Трехмерные гиперболические орбифолды и дискретные группы изометрий пространства Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

?£-'£Ж7ЕРСТБ0 ВЫСШЕГО И СРгДЦЕРО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАЛИ0

р С 5 С ?

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЕНАМЕНЛ Г0СУДЛН^ТБ?Г1'.ЩЙ УШВ'ТСИТЕГ им. ЛЬ НИЗКОГО КОМСОМОЛА

1Ь. гфптак рукопит;

КШЕККО Елена Яхошшнна

УДК 512.543.144514.132

ТРЕХМЕРНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧГУ;М!й ОИЗШОЛДН II ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ К30М£ГГР1!И ПРОСТРАНСТВА ДОРАЧЕБСКОГО

01.01.01 « ттем&теческкЯ еюязд

А з ? о р о гр с р а диссертации на, сс"с;сан::а учгнсД сгепо.чл кандидата фязшгмтегд'птцесжи

Новосибирск - 1989

Работа выполнена на кафедре теории функций Нозоскбирского г о сударе т ь е ¡ и ю г о унлв-зрситета ,:м. Ленинского комсомола

Научные руководители - доктор фи ?лко-гатемагкческкх наук,

профессор [Белинский II.П. |

доктор фиэико-иатематичрских наук, прсг-'ссор Крушхаль С.Л.

Официальные оппоненты: доктор фкзико-ксате&шических наук

Аграновский Ы.Л.

доктор физико-математических наук Марченко Б.К.

ггдр;ео учроздмше

Институт математики АН УССР

Защита состоимся

1989 г. в

vacos na заседания. специализированного совета К 002.23,02 по щпоуядслк» ученой сгепенл кандидата физико-натематкческих каук и Институте матимамки СО АН СССР по адресу:

630090, г.Ногосибирск, 90, .Университетский проспект, 4.

С диссертацией моздо ознакомиться в библиотеке Института ¡^тематики СО All СССР.

Автореферат разослан

1989 г.

Учелы!! секретарь «/•пациалмзиропанного совета

¡пшдкцат фиэико-;.а,т8иатич8Ски>: наук, доцент .

В.й,Иванов

ОБЩАЯ ХЛРШЕРКСТИКА РАБОТЫ

Актуальность те?/ы. Теория дискретных групп преобразований возникла в работа- З.'СлеРна и А.Пуанкаре е конце прошлого века б связи с изуч'чием многозначных аналитических функций и решений обыкновенные дифференциальных уравнений. Исследуя -_группу преобразований расширенной комплексной плоскости С , порожденную отражениями относительно окружностей и пря.'атх, - А.Пуанкаре обнаружил, что сна допускает естественное продол геенне в верхнее полупространство

///^/^О/г^, * >0}

и действует на нем как полная группа гиперболически изомет-рий относительно введенной им метрики (/■/г/"*г)/£.

Позже была установлена сиязь кехру дискретными группами изо-метрий пространства Лобачевского и трехмерными мноп. образия-ки. Однако глубоких продкияешй в этой области в то время не было. Современная теория дискретных групп преобразований начинается в шестидесятых годах нашего века с работ Л.Альфорса и Л.Верса, в которых выявлена тесная связь отой теории с теорией квазиконформных отображений..Значительный вклад э теорию внесли В.Абиков, Л.Гринберг, И.Кра, А.Марден, Б.Маски?, Г.Мостов, С.Л.Крушкаль, Э.Б.Винберг, Н.А.ГусевскиЯ, А.Д.Мед-ных и другие математики. В работах этих авторов применялись аналитические, топологические и геометрические методы.

Эта область соверпекно преобразилась в последнее десятилетие благодаря работам В.Тёрстока, в которых проявилась особая роль методов трехмерной гиперболической геометрии. Исследуя топология трехмерных многообразий, он обнаружил, что, в определенном смысле, почти всякое 3-шогообразие допускает введение полной мэтр"ки постоянной отрицательной кривизны и, следовательно, может быть представлено с помощью дискретной группы пзомстрий трехмерного пространства Лоба-чевскогб. Тем самым он показал, что, по «ущестзу, .теория трехмерных многообразий является теорией дискретных групп гиперболического пространства.

Таким образом, совр генная теория дискретных групп пре-

образований оказалась на стыке нескольких направлений - топологии, геометрии, теории функций и теории групп. отим объясняется интерес к ней математиков различных специальностей.

Цель рао'отн. Диссертационная работа посвящена изучения дискретнь' групп иземетрий трехмерного пространства Лобачевского, а также орби£олдов, унийоряизируемьк отими рулпами.

Методика исследования. Ра^ .>та осиоЕана на применении методой теории дискретных групп и гиперболической геометрии.

