Арифметические группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского и их приложение в алгебраической геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава I. О классификации гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса, и арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского.

§1. Основные определения. Постановка задачи.

§2. Одно геометрическое свойство выпуклых многогранников в пространствах Лобачевского.

§3. Гиперболические решетки, группы автоморфизмов которых пороздены отражениями с точностью до конечного индекса.

§4. Арифметические группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского.

§5. Ограничения на размерность пространства Лобачевского и степень основного поля.

Глава 2. Группы автоморфизмов поверхностей типа КЗ.

Поверхности типа КЗ с конечной группой автоморфизмов.

§0. Постановка задачи. Основные результаты.

§1. Общие замечания о группах автоморфизмов решеток, порожденных 2-отражениями. Классы гиперболических решеток^ г , ^ , ^У

У <оу ~

§2. Арифметические свойства решеток из

2-рефлективные решетки.

§3. Классификация не 2-элементарных решетск из ^ и не 2-элементарных 2-рефлективных решеток.

§4. Классификация 2-элементарных гиперболических решеток, принадлежащих , » и инволюции на поверхностях типа КЗ.

§5. Арифметические свойства решеток из

§6. Классификация ^ ^, ^ '.

§7. Арифметические и геометрические приложения.

Дополнение.

1°. Определения: Отражения: группы. порожденные отражениями; арифметические гр.уппы: гиперболические решетки. Цель настоящего пункта - определить основные объекты, изучению которых посвящена диссертация.

Рассмотрим одно связные римановы многообразия постоянной кривизны, т.е. пространства Евклида - ^ , Римана - , Лобачевского .В каждом из этих пространств определено понятие гиперплоскости Ж (геодезического подмногообразия коразмерности I) и отражения (относительно гиперплоскости), т.е. такого движения

1! этих пространств, которое оставляет все точки гиперплоскости /и на месте и меняет местами полупространства, ограниченные Ж

С " СП и V» И Соответственно этому, в пространствах & 9 Ы * <*/ определено понятие дискретной грушш, порожденной отражениями. При этом, говоря про дискретную группу, порожденную отражениями, в пространстве Лобачевского, мы будем предполагать (если не оговорено противное), что такая группа имеет фундаментальную область конечного объема (иначе таких групп будет слишком много и их теория, по-видимому, бессодержательна).

Основные примеры дискретных групп в пространстве ЛобачевскочО П го оО доставляют так называемые арифметические группы. Напомр ч/>» П ЧР ним их определение. Пусть ^ - группа движений оС и Iе /

- ее дискретная подгруппа. Подгруппа 17 называется арифметической, если существует алгебраическая группа б" , определенная над (Ы , с арифметической подгруппой определяемой какой-то -структурой & ; см., например, эпиморфизм f: (т-СВОд--"* % компонент связности единицы групп Ли, для которых подгруппы группы ¿Г соизмеримы (имеют общую подгруппу конечного индекса)»

Пусть К - чисто вещественное поле алгебраических чисел (т.е. конечное расширение поля рациональных чисел (£) , у которого для каждого вложения б": Ц(—>■ (С в поле комплексных чисел Пусть (1Р - кольцо целых элементов Ц\ и о - решетка над © , т.е. конечнопоровденный (Ц) -модуль Л без кручения, снабженный симметрической билинейной формой со значениями в €) ( —> ® для ).

Решетка 3 называется гиперболической, если ровно для одного вложения бС+ : [К—>■ ¡¡^ квадратичная форма над неопределенна , причем при этом вложении б(+) она гиперболична (для определенности, имеет индексы инерции (£, .

Пример I. Классический пример гиперболических решеток дают целочисленные гиперболические квадратичные формы (т.е. имеет ровно один положительный квадрат).

Важность класса гиперболических решеток 3 заключается в том, что с гиперболической формой ф естественно связано пространство Лобачевского (модель Клейна), причем подгруппа индекса два группы автоморфизмов над 0 решетки Л вкладывается в группу движений ^ пространства Лобачевского и является арифметической группой.

Далее, раз , то определено понятие отражения решетки & (автоморфизма решетки % , являющегося отражением в 2> ) ). Отражения, как автоморфизмы из задаются элементами £> , для которых 6(+)( < О и £ 5! , и задаются формулой

-6: х I-з- х--р— Ъ , где х е 3 .

Пример 2ф Пусть 5" € 2, и Б2 = -2. . Тогда всегда задает отражение решетки й

•Ь^. : XI-х 4- (ос • 5") ^, называемое 2. -отражением.

Обозначим как \у/*С 2 ) подгруппу 0 ( ¡5 ) , порожденную всеми отражениями гиперболической решетки 3 • Нас будет интересовать класс гиперболических решеток Б , для которых индекс конечен, т.е. группа автоморфизмов ¡5 с точностью до конечного индекса порождена отражениями. В этом случае, очевидно, \[С И) ~ арифметическая группа, порожденная отражениями, в пространстве Лобачевского

Диссертация посвящена описанию арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского и гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса. Особенно нас будет интересовать класс целочисленных гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых порождены 2 -отражениями с точностью до конечного индекса. Последний класс особенно важен в алгебраической геометрии в связи с описанием групп автоморфизмов поверхностей типа КЗ .Подробно эти результаты изложены ниже, в 3°.

2°. Что было известно до результатов, изложенных в диссертации (до 1979 г.), В диссертации будут изложены результаты, полученные автором в работах £з7 - 40^] , 1979 - 1981 г.г., посвященные объектам, определенным в 1°. Но прежде чем излагать их, осветим результаты по этому предмету, известные до указанных работ автора(т.е. до 1979г.).

Первые примеры дискретных групп, порожденных отражениями, на римановых многообразиях постоянной . кривизны (т.е. сфере Римана , евклидовом пространстве % и пространстве

Хи появились еще в прошлом веке в работах Мебиуса [80 , 81*] (в связи с описанием конечных групп евклидовых перемещений), Шлефли [87^] (в связи с описанием правильных многогранников в евклидовом пространстве ё )» Клейна и Пуанкаре, см. [73( в связи с описанием дискретных групп на плоскости Лобачевского), Шлегеля [88^(в связи с описанием правильных разбиений пространства Лобачевского). См.исторический очерк в ] .

