Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп и групп с одним определяющим соотношением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Молдаванский Давид Ионович

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА //Л7У-РАСШИРЕНИЙ ГРУПП И ГРУПП С ОДНИМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЕМ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ярославль 2006

Работа выполнена в Ивановском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бардаков Валерий Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Безверхний Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Шмелькин Альфред Львович

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого.

Защита состоится 14 апреля 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете имени П.Г. Демидова по адресу: 150008, Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова.

Автореферат разослан

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Яблокова С.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе рассматривается свойство финитной аппроксимируемости группы, а также ряд его обобщений применительно к группам, строение которых может быть описано при помощи свободных конструкций, т. е. свободного произведения с объединенными подгруппами и ЯАГ.Л/'-расширения.

Понятие финитно аппроксимируемой группы, как свидетельствуют В. Чандлер и В. Магнус в историческом обзоре [16], впервые в явном виде появилось в работе А. И. Мальцева [9], где была установлена финитная аппроксимируемость конечно порожденных матричных групп и доказана хопфовость конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Это понятие обобщалось затем в различных направлениях; в частности, в статьях А. И. Мальцева [10] и [11] рассматривались свойства апроксимируемости групп и отделимости подгрупп в произвольном классе групп. В настоящее время в наиболее общей форме понятие аппроксимируемости групп определяется следующим образом (см. [5]):

Пусть <3 — некоторая группа и р — отношение между элементами и (или) множествами элементов, определенное на группе С и всех ее гомоморфных образах. Пусть также К. — некоторый класс групп. Будем говорить, что группа С? аппроксимируема группами из класса К. (или, короче, К-аппроксимируема) относительно отношения р, если для любых элементов и множеств элементов из й, не находящихся в отношении р, существует гомоморфизм группы б на группу из класса /С, при котором образы этих элементов и множеств также не находятся в отношении р.

В работах по этой тематике чаще всего рассматривается аппроксимируемость относительно отношения равенства (и в этом случае мы будем говорить просто о /С-аппроксимируемости), отношения сопряженности элементов и отношения вхождения в подмножество (если группа С /С-аппроксимируема относительно вхождения в подмножество М, говорят, что подмножество М является ¿С-отделимым в С). При этом, как

правило, в качестве К выступает или класс Т всех конечных групп, или класс Тр всех конечных р-групп, или класс N всех нильпотентных групп. Таким образом, в частности, понятие ^"-аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы.

Одним из заметных направлений в исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного аппроксима-ционного свойства относительно той или иной теоретико-групповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства Л^-аппроксимируемых или /С-аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, /С-аппроксимируемой или /С-аппроксимнруемой относительно сопряженности соответственно. Вместе с тем, прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся ^"-отделимой (см., напр., [17]), тогда как в силу теоремы Холла - Бернса (см. [7, с. 34]) в любой свободной группе все конечно порожденные подгруппы ^-отделимы.

Аппроксимируемость свободного произведения групп рассматривалась К. Грюнбергом в работе [29]. В этой работе вводится понятие корневого класса групп и доказывается, что если класс групп К. является корневым, то свободное произведение произвольного семейства ^-аппроксимируемых групп будет снова /С-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда произвольная свободная группа /С-аппроксимируема. (Напомним, что класс групп /С, содержащий хотя бы одну неединичную группу, называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и для любой последовательности С ^ В ^ А подгрупп группы А такой, что С нормальна в В, В нормальна в Л и фактор-группы В/С и А/В принадлежат классу /С, в подгруппе С содержится некоторая нормальная подгруппа И группы А, такая, что А/П € К.) Недавно Д. Н. Азаров [1] заметил, что произвольный корневой класс содержит или все конечно порожденные нильпотентные группы, или все конечные р-группы, и потому каждая свободная группа является /С-аппроксимируемой для любого корневого класса К. С учетом этого замечания теорема Грюнберга утверждает, таким образом, что для любого корневого класса /С класс ^-аппроксимируемых групп замкнут относительно свободных произведений. В частности, свободное произведение ^"-аппроксимируемых групп или .^-аппроксимируемых групп является ^"-аппроксимируемой или аппроксимируемой группой соответственно. Свободное произведение Н-аппроксимируемых групп далеко не всегда будет .ЛЛ-аппроксимируемой

группой (простейшим примером может служить свободное произведение двух циклических групп порядков 2 и 3); необходимые, а также достаточные условия ЛЛ-аппроксимируемости свободного произведения указаны А. И. Мальцевым [10]. Ранее ЛЛ-аппроксимируемость произвольной свободной группы была установлена В. Магнусом. В. Н. Ремесленников [13] показал, что свободное произведение произвольного семейства групп, Т-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, Т-аппроксимируемой относительно сопряженности, а в работе Н. С. Романовского [15] доказано, что в свободном произведении произвольного семейства групп все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы, если ^"-отделимыми являются все конечно порожденные подгруппы в каждой группе этого семейства.

Свободное произведение является исторически первой из так называемых свободных конструкций групп; другими свободными конструкциями являются обобщенное свободное произведение, т. е. свободное произведение групп с объединенными подгруппами, и расширение Хигмана — Неймана — Нейман (НЛГЛГ-расширение). Положение с аппроксимацион-ными свойствами этих конструкций оказывается более сложным, чем для обычного свободного произведения: свободное произведение с объединенными подгруппами двух ^"-аппроксимируемых групп и ^-расширение ^"-аппроксимируемой группы далеко не всегда являются ^-аппроксимируемыми группами.

По-видимому, первым примером обобщенного свободного произведения двух ^"-аппроксимируемых групп, не являющегося ^-аппроксимируемой группой, можно считать группу Хигмана

(а, 6,с; Ъ~1аЬ = а2, с-1ас = о2),

предложенную им в работе [31] в качестве примера нехопфовой конечно определенной группы. Ввиду нехопфовости и в силу теоремы Мальцева эта группа не является ^"-аппроксимируемой. С другой стороны, она раскладывается в свободное произведение с объединенной циклической подгруппой групп (о, Ь\ Ь_1оЬ = а2) и (а,с; с-1 ас = а2), входящих в семейство групп, называемых теперь группами Баумслага - Солит-эра, т. е. в семейство групп с одним определяющим соотношением вида Н(1,т) — (а,Ь; Ь~га1Ь = ат), где I и т ненулевые целые числа. Именно в этом классе групп Г. Баумслаг и Д. Солитэр в 1962 году обнаружили первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являющихся ^-аппроксимируемыми: оказалось (см. [23] и [38]), что группа

Н(1, т) ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или |/| = 1, или |ш| = 1, или |1| = |т|. Мы видим, таким образом, что группа Хигмана действительно является обобщенным свободным произведением двух аппроксимируемых групп. Кроме того, поскольку каждая группа Н(1, т) является //^^-расширением с проходной буквой Ь бесконечной циклической группы, порождаемой элементом а, среди групп Баумслага - Со-литэра мы находим и примеры НТУЛ^-расширений ^"-аппроксимируемых групп, не являющихся ^-аппроксимируемой группой.

Началом систематического изучения ^"-аппроксимируемости свободного произведения С — (А* В-, Н = К,у?) двух групп А и В с объединенными подгруппами Н и К следует, по-видимому, считать работу Г. Баумслага [22]. В этой работе доказано, что если группы А и В конечны, то группа С? является ^"-аппроксимируемой, и на основе этого результата с использованием введенного там же понятия пары совместимых подгрупп из свободных множителей сформулировано весьма общее достаточное (а также и некоторое необходимое) условие ^"-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух произвольных групп. Тем самым в работе [22] была предложена определенная методика получения конкретных результатов об ^"-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений. Так, например, эта методика практически сразу приводит к утверждению об ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух ^"-аппроксимируемых групп в случае, когда объединяемые подгруппы конечны, а также позволяет легко доказать ^-аппроксимируемость обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных абелевых групп. Подавляющее большинство известных результатов об Т-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп было получено с использованием этой методики.

Развитие исследований ^"-аппроксимируемости Л"//^-расширений началось с работ [19] и [27], в которых практически одновременно и независимо было показано, что -НТУТУ-расширение <7* = (6Г, = В,<р), базовая группа б которого конечна, является ^"-аппроксимируемой группой. Более того, в работе [19] фактически было сформулировано понятие совместимой подгруппы, явившееся аналогом введенного Баумслагом вышеупомянутого понятия пары совместимых подгрупп, и на языке этого понятия указано достаточное условие ^"-аппроксимируемости НИМ-расширения с произвольной базовой группой, из которого легко вытекает, например, ^"-аппроксимируемость //./УТУ-расширения, базовая группа которого ^"-аппроксимируема, а связанные подгруппы конечны. Некоторое

уточнение формулировок из [19] приводит к методике, аналогичной той, которая была указана Баумслагом, и состоящей в том, что, как и в случае обобщенных свободных произведений, условия ^-аппроксимируемости НА^/У-расширения могут быть выражены как определенные свойства семейства всех совместимых нормальных подгрупп конечного индекса базовой группы. А именно, необходимое условие ^-аппроксимируемости _Ш\ГАГ-расширения состоит в том, что базовая группа его является не просто ^-аппроксимируемой, а аппроксимируемой фактор-группами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса, а достаточное условие ^-аппроксимируемости получается, если к этому добавить требование отделимости в классе таких фактор-групп каждой из связанных подгрупп (точные формулировки см. ниже). Как и в случае обобщенных свободных произведений, подавляющее большинство результатов об ^■-аппроксимируемости НКЫ-расширений получено с помощью этой методики. Это относится и к ряду результатов данной работы. Отметим, также что указанное необходимое условие ^-аппроксимируемости НАГАГ-расширения в общем случае не является достаточным (соответствующие примеры можно найти уже среди НАГЛт-расширений, базовая группа которых является бесконечной циклической, т. е. среди групп Баумслага -Солитэра); тем не менее, здесь будет доказано, что что для так называемых нисходящих ^-расширений, т. е. НЫ^-расширений, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой, это условие является и достаточным для ^-аппроксимируемости.

Переходя к рассмотрению ^-аппроксимируемости НАГАГ-расши-рений, заметим, что в формулировке и обосновании указанных выше условий ^"-аппроксимируемости НАГАГ-расширения решающую роль играет следующее свойство совместимых подгрупп: образы связанных подгрупп в фактор-группе базовой группы по нормальной совместимой подгруппе конечного индекса оказываются изоморфными, и соответствующее .ШУАТ-расширение этой фактор-группы является ^-аппроксимируемой группой, будучи #АГАГ-расширением конечной группы. Поскольку как обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп, так и НИИ-расширение конечной р-группы может не быть ^-аппроксимируемой группой, для получения аналогов соответствующей методики изучения .^-аппроксимируемости свободных конструкций групп необходимо располагать условиями ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп и НАгАг-расширения конечной р-группы. Для обобщенного свободного произведения соответствующий

критерий указан Г. Хигманом [32], и модифицированное на его основе понятие пары совместимых подгрупп действительно привело к аналогу методики Баумслага для изучения .^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения (см. [8]).

Критерий .^-аппроксимируемости НММ-расширения конечной р-группы, предложенный в работе [41], для указанной цели не подходит. В данной работе получен другой критерий, формулируемый практически в тех же терминах, что и вышеупомянутый критерий Хигмана, и основанная на нем соответствующая модификация понятия совместимой подгруппы позволила получить условия .^-аппроксимируемости Н-ЛГ-ЛГ-расширений, формулировка которых практически дословно повторяет упоминавшиеся выше условия ^-аппроксимируемости. Это, в свою очередь, приводит к характеризации .^-аппроксимируемых //"ЛГЛГ-расширений с произвольной базовой группой при некоторых дополнительных предположениях, включающих центральность связанных подгрупп, а также групп с одним определяющим соотношением, принадлежащих классу групп Баумслага - Солитэра и классу групп Брукнера (см. ниже).

Напомним, далее, что группа С? называется хопфовой, если она не может быть изоморфной никакой своей истинной фактор-группе, т. е. для любой нормальной подгруппы N группы С? из С/Ы ~ С? следует, что N = 1. В противном случае группа С? называется нехопфовой.

Вопрос о существовании конечно порожденных нехопфовых групп был сформулирован Хопфом в 1932 году (см. [16]), и первым общим результатом по этому вопросу явилась упомянутая выше теорема Мальцева [9], утверждающая хопфовость произвольной конечно порожденной Т-аппроксимируемой группы. Первый пример конечно порожденной нехопфовой группы принадлежит Б. Нейману [40]; построенная им нехопфова группа имеет два порождающих, но требует бесконечного множества определяющих соотношений. Выше приводился пример Г. Хигмана [31] нехопфовой группы с тремя порождающими и двумя определяющими соотношениями. Утверждения об ^-аппроксимируемости произвольной свободной группы и, как следствие, о хопфовости свободной группы конечного ранга вытекают, очевидно, уже из результатов работы А. И. Мальцева [9]. Ожидалось, что этими же свойствами обладают и формально близкие к свободным группы, задаваемые одним определяющим соотношением, но в упоминавшейся уже статье [23] Г. Баумслаг и Д. Солитэр

обнаружили примеры нехопфовых групп среди групп вида

Н(1,т) = (а, 6; б^а'б = ат),

где тип — произвольные целые числа, отличные от 0. Новые примеры нехопфовых групп с одним определяющим соотношением были затем найдены А. Бруннером [25] среди некоторых -ЕГЛГЛГ-расширений групп Баум-слага - Солитэра, а именно среди групп вида

= <a,í; t~xarktalt-"xakt = am),

где lt m, и к — произвольные целые числа, отличные от нуля. (То, что группа G(i,m;fc) является HiViV-расширением группы Н(1>пг), становится очевидным после введения в ее представление нового образующего Ъ вместе с определяющим соотношением Ь — t~1akt.) Следует, впрочем, заметить, что на группы этого класса еще в 1969 году обратил внимание Г. Баумслаг [20], доказав, что все конечные гомоморфные образы группы С(2,1; 1) являются циклическими группами (и приведя тем самым наиболее впечатляющий пример группы с одним определяющим соотношением, не аппроксимируемой конечными группами). Тем не менее, здесь нам будет удобно называть группы вида G(l, ш; к) группами Бруннера.

