Гиперболичность, SQ-универсальность и некоторые другие свойства групп с одним определяющим соотношением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Гиперболичность некоторого класса групп.

§ 1. Предварительные сведения и леммы.

§ 2. Полное описание гиперболических и негиперболических групп, являющихся /ГЛДУ-расширениями двупорожденной свободной группы

§ 3. Полное описание гиперболических и негиперболических групп, являющихся некоторым //MV-расширениями свободных групп

§ 4. Описание гиперболических и негиперболических групп в классе групп Гуревича

Глава 2. ^^-универсальность некоторых негиперболических групп с одним определяющим соотношением.

§ 1. Предварительные сведения и леммы.

§ 2. ^-универсальность групп; имекУЕцйх представление

G* = (a,b,t; t~'at = b, flbt = dW^, где n,meN

§ 3. ^-универсальность групп, имеющих представление

G* = (a,b,t; t~lat = b9 t~lbt = лгиуе-1^

§ 4. 5<2~универсальность групп Баумслага

§ 5. Свойство Хаусона для некоторого класса групп с одним определяющим соотношением.

§ 6. О квазивыпуклости подгрупп некоторого класса гиперболических групп с одним определяющим соотношением.

Данная работа посвящена изучению свойств групп с одним определяющим соотношением, а именно, гиперболичности групп, 5(?-универсаль-ности, свойства Хаусона и некоторых других.

Группы с одним определяющим соотношением представляют собой естественное расширение класса свободных групп, с которыми они обнаруживают определенное сходство. Исторически впервые ими заинтересовались по той причине, что таковы фундаментальные группы замкнутых двумерных многообразий.

Первый общий и притом один из наиболее поразительных и полезных результатов исследований о группах с одним определяющим соотношением - это теорема о свободе, сформулированная Дэном и доказанная Магнусом (1930). Несколько иное доказательство можно найти у Линдона (1972).

Второй основной результат в теории групп с одним определяющим соотношением - это решение Магнусом (1932) проблемы равенства слов для таких групп.

Б. Ньюман (1968) анонсировал решение проблемы сопряженности в классе групп с одним определяющим соотношением с кручением. В 1990 г. В.Н. Безверхний решил проблемы сопряженности и степенной сопряженности для этого класса групп [1], [2].

Центр групп с одним определяющим соотношением был изучен Му-расуги (1964). Баумслаг и Тейлор (1968) доказали существование алгоритма определения центра групп с одним определяющим соотношением. Подгруппы групп с одним определяющим соотношением изучались Каррасом и Солитером (1971) и А.А. Чеботарем [18].

Шуппом и Сасердотом (1974) было показано, всякая группа с одним определяющим соотношением, имеющая не менее трех образующих, является Sg-универсальной [49].

Вопрос об определении класса гиперболических групп среди всех групп с одним определяющим соотношением является весьма важным. Словарно гиперболические группы, введенные М. Громовым (1988) [31] играют значительную роль в последних достижениях геометрической теории групп. Оказалось, что многие группы, возникающие в традиционных геометрических контекстах, такие как фундаментальные группы компактно замкнутых многообразий ограниченной отрицательной кривизны, являются гиперболическими. Более того, гиперболические группы обладают рядом ценных алгоритмических и комбинаторных свойств, которые несправедливы в классе конечно представленных групп в общем. Например, в гиперболических группах разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов. Геометрическое доказательство этих факторов дал М. Громов (1988) [31], а алгебраические - И.Г. Лысенок (1989) [13]. В классе гиперболических групп без кручения 3. Селом решена проблема изоморфизма (1995) [50]. Р.И. Григорчук и Г.Ф. Курчанов дали описание решений квадратичных уравнений в гиперболических группах (1990) [7]. А.Ю. Ольшанский доказал, что все гиперболические, неэлементарные группы являются sq-универсальными (1995) [16].

