О нильпотентной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванова Елена Александровна

О НИЛЬПОТЕНТНОЙ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 01.01 06 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Ярославль - 2004

Работа выполнена в Ивановском государственном университете

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, профессор Молдаванский Давид Ионович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шмелькин Альфред Львович

кандидат физико-математических наук, доцент Шалашов Виктор Константинович

Ведущая организация

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Защита состоится 15 октября 2004 года в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.002.06 при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Автореферат разослан

« Ь » бШЛХ^ь)

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Яблокова С. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В данной диссертационной работе рассматриваются условия аппроксимируемости в классе N всех нильпо-тентных групп и в его подклассе Тр всех конечных р-групп обобщенного свободного произведения групп, т. е. свободного произведения групп с объединенными подгруппами.

Напомним, что если К. — некоторый класс групп, то группу О называют аппроксимируемой группами из класса К, (или, короче, К.-аппроксимируемой), если для любого неединичного элемента д группы С существует гомоморфизм этой группы на некоторую группу X из класса (или, короче, -группу), при котором образ элемента д отличен от единицы.

Изучение /¿-аппроксимируемости и ряда других аппроксимацион-ных свойств группы является одним из заметных направлений современной комбинаторной теории групп. Наиболее изученным и хронологически первым здесь является свойство финитной аппроксимируемости, т. е. аппроксимируемости в классе Т всех конечных групп. Первым результатом об аппроксимируемости нильпотентными группами следует, по-видимому, считать известную теорему Магнуса [17], согласно которой произвольная свободная группа является ^/--аппроксимируемой, -аппроксимируемость (обычного) свободного произведения групп изучалась А. И. Мальцевым в работе [5], где были получены необходимые, а также достаточные условия для того, чтобы свободное произведение -аппроксимируемых групп являлось -аппроксимируемой группой. Доказано при этом, что в случае, когда все свободные множители являются нильпотентными группами, найденные в этой работе необходимые условия оказываются и достаточными.

В работах, посвященных аппроксимационным свойствам обобщенных свободных произведений и других свободных конструкций групп (таких, как древесное произведение, ЯТУЛГ-расширение), а также групп, строение которых описывается с помощью свободных конструкций (например, групп с одним определяющим соотношением), в качестве аппроксимационного класса рассматривался, в основном, класс всех конечных групп. Следует отметить, что подавляющее большинство принадлежащих различным авторам результатов о финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений получено с использованием идей, предложенных Г. Баумслагом в работе [6], где доказано, что обобщенное свободное произведение двух конечных групп является финитно аппроксимируемой группой, и на основе этого результата сформулировано достаточное условие финитной аппроксими-

руемости обобщенного свободного произведения произвольных групп.

Из результатов, относящихся к аппроксимируемости свободных конструкций групп нильпотентными группами, отметим, прежде всего, достаточные условия Л/'-аппроксимируемости свободного произведения двух свободных групп с объединенными циклическими подгруппами, полученные в работах Г. Баумслага [7] и Д. Н. Азарова [1]. и-аппроксимируемость фундаментальной группы графа групп рассматривалась в работе Д. Варсоса [23], где, в частности, получены необходимые и достаточные условия -аппроксимируемости фундаментальной группы связного графа конечных групп. Критерий .ЛЛаппроксимируе-мости Ш\1У-расширения конечной группы получен в статье Е. Раптиса и Д. Варсоса [20]. Характеризация .Л/'-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром, дана в работе Маккарона [18]. В большинстве же работ, посвягцен-ных -аппроксимируемости свободных конструкций групп, речь идет об аппроксимируемости в классе конечных р-групп, и здесь центральным результатом, несомненно, является теорема Г. Хигмана [11], содержащая критерий ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп (в отличие от свойства финитной аппроксимируемости обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп может не быть -аппроксимируемой группой). Используя этот критерий, Ким и Маккаррон [13] показали, что свободное произведение двух ^-аппроксимируемых групп с объединенными конечными циклическими подгруппами является ^-аппроксимируемой группой, а Е. Д. Логинова [4] сформулировала достаточное условие .Т^-аппрок-симируемости обобщенного свободного произведения двух групп, аналогичное вышеупомянутому условию Г. Баумслага. Укажем, наконец, без конкретных ссылок и формулировок на существование ряда результатов об ^-аппроксимируемости ШУГУ-расширений.

Более тонким, чем аппроксимируемость, является свойство аппроксимируемости группы относительно сопряженности.

Напомним, что группа С называется К-аппроксимируемойотно-

сительно сопряженности, если для любых элементов а и Ь этой группы, не сопряженных в ней, найдется гомоморфизм группы О на некоторую /С-группу X, образы элементов а и Ь относительно которого не сопряжены в X.

Очевидно, что произвольная группа, /С-аппроксимируемая относительно сопряженности, является /С-аппроксимируемой. Обратное утверждение, вообще говоря, не является справедливым, и решаемые здесь задачи обычно состоят в выделении среди групп, ^-аппроксимируемость которых уже известна, таких, которые являются и £-аппрок-

симируемыми относительно сопряженности. При этом оказывается, что для групп некоторых классов оба свойства выполняются или не выполняются одновременно. Так, К. Грюнберг [10] показал, что конечно порожденные нильпотентные группы ^"-аппроксимируемы, а затем Н. Блэкберн [8] установил их .^-аппроксимируемость относительно сопряженности. С другой стороны, известная теорема Ф. Холла утверждает финитную аппроксимируемость любой конечно порожденной ме-табелевой группы, но существует построенный М. И. Каргаполовым и Е. И. Тимошенко [2] пример конечно порожденной метабелевой группы, не являющейся ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Практически во всех работах, посвященных /С-аппроксимируемо-сти относительно сопряженности свободных конструкций групп, в качестве аппроксимационного класса также выступает класс всех конечных групп. Единственным известным автору результатом, относящимся к аппроксимируемости относительно сопряженности нильпотентны-ми группами, является утверждение о том, что произвольная свободная группа для любого простого числа р является ^-аппроксимируемой относительно сопряженности (см., напр., [3, предложение 4.8]).