Второй вопрос Хопфа заключался в существовании конечно порожденных неизоморфных групп, гомоморфно отображающихся друг на друга. Примеры таких групп можно построить, исходя из приведенной выше группы Хигмана (см. [39]). В работе [23] также был приведен пример двух неизоморфных групп, гомоморфно отображающихся друг на друга, причем одна из них совпадает с некоторой группой H{l,m), а другая, как удалось установить, не может быть определена одним соотношением. В связи с этим в 1969 году автором был сформулирован вопрос (см. [6, вопрос 3.33]), будут ли изоморфны две группы, каждая из которых задается одним определяющим соотношением и является гомоморфным образом другой? Здесь будет доказано, что для групп Баумслага - Солитэра ответ на этот вопрос положителен, и, более того, будет дана классификация этих групп. Отрицательный ответ на этот вопрос на примерах, являющихся группами Бруннера, был анонсирован в сообщении [3]. В порядке уточнения некоторых формулировок из этого сообщения здесь при |/| Ф \т\ будет получена классификация групп Бруннера, а также будут перечислены все пары неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга.

Интересное свойство нехопфовых групп, отвечая на один вопрос В. Магнуса, рассматривает Р. Хиршон в работе [33]. Из хопфовости конечно порожденных ^-аппроксимируемых групп легко следует, что ядро любого сюръективного эндоморфизма конечно порожденной группы С? содержится в пересечении ст{0) всех нормальных подгрупп конечного индекса этой группы. Спрашивается, какие нехопфовы группы О с конечным числом порождающих обладают хотя бы одним таким сюръектив-ным эндоморфизмом, объединение ядер всех степеней которого совпадает с а (С?)? В работе [33] такие эндоморфизмы были явно указаны для ряда известных конечно определенных нехопфовых групп и поставлен вопрос о существовании эндоморфизма с указанным свойством в произвольной конечно определенной нехопфовой группе. Здесь будет показано, что ответ на этот вопрос отрицателен, а также дано описание групп Баумслага - Солитэра, таким эндоморфизмом обладающих.

Рассмотрим, далее, еще один подкласс класса групп с одним определяющим соотношением, состоящий из групп с нетривиальным центром. Хорошо известно, что группы этого класса обладают рядом ап-проксимационных свойств. Все они ^"-аппроксимируемы и даже Т-аппроксимируемы относительно сопряженности (см., напр., [28]). Критерий Тр-аппроксимируемости таких групп получен в работах [36] и [37], причем установлено, что группа с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром .ЛЛаппроксимируема тогда и только тогда, когда она является ^-аппроксимируемой для некоторого простого р. В статье [26] было доказано, что в группе с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром, все конечно порожденные нормальные подгруппы ^"-отделимы. В действительности, требование нормальности подгрупп излишне: здесь будет доказано, что в группе с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром, все конечно порожденные подгруппы ^-отделимы. В силу общего замечания А. И. Мальцева [11] о связи между ^-аппроксимируемостью конечно определенной группы относительно некоторого отношения и алгоритмической распознаваемостью этого отношения следствием этого результата является установленная В. Н. Безверхним [2] для групп с одним соотношением и нетривиальным центром разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подгруппы.

Говоря о группе, в которой /С-отделимы все подгруппы, или все конечно порожденные подгруппы, или все циклические подгруппы, обычно тем самым предполагают /С-отделимость и единичной подгруппы, т. е.

/С-аппроксимируемость этой группы. Тем не менее, /С-отделимость подгрупп оказывается, как правило, более сильным свойством группы, чем /С-аппроксимируемость. Например, группа Баумслага - Солитэра Н(1,1) при |1| > 1 содержит циклическую подгруппу, не являющуюся Т-отделимой. В статье [26] приводится пример группы, являющейся расширением свободной группы ранга два при помощи бесконечной циклической группы и содержащей не ^-отделимую 2-порожденную подгруппу. С другой стороны, по теореме 1 из [11] эта группа является Т-аппроксимируемой, а по теореме 4 из [17] — 7гс-группой (т. е. группой, все циклические подгруппы которой ^"-отделимы).

Группы, упомянутые в предыдущем абзаце, являются нисходящими Д'-ЛГ.ЛГ-расширениями, и здесь будет получено необходимое и достаточное условие принадлежности произвольного нисходящего NN ^-расширения классу тгс-групп. Это условие, формулируемое практически в тех же терминах, что и критерий ^"-аппроксимируемости, означает, что каждая циклическая подгруппа базовой группы ¿ГАГЛ^-расширения отделима ее фактор-группами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса.

Рассмотрим теперь другой вид отделимости подгрупп, который получается заменой отношения принадлежности подмножеству отношением быть сопряженным с некоторым элементом этого подмножества. Более точно, назовем подмножество М группы С? сопряженно /С-отделимым, если для любого элемента а £ С, не сопряженного ни с одним элементом из М, найдется такой гомоморфизм ср группы С на некоторую группу из класса /С, что элемент а<р не сопряжен в группе С?<р ни с одним элементом из подмножества М(р.

Этот вид отделимости подмножеств также представляет определенный интерес. Хорошо известно, например, что если класс К, гомоморфно замкнут, то для любой нормальной подгруппы N группы О /С-аппроксимируемость фактор-группы О/АГ равносильна АС-отделимости подгруппы N. В работе [4] замечено, что если снова К — гомоморфно за, мкнутый класс , то для любой группы С? и произвольной ее нормальной подгруппы N фактор-группа С/И является /С-аппроксимируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы С по подгруппе N сопряженно /С-отделим.

Дж. Дайер [28] доказала, что в произвольной конечно порожденной нильпотентной группе и в любой свободной группе все циклические подгруппы сопряженно ^"-отделимы. Из результатов работы [42] следует, что

распространить это утверждение на произвольные конечно порожденные подгруппы любой нильпотентной группы с конечным числом порождающих нельзя. С другой стороны, в данной работе доказано, что в свободной группе все конечно порожденные подгруппы сопряженно ^"-отделимы.

В общую схему понятия аппроксимируемости группы относительно некоторого отношения между элементами и множествами элементов этой группы укладывается еще одно естественное аппроксимационное свойство групп. Будем говорить, что группа G ^"-аппроксимируема относительно сопряженности (конечно порожденных) подгрупп, если для любых двух (конечно порожденных) подгрупп Н и К группы G, не сопряженных в ней, существует гомоморфизм у? группы G на конечную группу X такой, что образы Hip и Kip подгрупп Н и К не сопряжены в группе X.

Это свойство групп рассматривалось в работе В. Н. Ремесленникова [14], где было доказано, что конечно порожденные нильпотентные группы финитно аппроксимируемы относительно сопряженности подгрупп. Впоследствии этот результат был распространен на класс полициклических групп в работе [30]. Здесь будет доказано, что произвольная свободная группа ^"-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Ряд результатов диссертации относится к близкой к аппроксимаци-онным свойствам проблеме определяемости ^"-аппроксимируемой группы G семейством -7-"(G) ее конечных гомоморфных образов. Хорошо известно, что вопрос о том, будут ли ^-аппроксимируемые группы G и Н обязательно изоморфны, если F{G) = F{H), в общем случае решается отрицательно. В. Н. Ремесленников [14] привел пример двух неизоморфных 2-порожденных 4-ступенно нильпотентных групп с одинаковыми конечными гомоморфными образами. В работе Г. Баумслага [21] указана серия пар неизоморфных метациклических групп, также имеющих одни и те же конечные гомоморфные образы. С другой стороны, имеется не так уж много результатов противоположного характера. Уместно напомнить, в частности, что до сих пор неизвестен ответ на вопрос В. Н. Ремесленникова, будут ли изоморфными две конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов, если одна из них — свободная или свободная разрешимая (см. [6], вопрос 5.48).

Цель работы. Целью работы является получение новых критериев ^"-аппроксимируемости HNN-расширений при некоторых ограни-

чениях на базовую группу и связанные подгруппы, получение критерия .^-аппроксимируемости /Г-ЛГ-ЛГ-расширения конечной р-группы, разработка на его основе методики изучения ^-аппроксимируемости НИМ-расширений с произвольной базой и применение этой методики к характе-ризации .^-аппроксимируемости некоторых НММ-расширений и групп с одним определяющим соотношением, принадлежащих классам групп Ба-умслага - Солитэра и Бруннера. Будет получена классификация групп Баумслага - Солитэра и некоторого подкласса групп Бруннера и дано описание всех пар неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга, получен критерий хопфовости групп Бруннера и описание тех групп Баумслага - Солитэра, объединение ядер степеней некоторого сюръективного эндоморфизма которых совпадает с пересечением всех нормальных подгрупп конечного индекса. Будет доказана ^"-отделимость конечно порожденных подгрупп групп с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром, Т-аппроксимируемость произвольной свободной группы относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп, получен ряд результатов о группах с одинаковыми конечными гомоморфными образами.

Научная новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми.

Методы исследования. В работе используются обычные методы комбинаторной теории групп, используемые при изучении свободных конструкций групп.

Теоретическое и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы их доказательства могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп, а также могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных и Международных конференциях в Красноярске (1980,1993), Ленинграде (1981), Минске (1983), Свердловске (1989), Новосибирске (1989), Барнауле (1991), Санкт-Петербурге (1997), Туле (2003), Москве (2004), на семинаре по теории групп МГУ и на алгебраическом семинаре Ивановского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [44]-[61]. В статьях, написанных в соавторстве, формулировки результатов и

идеи доказательств принадлежат соискателю.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов, и изложена на 204 страницах. Список литературы состоит из 81 наименования.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Как уже отмечалось выше, в работе получен ряд новых результатов по аппроксимируемости IINN-расширений в классах всех конечных групп и всех конечных р-групп с последующим их применением к ха-рактеризации аппроксимируемости в этих классах групп с одним определяющим соотношением, принадлежащих семействам групп Баумслага - Солитэра и Бруннера. Решается ряд вопросов, связанных с хопфово-стью этих групп и свойством финитной отделимости подгрупп. Перейдем к точным формулировкам и более подробному описанию этих и других результатов работы.""'

Напомним, прежде всего, что если С — некоторая группа с изоморфными подгруппами А и В и фиксированным изоморфизмом <р : А —*■ В, то Н NN -расширением группы С? с проходной буквой Ь и связанными (относительно изоморфизма <р) подгруппами А и В называется группа <7* = (С?, = В,ср), порождаемая элементами, порождающими

группу С, и еще одним элементом £ и определяемая всеми соотношениями группы С и всевозможными соотношениями вида ¿-1а£ = сир, где а € А. Группу С? называют базовой группой .ШУТУ-расширения.

В первом параграфе работы напоминаются основные свойства этой конструкции (как и необходимые для доказательств свойства обобщенного свободного произведения групп) и приводятся условия ^"-аппроксимируемости ЯТУ./У-расширения. Приведем соответствующие определения и формулировки.

Если снова С — некоторая группа, с подгруппами Л и В и изоморфизмом <р : А —*■ В, подгруппа Н группы С? называется (А, В, ф)-совместимой, если (АГ\Н)(р = В П Н. В,ср) будет обо-

значать семейство всех (А, В, ср)-совместимых нормальных подгрупп конечного индекса группы б.

Следуя Г. Баумслагу [22], семейство X нормальных подгрупп некоторой группы С? будем называть фильтрацией, если пересечение всех подгрупп этого семейства совпадает с единичной подгруппой. Если А — подгруппа группы С7, то фильтрация X называется А-фильтрацией, если

для любого элемента 3 6 б, не принадлежащего подгруппе А, найдется подгруппа N € X такая, что д £ AN. Если А и В — две подгруппы группы <7, то фильтрацию X будем называть (А, В)-фильтрацией, если она одновременно является и А-фильтрацией, и £?-фильтрацией.

Следующее утверждение, являющееся некоторой модификацией теоремы 4.2 из [19], используется практически в каждом исследовании финитной аппроксимируемости Н-ЛГАГ-расширений (нумерация всех приводимых здесь утверждений совпадает с принятой в диссертации):

Предложение 1.16. Пусть О — некоторая группа, А и В — подгруппы группы С? и <р : А —> В — изоморфизм. Пусть

в* = (<з,и Г"1 л* =

— Н NN-расширение группы <7. Тогда

(1) если группа С* Т-аппроксимируема, то семейство является фильтрацией;

(2) если семейство является (А, В)-фильтрацией, то группа О* Т-аппроксимируема.

