Аппроксимируемость обобщенных свободных произведений групп в некоторых классах конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

. дд

- 3841

На правах рукописи

РОЗОВ Алексей Вячеславович

АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ

СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 — математическая логика, апгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 2Л13

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ивановский государственный унив-рситет»

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук

доцент Азаров Дмитрий Николаевич

Официальные оппоненты: Б< зв^пхний Владимир Николаевич,

доктор физико-математических нэук ппофессор, ФГБОУ ВПО «Академия гражданской -»ащи-^ы МЧС России», профессор кафедры высшей математики

Куликова Ольга Викторовна.

кандидат физико-математических наук, доцент, Ф1БОУ ВПО «Московский государств цный технический унлвепситот им. Н. Э. Баумана», доцент кафедры ФН-12 «-Математическое моделирование»

Ведущая органи: ация — ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова..

Защит? состоится 20 декабря 2013 г. в 13.30 на заседании диссертационного совет?. Д 212.002.03 при ФГБОУ ВПО «Ярославский

государственный университет им. П Г. Демидова» по адресу: 15000Ь, г. Ярославль, ул. Союзная, д. 144, ауд. 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный унив рситет им. П. Г. Демидова».

Автореферат разослан «_» ноября 2013 г.

Ученый секретарь Ябдокова

диссертационного совета . -. Светлана Ивановна

ро. ;ийская о

ГОС ЛРСТВ .ПАЯ Ь.1БЛИОТЬКА 2013

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Тематика данной дис-ссрта'ши относится к комбинаторной теории групп, к тому сс ра ¡делу. в котором рассматриваются вопросы аппроксимируемости группами некоторого класса (по преимуществу, состоящего из котчных групп) свободных копсттлтсций групп и, в частности, свободного произведения групп с сбъсдиненной подгруппой. Эти вопросы активно разрабатывались в течение последних пяти десятилетий в пашей стране и за рубежом, причем полученные здесь многочисленные результаты относятся, как правило, к свойству фгнитной аппроксимируемости свободных произведений групп с объединенной подгруппой. Помимо финитной аппроксимируемости иш^рес вызывают и некоторые более тонкие шпроксимацтюнные свойства свободных произведении с объе.цшенней подгруппой.

Пусть К. — некоторый класс групп. Напомним, что групп? С называется аппроксимируемой группами из класса К. (или, короче, /С-аппрпксимируемой), если для каждого не°циничного элемента .с из С? суще^вует гомоморфизм группы О на группу из класса АС, образ элемента х относительно которого отличен от единицы. Если Т обозначат класс всех конечных групп, то понятие Т- аппроксимируеме й группы совпади т с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучаются также свойства Тр аппроксимируемости и .^-аппроксимируемости, где р — простое число, п — какое-либо множество простых чисел. Тр — класс всех конечных р групп, К^ — класе всех конечных 7г-групп. будем рассматривать также свойство хючти ^-аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и аппроксимируемостью. Напомним, что группа С? сюладае./ некоторым свойством почти, если она содержит подгруппу конечного индекса, обладающую этим свойством.

Примером финитно аппроксимируемой группы является произвольная полициклическая группа. Финитная аппроксимируемость полициклических групп была доказана К. Гиршем в работе [П |. Более того, любая полицик-иическая группа почти Тр -аппроксимируема для каждого простого числа р. Этот результат, ставший уже классическим, был по.тучен А. Л. Шмелькиным 112]. Вопрос об аппроксимируемости по. ициклических гоупп исследован только для некоторых частных сл} чаев например, для конечно порожденных ниль-потентных групп (см. (16|) и для сверхразреип::лых групп (см. [2]).

Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой группы конечного специального ранга. Напомним, что группа. С называется группой конечного специального ранга (в другой терминологии — группой копечного ранга Прюфера), если существует целое положительное число г такое, что люб? я конечно порожденная подгруппа группа С порождается не Ьолее чем - элементами (наименьшее такое г будем называть рангом группы). Эго понятие, а также термин "конечный специальный ранг" введено А. И. Мальцевым в статьз [8]. Будем в дальнейшем использовать термин 1 онечныи ранг" вместо терминов "конечный специальный ранг" и конечный ранг Прюфера". Примерами разрешимых групп конечного ранга, являются все полициклические группы, а также группы Баумслага-Солитзрэ вида С„ = (а, Ь: Ъ~ 1аЬ ■ а"), где п — произвочь-ное целое число, отличное от 0.

Д. Робинсон [22, п. 5.3.2] доказал, что разрешим? я группа, ко-иечпого ранга, финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда она редуцирована. Напомним, что группа называйся ре чуцировад-ной, если она не содержит неедипичных полных подгрупп. Группа б называется полной, с:ли для каждого элемента а группы в и для каждого целого полоз ситопьно^о числа п уравнение х" = а разрешимо в группе (7. Очевидно, что любая шыицикличс-жая группа редуцирована. Поэтому час 'ным случаем сеЬормулироьанного выше результата Робинсона является результат Гирша о финипюй аппроксимируемости полициклических групп.

Наряду со свойством Финитной а^проксим труемости грзтт изучается также свойство финитной отделимости. Напомним, что подгруппа Н группы С называется финитно отделимой, ссли для каждого элемента а группы б. не принадлежащего Н. существует гомоморфизм группы О на некоторую конечную группу, при котором образ глемонта а не принадлежит образу подгруппы Я.

В работе [9| исследуется вопрос о финитной отделимости подгрупп и разрешимых группах и доказало, что в ограниченных разрешимых группах все по-цруппы финитно отделимы. Напомним, что разрешимая группа называется ограниченной, если в ней существует конечный ряд подгрупп, каждый предыдущий член кото{н>го является нормальной подгруппой следующего его чл^па, и факторы которого являются ограниченными абелевыми группами Абелева группа А называется ограниченной, если ьсе прим арные компоненты ее периодическои части т(А) конечны, фактор-группа А/г (А) имеет конечный ранг и никакая фактор-группа группы А/т(А) не содержит

квазициклических подгрупп. Очеъидно. что любая полициклгческая группа является ограниченной разре'чимой, и поэтому все подгруппы пс 1ИЦИКЛИЧС0КПХ гpvпп финитно отделимы.

Заметим, что условие финитной отделимости всех подгрупп данной группы является весьма жзс^тсим ограничением. Более естественным ограничением язляется финитная отделимость всех конечно порожденных подгрупп группы О. Если в группе О финитно отделима любая ее конечно порожденная подгруппа, то (7 называется ЬЕ&Р-группой. Исследование ЬЕКР-групп было начато М. Холлом в 1949 г. Он доказал, что все конечно порожденные подгруппы свободной группы финитно отделимы [17].

Большой интерес представляют исследования аппроксимаци-'■нных свойств свободных конструкций групп — обобщенных свободных произведений и НКК-ра :ширений. Мы остановимся более подробно на обобщенных свободных произведениях, т. е. на свободных произведениях групп с объединенными подгруппами. Частным случаем чтого понятия является понятие обычного свободного произведения групп.

Для свободных произведений групп все перечисленные выше аппроксимационные свойства исследованы в полной мере. Так, было установлено, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых (./"р-аппроксимируемых, почти .Ту-аппроксимируемых) гр-^пп финитно аппроксимируемо -аппроксимируемо, почти Тр -аппроксимируемо) (см. |6, 16|). В []0| было доказано, что свободное произведение ЬЕИЕ-групп является ЬЕИЕ-группсй.

