Обобщенные тетраэдральные группы и группы, униформизирующие гиперболические орбифолды тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

Введение

0 Предварительные сведения

0.1 Изометрии гиперболического пространства

0.2 Многогранники.

1 Обобщенные тетраэдральные группы

1 Предварительные результаты

1.1 Обобщенные треугольные и тетраэдральные группы.

1.2 Графы групп.

1.3 Теорема о правописании и представления в Р8Ц2,С)

1.4 Обобщенные тетраэдральные группы как треугольники групп

2 Несферические треугольники групп

2.1 Обзор известных результатов

2.2 Свободные подгруппы в группах с тремя порождающими.

2.3 Случаи Е1, Е2 и ЕЗ.

2.4 Случаи Е4 и Е

2.5 Случай Еб

2.6 Случай Е

3 Сферические треугольники групп

3.1 Введение.

3.2 Орбифолды и геометрические структуры.

II Двупорожденные клейновы группы k 4 Предварительные результаты

4.1 Введение

4.2 Двупорожденные группы с вещественными параметрами.

4.3 Геометрические инструменты

5 Доказательство теоремы 4.

5.1 Основная конструкция

5.2 т — дробное, 1 /т + 2/тг <1.

5.3 т — целое, 1 /га + 2/n < 1, и I — дробное, I > 1.

5.4 m G {оо,оо} и I — дробное, I > 1.

Диссертация состоит из двух независимых частей. Первая часть имеет дело с обобщенными тетраэдральными группами, т.е. группами, допускающими следующее копредставление: у,г\х1 = ут = гп = \¥1 (х, у)' = И'2(у, г)« = х)г = 1), где каждое \¥{(а,Ь) — циклически приведенное слово, включающее как а, так и 6, и все степени являются целыми числами, большими 1.

Эти группы можно реализовать треугольниками групп, чьи вершинные группы являются обобщенными треугольными группами, т.е. группами с копредставлением вида х1у\хр = уо = \¥(х,у)г = 1), где IV(х, у) — циклически приведенное слово в свободном произведении {х | хр = 1) * (у | Уя = и р, <7, г — целые числа, большие 1.

Изучение обобщенных треугольных групп имеет богатую историю. Оказывается, что такие группы могут быть фундаментальными группами геометрических орбифолдов. Первые такие орбифолды были построены Винбергом, Меннике и Хеллингом в статье [УМН]. В [Л198] Джон с и Рид доказали, что орбифолд с носителем §3 и сингулярным множеством двумостовое зацепление (или узел) с перемычкой имеет обобщенную треугольную фундаментальную группу.

Другое интересное поле исследования обобщенных треугольных групп — их линейные свойства. В 1988 году Розенбергер выдвинул гипотезу о том, что обобщенная треугольная группа удовлетворяет альтернативе Титса. Это было доказано для многих групп, кроме некоторых особых случаев с г = 2 (см. [№95]).

Нас интересует альтернатива Титса для обобщенных тетраэдральных групп. В [РЬШ1] Файн, Левин, Роэл и Розенбергер привели условия, при которых обобщенная тетраэдральная группа имеет существенное представление в РЗЬ(2, С), и условия, при которых вершинные группы вкладываются в эту группу.

В [EHRT] Эджвет, Хауи, Розенбергер и Томас показали, что конечная обобщенная тетраэдральная группа, для которой хотя бы одно из чисел р, q, г больше 3, изоморфна обыкновенной тетраэдральной группе. В [RST] были классифицированы все конечные обобщенные тетраэдральные группы с кубическим соотношением, а в [RS01] Розенбергер и Шеер классифицировали конечные обобщенные тетраэдральные группы с точностью до пяти возможных исключений, которые они также перечисляют. Эти результаты покрывают значительную часть обобщенных тетраэдральных групп, но не дают полной картины происходящего.

Цель части I — доказать альтернативу Титса для обобщенных тетраэдральных групп, реализованных несферическими треугольниками групп.

В главе 1 мы приводим предварительные сведения, которые понадобятся нам в первой части диссертации, а также доказываем основные результаты для графов групп, которые будут использованы в главе 2. Мы доказываем, что амальгамированное произведение графа отрицательно изогнутого треугольника групп содержит неабелеву свободную подгруппу. В частности, обобщенная тетраэдральная группа, реализованная отрицательно изогнутым треугольником групп, содержит неабелеву свободную подгруппу.