Однако выделение класса групп, порожденных отражениями, из всего класса дискретных групп произошло позже в связи с классификацией полупростых алгебр Ли благодаря работам Киллинга, Кар-тана и Г.Вейля (см.исторический очерк в ). Первые результаты по классификации дискретных групп, порожденных отражениями, были получены в работах Картана £59 , 60^] , где в связи с классификацией полупростых алгебр Ли были описаны кристаллографические конечные группы, порожденные отражениями, в евклидовом пространстве ё> ,

Наконец, в работах Кокстера £б2,63,64^[ группы, порожденные отражениями, стали предметом самостоятельного изучения. В них группы, порожденные отражениями, были охарактеризованы алгебраически (соотношениями между образующими) и была получена их классификация на сфере Римана 1Я, (конечные группы Кокстера) и в ев-лидовом пространстве § .

Впоследствии было найдено очень много приложений этим группам и их классификации в самых различных разделах математики. Достаточно упомянуть такие области как теории групп и алгебр Ли, алгебраических групп, представлений групп (различного сорта), особенностей голоморфных функций и отображений, в которых, например, классификация объектов некоторых типов оказывается удивительно параллельной классификации дискретных групп, порожденных отражениями. По-видимому, наиболее полно разнообразные свойства групп, порожденных отражениями, в К, и § собраны в специально им посвящейном томе трактата Бурбаки [7] .

Однако, несмотря на столь большой интерес к группам, порожденным отражениями, в и ё и то, что многие их свойства (построение и основные свойства фундаментального многогранника, свойства образующих и соотношений, и т.д.) легко переносятся на

ЧЛ п пространство Лобачевского Л , дискретными группами, порождендолгое время практически не занимались: появлялись лишь эпизодические примеры таких групп. Отметим лишь работу Ланнера [77] , 1950 г., где были классифицированы группы, порожденные отражениями, имеющие простейшую фундаментальную область - ограниченный симплекс.

Ситуация изменилась с работой В.С.Макарова (1966 г., [29] ; см., также,[28 , 30 ]]), где был построен первый пример неарифметической дискретной группы в 3 - мерном пространстве Лобачевского, что дало первый контрпример к гипотезе Сельберга об ариф-метичности дискретных подгрупп простых групп Ли. Отметим, что, продолжая это направление, впоследствии В.С.Макаровым был развит ряд методов построения дискретных групп пространств Лобачевского, позволяющих строить интересные примеры таких групп и разбиений (пространств Лобачевского). См. его докторскую диссертацию и обзор \Ъ1~\ .

В примере В.С.Макарова группы были порождены отражениями. Ограничившись последними, Э.Б.Винберг в [8~] ,1967г. :

I) Осуществил перенос основных понятий теории дискретных групп

У порожденных отражениями (фундаментальный многогранник ; матрица Грама(я^) для^ ; соответствие между подматрицами матрицы Грама (&;,) и гранями^ ; образующие, соотношвния и др.) на пространство Лобачевского (этот перенос естественен и не представляет большого труда). 2) Доказал критерий арифметичности "V/* в терминах ее матрицы Грама (основной о результат работы). 3) Используя этот критерий, построил новые примеры дискретных неарифметических групп, порожденных отраже- • ниями, в пространствах Лобачевского размерности 3,4 и 5 .

Кроме перечисленных результатов I) - 3), в цитированной работе Э.Б.Винберга [8~] были рассмотрены гиперболические унимоду-лярные решетки Н над и было доказано, что для Я ^ £ 7 группа автоморфизмов 0С/2) п°Р°жД0На отражениями с точностью до конечного индекса. Этот последний результат послужил началом серии работ Э.Б.Винберга £8-11 , 97 , 16*] (последняя работа £хб] совместно с И.М.Каплинской), посвященной гиперболическим решеткам Л над 2 » группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса. 4) Был построен алгоритм, позволяющий для фиксированной такой гиперболической решетки 2> вычислить фундаментальный многогранник для 2 ) и» как следствие, - группу автоморфизмов (этот алгоритм легко переносится на гиперболические решетки с произвольным основным полем ¡К ) . 5) Было замечено , что когда гиперболическая решетка /5 представляет ноль, то для того, чтобы 0(]5) была порождена отражениями с точностью до конечного индекса, необходимо, чтобы выполнялось Условие. Для всякого неделимого нуля & (т.е. с2~ О » но с Ф о ) определенная решетка К = / с с то4 ~ ностью до конечного индекса порождена элементами, отражения относительно которых являются ее автоморфизмами. (Это условие сразу вытекает из того хорошо известного факта, что нули ^ соответствуют бесконечноудаленныы вершинам фундаментального многогранника в £03) для &'(&).)б) Используя 4) и 5), были полностью описаны унимодулярные (дискриминанта - I ) решетки ¡5 над Ж с [0(&)'-\/(3)]<00 £8 , 10 , II, 97 , 16 J: для этого необходимо и достаточно,чтобы г^- £>^20 .При этом существенно используется известная (см.,например,[зо*] ) классификация унимодулярных неопределенных решеток над 2 , пользуясь которой все такие решетки можно явно выписать.

В этих же работах рассматривались также некоторые другие частные примеры целочисленных решеток, близких к унимодулярным (например, дискриминантна - 2).

Давно, благодаря Ф.Клейну и А.Пуанкаре (см. »например, [73]), была известна классификация дискретных групп, порожденных отражениями, на плоскости Лобачевского: они классифицируются своими фундаментальными многоугольниками - выпуклыми ^ - угольниками А.Ал с углами вида Т/р)-, -на

1 Ц. I £> туральны; при этом для их существования необходимо и достаточно, чтобы £ I п. и с=1

В (1970Г , [з, 4*] ) Е.М.Андреев описал дискретные группы, порожденные отражениями, в трехмерном пространстве Лобачевского

ХЗ 3 описав выпуклые многогранники в оС с острыми углами. Отг, 3 метим, что, несмотря на данные классификации в ос и оС , какая-то классификация арифметических групп (выделение их среди всех) в этих же пространствах не была известна.

