups //J. Korean Math. Soc. 1998. V. 35. N. 4. P. 961-980.

[15*] Mednykh A., Parker J., Vesnin A. On hyperbolic polyhedra arising as convex cores of quasi-Puchsian punctured torus groups // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana 2004. V. 10. N 3. P. 1-29.

[16*] Mednykh A., Reni M., Vesnin A., Zimmermann B. Three-fold coverings and hyperelliptic manifolds: three-dimensional version of a result of Accola // Rend. Instit. Mat. Univ. Trieste 2001. Supp. Vol. 32. P. 181-191.

[18*] Mednykh A.D, Vesnin A.Yu. Visualization of the isometry group action on the Fomenko - Matveev - Weeks manifold // Journal of Lie Theory. 1998. V. 8. N 1. P. 51-66.

[19*] Mednykh A., Vesnin A. Covering properties of small volume hyperbolic 3-manifolds // J. Knot Theory Ram. 1998. V. 7. N. 3. P. 381-392.

IPOC НАЦИОНАЛЬНА» БИБЛИОТЕКА ' С.ПетсИт <

* OS NO agt I

[20*] Mednykh A. Vesnin A. Coxeter groups and branched coverings of lens spaces // J. Korean Math. Soc. 2001. V. 38. N 6. P. 1167-1177.

[21*] Mednykh A.D., Vesnin A.Yu. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds // SCIENTIA, Series A: Mathematical Sciences 2002. V. 8. P. 1-11.

[22*] Mulazzani M., Vesnin A. The many faces of cyclic branched coverings of 2-bridge knots and links // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 2001. Supplemento al Vol. IL. P. 171-215.

[23*] Mulazzani M., Vesnin A. Generalized Takahashi manifolds // Osaka Math. J. 2002. V. 39. N 3. P. 705-721.

[24*] Reni M., Vesnin A. Hidden symmetries of cyclic branched coverings of 2-bridge knots // Rend. Instit. Mat. Univ. Trieste 2001. Supp. Vol. 32. P. 289-304.

[25*] Szczepaiiski A., Vesnin A. Generalized Neuwrith groups and Siefert fibred manifolds // Algebra Colloquium 2000. V. 7. N 3. P. 295-303.

[26*] Szczepanski A., Vesnin A. On generalized Fibonacci groups with odd number of generators // Communications in Algebra 2000. V. 28. N 2. P. 959-965.

[27*] Vesnin A. On volumes of some hyperbolic 3-manifolds // RIM-GARC Lecture Notes Series, V. 30, Seoul National University, Seoul, 1996. 132 pp.

[28*] Vesnin A., Zimmermann B. On medial links and hyperbolic 3-manifolds with large isometry groups // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 2001. V. 50. N 2. P. 347-358.

Веснин Андрей Юрьевич

Объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий и орбифолдов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 03.08.05. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 2,25. Тираж 150 экз. Заказ № 105.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

»14754

РНБ Русский фонд

2006-4 11854

Введение

1 Объемы гиперболических многообразий

1.1 Многообразия Лёбелля.

1.2 Компактные и некомпактные многообразия равного объема

1.3 Конические многообразия Уайтхеда

1.4 Выпуклые оболочки квазифуксовых групп

2 Многообразия и орбифолды малого объема

2.1 Многообразия малого объема как двулистные накрытия

2.2 Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко

2.3 Многообразия Фибоначчи как 2-листные накрытия и гипотезы Мей-ерхгофа — Ноймана.

2.4 Хирургии на орбифолдах Адамса.

3 Гиперэллиптические многообразия

3.1 Многообразия с тремя гиперэллиптическими инволюциями.

3.2 Трехмерный аналог теоремы Акколы

3.3 Гамильтоновы циклы и гиперэллиптичность

3.4 Группы Коксетера и гиперэллиптические многообразия.

3.5 Группы Коксетера и линзово-гиперэллиптические многообразия

4 Многообразия с циклической симметрией

4.1 Обобщенные многообразия Такахаши.

4.2 Изометрии циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов

4.3 Медианные зацепления и многообразия с богатыми группами симметрий

4.4 Группы с циклическим представлением.

Объектом исследования в данной работе являются объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. Первый пример некомпактного неориентируемого трехмерного гиперболического многообразия был построен в 1912 г. Гисекингом. Первые примеры замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий были построены Ф. Лёбеллем в 1931 г. и К. Вебером и X. Зейфертом в 1933 г. Бурное развитие теории трехмерных гиперболических многообразий началось в последние 25 лет и связано прежде всего с работами У. Терстона, его учеников и последователей. В настоящее время теория трехмерных гиперболических многообразий является активно развивающейся областью геометрии и топологии, элегантно сочетающей в себе идеи и методы гиперболической геометрии, теории трехмерных многообразий, теории узлов, геометрической теории групп, теории клейновых групп и многих других разделов современной математики.

Под трехмерным гиперболическим коническим многообразием принято понимать трехмерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны с сингу-лярностями конического типа вдоль замкнутых геодезических [96]. При этом, каждой компоненте сингулярного множества сопоставлен конический угол, являющийся неотрицательным вещественным числом, не превосходящим 27г. Гиперболические конические многообразия возникают как естественное обобщение гиперболических 3-многообразий (которые соответствуют случаю, когда все конические углы равны 27г) и гиперболических 3-орбифолдов (которые соответствуют случаю, когда конические углы имеют вид 2ж/п для некоторых целых п > 1). Таким образом, каждое коническое многообразие С может быть охарактеризовано как тройка С — (Л4, Е,сч), где многообразие Л4 является его носителем, £ = является его сингулярным множеством, причем каждая компонента £,• гомеоморфна окружности, и множеством конических углов а — («1,.,с^), где с^-, э — 1,. ,к, соответствует компоненте При этом, равенство конического угла нулю означает удаление соответствующей компоненты.

Точное вычисление объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий является актуальной задачей, поскольку в силу теоремы жесткости Мостова объем трехмерного гиперболического многообразия является его топологическим инвариантом. Однако эта задача является достаточно трудной и связана, в частности, с проблемой вычисления объема многогранника в пространстве Лобачевского Н3. Первые результаты в этом направлении были получены Н.И. Лобачевским в 1832 г. Для некоторых классов многогранников формулы объемов были найдены Э.Б. Винбергом [1], Р. Келлерхалс [89], Дж. Милнором [116] и выражаются через функцию Лобачевского пх

А(х) = - / log | 2 sin С | dQ.

Jo

Так, тетраэдр Т в И3 с четырьмя идеальными вершинами описывается (с точностью до изометрии) единственным комплексным параметром z, Imz > 0 (двугранные углы тетраэдра Т — Tz равны arg z, arg , arg и каждый из них встречается дважды — при паре противолежащих ребер). Его объем выражается формулой [1, 116] vol Tz = Л (arg z) + Л ^arg —+ Л ^arS jfT^) "

В некоторых случаях для вычисления объемов многогранников, многообразий, орбифолдов и конических многообразий удобно использовать вариационную формулу Шлефли, принимающую в трехмерном гиперболическом случае следующий вид. Пусть Ct - гладкое однопараметрическое семейство конических многообразий с носителем и сингулярным множеством £ = öj=lEj фиксированных топологических типов. Тогда d vol Ct = — - 2] Ijdaj, з где lj - длина компоненты Sj, а сц - конический угол вокруг нее.