Фундаментальные группы замкнутых ориентированных поверхностей рода не менее 2 являются конечно порожденными группами с одним определяющим соотношением. Как оказалось, они словарно гиперболические, так как удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству [10],

20], [28], [29]. Более общий результат утверждает, что конечно порожденная группа с одним определяющим соотношением, имеющая следующее представление

G = (X[)Y;u = v), (1) где X, Y- конечные непересекающиеся множества, и и есть свободноприве-денное, нетривиальное слово в алфавите X; v - свободноприведенное, нетривиальное слово в алфавите У, не являющееся собственной степенью в свободной группе F{y), является словарно гиперболической [23], [24], [30], [42]. С другой стороны, группа Баумслага-Солитера не является гиперболической и не может быть подгруппой никакой гиперболической группы [24]. С. Ивановым и П. Шуппом дано полное описание всех гиперболических и негиперболических в классе групп с одним определяющим соотношением, имеющих представление G = (X;R), где R - аТ{)аТх.аТпх, где все слова Tj, i е {0,1,., п -1} записаны на образующих X \ {а} [34].

В [35] И. Каповичем доказывается гиперболичность группы G = (a, t; t2afxata2r2a^y

Одним из интересных свойств гиперболических групп является свойство квазивыпуклости подгрупп. Квазивыпуклые подгруппы словарно гиперболических групп сами являются словарно гиперболическими и играют большую роль в изучении свободных произведений с объединением и /УЛ^У-расширений [21], [23], [24], [31], [46]. Основной результат М. Громова о квазивыпуклости подгрупп состоит в том, что бесконечная циклическая подгруппа гиперболической группы всегда квазивыпукла в ней [31].

Примеров словарно гиперболических групп, конечно порожденные подгруппы которых не являются квазивыпуклыми - немного [25], [36], [47], [48], [51].

И. Каповичем впервые был построен пример гиперболической группы с одним определяющим соотношением без кручения, свободная подгруппа ранга 2 которой не является квазивыпуклой [35]. Отметим, что если G -фундаментальная группа замкнутой гиперболической поверхности или имеет более общий вид, а именно (1), тогда G - гиперболическая, и все конечно порожденные ее подгруппы квазивыпуклы в G [29], [38], [47]. С другой стороны, И. Капович показал, что если С - не элементарная и гиперболическая группа без кручения, то существует гиперболическая группа G*, такая, что G есть подгруппа группы G* и С не квазивыпукла в G* [39].

Пересечение квазивыпуклых подгрупп - квазивыпуклая подгруппа, к тому же - конечно порожденная [20], [40], [44], поэтому квазивыпуклые подгруппы обладают свойством Хаусона. Напомним, что группа обладает свойством Хаусона, если пересечение двух конечно порожденных подгрупп является конечно порожденной подгруппой. Хаусон впервые установил, что таким свойством обладают конечно порожденные свободные группы [33]. Теорема Хаусона была обобщена Б. Баумслагом [22] на свободное произведение групп. В.Н. Безверхним было доказано [3], что теорема Баумслага не может быть перенесена на свободное произведение групп с объединением и //TViV-расширения. Д.И. Молдаванским [14] доказано, что группы с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром свойством Хаусона не обладают. Бернсом показано [26], что группы вида (1) обладают свойством Хаусона. Если группа имеет представление (1) и слова и и v являются собственными степенями больше, чем квадрат, то G содержит подгруппу, изоморфную группе F2 х Ж, где F2 - свободная группа ранга 2, a Z- группа целых чисел. Из [14] и [27] следует, что G свойством Хаусона не обладает. Все примеры групп, не обладающих свойством Хаусона, относились к группам, не являющимся гиперболическими. к группам, не являющимся гиперболическими. И. Каповичем в [35] впервые построен пример гиперболической группы, этим свойством не обладающей.

Интересным свойством групп является свойство 5^-универсальности. В [45] дается мотивировка для понимания £(?-универсальности как свойства «громадности» группы. Термин «Sg-универсальность» был введен Г. Хиг-маном для таких групп G, для которых всякая счетная группа изоморфно вложима в некоторую фактор-группу группы G. ^^-универсальность двупо-рожденной свободной группы - это в точности утверждение теоремы Хиг-мана-Нейман-Неймана [32]. В 1968 г. Ф. Левиным была доказана .^-универсальность свободного произведения циклических групп Ст * Сп при т > 3, п > 2 [43]. В 1973 г. П. Ньюманом [45] этот результат был усилен и доказано, что свободное произведение А* В ^-универсально, если \А\ > 2, > 3. Из этой же работы следует 5£)-универсальность группы

G = A*B, где \А:Н|>2, LS:#|>3 и группы А,В - конечны. В 1986 г. н=к 1 1 1 1

К.И. Лоссовым последний результат был обобщен на случай произвольных групп А и В и конечных Н и К [12]. Сасердотом и Шуппом была доказана ^-универсальность следующих //УУ/У-расширений:

Н* = (н, t; t ]At - jB, - ^-универсально, если в Н существует элемент г ^1, такой что z~lAzf)A = {l} = zBz~l ПЯ [49].