Простые примеры показывают, что доставляемое утверждением (1) предложения 1.16 необходимое условие ^"-аппроксимируемости HNN-расширения, вообще говоря, не является достаточным. Тем не менее, можно указать достаточно широкий класс -ШУ-ЛТ-расширений, для Т-аппроксимируемости которых указанное необходимое условие является и достаточным. Это так называемые нисходящие HNN-pacшиpeния, т. е. -¿Г-ЛГ-ЛГ-расширения, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. Имеет место

Теорема 1.1. Пусть (7 — некоторая группа, В — подгруппа группы <3, изоморфная этой группе и 1р : б —+ В — изоморфизм. Пусть С — (<2, = В,ф) — нисходящее Н NN-расширение группы С.

Группа С* является Т-аппрокалмируемой тогда и только тогда, когда семейство В, ф) является фильтрацией.

С помощью теоремы 1.1 можно получить следующее достаточное условие ^-аппроксимируемости нисходящего Л"ЛГ.ЛГ-расширения:

Теорема 1.2. Пусть С* = (С?, Ц ¿-1С?£ = В, у?) — нисходящее HNN-расширение конечно порож-денной группы <7, причем подгруппа В

имеет конечный индекс по модулю коммутанта С группы О. Предположим также, что группа С? Тр-аппроксимируема для каждого числа р из некоторого бесконечного множества простых чисел. Тогда б* является Т-аппроксимируемой группой.

Так как свободные группы ^-аппроксимируемы при любом простом р, из теоремы 1.2 получаем

Следствие 1. Пусть (?* = = В,(р) — нисходя-

щее Н NN-расширение свободной группы конечного ранга. Если подгруппа ВС имеет конечный индекс в группе С?, то группа (7* Т-аппроксимируема.

Если С? — свободная нильпотентная группа конечного ранга и В — подгруппа группы С7, изоморфная ей, то, как известно, индекс подгруппы ВС в группе (7 конечен. Поскольку, к тому же, свободные нильпотентные группы аппроксимируются конечными р-группами при любом простом р, то имеем

Следствие 2. Произвольное нисходящее HNN-расширение конечно порожденной свободной нильпотентной группы является Т-аппроксимируемой группой.

Теоремы 1.1 и 1.2 и приведенные здесь следствия из теоремы 1.2 были опубликованы в работе [48] в 1992 году. В той же работе отмечался, как открытый, вопрос о том, будет ли произвольное нисходящее HNN-расширение свободной группы ^-аппроксимируемой группой. Недавно в работе [24] с помощью методов, отличных от используемых здесь, было доказано, что любое нисходящее _Н".ЛГ.ЛГ-расширение конечно порожденной свободной группы является .Т7-аппроксимируемой группой. В работе [34] утверждение следствия 2 было распространено на произвольные полициклические группы.

Условия ^"-аппроксимируемости HNN-расширения, содержащиеся в предложении 1.16, несмотря на их весьма общий характер и наличие существенного пробела между необходимым и достаточным условиями, в ряде случаев позволяют получать конкретные критерии Т-аппроксимируемости группы <?* = (<7, Ь~1 АЬ = В,<р). Так, в случае, когда группа С? является абелевой с конечным числом порождающих, соответствующий критерий был получен в работе [18]. Здесь такой критерий установлен при более слабых предположениях:

Теорема 2.1. Пусть А и В — конечно порожденные центральные подгруппы группы О, причем А ф С? и В ф 6?. Предположим также, что в группе С все подгруппы, лежащие в подгруппе АВ, Р-отделимы. Построим две последовательности 1/к и Ук подгрупп группы С, полагая и0 = А, У0 — В и ик+1 =икП Ук, = ик+1(р.

Группа С?* = (С?, ¿; £-1А£ = В, <р) является Р-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда для некоторого п ^ 0 имеет место равенство ип = Уп-

При ограничениях, накладываемых на группу С и ее подгруппы А и В в формулировке теоремы 2.1, можно получить еще один критерий Т-аппроксимируемости группы С*. А именно, из предложения 1.16 без труда получается следующее достаточное условие ^"-аппроксимируемости:

Предложение 1.17. Пусть О — некоторая группа, А и В — подгруппы группы С? и <р : А —+ В — изоморфизм. Если группа С7 Т-аппроксимируема, подгруппы А и В З7-отделимы в С и в каждой нормальной подгруппе конечного индекса группы С? содержится некоторая подгруппа из семейства 3-"с:(А, В,ф), то группа

с = (с,г; г-хАг = в,ф)

является Т-аппроксимируемой.

В рассматриваемом случае это условие оказывается и необходимым:

Теорема 2.2. Пусть группа С и ее подгруппы А и В удовлетворяют условиям теоремы 2.1. Если группа С?* Т-аппроксимируема, то в каждой нормальной подгруппе конечного индекса группы С? содержится некоторая (А, В, ф)-совместимая нормальная подгруппа, имеющая в С? конечный индекс.

Приведем два следствия сформулированных утверждений. В первом из них речь идет о ^"-отделимости циклических подгрупп.

Напомним, что группа С называется 7гс-группой, если все ее циклические подгруппы ^"-отделимы. Очевидно, что произвольная 7гс-группа является ^-аппроксимируемой. Обратное, вообще говоря, не имеет места; простейший контрпример, как известно, доставляет группа Баумслага -Солитэра вида Н(1,1), являющаяся Н-ЛГАТ-расширением бесконечной циклической группы. С другой стороны, легко показать (см., напр., [35]), что

если группа О является тгс-группой, подгруппы А и В ^"-отделимы и каждая нормальная подгруппа конечного индекса группы О содержит некоторую (Л, В, <р)-совместимую нормальную подгруппу конечного индекса, то группа С* является 7гс-группой. Поэтому из теоремы 2.2 получаем

Следствие 1. Пусть группа С и ее подгруппы, А и В удовлетворяют условиям теоремы 2.1, и пусть, кроме того, С? является тгс-группой. Группа С* является тгс-группой тогда и только тогда, когда она Т-аппроксимируема.

Второе следствие указывает на более конкретное применение этих результатов. Из теоремы 6 работы [11] следует, что в произвольной полициклической группе все подгруппы являются финитно отделимыми. Так как свойство финитной отделимости всех подгрупп сохраняется при конечных расширениях, имеем

Следствие 2. Пусть группа О является конечным расширением полициклической группы и А и В — собственные центральные подгруппы группы Пусть последовательности и подгрупп группы С? определены как в теореме 2.1. Следующие утверждения равносильны:

(1) для некоторого п ^ 0 имеет место равенство ип — Уп;

(2) группа Оф = (С7, £; = В, ср) является ^-аппроксимируемой;

(3) группа С является -лс-группой.

В случае, когда группа (7 является конечно порожденной абелевой, равносильность утверждений (2) и (3) следствия 2 была известна: она вытекает из результатов работ [18] и [43]. Равносильность утверждений (1) и (2) дает для ЯА/А'-расширения с конечно порожденной абелевой базой критерий ^"-аппроксимируемости, отличный от соответствующего критерия из работы [18]. Можно предположить, что в ряде случаев применение критерия, указанного здесь, оказывается более предпочтительным.

Доказательства теорем 2.1 и 2.2 используют прием, который можно назвать методом спуска и подъема совместимых подгрупп и который состоит в следующем.

Пусть, как и выше, Ф — некоторая группа, А и В — подгруппы группы О и <р : А —*■ В — изоморфизм. Пусть V = А П В и V — II(р. Таким образом, и и V — подгруппы группы В, и у? — изоморфизм подгруппы 1/ на подгруппу V (здесь и ниже ограничение отображения <р на произвольную подгруппу группы А обозначается тем же символом <р).

При определенных ограничениях, накладываемых на группу 0? и ее подгруппы А и В, некоторые свойства семейств Т,о(А,В,<р) и Тв(и, V, Ф) взаимосвязаны. В самом общем случае имеет место

Предложение 2.4. Для любой подгруппы Н € Тс{А,В,ф) подгруппа £) = В П Н принадлежит семейству У,<р).

Если семейство Тс(А,В,ср) является фильтрацией ((А,В)-филь-трацией), то семейство Тв(и,У><р) также является фильтрацией (соответственно, (С/, V)-фильтрацией).

Подгруппу Н группы С будем называть подъемом подгруппы И 6 Рв{и, если Н входит в семейство Тс(А, В,<р) и В Г\ II = И.

Предложение 2.5. Пусть подгруппы А и В лежат в центре группы & и пусть все подгруппы группы С?, принадлежащие подгруппе К = АВ, финитно отделимы в Тогда

(1) для любой подгруппы из семейства V, </р) существует подъем;

(2) если каждая нормальная подгруппа конечного индекса группы В содержит некоторую подгруппу из семейства Тв{и, V, ф), то и каждая нормальная подгруппа конечного индекса группы содержит некоторую подгруппу из семейства Тс (А,В,ф).

Отсюда вытекает частичное обращение второго утверждения предложения 2.4:

Предложение 2.6. Пусть подгруппы А и В лежат в центре группы О и пусть все подгруппы группы С, принадлежащие подгруппе К = АВ, финитно отделимы в С7. Тогда если семейство Тв(и,У,ф) является (£/, V)-фильтрацией, то семейство То (А, В, ср) является (Л, В)-фильтрацией.

Отметим, что если вместо (II, У)-фильтрации говорить просто о фильтрации, аналог предложения 2.6 может оказаться неверным.

В третьем параграфе работы рассматриваются условия ^-аппроксимируемости HNN-расширений, и первым результатом, полученным здесь, является следующий критерий Тр-аппроксимируемости НNN-расширения, базовая группа которого является конечной р-группой:

Теорема 3.1. Пусть С — конечная р-группа, А и В -— подгруппы группы Сх и (р \ А —► В — изоморфизм. НNN -расширение

С7* = (С7,t — В,<р) является аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда существует главный ряд

1 = С?о ^ С1 ^ • • ■ ^ <?п_1 ^ Сп = С?

группы (7, удовлетворяющий следующим двум условиям:

(1) для любого г = 0,1,...,п подгруппа б?» является (А,В,^-совместимой, т. е. (А П = ВП(?< ;

(2) для любого г — 0,1,..., п — 1 и для каждого элемента а € 1 элементы сир и а сравнимы по модулю подгруппы О,.

(Напомним, что главным рядом некоторой группы С? называется ее нормальный ряд, не допускающий нетривиальных нормальных уплотнений.)

Этот критерий формулируется практически в тех же терминах, что и упоминавшийся выше критерий Хигмана для обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп, и в отличие от критерия, указанного в работе [41], позволяет получить методику, аналогичную описанной выше методике изучения ^"-аппроксимируемости Л"ЛГАГ-расширений. А именно, формулировка теоремы 3.1 подсказывает возможность введения следующего аналога понятия (А, В, уз)-совместимой подгруппы.

Пусть снова С? — некоторая группа, А и В — подгруппы группы С? и (р : А —► В — изоморфизм. Пусть р — простое число. Подгруппу Н группы С будем называть (А, В, <р,р)-совместимой, если существует последовательность

Н = (7о ^ • • • ^ (?п_1 ^ Сп = б?

подгрупп группы С такая, что

1) для любого г = 0,1,...,п С?» является нормальной (А, В, ^-совместимой подгруппой группы С и

2) для каждого г = 0,1,... , п — 1 порядок фактор-группы Gi+l/Gi равен р и для произвольного элемента а € А П элементы ар и а сравнимы по модулю подгруппы

Пусть обозначает семейство всех (А, В, ¡р, р)-совмес-

тимых подгрупп группы С7. Имеет место следующий аналог предложения 1.16:

Предложение 3.5. Пусть G — некоторая группа, А и В — подгруппы группы G и <р : А—* В — изоморфизм. Пусть G* = (G,t\ t~xAt — В,ср)

— HNN-расьиирение группы G. Тогда

(1) если группа G* Тр-аппроксимируема, то семейство ¿^(А, В,<р) является фильтрацией;

(2) если семейство ^F^(A,B,(p) является (А, В)-фильтрацией, то группа G* -аппроксимируема.

Применение этого утверждения вместе с использованием метода спуска и подъема совместимых подгрупп позволяет получить следующие результаты:

Теорема 3.2. Пусть А и В — конечно порожденные центральные подгруппы группы G и (р : А В — изоморфизм, причем Аф G и В ф G. Предположим также, что группа G Tv-аппроксимируема и что все ее центральные р'-изолированные подгруппы Тр-отделимы. Пусть последовательности Uk и Vk подгрупп группы G определены, как в формулировке теоремы 2.1, т. е. U0 = A, V0 = В и Uk+1 = Uk П Vk, Vk+i = Uk+

Группа G* — (G,t; t~xAt — В, <p) является Tv-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда

(1) подгруппы А и В р'-изолированы в группе G и

(2) для некоторого п ^ 0 имеет место равенство Un — Vn и пересечение всех (р-инвариантных подгрупп Н конечного р-индекса группы Un таких, что автоморфизм <рн фактор-группы Un/H, индуцированный отображением (р, является р-элемегстом, совпадает с единичной подгруппой.