Мы также улучшаем теорему о правописании, полученную в [EHRT]. Мы даем наулучшую возможную нижнюю границу длины соотношения в обобщенной треугольной группе. Это позволяет нам точно определить соответствующие вершинные группы в евклидовых и сферических треугольниках групп.

Глава 2 представляет из себя доказательство альтернативы Титса для обобщенных тетраэдральных групп, реализованных евклидовыми треугольниками групп. Мы приводим список копредставлений, которые может иметь группа евклидова типа, и рассматриваем каждое копредставление отдельно.

В главе 3 мы обсуждаем обобщенные тетраэдральные группы, реализованные сферическими треугольниками групп. В общем случае вершинные группы такого треугольника не вкладываются в его амальгамированное произведение, и обычные методы перестают работать в такой ситуации.

Мы приводим примеры гиперболических орбифолдов, чья фундаментальная группа является обобщенной тетраэдральной группой сферического типа. Гиперболическая структура орбифолда обеспечивает существование представления его фундаментальной группы в PSL(2,C) с неэлементарным образом. А значит, такая группа содержит неабелеву свободную подгруппу.

Вторая часть диссертации имеет дело с двупорожденными клейновыми группами (дискретными подгруппами PSL(2,C) = Isom+(H3)). Вопросы дискретности имеют сильную геометрическую мотивацию.

В 1976 году Терстон сформулировал свою знаменитую гипотезу о геометризации, которая говорит, что всякое трехмерное многообразие имеет естественное разбиение на геометрические куски сферами и торами так, что каждый кусок допускает в точности одну из следующий модельных геометрий: Н3, Е3, §3, Н2 х R, §2 х R, SL^R, Nil and Sol. Из справедливости гипотезы Терстона немедленно следует справедливость гипотезы Пуанкаре. Недавно появились новые результаты Перельмана (2002 - 2003 гг.) по поводу доказательства гипотезы о геометризации. Работа Перельмана оценивается как хорошо продуманная, и ожидается, что это и есть верное доказательство.

Семь из восьми модельных геометрий изучены достаточно хорошо в том смысле, что описана структура пространств с такими геометриями. Гиперболические многообразия и орбифолды образуют самый большой, но наименее изученный класс пространств.

Мы определяем гиперболический орбифолд как фактор-пространство Н3/Г, где Г — дискретная подгруппа группы Isom+(H3). При таком определении проблема классификации гиперболических орбифолдов эквивалентна проблеме классификации дискретных подгрупп PSL(2, С).

Сосредоточим внимание на группах, порожденных двумя элементами. Задача заключается в том, чтобы определить, будут шш нет два элемента из PSL(2,C), или Isom+(IHI3), порождать неэлементарную дискретную. Эта проблема рассматривалась многими авторами начиная с работ Кнаппа [Кпб8]; но несмотря на это, задача все еще далека от полного решения.

Наибольший успех был достигнут в изучении фуксовых групп, т.е. дискретных подгрупп группы PSL(2,R) = Isom+(H2). Полное решение здесь было дано в алгебраической форме Розенбергером [Ros86], а в геометрической — Маскитом и Гилман [GiM91, Gil95|. Клименко и Сакума [KS98] получили геометрическое решение в более общем случае, для подгрупп группы Isom(H2), содержащих обращающие ориентацию элементы.

Таким образом, проблема нахождения критериев дискретности полностью решена для элементарных групп и двупорожденных подгрупп Р8Ь(2,С) с инвариантной гиперболической плоскостью (такие группы сопряжены подгруппам группы ЬогЦН2)). Что касается неэлементарных двупорожденных подгрупп РЭЬ(2, С) без инвариантной плоскости, проблема все еще открыта.

Хорошо известно, что в качестве параметров для группы Г = {/, д) можно взять тройку где /?(/) = Ьт2/ - 4, 7(/, д) = 1г[/, д] - 2. Далее, если 7 ф 0, то Г однозначно определяется параметрами с точностью до сопряжения [СМ94-1].

В статье [СвМ] Геринг, Гилман и Мартин предложили исследовать класс двупорожденных групп с вещественными параметрами:

КР = {Г = (/,£> I ¡,д е Р8Ь(2,С); /?,/?', 7 е Е}.

Группы из этого класса мы называем ЛР группами.

