Свойства конструкции HNN -расширения групп и некоторых ее аналогов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1Г, МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

<54 имени М.В.ЛОМОНОСОВА

еж м

<=> о. ' '

5 ЬЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ш

и-аи

На правах рукописи УДК 512.543

МИХАЙЛОВСКИЙ КОНСТАНТИН ВЛАДИМИРОВИЧ

СВОЙСТВА КОНСТРУКЦИИ НМИ - РАСШИшя ГРУШ И НЕКОТОРЫХ ЕЕ АНАЛОГОВ

01.01.06 . - Математическая логика, алгебра я теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре высшй алгебры механико-математического факультета Московского государственного универси-

- доктор физико-математических наук, профессор А. Ю. Ольшанский

- доктор физико-математических наук, профессор С.П.Струнков

- кандидат физико-математических наук К.И.Лоссов

- Институт математики Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится " {2, " ¿ССЬК 1995 г. в 16 часов 05 мин. на заседаний диссертационного Совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете шени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.14-08.

С диссертацией ыохно ознакомиться б библиотеке ыеханико-кагекатичзского факультета ШУ (14 этаж).

Автореферат разослан " /I " ¿ЫУЬёс/Л 1995 г.

тега имени Ы.В.Ломоносова. Научный руководитель

Официальные оппоненты Ведпцая организация

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.053.05.05 при ЫГУ, доктор физико-математических

наук, профессор В.Н.Чубаритов

ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность теш. Алгебраическая конструкция HNN рассирзгшя груш соответствует топологической операции приклеивания "ручки" н топологическому пространству. Помимо обусловленной таким образом связи с топологическими конструкциями, хорошо известна важная роль НА/А/ - расширения и при решении чисто алгебраических задач [I] . В частности, использование данной конструкции позволило доказать целый ряд замечательных теорем о вложениях групп [2] . HNN - расширения бшш широко использованы также при изучении внутреннего строения групп (например, при изучении груш с одним определяющим соотношением) и при решили ряда алгоритмических вопросов [I] .

В диссертации рассматриваются два вопроса, связанные с НNN - расширениями груш. Во-первых, приводятся построение аналога этой конструкции в классе периодических групп достаточно большого нечётного периода. Предлагается также похожая конструкция для фундаментальных груш некоторых графов групп в периодическом случае. Болев того, строится аналог HNN - расширения с условием конечности на подгруппы- Во-вторых, изучаются HNN - расширения гиперболических груш. Гиперболические группы, интенсивное изучение которых качалось после работы Ми-

1. Линдон Р., %пп П. Комбинаторная теория групп. - М.: Мир, 1980.

2. Hitman. Cr., Neumann В. Н., Neumann Н. Embedding iheorems tor groups. J. London Hath. Soc., 1943, V. Z4, p. 24^,25*4.

хайла Громова [33 , образуют очень ванный класс групп» исследуемый в настоящеа время многими математиками. В частности, доказано, что, в определенном статистическом сштаю, почти каждая группа, является гиперболической. Б диссертации найдены необходимые к достаточные условия, обеспечивающие гиперболичность ИШ . - расширения гиперболической группы с ассоциированными элементарными подгруппами, ^лее, как следствие, получены соответствующие условия гиперболичности дня свободных произведений гиперболических групп с объединенными элементарными подгруппами. На основании полученных результатов строятся первые примеры нетривиальных конечно порождённых вербально полных групп и новые примеры конечно порождённых делимых групп.

Цель" работы: построение аналога Н1М - расширения в теории групп с периодическими свойствами; нахождение похожей конструкции дая фундаментальных групп более общих графов групп; построение конструкции.аналошчной классическому НИМ расширению с сильный условием конечности на подгруппы; исследование НИМ - расширений гиперболических групп в случае элементарных ассоциированных подгрупп; применение полученных

о

результатов дая нахождения нетривиальных конечно порождённых вербально полных груш.

Методика исследования. В работе применяются геометрические методы теории групп, особенно - схема .использования диаграмм,

3. Gromov М Hyperbolic groups. Essays in Croup Theory, ed. S. M. Gersten, M.S.R.I. Pub.'8, Sprinytr, i38T, p. 7J"- 263.

предложенная в работах С 4, 5, б] , а также методд, конструкции и результаты комбинаторной теории групп Ш .