(Напомним, что подгруппа X группы У называется р'-изолированной, если для любого простого числа q ф р и любого элемента у 6 Y из yq € X следует, что у € X. Легко видеть, что всякая ^-отделимая подгруппа должна быть р'-изолированной.)

Теорема 3.3. Пусть G — Fp-аппроксимируемая группа, А и В

— конечные центральные подгруппы группы G и ip : А —► В — изоморфизм. Пусть Hq(A, В,<р) — наибольшая из подгрупп Н группы G таких, что Н<р = Н. Группа G* — (G,t; t~xAt — В, v7) является аппроксимируемой тогда и только тогда, когда порядок автоморфизма <р группы Нс(А, В,ср) является р-числом.

Отметим, что теорема 3.3 обобщает теорему 8 работы [41], где аналогичный критерий был получен для случая, когда G является конечной абелевой р-группой.

Из теорем 3.2 и 3.3 следует также, что если А и В — центральные подгруппы аппроксимируемой группы G и An В = 1, то

а) если подгруппы А и В конечны, то группа G* является Тр-аппроксимируемой;

б) если все ее центральные р'-изолированные подгруппы Тр-отделимы, то группа G* является Tv-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда подгруппы А и В р'-изолированы в группе G.

Перечисленные результаты получены в первой главе работы. Во второй главе рассматриваются различные свойства групп Баумслага -Солитэра

Н(1, га) = (а, Ь; Ъ~ха1Ъ = ат)

и групп Брукнера

G(l, m; k) = (a, t\ t^a^tah^aH = am),

причем и в том, и в другом случае без потери общности можно считать, что \l\ ^ т > 0, а для групп Бруннера еще и к > 0.

В четвертом параграфе работы собраны предварительные результаты о строении этих групп, а в пятом параграфе рассматривается их аппроксимируемость в классах конечных групп и конечных р-групп. Здесь отмечено, прежде всего, что критерий ^-аппроксимируемости групп Баумслага - Солитэра, сформулированный в работе [23], уточненный затем в [38] и утверждающий, что группа Н(1,т) (где |¿| ^ т > 0) Т-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или т = 1, или \1\ = ш, можно получить как непосредственное следствие результатов главы I, а именно, теорем 1.1 и 2.1. Характеризацию .^-аппроксимируемых групп Баумслага - Солитэра дает доказываемая с помощью результатов предыдущей главы (в частности, предложения 3.5)

Теорема 5.2. Группа Н(1,т) = (а,6; b~lalb = ат) (где \l\ ^ т > 0j J-р-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или т = 1 и I = 1 (mod р), или ¡¿| — т — рТ для некоторого г ^ 0, причем если I ~ —га, то р — 2.

Критерии и .Fp-аппроксимируемости групп Бруннера формулируются следующим образом:

Теорема 5.3. Группа G(l,m;k) (где к > 0 и |Z| ^ га > 0J является Т-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |1| — т.

Теорема 5.4. Группа G(l, га; к) (где |Z| ^ га > 0 и к > 0) является ZFp-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |£| = га — рг и к — р" для некоторых целых чисел г ^ 0 гх s ^ 0, причем если I — —га, то р — 2 и s ^ г.

Заметим, что необходимость условия в теореме 5.3 была отмечена (без доказательства) в работе [25]. Доказательства теорем 5.3 и 5.4 также опираются на результаты главы I.

В шестом параграфе рассматриваются вопросы хопфовости и классификации групп Баумслага - Солитэра и Брукнера. Нехопфовы группы Баумслага - Солитэра описаны в работе [23]: группа Н(1,т) (где, напомним, |Z| ^ га > 0) не является хопфовой тогда и только тогда, когда \1\ > га > 1 и множество простых делителей числа I не совпадает с множеством простых делителей числа га. Достаточное условие нехопфовости групп Бруннера, доказанное в работе [25], оказалось и необходимым:

Теорема 6.2. Группа G(i,ra; к) (где \l\ ^ т > 0 и к > 0) ) не является хопфовой тогда и только тогда, когда |i| > га > 1, число т является делителем чисел I и к и числа га и lfm взаимно просты.

Нетрудно видеть, что для любой нехопфовой группы if(Z,ra) можно указать такую неизоморфную ей группу G, что группы Н(1,т) и G будут гомоморфными образами друг друга. Тем не менее, среди групп Баумслага - Солитэра такой группы найти нельзя:

Теорема 6.3. Группы Н(1,т) и H(p,q), где ^ тп> 0 и\р\^ q > 0, изоморфны тогда и только тогда, когда I — р и га = q. Если каждая из групп Н(1,т) и H(p,q) является гомоморфным образом другой, то они изоморфны.

С другой стороны, в сообщении [3] было анонсировано существование неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга. Следующий результат работы, уточняя ряд утверждений из [3], дает перечисление всех таких пар групп Бруннера.

Теорема 6.4.

1. Если группы G\ — G(lx,mi\ fci) и G2 — G^^mi; &г) гомоморфно отображаются друг на друга и выполнено хотя бы одно из неравенств |Zi| > т,\ и ¡¿2} > гаг, то — ¿2 и т,\ = гаг-

2. Если |Z| > га, то группы Gi = G(l,m; ki) и G2 = G(l,m; fo) изоморфны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

(2.1) кх = к2;

(2.2) m > 1, числа к\ и делятся на наибольший общий делитель чисел I um и к\/к2 = ± (1/т)р для некоторого целого числа р ф 0;

(2.3) ra = 1 it частное kxfk^ является I-числом.

3. Группы G\ — G(l,m]ki) и G<¿ — G(l,m;k2) гомоморфно отображаются друг на друга и не изоморфны тогда и только тогда, когда |/| > т > 1 и число т является делителем каждого из чисел I, к\ и к2, причем число s — 1/т взаимно просто с т и частное к\/к2 является s-числом, не совпадающим ни с какой степенью (с целочисленным показателем) числа ±s.

(Здесь, как обычно, утверждение о том, что целое число т является n-числом, означает, что m делится лишь на простые числа, делящие целое число п; рациональное число будем называть n-числом, если п-числами являются числитель и знаменатель представляющей его несократимой дроби.)

Таким образом, среди групп вида G(l,m;k) имеется бесконечно много пар, доставляющих контрпримеры к упоминавшемуся выше вопросу 3.33 из [6]; в некотором смысле минимальную такую пару составляют группы (7(18,2; 2) и G(18,2; 6).

В седьмом параграфе работы рассматривается следующий вопрос В. Магнуса (см. [33]). Пусть o{G) обозначает пересечение всех нормальных подгрупп конечного индекса группы G. Из хопфовости конечно порожденных ^"-аппроксимируемых групп легко следует, что для любого сюръективного эндоморфизма ср конечно порожденной группы G имеет место включение Кег<р С o(G), а потому — и включение К(ф) С cr(G), где

оо

К(<р) = (J Кег <р\ i—1

Спрашивается, какие нехопфовы группы с конечным числом порождающих обладают хотя бы одним сюръективным эндоморфизмом tp таким, что К(ф) = сг(С7)? В работе [33] такие эндоморфизмы были явно указаны для ряда известных конечно определенных нехопфовых групп и поставлен вопрос о существовании эндоморфизма с указанным свойством

в произвольной конечно определенной нехопфовой группе. Нетрудно показать, тем не менее, что ответ на этот вопрос отрицателен. А именно, имеет место

Теорема 7.1. Пусть группа G является свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой Н, G = (А * В) Н). Предположим, что

(1) существует сюръективный эндоморфизм г группы А с нетривиальным ядром, действующий тождественно на подгруппе Н;

(2) группа А совпадает с нормальным замыканием в этой группе подгруппы Н;

(3) подгруппа о (В) содержит подгруппу Н и совпадает с нормальным замыканием в группе В некоторого конечного множества ее элементов.

Тогда группа G нехопфова, и для любого сюръективного эндоморфизма <р группы G подгруппы K(ip) и cr(G) различны.

По-видимому, простейшим конкретным примером, удовлетворяющим условиям теоремы 7.1 является, группа

G = (а,Ь,с; Ь_1а26 = а3, 6= [б,с_1Ьс]>.

С другой стороны, один из результатов работы [33] утверждает, что группа Баумслага - Солитэра Н(1, т) в случае, когда числа I и m взаимно просты, таким сюръективным эндоморфизмом <р, что К(ф) = а(Н(1,т)), обладает. Основной целью параграфа 7 является доказательство следующей теоремы, дающей исчерпывающую характеризацию тех групп if(Z,m), которые обладают сюръективным эндоморфизмом с указанным свойством.

Теорема 7.2. Пусть Н(1,т) — {а,Ь; Ь~га1Ь = ат) — произвольная группа Баумслага - Солитэра и пусть числа Хит, определяющие эту группу, записаны в виде I = 1%р и т — miq , где (р,т) = (q,l) = 1 и положительные числа li и mi имеют одни и те же простые делители. Группа Н(1,т) обладает сюръективным эндоморфизмом ip таким, что К((р) = сг(Н(1,т)), тогда и только тогда, когда 771 х = П\.

Заметим, что если числа I и т взаимно просты, то h = mi = 1, так что приведенный выше результат из [33] является непосредственным следствием этой теоремы.

В формулировке теоремы 7.2 отсутствует предположение о нехоп-фовости группы Н(1,т). Дело в том, что конечно порожденная группа G, обладающая сюръективным эндоморфизмом ip таким, что К(<р) = ct(G), не обязательно является нехопфовой: если группа G является !F-аппроксимируемой (т. е. a(G) = 1), то любой ее автоморфизм tp удовлетворяет указанному равенству. Более того, очевидно, что если группа G хопфова и К((р) = cr(G) для некоторого ее сюръективного эндоморфизма <р, то эта группа ^"-аппроксимируема. Таким образом, класс конечно порожденных групп, обладающих сюръективным эндоморфизмом с указанным свойством, состоит из групп, являющихся либо Т-аппроксимируемыми, либо нехопфовыми, причем все конечно порожденные .^-аппроксимируемые группы этому классу принадлежат. Поэтому для хопфовых групп Н(1, га) утверждение теоремы 7.2 является непосредственным следствием критериев ^"-аппроксимируемости и хопфовости групп Баумслага - Солитэра, и доказательство теоремы 7.2 достаточно провести при дополнительном предположении о нехопфовости группы Н(1,тп). Тем не менее, в этом доказательстве будет использоваться лишь более слабое предположение \1\ > тп > 0. Пусть а обозначает (сюръек-тивный) эндоморфизм группы H(l,m), переводящий элемент а в элемент apq и оставляющий элемент Ъ на месте. Теорема 7.2 является очевидным следствием следующих двух утверждений, которые и доказываются в работе:

Теорема 7.2а. Фактор-группа H(l,m)/K(a) Т-аппроксимируема тогда и только тогда, когда 1\ = гп\.

Теорема 7.2Ь. Ядро каждого сюръективного эндоморфизма группы Н(1,т) содержится в подгруппе К(а).

В третьей главе работы рассматриваются свойства ^"-отделимости подгрупп и некоторые другие аппроксимационные свойства групп. Как уже отмечалось выше, произвольная группа вида H(l, 1), где \l\ > 1, не является 7Гс-группой. Все эти группы являются нисходящим HNN-расширением бесконечной циклической группы, и следующий результат, доставляющий необходимое и достаточное условие принадлежности нисходящего HNN-расширения классу 7гс-групп, объясняет, в частности, такое поведение групп H(l, 1) относительно свойства быть 7гс-группой.

Теорема 8.1. Пусть G — некоторая группа, В — подгруппа группы G, изоморфная этой группе, и ip : G —* В — изоморфизм. Пусть

G* = (G, £; t~xGt = B,cp) — нисходящее HNN-расширение группы G. Группа G* является ttc-группой тогда и только тогда, когда для каждой циклической подгруппы А группы G семейство Tg{G, В, ф) всех (С?, В, ф)-совместимых нормальных подгрупп конечного индекса группы G является А-фильтрацией.

Следующий результат относится к группам с одним определяющим соотношением, центр которой нетривиален.

Теорема 8.2. Пусть G — группа с одним определяющим соотношением, обладающая нетривиальным центром. Тогда произвольная конечно порожденная подгруппа группы G является Т-отделимой.

Заметим, что опустить в формулировке этой теоремы требование конечной порожденности подгрупп нельзя: каждая группа с одним соотношением и нетривиальным центром содержит неотделимую подгруппу, если, разумеется, она вообще содержит хотя бы одну подгруппу, не являющуюся конечно порожденной (т. е не является циклической и не изоморфна группе iJ"(±l, 1)).

Решающую роль в доказательстве теоремы 8.2 играет следующее замечание, имеющее, возможно, и самостоятельный интерес.

Предложение 8.2. Пусть К. — гомоморфно замкнутый класс групп и пусть G — группа, обладающая бесконечным центром, отличным от квазициклической группы. Предположим далее, что для любой неединичной центральной подгруппы А группы G все К-подгруппы фактор-группы G/A Т-отделимы. Тогда Т-отделимыми будут и все К-подгруппы группы G.