Вещественность параметров позволяет нам разбить класс ИТ3 групп на конечное число подклассов в соответствии с типом порождающих и взаимным расположением их осей или инвариантных плоскостей. Большинство этих подклассов были изучены Клименко в работах [К189-1, К189-2, К190, К101].

Основным результатом части II является теорема 4.2, которая дает критерий дискретности 7IV групп, порожденных гиперболическим элементом и эллиптическим элементом нечетного порядка с пересекающимися осями (случай эллиптического порождающего четного порядка был рассмотрен в [КК02]). Этот результат завершает описание всех дискретных ИТ групп с не-7г-локсодромическими порождающими.

В главе 4 приведены основные геометрические сведения, необходимые для доказательства основной теоремы, которое составляет главу 5.

Глава 6 содержит три приложения данного критерия. Интересным следствием теоремы 4.2 является то, что группа Г353 гиперболического орбифолда минимального известного объема имеет вещественные параметры. Мы показываем, что существует такая система порождающих (/,д) для Г353, что (/?(/),/?(#), 7(/5<?)) € К3. Мы приводим список всех параметров (/?,/?', 7), которые соответствуют дискретным 7£Р группам, описанным в теореме 4.2. Мы также описываем все орбифолды, униформизируемые такими дискретными группами.

Глава О

Предварительные сведения

0.1 Изометрии гиперболического пространства

Группа мебиусовых преобразований расширенной комплексной плоскости С = С и {оо} изоморфна группе Р8Ь(2,С) = 8Ь(2, С)/{±/}. Продолжение Пуанкаре дает действие этой группы (как группы всех сохраняющих ориентацию изометрий) на трехмерном гиперболическом пространстве

И3 = {(*,*) \ г ее, г > 0} с метрикой Пуанкаре

2 + <№

Существует несколько эквивалентных определений типов элементов из РЗЬ(2, С). Все их мы будем использовать в дальнейшем.

Классификация элементов группы Р8Ь(2, С) Элемент / б РЭЬ(2, С) называется

• эллиптическим, если tv2f 6 [0,4),

• параболическим, если йг2/ = 4,

• гиперболическим, если tr2f € (4, +оо),

• строго локсодромическим, если $ [0,+оо).

Среди строго локсодромических элементов выделяют п-локсодромические с б (-00,0).

Геометрический смысл элементов Р8Ь(2, С)

• Эллиптический элемент /, действующий на Н3, имеет фиксированную точку в Н3. В этом случае / фиксирует гиперболическую прямую, которая называется осью /. Элемент / действует как вращение вокруг этой оси.

• Параболический элемент / фиксирует только одну точку в ¿Ш3 = Си {оо}. Самый простой способ представить действие параболического элемента — взять оо в качестве его фиксированной точки. Тогда в модели верхнего полупространства / действует как евклидов перенос, параллельный С.

• Локсодромический или гиперболический элемент / фиксирует две точки и и V в дН3. Прямая с концами вмиг» инвариантна относительно действия / и называется его осью. Если / гиперболический, то он действует как перенос вдоль оси. Строго локсодромический элемент действует как вращение и перенос вдоль своей оси.

Теперь мы можем определить эллиптический элемент специального вида. Эллиптический элемент / называется примитивным эллиптическим, если он является вращением на угол 2тс/п, где п Е п > 2.

Композиции отражений

• Эллиптический элемент / может быть представлен как композиция двух отражений в пересекающихся плоскостях. Линия их пересечения будет осью элемента /.

• Параболический элемент / является композицией двух отражений в параллельных плоскостях. Их общая точка в ОН3 будет фиксированной точкой элемента /.

• Гиперболический элемент / является композицией двух отражений в расходящихся плоскостях. Общий перпендикуляр к этим плоскостям будет осью элемента /.

• Строго локсодромический элемент не может быть представлен как композиция двух отражений, однако может быть представлен как композиция эллиптического и гиперболического элемента с одной и той же осью.

Элементарные группы

Подгруппа G группы PSL(2, С) элементарна тогда и только тогда, когда существует конечная G-орбита в Н3.

Класс элементарных групп содержит все конечные и абелевы подгруппы группы PSL(2,C), а также стабилизатор любой точки в Н3.

Элементарные группы иногда определяют следующим условием. Для любых элементов fag бесконечного порядка в группе G справедливо tr[/, д] = 2, или, что эквивалентно, fug имеют общую фиксированную точку в С, При таком определении стабилизатор точки в Н3 не обязательно элементарен. Первое определение будет использовано только в части II диссертации.