Научная новизна работы. Eco основные результаты диссертации являются новыми. В ней: I) получены критерии дискретности не :кс.1ьк.4х классов двупорожденных групп изометрий пространства Лобачевского; 2} найден геометрический смысл коммутатора двух элементов, действующих в пространстве H;'ä и не яёлк.'оцихся строго локсодромическими; 3) доказано, что минимальное число пзройздакчих некоторых ланнероБСКих тетраэдральных групп равно дкум; 4) построены гиперболические ор-Скфоядн, унифордагируемые двупороадемкми клейновыми группа-первого л второго рода; 5) дан ответ на вопрос Б.Маслята о дискретнос/и одного класса двупорожденньос подгрупп

РМ. и, с).

Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы для дальнейшего развития анализа, теории дискретных груг'п и геометрии трехмерных многообразии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзном семинаре молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (г.Ташкент, 198Ь), на Всесоюзной конференции по геометрии "ь целом" Сг.Новосибирск, 1987), на на^но-исследовательских семинарах по теории функций и математическому анализу Института математики СО АН СССР, а т&кже семинарах кзфздр теории функций и мат е мат кч с с к о г о анализа Новосибирского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в р&Сотах £1] - [43.

Объем тзаботы,. Диссертация излоаена на 112 страницах, состоит из В'здения, трех глав и списка литературу из 47 наименований, а тгж&е сод. р;1ит 45 рисуш;ов.

ОЬЗОР СОДЕРЖАНИЯ РЛЬОТЬ

Ка пути изучения дискретных групп естественным образом встает вопрос их классификации. Здесь возникают део основные проблемы. Первая: кайти необходимые и достаточнее условия дискретности, группы изиметрий пространства Лобачевского. Вторая: классифицировать дискретные группу. К согллен'.п, с этой степени общности указанные проблемы вря;!, ли могут быть решены. Поэтому естественной постановкой задач с данной области является нахождение классов групп, в.которых эти задачи допускают достаточно полное решение.

К настоящему моменту наиболее изучению™ являются группы, порожденные конечным числом отражений относительно граней некоторого многогранника. Пренде всего, здесь следует отметить работы Э.Б.Винберга и Е.И.Андреева. Значительный вклад в классификацию дискретных групп внес Б.Масх: . Им, п частности, классифицированы все конечно пе'ро'кдгннъте функциональные клейновы группы.

Одной из важных задач является классификация всех дву-порожденнкх дискретных групп ¡геометрий пространства И1\ Неравенство Йоргенсена дает необходимое условие дискретности. Найдены необходимые и достаточные условия дискретност* фук-совых групп, т.е. групп с инвариантным круго:/.. Они полнены Кнаппом, Пуркицккм, Розенбергером и Керн-Изборнером в основном алгебраическим методом. Другой, более геометрически?, подход предложил П.Мательски. Его идеи оказались полезными для изучения общего случая двупорояденннх групп изоыетрий трехмерного пространства Лобачевского.

В диссертации продолжено исследование таких групп.

Глава I. Дискретные группы и орби&олпы. Эта глава носит вспомогательный характер. В § I приведены основные определения и некоторые известные результаты, касающиеся геометрии пространства Лобачевского и группы его изоматр::!1.. В § 2 сформул-рована теорема Мательеки и доказаны аналогичные теоремы для групп изометрий двумерной сферы и евклидовой плоскости, необходимые нам в дальнейшем. В § 3 даются некоторые сведения из теории орбк"элдоз, изложенной з лекциях В.Тёрс-тона.

Центральной в диссертации является Глава П. Критерии дискрет..ости двупорояденннх подгрупп Р£'1 (¿,£). Эта пиша включает в себя параграфы § 4 - 5 8. Переедем к изложении содержащихся в ней результатов.

Рассмотрим групп;/ Мх , состоящую из сохраняющих ориентацию йзометрий прос^акства Лобачевского • Хорошо известно, чго изоморфна С) . Все нетривиальные элементы этой группы делятся на три типа: эллчпгическке, параболические и локсодромические. Эллиптический элемент определяется своей осью (множеством неподвижных ^ шк в///"1), углом и исправлением вращения Еокруг этой оси. Если эллиптический элемент порядка ¿ъ имеет угол вращения , то этот элемент называется примитивным. Параболический элемент имеет единственную неподвижную точку на абсолюте £ = Н(й . Локсодромические элемент делятся на гиперболические, представляющие собой сдвиг в пространстве /V/5 вдоль некоторой оси (инвариантной прямой"), к строго локсодромические, являющиеся композицией эллиптического и гиперболического элементов с ссщей осью.

