Геометрические свойства дискретных двупорожденных групп в пространстве Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

с--'' t/'Cs

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Рассказов Алексей Александрович

Геометрические свойства дискретных двупорожденных групп в пространстве

Лобачевского

01.01.01 — Математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор А.Д. Медных

Новосибирск 1998 г.

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение 3 Глава I. Предварительные результаты

§ 1. Основные определения 9

1.1. Пространства постоянной кривизны 9

1.2. Гиперболическая геометрия 10

1.3. Группа изометрий пространства Лобачевского 12

1.4. Классификация элементов мебиусовой группы 13

1.5. Дискретные группы 16

1.6. Фундаментальные области 17

1.7. Теорема Пуанкаре 17 § 2. Орбифолды 21

2.1. Определения 21

2.2. Локальная структура ориентируемых

трехмерных орбифолдов 23 Глава II. Строение канонического фундаментального множества для орбифолда

§ 1. Двумостовые узлы и зацепления 26 § 2. Фундаментальное множество

орбифолдов п) 29

2.1. Строение фундаментального множества орбифолдов 0(р/д, 2) 29

2.2. Фундаментальное множество орбифолда на

узле восьмерка 30

2.3. Алгоритм построения канонического фундаментального множества для орбифолда 0(р/д, п) 43

2.4. Теоремы существования и единственности

канонического фундаментального многогранника 48

'2.5. Примеры 49 Глава III. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи

§ 1. Введение 64

§ 2. Симметрии узла восьмерка 66

§ 3. Максимальность группы О,(п) 71

§ 4. Фактор-орбифолды 81 Глава IV. Функции роста групп двумостовых узлов и зацеплений

§ 1. Введение 86

§ 2. Функция роста замощения 88

§ 3. Функция роста группы двумостового узла 89

§ 4. Следствия и примеры 99

Литература 101

ВВЕДЕНИЕ.

Теория дискретных групп преобразований на плоскости и в прог странстве возникла еще в конце прошлого века в связи с появлением работ Ф.Клейна и А.Пуанкаре. Она была использована ими для изучения многозначных аналитичных функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуя группу Л4 дробно-линеиных преобразовании расширенной комплексной плоскости С = сиоо, порожденную отражениями относительно окружностей и прямых, А.Пуанкаре обнаружил, что подгруппы, сохраняющие инвариантной верхнюю полуплоскость {1т г > 0 | г 6 С}, группы Л4 являются группами гиперболических изометрий Н2 относительно гиперболической метрики йв2 = \\(1г\\2 / (1тг)2. Развивая геометрический подход, А.Пуанкаре показал, что всякая группа Л4. допускает продолжение в верхнее полупространство Н3 = £ Е3 \г = х + гу £ С, I > 0} и является полной группой изометрий пространства Лобачевского Н3 с гиперболической метрикой (1з2 = {¿х2 + (1у2 + (1г2)/{2. Позже была обнаружена связь между дискретными группами и трехмерными многообразиями.

Однако отсутствие развитого математического аппарата не позволило получить более глубоких результатов. Лишь в шестидесятых годах нашего столетия после появления теории квазиконформных отображений, теория дискретных групп преобразований начинает интенсивно развиваться. В это время появилось большое количество работ, в которых применялись аналитические методы, методы теории квазиконформных отображений, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значительными являются работы Л.Альфорса, П.П.Белинского, Л.Берса, Л.Гринберга, Э.Б.Винберга, С.Л.Крушкаля, М.А.Лаврентьева, А.Мардена, Б.Мас-кита, Ю.Г.Решетняка.

В дальнейшем, изучение клейновых групп ( дискретных групп гиперболических преобразований ) существенно продвинулось за счет использования методов топологии трехмерных многообразий. Новым толчком в развитии теории дискретных групп преобразований послужили работы В.Терстона. Он показал, что почти любое трехмерное многообразие допускает введение метрики постоянной кривизны и тем самым может быть описано с помощью теории дискретных групп преобразований, действующих в трехмерном пространстве Лобачевского. Кроме него большой вклад здесь внесли работы Г.Мостова, Д.Сулливана, Г.Маргулиса. Таким образом, современная теория дискретных групп преобразований оказалась на стыке нескольких направлений - топологии, геометрии, теории функций и теории групп.