Резюмируя данные результаты, можно сказать, что к 1979 г. для дискретных групп,^порожденных отражениями, имелись ¿) классификация в § и $ (Э.Картан, Г.С.М.Кокстер); и£) классификация в (Ф.Клейн и А.Пуанкаре) и ©с ( Е.М.Андреев); ¿¿¿) неуО и которые способы построения таких групп в для некоторых с фундаментальными многогранниками частного вида -простым комбинаторным строением, симметричных (Ланнер, В.С.Макаров, Э.Б.Винберг); критерий арифметичности в терминах матрицы Грама фундаментального многогранника (Э.Б.Винберг); Ь) алгоритм, позволяющий для конкретной гиперболической решетки Я вычислить фундаментальный многогранник для \ТС 2) и выяснить конечность индекса (Э.Б.Винберг);

Для гиперболических решеток 2 над * представляющих ноль, некоторое необходимое условие конечности (Э.Б.Винберг);

Ъ'ЬЦ) используя ь) ) Ъи) и классификацию, описаны унимоду-лярные гиперболические решетки над 2 с конечным и некоторые такие решетки, близкие к униыодулярным (Э.Б.Винберг).

С другой стороны, в начале 80-х годов стало ясно, что подобного сорта результаты важны и интересны не только сами по себе, но и для алгебраической геометрии. Приведем один , по-видимому первый и наиболее интересный, пример.

Он связан с поверхностями типа КЗ - неособыми односвязны-ми проективными алгебраическими поверхностями над С , канонический класс которых равен 0 ; примеры таких поверхностей дают г двулистное накрытие проективной плоскости Р , разветвленное в неособой кривой степени шесть; квартика в Р ; пересечение квадрики и кубики в Р ; пересечение трех квадрик в Р .В 1971г. в [УГ| И.Й.ПятецкиЙ-Шапиро и й.Р.Шафаревич доказали для поверхностей X типа К 3 глобальную теорему Торелли и, как следствие, получили, что с точностью до конечных групп изоморфны группа автоморфизмов

А^Х - б'СуЛЛ^) , где решетка над 2/ (гиперболическая) Пикара X » а группа, порожденная всеми 2 -отражениями решетки N . В частности, АЛ конечна тогда и только тогда, когда 0 С порождена 2, - отражениями с точностью до конечного индекса. Постольку решетки Я-о- весьма

Ееыть^ А ,. ^ можетГшбой гиперболической решеткой ранга всегда 2 ^ ^ 2 2 ), то вопрос об описании поверхностей типа К 3 0 конечной группой автоморфизмов таким образом сводится к описанию гиперболических решеток Я ранга ^ 3 (т.е. когда Лот^Х^)^ 2 )* группа автоморфизмов которых порождена 2 - отражениями с точностью до конечного индекса. (Для — £ и 2 он легко решается [ц^] ). Отметим, что вопрос описания групп автоморфизмов поверхностей типа

КЗ не является для алгебраической геометрии только частным вопросом.

Дело в том, что по классификации алгебраических поверхностей, полученной классжкааи итальянской школы алгебраической геометрии в начале нашего века (см. ^ ), вопрос об описании групп бирациональных автоморфизмов алгебраических поверхностей ( в частности, вопрос об их конечности) с начала нашего века оставался открытым лишь для двух классов алгебраических поверхностей: поверхностей типа КЗ и так называемых поверхностей Энрик-веса - факторов поверхностей типа К 3 п0 инволюциям без неподвижных точек. Таким образом, решение указанной задачи о решетках ¡5 решает эту проблему для первого класса оставшихся поверхностей - поверхностей типа К 3 • Вопрос об описании групп автоморфизмов поверхностей Энриквеса сводится к похожим арифметическим задачам. Отметим, что аналогичная задача описания групп автоморфизмов алгебраических кривых (компактных римановых поверхностей) решена в середине прошлого века благодаря построению теории римановых поверхностей (см.»например, [51*] ) и широко известна.

Однако, несмотря на классичность указанной проблемы и накопленные к тому времени перечисленные выше результаты с) — Ъ-и) , вопрос описания гиперболических решеток 2 с конечной факторгруппой или, более общим образом, описания фактор-групп для гиперболических решеток 5 оставался открытым«

3°. Результаты диссертации. В работах автора (1979г. ,[з7]и [38~] ) было получено описание гиперболических решеток 2 над ранга ^ 5 , для которых индекс конечен.

Оказалось, что их число конечно, и все они были найдены. Мы ограничились в диссертации этими результатами для г^И ^ ? » поскольку подробный разбор случаев малых рангов требует большого объема вычислений. В этом состоит первый результат диссертации, которому посвящена гл.2:

Теорема А • Для ^ 7 существует лишь конечное число гиперболических решеток ¡2 над » для которых индекс конечен; полный их список приведен в гл.2, § 0, 2°. В частности, для ^ 10 таких решеток не существует, а число четных (достаточно ограничиться ими) таких решеток для каждого значения Й^привеДено в таблице ниже

3 1 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15-19 число решеток Я 27 14 10 10 9 12 10 9 4 4 3 / 3 по I

-14В доказательстве теоремы Д мы пользуемся необходимым условием, сформулированным в 2°, показывая, что оно достаточно. Однако, в отличие от результатов Э.Б.Винбера 6) и Ь'И) в 2°, где это условие применялось к конкретным, явно выписанным решеткам (близким к унимодулярным), мы вынуждены, ввиду постановки задачи, рассматривать произвольные гиперболические решетки над , без ограничения на дискриминант. И важнейшим моментом метода нашего описания является использование арифметики решеток (целочисленных квадратичных форм): теории родов, классов в роде, теорем о совпадении рода с классом в случав неопределенных решеток и т.д. В частности, по ходу дела мы получаем классификацию так называемых 2 - рефлективных решеток, т.е. отрицательно определенных решеток /\ , таких, что всякая решетка в роде К порождена с точностью до конечного индекса элементами с квадратом (—2) (см. гл.2, § 0, следствие 0.2.6). Это описание интересно и важно само по себе с точки зрения теории определенных решеток - одной из труднейших областей арифметики квадратичных форм. При использовании арифметики решеток нам оказалась полезной "техника дискриминантных форм", разработанная автором в £зб] . Для удобства читателя мы приводим основные ее моменты в дополнении, 4°.

В частности, из теоремы А вытекает описание поверхностей типа КЗ с конечной группой автоморфизмов и решеткой Пикара ранга ^ 7 .

Подробно результаты диссертации, примыкающие к теореме .Д « и их приложения к группам автоморфизмов поверхностей типа К 5 изложены в гл.2, § 0. Там, в частности, для также рассматриваются случаи, когда фактор-группа бесконечна, но абелева с точностью до конечного индекса (гл.2, § 0, 3°); представления подгрупп конечного индекса группы

-15, рассматриваемой как^уппа автоморфизмов фундаментального многогранника для V (5) , в и Я (гл. 2, § 0, 4°); группы автоморфизмов поверхностей типа КЗ над алгебраически замкнутыми полями конечной характеристики (гл. 2, § 0, 5°).