Свойства объемов трехмерных гиперболических многообразий кардинально отличаются от свойств объемов гиперболических многообразий других размерностей. Под n-мерным гиперболическим многообразием будем понимать фактор-пространство Мп — ЕР/Г, где Г — дискретная группа изометрий пространства Лобачевского Нп, действующая без неподвижных точек. Далее мы будем рассматривать ориентируемые гиперболические многообразий конечного объема.

Двумерный случай полностью описывается теоремой Гаусса - Бонне. Если М2 — гиперболическая поверхность рода g с к выколотыми точками, то area М2 = 2ir(2g — 2 + к). В частности, множество площадей гиперболических поверхностей является дискретным, существуют компактные и некомпактные поверхности равной площади и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число поверхностей равной площади.

В трехмерном случае имеет место теорема Терстона — Ергенсена: множество объемов трехмерных гиперболических многообразий образует на числовой прямой вполне упорядоченное подмножество типа и>ш и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число многообразий равного объема.

В [17] C.B. Матвеев и А.Т. Фоменко высказали гипотезу о строении начального отрезка множества объемов, которая была основана на большом количестве компьютерных вычислений объемов. В [83] К. Ходжсон и Дж. Вике уточнили первые десять наименьших многообразий и их объемы, проводя вычисления с помощью разработанной Дж. Виксом компьютерной программы SnapPea [159]. Наименьшее известное замкнутое ориентируемое 3-многообразие À4i, объем которого равен 0.9427., было независимо обнаружено C.B. Матвеевым и А.Т. Фоменко [17] а также Дж. Виксом [158]. Оно может быть представлено в виде М.\ = W(5, —2; 5, —1), где через W(m,n-,p,q) обозначается многообразие, полученное хирургиями Дэна с параметрами (га, п) и (р, q) на компонентах зацепления Уайтхеда W. Второе многообразие с объемом 0.9813 ., было построено Р. Мейерхгофом (см. [157]) с помощью (5, —1)-хирургии Дэна на узле восьмерка. Поскольку узел восьмерка может быть получен (1,1)-хирургией Дэна на одной компоненте зацепления W, это многообразие может быть описано как М.ч = W(l, 1; 5, —1). Третье многообразие М.г — W(3, — 2; 6, — 1) было обнаружено Р. Мейерхгофом и В. Нойманом [113]. Его объем равен 1.0149

Авторами были высказаны гипотезы о арифметичности М.ъ и точном равенстве его объема объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского И3.

Наименьший объем некомпактных ориентируемых гиперболических многообразий реализуется для двух многообразий, одним из которых является дополнение к узлу восьмерка [42]. Их объем равен 2,02. и соответствует предельному ординалу.

В [157] У. Терстон поставил вопрос о существовании компактного гиперболического многообразия, объем которого соответствует предельному ординалу.

По-видимому, до сих пор остается открытым вопрос М. Громова [67] о существовании пары трехмерных гиперболических многообразий с иррациональным отношением объемов.

Аналог теоремы Терстона — Ергенсена для трехмерных гиперболических орби-фолдов доказан В. Данбаром и Р. Мейерхгофом [54]. Орбифолды наименьших объемов с нежесткими каспами описаны К. Адамсом [25], и минимальный среди них -орбифолд, униформизируемый группой Пикара PSL(2, Z[z]).

Напомним, что в теории римановых поверхностей важную роль играют гиперэллиптические римановы поверхности. Обобщая это понятие, будем называть п-мерное многообразие Мп гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией г такой, что фактор-пространство Мп/(г} гомеоморфно n-мерной сфере Sn. При этом г называется гиперэллиптической инволюцией. В случае, когда многообразие допускает введение геометрической структуры, будем подразумевать, что инволюция г является изометрией. Существование гиперэллиптических многообразий в каждой из восьми трехмерных геометрий Терстона [157] установлено А.Д. Медных в [108]. Оценки на число гиперэллиптических инволюций трехмерных гиперболических многообразий были получены М. Рени и Б. Циммерманном [137].

С изучением гиперэллиптических инволюций тесно связана следующая проблема, поставленная Дж. Бирман в [92, проблема 3.25]. Пусть К — узел в й13, а М2(К) — его двулистное разветвленное накрытие. Будем говорить, что два узла К\ и К^ эквивалентны, если и только если соответствующие многообразия М'^Кх) и М2(К2) гомеоморфны. Проблема состоит в описании классов эквивалентных узлов и преобразований узлов, сохраняющих классы эквивалентности.

Хорошо известно, что группа изометрий трехмерного гиперболического многообразия конечного объема является конечной группой. Как установил С. Коджима [94], каждая конечная группа может быть реализована таким образом. Вычисление группы изометрий заданного многообразия является достаточно трудной задачей, решение которой в отдельных случаях возможно благодаря использованию алгебраических (см., например, [104]), геометрических (см., например, [7]), или компьютерных (см., например, [83]) методов. В то же время, группы симметрий гиперболических узлов и зацеплений изучены достаточно хорошо [39]. Естественно возникает вопрос: можно ли описать группу изометрий п-листного циклического разветвленного накрытия гиперболического узла, исходя из знания группы симметрий этого узла? В частности, можно ли при этом указать оценку на п, гарантирующую отсутствие на п-листном накрытии скрытых изометрий, т. е. не являющихся поднятиями симметрий узла? Такая оценка, хотя и весьма далекая от точной, была получена М. Рени и Б. Циммерманном [135].

Следуя [85], будем говорить, что группа С? является группой с циклическим представлением если при некоторых п и ад она допускает представление

7 = (?„(го) = {хъ.,хп \и>, г){и:)} ., г)п~1(ю)}, где г) : ¥п ¥п - автоморфизм свободной группы Fn = (жх,. .,хп) ранга п, определенный по правилу г}(хг) — Х{+1, г = 1,.,п — 1, г](хп) = а гу е - циклически приведенное слово. Слово ги называется определяющем словом. Как показал Дж. Столлингс, не существует алгоритма который по представлению группы позволил бы выяснить является ли данная группа фундаментальной группой трехмерного многообразия. Естественно возникает вопрос: какие группы с циклическим представлением являются фундаментальными группами трехмерных гиперболических многообразий? Например, такое представление имеют фундаментальные группы разветвленных циклических накрытий одномостовых узлов рода один [66]. В [152] установлены условия на слово ги при которых естественное НИМ-расширение группы Сп(ги), соответствующее автоморфизму г), является группой узла коразмерности два в /г-мерной сфере Зк, к > 3.