Центральным результатом о финитной аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенных свободных произведений групп является, несомненно, теорема Дж. Дайер [9], утверждающая, что обобщенное свободное произведение двух конечных групп является группой, ^-аппроксимируемой относительно сопряженности. В той же работе доказана ^-аппроксимируемость относительно сопряженности обобщенного свободного произведения двух групп в случаях, когда сомножители ^-аппроксимируемы относительно сопряженности, а объединяемые подгруппы конечны, а также, когда оба сомножителя являются либо конечно порожденными нильпотентными группами, либо свободными группами, а объединяемые подгруппы — циклическими. В работах [12] и [14] приводятся достаточные условия ^-аппроксимиру-емости относительно сопряженности обобщенного свободного произведения групп с циклическим объединением. Случай центральных объединяемых подгрупп изучался в [16]. Условия ^"-аппроксимируемости относительно сопряженности древесного произведения групп с циклическими объединениями рассматривались в [15] и [21].

Цель диссертационной работы состояла в нахождении условий аппроксимируемости обобщенного свободного произведения групп в классе нильпотентных групп и аппроксимируемости его относительно сопряженности в классе конечных р-групп.

Научная новизна результатов. Все представленные в работе

результаты являются новыми. Получено необходимое условие аппроксимируемости нильпотентными группами обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп и показано, что при некоторых дополнительных предположениях о свободных множителях и объединяемых подгруппах это условие является и достаточным. Дана характе-ризация конечно порожденных нильпотентных групп, аппроксимируемых относительно сопряженности конечными р-группами. Доказано, что обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп тогда и только тогда является группой, аппроксимируемой относительно сопряженности в классе конечных р-групп, когда оно аппроксимируемо в этом классе.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены соискателем самостоятельно.

Методы исследования. В работе используются стандартные методы комбинаторной теории групп, связанные с конструкцией обобщенного свободного произведения. В частности, применялась и развивалась методика изучения аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп, предложенная Г. Баумслагом.

Теоретическое и практическое значение работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы их доказательства могут найти дальнейшее применение в исследованиях в данной области.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре Ивановского государственного университета (2000-2004 г.г.), на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2000 г.), на Международной научной конференции студентоз, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-ХХ1 веку"(ИвГУ, 2001 г.), на Научных конференциях фестиваля студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука в классическом университете"(ИвГУ, 2002-2004 г.г.), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, ТГПУ, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [24-34].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми параграфов, объединенных в две главы, и списка литературы, содержащего 40 наименований. Работа выполнена с использованием пакета Дд^^ТЁХ. Общий объем диссертации — 92 страницы.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе работы изучаются условия //-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения групп. В случае, когда свободные множители являются нильпотентными группами, имеет место следующее необходимое условие /^-аппроксимируемости:

Теорема 1. Пусть Н и К — произвольные нильпотснтные группы с подгруппами А^НиВ^Ки пусть <р : А —> В — изоморфизм группы А на группу В. Предположим также, что А ф Н и В ф К. Если свободное произведение б = (Н * К\ А' = В, <р) групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом ¡р, является N-аппроксимируемой группой, то существует простое число р такое, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Ни К соответственно.

Напомним, что если р — простое число, подгруппа А некоторой группы Н называется р-изолированной в группе Н, если для любого элемента Л 6 Я из того, что Лр € А следует, что Л € А. Подгруппа А называется р'-изолированной в Н1 если она g-изoлиpoвaнa в Н для всех простых чисел цфр.

Следует отметить, что предположение о нильпотентности групп Н и К в формулировке теоремы 1 опустить нельзя. Об этом говорит, например, следующий результат: если группы Н и К являются свободными, а подгруппы А и В циклическими, причем А является максимальной циклической в Я, то группа й = (Н * К] А = В, <р) //"-аппроксимируема (доказано Г. Баумслагом [7] в предположении цикличности группы К и в общем случае — Д. Н. Азаровым [1]).

Понятно также, что доставляемое теоремой 1 необходимое условие //"-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения нильпо-тентных групп не является достаточным. Действительно, как заметил Г. Хигман [11], обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является -аппроксимируемой группой в точности тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами. Поскольку в любой конечной р-группе произвольная подгруппа является, очевидно, р'-изолированной, справедливость высказанного утверждения следует из существования не -аппроксимируемого обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп.

Легко видеть, что всякая конечная подгруппа //-аппроксимируемой группы должна быть нильпотентной. В частности, если обобщенное свободное произведение двух конечных групп является //"-аппроксимируемой группой, то оба свободных множителя должны быть нильпотентными группами. При выполнении этого условия критерий

аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных групп формулируется следующим образом:

Теорема 2. Пусть Н и К — конечные нильпотентные группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно, причем А ф Н и В ф К, И (р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Группа в = {Н * К', А = В, у?) Н-аппроксимируема тогда и только тогда, когда для некоторого простого делителя р порядков групп Ни К выполнены следующие два условия:

(1) подгруппы А и В -изолированы в группах Н и К соответственно;

(2) подгруппа 0{р) группы О, порожденная силовскими р-подгруп-пами групп Ни К соответственно, является Т? -аппроксимируемой группой.

В действительности эта теорема является частным случаем теоремы б из работы Д. Варсоса [23]; в данной работе она получена как следствие более общей теоремы 4, формулировка которой будет приведена несколько ниже.

Упоминавшийся выше критерий А. И. Мальцева [5] ЛГ-аппроксими-руемости свободного произведения нильпотентных групп при дополнительном предположении о конечной порожденности свободных множителей может быть сформулирован следующим образом: свободное произведение Н * К неединичных конечно порожденных нильпотентных групп Н и К является .ЛГ-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются ]р-группами. Отсюда и из результатов К. Грюнберга [10] следует, что (обычное) свободное произведение двух неединичных конечно порожденных нильпотентных групп является аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда эта группа аппроксимируема для некоторого простого числа р. Обобщением этого утверждения, а также приведенного выше замечания Г. Хигмана является

Теорема 3. Пусть Ни К — конечно порожденные нильпотентные группы, А и В — конечные подгруппы групп Ни К соответственно и <р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Если для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами, то группа £? = (Н * К] А = В, у>) N -аппроксимируема тогда и только тогда, когда она -аппроксимируема.