Пеоейдрм теперь к свободным произведениям групп с объединенными подгруппами. Пусть А и В — произвольные группы, Я и К — подгруппы групп .4 и В соответственно, — изоморфизм подгруппы Я на подгруппу К. И пусть

С = (А >< В: Н - К, -р)

— свободное произведение групп А к В с подгруппами Я и К объединенными относительно изоморфизма 1р. Напомним, что группа С порождается всеми порождающими групп А и В и определяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также соотношениями вида — /г, где к € Я. Заметим, что если Я и К — единичные подгруппы, то группа О представляет собой обычное свооодное произведение групп А и В. Хорошо известно, что группы А и В естественным образом в. южимы в группу б. Поэтому можно считать, что А и В — подгруппы группы С. Тогда А П В = Н К.

Далее в неко-.рых случаях для группы С будем использовать более компактное обозначение

С = (А* В, Н)

и называть ее свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой Н.

Укажем некоторые направления исследования аппроксимаци-очных свойств таких обобщенных свободных произведений, а ^акже приведем несколько результатов, полученных в этих направлениях и необходимых для да1ьнейшего изложения.

Очевидчым необходимым условием фкнитной аппроксимируемости (^„-аппроксимируемости почти аппроксимируемости) группы й является финитная аппроксимируемость (щ[ --ппроксимируемость, почти аппроксимируемость) групп А и В. Несложные примеры показывают, что перечисленные условия не являются достаточными.

Наиьолее распространенный подход к изучению финитной ап-проксим лруемости (>\- -аппроксимируемости, почти аппроксимируемости) группы О состоит в том, что чг свободные множители А и В, помимо условия финитной аппроксимируемости (Т -аппроксимируемости, почти Тр-аппроксимируемости), накладываются еще некоторые дополнительные условия. Дополнительные ограничения, как правило, накладываются и на объединенную подгруппу Н. Примером таких ограничений может служить конечность подгруппы Я ее цикличность, конечпооть индексов подгруппы Я в группах Ли В а также нормальность подгруппы Я в группах Л и В.

Такой подход к изучению аппроксимапионных свойств обобщенных свободных произведений групп был применен Г. Баумсла-гом, который в 60-е годы прошлого века начал систематиче ское изучение финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп. В ею статье [И] 1963 года был получен целый ряд фундаментальных результатов в этом направлении, а также был намечен маршрут дтя дальнейших исследований аппроксимационных свойств свободных конструкций групп. Сначала Баумслаг доказывает. что если А и В конечны, го группа б финитно аппроксимируема. Заметим, что свободное произведение двух конечных р-групп с объединенной подгруппой быть Тг,-аппроксимируемой группой уже не обязано. Критерий ^-аппроксимируемости для такою свободного произведения был получен Г. Хигманим [18]. Из этого критерия уже

следует Тр аппроксимируемость свободных произведений конечных р-групп с циклической или центральной объединенной подгруппой.

Следующий гпаг. сделанный Г. Баумслагом. состоял в том, что требование конечности свободных множителей А и В было ослабла но до тргбования конечности объединенной подгруппы II. Баумслаг доказал [14], что свободное произведение О финитно аппроксимируемых групп А и В с конечной объ<_ диненний подгруппой Н является финитно аппроксимируемой группой. Простые примеры покааышь ют, что этот результат не может быть распространен с финитной аппроксимируемости на Тр- аппроксимируемость. Критерий аппроксимируемости сьободного произведения ^р-аппроксимнруемых групп с конечной объединенной подгруппой получен в [1]. С др}-гой стороны, в рабо^ |6] доказано, что свойство почти ^р-аппроксимируемости гpvпп Л и В наследуется группой С при условии, что подгруппа Н конечна. В частности, свободное произведение двух полициклических групп с конечной объединенной подгруппой почти •Я'р-аппрлксимируемо для каждого простого р. Аналогичный результат будет справедлив и для ЬЕ11Р-срупн (см. [13]): свободное произведение двух ЬЙШ^-грунн с конечной объединенной подгруппой является ЬЕГ1Р-грутюй.

Приведем теперь несколько результатов, касающихся яппрок-симациопных свойств обобщенных свободных произведений групп, по пученных при дополнительном предположении о цикличности объединенной подгруппы. Существуют примеры, показывающие, что свободное произведение финитно аппроксимируемых групп с циклической объединенной подгруппой не всегда финитно аппроксимируемо. Однако Баумслаг [14| показал, что если А и В являются конечно порожденными нильпотзнтными группами, а объединенная подгруппа Н циклическая, то группа б сЬинитно аппроксимируема. Позже этот результат был обобщен Д. Дайер [15] на случай, когда А и В — полчциклические группы.

Выше говорилось, что понятие разрешимой группы конечного ранга является обобщением понятия полициклической группы. Другим обобщением этого понятия служит понятие конечно порожденной группы конечного ранга В работе Д. Н. Азарова [7| исследуется сЬинитлая аппроксимируемость обобщенных свободных произведений конечно порожденных групп конечного ранга. Результаты этой работы будут сформулированы ниже, и они тесно связаны со следующим результатом, доказанным М Ширвани [25]. Если группы А и В удовлетворяют нетривиальному тождеству, Н ^ А н Н ф В, то необхо-

димым условием финитной аппроксимируемости группы <7 является финитная отделимость подгруппы Я в группех Л и В. В [23] доказано, что все конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы конечного ранге являются конечными расширениями разрешимых групп и, следовательно, удовлетворяют нетривиальному тождеству. Поэтому если 4 и В являются конечно порожденными груп-. ами конечного ранга. Н й А и Я Й В. то необходимым условием с1>инитной аппроксимируемости группы С является финитная отдели*/ >сгь подгруппы Н в группах А и В. С другой стороны, в работе [7] приводится пример, показывающий, что свободное произведение двух конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп конечного ранга с финитно отделимой объединенной подгруппой не обязано быть финигно аппроксимируемой группой. Тем не менее, там же доказывается, что если А и В — флнитно аппроксимируемые конечно порожденные группы конечною ранга, а подгруппа Н циклическая, то ее финитная отделимость в группах А и В являете • статочным условием финитной аппроксимируемости группы С. Частным случаем этого результата является упоминавшееся выше утверждение Дайер о финитной аппроксимируемости свободного произведения полициклических групп г циклической объединенной подгруппой.

Критерий >р-аппроксимируемости свободного произведения конечно порожденных нильпотентных групп с циклической объединенной подгруппой был получен в работе 13].

В работе [20] рассмотрена ситуация, когда группы А и В Тр~ аппроксимируемы, а подгруппа Я циклична. Показано, что в случае, когда Я конечна, группа С? ^-аппроксимируема. Также здесь доказывается 1;;то в случае бесконечной Н для Тр аппроксимируемости группы (7 достаточно, чтобы подгруппа Н была ^-отдепимой в группах А и В.

Рассмотрим теперь случай, когда объединенная подгруппа Я имеет в группах А и В конечный индекс. Если А и В — полипикли-ческие группы, то группа С может и не быть финитно аппроксимируемой. Демонстрирующий это пример можно найти в [7]. Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух полициклических групп с объединенной подгруппой конечного индекса был получен в ррботе Д. Н. Азарова [5|. Там же доказано, что для такого свободного произведения условие финитной аппроксимируемости равносильно условию почти Тр- аппроксимируемости для всех простых р. Далее в работе [7| эти результаты были распространены

на случай, когда свободные сомножители являются конечно порожденными финитно аппроксимируемыми группами конечного ранга.