О перенесении результатов теоремы А на = 3,4,5,6 си. пункт четыре введения.

Дальнейшие результаты диссертации состоят в обобщении утверждений конечности теоремы А на произвольные гиперболические решетки с произвольным основным полем (К и арифметические группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского. - Такую задачу поставил себе автор в работах (1980г.,[зэ]) и (1981 г., ) . Ей посвящена гл.1 диссертации.

Рассмотрим гиперболические решетки 2 с произвольным (чисто вещественным) основным полем ¡К , группы автоморфизмов б СЮ которых с точностью до конечного индекса порождены отражениями, т.е. индекс О (^)-^С^)^] конечен. Спрашивается, насколько много существует таких решеток?

Прежде всего заметим, что конечность индекса сохраняется при переходе от решетки 3 к решетке ЯС О , полученной умножением формы 3 на ¡К , так как группы автоморфизмов ¡2 и естественным образом отождествляются, как и пространства Лобачевского Поэтому в данной задаче естественно рассматривать классы подобий решеток. Мы доказываем, следуя [з9 , 4о] :

Теорема В . Множество основных полей ¡К фиксированной степени N = £ ¡К : 0,1 наД ^ » являющихся полями определения гиперболических решеток над ¡¡( ранга Ъ^Ъ ^ 3, группы автоморфизмов которых с точностью до конечного индекса порождены отражениями, конечно. При фиксированных натуральных (и . /V) , где К1=/¿тХ^Я) (или ), в? -степень основного поля решетки 5 над , множество классов подобий гиперболических решеток Я , группы автоморфизмов которых с точностью до конечного индекса порождены отражениями, конечно.

Доказательство.См. гл. I, §3, теорема I. Теорема В обобщает утверждение конечности теоремы А при фиксированном ^ Ц сразу в нескольких направлениях: Во-первых, (а не 7). Во-вторых, не фиксируются степени Б элементов, отражения относительно которых порождают(в теореме Д ), что значительно все усложняет. В-третьих, рассматриваются решетки над кольцами © целых произвольных полей определения К • В-четвертых, теорема В Дает сильную информацию о самих полях определения ¡¡\ . "

О методе доказательства теоремы В • В отличие от доказательства теоремы А » в котором существенно используется некомпактность фундаментального многогранника (дляТ/^Я) ) в виде условия, замеченного Э.Б.Винбергом (см, условие в 2°), доказательство теоремы В потребовало привлечения совершенно иных, новых соображений, поскольку фундаментальный многогранник, как правило, компактен (например, при 1КФ® ). Идея доказательства состоит в нахоздении таких геометрических свойств выпуклых замкнутых многогранников в пространстве Лобачевского, которые бы, будучи применены к фундаментальному многограннику группы в влекли теорему 3 • Основная трудность состоит в нахождении и доказательстве таких свойств. Их дает следующая

Геометрическая лемма. У всякого выпуклодэ многогранника в пространстве Лобачевского £, найдутся грани старшей размерности, натянутые на которые гиперплоскостей а)находятся в общем положении , т.е. не проходят через одну точку и не ортогональны одной гиперплоскости; б) находятся на ограниченном абсолютной константой расстоянии друг от друга; в) не могут быть разбиты на два таких непустых подмножества, что все гиперплоскости одного ортогональны всем гиперплоскостям другого.

Доказательство.См. лемму I, § 2, гл.1.

Некоторую трудность представляет также вывод теоремы В из этой леммы (см. гл.1, § 3).

Другое направление обобщения теоремы А связано с классификацией арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. Используя критерий арифметичности Э.Б.Винбер-га [в]] (см. гл.1, §4, предложение 4), мы сопоставляем арифметической группе в , порожденной отражениями, решетку Гапуа (К/б^Я) • Здесь 1К - поле алгебраических чисел, порожденное элементами матрицы фама (.^¿р фундаментального многогранника и\Ау для

V (нормированной условием ^¿¿ = —2 ),

Б = 2И V- ег $ Гдв ¡(еъ-ядро,

- решетка (т.е. симметрическая билинейная форма) над кольцом (Ц)^ целых алгебраических чисел поля 1К с естественным действием на нее - элементарной группы Галуа расширения к^ ВС , где [К= (Ц ({ - подполе поля К , порожденное циклическими произведениями

CL • * * Си • ./i

При этом = называется основным полем группы Vv , а натуральное число является основным арифметическим инвариантом . Важность решетки Галуа ( 1К, S) группы V заключается в:то!Ц,что по ней строится некоторая арифметическая группа

V( s ; б-) , порожденная отражениями,в <£ с той же самой решеткой Галуа, причем подгруппа конечного индекса. Так что описание решеток Галуа в частности влечет описание максимальных арифметических групп в ч« и

Д, , порожденных отражениями, и их описание с точностью до соизмерности.

Для решеток Галуа ( 1К Б ) арифметических групп, поро$-денных отражениями, в пространствах Лобачевского об мы доказываем. £. Теорема С.Множество основных полей фиксированной степени N над О, конечно.При фиксированных размерности щ пространства Лобачевского и степени N основного поля над множество решеток Галуа ( 1К 3/ конечно; в частности, при данных И и N конечно множество максимальных арифметических групп V порожденных отражениями. Доказательство см. в гл,1, § 4-, теорема 2. Теорема С аналогично теореме 3 выводится из геометрической леммы (выше). В целом,теоремы 5 и С тесно связаны друг с другом. Дело в том, что гиперболическая решетка $ теоремы В определяет арифметическую группу Я ) в пространстве Лобачевского ¡5) »которая определяет свою решетку Галуа % Получаем соответствие 2—* S .Обратно, по решетке Галуа о-» ЛЧ/ ч

2) = ( 3, 1К , 6-./ теоремы С строится^гиперболическая решетка 4=^4 с основным полем к= ¡к* для которой

Ш) имеет конечный индекс в » так что 5 ~ решетка теоремы В.

Получаем соответствие 5—*|5> .К сожалению, эти соответствия не взаимно обратны. Однако, очевидно, они сохраняют основные поля -¡К и размерности У) , так что утверждения теорем £ и С » касающиеся основных полей К и размерностей п пространств Лобачевского, эквивалентны.