Все вышеупомянутые свойства изучались автором для групп с одним определяющим соотношением, представимых как //AW-расширение свободной группы. Первая глава посвящена изучению свойства гиперболичности в этих группах.

Автором получены следующие теоремы.

Теорема 1.2. Пусть G* = (a,b,t; t~xat = b, t~]bt = w(a,bjj, we(b), HNN-расширение свободной группы G = («,/>). Группа G* не является гиперболической тогда и только тогда, когда w = azxbk] , se{±l}, аех^ 1, x~x(a,b), либо w - а£xaklх~]а~£, либо w = а*х{а^Ь8Уха~у'Ь~8^, где р, /и е Z \ {о}, 5 е {± l}, либо w = атЬп где \т\ = 1 или \т\ = \п\ ± 1.

Теорема 1.3. Пусть G* =(a0,al,.ya„,i; t~xaQt = я,, г'я,/ = я2,., г'ая,/ = an,t~]ant = w(a0,.a J), где w = a0w0a0. Группа G* не является гиперболической тогда и только тогда, когда w = aq , s е Ж \ {о} либо и> = («oa/+ia2(y+i)a3(y+i) • • • an-jУ ао либо = у e и (n-l):(y+ l).

Следующие теоремы дают описание гиперболических и негиперболических групп Гуревича.

Пусть G = Л(я,, я2,. .,я„,/?)= #(я,,я2,.я„, #)).

Гуревичем для этих групп была решена проблема сопряженности [8].

Представим группу G в следующем виде G = (av.,an,p,bx,.,bn,q; я, = bx,.an =bm A(av.,an, р)= B(bx,.,bn,q)). Обозначим

Я, = (я,,.,вя,Л(а,,.,ап9р)) и Я2 />)) и О: -изоморфизм Я, -> Я2, то есть 0: ©(а,-) = bt, для / е {l,., я}, ©(^(я, .ап, р))=В(Ьх .bn, q), тогда G = F*F+, где F = (я,,., ап, р) и

Hi=Hj

F+ =(bx,.,b„,q).

Теорема 1.4. Пусть G-F*F+ . Если подгруппа Н{(Н2) антинормальна в f(f+), то группа (/является гиперболической.

Теорема 1.5. Пусть в группе G подгруппы Я, и Н2 не являются антинормальными в группах Fn F+ соответственно. Тогда если

1) A(al,.,an,p) = V*(al,.,aKip), |*|>1,

B(bl,.,bHiq)=Wm(bl,.9b„9q)i |т|>1, то группа G не является гиперболической.

2) Пусть A*(av.,a„,p)e («,,.,<*„) либо B*(bl1.,bn,q)e(bl,.,b„), где А* {в*} произвольная циклическая перестановка слов A(a].a„,p)(B(b].bn,q)) и существует слово v = (a],.,an)e(a]i.,an), такое что

A(al,.,a„ip)v(al,.,an) = St(al,.,aH,p), \к\>\, B(b],.,bn,q)®(v(al,.,an))=S?{b],.,bn,q), |т|>1, тогда G - негиперболическая группа.

3) А(а:,.,ап, p) = Cl(a],.,an, p)v;(al,.,an)C;](a],.,an, р),

B(bl,.,bn,q)=C2(bl,.,bn,q)v2{b],.,bn)C2](b],.,bn,q), где слова v, и v2 не являются истинными степенями в F и F+ соответственно. Тогда если ©(v,(tf, .ап)) = v2{bx то G - негиперболическая группа.

4) В остальных случаях группа G - гиперболическая.

Вторая глава посвящена анализу свойств ^-универсальности, Хау-сона и квазивыпуклости подгрупп. В ней доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Группа G* = {a,b,t;t~'at = b,t~'bt = amb" ,m, neN > является ^-универсальной.