С другой стороны, критерий, доставляемый теоремой 2, позволяет привести простой пример обобщенного свободного произведения

двух конечных абелевых групп, являющегося группой, Л/"-аппрокси-мируемой, но не ^-аппроксимируемой ни для какого простого р.

Для формулировки упомянутого выше обобщения теоремы 2 необходимо ввести некоторые обозначения. Если X — произвольная конечно порожденная нильпотентная группа, для любого простого числа р символом будет обозначаться подгруппа группы Х порождаемая всеми силовскими д-подгруппами периодической части т(Х) группы

— обобщенное свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К, то обозначает фактор-группу группы О по нормальному замыканию объединения подгрупп

Я(р) и КМ (являющуюся, в свою очередь, обобщенным свободным произведением фактор-групп Н/Н^ и К/К^).

Теорема 4. Пусть Ни К — конечно порожденные нильпотент-ные группы, А и В — конечные подгруппы групп Н и К соответственно, причем А/йиВ ф К, и (р — некоторый изоморфизм группы А на группу В.

Если группа (7 = (Н * К\ А — В, ЛГ-аппроксимируема, то существует такое простое числор, что подгруппы АиВ р? -изолированы в группах Н и К соответственно и группа С?р является Тр -аппроксимируемой.

Обратно, пусть существует такое простое числор, что подгруппы А и В $-изолированы в группах Н и К соответственно, и пусть для любого простого делителя д порядка группы т(Н) или для любого простого делителя д порядка группы т(К) группа (7, Тч -аппроксимируема. Тогда группа G является М -аппроксимируемой.

Легко видеть, однако, что в том случае, когда подгруппы А и В совпадают с периодическими частями групп Н и К соответственно, для любого простого числа р, взаимно простого с порядком подгруппы Л, подгруппы А и В оказываются р'-изолированными в группах Н и К, а группа С?р — .^-аппроксимируемой. Поэтому построенный в работе пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с объединенными периодическими частями, не являющегося ./^-аппроксимируемой группой, показывает, что необходимое условие -аппроксимируемости из теоремы 4 не является достаточным.

Вопрос о том, является ли доставляемое теоремой 4 достаточное условие -аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами и необходимым, остается открытым.

Как уже отмечалось, теорема 2 вытекает из теоремы 4. Можно показать также, что и утверждение теоремы 3 (используемой в доказательстве теоремы 4) в случае, когда хотя бы одна из объединяемых подгрупп отлична от периодической части соответствующего свободного множителя, выводимо из теоремы 4.

Выше было отмечено, что обращение утверждения теоремы 1 в общем случае не является справедливым. Тем не менее, имеет место

Теорема 5. Пусть Н и К — конечно порожденные абелевы группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно, причем Аф Н и В ф К, И <р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Свободное произведение (? = (Н * К] А = В, <р) групп Ни К с объединенными подгруппами А и В является Л/-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда существует такое простое число р, что подгруппы А и В тр/-изолированы в группах Ни К соответственно.

Отметим, что в доказательстве этой теоремы используется достаточное условие Л/'-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух групп, формулируемое на основе теоремы 2 и аналогичное упоминавшимся выше достаточным условиям ^-аппроксимируемости Г. Баумслага [6] и ^-аппроксимируемости Е. Д. Логиновой [4].

Отметим также, что равносильность для свободного произведения С = (Н * К\ А = В, <р) групп Н и К с собственными объединяемыми подгруппами А и В свойства ЛЛаппроксимируемости и условия р'-изолированности подгрупп А и В для некоторого простого числа р имеет место и в следующих двух случаях:

группы Н и К являются конечно порожденными нильпотентны-ми, а подгруппы Аи В — циклическими (теорема 7);

группы Н и К являются конечно порожденными нильпотентными группами без кручения, а А и В — центральными подгруппами групп Ни К соответственно (следствие из нижеследующей теоремы 6).

Теорема 6. Пусть Ни К — конечно порожденные нильпотент-ные группы, А и В — подгруппы групп Ни К соответственно и у? — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть для некоторого простого числа р подгруппы А и В являются р*-изолированными в группах Ни К соответственно. Предположим также, что выполнено одно из следующих условий:

а) А и В — бесконечные циклические группы;

б) группы Н и К не имеют $ -кручения, а А и В являются центральными подгруппами групп Н и К соответственно.

Тогда группа С — (Н*К; А = В, (р) является Тр -аппроксимируемой.

Оказывается, что в условиях теоремы 6 и при отсутствии кручения в группах Я и К к приведенному выше утверждению о равносильности двух свойств группы G можно добавить третье:

Следствие. Пусть Н и К — конечно порожденные нильпотент-ные группы без кручения, А и В — собственные циклические или центральные подгруппы групп Ни К и (р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Тогда следующие утверждения равносильны:

(1) группа (7 = (Н *К\ А — В, у») является Л/" -аппроксимируемой группой;

(2) существует такое простое число р, что подгруппы А и В являются р*-изолированными в группах Н и К соответственно;

(3) существует такое простое число р, что группа О является аппроксимируемой группой.

Во второй главе диссертации рассматривается свойство аппроксимируемости группы относительно сопряженности.

В связи с теоремой Дж. Дайер [9], утверждающей, что обобщенное свободное произведение двух конечных групп является группой, -аппроксимируемой относительно сопряженности, естественно возникает вопрос о существовании примера обобщенного свободного произведения, являющегося ^"-аппроксимируемой группой, но не являющегося группой, ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности. В публикациях, доступных автору работы, такого примера обнаружить не удалось, и здесь построены такие группы Я и К с подгруппами А^НиВ^.Ки изоморфизмом <р : А -+ В, что группы Я и К ^"-аппроксимируемы относительно сопряженности, а свободное произведение <3 = (Н * К; А = В, <р) групп II и К с подгруппами А и Я, объединенными в соответствии с изоморфизмом <р, является Т-аппроксимируемой группой, но не является группой, аппроксимируемой относительно сопряженности.