Теоремы В и С сводят описание, с точностью до конечного числа, гиперболических решеток Б теоремы В и решеток Галуа теоремы С к описанию возможных значений параметров (.И, и). Следующая теорема ¿ё) дает такое ограничение и является обобщением утверждения теоремы ^А » дающего, что не существует гиперболических решеток 2 над 21 ранга с конечным индексом

Теорема об .Если степень А/ основного поля достаточно велика ( N ^ /14 » где /V. -некоторая константа), то не существует арифметических групп, порожденных отражениями (соответственно гиперболических решеток в пространствах Лобачевского размерности У) ^ £0 (соответственно % ^ £ £ ).

Доказательство теоремы ¿Ь потребовало нахождения и использования новых геометрических свойств выпуклых многогранников в пространствах Лобачевского. Многогранник в пространстве размерности

Г) называется многогранником с симплициальными углами, если в каждой его вершине сходятся ровно у\ граней старшей размерности (т.е. минимальное возможное).

Топологическая лемма. Пусть М

- выпуклый замкнутый многогранник с симплициальными углами в пространстве размерности п> г А

-£ , где .Тогда среднее число вершин его граней размерности А не превосходит г с„ / (

Доказательство.См. топологическую лемму 6, § 5, гл.1.

Кроме топологической леммы, которая применяется нами к трехмерным граням ( 3) , доказательство теоремы «Й использует некоторые интересные арифметические свойства элементов матрицы Грама фундаментального многогранника арифметической

С у-Р И группы, порожденной отражениями, в оС • " Оказывается, что хотя эти целые алгебраические числа и чисто вещественны, они обладают некоторыми свойствами, близкими к свойствам известных чисел Пизо-Виджиягхавана (см,»например, [23~]). См. гл. I, §5, леммы 3,4 и 5, доказательство которых использует теорема Фекете (1923 г., о существовании многочленов с целыми коэффициентами и ограниченной степени, мало уклоняющихся от нуля.

Отметим, что все наши общие теоремы В,С , ¿Ь эффективны в том смысле, что конечные множества полей при фиксированном А/ и решеток при фиксированных С Л/, л) теорем В и С в принципе могут быть явно перечислены. Также явно вычисляется константа /\/0 теоремы й . Таким образом, наши теоремы Д - дают надежду на возможность классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского и гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых с точностью до конечного индекса порождены отражениями.

4-°. Дальнейшие результаты. Здесь мы хотим осветить результаты автора и других, развивающие и дополняющие результаты диссертации, приведенные в 3°.

Теорема А из 3° полностью описывает гиперболические решетки , если ^ ? .В настоящее время оставшиеся случаи

3,*/, ¿Г,6 также разобраны. Для это сделано автором в[37 , 38] вместе с ^ Ч .Случай ^ вскоре после этого был разобран Э.Б.Винбергом, неопубликовано (см. замечания к [з7 , 38J ). Завершено это описание автором в [Яо] , где разобран последний случай ъ^-Л — З. Точные формуливки см. в дополнении, 1°. Число решеток каждого ранга приведено в таблице после теоремы .Д » 3°.

Тем самым эти результаты вместе с теоремой А завершают описание поверхностей типа КЗ с конечной группой автоморфизмов.

Оставшееся в теории алгебраических поверхностей не сделанным, описание поверхностей Энриквеса с конечной группой автоморфизмов получено автором в Оно приведено в дополнении, 2°. Тем самым задача описания алгебраических поверхностей с конечной группой бирациональных автоморфизмов завершена. Мы говорили об этой задаче в 2°.

В направлении теорем В - » т.е. в общей теории дискретных групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского, дальнейшие важные результаты получены Э.Б.Винбергом (анонсировано в 1981 г. в ["12"] , подробные изложения в [хз , 14*] ). В дополнение к результатам наших теорем В ~ »касающимся основных полей §\ , для пространств Лобачевского размерности П ^ 4.4 он предъявил явный список из возможных основных полей {( (из наших теорем В - вытекает их конечность при 1 >10 и принципиальная возможность все выписать, чем мы не занимались). В дополнение к теореме«® он показал, что не существует арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского размерности ^-3 0 (из нашей теоремы это вытекает для достаточно большой степени основного поля). Более того, он показал, что последнее утверждение имеет место и для произвольных (необязательно арифметических) дискретных групп, порожденных отражениями, с компактным фундаментальным многогранником. (Эти результаты составили основу докторской диссертации Э.Б.Винберга [15*]. )• Доказательство Э.Б.Винбергом всех этих утверждений, как и доказательство нашей теоремы оЬ , существенно использует нашу топологическую лемму (см. 3°), в случае ; как и у нас, противоречие получается за счет появления невозможных ортогональных граней, однако при этом наши арифметические соображения в доказательствах Э.Б.Винберга заменены некоторыми новыми, интересными соображениями.

Отметим, что техника дискриминантных форм, использованная нами в доказательстве теоремыД» оказалась полезной при описании квадратичных решеток Милнора [зз"] изолированных особенностей голоморфных функций, что было продемонстрировано в работе автора £зб"] . Эти результаты автора, а также результаты ряда авторов, использовавших эти соображения в теории особенностей, приведены в дополнении, 4°.

Техника дискриминантных форм нашла также непосредственное применение в вещественной алгебраической геометрии, в особенности в классификации вещественных поверхностей типа /С 3 » классификация гиперболических решеток над см. теорему Д в 3° и результаты выше) и результаты по описанию факторгрупп имеют самое непосредственное отношение к описанию пространств модулей вещественных поверхностей типа К 3. Мы отсылаем по поводу этих результатов к работам автора £зб - 38 , 41^] .

5°. Структура диссертации. Диссертация, кроме введения,состоит из двух глав, дополнения и заключения. В гл.1 доказываются теоремы В, С и . В гл. 2 доказывается теорема Д . В дополнении, 1° приводятся результаты автора по описанию гиперболических решеток 2 над ранга в, 5~, 3 1 дополняющие теорему Д . .В дополнении, 2° приведено описание (по работе автора £43] ) поверхностей Энрик-веса с конечной группой автоморфизмов. В дополнении, 3° излагаются результаты автора по описанию конечных групп автоморфизмов поверхностей типа КЗ (по работам £34 , 35, Зв^ополняющие гл.2, § 4, где используются инволюции на поверхностях типа/(3. Отметим, что при этом ¡35~] излагает содержание кандидатской диссертации автора. В дрполнении, 4°, приводятся основные моменты техники дискриминантных форм и ее приложения к квадратичным решеткам Милнора изолированных особенностей голоморфных функций (по работе автора ) .Кроме того, в дополнении приводятся некоторые результаты других авторов,связанные с нашими резуль-тами, или развивающие, дополняющие их. Завершает диссертацию заключение.