Теорема 2.2. Группа G* = (a,b,t\ t~xat = ft, t~]bt - w^, где w e {ах^дГ'дГ1, axa'x~]a~lj, x = x(a, b), ax Ф 1 является ^-универсальной.

Теорема 2.3. Группа G* = (a,t;t~]a"t = a1^, где \n\>2, является iSg-универсальной.

Теорема 2.4. Пусть G* = a„.,r'v = a„.= «я>= w(a0,.,ajj, где ' и> = flrow0flQ, s g {± l}. Тогда группа G* не обладает свойством Хаусона.

Теорема 2.4. Пусть G* = (a, ft, t; Г1 at = b, tAbt = ащ w0a±m2bц ^. Тогда группа G" не обладает свойством Хаусона.

Теорема 2.5. Пусть G* = (a, b, /; г'а/ = b, t~]bt = amb',Sj - гиперболическая группа, тогда (7* не обладает свойством Хаусона.

Следствие 2.5.1. Пусть G* =(a,b,t; t~]at = b,t~{bt = amb"^j, где |m| = |я| ± 1 и |w| > 1, тогда G* не обладает свойством Хаусона.

Теорема 2.6. Пусть G" = ^a, ft, f; f V = ft, t~]bt = aft"^), тогда группа С* не обладает свойством Хаусона.

Следствие 2.6.1. Пусть G* = (a, ft, t\ t~]at = ft, f'ft* = ab~"^j, тогда группа G не обладает свойством Хаусона.

Теорема 2.7. Пусть G* =(a0,al,.,aHit; rla0t = al,.rlan]t = an,r]ant = w(a0,.,anjj, где

11 w = «о^о^о и G* — гиперболическая группа, тогда подгруппа G = (а0, а,,., ап) не является квазивыпуклой в G*.

Теорема 2.8. Пусть G* = (a, b, t\ t~xat = b, t~xbt = w(abfj, где w = asw0bM либо w = ambn и |m|>|«|±l, и С* - гиперболическая группа, тогда группа G- {а, />) не является квазивыпуклой в С*.

Теорема 2,9. Пусть G* = ^а, b, t; t~xat = t~xbt = amb"^, где |m| ф |л| -1 и \т\>\ и |/w| < |/i| +1 и, тогда группа G = (a,b) не является квазивыпуклой в G\

Все результаты опубликованы в работах [52] - [62] и докладывались на алгебраическом семинаре А.И. Шмелькина, А.Ю. Ольшанского (МГУ, 2001 г.), на алгебраическом семинаре В.Н. Безверхнего (ТГПУ, 19962001 гг.).

1. В.Н. Безверхний. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1990.-С. 103-152.

2. В.Н. Безверхний. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп // Деп. Сиб. матем. журн. Т. XXXI. № 4. 1990. С. 221.

3. В.Н. Безверхний. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 1. С. 199-222.

4. В.Н. Безверхний. О пересечении конечно порожденных подгрупп свободной группы // Сб. научн. тр. кафедры высшей математики. Тула, 1974.-С. 51-58.

5. В.Н. Безверхний. Решение проблемы сопряженности слов в одном классе групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1991.-С. 4-38.

6. Э. Гис, П. де ля Арт. (ред.) Гиперболические группы по Михаилу Громову. М.: Мир, 1993.

7. Р.И. Григорчук, П.Ф. Курчанов. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги научн. и техн. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. 1990. Т. 58. С. 191-256.

8. Г.А. Гуревич. К проблеме сопряженности для групп с одним определяющим соотношением // Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова. Т. CXXXIII. М., 1973. С.109-119.

9. А. Каррас, В. Магнус, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

10. А.Г. Курош. Теория групп. М.: Наука, 1967.

11. Р. Линдон, П. Шупп. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

12. К.И. Лоссов. SQ-универсальность свободных произведений с объединенными конечными подгруппами // СМЖ. 1986. Т. 27. № 6. С. 128-139.

13. И.Г. Лысенок. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1989. Т. 53. № 4. С. 814-832.

14. Д.И. Молдаванский. О пересечении конечно порожденных подгрупп // СМЖ. 1968. Т. 7. № 3. С. 1057-1072.