Целью диссертации является развитие теории трехмерных гиперболических многообразий. Основное внимание уделено получению точных формул объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов, конических многообразий, выпуклых оболочек квазифуксовых групп; изучению многообразий и орбифолдов малого объема; построению и исследованию гиперэллиптических многообразий; описанию групп изометрий разветвленных циклических накрытий двухмостовых узлов.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- установлено существование бесконечного семейства пар компактных и некомпактных трехмерных гиперболических многообразий равных объемов, что дает ответ на вопрос Терстона о предельных порядковых числах в теореме Терстона — Ерген-сена об объемах трехмерных гиперболических многообразий;

- установлено существование трехмерных гиперболических многообразий хегоро-ва рода два со сколь угодно большими объемами и группами изометрии сколь угодно большого порядка;

- дан ответ на вопрос Мейерхгофа — Ноймана о точном значении объема и об арифметичности третьего по объему известного компактного ориентируемого гиперболического трехмерного многообразия;

- получены точные формулы для объемов гиперболических конических многообразий Уайтхеда;

- получены точные формулы для объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп проколотого тора;

- развита теория построения трехмерных гиперэллиптических и линзово-гипер-эллиптических многообразий из многогранников Коксетера;

- установлен трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности и лин-зовой-гиперэллиптичности трехлистного неразветвленного накрытия многообразия хегорова рода два;

- в терминах хирургии Дэна получено описание многообразий, являющихся циклическими накрытиями трехмерной сферы, разветвленными над двухмостовыми узлами;

- получена оценка на порядок циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над гиперболическим двухмостовым узлом, гарантирующая отсутствие на таком гиперболическом многообразии скрытых изометрий.

К другим результатам, имеющим и самостоятельный интерес, отнесем следующие:

- дано единое описание десяти известных наименьших по объему компактных трехмерных ориентируемых гиперболических многообразий в терминах хирургии на зацеплении Уайтхеда и как двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы;

- описано действие группы изометрий на многообразии Викса —Матвеева —Фоменко;

- получены точные формулы объемов многообразий Лёбелля;

- установлена связь между параметрами хирургий на орбифолдах Адамса и параметрами хирургий на накрывающих их некомпактных многообразиях;

- исследованы многообразия, получаемые хирургиями на зацеплении Уайтхеда и обладающие тремя гиперэллиптическими инволюциями; дано описание множеств ветвлений этих инволюций.

Перейдем к точным формулировкам.

В первой главе диссертации исследуются объемы трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. При этом, основное внимание уделяется изучению вопросов, связанных с теоремой Терстона - Ергенсена и получению точных формул объемов.

В §1.1 рассматривается классическое многообразие Лёбелля и его естественные обобщения и устанавливаются явные формулы для объемов этих многообразий в терминах функции Лобачевского. ,

Пусть Я - ограниченный прямоугольный (все двугранные углы равны тг/2) многогранник в пространстве Лобачевского Н3. Обозначим через (7 группу, порожденную отражениями в гранях Я. Для каждой вершины многогранника К ее стабилизатор в группе (7 изоморфен восьмиэлементной абелевой группе Ъ^ ф й2 ф Ъч = которая может быть рассмотрена как векторное пространство над полем б\Р(2). Чтобы описать построение многообразия из восьми экземпляров многогранника Я, мы рассмотрим эпиморфизм (р : (7 —У

Лемма 1.1.1 [1*] Пусть группа (7 порождена отражениями в гранях ограниченного прямоугольного многогранника й в I3. Ядро Кег (р эпиморфизма (р : (7 —¥ не содержит элементов конечного порядка тогда и только тогда, когда образы отражений в любых трех гранях многогранника В., имеющих обчцую вершину, являются линейно независимыми в группе рассматриваемой как векторное пространство над полем С^(2).

Таким образом, если эпиморфизм ср удовлетворяет условию леммы 1.1.1, то М ~ Н3/Кег<£> является замкнутым гиперболическим 3-многообразием.

Указанным способом может быть получено классическое многообразие Лёбелля из [102]. А именно, рассмотрим прямоугольный (2п+2)-гранник Я(п) верхним и нижним основаниями которого являются п-угольники, а боковая поверхность состоит из двух циклов пятиугольников (смежных, соответственно, с верхним и нижним основаниями). В частности, Д(5) является прямоугольным додекаэдром, а Д(6) является прямоугольным 14-гранником, использованным Ф. Лёбеллем в [102].

Обозначим через £?(п) группу порожденную отражениями в гранях И(п). Рассмотрим эпиморфизм срп : 0(п) —у Ъ\ ядро которого Кег (рп не содержит элементов конечного порядка. Гиперболическое многообразие Ь(п) = Н3/Кег срп назовем многообразием Лёбелля. Многообразие Ь(п) зависит от эпиморфизма срп и не определяется однозначно по п. При этом, классическое многообразие Лёбелля, построенное в [102], является могообразием Лёбелля для п = 6. Первый пример замкнутого неори-ентируемого гиперболического 3-многообразия, построенный Н. Аль-Джубори в [28], является многообразием Лёбелля для п = 5.

Существование ориентируемых и неориентируемых многообразий Лёбелля для п > 5 устанавливается в следующих теоремах.

Теорема 1.1.1 [1*] Для любого целого п > 5 существует ориентируемое многообразие Лёбелля L{n).

Теорема 1.1.2 [1*] Для любого целого п>Ъ существует неориентиру емое многообразие Лёбелля L(n).

Последняя теорема подтверждает предположение Ф. Лёбелля [102] о том, что подходящими склеиваниями из восьми экземпляров R(6) можно получить как ориентируемые, так и неориентируемые многообразия.

Далее показывается, что число многообразий Лёбелля, имеющих равные объемы, не ограничено и доказывается формула для объемов многообразий Лёбелля в терминах функции Лобачевского.

Теорема 1.1.3 [2*] Для любого целого N существует не менее чем N попарно негомеоморфных многообразий Лёбелля с равным объемом.

Более того, для указанных многообразий может быть выбран общий фундаментальный многогранник.

Следствие 1.1.1 [2*] Для любого целого N существует прямоугольный многогранник И3, который является фундаментальным для по крайней мере N попарно негомеоморфных замкнутых ориентируемых многообразий.

Напомним, что согласно теореме Тёрстона — Ергенсена [67], число гиперболических 3-многообразий заданного конечного объема всегда конечно. Теорема 1.1.3 и следствие 1.1.1 показывают, что эти числа не ограничены в совокупности. Другие примеры компактных гиперболических 3-многообразий, иллюстрирующих это свойство, строились в [88], [29] и [170], а некомпактных - в [160].

Строение многогранника R(n) позволяет применить результаты работы [89] для вычисления его объема.

Теорема 1.1.5 [3*] Пусть L{n), п > 5, является многообразием Лёбелля. Тогда volL(n) = An (2А(в) + A (в + + A (в - - A (20 - , где 9 = f - arccos 2cos^/n)

В частности, объем классического многообразия Лебелля, построенного в 1931 г., равен 48.184368.

В §1.2 дается положительный ответ на вопрос Терстона [157] о существовании компактных многообразий объемы которых соответствуют предельным ординалам в теореме Терстона — Ергенсена. А именно, показывается, что существует бесконечное семейство пар компактных и некомпактных многообразий равного объема. Доказательство основано на получении точных формул в терминах функции Лобачевского для объемов конических многообразий с сингулярным множество узел восьмерка и орбифолдов с сингулярным множеством 2-компонентное зацепление 62.