Во многих вопросах теории клейновых групп решающую роль играют специфические свойства неевклидовой геометрии. В связи с этим в последнее время получили новое развитие геометрические идеи, заложенные в работах А.Пуанкаре.

В настоящей работе изучаются дискретные группы преобразований, действующих в пространствах постоянной кривизны. Полученные результаты использованы для нахождения полной группы изо-метрий многообразий Фибоначчи и функции роста для групп двумо-стовых узлов и зацеплений.

Методика исследования. В работе используются геометрические методы теории дискретных групп и теории геометрических структур на многообразиях и орбифолдах.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Построено фундаментальное множество для групп двумостовых узлов и зацеплений.

II. Вычислены функции роста для групп двумостовых узлов и зацеплений.

III. Вычислена полная группа изометрий гиперболических многообразий Фибоначчи.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы для дальнейшего развития геометрии многообразий, геометрической теории функций и теории групп.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XXXIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" ( г.Новосибирск, 1996 ), Школе-конференции "Алгебра и анализ" ( г.Новосибирск, 1996 ), Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике ( г.Новосибирск, 1996 ), Школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева ( г.Казань, 1997 ), 29-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г.Екатеринбург, 1998 ), Школе-конференции по фуксо-вым группам ( г.Ланкастер, 1998 ), Международной алгебраической конференции посвященной памяти А.Г.Куроша ( г.Москва, 1998 ), Международном Математическом Конгрессе ( г.Берлин, 1998 ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [68] - [73].

Объем диссертации. Диссертация изложена на 105 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 73 наименований, содержит 22 рисунка и 8 таблиц.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе приведены предварительные сведения, а также формулировки основных определений и теорем, используемых в диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена построению фундаментального множества для орбифолдов 0(р/д, п) с носителем трехмерная сфера, сингулярным множеством двумостовый узел или зацепление р/д и сингулярной особенностью 2тг/п в сферическом, евклидовом и гиперболическом трехмерных пространствах. Ее основная цель состоит в том, чтобы построить простейшее возможное фундаментальное множество для 0(р/д,п) в том смысле, что оно имеет всего две пары взаимно эквивалентных криволинейных граней. Построенный фундаментальный многогранник невыпуклый и состоит из 2р тетраэдров, вершины которых могут быть определены каноническим способом из представления фундаментальной группы орбифолда.

В разделе 2.1 будет построено каноническое фундаментальное множество для орбифолдов 0(р/<?, 2) в сферическом пространстве ( топологическое строение таких орбифолдов приведено в работе Дж.Минку-са [55] ). Аналогичное построение может быть проведено не только в сферическом пространстве, но также и в евклидовом и гиперболическом пространствах. Это будет сделано в разделе 2.3.

В разделе 2.2 будет построено фундаментальное множество орбифолда (9(5/2, п) на узле восьмерка в сферическом, евклидовом и гиперболическом пространствах. Кроме того, для фундаментального множества группы орбифолда 0(5/2,3), реализующегося в евклидовом пространстве, будут приведены целочисленные декартовы координаты вершин фундаментального многогранника. Здесь же будут построены в некотором смысле фундаментальные многогранники для конических структур на узле восьмерка в сферическом, евклидовом и гиперболическом пространствах.

Завершат вторую главу алгоритм для построения канонического фундаментального множества орбифолда ö{p/q, п) в общем случае и иллюстрирующие его примеры.

В главе III будет разработан геометрический метод вычисления группы изометрий замкнутых трехмерных гиперболических многообразий.

Основным результатом главы является следующая

Теорема 3.6 Полная группа изометрий Isom(Mn) гиперболического многообразия Фибоначчи Мп, п > 4; состоит из 8п элементов и имеет следующее представление:

Isom(Mn) = {х,у\хЪг = уА = {ух)2 = (y~lxf = 1).

Доказательство теоремы использует методы теории трехмерных орбифолдов, классические результаты Дена о симметриях узла восьмерка и оценок Ф.Геринга и Г.Мартина для расстояний между осями элементов конечного порядка в дискретной группе движений пространства Лобачевского.