Две прямые в пространстве И/2 могут либо лекать в одной плоскости (и тогда пересекаться, быть параллельными или расходиться), либо быть скрещивающимися. В последнем случае они кмевт общий перпендикуляр. Углом мевду скрещивающимися прямыми называется двугранный угол менду плоскостями, проходящими через этот общий перпендикуляр и каждую из прямых в отдельности..

Сформулируем основные теоремы второй главы. Первая цифра в нумерации теорем означает номер параграфа, в котором она приведена. Например, следующая теорема находится в § Л.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть - примитивные эллиптичес-

кие элементы порядков н. и лх соответственно ( >г. /^г ) со скрещивающимися взаимно перпендикулярными осями, и пусть С = А.. 33 - главнее значение квадратного корня из коммутатора 1 А, & 3 - Л & .В этом случае группа О = « < Ар <Л>, порожденная элементами А и Вдискретна тогда п только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

I) С - ~»шерболич»ский, параболический или приштивнкЗ оллшггическяй эхемеит;

2) С= 7)\ где J) примитивный эллиптический элемент порядка р £/> - нечетное) и либо

а) /¿ = 2, /)=«->?, либо

б) п = ж =»р > 7.

Пусть А и S - элементы группы , причем А ул'.сет Роено дЕе неподвиэтме точки в С , a S отсбраягает одну лэ этих точек на другою. БЛ'аскит изучал следующий вопрос; каким дополнительна. условиям должны удовлетворять элемента А и В, чтобы группа Ст = < Af & > била дискретной? Им получены следующие результаты:

1} если G дискретна, то либо ß - эллиптический элемент псрядка 2, либо А - эллиптический элемент порядка 2, 3» 4 или* 6 (необходимое условие);

2} если В - оллиптический элемент порядка 2, то G-дискретна. тогда и только тогда, когда H - локсодромический или эллиптический элемент конечного псргдка;

3) если Д - эллиптический элемент порядка 2, 3, 4 ил* 6, a S - параболический, гиперболический или примитивный оллиптический элемент, то группа Ст дискретна.

Таким образом, оставался неизвестным отЕет на вопрос, будет ли G- дискретной, если А - эллиптический элемент порядка 2, 3, 4 или б, a S - локсодромический или непри-;даиБНый оллиптический.

В теореме 4.3 доказано, что если S - неприиктивный эллиптический элемент, то груша (г не дчекретна.

ТЕОРЕМА 5.2. Пусть А - примитивный оллиптический уле-мент порядна , S - гиперболический элемент, причем оси элементов А и ß - расходящиеся прямые. Обозначим С =• = В J . В этом случае группа C-~</l,ß> дискретна тогда и только тогда, когда выполнено одно из с;:едущюс условий:

1) С - гиперболический, параболический или примитивный ¡эллиптический элемент;

2) п - 2, С - непришиивный оллиптический элемент, .< Cß t С > - фуксопа группа;

^ Uaekit В. Зова apecial 2-geag/;atoi' Klelnian groups. " Stony Brook, 1938. - (Prep^nb /8be' i Univ. of He* York).

и) С= О", где I) - примитивный эллиптический элемент /:;;:а р и при это;/ реализуется одна из возможностей: а) ъ-3, 'л СЬА (£>~1/))3 - гилерболичес-

параболический или примитивный эллиптический элемент :эряд-а 1 3; _

б; '/г > о, р - нечетное и К» С&А 2) А - гиперболический, параболический или примитивный эллиптический злемент порядка

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть группа О- - < А., В > не элементарна, А - примитивный эллиптический элемент порядка п. , 3 - параболический, причем плоскость, содержащая все неподвижные точки элементов А и Ь , является инвариантной для Б. Тогда длч дискретности группы й- необходимо и достаточно, чтобы У£А, £1 был гиперболическим, параболическим или гримитивным эллиптическим элементом.

Теоремы 6.4 .. 6.6 устанавливают аналогичные утверждения в случаях, когда В - параболический, а А - параболический или гиперболический элемент.

ТЕОРИИ 7.2. Пусть А и О - гиперболические элементы со скрещивающимися взаимно перпендикулярными осями. Если при этом -у/Га, 51 - гиперболический, параболический или примитивный эллиптический элемент, то группа <•' А, &> дискретна.

Метод доказательства приведенных теорем основан на следующем. Для группы О- строится Н( :оторая группа отражений Сг , в которой группа С- является подгруппой конечного индекса, т.е. такая, что группы <х и С- дискретны или не дискретны одновременно. Дискретность группы & доказывается построением фундамен-ального многогранника, удовлетворяющего условиям теоремы Пуанкаре. Чтобы доказать недискретность 6-, в ней либо отыскивается недискретная подгруппа, либо проверяется- что некоторый компактный многогранник в И!" пересекается с бесконечным числом плоскостей отражений группы .