Начнем с рассмотрения семейства трехмерных компактных ориентируемых гиперболических многообразий, униформизируемых группами Фибоначчи. Группы Фибоначчи ^(2,т) введены Дж. Конвеем [47] и имеют следующее представление:

Известно, что группа т) конечна тогда и только тогда, когда т = 1,2,3,4,5, 7 (см. обзор [156]). Различные обобщения групп ^(2,т) вводились и изучались в [84,

Изучении групп Фибоначчи в контексте теории гиперболических многообразий связано с работой [72], где было показано, что группа ^(2,2п), п> 4, изоморфна дискретной кокомпактной подгруппе группы РЗЬ2(С) — полной группы сохраняющих ориентацию изометрий пространства Лобачевского И3. При этом, факторпростран-ство Мп — Н3/^(2,2п), п > 4, является замкнутым ориентируемым гиперболическим 3-многообразием, которое будем называть гиперболическим многообразием Фибоначчи. Отметим, что группа ^(2,4) изоморфна и действует на й"3 таким образом, что факторпространство М-2 = 2,4) является линзовым пространством 1/(5,2). А группа ^(2,6) изоморфна 3-мерной афинной группе и многообразие М3 = Е3/^(2,6) является многообразием Ханцше — Вендта, изучавшемся в [164]. Многообразия М2 и М3 также будем называть многообразиями Фибоначчи.

В [76] X. Хилден, М. Лозано и X. Монтесинос установили, что многообразие Фибоначчи Мп, п > 2, является циклическим п-листным накрытием сферы Я3, разветвленным над узлом восьмерка Т = 4г. Обозначим через Т(а) коническое многообразие с носителем 513 и сингулярным множеством узел восьмерка с сингулярным углом а. Следующее утверждение дает формулу объема конического многообразия Т{о) в терминах функции Лобачевского А(х).

Теорема 1.2.3 [6*] Пусть Т(а) - гиперболическое коническое многообразие. Тогде 9 — агссоз(сойо; — 1/2).

Поскольку многообразие Фибоначчи Мп является циклическим п-листным накрытием орбифолда Т{2тх/п), получаем

Следствие 1.2.6 [6*] Объем гиперболического многообразия Фибоначчи МП! п > 4, равен

2, Тп) = (жЬ Ж2, • • • , хт | ХгХг+1 = х1+2, г тос! га).

103, 4*]. гда ио1 Мп = 2п(А(/3 + 5) + А(/? - 5)), где 5 = тг/п и /3 = | агссоз(соз(2£) — 1/2).

Перейдем к рассмотрению семейства некомпактных многообразий. Обозначим через Thn, п > 2, замыкание 3-нитиевой косы (схо^1)™, где а\ и о2 - стандартные порождающие группы кос на трех нитях. Члены семейства Thn хорошо известны. В частности, Th2 — это узел восьмерка, Thz — зацепление борромеевы кольца, Th4 — узел турецкая чалма Sie, а Т/2,5 — узел Юш в обозначениях [140]. Как показал У. Тер-стон [157], многообразия S3 \ Thn, п > 2, являются гиперболическими. Точная формула для объемов этих многообразий приведена в следующем утверждении.

Следствие 1.2.8 [6*] При п > 2 объем некомпактного гиперболического многообразия S3 \ Thn равен vol (S3 \ Thn) = An (А(а + 7) + Л(а - 7)), где 7 = 7г/2п и а = - arccos(cos(27) — 1/2).

Сравнивая приведенные формулы объемов компактных многообразий M2n, п > 2, и объемов некомпактных многообразий S3 \ Thn, п > 2, получаем следующий результат.

Теорема 1.2.4 [5*] При п> 2 имеет место следующее равенство объемов: vol М2п = vol (S"3 \ Thn).

Таким образом, объемы компактных многообразий Фибоначчи М2п соответствуют предельным ординалам в теореме Тёрстона — Ергенсена. В частности, объем многообразия Фибоначчи М4 равен объему дополнения к узлу восьмерка, а объем многообразия Фибоначчи М6 равен объему дополнения к зацеплению борромеевы кольца.

В §1.3 исследуется класс конических многообразий с сингулярностями вдоль зацепления Уайтхеда W = 5f. Определим коническое многообразие Уайтхеда W(a, ß) как коническое многообразие с носителем трехмерная сфера Sz и сингулярным множеством W с коническими углами а и ß, соответствующими его компонентам. Область гиперболичности для W(a,ß) была описана в [78]. В частности, если вещественные числа тип превосходят 2.507, то коническое многообразие —) является гиперболическим. Далее мы всегда будем предполагать, что а и ß таковы, что W(a, ß) гиперболическое.

Основным результатом этого параграфа является следующая формула объема гиперболического конического многообразия Уайтхеда.

Теорема 1.3.1 [21*] Пусть W(a,ß) - гиперболическое коническое многообразие Уайтхеда с коническими углами а и ß. Положим А = ctg f и В = ctg f. Тогда rit vol W{a, ß) — i / log J Ci

2(z + A )(z2 + B2) dz

1 + A2)(l + B2)(z2 - z3) z2- 1' где Сг = С и (2 — С> 1т(() > О, - корни кубического уравнения с3 + \ {А2В2 + А2 + В2 - 1) С2 - А2В2С + А2В2 = О. и

Доказательство этой теоремы основано на вариационной формуле Шлефли (см. [9], [80]), точных вычислениях длин сингулярных геодезических конического многообразия с использованием результатов [110].

Следующий параграф, §1.4, посвящен исследованию выпуклых сердцевин квази-фуксовых групп. Напомним, что группа С? называется клейновой, если она является дискретной подгруппой РЭЬ(2,С), полной группы изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Такая группа действует конформными автоморфизмами на римановой сфере С = <ЭН3. При действии С? точки сферы С разбиваются на множество разрывности О(С), на котором действие является собственно разрывным, и предельное множество Л((7), на котором действие является минимальным, то есть каждая орбита плотна. Предельное множество Л((7) является множеством предельных точек неподвижных точек группы (7. Группа С? называется квазифуксовой, если Л (С) является топологической окружностью.

Пусть М = И3/С - трехмерное многообразие, униформизируемое клейновой группой (7. Выпуклой сердцевиной С/О многообразия М называется наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все замкнутые геодезические многообразия М. При этом, С может быть определено в универсальном накрывающем пространстве И3 как гиперболическая выпуклая оболочка предельного множества Л((7), называемая также областью Нильсена группы (7. Граница дС выпуклой оболочки образована выпуклыми подмножествами гиперболических плоскостей, пересекающихся вдоль попарно непересекающегося множества полных геодезических, называемых складками [41, 57].

Хорошо известно, что клейнова группа геометрически конечна тогда и только тогда, когда ее выпуклая сердцевина имеет конечный«объем. Более того, конечнопо-рожденные квазифуксовы группы являются геометрически конечными.