Еще одним естественным ограничением, накладываемым на подгруппу Н, является ее нормальность в группах А и В. В [13] было доказано, что если группы А и Л являются полицикли^ескими, а подгруппа Н нормальна в группах А и В, то О является ЬЁШ1 -группой. 8 качестве частного случая "=>того утверждения можно рассматривать полученный ранее результат Баумслага. В [14] он доказан, что свободное произведение двух полициклических групп с нормальной объединенной подгруппой финитно аппроксимируемо. Рассматривая более общий случай, когда группы А и 5 являются конечно порожденными финитно аппроксимируемыми группами конечного ранга, и предполагая, что А ^ Н ^ В. Д. Н. Азароь в [7] доказал, что финитная аппроксимируемость группы С рхвносильна финитной отделимости подгиуппы Н в группах А и В. Частным случаем этой теоремы является упомяну тый выше результат Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух полицик лических групп с нормальным объединением. Заметим еще, что этот результат Баумслага не може^ быть распространен с финитной аппроксимируемости на Тр- аппроксимируемость. Иными словами, если А и В являются полиции лическимн аппроксимируемыми группами и объединенная подгруппа Н нормальна в группах А и В, то группа, О уже не обязана быть Тр аппроксимируемой.

В статье |18| Хигмап доказал, что свободное! произведение О конечных р групп А и В с нормальной объединенной подгруппой Ч является >р-аппроксимируемой группий тогда и только тогда, когда подгруппа группы автоморфизмов группы Н. состоящая из всех ограничений на Н внутренних двтоморсЬи?мов группы С, является р группой. Для свободного произведения двух ^-аппроксимируемых групп с нормальным объединенением в работах [11| и [21] были получены достаточные условия Тр аппроксимируемости. Однако в це лом случай нормальной объединенной подгруппы исследован в меньшей степени по сравнению со случаем циклической объединенной подгруппы. Настоящая диссертация посвящена исследованию аппрок-симационных свойств обобщенных свободных произведений групп и случае, когда объединенная подгруппа нормальна

Еще более жестким требованием является центральность объединенной подгруппы Н в свободных множителях А и В. При этом условии было получено несколько результатов об -аппроксимируемости группы О. Из упомянутого выше результата Хигмапа |18] еле-

дует, что свободное произведение двух конечных р -групп с центральной объединенной подгруппой ^-аппроксимируемо. В статье [21) был полусн критерий .Ту-аппроксимируемости группы О в случае, когда А и В конечно порожденные нильпотентные группы, а объединенная нодгр^тта Я содержится в центрах А и В.

Степень разработанности темы исследования. Во второй половине двадцатого века исследования аппроксимационпых свойств обобщенных свободных произведений групп выделились в самостоятельное интенсивно развивающееся научное направление. Одной из первых и наиболее значимых в этом направлении работ ста па уже упоминавшаяся выше статья Г. Ваумела^а [14]. В ней автор, изучая свойство финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп, по сути разработал методологию для дальнейших исследований. Кроме гого, пизже выяснилось, что эта методология подходит и для исследования других аппроксимационпых свойств обобщенных свободных произведений групп. Многие дальнейшие результаты в этом напрявлснии в той или лной степени являются развитием идей Ваумслага.

Основу данной диссертационной работы составляют исследования свойств финитной аппроксимируем эсти, Тр аппроксимируемости и почти ^р-аппроксимируемости некоторых обобщенных свободных произведений групп. Из перечисленных эыше результатов видно, что свойство финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений изучено уже достаточно хорошо. Однако при перс-ходе от него к ^-аппроксимируемости возникает много трудностей, '■»олее счабос свойство почти .Туаппроксимируемости исследовано еще в меньшей степени. Недостаточно исследовано и более специфическое по сравнению с финитной аппроксимируемостью свойство ЬЕИГ.

В качестве центрального объекта для изучения в данной работе выбраны свободные произведения групп с нормальными объединениями. Из имеющихся на данный момент результатов (см. [7, 11, 13, 14, 18]) можно сделать вывод, что исследования аппрокси-мациопных свойств таких обобщенных свободных произведений еще далеки от завершения, и поэтому могут быт*» продолжены в различных направлениях.

Дели и задачи исследования. Пусть С — свободное произведение групп А и В с объединенной подгруппой Я. Выше говорилось. что аппроксимационные свойства группы С изучаются при различных ограничениях, накладываемых на подгруппы Л, Я и Я.

Именно такой подход был использован пои получении всех указанных ранер результатор о различных аппроксимационных свойствах группы С.

Целью данной р аботы является изучение раз личных аппроксимационных свойств группы О при некоторых конкретных ограничениях на подгруппы А, В и Н. Наибольшее внимание уделяется случаю, когда объединенная подгруппа Н нормальна в группах А и В, а свободные сомножители А и В являются разрешимыми группами конечного ранга.

Для достижение цели в ходе работы решаются задачи по исследованию в отдельности свойств финитной аппроксимируемости, Т-р аппроксимируемости, почти аппроксимируемости и ЬЕШ* для свободного произведения С групп А и В с нормальным объединением. В ходе этих исследований для группы О строятся необходимые и достаточные условия финитной аппроксимируемости, Тр аппроксимируемости, почти .^-аппроксимируемости и ЬЕИ. .

Научная новизна. Для свободных произведений групп с нормальными объединенными подгруппами в работ" был получен ряд новых результатов, касающихся свойства (Ьинигной аппроксимируемости, а также некоторых более тонких аппроксимыдионных свойств. Перечислим основные из них.

• Получен критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения финитно аппроксимируемых разрешимых групп конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой. Для такого обобщенного свободного произведения групп было получено еще и достаточное условие финитной отделимости всех конечно порожденных подгрупп.

• Доказано, что свободное произведение двух полициклических групп с нормальным объединением почти аппроксимируемо конечными р-труппами для всех простых чисел р.

• Для свободного произведения почти аппроксимируемых конечными р-труппами нильпотечтных групп конечного оанга с нормальной объединенной подгруппой получен критерий почти аппроксимируемости конечными р- группами.

• Получен критерий аппроксимируемости конечными р группами для свободного произведения аппроксимируемых конечными р-группами нильпотсн-^ных групп конечного ранга с центральной объединенной подгруппой.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Данная диссертационная работа носит теоретический характер. В^е нолучеипые в ней результаты относятся к направлению теории групп, (анимающемусл изучением аппроксимационных свойств обобщенных свободных произведений групп. Многие из них являются обобщениями и усилениями известных результатов. Все результаты данной работы, а также методы их доказательства могут быть использованы 1ши дальнейших исследованиях в данной области.

Методология и методы исследования. В ход»- проведенных исследований аппроксимационных свойств обобщенных свободны произведении групп используется методология, предложенная Г. Баумслагом в его работе [14]. В оригинале она была использова па для изучения свойства сЬипитпой аппроксимируемости, однако ее идеи в действительности могут быть использованы и в исследованиях других аппроксимационных свойств свободных произведений групп с объединенными подгруппами.

Кроме того, в работе используются некоторые хорошо известные свойства обобщенных свободных произведений групп, связанные с понятием несократимой записи элемента (см., напр [2СЧ.

Положения, выносимые на защиту. На -ашиту вынссят-ся все основные результаты, полученные в данной диссертации, и в частности, теоремы 1, 2. 3, 4 из раздела "Основное содержание работы" данного автореферата.