Научная новизна. Все основные результаты диссертации является новыми. Работа носит теоретический характер в может найти применение в области теории групп и ее приложений. В диссертации решены следующие задачи.

1. Построен аналог НАМ - расширения в классе периодических групп достаточно большого нечётного пзраода. •

2. Найдена похожая конструкция, для фундаментальных групп некоторых более общих графов групп.

3. ГЬлучена конструкция аналогичная НММ - расширению г сильнш условием конечности на подгруппы.

4. Приведен критерий гиперболичной™ - расширения гиперболической группы в случае элементарных ассоциированных подгрупп. Как следствие, получен критерий гиперболичности для свободных произведений гиперболических групп с объединёнными элементарными подгруппами. • - • -

5. Построены первые примеры нетривиальных конечно порождённых вербалъно полных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры высшей алгебры, семинаре по теории

4. Ольшнский A.D. Пзометрия определяющих соотношний в группах. - М.: Наука, 1989.

5. Лоссов К.И. О вложении аыапьгамы в периодическую, группу. -Двп. в ВИНИТИ 08.07.I9S8, S 5523-В88, 57 с.

6. Ol'shansKil A. Tu.. On residua iing. homomorphisms and ¿-subgroups hyperbolic groups. Int. J. Afgebra and Comput., 1953, V. 3(4), p. 365-Ч09.

груш в МП»' ш. Ю.Ломоносова, на Международной конференции по теории групп (Италия, Нортона, сентябрь 1994 г.), а также были включевы в программу Третьей.международной конференции по алгебре памяти Ы.И.Каргаполова (Красноярск, 1993 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах автора [I, 2, 3] , приведенных в конце автореферата, среди которых депонированная работа [3] написана на основании сданной в печать совместной статьи диссертанта и А.Ю.Ольшанского [7] .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых в общей сложности на 14 параграфов, и списка цитированной литературы. Общий объём диссертации составляет 120 страниц. Библиография содержит 42.наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении, обсуждается актуальность темы диссертации, даются формулировки основных результатов и обзор работ по1 теме диссертации. х -

Первая глава, которая состоит из пяти параграфов, посвящена построению аналога НММ - расширения в классе периодических груш достаточно большого нечётного периода, а также нахождении похожей конструкции для фундаментальных групп некоторых графов групп, что позволяет, в частности, обобщить предыдущий результат и некоторые утверадения для вложений амальгам [5].

7. MiKhajlovsKil K. V., Ol'shanSKii A. Yu. Some constructions relating to hyperbolic groups, (to appear in Proc. London Math. Soc., Lecture Notes Series).

Пол аналогом ' НММ - распирения в классо периодических групп периода а понимается следующая конструкция: для всякой группы & периода п и двух её изоморфных посредством отображения подгрупп А , В построить такую группу- &' периода П. , что выполнены условия: I) группа & вкладывается в £ ; 2) существует элемент такой, что £г порождается образами элементов группы & и элементом I ; 3) == Е> в &

Основным результатом первой главы является следуицая теорема, доказанная з §§ 2, 3, 4.

ТЕОРЕМА. 2.1. Пусть & - группа без инволюций, А и В - собственные подгруппы в & со свойствами: а) фиксирован изоморфизм у: А-"*" В ;

. б) а'-Ад. Г? А = У^е&ЧА, ^ЕЦПВ =Ш (Л В , дГ'А^Л В=Ш С .

Тогда для лвбого нечётного п > 1010 существует бас-конечная группа & со свойствами: I) груша С ' вкладывается в б ; 2) существует элемент ¿е £ , весопряжён-ный с образами элементов из 0 , такой, что & порождается образами элементов группы & и элементом с ; 3) в £ ; 4) = 1 в & для любого

элемента , несопрякёнкого с элементами из &

Отметим, сто указанный з теореме 2.1 аналог НММ -

Ю

расширения для периодических груш нечётного периода И > 10 является естественна в том смысле, что он обладает следукцим свойством универсальности. Пусть & - произвольная периодическая группа нечётного периода п > 1010 , А и В - собственныэ подгруппы в С со свойствами а), б) из условия теоремы 2.1 и б - группа из заключения данной теоремы.

Если К - любая группа периода И с заданны™ гомоморфизмами : G К , : <i>n. —" К такими, что yjaly^i) = (fiifiaU для всякого a e А , то существует единственный гомоморфизм

А*

У : G —К , совпадающий с на G- и с

на <Ъ„ .