В данном параграфе рассматривается случай, когда (7 является группой проколотого тора:

7 = (X, У | [X, У] - параболическая изометрия И3), где X и У - изометрии пространства Н3, а [X, У] = ХУХ"1У~1. А именно, рассмотрены следующие два случая групп проколотого тора {X, У) для которых: изометрии X и У являются чисто гиперболическими; и) изометрии ХУ и ХУ~1 являются чисто гиперболическими.

Напомним, что изометрия X пространства Н3 называется чисто гиперболической если для соответствующей матрицы X из БЬ(2, С) след 1;г(Х) является вещественным числом большим 2 или меньшим —2. Геометрически, такая изометрия является гиперболическим сдвигом (без поворота) вдоль геодезической.

Для каждого из указанных случаев построены гиперболические многогранники, являющиеся фундаментальными для выпуклых сердцевин квазифуксовых групп проколотого тора, и получены формулы для их объемов. При этом, развиваются два подхода к нахождению соотношений между длинами складок и двугранных углов вдоль них (такие соотношения обычно называют соотношениями складок). С одной стороны, используются соотношения складок, полученные Дж. Паркером и К. Сери-ес в [131]. С другой стороны, эти соотношения и другие формулы, необходимые для вычисления объемов, получаются из матриц Грама многогранников. Это позволяет воспользоваться формулой Шлефли (см. [9, 36, 115]) для нахождения объемов этих многогранников, а следовательно, и объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп. Полученные формулы приведены в теореме 1.4.1 и следствии 1.4.3. Результаты этого параграфа опубликованы в [15*].

Во второй главе диссертации изучаются многообразия и орбифолды малого объема.

Прежде всего, в §2.1 дается единое описание десяти известных наименьших по объему замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий Мг,. Эти многообразия были описаны в [83] в терминах хирургий Дэна на некоторых зацеплениях в 53 выбор которых был обусловлен геодезическими спектрами многообразий. Нетрудно заметить, что эти многообразия допускают единое описание. А именно, все они могут быть получены хирургиями на компонентах зацепления Уайтхеда УУ. Это обуславливает важность изучения класса замкнутых 3-многообразий У\?{т,щр,д), получаемых хирургиями Дэна с параметрами (т, п) и (р, д) на компонентах зацепления Уайтхеда УУ.

В силу теоремы X. Монтесиноса [119], многообразие полученное хирургиями Дэна на строго обратимом зацеплении, может быть представлено как 2-листное накрытие 53, разветвленное над некоторым зацеплением. Применение алгоритма Монтесиноса к случаю многообразий УУ{т,щр,д) позволяет получить следующий результат.

Теорема 2.1.2 [19*] Пусть М = УУ(?тг, щр, д) — замкнутое 3-многообразие, полученное (т, п) и (р, д) хирургиями Дэна на зацеплении Уайтхеда >У. Тогда М является 2-листным накрытием Б3, разветвленным над зацеплением £(т, щ р, д), имеющем следующий вид, где | + 4 и ~ + 2 обозначают соответствующие рациональные танглы:

Описание многообразий М.\,. ,М.ю в виде У\?(т,п-,р,д) дано ниже в таблице, где соответствующие параметры хирургии приведены в первом столбце. Гиперболические объемы и группы изометрий приведены во втором и третьем столбцах, где Вп обозначает группы диэдра порядка 2п и 516 обозначает полудиэдральную группу порядка 16. По теореме 2.1.2, многообразия А4±,. ,Л4ю являются 2-листными накрытиями З3, разветвленными над зацеплениями вида С(т, п;р, q). Обозначим эти зацепления через С\,., £ю, соответственно. Дополнения б"3 % — 1,., 10, являются гиперболическими многообразиями. В четвертом столбце таблицы приведены объемы этих многообразий. В последнем столбце для зацеплений приведены обозначения в соответствии со стандартными таблицами узлов и зацеплений малого порядка из [39] и [140].

УО1 М{ 1(М{) уо1 (б13 \ А) Сг

Му = Щ5, -2; 5,-1) 0.9427. Ш>6 9.4270. 94 9

М2 = Щ1,1] 5,-1) 0.9813. Ю>2 5.6387. Юш

Мз = ЩЗ,- 2; 6,-1) 1.0149. £>16 8.1195. Ю?38

МА = УУ(5,-1; 5,-1) 1.2637. Ю>4 9.2505. 10x55

М5 = Щ1,1;6,-1) 1.2844. Ю>2 5.8430. 11?

М6 = УУ(1,1; 1, —2) 1.3986. Ю>2 5.8296. 14?

М7 = УУ(1,-2;6,-1) 1.4140. ©2 5.9782. П?

М8 = УУ(2,1; 5, —1) 1.4140. Ю>2 7.7948. П?

М9 = УУ(7,-3; 5,-1) 1.4236. ю>2 10.6933. 10x62

М10 = УУ(1,1;3, —2) 1.4406. Ю>2 7.1180. 13?

Это, в частности, дает новые описания многообразий М.ъ ЛЛ2 и Мз-Следствие 2.1.1 [19*] Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко М\ является 2-листным накрытием б"3, разветвленным над узлом

Следствие 2.1.2 [19*] Многообразие Мейерхгофа М% является 2-листным накрытием в3, разветвленным над узлом 10x61.

Следствие 2.1.3 [19*] Многообразие Мейерхгофа — Ноймана Л4$ является 2-листным накрытием Б3, разветвленным над 2-компонентным зацеплением 10^38

Далее в §2.1 устанавливается, что эти многообразия являются максимально симметричными Об-многообразиями.

Напомним [165], что для кренделя Уд рода д >2 максимально возможный порядок конечной группы его сохраняющих ориентацию автоморфизмов равен 12{д—1). Оценка такого типа является 3-мерным аналогом классической оценки Гурвица 84(д — 1) для порядка конечной группы автоморфизмов римановой поверхности рода д > 2.

Следуя Б. Циммерманну [166], будем говорить, что замкнутое 3-многообразие М является О-многообразием рода д, если оно допускает действие конечной группы <3, и д — минимальный род такого сплетения Хегора многообразия М, что оба его креднеля остаются инвариантными при действии С. Если, более того, имеет максимально возможный порядок 12 (д — 1), то (^-многообразие М и соответствующее действие группы С? называются максимально симметричными. Случай (-^-многообразий рода д = 2 был изучен в [166]. В частности, установлено, что С может являться одной из следующих четырех групп: О4 или И>6. При этом, максимально симметричные

В6-многообразия являются в точности 3-листными накрытиями 513 разветвленными над 2-мостовыми зацеплениями.

В следующем утверждении мы используем стандартные обозначения для узлов и зацеплений следуя [140]. Пусть Мт(к) — орбифолд с носителем 5"3, сингулярным множеством которого является узел порядка N с индексом сингулярности к. Пусть М1(къ к2) — орбифолд с носителем £3, сингулярным множеством которого является 2-компонентное зацепление А^ порядка N с индексами сингулярности к\ и к2 на его компонентах. Поскольку компоненты 2-мостового зацепления эквивалентны, это обозначение корректно.