Степень достоьерности и апробация результатоь. Основные положения, результаты и выводы, содержащиеся в диссертации, докладывались на алгебраическом семинаре под руководством А. Л. Шмелькина. А. Ю. Ольшанского и А. А. Клячко (МГУ 2013 г.), на с миьаре по теории групп пот, руководством Д. И. Молдаванского (Ис У, 2011-2013 гг.), на IX Международной научной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2012 г.), на IX Международной школе-конференщп: по теории групп (Владикавказ, 2012 г.) и на Научных конференциях фестиваля студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука в классическом университете" (ИвГУ, 2011-2013 гг ).

Все основные результаты диссертационного исследования отражены в 13 научных работах ([26 - 38]), в том числе в 7 статьях, из которых 2 статьи опубликованы в журналах, принадлежащих списку ВАК, одной главе коллективной монографии и 5 тезисах докладов на международных н региональных конференциях.

Объем и структура работы. Работа содержит 88 страниц печатного текста и состоит из введения, четырех глав с результатами работы и заключения. Список литературы состоит из 39 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационного исследования, описана се степень разработанности, сформулированы цели и задачи исследования, определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, указана применявшаяся методология исследования, приведены сведения об апробации раСоты, сформулированы основные положения, выносимые на зашигу.

В первой главе диссертации полностью исследован вопрос о (Ьинитной аппроксимируемости свободного произведения разрешимых групп конечного ранга с ноомальным объединением, а также рассматривается вопрос о финитной отделимости конечно порожденных подгрупп в таких свободных произведениях.

Еще в 1Я63 г. Г. Баумслаг [14] доказал, что свободное произведение двух полициктических 1'рупп с нормальной объединенной подгруппой является финитно аппроксимируемой группой.

Как уже отмечалось выше одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой группы конечного ранга. В первой главе диссертации приводится пример, показывающий, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых разрешимых групп конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой не обязано быти финитно аппроксимируемой группой. Основным результатом, доказанным в первой главе является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть С — свободное произведение финитно аппроксимируемых почти разрешимых групп А и В конечного ранга с ооъсдинспной подгруппах! Н. опигичной от А V В. И пусть в группе Н существует подгруппа № конечного индекса, норлалънал в А и В. Тогда имеют место следующие утверждения.

1 Группа С финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда подгруппа Н финитно отоелима в группах А и В.

2. Если в группах А и В финитно отдыимы все пооеруппы, то а группе О финитно отделимы все конечно порожденные подгруппы.

В связи с первым пунктом данной теоремы заметим следующее. Необходимость в этом утверждении имеет место даже без предположения о конечности ранга групп А и В (см. [25]). Однако достаточность в этом утверждении уже не может быть доказана без предположения о конечности ранга групп А и В. Соответствующий пример постпоен в первой главе диссертационной работы.

ыс как почти пелициклические группы финитно аппроксимируемы, и в них все подгруппы финитно отделимы Сем., напр., [22, п. 1.3.10]), то непосредственным следствием теоремы 1 является следующий результат Р. Олленби и Р. Гпегоракэ [13].

Следствие 1.1. Пусть О — свободное произведение почти полициклических групп А и В с объединенной подгруппой Н. Если в Н существует подгруппа ]А/ конечного индекса, нормальная в А ч В, то все конечно порожденные поагиуппы группы С финитно отделимы, и в частности гриппа О финитно аппроксимируема.

Частныг. случаем этого утверждения является упомянутый выше результат Баумслага о финитной аппроксимируемости сяобод-пого произведения двух полицикличсских групп с нормальные объединением.

Так как конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы конечного ранга почти разрешимы (см. |23]), то ещ< одним следствием теоремы 1 ярляется следующее утверждение, доказанное ранее в статье Д. Н. Азарова [7].

Следствие 1.2. Пусть О — свободное произведение финитно аппроксимируемых групп А и В с нормальной объединенной подгруппой Н, не совпадающей с группами А и В. Если А V В яьляютсл конечна порожденнгши группами конечного ранга, то гру\ па С то гдо. и только тогда финитно аппроксимируема, когда подгруппа Н финитно отде гима в группах А и В.

Помимо полициклических групп существует много других разрешимых групп конечного ранга, в которых все подгруппы финитно отделимы. Примеры такого рода можно найти в классе ограниченных разрешимых групп. Это понятие введено А. И. Мальцевым в [9], где доказывается, что в ограниченных разрешимых группах все подгруппы финитно отделимы. Очевидно, что любая полицикличеекая группа является ограниченной разрешимой группой. Поэтому следующее утверждение, доказанное в первой главе диссертации, является обобщением указанного выше результата Олленби и Грегоракя.

Пусть О — свободное произведение почти ограниченныроз-решьичых групп Л и В с объединенной подгруппой Н. Если в Н существует подяруппи V/ конечного индекса, нормальная в группах А и В, то о групп с, С все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы.

В действительности ьто утверждение является также и обобщением пункта 2 теоремы 1, поскольку любая разрешимая группа конечного ранга, в которой все подгруппы финитно отделимы, является ограниченной разрешимой группой. Доказательство атого факта приводится ь первой главе диссертации.

Рассмотрим теперь другие аппроксимацпонные свойства св1>-бодного произведения двух полициклических групп с нормальным объединением. Прежде всего заметим, что упомянутый выше результат Баумслага <> финитной аппроксимируемости такого свободного произве ^ения не может быть распространен на аппроксимируемость конечными р-.'рунпами. Иными словами, если А и В являются полициклическими Тр аппроксимируемыми группами, и объединенная подгруппа Н нормальна в группах А и В, то группа й уже не обязана быть аппроксимируемой. Соответствующий пример приведен во второй главе диссертации. Иначе цело обстоит с почти |£1 аппроксимируемостью. Основным результатом, полученным во второй главе, яеляется следующая теорема.

Теорема 2. Пусть О — свобосМое произведение полицикличе-ски-г. групп А и В с норма ььной ооьединенпой поогруппой II. Тогда группа О почти. Тр -аппроксимируема для любого простого ччела р.

Нетривиальное доказательство этой теоремы основало на использовании некоторых весьма тонких свойств полициклических групп, которые доказаны во второй главе и представляют собой усиления упомянутого выше результата А. Л. Шмслькина [12]. Простым частным случаем теоремы 2 является результат Баумслага о финит ной аппроксимируемости свободного произведения двух полициклических групп с нормальным объединением.

В третьей главе рассматриваются свободные произведения нильнотентных групп конечного ранга с нормальным объединением. Так как нильпотентныр группы являются разрешимыми, то в силу пункта 1 теоремы 1 свс бодное произведение С двух финитно аппроксимируемых нильнотентных групп А и В конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой Я, не совпадающей с А и В, финитно аппроксимируемо тогда и только тогда, когда фактор-группы А/Н и

U/H сЬинитно аппроксимируемы. В третьей главе диссертации доказывается аналогичный результат для почти >"р-аппроксимир.уемости группы G. Этот результат формулируется следующим образом.

Теорема 3. Пусть G - своОоаное произведение почти Тр -аппроксимируемых evynn А и В с норма.гъной объединенной подгруп пой Н, не совпадающей с группами А и В. Если группы А и В являются нильтытпентнчми группами конечного ранга, то "pyrna G тогда и только mo?üa почти Tv аппроксимируема, когда факторгруппы А/ Н иВ/Н почти Тр аппроксимируемы.