Остальные результаты второй главы диссертации относятся к условиям ^-аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенных свободных произведений групп. Единственным исключением, где речь не идет об обобщенном свободном произведении, является следующий результат, показывающий, насколько более сильным ограничением на группу, чем .^-аппроксимируемость, является свойство Рр-аппроксимируемости относительно сопряженности.

Напомним, что согласно [10] конечно порожденная нильпотентная группа .Т-р-аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть является -группой. С другой стороны, имеет место

Теорема 8. Конечно порожденная нильпотентнал группа (7 аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда ее периодическаячасть т((7) являетсяр-группой, а фактор-группа С/т(С1) абелева.

В изложении дальнейших результатов будет удобно пользоваться следующим понятием. Элемент д некоторой группы О назовем сопряженно К-отделимым (или, короче, С к,-отделимым), если для любого элемента о этой группы, не сопряженного с элементом д, найдется гомоморфизм <р группы G на некоторую /С-группу X такой, что в группе X элемент сир не сопряжен с элементом д<р. Очевидно, что группа О является /С-аппроксимируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый элемент этой группы С/с- отделим.

Доказательство упомянутой выше теоремы Дж. Дайер об ^аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенного свободного произведения двух конечных групп проводилось ею по следующей схеме. П. Стиб [22] показал, что если группа G является конечным расширением свободной группы, то произвольный элемент бесконечного порядка группы G является С^-отделимым. Распространив это утверждение и на элементы конечного порядка, Дж. Дайер доказала тем самым, что конечное расширение свободной группы является группой, ^-аппроксимируемой относительно сопряженности. Это влечет, в частности, требуемый результат, поскольку, как заметил Б. Нейман [19], обобщенное свободное произведение двух конечных групп является почти свободной группой.

В диссертации по той же схеме и с использованием идей и некоторых результатов работы Дайер доказывается (в теореме 12), что если обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является Лу-аппроксимируемой группой, то оно является и группой, ^-аппроксимируемой относительно сопряженности. А именно, сначала установлен следующий аналог теоремы Стиба:

Теорема 9. Если группа G является расширением свободной группы при помощи конечной р-группы, то в группе О каждый элемент бесконечного порядка Суг-отделим.

Оказалось, что уже с помощью лишь теоремы 9 и с использованием конструкции обобщенного прямого произведения групп можно получить простое доказательство следующего утверждения:

Теорема 10. Свободное произведение С? Тр -аппроксимируемых относительно сопряженности групп Ни К с объединенными конечны-

ми центральными подгруппами А и В является группой, Тр-аппрокси-мируемой относительно сопряженности.

Обобщением упомянутого выше утверждения об -аппроксимируемости относительно сопряженности произвольной свободной группы (при любом простом р) является вытекающее из теоремы 10

Следствие. Свободное произведение произвольного семейства групп, Тр-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, Тр-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Далее в работе устанавливается справедливость соответствующего аналога теоремы Дайер:

Теорема 11. Любое расширение свободной группы при помощи конечной р-группы является группой, Тр-аппроксимируемойотносите-льно сопряженности.

Хорошо известно (и легко показать, используя известные свойства обобщенного свободного произведения групп), что обобщенное свободное произведение О двух конечных р-групп является ^-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда О есть расширение некоторой свободной группы при помощи конечной р-группы. Поэтому приведенная выше теорема 12 является непосредственным следствием теоремы 11.

Теорема 12 может быть применена в доказательстве нижеследующих результатов, которые, впрочем, могут быть выведены непосредственно из теоремы 10. Обобщением теоремы 10 является

Теорема 13. Пусть группы Н И К Тр-аппроксимируемы относительно сопряженности, А и В — центральные подгруппы групп Н и К соответственно, причем группы Аи В и все их подгруппы конечного р-индекса отделимы конечными р-группами в группах Н и К соответственно, и <р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Тогда группа в = {Н * К\ А = В, Тр-аппроксимируема относительно сопряженности.

(Напомним, что подмножество М группы О называется отделимым в классе групп К, если для любого элемента д 6 (7, не лежащего в К, существует гомоморфизм ^группы О на некоторую /¿группу X такой, что образ д<р элемента д не принадлежит образу М<р множества М.)

Частным случаем теоремы 13 является

Теорема 14. Пусть Я и К— конечно порожденные нильпотент-ные группы, Тр-аппроксимируемые относительно сопряженности, А и В — р*-изолированные центральные подгруппы групп Ни К соответственно и <р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Тогда группа (? = [Н * К\ А = В, <р) Тр-аппроксимируема относительно сопряженности.

Следующее утверждение можно рассматривать как продолжение теоремы 5.

Теорема 15. Пусть Н и К — конечно порожденные абелевы группы, А и В — собственные подгруппы групп Ни К соответственно и ¡р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Если группы Н и К Тр-аппроксимируемы (т. е. их периодические части являются р-группами), то следующие утверждения равносильны:

(1) подгруппы А И В $-изолированы в группах Н и К соответственно;

(2) группа С = {Н * К', А — В, <р) Тр-аппроксимируема относи-тельносопряженности;

(3) группа в Тр- -аппроксимируема.

Из теоремы 15 получается следующее усиление приведенного выше следствия теоремы 6 в случае, когда свободные множители являются абелевыми группами:

Следствие. Пусть Н и К — конечно порожденные свободные абелевы группы, А и В — собственные подгруппы групп Н и К соответственно икр — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Следующие утверждения равносильны:

(1) группа в — (Н * К\ А = В, <р) N -аппроксимируема;

(2) для некоторого простого числар подгруппы А И В $-изолированы в группах Н и К соответственно;

(3) для некоторого простого числар группа £* Тр- -аппроксимируема относительносопряженности;

(4) для некоторого простого числар группа (? Тр-аппроксимируема.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азаров Д. Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений свободных групп с циклическим объединением // Мат. заметки. - 1998. - Т. 64, № 1. - С. 3 - 8.