Отметим еще, что теорема 8.2 была опубликована в 1987 году в работе [45], а в опубликованной в том же году статье [26] для групп с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром другими методами была установлена ^"-отделимость конечно порожденных нормальных подгрупп.

Следующие два результата относятся к свободным группам.

Теорема 8.3. Произвольная конечно порожденная подгруппа H свободной группы F является сопряженно Т-отделимой.

Напомним здесь еще раз, что подгруппа H некоторой группы G называется сопряженно ^"-отделимой, если для любого элемента а € G, не

сопряженного ни с одним элементом из Н, найдется такой гомоморфизм у? группы <3 на некоторую конечную группу, что элемент аср не сопряжен в группе С?<£> ни с одним элементом из подгруппы Н<р.

Теорема 9.1. Произвольная свободная группа Т-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп.

В силу общего замечания А. И. Мальцева [11] следствием этой теоремы является алгоритмическая распознаваемость сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы; ранее этот результат был получен другими методами в работе [12].

Приведем также следующее утверждение, используемое при доказательстве теоремы 8.3:

Предложение 8.4. Пусть С? = А * В — (обычное) свободное произведение групп А и В. Каждый из свободных множителей А и В является сопряженно Р-отделимой подгруппой группы С? тогда и только тогда, когда группы А и В Т-аппроксимируемы.

Интересной оказалась ситуация с ^-аппроксимируемостью относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп для групп Баум-слага - Солитэра вида Н(1,1). Если I — ±1, группа Н(1,1) является полициклической, и потому ^"-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп в силу вышеупомянутого результата работы [30] (при / = 1 это просто очевидно). В оставшемся случае соответствующий критерий формулируется следующим образом:

Теорема 9.2. Если > 1, группа Н(1,1) = (а, Ь; Ъ~ха1Ь = а) Т-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп тогда и только тогда, когда I = ±р для некоторого простого числа р.

В последнем параграфе работы получено несколько результатов об ^"-аппроксимируемых группах с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов.

Следующее утверждение можно рассматривать как некоторое усиление теоремы А. И. Мальцева о хопфовости конечно порожденных Т-аппроксимируемых групп (напомним, что Т{Сл) обозначает семейство всех конечных гомоморфных образов группы О).

Теорема 10.1. Пусть С? — конечно порожденная Т-аппроксими-руемая группа и N — нормальная подгруппа группы <7. Если —

то N = 1.

Эта теорема используется при получении следующего результата, представляющего некоторый интерес в связи с вышеупомянутым вопросом В. Н. Ремесленникова:

Теорема 10.2. Пусть конечно порожденная группа (? является конечным расширением свободной группы. Если = Т(П) для неко-

торой свободной группы Н, то группы £7 и Н изоморфны.

Для групп Баумслага - Солитэра вида Н(1,1) доказана

Теорема 10.3. Для любых ненулевых целых чисел к и I равенство Т(Н(к, 1)) = 1)) имеет место тогда и только тогда, когда к = I.

Отметим вытекающее отсюда

Следствие. Если С? — Т-аппроксимируемая группа с одним определяющим соотношением и если для некоторого целого числа I выполнено равенство ^(С?) = Т(Н(1,1)), то С? ~ Н(1,1).

Если рассматривать лишь те конечные гомоморфные образы, которые являются р-группами (при фиксированном простом р), утверждение теоремы 10.3 перестает быть справедливым. Пусть ТР(С) обозначает семейство всех конечных р-групп, являющихся гомоморфными образами группы (7. Имеет место

Теорема 10.4. Пусть р — простое число. Тогда

1. ЕслиТр(Н(к, 1)) = ТР(Н(1,1)) и одно из чисел к—1 и 1 — 1 делится на р, то и другое делится на р.

(2) Если числа к — 1 и I — 1 не делятся на р, то Тр(Н(к, 1)) = ТР{Н{1,1)).

(3) Если числа к—1 и 1—1 делятся нар, то следующие утверждения равносильны:

(3.1) Тр(Н(к, 1)) « ТР(Н{1,1));

(3.2) для любого целого числа в > 0 элементы к + р®2 и I + раЪ группы Ър. (мультипликативной группы кольца Ър* = Z/pвZ вычетов целых чисел по модулю р3) порождают в этой группе одну и ту же циклическую подгруппу;

(3.3) числа к — 1 и I — 1 делятся на одни и те otee степени числа р, причем в случае, когда р = 2 и числа к — 1 и I — 1 не делятся на 4, числа к2- 1 и I2 — 1 делятся на одни и те otee степени числа 2.

Поскольку всякая конечная р-группа нильпотентна, то в силу пункта (3.3) этой теоремы из того, что группы Н(к, 1) и H(l, 1) имеют одни и те же нильпотентные гомоморфные образы, следует, что — 1| = |Z — 1¡.B действительности, имеет место

Следствие. Если множество нилъпотентных гомоморфных образов группы Н(к, 1) совпадает с множеством нилъпотентных гомоморфных образов группы H(l, 1), то к — I.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азаров Д.Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 6-10.

2. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром // Деп. в ВИНИТИ, № 3207-84. 1984.

3. Борщев А. В. О проблеме изоморфизма для одного класса групп с одним определяющим соотношением // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фаддеева. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С. 170-171.

4. Иванова Е. А., Молдаванский Д. И. Об апппроксимируемости относительно сопряженности конечно порожденных нильпотентных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2004. Вып. 3. С. 125-130.

5. Каргаполов М. И.,'Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.

6. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 15-е. Новосибирск. 2002. 172 с.

7. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 447 с.

8. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. мат. ж. 1999. Т. 40, N 2. С. 395-407.

9. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8. С. 405-422.

10. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. Т. 25. № 3. С. 347-366.

11. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49-60.

12. Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы // Алгебра и логика. 1969. Т. 8, вып. 6. С. 691-694.

13. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, № 5. С. 1085-1099.

14. Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах. // Алгебра и Логика. Семинар. 1967. Т. 6. Вып. 2. С. 61-75.

15. Романовский Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Известия АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, № 6. С. 1324-1329.

16. Чандлер В., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп М.: Мир, 1985. 253 с.

17. Allenby R., Gregorac R. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. Vol. 319. P. 9-17.

18. Andreadakis S., Raptis E. and Varsos D. A characterization of residually finite HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Arch. Math. 1988. Vol. 50. P. 495-501.

19. Baumslag В., Tretkoff M. Residually finite HNN extensions // Communs in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 179-194.

20. Baumslag G. A noncyclic one-relator group all of whose finite quotients are cyclic //J. Austral. Math. Soc. 1969. Vol. 10. № 3-4. P. 497-498.

21. Baumslag G. Residually finite groups with the same finite images // Compos. Math. 1974. Vol. 29. JV& 3 P. 249-252.

22. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. № 2. P. 193-209.

23. Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 68. P. 199-201.

24. Borisov A., Sapir M. Polinomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of groups endomorphisms // arXiv: math. GR/0309121vl. 6 Sep. 2003.

25. Brunner A. M. On a class of one-relator groups// Can. J. Math. 1980. Vol. 50. P. 414-420.

26. Burns R., Karrass A., Solitar D. A note on groups with separable finitely generated subgroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1987. Vol. 36. P. 153-160.

27. Cohen D. Residual finiteness and Britton's lemma// J. London Math. Soc.(2). 1977. Vol. 16. P. 232-234.

28. Dyer J. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extentions // J. Austral. Math. Soc. 1980. Vol. 29. № 1. P. 35-51.

29. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. (3) 1957. Vol. 7. P. 29-62.

30. Grunewald F., Segal D. Conjugacy in polycyclic groups // Commun. Algebra. 1978. Vol. 6. P. 775-798.

31. Higman G. A finitely generated group with an isomorphic proper factor group // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 59-61.

32. Higman G. Amalgams of p-groups // J. of Algebra. 1964. Vol. 1. P. 301-305.

33. Hirshon R. The intersection of the subgroups of finite index in some finitely presented groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 53, № 1. P. 32-36.

34. Hsu T., Wise D. Ascending HNN extensions of polycyclic groups fire residual finite //J. Pure Appl. Algebra. 2003. Vol. 182. P. 65-78.

35. Kim G. Cyclic subgroup separability of HNN-extensions // Bull. Korean Math. Soc. 1993. Vol. 30. P. 285-293.

36 Kim G., McCarron J. On residually p-finite one-relator groups //J. Algebra. 1994. Vol. 169. P. 817-826.

37. McCarron J. Residually nilpotent one-relator groups with non-trivial centre // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 124. № 1. P. 1-5.

38. Meskin S. Nonresidually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 164. P. 105-114.

39. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. Vol. 246. P. 503-554.

40. Neumann В. H. A two-generator group isomorphic to a proper factor group // J. London Math. Soc. 1950. Vol. 25. P. 247-248.

41. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f.g. abelian group// J. of Pure Appl. Algebra 1991. Vol. 76. P. 167-178.

42. Segal D. Decidable properties of polycycle groups // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61. P. 497-528.

43. Wong P. C. and Tang С. K. Cyclic subgroup separability of certain HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Rocky Mt. J. Math. 1999. Vol. 29. P. 347-356.

Работы автора по теме диссертации*

44. Молдаванский Д. И. Пересечение подгрупп конечного индекса в нехопфовых группах с одним определяющим соотношением (реферат статьи, депонированной в ВИНИТИ 18.05.1986 за Я» 6671-В86, 27 е., Библиогр. 16) // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, № 5. С. 219.

45. Молдаванский Д. И., Тимофеева Л. В. Конечно порожденные подгруппы группы, определяемой одним соотношением и обладающей нетривиальным центром, финитно отделимы // Известия ВУЗов. Математика. 1987. Вып. 12. С. 58-59.

46. Кавуцкий М. А., Молдаванский Д. И. Об одном классе групп с одним определяющим соотношением // Алгебраические и дискретные системы. Межвузовский сборник научных трудов. Иваново. 1988. С. 35-48.

47. Молдаванский Д. И. Изоморфизм групп Баумслага - Солитэра // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43. № 12. С. 1684-1686.

48. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость нисходящих HNN-расширений групп // Укр. матем. журн. 1992. Т. 44. JV* 6. С. 842-845.

*работы [44], [45], [47], [48], [61] опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, перечень которых рекомендован ВАКом

49. Молдаванский Д. И. О финитной отделимости подгрупп / / Иван, гос. ун-т. 20 лет. Юбил. сб. науч. статей. Часть 2. Иваново, 1993. С. 18-23

50. Молдаванский Д. И. О б аппроксимируемости конечными р-группами H NN- расширения конечной р- группы // Третья Между народная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (23 - 28 августа 1993 г.). Сборник тезисов. Красноярск, 1993. С. 234-235.

51. Moîdavanski D., Sibyakova N. On the finite images of some one-relator groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. Vol. 123. P. 2017-2020

52. Молдаванский Д. И., Якушев А. В. О конечных гомоморфных образах некоторых групп с одним определяющим соотношением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та Сер. Математика. 1997. Вып. 1. С. 72-78.

53. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами HJVJV-расширений конечно порожденных абелевых групп. Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, Россия, 24-30 июня 1997 г.) Тезисы докладов. С-Петербург. 1997. С. 245-246.

54. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами НАГАГ-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. 2000. Вып. 3. С. 129-140.

55. Молдаванский Д. И. Об отделимости циклических подгрупп нисходящего -НА/АТ-расширения групп J J Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2000. Вып. 3. Иваново. С. 56-58.

56. Молдаванский Д. И. Два замечания о финитно аппроксимируемых группах с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2001. Вып. 4. Иваново. С. 83-86.

57. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых .ШУАГ-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2002. Вып. 3. С. 123-133.

58. Алексеев Ю. Н. Молдаванский Д. И. О сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы If Чебышевский сб. 2002. Т. 3. Вып. 1. Тула. С. 8-10.

59. Молдаванский Д. PI. Аппроксимируемость конечными р-группами некоторых /¡ГАГАГ-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2003. Вып. 3. С. 102-116.

60. Borschev A. V., Moldavanskii D. 1. On the isomorphism of some one-relator groups // arXiv: math.GR/0502153. Feb. 08, 2005)

61. Борщев А. ВМолдаванский Д. И. Об изоморфизме некоторых групп с одним определяющим соотношением // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 34-44.

Молдаванский Давид Ионович

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА //Л7УЧ>АСШ ИРЕНИ Й ГРУПП И ГРУПП С ОДНИМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЕМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 14.02.2006. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 120 экз.

Издательство «Ивановский государственный университет» 153025 Иваново, ул. Ермака, 39

У Введение.

ГЛАВА I. Аппроксимируемость .ЯЛ^-расширений групп

§ 1. Предварительные замечания и результаты.

§ 2. Финитная аппроксимируемость Н NN-расширении. с центральными связанными подгруппами.

§ 3. Аппроксимируемость ЯЛ^-расширений в классе конечных р-групп.

ГЛАВА II. Группы с одним определяющим соотношением

§ 4. Предварительные замечания о строении групп

Баумслага - Солитэра и групп Бруннера.

§5. Финитная аппроксимируемость и аппроксимируемость конечными р-группами групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера.

§ 6. Классификация и хопфовость групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера.