1ШАВА I, 0 классификации гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса, и арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского.

§ I. Основные определения. Постановка задачи.

Пусть К - поле алгебраических чисел (конечное расширение ) и ® - его кольцо целых алгебраических чисел. Решеткой В над ¡К называется конечнопорожденный модуль $ без кручения с заданной на Я невырожденной симметрической билинейной формой со значениями в © . При этом К называется основным полем $ , рангом $ называется

I отсутствие кручения означает, что

Я^/^ФдоК • Через обозначается значение билинейной формы $ на паре элементов ^ , а х обозначает хг^ос^эс

Предположим, что для одного из вложений б^+ : —> билинейная форма падЛИ гиперболична. Для опЖ ределенности, мы будем понимать под этим то, что ф имеет индексы инерции а, ь ^ ) (исключая дру1*ую возможность ( ¿^ , 1 ). Кроме того, предположим, что Ф

Тогда с $ канонически связано пространство Лобачевского модель Клейна) размерности — £ . Напомним эту конструкцию, которая постоянно будет использоваться. Пусть у = {ссе ф\х2->о]

-25- конус и V -одна из двух поп этого конуса. Тогда

- множество лучей в V »где - положительные действительные числа; мы обозначаем через 1x3 элемент X, определяемый лучом ОС - » где X £ V"+ • Расстояние р в X определяется формулой (если считать кривизну ^ равной (-/)): г гт которое и задает в <2- структуру пространства Лобачевского.

Группа автоморфизмов решетки /О , переводящих полу в себя, естественным образом действует в ¿¿(S) •

Однако для ее дискретности в ^¿(^ S ) необходимо и достаточно, чтобы поле 1К было чисто вещественным и при всяком вложении б • К—^ Ж- 1 отличном от , квадратичная форма была определенной. Это является следствием общей теории арифметических групп (см.»например, [57] ) и общеизвестно. Домножая форму Я на подходящий ненулевой элемент cl 6 Q) ( элемент си Ф О ) , мы будем для определенности считать, что при вложениях 6 : К—> , где форма ф =■ S^ryK- отрицательно определена. Такие решетrf К ки /О мы будем называть гиперболическими.

Таким образом, решетка Я гиперболична, если ее основное поле if\ чисто вещественно, при одном вложении

6С+}: К—> К решетка В имеет индексы инерции (1 ; » ПРИ остальных вложениях б' К » где 6ф б**-*) , решетка S отрицательно определена. Как мы уже говорили, при этом О (S> ) действует дискретно в пространстве Лобачевского канонически связанном с /S .

Кроме того, из теории арифметических групп [ц5 , 57J известно, что 0(2!) имеет в фундаментальную область конечного объема.

Пусть о - гиперболическая решетка с основным полем К и - пространство Лобачевского, связанное с $ . Напомним некоторые факты, касающиеся геометрии гиперплоскостей в £(¡3) и отражений. Всякое полупространство Т в Ш) однозначно определяет и определяется элементом Ъ =— 2 как

При этом ограничено гиперплоскостью

Элемент ^ называется ортогональным и •

Отражение в относительно задается в ОСф) $°Р~ мулой

-+ 5" |РД еосеф. (I)

Рассмотрим автоморфизмы из являющиеся отражениями в »В силу (I), они определяются элементами е £ $ , для которых бС+)(е2)< О и , т.е.

2.(эс-£)/в ) ' ^ ^ /3» для всех эсе $ | и задаются формулами : ОСН-^Х--^ е , где ЗС в о . (2)

При этом -6 в является отражением относительно гиперплоскости с , где

5"= е Ц-^Ke-^lz & ф.

Для гиперболической решетки $ обозначим через VC5) подгруппу группы ¿7 б Я) * порожденную всеми отражениями решетки Я . Нас будет интересовать описание гиперболических решеток S , для которых индекс "W(S)J конечен, т.е. порождена отражениями с точностью до конечного индекса. Важность описания таких решеток S связана с тем, что для них существует простое каноническое описание группы автоморфизмов * Действительно, пусть JU-C^^) ~ фундаментальный многогранник для vcs) В XCS) (°н определяется как замыкание в ¿(Я) компоненты связности Ш) без всех гиперплоскостей, отражения относительно которых принадлежат V ). При этом У( Я) - группа, порожденная отражениями относительно граней MCS) . Пусть ACS) - подгруппа О (&) , состоящая из автоморфизмов S) « переводящих JHC&) в себя. Тогда, очевидно, &'( S)=Affi^CS)' полупрямое произведение. Конечность индекса £ О'^Е) • *W(S) J при этом эквивалентна конечности группы А($) • Кроме того, если индекс £ (Jf(S) '"WCS)конечен, то фундаменталь-вый многогранник JllCS) имеет конечный объем (ибо 0 ( S ) имеет фундаментальную область конечного объема), откуда из выпуклости

Miß) вытекает конечность числа граней, (см. § 2, предложение I ниже). Поэтому является группой Кокстера с конечным числом образующих (соответсвующих граням JHCS) ) и известными соотношениями между образующими (определяемыми комбинаторным строением

MCS) и его двугранными углами)« Таким образом, является полупрямым произведением группы Кокет ера ~W( с конечным числом образующих и конечной группы A(S) • кР°ые того» 0CS) имеет почти каноническую фундаментальную область, являющуюся фундаментальной областью действия конечной группы ACS) в многограннике Все эти факты являются стандартными фактами теории групп, порожденных отражениями, на односвязных римановых многообразиях постоянной кривизнь! (т.е. сфере, евклидовом пространстве, плоскости Лобачевского), См,»например, £7 , 8, э\ .

Кроме того, описание таких гиперболических решеток фактически эквивалентно описанию арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского (см. § 4-)»

Цель настоящей главы - доказательство теорем конечности в указанных задачах (теоремы I (§3), 2(§ 4), 3(§5)),что влечет возможность конечной классификации. л

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты конечности - теоремы 1-3 из гл.1 - убеждают в возможности классификации арифметических дискретных групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского и связанных с ними гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых с точностью до конечного ивдекса порождены отражениями.