Фундаментальное множество

Пусть G — дискретная подгруппа PSL(2, С). Множество F называется фундаментальным множеством для G, если о о о

1) g(F)C\F = 0 для любого нетривиального g £ G, где F обозначает внутренность множества F;

2) U 9(F) = Н3. geG

0.2 Многогранники

Плоскость разбивает Н3 на две компоненты; будем называть замыкание каждой из них полупространством в Н3.

Связное подмножество Р пространства Н3 с непустой внутренностью называется (выпуклым) многогранником, если оно является пересечением семейства Л полупространств и обладает тем свойством, что всякая точка Р имеет окрестность, пересекающую не более чем конечное число границ элементов семейства Н.

Тетраэдры

Определим тетраэдр Т как многогранник, который в модели проективного шара является таким пересечением гиперболического пространства Н3 с обычным евклидовым тетраэдром Те (возможно с вершинами на сфере сШ3 в бесконечности или за ее пределами), что пересечение каждого ребра ТЕ с Н3 не пусто.

Такой тетраэдр может быть некомпактным или иметь бесконечный объем, но линки его вершин будут компактными сферическими, евклидовыми или гиперболическими треугольниками.

Пусть тетраэдр Т (возможно, бесконечного объема) имеет двугранные углы п/1, 7г/т, 7Г/п при некоторой грани, и пусть 7г/<?, тг/г, ж/р — двугранные углы Т, противолежащие углам 7г/£, 7г/т, 7г/п, соответственно. Такой тетраэдр мы обозначаем Т = [I, т, п\ д, г, р\. И С

Рис. 1: Тетраэдр

Обозначим через А, В, С, D вершины тетраэдра Т = [l,m,n-,q,r,p] как показано на рис. 1. Здесь и далее метка к при ребре многогранника обозначает, что двугранный угол этого многогранника при этом ребре равен ж/к.

Пусть Ri, i?2) и -R4 — отражения в гранях ABC, ABD, ACD и BCD, соответственно. Обозначим группу, порожденную ., R4 через G(T). Ее подгруппа Д(Т), сохраняющая ориентацию, порождена вращениями х = R1R2, у — R1R3 и г = R1R4 и имеет копредставление

Д(Т) = (xtytz \xl = = = (ху-iy = (,yz-у = (2Х-1)Г = 1).

Всего существует 9 компактных и 23 некомпактных кокстеровских тетраэдра конечного объема. (Напомним, что многогранник называется кокстперовским, если все его двугранные углы являются целыми частями 7г.) Эти тетраэдры перечислены в таблицах 1 и 2 (см. также [JRKT]).

Т\ = [2,2,3; 3, 5, 2], Г4 = [2, 2,3; 2,5, 3], Т7 = [2, 2,4; 2, 3, 5], Г2 = [2,2,55 2,3,5], Ть = [2,3,3; 2,4,3], Т8 = [2,3,4; 2,3,4], ^з = [2,3,3; 2,5,3], Г6 = [2,4,3; 2,5,3], Т9 = [2,3,5; 2,3,5]. Таблица 1: Компактные гиперболические кокстеровские тетраэдры

Т10 = [2,2,3; 2,3,6], Г18 = [2,2,3; 3,6,2], ^26 — [2,2,6; 3,3,3],

Тп = [2, 2, 4; 2, 4,3], т19 = [2,2, 4; 2, 4,4], Тп -[2,3,4; 2, 3,6], т12 = [2,2,3; 3,3,3], Т20 = [2,2, 6; 2,3,6], ^28 = [2,3,4; 2, 4, 4], т13 = [2,2,4; 2,3,6], Т21 = [2,3,3; 2,4,4], ^29 = [2,3,5; 2,3,6],

Т14 = [2,2,3; 4,4, 2], Т22 = [2,2,5; 3, 3,3], Т30 = [2,3,6; 2,3,6], ти = [2,2,3; 2,6,3], Г23 = [2,3,3; 2,3,6], Т31 = [2,4,4; 2,4,4], ти = [2,2,5; 2,3,6], Т24 = [2,3,3; 3,3,3], ^32 = [3,3,3; 3,3,3],

Т17 = [2,2,4; 3,3,3], т25 = [2,2,4; 4,4,2].

Таблица 2: Некомпактные гиперболические кокстеровские тетраэдры конечного объема

Часть I

Обобщенные тетраэдральные группы