Представления гиперболических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФДКУЛЬТЕф д

Н Г ;

На правам рукописи УДК 512.547.4

ЕГОРОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискапие ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

- доктор физико-математических наук, профессор В.А.Артамонов

■ доктор физико-математических наук, профессор В.К.Захаров

- кандидат физико-математических наук, доцент Д.В.Осин

- Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого

Защита диссертации состоится "17" ноября 2000 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу 119 899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "17" октября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор / В.Н.Чубариков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение гиперболических групп было начато в работе М.Громова [Gr] К настоящему моменту теория гиперболических групп и их обобщении представляет собой активно развиваемое направление в комбинаторной теории групп. Важность этого направления обусловлена многообразием приложепий этой теории за пределами алгебры (см. например монографию [ST] 2), а также связями теории гиперболических групп с классическими разделами алгебры.

История возникновения понятия гиперболической группы связана с появлением работы Дена [D] 3, в которой была решепа проблема равенства слов для фундаментальной группы замкпутой ориентируемой поверхности рода не меньшего двух. В дальнейшем оказалось возможным связать многие задачи комбинаторной теории групп с изучением класса групп, проблема равенства слов в которых решается с помощью алгоритма Депа. Поверхности рода не меньшего двух можно наделить метриками отрицательной кривизны. Отправляясь от базового примера фундаментальной группы компактного рима-нова многообразия отрицательной секционной кривизны, М.Громов в упомянутой выше работе 1987 года построил теорию, применяющую понятие "отрицательности кривизны" к произвольным конечно-порожденным группам, не обязательно возникающим из геометрических рассмотрений.

Дальнейшее развитие теории гиперболических групп показало, что класс гиперболических групп по существу совпадает с классом групп, проблема равенства слов в которых разрешима с помощью алгоритма Дена. Соответствующий результат получен в работе И.Г.Лысепка [Ls] 4. Это позволяет использовать геометрическую технику при изучении групп с одпим определяющим соотношением и кручением. Вообще говоря, гиперболическая теория является далеко идущим обобщением теории малых сокращений и распространением некоторых идей теории малых сокращений [G] 5 [LSh] 6 на группы неограниченно высокой когомологической размерности.

К настоящему времени теория гиперболических групп накопила большое количество структурно-алгебраических и алгоритмических результатов. Эти результаты изложены

'[Gr] Gromov M. / Hyperbolic groups // Essays in group theory, ed. S.M.Gersten, M.S.R.I., Publ. 8, Springer, 1987, pp. 75-263

2[ST] Соловьев ЮП., Троицкий E.B. / С*-алгебри и эллиптические операторы в дифференциальной топологии // М.Факториал, 1996

3[D] Dehn M. / Über unendliche discontinuerliche Gruppen // Math. Annal. 71,1.4, 5, II.3, 1912, pp.116144

4[Ls] Лысенок И.Г. / О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР, Сер. мат., 53, 4, 1989, стр. 814-832

5[G] Griadlinger M.D. / On DeUn's algoritm Cor the conjugacy and word problems with applications // Coram. Pure Appl. Math., 13, 1960, pp. 641-677

6[LSh] Линдон P., Шупп П. / Комбинаторная теория групп // M. Мир, 1980

в ряде обзоров и монографии [Gs] 7 [CDP] 8 [GA] 9. Выли исследованы связи теории гиперболических грудп с такими яркими общематематическими задачами как гипотеза Пуанкаре [GriK] 10, гипотеза Новикова о высших сигнатурах [СМ] п.

Все возрастающее значение стали приобретать геометрические аспекты теории гиперболических групп. Такие важнейшие достижения как теорема Конна-Московичи, подтверждающая гипотезу С.П.Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур для многообразий с гиперболическими фундаментальными группами, и многочисленные исследования, связанные с оценкой тонкости треугольников в гиперболических группах, фактически находятся вне пределов современной алгебры и могут быть отнесены к различным разделам алгебраической и дифференциальной топологии, а также дифференциальной геометрии "в целом".

Однако, многие важные алгебраические вопросы, связанные с понятием гиперболической группы, до сих пор остаются невыясненными. Здесь необходимо прежде всего отметить известную проблему фияитпой аппроксимируемости (резидуальной конечности) гиперболических групп [Коиг] 12 и тесно связанную с ней классическую гипотезу Баумелага о хопфовости групп с одним определяющим соотношением и кручением [Pri] 13. Актуальность проблемы финитной аппроксимируемости гиперболических групп обусловлена также влиянием, которое она оказывает на теорию конечных групп. Некоторые связи подобного рода установлены А.Ю.Ольшанским. А.Ю.Ольшанский доказал аппроксимируемость гиперболической группы без кручения периодическими группами конечных экспонент [Olsh J] 14. Доказательство соответствующего результата для произвольных гиперболических групп получено в его совместной работе с С.В.Ивановым [ОЬЫ]15. А.Ю.Ольшанский нашел также ряд утверждений, эквивалентных свойству всех гиперболических групп быть финитно аппроксимируемыми. Обнаружена тесная связь между проблемой финитпой аппроксимируемости гиперболических групп и ограничен-

7[Gs] Гис Э. / Гиперболические группы // Математика. Новое в зарубежной науке, 48, Труды семинара Н.Бурбаки за 1990 год, М. Мир, 1996, стр. 151-178

8[CDP] Coomaert M., Delzant T., Papadopulos A. / Notes sur les groupes hyperboliques de Gromov // I.R.M.A. Strasbourg, 1989

9[GA] Гиперболические группы по Михаилу Громову / под ред. Э.Гиса и П. де ля Арпа // М. Мир, 1982

10 [GriK] Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. / Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн., Соврем, пробл. матем., Фундам. напр., 58, 1990, стр. 191-256

U[CM] Connes A., Moscovici H. / Conjecture de Novikov et groupes hyperboliques // C.R. Acad. Sei. Paris, 307, Série I, 1988, 475-480

12[Kour] Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook // Novosibirsk, 1995, Thirteenth augmented edition, 12.64

13[Pri] Pride S.J. / The isomorphism problem for two generator one-relator groups with torsion is solvable // Trans. Amer. Math. Soc., 227,1977, pp. 109-139

14[01shl] Ольшанский А.Ю. / Периодические фактор-группы гиперболических групп // Мат. сборн., 182, 4,1991, стр. 543-567

15[01shl] Ivanov S.V., Ol'shanskii A.Yu. / Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponent // Tfrans. Amer. Math. Soc., vol. 348, 6, 1996, pp. 2091-2138

ной проблемой Бернсайда.

Определенный интерес представляет также еще более специальная проблема существования точного линейпого представления у гиперболической группы. Наличие точного линейпого представления в сочетании со знанием некоторых элементарных свойств гиперболических групп позволило бы получить альтернативные традиционным и более прозрачные с точки зрения алгебраиста доказательства всех основпых структурных свойств гиперболических групп. Решение этого вопроса привело бы также к получению ряда новых теоретико-групповых результатов о группах М.Громова. Исследование такого рода служит первым шагом на пути к общей теории представлений гиперболических групп. В настоящее время построение такой теории сталкивается с существенными трудностями, т. к. гиперболические группы, подобно абсолютпому большинству бесконечных дискретных групп, являются дикими.

Цель работы — нахождение гибкого геометрического критерия финитпой аппроксимируемости конечно-порожденных групп вообще, и гиперболических групп Громова в частности, а также постановка и исследование вопроса о линеаризуемости гиперболических групп и их обобщений.

Методы исследования. В диссертации использованы методы комбинаторной теории групп, теории динамических систем, топологии и функционального анализа.