Эта классификация, так же как классификация дискретных групп, порожденных отражениями, в пространствах Евклида и Римана, находит применение в других разделах математики, например, в алгебраической геометрии. В частности, классификация гиперболических решеток над , группы автоморфизмов которых с точностью до конечного индекса порождены отражениями, - ей посвящена гл. 2 - позволяет описать алгебраические поверхности типа КЗ над (Е* с конечной группой автоморфизмов.

1. Алгебраические поверхности. - Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова, 1965, т. 75.

2. Андреев Е.М. О пересечении плоскостей граней многогранников с острыми углами. - Матем. заметки, 1970, т. 8, М, с.521-527.

3. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского. - Матем. сб., 1970, т.81, №3, с.445-478.* г

4. А. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространствах Лобачевского. - Матем. сб., 1970, т.83, 162,с. 256-260.

5. Арнольд В.И. Критические точки гладких функции и их нормальные формы. - Успехи матем. наук, 1975, т.30, №5, с.3-65.

6. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1972.

7. Бурбаки. Группы и ашгебрыЛи, гл.4-6. -Пер. с франц.,1. М.:Мир, 1972.

8. Винберг Э.Б. Дискретные группы, порожденные отражениям® в пространстве Лобачевского. - Матем. сб., 1967, т.72, №3, с. 471-488.

9. Винберг Э.Б, Дискретные линейные группы, порожденные отражениями в пространстве Лобачевского. -Изв. АН СССР, Сер. • матем., 1971, т„35, №5, 0.1072-1112.

10. Винберг Э.Б. Об унимодулярных целочисленных квадратичных формах. - Функц. анализ и его прил., 1972, т.6, №2, с.24-32.

11. Винберг Э.Б. О группах единиц некоторых квадратичных форм. - Матем. сб., 1972, т.87, И, с.18-36.г

12. Винберг Э.Б. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности. -,

13. Функц. анализ и его прил., 1981, т.15, №2, с.78-80.

14. Винберг Э.Б. Отсутствие кристаллографических групп отражерний компактного типа в пространстве Лобачевского размерности ^30,-Деп. ВИНИТИ, 1982, №3418-82, 51с.

15. Винберг Э.Б. Отсутствие арифметических кристаллографических групп отражений в пространстве Лобачевского размерности ^-50

16. Деп. ВИНИТИ, 1982, Л3417-82. 23с.* *

17. Винберг Э.Б. Гиперболические группы: Кокстера и целочисленные квадратичные формы: Автореф дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ. - мат. наук (01.01.06). - Л., 1983, 15с.

18. Винберг Э.Б., Каплинская И.М. О группах e>l%iim, - Докл. АН 000Р, 1978, т.238, йб, с.1273-1275.

19. Воронцов С.П. Автоморфизмы четных решеток, возникающие в связи с автоморфизмами алгебраических КЗ-поверхностей. -Вестн. Моск. ун-та. Сер. I. Математика. Механика, 1983, №2,с.19-21.

20. Габриэлов А.М. Матрицы : пересечений некоторых особенностей. - Функц. анализ и его прил., 1973, т.7, №3, с.18-32.• » »

21. Гельфонд А.О. О равномерных приближениях многочленами с целыми рациональными коэффициентами. - Успехи матем. наук,1955, т.10, М, с.41-65.

22. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий. - Успехиматем. наук, 1978, т.38, №2,с.85-134.» *

23. Долгачев И.В. Фактор-конические особенности комплексных поверхностей. - Функц. анализ и его прил., 1974, т.8, Ш, с.75-76.

24. Долгачев И.В. Автоморфные формы и квазиоднородные особенности. - Функц. анализ и его прил., 1975, т.9, №2, с. 67-68.

25. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. - Пер. с англ., М.: ИЛ., 1961.

26. Касселс Дж. Рациональные ! квадратичные формы. - Пер. сангл., M.s Мир, 1982.

27. Касселс Дж., Фрёлих А. Сред.) Алгебраическая теория чисел.- Дерев, с англ., М.:Мир, 1969.

28. Куликов В.С.О некоторых особенностях поверхностей.

29. Функц. анализ и его прил., 1975, т. 9, №1, с.72-73./

30. Куликов Вик.С. Эпиморфность отображения периодов для поверхностей типа КЗ. - Успехи матем. наук, 1977, т.32, М,с.257-258.

31. Макаров B.C. Ободном классе разбиений пространства Лобачевского. - Докл. АН СССР, 1965, т.161, }&2, с.277-278.

32. Макаров B.C. Об одном классе дискретных групп пространства Лобачевского, имеющих бесконечнуфундаментальную область конечной меры. - Докл. АН СССР, 1966, т.167, Н, с.30-33.t * t г

33. Макаров B.C. О федоровских группах четырехмерного и пятимерного пространства Лобачевского. - В сб. "Исслед. по общей алгебре". Вып. I. Кишинев, 1968, с.120-129.

34. Макаров B.C. Геометрические методы построения дискретных tгрупп пространства Лобачевского. - Дис. д-ра физ. - мат. наук: 01.01.04, Кишинев, 1980.

35. Макаров B.C. Геометрические методы построения дискретных групп пространства Лобачевского. - Проблемы геометрии (итогинауки и техники), т.15, с.3-59.*

36. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей.' г- Перев. с англ., М.:Мир, 1971.

37. Никулин В.В. Конечные группы автоморфизмов келеровых поверхностей типа кз. - Успехи матем. наук, 1976, т.31, j£2,с.223-224.г

38. Никулин В.В. О фактор-группах групп автоморфизмов гипербо-*лических форм по одгруппам, порожденным 2-отражениями. - Докл. АН СССР, 1979, т.248, №6, с.1307-1309.

39. Никулин В.В. О фактор-группах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, поровденным 2-отражениями. Алгебро--геометрические приложения. - Современные проблемы математики (итоги науки и техники), т.18, с.З-П4у 1981.

40. Никулин В.В. Об арифметических группах, порожденных отражениями в пространствах Лобачевского. - Изв. АН СССР. Сер. матем.,1980, т.44, с.637-669. * *

41. Никулин В.В. О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981, т.45, ЖЕ, с.112-142.

42. Никулин В.В. Инволюции целочисленных:' квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической геометрии. -Изв. АН СССР. Сер. матем., 1983,т.47, И, с.109-188.