2. Каргаполов М. И., Тимошенко Е. И. К вопросу о финитной аппроксимируемости относительно сопряженности метабелевых групп // IV-ый Всесоюзный симпозиум по теории групп (Новосибирск, 5-9 февраля 1973 г.). Тезисы докладов. - Новосибирск, 1973. -С. 86 - 88.

3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. - М.: Мир, 1980. - 448 с.

4. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами / / Сибирск. матем. ж. - 1999. - Т. 40, № 2. - С. 395 - 407.

5. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. - 1949. - Т. 25. - С. 347 - 366.

6. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. - 1963. - V. 106, № 2. - P. 193 - 209.

7. Baumslag G. On the residual nilpotence of certain one-relator groups // Comm. Pure. Appl. Math. - 1968. - V. 21, № 5. - P. 491 - 506.

8. Blackburn N. Conjugacy in nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1965. - V. 16, № 1. - P. 143 - 148.

9. Dyer J. L. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extensions // J. Aust. Math. Soc. - 1980. - V. 29, № 1. -P. 35 - 51.

10. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. Lond. Math. Soc. (3). - 1957. - V. 7. - P. 29 - 62.

11. Higman G. Amalgams of p-groups //J. Algebra. - 1964. - V. 1. -P. 301 - 305.

12. Kim G. Conjugacy separability of certain free product amalgamating retracts // Bull. Korean Math. Soc. - 2000. - V. 37, № 4. -P. 811 - 827.

13. Kim G., McCarron J. On amalgamated free products of residually p-finite groups // J. Algebra. - 1993. - V. 162, № 1. - P. 1 - 11.

14. Kim G., McCarron J., Tang C. Y. On generalised free products of conjugacy separable groups //J. Algebra. - 1996. - V. 180, № 1 . -P. 121 - 135.

15. Kim G., Tang С. У. A criterion for the conjugacy separability of amalgamated free products of conjugacy separable groups // J. Algebra.

- 1996. - V. 184, № 3. - P. 1052 - 1072.

16. Kim G., Tang С Y. Separability properties of certain tree products of groups // J. Algebra. - 2002. - V. 251, № 1. - P. 323 - 349.

17. Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und idealen in einem speziellen Ring // Math. Ann. - 1935. - V. 111. - P. 259 - 280.

18. McCarron J. Residually nilpotent one-relator groups with nontrivial centre // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - V. 124, № 1. - P. 1 - 5.

19. Neumann В. Н. An assay on free products of groups with amalgamations // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. - 1954. - V. 246. -P. 503 - 554.

20. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f.g. abelian group //J. Pure Appl. Algebra.

- 1991. - V. 76, № 2. - P. 167 - 178.

21. Ribes L.} Segal £>., Zalesskii P. A. Conjugacy separability and free products of groups with cyclic amalgamation // J. Lond. Math. Soc. (2) - 1998. - V. 57, № 3. - P. 609 - 628.

22. Stebe P. F. A residual property of certain groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. - V. 26, № 1. - P. 37 - 42.

23. Varsos D. The residual nilpotence of the fundamental group of certain graphs of groups // Houston. J. Math. - 1996. - V. 22, № 2. -P. 233 - 248.

Публикации автора по теме диссертации

24. Иванова Е. А. Аппроксимируемость нильпотентными группами свободного произведения двух нильпотентных групп с объединенной подгруппой // Ивановский государственный университет 25 лет: Юбилейный сборник тезисов статей молодых ученых - Иваново, 1998. - С. 118 - 119.

25. Азаров Д. Я., Иванова Е. А. К вопросу о нильпотентной аппроксимируемости свободного произведения с объединением локально нильпотентных групп // Научные труды ИвГУ. Математика. -Иваново, 1999. - Вып. 2. - С. 5 - 7.

26. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости нильпотентными группами свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой // Вестник молодых ученых ИвГУ. - Иваново, 2002. - Вып. 2. -С. 3 - 7.

27. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости нильпотентными группами свободного произведения с объединенной подгруппой двух абе-левых групп // Чебышевский сборник. - Тула, 2002. - Т. 3, вып. 1(3). - С. 72 - 77.

28. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости относительно сопряженности свободных произведений групп с объединенной подгруппой // Молодая наука в классическом университете: Тез. докл. науч. конф. (Иваново, 15-19 апреля 2002 г.). - Иваново, 2002. - С. 79.

29. Иванова Е. А. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами свободных произведений с объединенной подгруппой // Материалы международной молодежной научной школы-конференции (Казань, 28 ноября - 1 декабря 2002 г.). -Казань: Казанское математическое общество, 2002. - С. 35 - 36.

30. Азаров Д. Я., Иванова Е. А. О финитной аппроксимируемости относительно сопряженности свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. // Научные труды Ивановского государственного университета. Математика. - Иваново, 2002. -Вып. 5. - С. 3 - 5.

31. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости нильпотентными группами свободного произведения двух нильпотентных групп с объединенной конечной подгруппой // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. V Междунар. конф. (Тула, 19-24 мая 2003 г.). - Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003.

- С. 121 - 122.

32. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости относительно сопряженности в классе конечных р-групп обобщенных свободных произведений групп // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: ИвГУ - 2004: Матер, науч. конф. (Иваново, 3-5 февраля 2004 г.). - Иваново, 2004. - С. 5 - 6.

33. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости относительно сопряженности конечными р-группами обобщенных свободных произведений групп // Молодая наука в классическом университете: Тез. докл. науч. конф. (Иваново, 20-23 апреля 2004 г.). - Иваново, 2004. -С. 72 - 73.

34. Ivanovo. E. A. On the conjugacy separability in the class of finite p-groups of finitely generated nilpotent groups // math.GR/0408393.