Заметим, что для J-a -аппроксимируемости подобный результат уже не имеет места, поскольку даже своьодно» произведение двух коне"ных р -групп с норма льным объединением не обязано быть аппроксимчруемой группой. Соответствующий пример приведен в четвертой главе диссертации.

В работе [12] было доказано, что любая полициклическая группа почти .Яр-апппоксимируема для каждого простого числа р. В частности, этим свойством обладает любая конечно порожденная нильпот«итная группа. Поэтому в качестве следствия из теоремы 3 мы получаем следующее утверждение.

Следствие 3.1. Пусть G — свобопное произвеоение конечно порожденных нилъпогрентных групп А и В с иормо хъной объединенной подгруппой Н. Тогда группа G почти Тр -аппроксимируемо для любого простого числа v.

Заметим, что это утверждение является также и следствием теоремы 2.

Пока остается нерешенным следующий вопрос: можно ли обоб-щиттеорему 3 (и одневременно теорему 2), если в ней ослабить условие нильпотентности групп А и В до условия разрешимости групп А и В.

В четвертой главе диссертации сохраняется требование нильпотентности и конечности ранга для групп А и В. а условие-нормальности подгруппы Н в группах Л и В заменяется более жестким условием, которое сотоит в том. что Н содержится в центрах групп А и В. При этих более жестких ограничениях удается получить критерий ^-аппроксимируемости группы G, и даже критерий аппроксимируемости группы G, где 7Г — произвольное множество простых чисел. Этот критерий, доказанный в четвертой главе, формулируется следующим образом.

Теорема 4. Пусть й - свободное приизьедение тпрокси-мируемых групп А и В с центргльнпй объединенной подгруппой Я, не совпадающей с группами А и В. Если группы. А и В являются нилъ патентными группами конечного ранга, то группа О тогда и только тогда -аппроксимируема, ко'да фактор-группы А/Н и Я -аппроксимируемы.

Непосредственным следствием этой теоремы является еле,чующее утверждение. Свободное произведение двух конечных р-групп с центральным объе щнением Тр -аппроксимируемо. Как уже отмечалось, это утверждение является также и следствием упомянутого выше критерия Хигмана Тр аппроксимируемости обобщенного свободного произведения конечных р- групп [18].

Хорошо известно и легко проверяется, что конечно порожденная нильпотентная группа А ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть т(А) является 7г -группой (см. [Щ). Поэтому еще одним следствием из теоремы 4 является следующее утверждение.

Следствие 4.1. Пусть б — свободное произведение Т^ -аппроксимируемых групп А и В с центральной обчеоиненной подгруппой Я, не совпадающей с группами А и В. Есаи группы А и В явпяются конечно порож.денпыми нилъпотентными группами, то группа С тигоа и только тогда Т* аппроксимируема, когда груп пы А/Н а В/Н -аппроксимируемы, тогда и только тогаа, когда периодические части групп А/Н и В/Н являются -к-группами.

Частным случаем этого утверждения является теорема 4.10 щ 1, доказанная для множества 7Г, состоящегс из одного простого числа р.

Ранее говорилось, что необходимым условием финитной аппроксимируемости (^"р-аппроксимируомости, почти аппроксимируемости) оообщенного свобс щого произведения групп является финитная аппроксимируемость (>"р-аппроксимируемость, почти аппроксимируемость) его свободных сомножителей. Выясним теперь, при каких обстоятельствах свободные сомножители обобщенных свободных произведений, рассматриваемых в перечисленных выше основных результатах .диссертации, являются финитно аппроксимируемыми {Тр- аппроксимируемыми, почти .^-аппроксимируемыми) группами.

Для разрешимых групп конечного ранга критерий финитной аппр-жсимируемости был получен в работе Д. Робинсона [21]. Этот

результат был сформулирован выше. Для нильпотс нтных групп конечного ранга известен еще и критерий Тр аппроксимируемости Т4Д который формулируется следуклцим образом. Нильпотентная группа конечного ранга аппроксимируема тогда и только тогда, когда она не содержит р-ьолных элементов отличных от 1, т. е. таких элементов а / 1. что уравнение т% = а разрешимо при всех целых положительных и. В третьей главе диссертации доказан аналогичный критерий для почти ^-аппроксимируемости. Приведем формулировку этого результата.

Нильпотентная группа кпнрчного ранга почти Тр -аппрокехкчируема тогда и только тогда, когда опа не содержит р-полных элементов бесконечного порядка и ее периодическая часть конечна.

В четвертой главе диссертации доказан еше и критерий аппроксимируемости для нильпотентной группы конечного ранга, где 7г — произвольное множество простых чисел. Этот критерий формулируется следующим образом.

Нильпотентная группа конечного ранга Т^ -аппроксимируема тогда и только тогда, когда она не содержит тх полных ыементов отличных от 1.

Элемент а группы б мы называем 7г-полным, если для любого 7г-числа и уравнение хп а разрешимо в группе О.

В заключении подводятся итоги диссертационного исследования, а также указываются некоторые нерешенные вопросы и возможные пути дальнейших исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азаров, Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободньйс произведений групп с одной объединенной подгруппой / Д Н Азаров // Сиб. матем. журнпа. — 1997. — Т. 38 № 1. — С. 3-13.

2. Азаров, Д. Н Аппроксимируемость сверхргзрешимых групп конечными р-группами / Д. Н Азаров, Д. И. Молдаванский // Науч. тр. Иван. гпс. ун-та. Математика. — 1999. — № 2. — С. 8- 9.

3. Азаров, Д. Н. Аппроксимационные свойства свободных произведений групп с циклическим объединением / Д. Н. А?аров, Е. А. Иванова // Вести. Иван. гос. ун-та. — 2008. — № 2. - С. 56-63.

4. Азаров. Д. Н. О финитной аппроксимируемости нилыютентных групп / Д. Н. Азаров, И. Г. Васькова // Науч. mv- Иван. гос. ■ун-та. Математики. — 2008. — Xs 18. — С. 9- ' 6.

5. Азаров. Д. И. О почти аппроксимируемости конечными р группами / Д. Н. А?аров // Чебы-шевский сборник. 2010. -.11, Лг- 3(35). — С. 11—21.

6. Азарпв, Д. Н. Почти аппроксимируемость конечными v-группами свободного произведения двух rpvnn : к не шымч объединенными подгруппами / Д. Н. Азаров, Д. В. Гольцов // Rpctp.h. Иван. гос. ун-та. — 2011. — Л5 2. С: Г 9"

7. Азаров, Д. Н. О финитной аппроксимируемости обобщенных св >-бодных произведений групп конечного ранга / Д. Н. Азаров // Спб. матеч. журнал. - 2013. - Т. 54, № 3. С. *85-497.

8 Ма.гьцсв, А. И. О группах конечною ранга / А. И. Мальпев // Мат. сб. - 1948. - Т. 22, № 2. - С. 351 -352.

9. Мальцев, А. И. О гомоморфизмах на конечные группы / А. И. Мальцев // Ученые зап. Ивин. гос. пед. ин-та. 195».

— Т. 18. — С. 49-60.

10. Романовский, Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения / Н. С. Романовский // Изв. АН СССР. Сер. Математика. — 1969. — Т. 33. № 6. — С. 1324-1329.

] 1. Соко^оь, Е. Ь. Об аппроксимируемости конечными р-групп&ми свободных произведений групп с нормальным объединением / Е. В. Соколов // Мат. заметки. — 2005. — Т. 78, К' 1. — С. 125-131.