Научная новизна работы. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. получен критерий финитной аппроксимируемости (пли существования достаточной системы конечномерных линейных представлений) конечно-порожденных дискретных групп в терминах существования эффективных дистальных действий на метрических компактах, рассмотрено также условие па геометрию вложения рассматриваемой группы в ее группу Бора, которое обеспечивает существование точного матричного представления;

2. получен критерий финитной аппроксимируемости гиперболических групп в терминах существования минимального действия на метрическом компакте без размешивания:

3. введено понятие гиперболической категории, развивающее понятие гиперболической группы в направлении формализма категорий и группоидов Хиггинса [Hig] ie.

t

4. введено понятие структурной устойчивости дискретных групп и доказана теорема о структурной устойчивости свободных групп конечного ранга;

5. доказана структурная неустойчивость группы Гейэенберга.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании проблемы

16[IIiS] Higgms P.J. / Notes on categories and groupoids // Van Nostrand Reinhold Math. Studies 32, London, 1971

финитной аппроксимируемости конечно-порожденных групп различных типов: гиперболических групп, групп промежуточного роста, групп с одним определяющим соотношением. Диссертация содержит указание на некоторые новые пути развития теории гиперболических групп. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам Московского государственного университета, Санкт-Петербург ского государственного университета, Московского государственного педагогического университета, МИР АН.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на конференции по универсальной алгебре и теории решеток, проходившей под эгидой Международного Конгресса математиков в Будапеште в 1996 году, на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997) и на 21 конференции Молодых ученых МГУ (Москва, 1999), а также на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Основные результаты данной работы были доложены автором в Математическом институте им. В.А.Стеклова (Российская академия наук) на семинаре по алгебраической геометрии под руководством А.Н.Паршина и И.Р.Щафаревича.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Текст диссертации изложен на 109 страницах. Список литературы содержит 91 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая история развития теории гиперболических групп, приводится обзор результатов во исследуемой проблеме и формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава носит подготовительный характер. В ней собраны необходимые сведения о гиперболических группах М.Громова и поставлена проблема финитной аппроксимируемости (резидуальной конечности) групп этого класса. Даны формулировки некоторых частных результатов по рассматриваемой проблеме.

В §1.1 описала словарная метрика на конечно-порожденной группе, рассмотрение которой является основой для геометрического метода в современной комбинаторной теории групп.

В §1.2 рассмотрено понятие квазиизометрии и кваэииэометрического типа метрического пространства, восходящее к работам Г.А. Маргулиса [Маг] 17 по дискретным группам изометрий многообразий отрицательной кривизны. Многие алгебраические свойства дискретных конечно-порожденных групп определяются типом квазиизометрии соответствующей словарной метрики. Эта важная мысль подчеркивается в §1.3. Параграфы §1.4 и §1.5 содержат определения гиперболических пространств и гиперболических групп, а также некоторые комментарии к этим определениям.

В §1.6 рассматриваются известные алгебраические свойства гиперболических групп. Вводится в рассмотрение комплекс Рипса и упоминается теорема о его стягиваемости.

l7[Mar] Margulis G.A. Groupes discreta d'isométries des variétés à courbure négative (( Proceed. I.C.M., vol. 2. — Vancouver, 1974. — c. 21-34

Отмечены важные следствия этой теоремы: конечномерность алгебры рациональных когомологий и существование конечного копредставления у гиперболических групп, а также копечность числа классов сопряженности периодических элементов в произвольной гиперболической группе. Этп факты связаны с материалом осповпого текста дис-еертациоппой работы. Конечность классов сопряжепности периодических элементов в сочетании с гипотезой о фкшггной аппроксимируемости гиперболических групп приводит к важному предположению о структуре гиперболических групп — аналогу леммы Сельберга. Конечномерность алгебры рациональных когомологий подчеркивает определенную неформальную аналогию между гиперболическими группами и матричными группами [AlSh] 18. Утверждение о существовании конечпого копредставлепия у гиперболической группы позволяет дать эквивалентное определение гиперболичности в терминах т. н. изопериметрического неравенства. Изопериметрическое неравенство появлялось независимо от теории гиперболических групп в работах А.Ю.Ольшанского [01sh2] 1Э. В предлагаемой диссертации изопериметрические неравенства используются для определения гиперболических категории.

В §1.7 дается алгоритмическая характеризация класса гиперболических групп. Приводится краткое описание алгоритма Дена и формулировка теоремы И.Г.Лысенка, дающей критерий гиперболичности в терминах применимости алгоритма Дена к решению проблемы равенства слов. Этот критерий позволяет установить гиперболичность групп с одяим определяющим соотношением и кручением. Группы этого типа являются следующими по сложности после свободных и являются одним из основпых объектов исследования в комбинаторной теории групп.

В §1.8 изложены основные вопросы, решению которых посвящена предлагаемая диссертационная работа. Напомним, что группа G называется финитно аппроксимируемой (или резидуально копечной), если пересечение ее нормальпых подгрупп конечпого индекса равно единичной подгруппе. В теории гиперболических групп известна следующая проблема: всякая ли гиперболическая группа является финитно аппроксимируемой?

Финитно аппроксимируемые группы обладают многими интересными свойствами. Голоморф и группа автоморфизмов конечно-порожденной финитно аппроксимируемой Группы также финитно аппроксимируемы. Для конечно-порожденпых фипитно аппроксимируемых групп доказана справедливость известпой гипотезы Кервера-Лаудепбаха-Хоуви о разрешимости невырождепных систем уравнении [GerR]20. Если указанная проблема решается положительно, то перечисленными свойствами обладает любая гиперболическая группа. В гиперболической группе число классов сопряженности периодических элементов конечно. Если гиперболическая группа финитпо аппроксимируема, то можно выбрать нормальную подгруппу конечного индекса, которая не содержит представителя одного такого класса сопряженности, а значит, не содержит и весь класс. Проделав это для каждого класса сопряженности периодических элементов и рассмотрев пересечение полученного конечпого семейства нормальных подгрупп конечного индекса, мы получим нормальную подгруппу конечного индекса, вообще не содержащую элемеп-

18[AlSh] Alperin R.C., Shalen P.R. Linear groups of finite eobomological dimension Ц Invent. Math. — 1982. —68. — c. 89-98

I9[01sh2] Ольшанский А.Ю. Бесконечная простая яетерова группа без кручения // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1979. — 43, 6. — с. 1328-1393

20[GerR] Gerstenhaber М., Rothaus O.S. The solution of sets of equations in groups // Proc. Nat. Acad. Sri. — 1962. — 48. — c. 1951-1953

тов конечного порядка. Поэтому каждая финитно аппроксимируемая гиперболическая группа является конечным расширением гиперболической группы без кручения.

Одним из весьма важных следствий финитной аппроксимируемости конечно-порожденных групп является их хопфовость. Группа называется хопфовой, если она не изоморфна никакой своей собственной фактор-группе, или, что то же самое, всякий ее эпиморфизм на себя является изоморфизмом. Это свойство было впервые доказано Хопфом для фундаментальных групп римановых поверхностей. Фундаментальная груша римановой поверхности рода большего или равного двум является типичным примером гиперболической группы. Поэтому возникает естественный вопрос о хопфо-вости гиперболических групп. Предположение о том, что группа с одним определяющим соотношением, имеющая кручение, хопфова и даже финитно аппроксимируема известно как гипотеза Баумслага. Гипотеза Баумслага исследовалась методами комбинаторной теории групп и доказана Прайдом в частном случае групп с двумя образующими. Положительное решение проблемы резидуальной конечности гиперболических групп влечет подтверждение гипотезы Баумслага.

Э.Гис связывает проблему резидуальной конечности гиперболических групп с теоремой о стягиваемости комплекса Рипса. Метод данной диссертации состоит в рассмотрении более общих почти-периодических действий. Отправным пунктом для построения таких действий может служить действие гиперболической группы G не на комплексе Рипса Pn{G), а на границе 8G. Элементарные сведения о границе гиперболической группы приведены в параграфе 1.9.

Вторая глава посвящена установлению общего критерия финитной аппроксимируемости конечно-порожденных групп. В первой главе было дано представление о классе гиперболических групп и упомянуты два известных вопроса, связанных с теорией гиперболических групп: проблема финитной аппроксимируемости и гипотеза Баумслага. Положительное решение этих вопросов следовало бы из доказательства существования достаточной системы линейных представлений у гиперболических групп. Во второй главе мы рассматриваем общий вопрос о существовании достаточной ситемы представлений и существовании точного линейного представления у конечно-порожденной группы.

Основным результатом данной главы является критерий, характеризующий конечно-порожденные группы унитарных операторов в терминах их действия на компактах. Такой подход к проблеме существования точного матричного представления является альтернативным по отношению к классическому методу расщепляемых координат А.И.Мальцева и Ю.И.Мерздякова, с упоминания которого в §2.1 мы начинаем наше изложение.