- 4 p. - http: //andv.org

ИВАНОВА Елена Александровна

О НИЛЫ1ОТЕНТНОЙ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 6.09 2004. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать плоская. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз.

Издательство «Ивановский государственный университет» 153025 Иваново, ул. Ермака, 39 Тел.:(0932)35-63-81 E-mail: 1472@mail.ru

Введение

ГЛАВА I. Аппроксимируемость нильпотентны-ми группами обобщенного свободного произведения групп

§ 1. Предварительные замечания

§ 2. Необходимое условие нильпотентной аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп

§3. Нильпотентная аппроксимируемость обобщенного свободного произведения нильпотентных групп с конечным объединением

§4. Нильпотентная аппроксимируемость обобщенного свободного произведения конечно порожденных абелевых групп

§ 5. Аппроксимируемость конечными р-группами обобщенного свободного произведения нильпотентных групп

ГЛАВА II. Аппроксимируемость относительно сопряженности обобщенного свободного произведения групп

§ 1. Предварительные замечания. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами конечно порожденных нильпотентных групп

§ 2. Сопряженная отделимость в классе конечных ргрупп элементов бесконечного порядка

§ 3. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами обобщенного свободного произведения

Пусть /С — некоторый класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируема группами из класса К (или, короче, /С-аппроксимиру-ема), если для любого неединичного элемента д группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую группу X из класса /С (или, короче, /С-группу), при котором образ элемента д отличен от единицы.

Изучение /С-аппроксимируемости и ряда других аппроксимаци-онных свойств группы является одним из заметных направлений современной комбинаторной теории групп. Наиболее изученным и хронологически первым здесь является свойство финитной аппроксимируемости, т. е. аппроксимируемости в классе Т всех конечных групп. В данной диссертационной работе применительно к конструкции обобщенного свободного произведения групп, т. е. свободного произведения групп с объединенными подгруппами, рассматривается свойство аппроксимируемости в классе М всех нильпотентных групп и в его подклассе Тр всех конечных р-групп.

Первым результатом об А^-аппроксимируемости групп является, по-видимому, известная теорема Магнуса [23], согласно которой произвольная свободная группа является Л/*-аппроксимируемой. ЛЛ-аппроксимируемость обычного свободного произведения групп изучалась А. И. Мальцевым в работе [9], где были получены необходимые, а также достаточные условия для того, чтобы свободное произведение ЛЛаппроксимируемых групп являлось Л/"-аппроксимируемой группой. Доказано при этом, что найденные необходимые условия оказываются и достаточными, если все свободные множители являются нильпотентными группами; соответствующий критерий при дополнительном предположении о конечной порожденности перемножаемых групп допускает следующую равносильную формулировку:

Свободное произведение Н * К неединичных конечно порожденных нильпотентных групп Н и К является N-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами.

В работах, посвященных аппроксимационным свойствам обобщенных свободных произведений и других свободных конструкций групп (таких, как древесное произведение, ДТУ-ЛГ-расширение), а также групп, строение которых описывается с помощью свободных конструкций (например, групп с одним определяющим соотношением), в качестве аппроксимационного класса рассматривался, в основном, класс всех конечных групп. Достаточные условия Л/*-аппроксимиру-емости свободного произведения двух свободных групп с объединенными циклическими подгруппами получены в работах Г. Баумслага [14] и Д. Н. Азарова [1]. В работе Д. Варсоса [29] рассматривалась АЛ-аппроксимируемость фундаментальной группы графа групп. Критерий Л/"-аппроксимируемости HNTV-расширения конечной группы получен в статье Е. Раптиса и Д. Варсоса [26]. Характеризация TV-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром, дана в работе Маккарона [24]. В большинстве же работ по данной тематике речь идет об аппроксимируемости в классе конечных р-групп, и здесь центральным результатом, несомненно, является теорема Г. Хигмана [20], содержащая критерий ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп.

Переходя к изложению основных результатов данной работы, приведем, прежде всего, необходимое условие ЛЛ-аппроксимируемос-ти обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп:

Теорема 1. Пусть Н и К — произвольные нильпотентные группы с подгруппами А^НиВ^Ки пусть (р : А В — изоморфизм группы А на группу В. Предположим также, что Аф Н иВфК. Если свободное произведение

G = (Н * К] А = В, tp) групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом <р, является N-аппроксимируемой группой, то существует простое число р такое, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно.

Напомним, что если р — простое число, то подгруппа А некоторой группы Н называется р-изолированной в группе Я, если для любого элемента h £ Н из того, что hp € А следует, что h € А. Подгруппа А называется //-изолированной в Н, если она g-изолирована в Н для всех простых чисел q ф р.

Предположение о нильпотентности групп Н и К в формулировке этой теоремы опустить нельзя, поскольку, например, известно, что если группы Н и К являются свободными, а подгруппы А и В циклическими, причем А является максимальной циклической в Н, то группа G = (Н * К] А = В, ip) ЛЛ-аппроксимируема (доказано Г. Ба-умслагом [14] в предположении цикличности группы К и обобщено Д. Н. Азаровым [1]).

Понятно также, что доставляемое теоремой 1 необходимое условие ЛЛ-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения нильпотентных групп не является достаточным. Действительно, как заметил Г. Хигман [20], обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является Л^-аппроксимируемой группой в точности тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами. Так как в любой конечной р-группе произвольная подгруппа является, очевидно, р'-изолированной, существование не ^-аппроксимируемого обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп свидетельствует о справедливости этого утверждения.

Тем не менее, в диссертации доказано, что Л/"-аппроксимируе-мость свободного произведения

G = (Н * К] А = В, ср) групп Н и К с собственными объединяемыми подгруппами А и В равносильна р'-изолированности подгрупп А и В для некоторого простого числа р в следующих случаях:

1) группы Н и К являются конечно порожденными абелевыми (теорема 5);

2) группы Н и К являются конечно порожденными нильпотент-ными группами без кручения, а А и В — центральными подгруппами групп Н и К соответственно (следствие из теоремы 6).