Необходимо указать также на то, что условие б) в формулировке теоремы 2.1 опустить нельзя, как показывает пример, приведённый в § А диссертации.

В § 5 диссертации, как следствие указанного выше результата и утверждения из работы Г 5 ] для амальгам, приводится построение похожей конструкции для фундаментальных групп некоторых графов групп с периодическими свойствами. Утверждения, полученные б § 5, включают в себя, как частные случаи, теорему 2.1 и теорему К.ИЛоссова [5] для амальгам двух групп.

Во второй главе_, состоящей из трёх параграфов, рассматривается следующий вопрос: как построить аналогичную H NN - -расширению конструкцию с сильными условиями конечности на подгруппы? ' • "

Отметин, что похожий вопрос (о вложении амальгам в квазиконечные группы) рассматривался ранее в работе Г 8 ] для свободных произведений с объединённой подгруппой.

В связи с указанным выше вопросом в §§ 6, 7, 8 доказывается

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть G - не более чем счётная группа без инволюций, А и В - собственные подгруппы в & со

8. Лоссов К.И. Вложения некоторых амальгам в квазиконечные группы. - Дзп. в ВИНИТИ ¿8.07.1988, № 5529-В88, 21 с.

свойствами:

1) фиксирован изоморфизм у : А —В ;

2) П А=Ш У^е &ХА , 9. Л В =(13 Чув (;\В , ^А9. ЛВ=Ш У^б О, .

Тогда Для любого простого числа р >10** существует счётная простая группа Р со свойствами: а) группа £ вкладывается в Р ; б) А и Ь сопряжены в Р ; в) если д. е , V - любой элемент в Р . , несо-

пряженный с элементами из & , то Г порождается парой элементов ^, V ; г) любая собственная подгруппа в Р есть либо циклическая порядка р , либо сопряжена с подгруппой группы & . .

Таким образом, конструируются группы, являющиеся квазициклическими "по модулю базы", т.е. "по модулю" группы &

Идея доказательства- приведенных выш теорем заключается в наложении специальным образом подобранных ,цополнительншс_ соотношений на нш - расширения.

Для формулировки результатов третьей главы диссертации, которая состоит из шести параграфов, нам понадобятся следующие определения.

Пусть & = <а1, . .., ак I г*4 = 1,..., £=,1 > - конечно заданная группа. Для любого слова У/ равного единице в & обозначим через И (М) наименьшее Не. N , для которого V/ представимо в свободной группе Р(а1; ..., ак) в виде № = .Группа &

называется гиперболической, если существует константа С , зависящая только от группы б , такая, что П.(

СШ11 для любого = 1 в &, ( ШГ • -

длина слова \Л/ ).

Группа называется элементарной, если она содержит циклическую подгруппу коночного индекса. Под максимальной элементарной подгруппой некоторой'группы понимается максимальная подгруппа среди элементарных.

Понятие элементарной.группы играет важную роль в теории гиперболических групп. Это объясняется в частности .тем, что лэбой элемент о- бесконечного порядка гиперболической группы G лежит в единственной максимальной элементарной подгруппе Elf) группы G [3, 9] . С другой стороны, любая не-злемэнтарная подгруппа гиперболической группы содержит свободную подгруппу ранга 2 [3, 9] .

Одним из основных результатов третьей главы является нахождение критерия гиперболичности HNN - расширения гиперболической группы с ассоциированными элементарными подгруппами. В §§ 9, 10, П диссертации доказывается

ТЕОРНоА 9.1. Пусть G - гиперболическая группа, А и В - бесконечные элементарные подгруппы, у: А~~*В - некоторый изоморфизм. Тогда HNN - расширение

G~ < G, I I t-iaf. = y la) , a & A > группы G a

ассоциированными подгруппами A и ß является гиперболическим тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1) по крайней мере одна из подгрупп А или' ß - максимальная элементарная в^ G ;

2) для любого ç с & подгруппа. ^ A П ß ко-

9. Ghtp El and de (а Harpe P. Espaces Metrites H^perboIiQues sur les Groupes Hyperboliques d'après tlinhael Groivov, B'mhauscr, 1331.

нэчка.

Дале2, в 5 12, как следствие, получен соответствующий критерий для свободных произведений с объединением.