Доказательство предлагаемого автором критерия точной матричной представимости конечно- порожденных групп, начинается в §2.2 с рассмотрения необходимых и достаточных условий финитной аппроксимируемости групп, формулируемых в терминах существования почти-периодических действий на банаховых пространствах. В частности эти условия позволяют усмотреть достаточно очевидное утверждение о финитной аппроксимируемости конечно-порожденных групп изометрий компактов. Почти-периодические действия нужны для построения т. н. группы Вора, используемой автором при формулировке критерия унитарности конечно-порожденной группы. Далее автор ослабляет условие изометричности действия на компакте и переходит к рассмотрению дисталъных действий.

Необходимые сведения о понятии дистальности сообщаются в §2.3. ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3.1 Пусть конечно-порожденная группа G действует гомеоморфизмами на компакте

К. Это действие называется дистальпым, если ни для какой пары различных точек k, k' G Р не существует такой последовательности элементов <у, 6 G, что последовательности д,{к) и д,(к') сходятся к одному пределу в К).Доказательство утверждения о финитной аппроксимируемости групп дистальных преобразований требует привлечепия дополпительпых соображении, связанных с инвариантным интегрированием. Секвенциальная компактность обволакивающей группы Эллиса обоснована с использованием глубоких структурных результатов Фюрстепберга [F] 21 и Бронштейна [В] 22.

Описание слабой сходимости вероятностных мер па компактах и метризации этой сходимости посредством BL-метрики дано в §2.4. Эта метрика используется в §2.5 для доказательства следующего утверждения, являющегося аналогом теоремы Рыль-Нарджевского о пеподвижной точке.

ТЕОРЕМА 2.5.3 Пусть группа G действует линейно и дисталъно по отношению к слабой сходимости па слабо компактном выпуклом множестве вероятностных мер К. Тогда это действие имеет неподвижную точку, т. е. 6 эпго-м множестве мер существует некоторая G-инвариангпная мера.

В §2.6 доказано, что действие на пространстве вероятпостных мер, которое индуцировано дистальным действием, дистадыю относительно топологии слабой сходимости мер. При этом использована установленная выше секвенциальная компактность группы Эллиса. В сочетании с полученной теоремой о неподвижной точке доказанное означает существование инвариантной меры у рассматриваемого дистального действия.

В §2.7 усредпепием по инвариантной мере конструируется вполне ограниченная инвариантная метрика на рассматриваемой группе. Отсюда выводится следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 2.7.3 Конечно-порожденная группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда она изоморфна группе, эффективно и дистально действующей на некотором компакте.

В §2.8 содержится краткое изложение теории двойственности Таннаки-Крейна для максимальных почти-нериодических групп. Эти сведения требуются в последующем при рассмотрении некоторых вопросов теории представлений гиперболических групп.

В §2.9 рассматривается условие отсутствия малых орбит действия, обобщающее NSS-свойство в теории групп Ли. Конечно-порожденные группы унитарных операторов получают описание как группы, допускающие эффективные дистальные действия на компактах с относительным NSS-свойством у канонического вложения в группу Бора. В этом же параграфе снимается условие метризуемости рассматриваемых компактов.

Третья глава посвящена проблемам применения описанного в предыдущей главе метода построения унитарных представлений к гиперболическим группам. Мы сформулируем гипотезу о существовании достаточной системы линейных представлений у гиперболических групп и обсудим ее возможные следствия. Третья глава завершается изложением принадлежащей автору концепции гиперболической категории. Представления гиперболических категорий обобщают представления гиперболических групп и представления колчанов.

В §3.1 рассматривается отношение проксимальности (ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.1 Пусть группа G действует гомеоморфизмами на компакте X. Точки х,у € X называют прок-

21 [F] Purstenberg H. The structure of distal flows I ! Amer. J. Math. — 1963. — 85. — C- 477-515

22[B] Бронштейн И.У. Расширения минимальных групп преобразований. — Киш.:Штиинца, 1975. — 308 с.

сималъными, если ш^пР{йх^йу) — 0, где р — метрика на X.) Всевозможные пары проксимальных точек образуют подмножество р в декартовом квадрате компакта X. Это подмножество называется отношением проксимальности. Отношение проксималъ-ности (?-инвариантпо, рефлексивно и симметрично, но, вообще говоря, не транзитивно. Поэтому оно не всегда является отношением эквивалентности. Для дистального действия р совпадает с диагональю. Звездным замыканием р* отношения проксимальности называется наименьшее (З-инвариантное отношение эквивалентности на X (т. е. подмножество в X2) с замкнутым фактор-отображением X -> X/р*.

Напомним, что каждое отношение эквивалентности порождает разбиение X на классы эквивалентности со следующей топологией: множество классов эквивалентности открыто, если открыт его прообраз при отображении факторизации. Если образ замкну -того множества при факторизации замкнут, то отображение факторизации называется замкнутым, а соответствующее отношение звездно замкнутым. В этом случае фактор-пространство компактно и хаусдорфово. На пространство X/р* переносится действие группы в. Динамическая система (X/ р*, С) оказывается дистальной. Таким образом, звездное замыкание отношения проксимальности является своеобразным "радикалом", факторизация по которому уничтожает явление сближаемости точек. Однако, соответствующее фактор-действие как правило неэффективно. В §3.2 рассмотривается случай, когда оно оказывается достаточно содержательным.

Напомним, что минимальным действием называется топологическое действие группы С на компакте К, при котором компакт не содержит собственных замкнутых С инвариантных подмножеств. Будем говорить, что действие является размешивающим если топологическое замыкание р отношения проксимальности р как подмножества декартова квадрата фазового пространства совпадает с этим декартовым квадратом. В терминах размешивания можно получить критерий существования гомоморфизма на нетривиальную конечную группу. Существование такого гомоморфизма для каждой гиперболической группы равносильно резидуальной конечности гиперболических групп.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.2.1 Конечно-порожденная группа в содержит собственную нормальную подгруппу конечного индекса тогда и только тогда когда она действует минимально и без размешивания, на некотором неодноточечном метрическом компакте К.

Автор предполагает, что некоторые конструкции таких действий для гиперболических групп можно получить используя расширение действия на границе с помощью обобщенного коцикла, связанного с функциями Буземанна. Такого рода результаты не включены в данную диссертационную работу, поэтому в §3.3 автор ограничивается формулировкой некоторых гипотез, связанных с существованием указанных действий.

ГиПОТЕЗА 3.3.2 Всякая гиперболическая группа финитно аппроксимируема.

ГИПОТЕЗА 3.3.3 Группа с одним соотношением и кручением финитно аппроксимируема и, в частности, хопфова.

Возникает также предположение о возможности линеаризации некоторых классов гиперболических групп. Достаточно доказать, что вложение гиперболической группы (7 без кручения в ее компактификацию Бора обладает относительным ]У££-свойством.

ГИПОТЕЗА 3.3.5 Типичная гиперболическая группа линейна.

Сформулированная гипотеза не является предположением о линейности всех гиперболических групп. Есть основания полагать, что нелинейные гиперболические группы существуют и могут быть построены с привлечением техники соотношений с обобщенными условиями малого сокращения. Гипотезу 3.3.5 нужно понимать в том смысле, что

•иперболические группы в типичных случаях ведут себя подобно неразрешимым матрич-пым группам. Попятие типичпости в данном случае нуждается в некотором уточнении.

В §3.4 описана связь между рассматриваемыми в диссертации вопросами аппрокси-1ации гиперболических групп и проблемой Бернсайда. Аппроксимируемость гипербо-гических групп периодическими группами ограниченных экспопепт была установлепа в >аботе А.Ю .Ольшанского и С.В.Иванова. В работах этих авторов поставлен следующий юпрос.

ПРОБЛЕМА 3.4.2 Верно ли, что для всякого достаточно большого простого числа г и для всякого числа т > 1 найдется такое число N = N(m,n), что всякая конечная '.руппа, порожденная множеством {ai,... ,am} имеет экспоненту пе превосходящую п, '.ели (ага ■... • хм)п = 1 для любых Zi,..., xjy £ {ai,... a„} U {1} ?