Частный случай этого утверждения, когда фундаментальная группа многообразия Фибоначчи является арифметической, т.е. для п = 4,5,6,8,12, был доказан теоретико-числовыми методами К.Маклач-ланом и А.Райдом в [49].

Глава IV посвящена вопросам роста групп двумостовых узлов и зацеплений. Используя построенное в главе II фундаментальное множество и связь между функцией роста группы и функцией роста замощения пространства фундаментальным многогранником той же группы, будет доказан следующий результат:

Теорема 3.5 Функция роста группы G двумостового узла или зацепления munap/q имеет следующий, вид:

R(t) =_(t + i)((p ~ q)qt2p — ptp + l)_

(Р- q)qt2p+l - 3(р - q)qt2P + рР>+1 + ptp - 3t + 1

Кроме того, в замечании 3.8 будет установлен порядок роста групп двумостовых узлов и зацеплений.

Глава I.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ 1. Основные определения.

1.1 Пространства постоянной кривизны.

Существует три вида геометрий, определяемых свойствами метрики пространства и имеющих постоянную кривизну в каждом двумерном направлении. При положительной секционной кривизне мы по'-лучаем сферическую ( или эллиптическую ) геометрию, при нулевой кривизне - евклидову геометрию, и при отрицательной кривизне -гиперболическую ( или геометрию Лобачевского ).

Простейшей моделью п-мерного пространства постоянной положительной кривизны к служит сфера 1/к) в евклидовом пространстве Кп+1. При этом расстояние между точками сферы определяется как длина дуги большой окружности, соединяющей эти точки. Роль прямых в этой геометрии играют большие окружности. Но аналогия с евклидовыми прямыми нарушается тем, что в отличие от прямых, большие окружности пересекаются в двух ( диаметрально противоположных ) точках сферы.

Для определения пространства постоянной отрицательной кривизны /с, рассмотрим в пространстве Кп+1 билинейную форму

у] = -ХоУо + Х\У\ + ... + хпуп.

Рассмотрим также множество Уп прямых Еп+1, проходящих через начало координат и лежащих внутри конуса [ж, ж] = 0, т.е. прямых, для точек которых выполняется неравенство [х,х] < 0. Для двух элементов множества УП) т.е. для двух прямых, одна из которых проходит через точку у £ Кп+1, а другая - через точку х £ К"+1, определим

расстояние р = р(х,у), индуцируемое формой [х,у], формулой

7 2 т [ж, у]2

ск кр = 1 1—г. [х,х\ [у, у]

Из того, что для точек, лежащих внутри конуса [х,х] = 0, выполняется неравенство

Iх, у]2 1 >1,

[х,х] [у, у]

следует, что расстояние р есть вещественное неотрицательное число, обращающееся в ноль лишь в случае совпадения прямых. Легко убедиться, что оно удовлетворяет обычным аксиомам расстояния -аксиоме симметрии и треугольника.

Полученное метрическое пространство (Уп, р) называют п-мерным гиперболическим пространством или пространством Лобачевского. '

1.2 Гиперболическая геометрия.

Рассмотрим более подробно трехмерное гиперболическое пространство.

В качестве модели трехмерного пространства Лобачевского с кривизной к = — 1 выберем верхнее полупространство

Н3 = {0, г) \г Е С, * > 0},

оснащенное гиперболической метрикой

¿в2 = {\(1г |2 + си2)/12.

Будем считать расширенную комплексную плоскость С границей пространства Н3 и называть ее абсолютом. Геодезическими или гиперболическими прямыми в этой модели являются пересечения пространства Лобачевского с евклидовыми прямыми или окружностями, ортогональными абсолюту. Гиперболические плоскости - это евклидовы полусферы и полуплоскости, ортогональные абсолюту. Двумерная гиперболическая геометрия индуцируется на каждую такую плоскость из пространства Н3.

Две плоскости пространства Лобачевского могут пересекаться по прямой или не пересекаться. Непересекающиеся плоскости, имеющие общий перпендикуляр, называются расходящимися, в противном случае они называются параллельными. В нашей модели удобно наблюдать за бесконечно удаленными ( лежащими на абсолюте ) окружностями или прямыми, лежащими на границе гиперболических плоскостей. Если плоскости пересекаются, то их границы пересекаются в двух точках, если плоскости параллельны, то границы касаются друг друга, если плоскости расходятся, то их границы не имеют общих точек.