ТЕОРЕМА 12.1. Пусть & я И — гиперболические группы, А и В - бесконечные элементарные подгруппы в

, Н соответственно, у: А —В - некоторый изоморфизм. Тогда группа G^H гиперболическая тогда' и только тогда, когда по крайней мере одна из подгрупп А или -В максимальная элементарная в G- или Н

Необходимо отметить, что в случае, когда, элементарные подгруппы А и В в указанных выше теоремах 9.1, 12.1 являются абелеЕШИ, критерии были одновременно и независимо получены в работе 0.Харлампович и А.Мясникова [10] . Заметим также, что приведенная выше теорема 12.I была доказана ранее другим методом в статье М.Еесгвины, М.Фэйна [113

. . Группа .G.. называется делимой, (полной.),.если.для любого элемента ^ & G и любого п.еМ уравнение Xa - у, имеет решение в G

. Напомнил, что первые .примеры нетривиальных конечно порождённых делимых групп были построены В.С.Г^бой [32] , которые являются группами без кручения. Позднее, периодические примеры были даны С.В.Ивановш 14] . До настоящего, времени было нзиз-

io. Kharlampovich 0. and Myasnicov A. H^perboíic groups and free constructions, (to appear). - II. Bestvina M. and Feíg.hn П. A combination theorem for neqatlvciy. curved groups. 1 Diff. Qrtom., 1331, v. зли. ~

12. Губа B.C. Конечно-порождённая полная группа. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1986, 50, Ж 5, С.883-924.

вестно, существуют ли нетривиальные конечно порождённые вербаль-но полные группы. Напомним, что группа С называется вербаль-но полной, если для любого нетривиального слова ЦЧХ^ . .

Хп) свободной группы р( Х1, ХА, • ■ ■ ) со счет-

ным множеством порождающих и для любого ц- е • & уравнение 1Л Х0 ..., а„) = ф имеет решение в группе & .

Гримерами вербально полных групп являются алгебраически замкнутые группы- [I] , которые образуют строгий подкласс указанных

<

групп (отметим, что все алгебраически замкнутые группы не являются конечно порождёнными [I] ).

В связи с отмеченными выше вопросами в § 13 диссертации доказываются .следующие теорема и следствия.

ТЕОРЕМА 13.1. Для любой нециклической гиперболической группы & без кручения существует нетривиальная вербально полная факторгруппа Н без кручения. Более того, Н является О - группой, т.е. группой с однозначным извлечением корней.

- СЛЕДСТВИЕ 13.1. Существует нетривиальная конечно порождённая вербально полная группа без кручения. Более того, она является „ Ь - группой.

СЛЕДСТВИЕ 13.2. Для любой нециклической гиперболической группы & без кручения существует неабелева делимая факторгруппа Н без кручения. Более того, Н является Ь - группой.

Таким образом, приводится построение первых примеров нетривиальных конечно порождённых вербально полных групп, а также новых примеров нетривиальных конечно порождённых делимых групп без кручения.

В § 14 получены соответствующие результаты в периодическом случае.

ТЮРЬМА. 14.1. Любая незлементарная гиперболическая группа & имеет нетривиальную вербально полную периодическую факторгруппу й .

СЛЕДСТВИЕ 14.1. Существует нетривиальная конечно порождённая вербально полная периодическая группа.

СЛЕДСТВИЕ 14.2. Любая незлементарная гиперболическая группа & имеет нетривиальную периодическую делшую факторгруппу

С .

Такт образом, даются первые примеры нетривиальных конечно порождённых периодических вербально полных групп и новые примеры нетривиальных конечно порожденных периодических делимых груш.

Доказательства теорем и следствий, полученных в §§ 13, 14, используют указанные выше критерии гиперболичности свободных конструкций и результаты-.статьи [б] .

Автор., пользуется случаем,, чтобы выразить свою самую искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.Ю.Ольшанскому за постановку задачи, а также за постоянное внимание к работа.

Работы автора по тема диссертации

1. Михайловский К.В. Один аналог НМ/ - расширения для периодических груш. - В сб.: Тезисы Международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова, Красноярск, 1993,

С.231-232.

2. Михайловский К.В. Некоторые обобщения НШ - конструкции в периодическом случае. - Дзп. в ВИНИТИ 28.04.1994,

X Ю63-В94 , 59 с.