Опираясь на результаты классических работ Е.И.Зельмапова и А.И.Кострикина, З.В.Иванов и А.Ю.Ольшанский указали примеры гиперболических групп, которые не дши бы финитно аппроксимируемыми в случае положительного решения проблемы 3.4.2. Зсли в соответствии с гипотезой 3.3.2 для пары (т, п) проблема 3.4.2 имеет отрицатель-юе решение, то свободная бернсайдова группа В{т, п) бесконечна.

В работе Хиггинса систематически использовалось сходство между группами и категориями. Ассоциативному умножению в группах соответствует ассоциативная ком-тозиция морфизмов, единичному элементу —■ единичные морфизмы, обратимости эле-чептов — частичная обратимость морфизмов. Таким образом, можно рассматривать группу как категорию с одним объектом и морфизмами, которые помечены элементами группы. На этом пути были устранепы некоторые технические трудности, связанные с изучением гомотопических групп топологических пространств, и получены ясные доказательства теорем Куроша и Грушко. Некоторые специалисты рассматривают описанную взаимосвязь между группами и категориями как важное направление исследований в комбинаторной теории групп.

В параграфе 3.6 мы предлагаем в рамках указанной аналогии между группами и категориями понятие гиперболической категории. Представления гиперболических категорий обобщают представления гиперболических групп и представления колчапов. Развиваемый формализм может оказаться полезным при изучении алгебр Ли и ассоциативных алгебр конечного типа.

Четвертая глава посвящена проблеме определения класса "параболических" или "полугиперболических" групп. Однако, этот класс до настоящего времени не имеет общепринятого определения. Определение свойства полугиперболичности должно удовлетворять целому ряду требований. Это определение должно быть геометрическим и должно охватывать фундаментальные группы компактных римановых многообразий неположительной кривизны, а также группы с условием малых сокращений типа С"( 1/5) (см. пример 1.7.2) и решетки в полупростых группах Ли. Найти свойство графа Кэли, инвариантное относительно квазиизометрий и выполняющееся для графов Кэли групп из упомянутых трех семейств, достаточно трудно, т. к. свойство неположительности кривизны разрушается при квазиизометриях. Проблемой определения класса полугиперболических групп занимались многие авторы [А] 23. К пастоящему времени предложено несколько различных определений. Данная глава посвящена изложению некоторых результатов, связанных с понятием структурной устойчивости конечно-порождеппых

23[А] Alonso J.M. Combings of groups // prépublication M.S.R.I., 04623-89

групп. Понятие структурно устойчивой группы введено автором как одно из возможных уточнений неформального понятия полугиперболической группы.

Нашей целью является формулировка точного математического определения понятия структурной устойчивости, сравнительный анализ некоторых известных подходов к понятию полугиперболичности, а также доказательство неустойчивости группы Гей-зенберга и устойчивости свободных групп конечного ранга. В последнем параграфе мы сформулируем некоторые открытые проблемы в этой области.

Понятие структурной устойчивости вводится в теорию групп по аналогии с соответствующим понятием из дифференциальной динамики. Такого рода аналогии характерны для современной математики. Для сравнения можно привести пример проникновения понятия структурной устойчивости в теорию банаховых алгебр [J] 24.

В §4.1 мы упоминаем некоторые понятия современной геометрической теории групп, которые могут служить отражением различных точек зрения на понятие полугиперболической группы. Здесь мы указываем лишь некоторые варианты определения полугиперболичности для того, чтобы проиллюстрировать типичные трудности, которые встречаются при уточнении этого неформального понятия. Для демонстрации этих трудностей мы выбрали понятия почти выпуклости по Капнону и причесываемости по Терстону.

В §4.2 вводятся понятия близости и эквивалентности групп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.1 Две абстрактные конечно-порожденные группы Е и F с конечными системами образующих S(E),S(F) и законами композиции -,о соответственно, называются структурно близкими, если существует такая квазиизометрия <р : Е ► F, ф : F К и такая постоянная canst > 0, что для любых двух элементов е, е' 6 Е и любых двух элементов /, /' G F выполняются следующие неравенства

ds(F){v(e ■ е')> <р(е) 0 v(e/)} — consti ds{E)mf) ■ Ф(Г), Ф(/ ° /)} < ernst.

Приведенное определение придает точный смысл интуитивному представлению о "малом возмущении" групповой структуры. Таким образом, конечно-порожденная группа имеет две структуры: геометрическую, т. е. тип квазиизометрии соответствующей сло-варпой метрики, и алгебраическую, т. е. закон композиции. Близость групп означает равномерную близость соответствующих групповых законов в рамках одного квазиизометрического типа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.7 Две конечно-порожденные группы Е и F с конечными системами образующих S(E) и S(F) называются структурно эквивалентными, если между ними существуют два гомоморфизма V Е —У Е,<ф : F -4 Е, которые образуют ква-зиизометрию между пространствами (E,ds(E)) и (F,ds(F)). Здесь символы ds(E) и <^s(f) обозначают словарные метрики на группах Е и F.

В §4.3 вводится понятие устойчивости групп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3.1. Конечно-порожденная группа Е с конечной системой порождающих S(E) называется структурно устойчивой, если для любой конечно-порожденной группы F с конечной системой порождающих S(F) структурная близость Е х F влечет структурную эквивалентность Е & F.

В §4.4 доказан один из основных результатов диссертации.

ТЕОРЕМА 4.4.1 Свободные группы конечного ранга обладают свойством структурной устойчивости.

24[J] Jarosz К. Perturbations ofBanach algebras. — Lect. Notes in Math., 1120. —Berlin, Springer, 1985. — 118 c.

В §4.5 рассматривается группа Гейзенберга NIL, состоящая из целочисленных матриц вида

Теорема 4.5.1 Группа Гейзенберга структурно неустойчива.

В §4.6 наряду с другими проблемами поставлен вопрос о структурной устойчивости гиперболических групп.

В заключении поставлен ряд вопросов, тесно связанных с темой диссертации. Речь идет о проблеме финитной аппроксимируемости гиперболических групп относительно сопряженпости, о проблеме финитной аппроксимируемости групп промежуточного роста, а также о связях теории гиперболических групп с алгебраической геометрией, гомотопической топологией и абстрактным гармоническим анализом. Приложение со держит краткие сведения об основных результатах топологии и анализа, которые были использованы в основном тексте диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.А.Артамонову за постоянное внимание к данной работе и многочисленные полезные обсуждения полученных результатов, а также проф. А.Ю.Ольшанскому,

д.ф.-м.н. Е.Б.Плоткину, проф. В.И.Сущапскому и проф. А.Л.Шмелькину за ряд цепных советов и замечаний. Автор также признателен д.ф.-м.н. С.В.Ивапову, с которым он имел возможность обсудить некоторые вопросы теории групп.

Автор сердечно благодарен проф. В.Н.Латышеву и проф. А.В.Михалеву, замечания которых способствовали улучшению изложения материала данной работы.

1. А.В.Егоров О конечно-порожденных группах унитарных операторов //УМН.—

1999. — 54,3. — с. 159-160

2. А.В.Егоров Финитпая аппроксимируемость групп и топологичекая динамика // Матем. сб. - 2000. — 191,4. — с. 53-66

3. A.V.Egorov Structural stability of free groups // Comm. in Alg. — 1998. — vol. 26, numb. 6. — c. 1923-1929

4. A.V.Egorov Hyperbolic categories // Conference on Universal Algebra and Lattice Theory, Szeged Hungary. — 1996. — c. 9

5. A.V.Egorov Structurally stable groups // International Algebraic Conference dedicated to the memory of D.IC.Faddeev, St. Petersburg, Russia. — 1997. — c.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

42

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 10.10.2000 г. Усл.печ.л.0,75. Тираж 110 экз. Заказ 436. Тел. 939-3890, 939-3891, 928-1042. Тел./факс 939-3891. 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ.

Введение.

1 Основные понятия теории гиперболических групп

1.1 Словарная метрика на группе.

1.2 Квазиизометрии пространств.

1.3 Геометрические свойства групп.