§ 7. О пересечении подгрупп конечного индекса в группах

Баумслага - Солитэра.

ГЛАВА III. Отделимость подгрупп и некоторые другие аппроксимационные свойства групп

§8.0 финитной отделимости подгрупп.

§ 9. О финитной аппроксимируемости групп относительно сопряженности подгрупп.

§ 10. О группах с одинаковыми конечными гомоморфными образами.

Понятие финитно аппроксимируемой группы, как свидетельствуют В. Чандлер и В. Магнус в историческом обзоре [25], впервые в явном виде появилось в работе А. И. Мальцева [13], где была установлена финитная аппроксимируемость конечно порожденных матричных групп и доказана хопфовость конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Это понятие обобщалось затем в различных направлениях; в частности, в статьях А. И. Мальцева [14] и [15] рассматривались свойства апроксимируемости группы и отделимости подгруппы в произвольном классе групп. В настоящее время в наиболее общей форме аппроксимируемость групп определяется следующим образом (см. [7]):

Пусть G — некоторая группа и р — отношение между элементами и (или) множествами элементов, определенное на группе G и всех ее гомоморфных образах. Пусть также К, — некоторый класс групп. Будем говорить, что группа G аппроксимируема группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируема) относительно отношения р, если для любых элементов и множеств элементов из G, не находящихся в отношении р, существует гомоморфизм группы G на группу из класса /С, при котором образы этих элементов и множеств также не находятся в отношении р.

В работах по данному направлению чаще всего рассматривается аппроксимируемость относительно отношения равенства (и в этом случае мы будем говорить просто о /С-аппроксимируемости), отношения сопряженности элементов и отношения вхождения в подмножество (если группа G К- аппроксимируема относительно вхождения в подмножество М, говорят, что подмножество М является К-отделимым в G). При этом, как правило, в качестве К выступает или класс Т всех конечных групп, или класс Tv всех конечных р-групп, или класс N всех нильпотентных групп.

Одним из заметных направлений в исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного аппроксимационного свойства относительно той или иной теоретико-групповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых или /С-аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, /С-аппроксимируемой или /С-аппроксимируемой относительно сопряженности соответственно. Вместе с тем, прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся ^-отделимой (см., напр., [26]), тогда как в силу теоремы Холла - Бернса (см. [10, с. 34]) в любой свободной группе все все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы.

Аппроксимируемость свободного произведения групп рассматривалась К. Грюнбергом в работе [42]. В этой работе вводится понятие корневого класса групп и доказывается, что если класс групп К является корневым, то свободное произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых групп будет снова К-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда произвольная свободная группа /С-аппроксимируема. (Напомним, что класс групп /С, содержащий хотя бы одну неединичную группу, называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и для любой последовательности С ^ В ^ А подгрупп группы А такой, что С нормальна в В, В нормальна в А и фактор-группы В/С и А/В принадлежат классу /С, в подгруппе С содержится некоторая нормальная подгруппа D группы А, такая, что A/D £ К.) Недавно Д. Н. Азаров [2] заметил, что произвольный корневой класс содержит или все конечно порожденные нильпотентные группы, или все конечные р-группы, и потому каждая свободная группа является /С-аппроксимируемой для любого корневого класса 1С. С учетом этого замечания теорема Грюнберга утверждает, таким образом, что для любого корневого класса К класс /С-аппроксимируемых групп замкнут относительно свободных произведений. В частности, свободное произведение ^"-аппроксимируемых групп или ^-аппроксимируемых групп является ^-аппроксимируемой или J^-аппроксимируемой группой соответственно. Свободное произведение Л/*-аппроксимируемых групп далеко не всегда будет М-аппроксимируемой группой (простейшим примером может служить свободное произведение двух циклических групп порядков 2 и 3); необходимые, а также достаточные условия Л/*-аппроксимируемости свободного произведения указаны А. И. Мальцевым [14]. Ранее ЛЛаппроксимируемость произвольной свободной группы была установлена В. Магнусом. В. Н. Ремесленников [20] показал, что свободное произведение произвольного семейства групп, .F-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности, а в работе Н. С. Романовского [22] доказано, что в свободном произведении произвольного семейства групп все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы, если ^-отделимыми являются все конечно порожденные подгруппы в каждой группе этого семейства.

Свободное произведение является исторически первой из так называемых свободных конструкций групп; другими свободными конструкциями являются обобщенное свободное произведение, т. е. свободное произведение групп с объединенными подгруппами, и расширение Хигмана - Неймана - Нейман (iIiViV-расширение). Положение с аппроксимационными свойствами этих конструкций оказывается более сложным, чем для обычного свободного произведения: свободное произведение с объединенными подгруппами двух ^"-аппроксимируемых групп и ЯТУЖ-расширение ^-аппроксимируемой группы далеко не всегда являются ^"-аппроксимируемыми группами.

По-видимому, первым примером обобщенного свободного произведения двух ^-аппроксимируемых групп, не являющегося ^-аппроксимируемой группой, является группа Хигмана а, 6, с; Ь~хаЬ — а2, с-1ас = а2), предложенная им в работе [44] в качестве примера нехопфовой конечно определенной группы. Ввиду нехопфовости и в силу теоремы Мальцева эта группа не является ^"-аппроксимируемой. С другой стороны, она раскладывается в свободное произведение с объединенной циклической подгруппой групп а,6; b~1ab = a2) и (а,с; с1ас = а2), входящих в семейство так называемых групп Баумслага - Солит-эра, т. е. в семейство групп с одним определяющим соотношением вида H(l,m) = (a,b; b~1alb = ат), где I и т ненулевые целые числа. Именно в этом классе групп Г. Баумслаг и Д. Солитэр в 1962 году обнаружили первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являющихся /-аппроксимируемыми: оказалось (см. [35] и [55]), что группа Н(1,т) /-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или |/| = 1, или \т\ — 1, или |/| = \т\. Мы видим, таким образом, что группа Хигмана действительно является обобщенным свободным произведением двух /"-аппроксимируемых групп. Кроме того, поскольку каждая группа Н(1, т) является ЯЛ^-расширением с проходной буквой b бесконечной циклической группы, порождаемой элементом а, среди групп Баумслага - Солитэра мы находим и примеры ЯЛТАТ-расширений /-аппроксимируемых групп, не являющихся /-аппроксимируемой группой.

Началом систематического изучения /"-аппроксимируемости свободного произведения G = (А* В\ Я = К, </?) двух групп А и В с объединенными подгруппами Н и К следует, по-видимому, считать работу Г. Баумслага [33]. В этой работе доказано, что если группы А и В конечны, то группа G является /"-аппроксимируемой, и на основе этого результата с использованием введенного там же понятия пары совместимых подгрупп из свободных множителей сформулировано весьма общее достаточное (а также и некоторое необходимое) условие /-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух произвольных групп. Тем самым в работе [33] была предложена определенная методика получения конкретных результатов об /"-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений. Так, например, эта методика практически сразу приводит к /аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух /аппроксимируемых групп в случае, когда объединяемые подгруппы конечны, а также к Т-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных абелевых групп. Подавляющее большинство известных результатов об J*7-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп было получено с использованием этой методики.

Развитие исследований /"-аппроксимируемости .ffiViV-расшире-ний началось с работ [30] и [40], в которых практически одновременно и независимо было показано, что НNiV-расширение

G* = (G,t] Г1 At = B,ip), базовая группа G которого конечна, является /"-аппроксимируемой группой. Более того, в работе [30] фактически было сформулировано понятие совместимой подгруппы, явившееся аналогом введенного Баумслагом вышеупомянутого понятия пары совместимых подгрупп, и на языке этого понятия указано достаточное условие /-аппроксимируемости HN^"-расширения с произвольной базовой группой, из которого легко вытекает, например, ^-аппроксимируемость ЯА^-расширения, базовая группа которого ^-аппроксимируема, а связанные подгруппы конечны. Некоторое уточнение формулировок из [30] приводит к методике, аналогичной той, которая была указана Баумслагом, и состоящей в том, что, как и в случае обобщенных свободных произведений, условия /-аппроксимируемости HNN-расширения могут быть выражены как определенные свойства семейства всех совместимых нормальных подгрупп конечного индекса базовой группы. А именно, необходимое условие /"-аппроксимируемости ЯЛ^-расширения состоит в том, что базовая группа его является не просто /"-аппроксимируемой, а аппроксимируемой факторгруппами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса, а достаточное условие /"-аппроксимируемости получается, если к этому добавить требование отделимости в классе таких фактор-групп каждой из связанных подгрупп (точные формулировки см. в § 1).

Несмотря на то, что указанное необходимое условие ^-аппроксимируемости Я]УЛг-расширения в общем случае не является достаточным (соответствующие примеры можно найти среди HNN-расширений, базовая группа которых является бесконечной циклической, т. е. среди групп Баумслага - Солитэра), теорема 1.1 данной работы утверждает, что для достаточно широкого класса HNД^-расши-рений это условие является и достаточным для ^-аппроксимируемости. Это так называемые нисходящие HNiV-расширения, т. е. HNN-расширения, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. С использованием этого результата получено более конкретное достаточное условие ^-аппроксимируемости нисходящего iIiViV-расширения (теорема 1.2), из которого, в свою очередь, следует, что нисходящее HNTV-расширение G* = (G,t-, t~1Gt = В,у) является ^"-аппроксимируемой группой в следующих случаях:

1) G — свободная группа конечного ранга, а ее подгруппа В имеет конечный индекс по модулю коммутанта G' группы С;

2) G — конечно порожденная свободная нильпотентная группа.

Эти результаты были опубликованы в 1992 году в работе [68].

В этой работе отмечался, как открытый, вопрос о том, будет ли произвольное нисходящее HNTV-расширение свободной группы Т-аппроксимируемой группой. Недавно А. Борисов и М. Сапир [37] с помощью методов, отличных от используемых здесь, доказали, что любое нисходящее HNN-расширение конечно порожденной свободной группы является ^-аппроксимируемой группой. В работе [47] утверждение пункта 2) было распространено на произвольные почти полициклические группы.

Упомянутые выше условия ^"-аппроксимируемости HNN-расширения несмотря на их весьма общий характер и наличие существенного пробела между необходимым и достаточным условиями, в ряде случаев позволяют получать конкретные критерии JF-аппроксимируемости группы G* — (G, t\ t~lAt = В, if). Так, в случае, когда G является абелевой группой с конечным числом порождающих, соответствующий критерий указан в статье [27]. В теоремах 2.1 и 2.2 данной работы такие критерии (в других терминах) получены при более слабых предположениях, а именно: подгруппы А и В являются конечно порожденными и лежат в центре группы G, Аф G и В ф G и все подгруппы, лежащие в подгруппе АВ, /"-отделимы в группе G.

Первый из этих критериев формулируется на языке последовательностей Uk и Vk подгрупп группы G, определяемых по правилу UQ = A, Vq = В и Uk+г = UkHVk, Vk+i = Uk+1(p, и утверждает, что (при указанных предположениях) группа G* = t~lAt = B, <р) является /"-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда для некоторого 7i ^ О имеет место равенство Un — Vn.

Второй критерий утверждает, что при тех же предположениях группа G* /"-аппроксимируема тогда и только тогда, когда в каждой нормальной подгруппе конечного индекса группы G содержится некоторая совместимая нормальная подгруппа, также имеющая конечный индекс в группе G. Отсюда в свою очередь следует, что если группа G является, к тому же, 7гс-группой, то группа G* является 7гс-группой тогда и только тогда, когда она /"-аппроксимируема. (Напомним, что группа G называется 7гс-группой, если все ее циклические подгруппы /-отделимы.) В частности, если группа G является конечным расширением полициклической группы и А и В — собственные центральные подгруппы группы G, то группа

G* = (G,*; t~1At = B, ip) является 7ГС - группой в точности тогда, когда она /-аппроксимируема.

Следует отметить, что в случае, когда G является конечно порожденной абелевой группой, последнее утверждение вытекает из результатов работ [27] и [63]. Отмечу также, что в доказательствах теорем 2.1 и 2.2 используют прием, который назван методом спуска и подъема совместимых подгрупп, и который состоит в установлении определенных связей между свойствами семейств совместимых подгрупп группы G и группы В (с подгруппами U = АП В и V = Utp).

Переходя к рассмотрению ^-аппроксимируемости HNN-расширений, заметим, что при получении указанных выше необходимых и достаточных условий ^"-аппроксимируемости используется следующее свойство совместимых подгрупп: образы связанных подгрупп в фактор-группе базовой группы по нормальной совместимой подгруппе конечного индекса оказываются изоморфными, и соответствующее ЯЛ^ТУ-расширение этой фактор-группы является ^-аппроксимируемой группой, как ЯЛ^-расширение конечной группы. Поскольку как обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп, так и Я]У]У-расширение конечной р-группы может не быть Тр-аппроксимируемой группой, для получения аналогов соответствующей методики необходимо располагать условиями ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведение двух конечных р-групп и TV TV-расширения конечной р- группы.

Для обобщенного свободного произведения соответствующий критерий указан Г. Хигманом [45], и на его основе в работе [11] был сформулирован аналог понятия совместимой пары подгрупп, с помощью которого был получен аналог методики Баумслага для изучения ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения.