15. А.Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

16. А.Ю. Ольшанский. SQ-универсальность гиперболических группах // Мат. сборник. 1995. Т. 186. № 8. С. 119-132. <

17. Ю.А. Хмелевский. Уравнения в свободной полугруппе // Труды Мат. ин-та АН СССР. 1971.

18. А.А. Чеботарь. Подгруппы групп с одним определяющим соотношением, не содержащие свободных подгрупп ранга 2 // Алгебра и логика. 1971. Т. 10.-С. 570-586.

19. J. Alonso, М. Shapiro and Н. Short // Notes on hyperbolic groups // Groups theory from a geometric viewpoint. Proc. ICTP Trieste, World Scientific, Singapore, 1991, pp. 3-63.

20. J. Alonso, T. Brady, D. Cooper, V. Ferlins, M. Lustig, M. Micalic, M. Shapiro and H. Short // Notes on hyperbolic groups // Groups theory from a geometric viewpoint. Proc. ICTP Trieste, World Scientific, Singapore, 1991.

21. B.G. Baumslag, M.S. Shapiro and H. Short // Automatic groups and amalgams // J. Pure and Appl. Algebra. 76(3). 1991. P. 229-316.

22. B.G. Baumslag. Intersection of finitely generated subgroups in free products // J. London Math. Soc. 1966. V. 41. P. 673-679.

23. M. Bestvina and M. Feighn. The Combination Theorem for Negatively Curved Groups // J. of Diff. Geom. 35. 1992. P. 85-101.

24. M. Bestvina and M. Feighn. Addendum and correction to: A combination theorem for negatively curved groups // J. of Diff. Geom. 43. 1996. N 4. P. 85-101.

25. N. Brady. Branched covering of cubical complexes and subgroups of hyperbolic groups // University of Utah, preprint, 1995.

26. R. Burns. On finitely generated subgroups of an amalgamated product of two subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. 169. 1972. P. 293-306.

27. R. Burns and Brunner // Two remarks of Hawson's groups property // Algebra in Logika. 18. 1979. N 5. P. 513-522.

28. S.M. Gersten and H. Short. Rational subgroups of biautomatic groups // Ann. Math. (2). 134. 1991. P. 125-158.

29. R. Gitik. On the combination theorem for negatively curved groups // In-ternat J. Algebra Comput. 6(6). 1996. 751-760.

30. R. Gitik, M. Mitra, E. Rips and M. Sageev. Width of subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. 35D (1). 1998. P. 321-329.

31. M. Gromov. Hyperbolic groups // Essays in group theory ed. S.M. Gersten M.S.P.I. Publ. 8. Springer. 1987. P. 75-263.

32. G. Higman, B.H. Neumann, H. Neumann. Embedding theorems for groups // J. London Math. Soc. 1949. V. 24. N 1. P. 247-254.

33. A.G. Howson. On the intersection of finitely generated of free groups // J. London Math. Soc. 29. 1954. P. 428-434.

34. S.V. Ivanov, Р.Е. Shupp. On the hyperbolicity of small concellation groups and one-relator groups // Transac. of the Amer. Math. Soc. V. 350-5. P.1854-1894.

35. Kapovich. Howson property and on-relator groups // Communication in algebra. 1999. V. 27 (3). P. 1057-1072.

36. I. Kapovich. A non-quasiconvex subgroup of a hiperbolic groups with an exotic limit set //New York J. Math. 1994/95. P. 184-195.

37. Kapovich. Quasiconvex subgroup of one-relator groups with torsion // PhD Thesis CHNV 1996/

38. Kapovich. Hiperbolic groups and amalgams // Intern. J. Alg. Сотр. 7. 1997. N6. P. 771-811.

39. Kapovich. A non-quasiconvexity embedding theorem for hiperbolic groups // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1999. 127. P. 461-486.

40. Kapovich and H. Short. Greenberg's theorem for quasiconvex subgroups of word hiperbolic groups // Canad. J. Math. 48. 1996. N 6. P. 1224-1244.

41. A. Karras and D. Solitar // On the failure of Howson property for a groups with a single defining relator // Math. Z. 108. 1969. P. 235-236.

42. O. Kharlampovich and A. Myasnikov. Hiperbolic groups and free constructions // Trans. Amer. Math. Soc. 350. 1998. N 2. P. 571-613.