1.4 Гиперболические пространства.

1.5 Гиперболические группы.

1.6 Алгебраические свойства.

1.7 Алгоритмические свойства.

1.8 Проблема резидуальной конечности.

1.9 Граница гиперболической группы.

2 Точные представления и топологическая динамика

2.1 Метод расщепляемых координат

2.2 Почти-периодические действия

2.3 Дистальные действия.

2.4 Слабая сходимость мер.

2.5 Теорема о неподвижной точке.

2.6 Инвариантная мера.

2.7 Почти-периодичность и дистальность

2.8 О почти-периодических группах.

2.9 Группы унитарных операторов.

3 Линеаризация гиперболических групп

3.1 Отношение проксимальности.

3.2 Минимальность и размешивание.

3.3 Когомологии и функции Буземанна.

3.4 Расширенная проблема Бернсайда.

3.5 О значении линеаризации.

3.6 Гиперболические категории.

4 Структурно устойчивые группы

4.1 Формализация полугиперболичности.

4.2 Близость и эквивалентность.

4.3 Устойчивость и неустойчивость.

4.4 Устойчивость свободных групп.

4.5 Неустойчивость группы Гейзенберга.

4.6 Открытые проблемы

Предлагаемая диссертационная работа содержит некоторые результаты, связанные с развиваемым автором подходом к вопросу о представимости линейными операторами гиперболических групп. Этот подход позволяет связать теорию гиперболических групп с техникой теории алгебраических групп и получить некоторые новые результаты о структуре гиперболических групп.

В знаменитой работе Дена [54] была решена проблема равенства слов для фундаментальной группы компактной римановой поверхности рода не меньшего двух. Исследования Дена привели к появлению алгоритма, который позволяет при благоприятных условиях решать проблему равенства слов в конечно-определенных группах, отправляясь от их задания образующими и определяющими соотношениями. В дальнейшем оказалось возможным связать многие задачи комбинаторной теории групп с изучением класса групп, проблема равенства слов в которых решается алгоритмом Дена. Один из ярких примеров подобного рода — работа С.И.Адяна [1], в которой скорость сходимости алгоритма Дена использована для оценки так называемого показателя роста группы, что позволило доказать неаменабельность некоторых свободных бернсайдовых групп.

В настоящее время, после появления теории гиперболических групп М.Громова, стала еще более ясной классическая связь алгоритма Дена с отрицательностью кривизны рассматриваемой поверхности или отрицательностью секционной кривизны более сложного гладкого многообразия. Отправляясь от базового примера фундаментальной группы компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны, М.Громов построил теорию, применяющую понятие " отрицательности кривизны" к произвольным конечно-порожденным группам, не обязательно возникающим из геометрических рассмотрений.

Используемый в теории М.Громова метод является глубоко геометрическим и опирается на развитую теорию гиперболических метрических пространств. Возможность успешного перенесения свойства отрицательности кривизны, известного первоначально только для многообразий, на произвольные геодезические пространства обеспечивается весьма глубокими геометрическими результатами, например, такими как теоремы сравнения Александрова и Топоногова. Исключительно важным инструментом оказалось понятие квазиизометрии геодезических пространств, восходящее к работам Г.А.Маргулиса. Руководством по теории гиперболических пространств могут служить монографии [9],[53].

Дальнейшее развитие теории гиперболических групп Громова показало, что класс гиперболических групп по существу совпадает с классом групп, проблема равенства слов в которых разрешима с помощью алгоритма Дена. Соответствующие результаты были получены в работе И.Г.Лысенка [20]. Таким образом, класс гиперболических групп оказывается весьма широким. Это позволяет использовать геометрическую технику теории М.Громова в таких чисто алгебраических вопросах как, например, изучение групп с одним определяющим соотношением и кручением. Класс гиперболических групп содержит также важные подклассы групп с малыми сокращениями типа С'( 1/6) и С(1/4)&Т(4). Естественно рассматривать гиперболическую теорию М.Громова как далеко идущее геометрическое обобщение теории малых сокращений и распространение некоторых идей теории малых сокращений на группы неограниченно высокой когомологической размерности.

Начальный этап развития теории гиперболических групп ознаменовался получением большого числа структурно-алгебраических и алгоритмических результатов. Достаточно упомянуть теоремы о конечной представимости гиперболических групп и конечности их рациональной когомологической размерности, о наличии свободной подгруппы в неэлементарной гиперболической группе и об автоматном представлении для произвольных гиперболических групп [10]. Были исследованы также квадратичные уравнения в гиперболических группах [11]. С помощью гиперболической техники был получен целый ряд важных результатов, связанных с аменабельностью групп, неограниченной проблемой Бернсайда и Т-свойством Каждана [9]. Разумеется, в этом кратком вступлении мы упоминаем лишь некоторые достижения структурно-алгебраического подхода в теории М.Громова.

В дальнейшем все возрастающее значение стали приобретать геометрические аспекты теории гиперболических групп. Такие важнейшие достижения как теорема Конна-Московичи [52],[34], подтверждающая гипотезу С.П.Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур для многообразий с гиперболическими фундаментальными группами, и многочисленные исследования, связанные с оценкой тонкости треугольников в гиперболических группах, фактически находятся вне пределов современной алгебры и могут быть отнесены к различным разделам алгебраической и дифференциальной топологии, а также дифференциальной геометрии " в целом".

Однако, многие важные алгебраические вопросы, связанные с понятием гиперболической группы, до сих пор остаются невыясненными. Здесь необходимо прежде всего отметить известную проблему финитной аппроксимируемости (резидуальной конечности) гиперболических групп [10] и тесно связанную с ней классическую гипотезу Баумслага о хопфово-сти групп с одним определяющим соотношением и кручением [15]. Актуальность проблемы финитной аппроксимируемости гиперболических групп обусловлена также влиянием, которое она оказывает на теорию конечных групп. Связи этой темы с проблемой Бернсайда установлены А.Ю.Ольшанским [72, проблема 12.64]. А.Ю.Ольшанский доказал аппроксимируемость гиперболической группы без кручения периодическими группами конечных экспонент [28]. Доказательство соответствующего результата для произвольных гиперболических групп получено в его совместной работе с С.В.Ивановым [69]. А.Ю.Ольшанский нашел также ряд утверждений, эквивалентных свойству всех гиперболических групп быть финитно аппроксимируемыми.

Определенный интерес представляет также еще более специальная проблема существования точного линейного представления у гиперболической группы. Наличие точного линейного представления в сочетании со знанием некоторых элементарных свойств гиперболических групп позволило бы получить альтернативные традиционным и более прозрачные с точки зрения алгебраиста доказательства всех основных структурных свойств гиперболических групп. Решение этого вопроса привело бы также к получению ряда новых теоретико-групповых результатов о группах М.Громова. Исследование такого рода служит первым шагом на пути к общей теории представлений гиперболических групп. В настоящее время построение такой теории сталкивается с существенными трудностями, т. к. гиперболические группы, подобно абсолютному большинству бесконечных дискретных групп, являются дикими.

Перейдем к краткому изложению содержания предлагаемого исследования. Первая глава имеет обзорный характер. В ней в сжатом виде представлены основные понятия теории гиперболических групп, которые используются в дальнейшем изложении. Дается краткое описание геометрического метода в комбинаторной теории групп, приводятся различные определения гиперболичности конечно-порожденных групп, сообщаются сведения о важнейших классах гиперболических групп. В этой вводной главе формулируются основные проблемы, на решение которых направлены усилия автора, приводятся известные частные результаты в этом направлении. Отдельно рассматривается важный в техническом отношении вопрос о действии гиперболической группы на своей границе.

Вторая глава содержит описание нового метода построения линейных представлений, связанного с топологической динамикой. В отличие от традиционного для высшей алгебры метода расщепляемых координат А.И.Мальцева и Ю.И.Мерзлякова, направленного на доказательство линейности групп со свойствами, группирующимися вокруг понятия нильпотентности, этот метод более приспособлен для исследования групп близких к свободным. Прежде всего в этой главе будет изучена связь между финитной аппроксимируемостью групп и почти-периодическими действиями на банаховых пространствах. Рассуждения второй главы широко используют методы абстрактного гармонического анализа. Особую роль играет в нашем подходе изучение дистальных действий групп на компактах. Развиваемая в данной главе техника усреднения по обволакивающей группе Эллиса позволяет дать характеризацию конечно-порожденных групп унитарных операторов в терминах теории динамических систем. Глава завершается общими замечаниями о возможностях предлагаемого метода.