Почти очевидный "внешний" критерий ^-аппроксимируемости ЯЛ^-расширения G* = (G,t; t~lAt = базовая группа G которого является конечной р-группой, состоящий в существовании гомоморфизма группы G* на некоторую конечную р-группу, инъек-тивного на базовой группе, для указанной цели не подходит, так же как не подходит и вариант "внутреннего" критерия, указанный в работе [61]. В данной работе будет получен другой критерий (теорема 3.1), формулируемый практически в тех же терминах, что и вышеупомянутый критерий Хигмана, и соответствующая модификация на его основе понятия совместимой подгруппы приводит к условиям Тр-аппроксимируемости Я TV/^-расширения, формулировка которых (см. предложение 3.6) практически дословно повторяет упоминавшиеся выше условия ^"-аппроксимируемости. Этот результат с использоваи нием упоминавшегося выше метода спуска и подъема совместимых подгрупп приводит к характеризации аппроксимируемых HNN-расширении G* = (G,t; t-lAt = В, (р) при некоторых предположениях, включающих, в частности, требование центральности в группе G подгрупп А и В (теоремы 3.2 и 3.3). Из этой характеризации следует, например, что если А и В — конечные центральные подгруппы /^-аппроксимируемой группы G и АП В = 1, то группа G* = (G,t] t~lAt = В, (/?) является /^-аппроксимируемой.

Результаты, перечисленные выше, содержатся в первой главе работы. Во второй главе рассматриваются аппроксимационные и близкие к ним свойства групп, принадлежащих двум известным классам групп с одним определяющим соотношением. Это уже упоминавшийся класс групп Баумслага - Солитэра, т. е. групп вида

Н(1,т) = {а,Ь; b~1alb = arn), где тип — произвольные целые числа, отличные от 0, и класс некоторых iJiViV-расширений групп Н(1,т), состоящий из групп вида

G(l, т; к) = (a, t\ t~1a~ktalt~1akt = ат), где I, тик — произвольные целые числа, отличные от нуля. (То, что группа G(l,m;k) является ЯЛ^А^-расширением группы Н{1,т), становится очевидным после введения в ее представление нового образующего b вместе с определяющим соотношением b = t~lakt.) В обоих случаях мы можем без потери общности считать, что |/| ^ т > 0, а для групп G(l, m; к) предполагать также, что к > 0.

Подробное изучение свойств групп G(l,m] к) впервые предпринял А. М. Бруннер в работе [38]. Следует, впрочем, заметить, что на группы этого класса еще в 1969 году обратил внимание Г. Ба-умслаг [31], доказав, что все конечные гомоморфные образы группы (7(2,1; 1) являются циклическими группами (и приведя тем самым наиболее впечатляющий пример группы с одним определяющим соотношением, не аппроксимируемой конечными группами). Тем не менее, здесь нам будет удобно называть группы вида G(l, m; к) группами Бруннера.

Здесь показано, прежде всего, что упоминавшийся выше критерий /-аппроксимируемости групп групп Баумслага - Солитэра, сформулированный в работе [35], уточненный в [55] и утверждающий, что группа Н(1,т) (где \l\ ^ т > 0) является /-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда или т = 1, или )/| = га, может быть получен как непосредственное следствие результатов главы I. Доказано также (теорема 5.3), что группа Бруннера G(l,m]k) (где к > 0 и \1\ ^ т > 0) является /-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |Z| = ттг; необходимость условия отмечена без доказательства в [38].

С помощью результатов главы I получена и характеризация /р-аппроксимируемых групп Баумслага - Солитэра и Бруннера: группа Н(I, га) /^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или га = 1 и / = 1 (modp), или \1\ = т — рг для некоторого г ^ 0, причем если I — —т, то р = 2 (теорема 5.2); группа G(/,m; к) является /р-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда \l\ = т = рг и к = ps для некоторых целых чисел г ^ 0 и s ^ 0, причем если I = — т, то р = 2 и s ^ г (теорема 5.4).

Дальнейшие результаты главы II относятся к свойствам групп Баумслага - Солитэра и Бруннера, связанным с понятием хопфово-сти.

Напомним, что группа G называется хопфовой, если она не может быть изоморфной никакой своей истинной фактор-группе, т. е. для любой нормальной подгруппы N группы G из G/N ~ G следует, что N = 1. В противном случае группа G называется нехопфовой.

Вопрос о существовании конечно порожденных нехопфовых групп был сформулирован Хопфом в 1932 году (см. [25]), и первым общим результатом по этому вопросу явилась теорема Мальцева [13], утверждающая хопфовость произвольной конечно порожденной /-аппроксимируемой группы. Первый пример конечно порожденной нехопфовой группы принадлежит Б. Нейману [57]; построенная им нехопфова группа имеет два порождающих, но требует бесконечного множества определяющих соотношений. Г. Хигманом [44] построен пример нехопфовой группы с тремя порождающими и двумя определяющими соотношениями. Минимальные в этом смысле примеры нехопфовых групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением были указаны в работе Г. Баумслага и Д. Солитэра [35] среди групп Н(1,т) (отсюда и общепринятое и обозначенное выше наименование групп этого класса). Было доказано, что группа Н(1,т) не является хопфовой тогда и только тогда, когда т > 1 и множество простых делителей числа I не совпадает с множеством простых делителей числа га. В той же работе были приведены примеры двух неизоморфных групп, гомоморфно отображающихся друг на друга, причем одна из них совпадает с некоторой группой Н(1, га), а другая, как удалось установить, не может быть определена одним соотношением. В связи с этим в 1969 году автором был сформулирован вопрос (см. [8, вопрос 3.33]), будут ли изоморфны две группы, каждая из которых задается одним определяющим соотношением и является гомоморфным образом другой? Здесь будет доказано (в теореме 6.3), что для групп Баумслага - Солитэра ответ на этот вопрос положителен, и, более того, будет дана классификация этих групп. Отрицательный ответ на этот вопрос на примерах, являющихся группами Бруннера, был анонсирован в работе [5]. Здесь при |/| > га будет дана классификация групп Бруннера, а также будут перечислены все пары неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга (теорема 6.4). Оказалось, что среди групп G(l, га; к) имеется бесконечно много пар, доставляющих контрпримеры к сформулированному выше вопросу; минимальную такую пару составляют группы (7(18,2; 2) и G(18,2;6). В этом же параграфе доказана теорема 6.2, утверждающая, что группа G(l, m; к) не является хопфовой тогда и только тогда, когда |/| > т > 1, число га является делителем чисел I и к и числа га и 1/т взаимно просты (достаточность этих условий установлена в работе [38]),

В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос В. Магнуса, сформулированный в работе Р. Хиршона [46].

Для произвольной группы G через cr(G) будет обозначаться пересечение всех нормальных подгрупп конечного индекса группы G. Из хопфовости конечно порожденных .Т7-аппроксимируемых групп следует, что для любого сюръективного эндоморфизма ip конечно порожденной группы G имеет место включение Кег<р С cr(G), а потому — и включение К(ср) С cr(G), где оо

К(<р) = IjKer^. i=1

Спрашивается, какие нехопфовы группы с конечным числом порождающих обладают хотя бы одним сюръективным эндоморфизмом (р таким, что К((р) = cr(G). В работе [46] такие эндоморфизмы были явно указаны для ряда известных конечно определенных нехопфо-вых групп и поставлен вопрос о существовании эндоморфизма с указанным свойством в произвольной конечно определенной нехопфовой группе. Нетрудно показать, тем не менее, что ответ на этот вопрос отрицателен. А именно, в теореме 7.1 указаны условия, при которых свободное произведение групп G = (А * В] Н) групп А и В с объединенной подгруппой Н является нехопфовой группой, ни один сюръективный эндоморфизм кр которой не удовлетворяет равенству К(<р) = cr(G). Конкретным контрпримером, полученным с помощью этого результата является группа

G = (а, 6, с; Ь~1а2Ъ = а3, Ъ = [Ъ, с~1Ьс]).

С другой стороны, один из результатов работы [46] утверждает, что группа Баумслага - Солитэра Н(1,т) в случае, когда числа I и т взаимно просты, таким сюръективным эндоморфизмом ip, что К{(р) = <т(Н(1,т)), обладает. Основная часть этого параграфа направлена на получение исчерпывающей характеризации тех групп

Я(£,га), которые обладают сюръективным эндоморфизмом с указанным свойством. Здесь доказана теорема 7.2, утверждающая, что если H(l, га) — произвольная группа Баумслага - Солитэра и если числа I и га, определяющие эту группу, записаны в виде I = 1\р и га = raiq , где (р, га) = (g,l) = 1 и положительные числа li и rai имеют одни и те же простые делители, то группа Н(1,т) обладает сюръективным эндоморфизмом </? таким, что K(ip) = а(Н(1, га)), тогда и только тогда, когда rai = ni.

В третьей главе работы рассматривается свойство отделимости подгрупп, а также некоторые другие аппроксимационные свойства групп.

Напомним, что в соответствии с общим подходом к определению аппроксимационных свойств групп /С-отделимость подгруппы Н группы G (где К — некоторый класс групп) означает, что для любого элемента д группы (7, не принадлежащего подгруппе Н: существует такой гомоморфизм (р группы G на некоторую /С-группу, что gtp £ Hip.

Говоря о группе, в которой /С-отделимы все подгруппы, или все конечно порожденные подгруппы, или все циклические подгруппы, обычно тем самым предполагают /С-отделимость и единичной подгруппы, т. е. /С-аппроксимируемость этой группы. Тем не менее, /С-отделимость подгрупп оказывается, как правило, более сильным свойством группы, чем /С-аппроксимируемость. Например, группа Баумслага - Солитэра H(l, 1) при |/| > 1 содержит циклическую подгруппу, не являющуюся /-отделимой. В статье [39] приводится пример группы, являющейся расширением свободной группы ранга два при помощи бесконечной циклической группы и содержащей не Т-отделимую 2-порожденную подгруппу. С другой стороны, по теореме 1 из [15] эта группа является /-аппроксимируемой, а по теореме 4 из [26] — 7гс-группой (т. е., напомним, группой, все циклические подгруппы которой /-отделимы).

Группы, упомянутые в предыдущем абзаце, являются нисходящими iifiVTV-расширениями некоторой группы, и первый результат третьей главы (теорема 8.1) содержит необходимое и достаточное условие принадлежности произвольного нисходящего HNN-расширения классу 7гс-групп. Это условие, формулируемое в тех же терминах, что и теорема 1.1, означает, что каждая циклическая подгруппа базовой группы ЯЛ^-расширения отделима ее фактор-группами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса.

Следующий результат относится к группам с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром. Хорошо известно, что группы этого класса обладают рядом аппроксимацион-ных свойств. Они .Т7-аппроксимируемы и даже .F-аппроксимируемы относительно сопряженности (см., напр., [41]). Критерий ^-аппроксимируемости таких групп получен в работах [52] и [54], причем установлено, что группа с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром Л/"-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она является .^-аппроксимируемой для некоторого простого р. Теорема 8.2 данной работы утверждает, что в группе с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром, все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы.

В силу общего замечания А. И. Мальцева [15] о связи ^"-аппроксимируемости конечно определенной группы относительно некоторого отношения и алгоритмической распознаваемости этого отношения следствием теоремы 8.2 является установленная В. Н. Безверхним [4] для групп с одним соотношением и нетривиальным центром разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подгруппы.

Заметим, что предположение о конечной порожденности подгрупп является здесь существенным: каждая группа с одним соотношением и нетривиальным центром содержит неотделимую подгруппу, если, разумеется, она вообще содержит хотя бы одну подгруппу, не являющуюся конечно порожденной (т. е. не является циклической и не изоморфна (полициклической) группе Я(±1,1)).

Следует также отметить, что теорема 8.2 была опубликована в < 1987 году в работе [65], а в опубликованной в том же году статье

39] утверждение этой теоремы было доказано при дополнительном предположении нормальности подгрупп.

Рассмотрим теперь другой вид отделимости подгрупп, который получается заменой отношение принадлежности подмножеству отношением быть сопряженным с некоторым элементом этого подмножества. Более точно, назовем подмножество М группы G сопряженно /С-отделимым, если для любого элемента а е G, не сопряженного ни с одним элементом из М, найдется такой гомоморфизм группы G на некоторую группу из класса /С, что элемент а<р не сопряжен в группе G(f ни с одним элементом из подмножества Мер.

Этот вид отделимости подмножеств также представляет определенный интерес. Хорошо известно, например, что если класс К, гомоморфно замкнут, то для любой нормальной подгруппы N группы G г /С-аппроксимируемость фактор-группы G/N равносильна /С-отделимости подгруппы N. В работе [6] замечено, что если снова К, — гомоморфно замкнутый класс , то для любой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N фактор-группа G/N является /С-аппрокси-мируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы G по подгруппе N сопряженно /С-отделим.

Как уже упоминалось, все конечно порожденные подгруппы свободной группы являются Т-отделимыми; здесь доказывается (в теореме 8.3), что все они и сопряженно ^-отделимы. В общем случае свойства J^-отделимымости и сопряженной ^"-отделимымости конечно порожденных подгрупп, как показывают примеры, являются независимыми.