12. Шмслькип, А. Л. О нолипикличсских группах / A.. JI. Шмель-кин // Сиб. мат. журн. - 1968. Т. 9. X« 1. - С. 234-235.

13. Allenby, Я. В J. Т. On locally extended residuallv finite group? / R. B. J. T. Allenby, R. J. Greeorac > j Lecture Notes Math — 1973.

— V. 319. - P. 9-17.

14. Baumsloq, G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups / G. Baumslag // Transactions of the. Amer. Math. Soc. - 1963. - V. 106. - P. 193-209.

15. Dyer, J. On the residual finiteness of generalized free products / J. Dyer // Transactions of the Amer. Moth. Soc. — 196,8. — V. 133, №1, - P. 131-143.

16. Gruenherg, K. \V. Residual properties of infinite soluble groups / K. W. Gruenberg // Proz. London Math. Soc. - 1957. - V. 7 -P. 29-62.

17. Fall. M. Coset representations of free groups / M. Hall // Irans actions of the Amer. Math. Soc. — 1949. — V. 67 — T 431-451.

18. Higman, G. Amdgamo of p group? / G. Higman // J. Algebra — 1964. — № 1. - P. 301-305.

19. H rsh. K. A. On infinite soluble groups / K. A. Hirsh // J. London Math. Soc. - 1952. — V. 2?. - p. 87 85.

20. K.m, G. On amalgamated free products of residually p- finite groups ! G. Kim, J. McCarron // J. Algebra. — 1993 — V. 162. — P. 1- 111

21. Aim. G. Residue] p-hniteness of certrin generalized free products of r potent fnroup; / G. Kim, Y. Lee, J. McCarron // Kvuvqpook Math. J. - 300». - V. 48, № 3. - P. 495- 502.

22. Lennox, J. The tneory of infinite soluble groupt> / J. Lennox, D. Robinson. — Oxford.: Clarendon press, 2004. — 344 P.

23. Lubntzky, A. Residually finite groups of finite rank / A. Lubotzkv, A. Mann // Math. hroc. Cambridge Phil. Soc — 1989. — V. 10b № 3. — P. 185-188.

24. Neumann, B. An essau on free products of groups with amalgamations / B. Neummn // Philos. Transactions of the Royal Soo. of London. — 1954. — V. 246. — P. 503- 554

25. Shiivani, M. A converse to a residual finiteness theorem of G. Raum-slag / M. Shirvan- // Proc. Amer. Moth. Soc — 1988. — V. 104 № 3. — P. 703-706.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ АВТОРОМ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

26. Розов, А. В. О финитной аппроксимируемости некоторых обобщенных свободных произведений разрешимых групп конечного ранге. / А. В. Розов '/ Моделирование и анолиз информационных систем. - 2013. - Т. 20, № 3. - С. 124-132.

27. Розов, А. В. Об аппроксимируемости конечными 7г-группами свободных произведений нильпотентных групп конечного ранга с центральными объе ршенными подгруппами / А.. В. Розов // Ярое гавский п~д. в стн. Естести. науки. - 2013. - Т. 3, № 2. - С. 7-13.

Другие публикации:

28. Азарпв, Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободного произведения разрешимых групп конечного ранга с нормальными объедине.гными подгруппами / Д. Н. Азаооь, А.. ' эзов // Веппн. Иван. гос. ун-та. Естеств., обществ, науки. -2011. - Вып. 2. -С. 98-103.

29. Розов. А. В. Некоторые апппоксимационныс свойства свободного произведения разрешимых групп с нормальными объединенными подгруппами / А. В. Розов // Молодая на"ка в классическом унизерситете: тез. докл. науч конф. ф-'гиваля студентов, аспирантов и молодых ученых, Иваново, 2г-29 апре ля 2011 г.: в 7 ч. - Иваново: Изд во "Иван. гос. ун-т", 2011. -

Ч. 1. - С. 104 105.

30. Розов, А. В. О флпитпой отделимости конечно порожденных подгрупп свободного произведения ограниченных разрешимых групп с нормальными объединенными подгруппам] / А. В. о-зов // Математика и ее приложения: журнал Иван. мат. общества. -2011. - Вып. 1(8). - С. 95-100.

31. Розов, А. В. О почти аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения конечно порожденные ниль-потентных групп с нормальными объединенными подгруппами /А.В.Розов / / Вестпн. Иван. гос. ун-та. Естеств., обществ, науки. 2012. - Вып. 2 - С. 131-138.

32. Розов, А. В. Некоторые "ппроксимационнме свойства свободных произведений групп с нормальными объединенными подгруппами / А. В. Розов // Теория тупи и ее приложения: тез. IX Межлунар. школы-конф. по теории групп, Владикавказ, 915 июля 2012 г. - Владикавказ: Изд-во СОГУ, 2012. - С. 102104.

33. Розов, А. В. О почти аппроксимируемости конечными р-группами сьободного произведения нилыипч нтных групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами / А. В. Розов // Молодая наука в классическом университет: тез. докл. науч. конф. фестиваля студентов, аспирантов и молодых уч^ых, Иваново, 23-27 апреля 2012 г.: в 8 ч. - Иьаново: Изд-во "Иван. гос. ун-т", 2012. - Ч 8 - С. 10-11.

34. Розе А. В. Некоторые яппроксимадионные свойства свободных произведений разрешимых групп конечного ранга с нормальными объе хине гшыми подгруппами / А. В. Розов // Чебы-шееский сборник. - 2012. - Т. 13, вып. 1(41). - С. 130-142.

35. Азаров, Д. Н. О фини.-ной аппроксимируемости свободного произведения разрешимых гаупп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами / Д. II. Азаров, А. В. Розов // Лппооксиамациояные свойства групп. Записки семинара по комбинаторной теории групп : монография / Ред.: Молдаванский Д. И., Яцкин Н. И. Изд-во: LAP J,ambert Academic Pub-lisLing, 2012. - Главь 29. - С. 2*3- 249.

46. Розов, А. В. Об аппроксимируемости конечными 7Г-группами свободных произьедений нилъпотечтных групп конечного ранга с центральным объединением / А. В. Розов // Молодая наука в классическом университете: тез. докл. пауч. конф. фестиваля ~тудентов, аспирлнточ и молодых ученых, Иваново, 22 -26 апреля 2013 г.: в 7 я. - Иваноло: Изд-во "Иван. гос. ун-т", 2013. -Ч. 1. - С. 108.

37. Розов, А. В. Об иЛпроксимируемости конечнымг р-группами свободных произведений иильпогентных групп конечного ранга с центральными объединенными подгруппами / А. В. Рогюв // Вестн. Иван. гос. ун-та. Естеств., обществ, науки. - 2013 - Выи. 2. - С. й&-93~.

38. Розов, А. В. О почти аппроксимируемости конечными р группами свободного произведения полициклич°ских групп с нормальной объединенной подгруппой / А. В. Розов // Мсж-дунар. конференции "Мальцепские чтении": тез. докладов, Ноьосибирск, 12-15 ноября 2013 г. - Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, НГУ, 2013.

РОЗОВ Алексей Вячеславович

АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЁННЫХ

СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степеии кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 8.11.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1.0. Гираж 100 экз.