Утверждение 2.1.3 [19*] Следующие диаграммы накрытий коммутативны и многообразия М.\ = 5, —1; 5, — 2), >У(3, —2; 9, —2) и УУ(7, —2; 7, —3) являются максимально симметричными И>6-многообразиями:

У(5,-1;5,-2) 1^(3,-2; 9,-2) Щ7, -2; 7, -3)

V ^ V Ч V Ч г Ч 949 (2) 52(3) А X 947(2) 52(3,3) А х 941(2) 62(3) з\ /г з\ /2 з\ /2

7?(2,3) 81(2,3) 7| (2,3)

Интересно отметить, что 1^(5, —2; 10, —3) также имеет хегоров род 2 и группу изометрий Об, однако, эта группа не оставляет инвариантными крендели сплетения Хегора рода 2.

Утверждение 2.1.4 [19*] Род Хегора д = 2 и порядок группы изометрий С = Рб многообразия —2; 10, —3) удовлетворяют условию |(3| = 12{д — 1), но

Н?(5, —2; 10, —3) не является максимально симметричным Рбмногообразием.

В §2.2 продолжается исследование многообразия Викса — Матвеева — Фоменко М\. В теореме 2.2.1 дается описание действия полной группы изометрий на этом многообразии и всех возникающих при этом фактор-орбифолдов. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [18*].

В §2.3 многообразия Фибоначчи описываются как двулистные разветвленные накрытия трехмерной сферы и даются ответы на вопросы Мейерхгофа и Ноймана о точном значении объема и арифметичности многообразия Л4з. Ключевым результатом этого параграфа является следующая

Теорема 2.3.1 [7*] Многообразие Фибоначчи Мп, п > 2, является 2-листным накрытием разветвленным над зацеплением Т1гп.

Поскольку зацепление Т1гп является замыканием трехнитиевой косы (сгхсг2-1)"', оно допускает трехмостовое представление. В силу теоремы О.Я.Виро [10] и поскольку многообразие Мп является евклидовым при п = 3 и гиперболическим при п > 4 получаем

Следствие 2.3.1 [7*] При п> 3 хегоров род многообразия Фибоначчи Мп равен двум.

В силу этого факта и результатов параграфа 2.1 многообразия Фибоначчи выступают как явные примеры в следующих утверждениях.

Утверждение 2.3.1 [8*] Существуют трехмерные гиперболические многообразия хегорова рода 2 с группой изометрий сколь угодно большого порядка.

Утверждение 2.3.3 [8*] Существуют трехмерные гиперболические многообразия хегорова рода 2 со сколь угодно большим объемом.

Теоремы 2.3.1 и следствие 2.1.3 позволяют установить следующую интересную связь между многообразием Мейерхгофа - Ноймана Л4з и гиперболическим многообразием Фибоначчи М4.

Теорема 2.3.3 [7*] Многообразие Фибоначчи М4 является 2-листным нераз-ветвленным накрытием многообразия Мейерхгофа — Ноймана Л4з

Объем многообразия М3, вычисленный [113] с точностью до Ю-50, приближенно совпал с объемом правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского. Авторами был поставлен вопрос о точном равенстве этих объемов. Там же была высказана гипотеза об арифметичности многообразия Л4з над полем <Ц>(\/—3) (см. об арифметичности [105]). Справедливость этих гипотез установлена в следующей теореме.

Теорема 2.3.4 [7*] Многообразие Мейерхгофа — Ноймана М3 — >У(3, —2; 6, —1) арифметично над полем 0(\/—3), и его объем равен объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского.

В §2.4 изучаются найденные К. Адамсом в [25] три наименьших гиперболических 3-орбифолда с нежесткими каспами; их объемы равны 0.3053., 0.4444. и 0.4579Мы будем называть эти орбифолды орбифолдами Адамса и обозначать через Аг, Л2 и Аз, соответственно. Целью этого параграфа является установление связи между параметрами орбифолдных хирургий на орбифолдах Адамса и параметрами хирургий на накрывающих их некомпактных многообразиях.

Орбифолд А\ известен как орбифолд Пикара, поскольку он является фактор-пространством Н3 по действию группы Пикара Р8Ь(2,Щъ\). Известно, что он 24-листно накрывается многообразием 5'3\ б|, где б| трехкомпонентное зацепление борромеевы кольца. Обозначим через б|(р, коническое многообразие, полученное применением (р, д)-хирургий на всех трех компонентах зацепления Группа сохраняющих ориентацию симметрий зацепления изоморфна симметрической группе 84 порядка 24 (см. [35] или [164]) и может быть реализована ортогональным действием §4 на 3-сфере, оставляющим зацепление инвариантным. Действие §4 на дополнении к зацеплению б| индуцирует действие §4 на д).

Теорема 2.4.1 [12*] Для любых рациональных чисел р и д коническое многообразие 6з(р, д), полученное В^-эквивариантной (р, д)-хирургией на борромеевых кольцах 61, является регулярным §4-накрытием конического многообразия Л\{р — 2д,р + 2д), полученного (р — 2д,р 4- 2д) -хирургией на орбифолде Пикара.

В теоремах 2.4.3 и 2.4.4 аналогичные результаты доказываются для орбифолдов Адамса Л2 и Аз и накрывающих их дополнений к зацеплениям б3 и соответственно. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [12*].

Основным объектом исследования в третьей главе диссертации являются трехмерные гиперэллиптические многообразия. Трехмерное многообразие называется гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией фактор-пространство по действию которой гомеоморфно трехмерной сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической.

В § 3.1 изучаются гиперэллиптические инволюции на трехмерных многообразиях УУ(т, п;р, д). В теоремах 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.3 устанавливается, что многообразия УУ(1,п;1,д), УУ(1,п;2, д) и >У(2,п;2,д) обладают тремя гиперэллиптическими инволюциями, и описываются соответствующие тройки узлов, возникающих как множества ветвления. В теореме 3.1.4, описывается действие группы диэдра В2 на многообразиях УУ(т,щт,п). Результаты этого параграфа опубликованы в [11*].

В §3.2 рассматривается трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности 3-листных неразветвленных накрытий римановых поверхностей рода два [24]. Установленный результат разбивается на два случая, которые рассмотрены в следующих теоремах.

Теорема 3.2.2 [16*] Пусть - трехмерное многообразие хегорова рода два, а ]¥ - его регулярное 3-листное неразветвленное накрытие. Тогда ]¥ является 2-листным разветвленным накрытием 3-многообразия, допускаю'ш,его хегорово сплетение рода один (т. е. накрытием 3-сферы, линзового пространства или Б2 х Б1).

Теорема 3.2.3 [16*] Пусть И^ - трехмерное многообразие хегорова рода два, и У/ - его нерегулярное 3-листное неразветвленное накрытие. Тогда У/ является гиперэллиптическим.

В §3.3 развивается теория построения трехмерных гиперэллиптических многообразий из прямоугольных многогранников Коксетера. Подход к построению таких многообразий основан на обобщении идей из параграфа 1.1 и связан с существованием на многограннике гамильтоновых циклов.