3) группы Н и К являются конечно порожденными нильпотент-ными, а подгруппы А и В циклическими (теорема 7);

Легко видеть, что всякая конечная подгруппа Л/"-аппроксимиру-емой группы должна быть нильпотентной. В частности, если обобщенное свободное произведение двух конечных групп является М-аппроксимируемой группой, то оба свободных множителя должны быть нильпотентными группами. При выполнении этого условия критерий .^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных групп формулируется следующим образом:

Теорема 2. Пусть Н и К — конечные нильпотентные группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно, причем Аф Н и В ф К, и ср — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть

G=(H*K; А = В, <р) свободное произведение групп Н и К с объединенными относительно изоморфизма ср подгруппами А и В. Группа G N-аппроксимируема тогда и только тогда, когда для некоторого простого делителя р порядков групп Н и К выполнены следующие два условия:

1) подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно;

2) подгруппа G(p) группы G, порожденная силовскими р-под-группами групп Н и К соответственно, является Тр-аппрок-симируемой группой.

В действительности, эта теорема является частным случаем теоремы 6 из работы Д. Варсоса [29], а также вытекает из доказываемой здесь более общей теоремы 4, формулировка которой будет приведена несколько ниже. Причина, по которой это утверждение выделено в отдельную теорему, состоит в следующем.

Г. Баумслаг в работе [13] предложил идею, с помощью которой получено подавляющее большинство известных результатов о финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп. В основе этой идеи лежит понятие совместимой пары нормальных подгрупп свободных множителей, а именно, если

G = (Н * К] А = В, (р) обобщенное свободное произведение групп Н и К, то совместимость нормальных подгрупп R ^ Н и S ^ К фактически означает, что фактор-группа Gr,s группы G по нормальному замыканию объединения подгрупп R и S является, в свою очередь, обобщенным свободным произведением фактор-групп H/R и K/S. Если теперь запас таких пар совместимых подгрупп R и S, что группа Grts заведомо является /С-аппроксимируемой, достаточно богат (в определенном смысле), то это будет гарантировать /С-аппроксимируемость группы G. Для реализации этой идеи необходим, очевидно, критерий /С-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения групп, принадлежащих некоторому классу. В случае финитной аппроксимируемости таким критерием служит доказанная Баумслагом [13] теорема, согласно которой обобщенное свободное произведение двух конечных групп является ^"-аппроксимируемой группой, а в случае Tv-аппроксимируемости — упоминавшаяся выше теорема Хигмана. В данной же работе эту роль играет теорема 2, и именно на этом пути получено доказательство теоремы 5, приведенной выше.

К. Грюнберг [19] показал, что конечно порожденная нильпотент-ная группа ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть является конечной р-группой. Им же доказано, что (обычное) свободное произведение ^-аппроксимируемых групп снова является ^,-аппроксимируемой группой. Отсюда и из приведенного выше критерия А. И. Мальцева jV-аппроксимируемости свободного произведения конечно порожденных нильпотентных групп следует, что (обычное) свободное произведение двух неединичных конечно порожденных нильпотентных групп является ЛА-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда эта группа JF^-аппроксимируема для некоторого простого числа р. Аналогичная связь свойств Л/*-аппроксимируемости и ^-аппроксимируемости имеет место и в ряде других случаев. Так, в работе Маккарона [24] показано, что произвольная группа, определяемая одним соотношением и обладающая нетривиальным центром, ЛЛ-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она .Fp-аппроксимируема для некоторого простого числа р. Об этом же говорится и в упомянутом выше замечании Г. Хигмана [20]: обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является ЛГ-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами. Последнее утверждение может быть распространено на произвольные конечно порожденные нильпотентные группы в следующем виде.

Теорема 3. Пусть G — (Н * К, А = В, <р) — свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К с объединенными конечными подгруппами А и В. Если для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами, то группа G N-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она ^-аппроксимируема.

Доказано также (следствие из теоремы 15), что обобщенное свободное произведение двух конечно порожденных свободных абелевых групп является Л/*-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами для некоторого простого р.

С другой стороны, критерий, доставляемый теоремой 2, позволяет привести простой пример обобщенного свободного произведения двух конечных абелевых групп, являющегося группой, АЛаппрокси-мируемой, но не JFp-аппроксимируемой ни для какого простого р.

Для формулировки упомянутого выше обобщения теоремы 2 необходимо ввести некоторые обозначения. Если X — произвольная конечно порожденная нильпотентная группа, для любого простого числа р символом будет обозначаться подгруппа группы X, порождаемая всеми силовскими g-подгруппами периодической части группы X, где q ф р. Если G = (Н * К) А = В, р} — обобщенное свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К, то Gp обозначает фактор-группу группы G по нормальному замыканию объединения подгрупп и (являющуюся обобщенным свободным произведением фактор-групп Н/Н^ и К/КЮ).

Теорема 4. Пусть G = (Н * К\ А = В, ср) — свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К с объединенными конечными подгруппами А и В, причем А ф Н и В ф К.

Если группа G N-аппроксимируема, то существует такое простое число р, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно и группа Gp является Тр-аппроксимируемой.

Обратно, пусть существует такое простое число р, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно, и пусть для любого простого делителя q порядка периодической части группы Н или для любого простого делителя q порядка периодической части группы К группа Gq ^-аппроксимируема. Тогда группа G является N-аппроксимируемой.

Таким образом, теорема 4 для обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами дает необходимое условие ЛЛ-аппрок-симируемости, а также — достаточное условие.

Легко видеть, однако, что в том случае, когда подгруппы А и В совпадают с периодическими частями групп Н и К соответственно, для любого простого числа р, взаимно простого с порядком подгруппы А, подгруппы А и В оказываются ^'-изолированными в группах Н и К, а группа Gp — ^-аппроксимируемой. Поэтому построенный в работе пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с объединенными периодическими частями, не являющегося ЛГ-аппроксимируемой группой, показывает, что необходимое условие Л/"-аппроксимируемости в теореме 4 не является достаточным.