Обсуждение возможности применения изложенного метода к гиперболическим группам составляет содержание третьей главы. Доказана эквивалентность финитной аппроксимируемости всех Гиперболических групп существованию у произвольной гиперболической группы минимального действия без размешивания. Высказываются некоторые соображения по поводу построения таких действий. В третьей главе сформулирована гипотеза о линейности гиперболических групп. Обсуждается методологическое значение полученных результатов в плане осмысления известных свойств гиперболических групп. Третья глава заканчивается принадлежащим автору истолкованием теории гиперболических групп в рамках категорного формализма Хиггинса [67]. Рассматриваются возможные связи этого формализма с теорией представлений и другими разделами математики.

М.Берже в своем очерке [44], посвященном творчеству М.Громова, указывает на предлагаемую последним философию "трех состояний". Типичная дискретная бесконечная группа должна быть отнесена к одному из трех типов: эллиптическому, гиперболическому или параболическому. Такое деление характерно для коник, уравнений в частных производных и других математических объектов. В теории групп к эллиптическому типу должны быть отнесены конечные группы, а к гиперболическому — гиперболические группы М.Громова. Понятие параболической или полугиперболической группы до сих пор не имеет общепринятого определения. Теория полу гиперболических групп должна охватывать фундаментальные группы компактных римановых многообразий неположительной секционной кривизны и однородные дискретные подгруппы вещественных полупростых групп Ли, которые имеют вещественный ранг не ниже Двух.

Заключительная четвертая глава посвящена описанной выше проблеме определения полугиперболических групп. Она начинается кратким обзором наиболее известных подходов к понятию полугиперболичности. Необходимо отметить, что в данном вопросе геометрическая теория дискретных групп сталкивается со значительными трудностями. Многие из предлагаемых определений полугиперболичности не имеют доказательства корректности, т. е. независимости от выбора образующих. Предлагается обсуждение некоторых понятий этого рода: почти выпуклости по Каннону, причесываемости по Терстону и др.

Согласно известной теореме жесткости Мостова геометрия компактного гиперболического многообразия фактически однозначно определяется его фундаментальной группой. Поэтому можно рассчитывать на появление конструкции геодезического потока, которая осуществляется непосредственно по фундаментальной группе многообразия отрицательной кривизны. Одна конструкция подобного рода представлена в работе М.Громова [64]. Геодезический поток гиперболической группы определен с точностью до траекторной эквивалентности и ему присущи многие свойства геодезических потоков на гиперболических многообразиях. Знаменитая теорема Д.В.Аносова о структурной устойчивости гиперболических динамических систем приводит к предположению, что структурная устойчивость должна быть разумным обобщением гиперболичности и в контексте теории гиперболических групп.

В четвертой главе рассматривается одно из возможных уточнений концепции структурной устойчивости дискретных групп. Соответствующее понятие введено автором. Излагается доказательство структурной устойчивости свободных групп и приводится пример структурно неустойчивой группы. Понятие структурной устойчивости можно рассматривать как одно из возможных уточнений неформального понятия полугиперболичности.

Заключение посвящено формулировке ряда проблем комбинаторной теории групп, связанных с основными результатами данной работы. В приложении приводятся теоремы функционального анализа, используемые в рассуждениях основного текста.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

• характеризацил конечно-порожденных групп унитарных операторов 8 как групп допускающих эффективные дистальные действия на компактах с определенным условием на геометрию вложения в группу Вора;

• эквивалентность проблемы финитной аппроксимируемости гиперболических групп и проблемы существования у гиперболических групп минимальных действий на компактах без размешивания;

• структурная устойчивость конечно-порожденных свободных групп и структурная неустойчивость группы Гейзенберга.

Результаты диссертации опубликованы автором в работах [87],[88],[91]. Некоторые из них были доложены на конференции по универсальной алгебре и теории решеток, проходившей под эгидой Международного Конгресса математиков в Будапеште в 1996 году, на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева, проходившей в Санкт-Петербурге в 1997 году, и на 21 конференции Молодых ученых МГУ, проходившей в Москве в 1999 году, а также на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Основные результаты данной работы были доложены автором в Математическом институте им. В.А.Стеклова (Российская академия наук) на семинаре по алгебраической геометрии под руководством чл.-корр. А.Н.Паршина и акад. И.Р.Шафаревича.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.А.Артамонову за постоянное внимание к данной работе и многочисленные полезные обсуждения полученных результатов, а также с.н.с. А.А.Клячко, проф. А.Ю.Ольшанскому, д.ф.-м.н. Е.Б.Плоткину, проф. В.И.Сущанскому и проф. А.Л.Шмелькину за ряд ценных советов и замечаний. Автор также признателен д.ф.-м.н. С.В.Иванову, с которым он имел возможность обсудить некоторые вопросы теории групп.

Автор сердечно благодарен проф. В.Н.Латышеву и проф. А.В.Михалеву, замечания которых способствовали улучшению изложения материала данной работы.

Заключение

В предложенной диссертации рассматривались вопросы точной матричной представимости и финитной аппроксимируемости гиперболических групп М.Громова. В заключение отметим некоторые сюжеты, развивающие тематику линеаризации и аппроксимации гиперболических групп. Следует отметить связи с алгебраической геометрией и теорией алгебраических групп, а также алгебраической топологией. Особое место занимает параллель с проблемой финитной аппроксимируемости групп промежуточного роста.

1. Группы аделей и арифметичность

Хрестоматийная теорема А.И.Мальцева утверждает, что финитная аппроксимируемость является следствием линейности в случае групп с конечным числом порождающих. Другим важным свойством аппроксимации является финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Напомним, что группа G называется финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, если для любых двух не сопряженных в ней элементов д и д' найдется гомоморфизм G в конечную группу, переводящий эти элементы в несопряженные элементы конечной группы.

Заметим, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности является более сильным свойством по сравнению с финитной аппроксимируемостью. Однако, связи свойства финитной аппроксимируемости относительно сопряженности с линейностью более сложны. В Коуровской тетради М.И.Каргаполовым была поставлена проблема [17, проблема 2.16], в которой требовалось выяснить, будет ли произвольная конечно-порожденная линейная группа финитно аппроксимируемой относительно сопряженности. Ответ на этот вопрос оказался, вообще говоря, отрицательным. Именно, В.П.Платонов и Г.В.Матвеев показали [29], что матрица

4 15 0

1 4 0

0 0 1 и матрица

4 5 О' 3 4 0

1° 0 Ч финитно сопряжены (т. е. сопряжены в каждом конечном факторе), но не сопряжены в группе GL(3, Z). Поэтому в общем случае финитная аппроксимируемость относительно сопряженности не является следствием существования точного линейного представления.

Однако, возможно, что для некоторых типов гиперболических групп удастся доказать финитную аппроксимируемость относительно сопряженности. Косвенным указанием на такую возможность может служить алгоритмическая разрешимость проблемы сопряженности в гиперболических группах [64].

Исследование финитной аппроксимируемости относительно сопряженности также связано с изучением так называемых групп аделей. Это направление арифметической теории алгебраических групп отражено в монографии [30]. В исследовании арифметики гиперболических групп следующий вопрос представляется основным.

Проблема. Какие гиперболические группы без кручения являются арифметическими? Можно задать более трудный вопрос о существовании точного представления в группе GL{n,Z).

Примеры неарифметических гиперболических кристаллографических групп отражений приведены в работе В.С.Макарова [22]. Неясно какие условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы конечно-порожденная линейная группа была арифметической. Известна так называемая гипотеза Платонова: любая конечно-порожденная линейная группа конечного представленческого типа арифметична. Однако, нельзя ожидать, что гиперболическая группа является группой конечного представленческого типа.