43. F. Levin. Factor groups of the modular group // J. London Math. Soc. 1968. V. 43. N1. P. 195-203.

44. M. Micalic and W. Towle // Quasiconvex subgroups of negatively curved groups // J. Pure and Appl. Algebra. 3. 1995. P. 297-301.

45. P.M. Newmann. The SQ-universality of some finitely presented groups // J. Austral. Math. Soc. 1973. V. 16. N 1. P. 1-6.

46. P. Parasoglu. Geometric group theory // PhD Thesis (Columbia University, 1993).

47. Ch. Pittet. Surface groups and quasiconvexity // Geometry Group Theory vol. 1 (Sussex, 1991) London Math. Soc, Lecture Notes Series, 181, Cambrige University Press, Cambrige, 1993. pp. 169-175.

48. E Rips. Subgroups of small concellation groups // Bull. London Math. Soc. 14. 1982. P. 45-47.

49. G.S. Sacerdote, P.E. Shupp. SQ-universality of HNN- and 1-relator groups // J. London Math. Soc. 7. P. 733-740.

50. Z. Sela. The isomorphism problem for hyperbolic groups //1. Ann. Math. 141 (2). 1995. P. 217-283.

51. H. Short. Quasiconvexity and Theorem of Howson // Group theory from a geometric viewpoint // Proc. ICTP Trieste, World Scientific, Singapore, 1991.

52. Н.Б. Безверхняя (Н.Б. Щепетьева.). SQ-универсальность групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1996. Т. 2. Вып. 1. - С. 268272.

53. Н.Б. Безверхняя (Н.Б. Щепетьева.). О SQ-универсальности некоторых двупорожденных групп с одним определяющим соотношением // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т. 4. Вып. 3. -С. 124-131.

54. Н.Б .Безверхняя. О свойстве Хаусона и гиперболичности некоторых двупорожденных групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 2001. С. 1725.

55. G.S. Sacerdote, P.E. Shupp. SQ-universality of HNN- and 1-relator groups // J. London Math. Soc. 7. P. 733-740.

56. Z. Sela. The isomorphism problem for hyperbolic groups //1. Ann. Math. 141 (2). 1995. P. 217-283.

57. H. Short. Quasiconvexity and Theorem of Howson // Group theory from a geometric viewpoint//Proc. ICTP Trieste, World Scientific, Singapore, 1991.

58. Н.Б. Щепетьева. SQ-универсальность групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1996. Т. 2. Вып. 1. - С. 268-272.

59. Н.Б. Щепетьева. О SQ-универсальности некоторых двупорожден-ных групп с одним определяющим соотношением // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т. 4. Вып. 3. - С. 124-131.

60. Н.Б. Щепетьева. Гиперболичность некоторых двупорожденных групп с одним определяющим соотношением // Соврем, пробл. математики, механики, информатики; Всерос. науч. конф., поев. 70-летию ТулГУ. Россия, Тула, 2000. Тезисы докладов. С. 64-65.

61. Н.Б. Безверхняя. О свойстве Хаусона и гиперболичности некоторых двупорожденных групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 2001. С. 17-25.

62. Н.Б. Безверхняя. О свойстве Хаусона некоторого класса групп // Соврем, пробл. математики, механики, информатики; Всерос. науч. конф., поев. 70-летию ТулГУ. Россия, Тула, 2001. Тезисы докладов. С. 37-38.

63. В.Н. Безверхний, Н.Б. Безверхняя. О гиперболичности некоторых групп с одним определяющим соотношением // Чебышевский сборник. Труды IV Междунар. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Т. 2. 2001.-С. 5-13.

64. Н.Б. Безверхняя. О свойстве Хаусона некоторого класса групп с одним определяющим соотношением // Чебышевский сборник. Труды IV Междунар. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Т. 2.2001.-С. 14-18.

65. Н.Б. Безверхняя. О квазивыпуклости подгрупп некоторого класса групп с одним определяющим соотношением // Изв. ТулГУ. Сер. Математика, механика, информатика. Тула, 2001. Т. 7. Вып. 1. - С. 34-36.

66. Н.Б. Безверхняя. Об SQ-универсальности HNN-расширений свободной двупорожденной группы // Изв. ТулГУ. Сер. Математика, механика, информатика. Тула, 2001. Т. 7. Вып. 1. - С. 37-47.