Издательство «Ивановский государственный университет» 153025 Иваново, ул. Ермака, 39 (4932) 93-43-41 Е-шаИ: publisher@ivfmovo.ac.ru

1 3- 1 7094

2012346848

2012346848

ФГБОУ ВПО "ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

На правах рукописи УДК 512.543

РОЗОВ Алексей Вячеславович

АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ

КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Азаров Д.Н.

Иваново - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

* Введение 3

1 О финитной аппроксимируемости и финитной отделимости подгрупп свободного произведения разрешимых групп конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой 19

1.1 Основные результаты первой главы ............................................................19

1.2 Вспомогательные утверждения........................................................................23

1.3 Доказательство теоремы 1.3..............................................................................27

1.4 Доказательство теоремы 1.4..............................................................................31

1.5 О существенности требования конечности ранга в теореме 1.3 34

2 О почти аппроксимируемости конечными р—группами свободного произведения полициклических групп с нормальной

ф объединенной подгруппой 38

2.1 Основные результаты второй главы .............................. 38

2.2 Предварительные утверждения ................................... 40

2.3 Доказательство теоремы 2.1.........;............................. 46

3 О почти аппроксимируемости конечными ^»-группами свободного произведения нильпотентных групп конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой 52

3.1 Основные результаты третьей главы ............................. 52

3.2 Дополнительные утверждения..................................... 54

3.3 Доказательство теоремы 3.1 ....................................... 59

3.4 Доказательство теоремы 3.2....................................... 65

4 Об аппроксимируемости конечными 7г—группами свободного произведения нильпотентных групп конечного ранга с центральной объединенной подгруппой 68

% 4.1 Основные результаты четвертой главы........................... 68

4.2 Предварительные замечания ...................................... 72

4.3 Доказательство теорем 4.1 и 4.2................................... 77

Заключение 81

Список литературы 84

Введение

Актуальность темы

Пусть 1С — некоторый класс групп. Напомним, что группа О называется аппроксимируемой группами из класса К, (или, короче, /С-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента а; из С? существует гомоморфизм группы О на группу из класса /С, образ элемента х относительно которого отличен от единицы. Напомним, что группа О называется почти /С-аппроксимируемой, если она содержит /С-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса. Если Т обозначает класс всех конечных групп, то понятие ^-аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучаются также свойства аппроксимируемости и ^-аппроксимируемости, где р — простое число, тт — какое-либо множество простых чисел, ТР — класс всех конечных р-групп, — класс всех конечных 7г-групп. Будем рассматривать также свойство почти Т-р-аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и ^-аппроксимируемостью.

Хорошо известно, что все свободные группы финитно аппроксимируемы и даже .^-аппроксимируемы для каждого простого числа р (см. [31]). Другим примером финитно аппроксимируемой группы является произвольная полициклическая группа. Финитная аппроксимируемость полициклических групп была доказана К. Гиршем в работе [30]. Более того, любая полициклическая группа почти .^-аппроксимируема для каждого простого числа р. Этот результат, ставший уже классическим, был получен А. Л. Шмелькиным [21]. Вопрос об ^»-аппроксимируемости полициклических групп исследован только для некоторых частных случаев, например, для конечно порожденных нильпотентных групп (см. [27]) и для сверхразрешимых групп (см. [3]).

Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой группы конечного специального ранга. Напомним, что группа О называется группой конечного специального ранга (в другой терминологии — группой конечного ранга Прюфера), если существует целое положительное число г такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы О порождается не более чем г элементами (наименьшее такое г будем называть

рангом группы). Это понятие, а также термин "конечный специальный ранг" введено А. И. Мальцевым в статье [16]. Будем в дальнейшем использовать термин "конечный ранг" вместо терминов "конечный специальный ранг" и "конечный ранг Прюфера". Примерами разрешимых групп конечного ранга являются все полициклические группы, а также группы Баумслага-Солитэра вида = (а, Ь; Ь1аЬ = ап), где п — произвольное целое число, отличное от 0.

Д. Робинсон [36, п. 5.3.2] доказал, что разрешимая группа конечного ранга финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда она редуцирована. Напомним, что группа называется редуцированной, если она не содержит неединичных полных подгрупп. Группа С называется полной, если для каждого элемента а группы (7 и для каждого целого положительного числа п уравнение хп = а разрешимо в группе С. Очевидно, что любая полициклическая группа редуцирована. Поэтому частным случаем сформулированного выше результата Робинсона является результат Гирша о финитной аппроксимируемости полициклических групп.

Наряду со свойством финитной аппроксимируемости групп изучается также свойство финитной отделимости. Напомним, что подгруппа Н группы С называется финитно отделимой, если для каждого элемента а группы С?, не принадлежащего Н, существует гомоморфизм группы (7 на некоторую конечную группу, при котором образ элемента а не принадлежит образу подгруппы Я.

В работе [17] исследуется вопрос о финитной отделимости подгрупп в разрешимых группах и доказано, что в ограниченных разрешимых группах все подгруппы финитно отделимы. Напомним (см. [17]), что разрешимая группа называется ограниченной, если в ней существует конечный ряд подгрупп, каждый предыдущий член которого является нормальной подгруппой следующего его члена, и факторы которого являются ограниченными абелевыми группами. Абелева группа А называется ограниченной, если все примарные компоненты ее периодической части т(А) конечны, фактор-группа А/т(А) имеет конечный ранг и никакая фактор-группа группы А/т{А) не содержит квазициклических подгрупп. Очевидно, что любая полициклическая группа является ограниченной разрешимой, и поэтому все подгруппы полициклических групп финитно отделимы.

Заметим, что условие финитной отделимости всех подгрупп данной группы является весьма жестким ограничением. Более естественным ограничением является финитная отделимость всех конечно порожденных подгрупп группы G. Если в группе G финитно отделима любая ее конечно порожденная подгруппа, то G называется LERF-группой. Исследование LERF-групп было начато М. Холлом в 1949 г. Он доказал, что все конечно порожденные подгруппы свободной группы финитно отделимы [28].

Большой интерес представляют исследования аппроксимационных свойств свободных конструкций групп — обобщенных свободных произведений и HNN-расширений. Мы остановимся более подробно на обобщенных свободных произведениях, т. е. на свободных произведениях групп с объединенными подгруппами. Частным случаем этого понятия является понятие обычного свободного произведения групп.

Для свободных произведений групп все перечисленные выше аппрокси-мационные свойства исследованы в полной мере. Так, было установлено, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых (^-аппроксимируемых, почти ^-аппроксимируемых) групп финитно аппроксимируемо (^-аппроксимируемо, почти .Fp-аппроксимируемо) (см. [9, 27]). В [19] было доказано, что свободное произведение LERF-групп является LERF-группой.

Перейдем теперь к свободным произведениям групп с объединенными подгруппами. Пусть А и В — произвольные группы, Н и К — подгруппы групп А и В соответственно, <р — изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К. И пусть

G = (A*B;H = K,<p)

— свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К объединенными относительно изоморфизма (р. Напомним, что группа G порождается всеми порождающими групп А и -В и определяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также соотношениями вида hip — h, где h € Н. Заметим, что если Н vlK — единичные подгруппы, то группа G представляет собой обычное свободное произведение групп А и В. Хорошо известно, что группы А и В естественным образом вложимы в группу G. Поэтому можно считать, что А и В — подгруппы группы G. Тогда А П В = Н = К. Далее в некоторых случаях

для группы С будем использовать более компактное обозначение

й = {А* В, Н)

и называть ее свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой Н.

Укажем некоторые направления исследования аппроксимационных свойств таких обобщенных свободных произведений, а также приведем несколько результатов, полученных в этих направлениях и необходимых для дальнейшего изложения.