Видимо, решение вопроса об арифметичности гиперболических групп без кручения позволит начать классификацию гиперболических групп. Вопрос об арифметичности связан с проблемой конечной определенности группы автоморфизмов гиперболической группы [72, проблема 13.12]. Связи такого рода в случае полициклических групп можно проследить по

94 докладу Верфрица [86].

2. Группы промежуточного роста

Известна гипотеза о том, что все группы промежуточного роста финитно аппроксимируемы. Доказательство этой гипотезы представляет собой трудную алгебраическую проблему даже для группы почти вложимой в свою конечную декартову степень в качестве подгруппы конечного индекса (группы такого рода имеют промежуточный рост и все известные группы промежуточного роста относятся к этому типу). Алгебраическая проблема финитной аппроксимируемости таких групп упоминается в обзоре [11]. Наш подход позволяет выдвинуть эквивалентную топологическую проблему.

ПРОБЛЕМА. Построить эффективное дисталъное действие группы промежуточного роста на некотором метризуемом компактном пространстве.

Для некоторых конкретных групп промежуточного роста такое построение осуществляется вполне естественно. Заметим, что группы промежуточного роста аменабельны. Это легко показать, применив критерий Фелнера.

3. Алгебраическая геометрия

Важное понятие гиперболического алгебраического многообразия достаточно естественным образом формулируется на языке алгебраической геометрии и находит применение в различных диофантовых задачах. Ясно, что этальная фундаментальная группа такого многообразия также должна быть в определенном смысле "гиперболической". В случае комплексного проективного многообразия X этальная фундаментальная группа 7if (X) является проконечным пополнением обычной топологической фундаментальной ГруППЫ 7Ti(X).

Таким образом, возникает проблема систематического перевода результатов теории гиперболических групп на язык алгебраической геометрии. Можно отметить также предположение о том, что произвольная гиперболическая группа почти вся изоморфно вкладывается в некоторую про-р-группу (предположение 3.6.5). Извлекаются ли отсюда какие-либо соотношения между числом образующих и соотношений в гиперболических группах? Этот вопрос отчасти связан с теоремой Голода-Шафаревича.

4. Двойственность Чжу

В предложенной диссертационной работе была выдвинута и обсуждена гипотеза о том, что произвольная гиперболическая группа Громова является максимальной почти-периодической группой. С точки зрения абстрактного гармонического анализа особый интерес представляют максимальные почти-периодические локально-компактные группы с так называемой двойственностью Чжу [66]. Эти группы полностью определяются своей категорией представлений (глава 2, параграф 8). К числу таких групп относятся компактные группы, локально компактные абелевы группы, группы Мура и Такахаси.

Известно, что локально-компактная топологическая группа G является группой Чжу тогда и только тогда, когда некоторое вполне определенное каноническое соответствие между пространствами Hom(G, Z) и Hom(Zi,G) является гомеоморфизмом [66]. Степень удаленности данной гиперболической группы G от класса групп с двойственностью Чжу можно исследовать, сравнивая компактно-открытые топологии в пространствах гомоморфизмов Hom{G1 Z) и Hom(Z,G).

5. Фредгольмовы представления

В ряде случаев рассмотрение одних только конечномерных представлений гиперболических групп может оказаться недостаточным. Однако, рассмотрение всех бесконечномерных унитарных представлений в этом случае вряд ли оправдано. Весьма продуктивный класс бесконечномерных представлений дискретных групп, называемых фредголъмоеыми

96 представлениями, введен А.С.Мищенко. Фредгольмовы представления позволяют различать инвариантные объекты, связанные с гладкими многообразиями, которые не всегда различимы с помощью конечномерных представлений. Такими объектами являются эрмитовы формы, элементы К-функтора классифицирующих пространств и т.п. Подробно с определением фредгольмова представления можно ознакомиться по материалам работ [24], [25], [33].

1. Адян С.И. Случайные блуждания на свободных периодических группах // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1982. — 46, 6. — с. 1139-1149

2. Андронов А.А., Понтрягин JI.C. Грубые системы. — в книге Андронов А.А. Собрание трудов. — М. 1956. — с. 183-187

3. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. матем. инст. им. В.А.Стеклова 90. — 1967 — 208 с.

4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.гНаука, 1977. — 351 с.

5. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. — М: Мир, 1977. — 207 с. (Пер.: Brocker Th., Lander L. Differentiable germs and catastrophes. — London Math. Soc. Lect. Note Ser. 17, Cambridge Univ. Press, 1975)

6. Бронштейн И.У. Расширения минимальных групп преобразований. — Киш.:Штиинца, 1975. — 308 с.

7. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.:Наука, 1968. — 272 с. (Пер.: N.Bourbaki Elements de mathematique. Topologie generale. — Hermann)

8. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. / Методы гомологической алгебры, том 1, Введение в теорию когомологий и производные категории. — М.: Наука, 1988. — 411 с.

9. Гиперболические группы по Михаилу Громову, под ред. Э.Гиса и П.де ля Арпа. — М.:Мир, 1982. — 269 с. (Пер.: Ghys Е., de la Harpe

10. P. Sur les groupes hyperboliques d'apres Mikhael Gromov. Progress inmathematics, vol. 83. — Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1990)102

11. Гис Э. Гиперболические группы // Математика. Новое в зарубежной науке, 48. — Труды семинара Н.Бурбаки за 1990 год. — М.:Мир, 1996.с. 151-178

12. Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. — 1990. — 58. — с. 191-256

13. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения. — М.:Мир, 1973. — 135 с. (Пер.: Greenleaf F.P. Invariant Means on Topological Groups and Their Applications. — Van Nostrand Reinhold Сотр., 1969)

14. Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп // Мат. сборн. — 1991. — 182, 4. — с. 568-592

15. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.:Наука, 1982. — 288 с.

16. Коллинз Д., Цишанг X. Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. — 1990. — 58. — с. 5-190

17. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. — М.:Наука, 1986. — 231 с.

18. Коуровская тетрадь. Нерешенные задачи теории групп. — Новосибирск, 1967

19. Куратовский К. Топология, т.1. — М.:Мир, 1966. — 594 с. (Пер.: K.Kuratowski Topology, volume 1. — Academic Press. New York and London, 1966)

20. Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.:Мир, 1980.447 с. (Пер.: Lyndon R.C., Shupp Р.Е. Combinatorial Group Theory. Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete 89. — Ber.-Hdlb.-N.Y., Springer Verlag, 1977)

21. Лысенок И.Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1989. — 53, 4. — с. 814-832

22. Люмис JI. Введение в абстрактный гармонический анализ. — М.:ИЛ, 1956. — 251 с.

23. Макаров B.C. Об одном классе разбиений пространства Лобачевского // ДАН СССР. — 1965. — 161. — с. 277-278

24. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — М.: Наука, 1987. — 448 с.

25. Мищенко А.С. Перестройки неодносвязных многообразий. — Дополнение к книге В.Браудера Перестройки односвязных многообразий. — М.:Наука, 1984. — с. 177

26. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П. Представления банаховых алгебр и формулы типа Хирцебруха // Мат. сборн. — 1980. — 111, 2. — с. 209-226

27. Ольшанский А.Ю. Бесконечная простая нетерова группа без кручения // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1979. — 43, 6. — с. 1328-1393

28. Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1980. — 44, 2. — с. 309-321

29. Ольшанский А.Ю. Периодические фактор-группы гиперболических групп // Мат. сборн. — 1991. — 182, 4. — с. 543-567

30. Платонов В.П., Матвеев Г.В. Группы аделей и финитная аппроксимируемость линейных групп относительно сопряженности // Докл. АН БССР. — 1970. — XIV, 9. — с. 777-779

31. Платонов В.П., Рапинчук А.С. Алгебраические группы и теория чисел. — М.:Наука, 1991. — 654 с.

32. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. — М.:Наука, 1982. — 447 с.

33. Смирнов Д.М. К теории финитно аппроксимируемых групп // Укр. мат. журнал. — 1963. — 15, 4. — с. 453-457

34. Соловьев Ю.П. Дискретные подгруппы, комплексы Брюа-Титсаи гомотопическая инвариантность высших сигнатур // УМН. — 1976. — 31, 1. — с. 261-262

35. Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.'Факториал, 1996. — 352 с.