Две прямые в пространстве Ы3 могут либо лежать в одной плоскости, либо быть скрещивающимися. В первом случае они могут пересекаться, быть параллельными ( т.е. иметь общую граничную точку на абсолюте ) или расходиться. Расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, лежащий с ними в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые также имеют общий перпендикуляр. Углом между скрещивающимися прямыми назовем двугранный угол между плоскостями, проходящими через этот общий перпендикуляр и каждую из прямых в отдельности. Две скрещивающиеся прямые будут взаимно ортогональными, если через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Кроме плоскостей в пространстве Лобачевского есть еще два вида поверхностей: гиперболические сферы и орисферы.

Сферой в Н3 называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром сферы. Гиперболическое расстояние от центра до любой точки сферы называется радиусом сферы. В нашей модели сфера - это некоторая евклидова сфера. Разумеется, гиперболический центр и радиус сферы не совпадают с евклидовыми. С помощью метрики пространства Н3 на такой сфере естественным образом вводится двумерная сферическая геометрия. Геодезическими

сферы будут линии пересечения сферы с плоскостями пространства Н3, проходящими через центр сферы.

Орисферой называется непустое пересечение пространства Н3 с евклидовой сферой, касающейся абсолюта С. Бесконечно удаленная точка касания называется центром орисферы. Если точка оо является центром орисферы, то эта орисфера - евклидова плоскость, параллельная абсолюту, а геометрия на ней совпадает с обычной евклидовой. Зададим геометрию на орисфере. Расстоянием между двумя точками орисферы будем считать гиперболическую длину кратчайшей кривой, лежащей на орисфере и соединяющей эти точки. Геодезическими в такой метрике будут линии пересечения орисферы с плоскостями пространства И3, проходящими через центр орисферы. Нетрудно убедиться, что заданная таким естественным образом геометрия на орисфере окажется евклидовой.

1.3 Группа изометрий пространства Лобачевского. Хорошо известно, что любая изометрия пространства Лобачевского является композицией конечного числа отражений относительно гиперболических плоскостей ( в нашей модели - это евклидовы отражения относительно полуплоскостей или инверсии относительно полусфер ). Множество всех отражений в пространстве Н3 порождает полную группу изометрий, называемую общей мебиусовой группой и обозначаемую СМч- Ее подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, называется мебиусовой группой и обозначаемся Л4-2-

Мебиусова группа действует на расширенной комплексной плоскости С = 9н3 как группа дробно-линейных автоморфизмов

М-2 = { Л : 2 —>• аг \ I а, 6, с, ^ € С, ай - Ъс ф 0 }

сг + а

и изоморфна группе РБЦ2,С) = 5Х(2,С) / {/, -/}, где вЦ2,С) -группа матриц второго порядка с комплексными коэффициентами и определителем единица, I - единичная матрица.

Для каждого элемента А Е Л4-2 продолжение Пуанкаре

(az + b)(cz + d) + act? \ad — bc\t

A(z,t) =

\сг + d|2 + |с|2*2 ' \сг + д\2 + |с|2г2)

задает действие элемента у4 в пространстве Н3 = И3 и С.

Подгруппа С группы Л4-2 называется элементарной, если существует точка х в И3, для которой множество { Дх | А Е С } конечно. 1.4 Классификация элементов мебиусовой группы.

Пусть

a b Vе d/

Е 5Х(2, С) - одна из двух матриц, представляющая

элемент И. Е М-2 в РБЬ{2, С). Обозначим ¿г Л = (а-\-д) . Очевидно, что /г2Л не зависит от выбора матрицы.

Нетривиальный элемент Л Е М-2 называется эллиптическим, если Е [0,4); параболическим, если ¿г2Л = 4; локсодромическим, если ¿г2Л ^ [0,4].

Локсодромический элемент называется гиперболическим, если ¿г2,Д Е (4,оо), и строго локсодромическим, если ¿г2*Д ^ [0, оо).

Элемент Л Е действующий в БГ3 как изом