В общую схему понятия аппроксимируемости группы относи-1 тельно некоторого отношения между элементами и множествами элементов этой группы укладывается еще одно естественное аппрок-симационное свойство групп. Будем говорить, что группа G Таппроксимируема относительно сопряженности (конечно порожденных) подгрупп, если для любых двух (конечно порожденных) подгрупп Н и К группы G, не сопряженных в ней, существует гомоморфизм </? группы G на конечную группу X такой, что образы Н(р и К^р подгрупп Н и К не сопряжены в группе X.

Это свойство групп рассматривалось в работе В. Н. Ремеслен-никова [21], где было доказано, что конечно порожденные нильпо-тентные группы .Т7-аппроксимируемы относительно сопряженности подгрупп. Впоследствии этот результат был распространен на класс полициклических групп в работе [43]. Теорема 9.1 данной работы утверждает, что произвольная свободная группа ^"-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп. Следствием этой теоремы является алгоритмическая распознаваемость сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы; ранее этот результат был получен другими методами в работе [17].

Интересной оказалась ситуация с ^-"-аппроксимируемостью относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп для групп Баумслага - Солитэра вида H(l, 1). Если I = ±1, группа H(l, 1) является полициклической, и потому ^-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп в силу вышеупомянутого результата работы [43] (при I — 1 это просто очевидно). В оставшемся случае |/| > 1 группа Я(/, 1) ^"-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп тогда и только тогда, когда I = для некоторого простого числа р (теорема 9.2).

Результаты последнего параграфа работы относятся к проблеме определяемости ^"-аппроксимируемой группы G семейством T{G) ее конечных гомоморфных образов.

Хорошо известно, что вопрос о том, будут ли ^"-аппроксимируемые группы G и Н обязательно изоморфны, если F{G) = ^(Я), в общем случае решается отрицательно. В. Н. Ремесленников [21] привел пример двух неизоморфных 2-порожденных 4-ступенно нильпотентных групп с одинаковыми конечными гомоморфными образами. В работе Г. Баумслага [32] указана серия пар неизоморфных метацик-лических групп, также имеющих одни и те же конечные гомоморфные образы. С другой стороны, имеется не так уж много результатов противоположного характера. Уместно напомнить, в частности, что до сих пор неизвестен ответ на вопрос В. Н. Ремесленникова, будут ли изоморфными две конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов, если одна из них — свободная или свободная разрешимая (см. [8], вопрос 5.48).

Сформулируем результаты, полученные здесь в этом направлении.

В теореме 10.1 утверждается, что для любой конечно порожденной /"-аппроксимируемой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N из равенства T{G) = /(G/iV) следует, что N = 1. Этот результат можно рассматривать как некоторое усиление теоремы А. И. Мальцева о хопфовости конечно порожденных /"-аппроксимируемых групп.

С помощью теоремы 10.1 можно получить следующий результат, представляющий, возможно, определенный интерес в связи с вышеупомянутым вопросом В. Н. Ремесленникова: если конечно порожденная группа G является конечным расширением свободной группы и если /(G) = /(Я) для некоторой свободной группы Я, то группы G и Я изоморфны.

Наконец, в двух последних результатах работы сравниваются конечные гомоморфные образы групп Баумслага - Солитэра вида Я(/, 1). Доказано (в теореме 10.3), что для любых ненулевых целых чисел к и I равенство Т(Н(к, 1)) = /"(Я(/, 1)) имеет место тогда и только тогда, когда к = I. Отсюда следует, в частности, однозначная определяемость группы Я(/, 1) семейством конечных гомоморфных в классе всех /-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением.

Если же рассматривать лишь те конечные гомоморфные образы, которые являютсяр-группами (при фиксированном простому), утверждение теоремы 10.3 перестает быть справедливым. Соответствующая классификация групп вида H(l, 1) получена в теореме 10.4.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных и Международных конференциях в Красноярске (1980, 1993), Ленинграде (1981), Минске (1983), Свердловске (1989), Новосибирске (1989), Барнауле (1991), Санкт-Петербурге (1997), Туле (2003), Москве (2004), на семинаре по теории групп МГУ и на алгебраическом семинаре Ивановского госуниверситета. Основные результаты опубликованы в работах [64]—[81].

1. Азаров Д. Н., Иванова Е. А. О финитной аппроксимируемости относительно сопряженности свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 3-5.

2. Азаров Д.Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 6-10.

3. Бардаков В. Г. К вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы // Сиб. матем. ж. 2004. Т. 45. № 3. С. 505-509.

4. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром // Деп. в ВИНИТИ, № 3207-84. 1984.

5. Борщев А. В. О проблеме изоморфизма для одного класса групп с одним определяющим соотношением / / Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фадде-ева. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С. 170-171.

6. Иванова Е. А., Молдаванский Д. И. Об апппроксимируемо-сти относительно сопряженности конечно порожденных ниль-потентных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2004. Вып. 3. С. 125-130.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

8. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 15-е. Новосибирск. 2002.

9. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

10. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

11. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами / / Сиб. мат. ж. 1999. Т. 40, N 2. С. 395-407.

12. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

13. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8. С. 405-422.

14. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. Т. 25. № 3. С. 347-366.

15. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49-60.

16. Молдаванский Д. И. Об одной теореме Магнуса // Математика. Уч. зап. ИГПИ. Иваново, 1969. Т. 44. С. 26-28.

17. Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы // Алгебра и логика. 1969. Т. 8, вып. 6. С. 691-694.

18. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.

19. Ремесленников В. Н. Сопряженность в полициклических группах // Алгебра и логика. 1969. Т. 8. С. 712-725.

20. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, № 5. С. 1085-1099.

21. Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотент-ных группах. // Алгебра и Логика. Семинар. 1967. Т. 6. Вып. 2. С. 61-75.

22. Романовский Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Известия АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, № 6. С. 1324-1329.

23. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974.

24. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. Период, сб. переводов иностр. статей. 1968. Т. 12. № 1. С. 3-36.

25. Чандлер БМагнус В. Развитие комбинаторной теории групп М.: Мир, 1985.

26. Allenby R., Gregorac R. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. Vol. 319. P. 9-17.

27. Andreadakis S., Raptis E. and Varsos D. A characterization of residually finite HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Arch. Math. 1988. Vol. 50. P. 495-501.

28. Anshel M. Non-hopfian groups with fully invariant kernels. Part 1 // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 170. P. 231-237.

29. Anshel M. Non-hopfian groups with fully invariant kernels. Part 2 11 J. Algebra. 1973. Vol. 24. P. 473-485.

30. Baumslag В., Tretkoff M. Residually finite HNN extensions // Communs in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 179-194.

31. Baumslag G. A noncyclic one-relator group all of whose finite quotients are cyclic // J. Austral. Math. Soc. 1969. Vol. 10. № 3-4. P. 497-498.

32. Baumslag G. Residually finite groups with the same finite images // Compos. Math. 1974. Vol. 29. № 3 P. 249-252.

33. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. № 2. P. 193-209.

34. Baumslag G. Some problems on one-relator groups // Proc. second internat. conf. theory of groups. Canberra, 1973, P. 75-81.

35. Baumslag G.; Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hop-fian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 68. P. 199-201.

36. Baumslag G., Taylor T. The center of groups with one defining relator // Math. Ann. 1968. Vol. 175, P. 315-319.

37. Borisov A., Sapir M. Polinomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of groups endomorphisms // arXiv: math. GR/0309121vl. 6 Sep. 2003.

38. Brunner A. M. On a class of one-relator groups// Can. J. Math. 1980. Vol. 50. P. 414-420.

39. Burns R., Karrass A., Solitar D. A note on groups with separable finitely generated subgroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1987. Vol. 36. P. 153-160.

40. Cohen D. Residual finiteness and Britton's lemma// J. London Math. Soc.(2). 1977. Vol. 16. P. 232-234.

41. Dyer J. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extentions // J. Austral. Math. Soc. 1980. Vol. 29. № 1. P. 35-51.

42. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. (3) 1957. Vol. 7. P. 29-62.

43. Grunewald F., Segal D. Conjugacy in poly cyclic groups / / Com-muns. in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 775-798.

44. Higman G. A finitely generated group with an isomorphic proper factor group // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 59-61.

45. Higman G. Amalgams of p-groups // J. of Algebra. 1964. Vol. 1. P. 301-305.

46. Hirshon R. The intersection of the subgroups of finite index in some finitely presented groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 53, № 1. P. 32-36.

47. Hsu Т., Wise D. Ascending HNN extensions of polycyclic groups are residual finite // J. Pure Appl. Algebra. 2003. Vol. 182. P. 65-78.

48. Karrass A., Solitar D. The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 150. P. 227-255.

49. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation// Can. J. Math. 1971. Vol. 28. P. 627-643.

50. Karrass A., Pietrowski A., Solitar D. Finite and infinite cyclic extensions of free groups // J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 16. P. 458-466.

51. Kim G. Cyclic subgroup separability of HNN-extensions // Bull. Korean Math. Soc. 1993. Vol. 30. P. 285-293.

52. Kim G., McCarron J. On residually p-fmite one-relator groups // J. Algebra. 1994. Vol. 169. P. 817-826.

53. Magnus W. Uber diskontinuierliche gruppen mit einer definieren den relation (der Freiheitssatz) // J. reine angew. Math. 1930. Vol. 163. P. 141-165.

54. McCarron J. Residually nilpotent one-relator groups with non-trivial centre // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 124. № 1. P. 1-5.

55. Meskin S. Nonresidually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 164. P. 105-114.

56. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. Vol. 246. P. 503-554.

57. Neumann В. H. A two-generator group isomorphic to a proper factor group // J. London Math. Soc. 1950. Vol. 25. P. 247-248.

58. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups. 1// Amer. J. Math. 1948. Vol. 70. P. 590-625.

59. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups. II// Amer. J. Math. 1948. Vol. 71. P. 491-540.

60. Newman M., Sicher J. Free products of Hopf groups // Math. Z. 1973. Vol. 135, № 1. P. 69-72.

61. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f.g. abelian group// J. of Pure Appl. Algebra 1991. Vol. 76. P. 167-178.

62. Segal D. Decidable properties of polycycle groups // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61. P. 497-528.

63. Wong P. C. and Tang С. K. Cyclic subgroup separability of certain HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Rocky Mt. J. Math. 1999. Vol. 29. P. 347-356.Работы автора по теме диссертации

64. Молдаванский Д. И. Пересечение подгрупп конечного индекса в нехопфовых группах с одним определяющим соотношением (реферат статьи, депонированной в ВИНИТИ 18.05.1986 за № 6671-В86, 27 е., Библиогр. 16) // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, № 5. С. 219.

65. Молдаванский Д. И., Тимофеева Л. В. Конечно порожденные подгруппы группы, определяемой одним соотношением и обладающей нетривиальным центром, финитно отделимы // Известия ВУЗов. Математика. 1987. Вып. 12. С. 58-59.

66. Кавуцкий М. А., Молдаванский Д. И. Об одном классе групп с одним определяющим соотношением // Алгебраические и дискретные системы. Межвузовский сборник научных трудов. Иваново. 1988. С. 35-48.

67. Молдаванский Д. И. Изоморфизм групп Баумслага Солитэра // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43. № 12. С. 1684-1686.

68. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость нисходящих HNN-расширений групп // Укр. матем. журн. 1992. Т. 44. № 6. С. 842-845.

69. Молдаванский Д. И. О финитной отделимости подгрупп // Иван. гос. ун-т. 20 лет. Юбил. сб. науч. статей. Часть 2. Иваново, 1993. С. 18-23

70. Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными р-груп-пами НTVjV-расширения конечной р-группы // Третья Международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (23 28 августа 1993 г.). Сборник тезисов. Красноярск, 1993. С. 234235.

71. Moldavanski D., Sibyakova N. On the finite images of some one-relator groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. Vol. 123. P. 20172020

72. Молдаванский Д. И., Якушев А. В. О конечных гомоморфных образах некоторых групп с одним определяющим соотношениемНауч. тр. Иван. гос. ун-та Сер. Математика. 1997. Вып. 1. С. 72-78.

73. Молдаванский Д. Я. Аппроксимируемость конечными ^-группами ЯЛ^Ж-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. 2000. Вып. 3. С. 129-140.

74. Молдаванский Д. И. Об отделимости циклических подгрупп нисходящего ЯЛ^ЛЦэасширения групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2000. Вып. 3. Иваново. С. 56-58.

75. Молдаванский Д. И. Два замечания о финитно аппроксимируемых группах с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2001. Вып. 4. Иваново. С. 83-86.

76. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2002. Вып. 3. С. 123-133.

77. Алексеев Ю. Я. Молдаванский Д. И. О сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы // Чебышевский сб. 2002. Т. 3. Вып. 1. Тула. С. 8-10.

78. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами некоторых ЯА^А^-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2003. Вып. 3. С. 102-116.

79. Borschev А, V., Moldavanskii D. I. On the isomorphism of some one-relator groups // arXiv: math.GR/0502153. Feb. 08, 2005)

80. Борщев А. В., Молдаванский Д. И. Об изоморфизме некоторых групп с одним определяющим соотношением // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 34-44.