Очевидным необходимым условием финитной аппроксимируемости аппроксимируемости, почти ^-аппроксимируемости) группы С является финитная аппроксимируемость (^-аппроксимируемость, почти ^-аппроксимируемость) групп А и В. Несложные примеры показывают, что перечисленные условия не являются достаточными.

Наиболее распространенный подход к изучению финитной аппроксимируемости (^-аппроксимируемости, почти ^-аппроксимируемости) группы <3 состоит в том, что на свободные множители А и В, помимо условия финитной аппроксимируемости (^-аппроксимируемости, почти ^-аппроксимируемости), накладываются еще некоторые дополнительные условия. Дополнительные ограничения, как правило, накладываются и на объединенную подгруппу Я. Примером таких ограничений может служить конечность подгруппы Я, ее цикличность, конечность индексов подгруппы Н в группах А и В, а также нормальность подгруппы Я в группах А и В.

Такой подход к изучению аппроксимационных свойств обобщенных свободных произведений групп был применен Г. Баумслагом, который в 60-е годы прошлого века начал систематическое изучение финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп. В его статье [23] 1963 года был получен целый ряд фундаментальных результатов в этом направлении, а также был намечен маршрут для дальнейших исследований аппроксимационных свойств свободных конструкций групп. Сначала Баумслаг доказывает, что если А и В конечны, то группа (7 финитно аппроксимируема. Заметим, что свободное произведение двух конечных р-групп с объединенной подгруппой быть ^-аппроксимируемой группой уже не обязано. Критерий ^-аппроксимируемости для такого свободного произведения был получен Г. Хигманом [29]. Из

этого критерия уже следует ^-аппроксимируемость свободных произведений конечных р-групп с циклической или центральной объединенной подгруппой.

Следующий шаг, сделанный Г. Баумслагом, состоял в том, что требование конечности свободных множителей А и Б было ослаблено до требования конечности объединенной подгруппы Я. Баумслаг [23] доказал, что свободное произведение С? финитно аппроксимируемых групп А и В с конечной объединенной подгруппой Н является финитно аппроксимируемой группой. Простые примеры показывают, что этот результат не может быть распространен с финитной аппроксимируемости на ^-аппроксимируемость. Критерий аппроксимируемости свободного произведения ^-аппроксимируемых групп с конечной объединенной подгруппой получен в [1]. С другой стороны, в работе [9] доказано, что свойство почти проксимируемости групп А и В наследуется группой С при условии, что подгруппа Я конечна. В частности, свободное произведение двух полициклических групп с конечной объединенной подгруппой почти ^,-аппроксимируемо для каждого простого р. Аналогичный результат будет справедлив и для ЬЕИЕ-групп (см. [22]): свободное произведение двух ЬЕИЕ-групп с конечной объединенной подгруппой является ЬЕЯГ-группой.

Приведем теперь несколько результатов, касающихся аппроксимацион-ных свойств обобщенных свободных произведений групп, полученных при дополнительном предположении о цикличности объединенной подгруппы. Существуют примеры, показывающие, что свободное произведение финитно аппроксимируемых групп с циклической объединенной подгруппой не всегда финитно аппроксимируемо. Однако Баумслаг [23] показал, что если А и В являются конечно порожденными нильпотентными группами, а объединенная подгруппа Я циклическая, то группа С? финитно аппроксимируема. Позже этот результат был обобщен Д. Дайер [25] на случай, когда А и В — полициклические группы.

Выше говорилось, что понятие разрешимой группы конечного ранга является обобщением понятия полициклической группы. Другим обобщением этого понятия служит понятие конечно порожденной группы конечного ранга. В работе Д. Н. Азарова [10] исследуется финитная аппроксимируемость обобщенных свободных произведений конечно порожденных групп конечного ранга. Результаты этой работы будут сформулированы ниже, и они тесно связаны со следующим результатом, доказанным М. Ширвани [39]. Если группы А и В удовлетворяют нетривиальному тождеству, Я^АиЯ^В, то необхо-

димым условием финитной аппроксимируемости группы (? является финитная отделимость подгруппы Я в группах А и В, В [37] доказано, что все конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы конечного ранга являются конечными расширениями разрешимых групп и, следовательно, удовлетворяют нетривиальному тождеству. Поэтому если А и В являются конечно порожденными группами конечного ранга, Н ^ А и Я ^ В, то необходимым условием финитной аппроксимируемости группы (? является финитная отделимость подгруппы Я в группах А и В. С другой стороны, в работе [10] приводится пример, показывающий, что свободное произведение двух конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп конечного ранга с финитно отделимой объединенной подгруппой не обязано быть финитно аппроксимируемой группой. Тем не менее, там же доказывается, что если А и В — финитно аппроксимируемые конечно порожденные группы конечного ранга, а подгруппа Я циклическая, то ее финитная отделимость в группах АъВ является и достаточным условием финитной аппроксимируемости группы С. Частным случаем этого результата является упоминавшееся выше утверждение Дайер о финитной аппроксимируемости свободного произведения полициклических групп с циклической объединенной подгруппой.

Критерий ^-аппроксимируемости свободного произведения конечно порожденных нильпотентных групп с циклической объединенной подгруппой был получен в работе [6].

В предположении, что А и В — свободные группы, а объединенная подгруппа Я циклична, в [23] доказывается, что группа О финитно аппроксимируема. Более того, группа (? в этом случае является еще и ЪЕКГ-группой (см. [24]). Однако быть ^-аппроксимируемой она уже не обязана. Достаточное условие ^-аппроксимируемости такого свободного произведения было получено в работе [26]. Критерий ^-аппроксимируемости свободного произведения свободных групп с циклической объединенной подгруппой был получен независимо в статьях [2] и [34].

В работе [32] рассмотрена ситуация, когда группы А и В ^-аппроксимируемы, а подгруппа Я циклична. Показано, что в случае, когда Я конечна, группа С .^-аппроксимируема. Также здесь доказывается, что в случае бесконечной Я для ^-аппроксимируемости группы О достаточно, чтобы подгруппа Я была ^-отделимой в группах А и В.

Рассмотрим теперь случай, когда объединенная подгруппа Я имеет в группах А и В конечный индекс. Если А и В — полициклические группы, то группа (3 может и не быть финитно аппроксимируемой. Демонстрирующий это пример можно найти в [10]. Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух полициклических групп с объединенной подгруппой конечного индекса был получен в работе Д. Н. Азарова [8]. Там же доказано, что для такого свободного произведения условие финитной аппроксимируемости равносильно условию почти ^-аппроксимируемости для всех простых р. Далее в работе [10] эти результаты были распространены на случай, когда свободные сомножители являются конечно порожденными финитно аппроксимируемыми группами конечного ранга.

Еще одним естественным ограничением, накладываемым на подгруппу Я, является ее нормальность в группах Л и Я. В [22] было доказано, что если группы А и В являются полициклическими, а подгруппа Я нормальна в группах А и Я, то О является ЬЕЯР-группой. В качестве частного случая этого утверждения можно рассматривать полученный ранее результат Баумслага. В [23] он доказал, что свободное произведение двух полициклических групп с нормальной объединенной подгруппой финитно аппроксимируемо. Рассматривая более общий случай, когда группы А и В являются конечно порожденными финитно аппроксимируемыми группами конечного ранга, и предполагая, что А ^ Я ф Я, Д. Н. А