Следующий результат является гиперболическим случаем теоремы, доказанной в [108] для трехмерных геометрий Терстона. Однако, в отличии от [108], приводимое в параграфе 3.3 доказательство конструктивно.

Теорема 3.3.1 [108, 9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а А(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что Р является га-мильтоновым. Тогда существует подгруппа Г<1 Д(Р), |Д(Р) : Г| = 8, действующая без неподвижных точек в И3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

Известно, что не всякий прямоугольный многогранник в И3 является гамильтоно-вым. Для расширения класса рассматриваемых многогранников в данном параграфе вводятся понятия тэта-гамильтоновости и /^-гамильтоновости, естественно обобщающие понятие классической гамильтоновости. Развитие метода доказательства теоремы 3.3.1 позволяет установить следующие свойства.

Теорема 3.3.2 [9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а А(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что многогранник Р тэта-гамильтонов. Тогда существует подгруппа Г < А(Р), | Д(Р) : Г| = 16, действующая без неподвижных точек в Н3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

Следствие 3.3.1 [9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3; а Д(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что многогранник Р является К^-гамильтоновым. Тогда существует подгруппа Г < Д(Р)г |Д(Р) : Г| = 32, действующая без неподвижных точек в Н3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

В §3.4 и §3.5 подход к построению гиперэллиптических трехмерных многообразий развивается в двух направлениях. В §3.4 расширяется класс рассматриваемых коксетеровских многогранников. Основным результатов этого параграфа является следующая

Теорема 3.4.1 [10*] Пусть р - коксетеровский многогранник в §3 и Р - коксе-теровскии многогранник в X3, где X3 = Н3, Е3, §3; §2 хЕ1 или Н2 хЕ1, а 8(р) и Д(Р) - соответствующие им группы отражений. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный скелету р1 многогранника р и все ребра Р1 \ Т имеют вес 2. Тогда в группе Д(Р) существует подгруппа G индекса |Д(Р) : G| = 2|5(р)| без кручения такая, что М3 '= X3/G -гиперэллиптическое многообразие.

В §3.5 описывается метод построения 2-листных разветвленных накрытий пространств L(p, q) и S2 х S1 при которых фундаментальные группы возникающих многообразий являются подгруппами конечного индекса в группах Коксетера. Обозначим через JC(p) взвешенный полный граф на четырех вершинах два несмежных ребра которого имеют веса р, а остальные ребра имеют вес 2.

Теорема 3.5.1 [20*] Пусть Р - многогранник Коксетера в пространстве X3, где X3 = Е3,Н3,§2 х Е^Н2 х Е1, и Д(Р) - группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный 1С(р), и что все ребра из Р1 \Т имеют, вес два. Тогда существует подгруппа без кручений Г < Д(Р) индекса 8р такая, что М3 = Х3/Г является Ь(р, д)-гиперэллиптическим многообразием.

Рассматривая вместо К,(р) двойной тэта-граф 0# с четырьмя вершинами и шестью ребрами (все - веса 2), получаем аналогичный результат для накрытий многообразия Б2 х в1.

Теорема 3.5.2 [20*] Пусть Р - многогранник Коксетера в пространстве X3, где X3 = Е3,Н3,82 х ЕХ,И2 х Е1, и Д(-Р) - группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный графу и что все ребра из Р1 \ Т имеют вес два. Тогда существует подгруппа без кручений Г < Д(Р) индекса 16 такая, что М3 = Х3/Г является в2 х Б1 -гиперэллиптическим многообразием.

В четвертой главе диссертации изучаются многообразия с циклической симметрией, в частности, циклические накрытия 3-сферы, разветвленные над двухмосто-выми узлами.

В §4.1 вводится класс трехмерных обобщенных многообразий Такахаши, обобщающих класс многообразий введенный М. Такахаши в [153]. Для пары целых положительных чисел тип рассмотрим зацепление Сп,т С 53 с 2тп компонентами. Все его компоненты су, где 1 < г < 2п и 1 < ] < т, являются незаузленными окружностями и образуют 2п подсемейств из т незацепленных окружностей су, 1 < ] < т, с общим центром (зацепление £ю,1 изображено на рисунке ниже).

Зацепление обладает вращением порядка п, относительно которого указанные 2п подсемейств окружностей разбиваются на два класса эквивалентности. Рассмотрим многообразие, получаемое хирургией Дена на 53 вдоль зацепления Сп^т с коэффициентами хирургии Рк^/Як^, соответствующими компонентам С2к-\,], и г^/в^, соответствующими компонентам Сг/у, для 1<к<пн1<]<т. Без ограничения общности, мы далее всегда полагаем, что gcd.{pkJ,qk¡j) = 1, gcd(г^в^) = 1 и Рк,],Гк,з > 0. Полученное трехмерное многообразие будем обозначать

ТП1т{рк,]1я.к^гк,]1зк,з) и называть обобщенным многообразием Такахаши (случай тп = 1 дает многообразия Такахаши из [153]).

Теорема 4.1.1 [23*] Фундаментальная группа обобщенного многообразия Та-кахаши Тп>т{рк,з/цкфГк,]1 Зк,з) имеет следующее сбалансированное представление с 2пт порождающими А = {аг^}1<г<2п,1<^<ш и 2пт соотношениями:

71 I и2к-1,з — а2к-2,з а2к-2,з+1 и2к-2,т и2к,т а2к^+1 а2к,3 1 п~гк,з <1к+и Пк+и-1 Чк+1,1 -Як, 1 п~1к,з .

2к~ 2к+1,з 2к+1^—1 а2к+1,1 а2к-1,1 а2к-1^-1 а2к-1Л>

I <к <п,1 < ] <т).

Если параметры хирургии являются п-периодическим, т.е. Рк,з = Рз, Як,з — Чз, гк,з — г5 и вк,з = я?, получаемое многообразие Тп,т{т>з1 с1з-> гз!8з) называется обобщенным периодическим (п-периодическим) многообразием Такахаши.

Следствие 4.1.1 [23*] Фундаментальная группа обобщенного периодического многообразия Такахаши в¿) имеет следующее представление: (п \ ~1 ■■ — л5-' л5™ л —~&771 п~8з \Щ,з11<1<2п,1<з<т | 2к—1,з — а2к-2,з. ' " а2к-2,т а2к,т а2к,р п~гз п9з . „Я 1 п-<11 . п~Чз . и2к,] ~ 2к+1,з 2к+1,1 а2к~1,1 и2к-1^'

1<к<п,1<э<т).

Теорема 4.1.3 [23*] Обобщенное периодическое многообразие Такахаши Тп,т{Рз/Я.з\гз/эз) является циклическим п-листным накрытием связной суммы 2т линзовых пространств • ■ ■ #Ь(рт, дт)фЬ(гт, вт), разветвленных над некоторым узлом, не зависящим от п.

Следующий результат показывает, что семейство обобщенных периодических многообразий Такахаши содержит класс всех циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов. Ниже мы используем обозначения Конвея для двухмостовых узлов (см. [48]).