Следующие теоремы связывают пространственное расположение осс й элементов А и & , какдпй из которых либо эллиптический, либо гиперболический, с типом их коммутатора.

ТЕОРЕМА 4.1. Оси эллиптических элементов А и 3 скрещивается, но не взаимно перпендикулярны, тогда и только тогда, ~;<огда [А, 33 - строго локсодромический элемент.

Теорем,т 5.1 и 7.1 ус.,шавлизакт аналогичные утзергдэнпя з случаях, когда один из элементов эллиптический, а другой -гиперболический, .чли когда оба элемента гиперболические.

Сели А не является строго локсодромическим, а 3 - параболический элемент, то тип коммутатора Ц А . 3 1 также имеет определенный геометрический смысл. Это является содержанием теорем б Л, б.3 и 6.5.

Указанные теоро..,и и несложные дополнительные сообраге-2-".т показывают, что клг.сс групп, порожденных элемента:«! А и В ил такими, что эти элементы и их коммутатор 1Ау С*]

не зляптся строго локсодромическими, включает з себя все дсупоро:хдеиные фуксоЕЫ группы. Необходимее и достаточные условия дискретности почти всех остальных неэлементарных групп. у.з этого класса даются в теоремах 4.2, 5.2, 6.2, 5.4, 6.6 и 7.2. Остаются не исследованными критерии дискретности группы С? ~ < йт & > в двух случаях:

1) А - примитивный эллиптический элемент порядка п. >2. В - гиперболический элемент, причем их оси пересекаются, но не Езаимно перпе.адикулярны; ____

2) А и 3 - гиперболические элементы, а <'1, & .7 -непркмитишый эллиптический элемент.

Главу завершает § 8, п котором откачено, что ранг (минимальное число перо'кдащих) некоторых ланнеровских тетраэдральных групп равен двум.

Глага Ш. Себя >;олды, униформпзируемые дзупоротаенк1.?.с1 кле йн о в1.!?/и гр уппп т .

п. -мерный орбифолд - это топологическое пространство, ¿'охально гокеомор'|ное фактсрпространетву или (если ербифолд с краем) по действию конечной группы.

5 9 содержит предварительные сведения из тесрии .члейно-гых групп.

Дискретная группа &<МЛ называется клейновой. Обозначим (£-) - множество точек в С, в которых группа Содействует разрывно. 5сли ф , то С- называете: :?лейновой группой второго рода, в противном случае - клейновой группой первого рода. ____

Рассмотрим действие группы & в ш^нгис . ; ЗЛИ & - клейкова, то она розрыыа .. казной точке И! &£. ^(С).

югда является трех-

• орбифолдом. Б этом случае говорят, что Сг униформи-.'р/ет орбкфалд . Внутренность орбифолда,

юрболический орбифолд, метрика на котором естественным сбразо.. задается с псыощьа метрики пространства Н!".

В § 10 описаны гиперболические орбифодцы Сг), уни-форыизируемые двупороаденными клейновыми группами первого рода, полученными во второй главе. Такие орбифолди не имеют края и могут быть компактными и некомпактными.

В заключительном § II приведены орбкфолды (?(&), уни-формизируемые дьупорохденныш клейиовыми группами Сг второго рода. В этом случае £2(й)/Сг не пусто и яЕЛяется краем орбифолда - О (Сг) . Такие орбкфолды также могут быть кои-пачтньйш или некомпактнкми, и их внутренность - гиперболический орбифолд.

Автор глубоко признателен П.П.Белинскому{ и С,Л,Круш-кглп за научное руководство и всесторонний поддержку, а т к-ка Н.А.Гусевсхоцу и А.Д.Медных за неоднократные и плодотворные обсуждения результатов.

РАБОШ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Клименко Е.Я. О дискретных группах в трехмерном пространстве Лобачевского, порожденных -вуыя вращениями // Сиб. матем. курн. - 1989. - Т.ЗО, № I. - С. 123-128.

2. Клименко Е.Я. Сб одном классе дискретных групп в пространстве Лобачевского // Всесоюзный семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа" (16-23 сент. 1985 г.); Тез. докл. - Ташкент, ТадЕу, 1985. - С. 54-55.

3. Клименко Е.й. Об одном классе двупорожденных подгрупп С^, С) // Бюллетень Сиб. матем. общества. - Ново сибир^, 1989^ - С. 68.

4. Клименко Е.Я. 0 дискретности подгрупп Р$1* С) // Всесоюзной семинар "Актуальные вопросы ком-лексного анализа" (5-10 июня 1989 г.): Тез. докл. - Ташкент, ТашГУ, 1989. -

С. 55.