36. Тартаковский В.А. Метод решета в теории групп // Мат. сборн. — 1998. — 25. — с. 3-50

37. Хьюитт Э, Росс К. Абстрактный гармонический анализ I. — М.:Наука, 1975. — 654 с.

38. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.-.Наука, 1989. — 638 с.

39. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. — М.:Мир, 1969. — 1071 с. (Пер.: Edwards R.E. Functional Analysis. Theory and Applications. — Holt, Rinehart and Winston, 1965)

40. Abikoff W. Constructability and Bers stability of Kleinian groups // Dis-continious groups and Riemann surfaces. — Princeton, 1974. — c. 3-12

41. Alonso J.M. Combings of groups // prepublication M.S.R.I., 04623-89

42. Alperin R.C., Shalen P.R. Linear groups of finite cohomological dimension // Invent. Math. — 1982. — 66. — c. 89-98

43. Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups //J. London Math. Soc. — 1963. — 38, 1. — c. 117-118

44. Berger M. Rencontres avec un geometre // Gazette des Mathematiens. — 76, avril 1988; 77, juillet 1998

45. Bers L. On boundaries of Teichmiiller spaces and on Kleinian groups I. // Ann. of Math. — 1970. — 91, 3. — c. 570-600

46. Bowdich B. Notes on Gromov's hyperbolicity criterion for path metric spaces. — University of Warvick, 1989105

47. Brenner Sh., Butler M.C.P. Generalisation of the Bernstein-Gelfand-Ponomarev reflection functors. Lect. Notes Math. — Ber.-Hdlb.-N.Y.: Springer. — 1980. — 832. — c. 103-170

48. Britton J.L. Solution of the word problem for certain types of groups I, II. // Proc. Glasgow Math. Assoc. — 1956. — 3. — c. 45-54; 3. — c. 68-90

49. Cannon J.W. Almost convex groups // Geom. Dedicata. — 1987. — 22.c. 197-210

50. Cannon J.W. Negatively curved spaces and groups; negatively curved groups; the problem of constant negative curvature // Topical meetings on hyperbolic geometry and ergodic theory. — Trieste, avril 1989. — c. 17-28

51. Cannon J.W., Epstein D.B.A., Holt D.F., Paterson M.S., Thurston W.P. / Word processing and group theory // University of Warvick, 1988, preprint

52. Connes A., Moscovici H. Conjecture de Novikov et groupes hyperboliques // C.R. Acad. Sci. Paris. — 1988. — 307, Serie I. — c. 475-480

53. Coornaert M., Delzant Т., Papadopulos A. Notes sur les groupes hyperboliques de Gromov. — I.R.M.A. Strasbourg. — 1989. — 76 c.

54. Dehn M. Uber unendliche discontinuerliche Gruppen // Math. Annal. — 1912. — 71, 1.4, 5, II.3. — c.116-144

55. Deligne P. Milne J.S. Tannakian categories // Hodge cycles, motives and Shimura varieties. — Lect. Notes Math., vol. 900. — Springer, 1982. — 414 c.

56. Ellis R. Distal transformation groups // Pacific J. Math. — 1958. — 8, 3.c. 401-405

57. Furstenberg H. The structure of distal flows // Amer. J. Math. — 1963.85. — c. 477-515

58. Gardiner F., Kra I. Stability of Kleinian groups // Indiana Univ. Math J.1972. — v. 21, 1. — c. 1037-1039

59. Gersten S.M., Short H. Small cancellation theory and automatic groups.

60. M.S.R.I., 1989. — preprint, 39 c. — Part 2. — 28 c.

61. Gerstenhaber M., Rothaus O.S. The solution of sets of equations in groups // Proc. Nat. Acad. Sci. — 1962. — 48. — c. 1951-1953

62. Gleason A. Groups without small subgroups // Ann. Math. — 1952. — 56. — c. 193-212

63. Grindlinger M.D. On Dehn's algoritm for the conjugacy and word problems with applications // Comm. Pure Appl. Math. — 1960. — 13. — c. 641-677

64. Gromov M. Groups of polinomial growth and expanding maps // Publ. Math. I.H.E.S. — 1981. — 53. — c. 53-73

65. Gromov M. Hyperbolic groups J J Essays in group theory, ed. S.M.Gersten, M.S.R.I., Publ. 8, Springer, 1987, c. 75-26365. de la Harpe P. Free groups in linear groups // L'Enseignement math. — 1983. — 29. — c. 129-144

66. Heyer H. Groups with Chu duality. — Probability and Information Theory II. — Lect. Notes Math., vol. 296. — B.-Hdlb.-N.Y.: Springer, 1973. — c. 181-215

67. Higgins P.J. Notes on categories and groupoids. — Van Nostrand Reinhold Math. Studies 32. — London, 1971 — 178 c.

68. Higman G. The units of group rings // Proc. London Math. Soc. — 1940.46. — c. 231-248

69. Ivanov S.V., Ol'shanskii A.Yu. Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponent // Trans. Amer. Math. Soc. — 1996. — 348, 6. — c. 2091-2138

70. Ivanov S.Y. On aspherical group presentations // Kurosh algebraic conference' 98, Abstracts of talks, ed. Yu.A. Bahturin, A.I.Kostrikin, A.Yu.Ol'shanskii. — Moscow State Univ., Moscow, 1998. — c. 62

71. Jarosz K. Perturbations of Banach algebras. — Lect. Notes in Math., 1120.

72. Berlin, Springer, 1985. — 118 c.107

73. Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook. — Novosibirsk, 1995. — Thirteenth augmented edition.

74. Lyndon R.C. On Dehn's algoritm // Math. Ann. — 1966. — 166. — c. 208-228

75. Margulis G.A. Groupes discrets d'isometries des varietes a courbure negative // Proceed. I.C.M., vol. 2. — Vancouver, 1974. — c. 21-34

76. Margulis G.A., Soifer G.A. Maximal subgroups of infinite index in finitely generated linear groups // J. of Alg. — 1981. — 69, 1. — c. 1-23

77. Namioka I., Asplund E. A geometric proof of Ryll-Nardsiewsky's fixed point theorem // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — 73, 3. — c. 443-445

78. Ol'shanskii A.Yu. Almost every group is hyperbolic // Intern. Jour, of Alg. and Сотр. — 1992. — 2, 1 — с. 1-17

79. Pride S.J. The isomorphism problem for two generator one-relator groups with torsion is solvable // Trans. Amer. Math. Soc. — 1977. — 227. — c. 109-139

80. Ryll-Nardzewski C. On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces // Proc. of the Fifth Berkeley Symposium on Math. Statistics and Probability, v. II., p. I — Berkeley, 1966. — c. 55-61

81. Saavedra S. Categories tannakiennes. — Lect. Notes in Math., vol. 265. — Springer, 1972. — 418 c.

82. Schiek H. Ahnlichkeitsanalyse von Gruppenrelationen // Acta Math. — 1956. — 96. — c. 157-252

83. Serre J.-P. Trees. — Ber.-Hdlb.-N.Y.: Springer, 1980. — 142 c.

84. Thoma E. Eine Characterisierung diskreter Gruppen von Тур I // Invent. Math. — 1968. — 6. — c. 190-196

85. Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds. — Lect. Notes Princeton, 1978-79

86. Wehrfritz B.A. Infinite linear groups. — Berlin, 1973. — 229 c.

87. Three lectures on polycyclic groups. — Queen Mary College Math. Notes.1.ndon, 1973

88. Егоров А.В. Финитная аппроксимируемость групп и топологическая динамика // Матем. сб. — 2000. — 191, 4. — с. 53-66

89. Егоров А.В. О конечно-порожденных группах унитарных операторов // УМН. — 1999. — 54, 3. — с. 159-160

90. Egorov A.V. Hyperbolic categories // Conference on Universal Algebra and Lattice Theory, Szeged, Hungary. — 1996, July 15-19. — c. 9

91. Egorov A.V. Structurally stable groups // International Algebraic conference dedicated to the memory of D.K.Faddeev, St.Petersburg, Russia. — 1997, June 24-30. — c. 42

92. Egorov A.V. Structural stability of free groups // Comm. in Alg. — 1998.vol. 26, numb. 6. — c. 1923-1929