Теорема 4.1.4 [23*] Обобщенное периодическое многообразие Такахаши /Я.311 /^з) является циклическим п-листным разветвленным накрытием двух-мостового узла, соответствующего параметрам Конвея \-2qi,2в1,., — 2дт, 2вт].

Из теоремы 4.1.4 следует, что обобщенное периодическое многообразие Такахаши гомеоморфно многообразию Минкуса Мп(а,Ь) [117], многообразию Линса-Мандела Б(п, а, Ь, 1) [101, 122] и многообразию Данвуди М((а — 1)/2,0,1,6/2,п, — ^о-) [55, 66], где а/Ь определяется по правилу а/Ь = —2^ +

Параграф 4.1 завершается описанием алгоритма нахождения фундаментальных групп многообразий, являющихся циклическими разветвленными накрытиями двухмостовых узлов, основанного на полученном выше представлении этих многообразий.

В §4.2 изучаются изометрии циклических накрытий 3-сферы, разветвленных над гиперболическими двухмостовыми узлами. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 4.2.6 [24*] Пусть п > 5, К - гиперболический деухмостовый узел, и М = Мп(К) - (гиперболическое) циклическое п-листное разветвленное накрытие S3, разветвленное над К. Обозначим через vn объем наименьшего ориентируемого гиперболического 3-орбифолда с кручением порядка п. Если ¡vol (S3 \ К) л то Мп(К) не имеет скрытых симметрии.

Использование этой оценки иллюстрируется следующими примерами.

Следствие 4.2.4 Пусть К - гиперболический деухмостовый узел, задаваемый рациональным параметромр/q = 2k±-^. Если п> 6, то Мп(К) не имеет скрытых симметрий.

Следствие 4.2.5 Пусть К - деухмостовый узел, задаваемый рациональным параметром p/q = 2k ± ., ^ j —. Если п > 9; то Мп(К) не имеет скрытых сим

2m±l/(2a) метрий.

В параграфе 4.3, рассматриваются хирургии на зацеплениях, соответствующих Платоновым телам. А именно, пусть М(Р) - медианный граф для плоского графа Р. Альтернированное зацепление С(Р) для которого М(Р) является проекцией будем называть медианным зацеплением, соответствующим графу Р. В частности, если Р является скелетом тетраэдра, то соответствующим ему медианным зацеплениям являются борромеевы кольца б3. Группа симметрий этого зацепления изоморфна §4, а фактор-пространством по действию этой группы на S3 \ б3 является орбифолд Пика-ра M3/PSL(2, Щг\). Связь между параметрами §4-эквивариантных хирургии на 6| и параметрами орбифолдных хирургий на орбифолде Пикара была установлена в §2.4. В данном параграфе рассматривается 4-компонентное октаэдральное зацепление £4 являющееся медианным для скелета октаэдра. Его группа симметрий изоморфна S4 х Z2, а фактор-пространством по действию этой группы на S3 \ £4 является орбифолд Бианки = M3/PGL(2,02), где 02 - кольцо целых алгебраического поля Q(y^2). Связь между параметрами 84-эквивариантных хирургий на £4 и параметрами орбифолдых хирургий на £>4 установливается в следующей теореме.

Теорема 4.3.1 [28*] Многообразие M.(p,q), полученное §4 х Z2-3Keueapuanm-ной хирургией на октаэдральном зацеплении £4, является регулярным (§4 х Ъ2)-накрытием орбифолда В4(р — 3q,p + 3q), полученного (р — 3q,p + 3q)-хирургией на каспе орбифолда Бианки В4 — Ш3/PGL(2, 02).

Возникающие в теореме 4.3.1 многообразия являются интересными примерами максимально-симметричных многообразий.

Следствие 4.3.1 [28*] При целых д многообразие М.(± 1 — Зд, д), полученное эк-вивариантной хирургией на октаэдральном зацеплении С4, является максимально симметричным (§4 х Ъ?) -многообразием.

В §4.4 рассматриваются геометрические вопросы, связанные с группами с циклическим представлением.

Как было отмечено в параграфе 1.2, группы Фибоначчи

-Р(2,т) = (хх,.,хт I ХгХг+1 = х^2, г = 1,.,т) с четным числом порождающих обладают интересными геометрическими свойствами. А именно [72], при т — 2п, п > 4 они являются фундаментальными группами трехмерных гиперболических многообразий, которые мы называли многообразиями Фибоначчи. Естественно возникает вопрос о том, обладают ли аналогичным свойством группы Фибоначчи с нечетным числом порождающих и обобщения групп Фибоначчи? Как показал К. Маклачлан [103], если т нечетно, то группа ^(2,т) не может быть группой гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.

В данном параграфе рассматриваются два введенных в [40] семейства групп, естественно обобщающих группы Фибоначчи. Группы первого семейства, Р(г,т,к), г > 2, т > 3, к > 1, называемые обобщенными группами Фибоначчи, имеют представление

771, к) = (х\, . . . , Хт | ХгХ{+1 • • • = I = 1, . . . , т), где индексы берутся по модулю т. Группы второго семейства, Н(г,т,к), г > 2, т > 3 , к > 1, имеют представление

Н(г, т, к) — (х\, . . . , Хт | £¿£¿+1 • • ■ = Х{+Т • ■ • Хг+г-1+к, % = 1, . . . , Ш), где индексы берутся по модулю т.

Развитие метода из [103] позволяет установить следующий результат.

Теорема 4.4.1 [26*] Пусть г четно, а т нечетно и взаимно просто с г + 2к — 1. Тогда обобщенная группа Фибоначчи ^(г, т, к) не реализуется как группа гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.

В некоторых случаях удается установить, что группы из рассматриваемых семейств являются группами негиперболических трехмерных многообразий.

Утверждение 4.4.2 [26*] При к > 1 группа Р(2, 2к + 1, к) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия, получаемого как циклическое (2к + 1)-листное накрытие трехмерной сферы, разветвленное над узлом трилистник.

Утверждение 4.4.3 [26*] При к >2 группа Н(к, 2к — 1, к — 1) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия которое может быть получено как циклическое (2к — 1)-листное накрытие трехмерной сферы разветвленное над торическим (2к — 1,2)-узлом.

1. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников A.C. Геометрия пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М. 1988. С. 5-146.

2. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 81. № 1. С. 445-474.

3. Бердон А. Геометрия дискретных групп // М. Наука, 1986.

4. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1986.

5. Браун К.С. Когомологии групп // Наука, М. 1987.

6. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований // Наука, М. 1980.

7. Веснин А.Ю., Рассказов A.A. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 14-29.

8. Винберг Э.Б. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности // Тр. Моск. мат. об-ва, 1984. Т. 84. С. 68-102.

9. Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., 1988. С. 147259.

10. Виро О.Я. Зацепления, двулистные разветвленные накрытия и косы // Матем. сборник. 1972. Т. 82. № 2. С. 216-228.

11. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны // М.: Наука, 1982.

12. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию // М.: Мир, 1985.

13. Груневальд Ф., Меннике Й., Эльстрод Ю. Группы, действующие на гиперболическом пространстве // М.: МЦНМО, 2003.14 15 [16 [171822 2324