43. Никулин В.В. Поверхности типа1. КЗс конечной группой автоморфизмов и группой Пикара ранга 3.- Тр. Мат. ин-та АН СССР игл. В.А.Стеклова, 1984, т.165, с.119-142.

44. Никулин В ¿В. Об описании групп автоморфизмов^поверхностей ЭнриквесаДокл. АН СССР, 1984, т.Ш.,№6 с.

45. Пятецкий-Шапиро И.И., Шафаревич И.Р. Теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа К 5. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1971, т.35, №3, с.530-572.

46. Рагунатан М. Дискретные подгруппы групп Ли.- Перев. сангл., М.:Мир, 1977.

47. Рудаков А.Н., Шафаревич И.Р. Несепарабельные морфизмы алгебраических поверхностей. - Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976, т.40, йб, с.1269-1307.

48. Рудаков А.Н., Шафаревич И.Р. О квазиэллиптических поверхностях типа КЗ. - Успехи матем. наук, 1978, т.ЗЗ^ 151, с.227-228.

49. Рудаков А.Н., Шафаревич И.Р. Суперсингулярные поверхности типа КЗ над полями характеристики 2. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т.42, М, с.848-869.

50. Рудаков А.Н., Шафаревич И.Р. О вырождении поверхностей типа КЗ. - Докл. АН СССР, 1981, т.259, с.1050-1052.

51. Серр ЕГ.П. Курс арифметики. - Дерев, с франц., М.: Мир, 1972.

52. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.-Перев. с англ., М.: ИД, 1960.

53. Тюрина Г.Н. О топологических свойствах изолированных особенностей комплексных пространств коразмерности один. -Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, т.32, №3, с. 605-620./ » * А

54. Харламов Топологические типы неособых поверхностей степени 4 в К.Р. - Функц. анализ и его прил., 1976, т.10, М, с.55-68,

55. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. - М.: Физматгиз, 1972.

56. Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций одной переменной. - Дерев, с англ., М.: Физматгиз, 1959.-22256. Barth W., Peters C. Automorphisms of Enriques surfaces.- Invent.Math., 1983, B.73, N 3, S. 383-411.

57. Borel A., Harish-Chandra. Arithmetic subgroups of algebraic groups. Ann.Math., 1962, v. 75, N 2, p. 485-535.

58. Brieskorn E. Die Miinorgitter der exzeptionellen unimodularen Singularitäten. - Bonn* Bonner Math.Schriften, 150, 1983.

59. Gartan E. La geometrie des groupes simples. - Ann. di Math., 1927, t. 4, H 4, p. 209-256.

60. Cartan E. Complement au memoire. "Sur la geometrie def groupes simples". - Ann.di Math., 1928, t. 5, H 4, p. 253-260

61. Conway J.H. A characterization of Leech's lattice. -Invent.Math., 1969, B. 7, N 2, S. 137-142.

62. Dehn M. Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidishen Geometrie. - Math. Ann., iy05, B.61, N1. S. 561-586.

63. Durfee A. Bilinear and quadratic forma on torsion modules. - Advans. Math., 1977, v. 25, N 2, p. 133-164.69* Durfee A. The signature of smoothings of complex surface singularities. - Math.Ann., 1978, B. 232, N 1, S. 85-98.

64. Ebeling V/. Arithmetic monodromy groupes. Math.Ann., 1983, B. 264, N 2, S. 211-255.

65. Eihler M.Quadratische Formen und orthogonale Gruppen.-Berlin: Springer-Verlag, 1952.

66. Fekete M. uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. -Math. Zeitschr., 1^23, B. 17, N 220-249.73» Fricke R., Klein F. Theorie der automorphen Punktionen. - Leipzig: Teubner, 1897.

67. Friedman R., Pinkham H. Smoothing of cusp singularities via triangle singularities, 1983. HPenPHHT.

68. Kneser M. Klassenzahlen indefiniter quadratische Formen in drei oder mehr Veränderlichen. - Arch. Math., 1956, B. 7,1. N 5, S. 323-332.

69. Kneser M., Puppe D. Quadratische Formen und Verschi-gungsinvarianten von Knoten. - Math. Z., 1953, 58, N 4,1. S. 376-384.

70. McMallen P. The number of aces of simplicial poly-topes. - Israel J.Math., 1971, v. 9, N p. 559-570.80» Möbius A. Theorie der symmetrischen Figuren. -Gessammelte Werke, B. 2, Leipzig:üirzel, 1886, 561-708.

71. Möbius A. Üeber das Gesetz der Symmetrie der Krystal-le und die Anwendung dieses Gesetze auf dieEinteilung der

72. Krystalle in Systeme. - J.de Grelle, 1952, B.43, S. 365-374.

73. Morrison D. On K3-surfaces with large Picard number. -Invent.Math., 1y84, B. 75, N 1, p. 105-121.83» Niemeier H.-V.Definite quadratische Formen der Dimension 24 und Diskriminante 1. - J.Number Theory, 1973, v. 5, N 2, p. 142-178.

74. O'Meara Q.T. Introduction to quadratic forms. -New York5 Springer, 1963.85» Pinkham H.Singularités exceptionelies la dualité entrange d'Arnald et les surfaces K - 3« - C.r. Acad.Sei. Paris, 1977, t. 284, N 1,A&15-A619.

75. Siegel C.L. Uber die analitischer Theorie der quadratischen Formen. - Ann.Math., Iy35, B. 36, S. 527-606; ly36,.B.37, S. 230-263i 1y3B, B. 38, S. 212-291.

76. Sommerville D.M.Y. The relations connecting the anglesums and volume of a polytope in space of n dimensions. - Proc. Roy.Soc.Ser. A, 1927, v. 115, 103-119.

77. Stanley R. The upper bound conjecture and Cohefr-Macaulay rings. - Studies Appl. Math., 1975, v. 54-, N 2, p. 135-14-2.93* Steenbrink J. Intersection form for quasi-homogeneous singularities. - Compos, math., 1977, v. 34-, N 2, p. 211-223.

78. Steenbrink J. Limits on Hodge structures. - Invent, math., 1976, B. 31, N 3, p. 22y-257.

79. Takeuchi K. A characterization of arithmetic Fuchsian groups. - J.Math.Soc.Japan, 1975, v. 27, N 4-, 600-612.

80. Takeuchi K. Arithmetic triangle groups. - J.Math.Soc. Japan, 1977, v. 29, M 1, p. 91-106.