Очевидно, с другой стороны, что если, скажем, подгруппа А не совпадает с периодической частью группы Н и является р'-изолиро-ванной, то число р является делителем порядка периодической части группы Н. С помощью этого замечания можно показать, что утверждение теоремы 3 в случае, когда хотя бы одна из объединяемых подгрупп отлична от периодической части соответствующего свободного множителя, выводимо из теоремы 4. Напомним также, что, как уже отмечалось, теорема 2 вытекает из теоремы 4.

Вопрос о том, является ли доставляемое теоремой 4 достаточное условие ЛЛаппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами и необходимым, остается открытым.

В результатах, перечисленных до сих пор, в основном речь шла об условиях ЛГ-аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами. В следующем утверждении без предположения о конечности объединяемых подгрупп даны достаточные условия для выполнения более сильного, чем ЛГ-аппроксимируемость, свойства аппроксимируемости конечными р-группами.

Теорема 6. Пусть Н и К — конечно порожденные нильпотент-ные группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно и <р некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть

G = (Н * К; А = В, (р) свободное произведение групп Н и К с объединенными относительно изоморфизма (р подгруппами А и В. Пусть для некоторого простого числа р подгруппы А и В являются р'-изолироваными в группах Н и К соответственно. Предположим также, что выполнено одно из следующих условий: а) А и В — бесконечные циклические группы; б) группы Н и К не имеют р'-кручения, а А и В являются центральными подгруппами групп Н и К соответственно.

Тогда группа G является Tv-аппроксимируемой.

Следует отметить, что в случае а) р'-кручение в группах Н и К также отсутствует, как и в любой группе, обладающей р'-изолирован-ной подгруппой без кручения.

Выше уже упоминалась теорема 7, согласно которой свободное произведение G = (Н * К] А — В, ip) конечно порожденных нильпо-тентных групп Н и К с объединенными циклическими подгруппами А и В (где А -ф Н и В ф К) является ^-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда существует такое простое число р, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно. В том случае, когда группы А и В бесконечные, это утверждение является следствием именно теоремы 6, а если А и В конечны, оно вытекает из теоремы 4.

Кроме того, в условиях теоремы б и при отсутствии кручения в группах Н и К к утверждению о равносильности этих двух свойств можно добавить третье:

Следствие. Пусть Н и К — конечно порожденные нильпотент-ные группы без кручения, А и В — собственные циклические или центральные подгруппы групп Н и К и <р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть

G= [Н*К- А = В, (р) свободное произведение групп Н и К с объединенными подгруппами А и В. Тогда следующие утверждения равносильны:

1) группа G является N-аппроксимируемой группой;

2) существует такое простое число р, что подгруппы А и В являются р'-изолироваными в группах Н и К соответственно;

3) существует такое простое число р, что группа G является Тр-аппроксимируемой группой.

Перечисленные результаты содержатся в первой главе диссертации. Во второй главе рассматривается аппроксимируемость групп относительно сопряженности.

Напомним, что если /С — некоторый класс групп, группа G называется /С-аппроксимируемой относительно сопряженности, если для любых элементов а и 6 этой группы, не сопряженных в ней, найдется гомоморфизм группы G на некоторую /С-группу X, образы элементов а и b относительно которого не сопряжены в X.

Очевидно, что произвольная группа, /С-аппроксимируемая относительно сопряженности, является /С-аппроксимируемой. Поскольку обратное утверждение, вообще говоря, не является справедливым, представляет интерес нахождение классов групп, /С-аппроксимируе-мость которых влечет их /С-аппроксимируемость относительно сопряженности. Так, К. Грюнберг [19] показал, что конечно порожденные нильпотентные группы ^-аппроксимируемы, а затем Н. Блэкберн [15] установил их ^"-аппроксимируемость относительно сопряженности. С другой стороны, известная теорема Ф. Холла утверждает финитную аппроксимируемость любой конечно порожденной метабелевой группы, но существует построенный М. И. Каргаполовым и Е. И. Тимошенко [4] пример конечно порожденной метабелевой группы, не являющейся ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Усиливая результат Г. Баумслага об JF-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных групп, Дж. Дайер [17] доказала, что обобщенное свободное произведение двух конечных групп является группой, ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности. В связи с этим возникает вопрос о существовании примера обобщенного свободного произведения, являющегося ^"-аппроксимируемой группой, но не являющегося группой, ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности. Такой пример приводится в работе.

Говоря более точно, в работе указаны такие группы Н и К с подгруппами А^НиВ^Ки изоморфизмом <р : А -> В, что имеют место следующие утверждения:

1) Группы Н и К ^"-аппроксимируемы относительно сопряженности.

2) Свободное произведение G = (Н * К] А = В, <р) групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом <р, является ^-аппроксимируемой группой.

3) Группа G не является ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Остальные результаты второй главы диссертации относятся к условиям .^-аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенных свободных произведений групп. Единственным исключением является следующий результат, показывающий, насколько более сильным ограничением на группу, чем ^-аппроксимируемость, является свойство ^-аппроксимируемости относительно сопряженности.

Действительно, напомним еще раз, что конечно порожденная нильпотентная группа ^,-аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть является р~группой. С другой стороны, имеет место

Теорема 8. Конечно порожденная нильпотентная группа G Tp-аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда ее периодическая часть r(G) является р-группой, а фактор-группа G/r(G) абелева.

Элемент g группы G назовем сопряженно К-отделимым (или, короче, Ск,-отделимым), если для любого элемента а этой группы, не сопряженного с элементом д, найдется гомоморфизм р группы G на некоторую /С-группу X такой, что в группе X элемент а<р не сопряжен с элементом gip. Очевидно, что группа G является /С-аппроксимируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый элемент этой группы С/с-отделим.

Доказательство упомянутой выше теоремы Дж. Дайер об ^"-аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенного свободного произведения двух конечных групп проводилось ею по следующей схеме. П. Стиб [28] показал, что если группа G является конечным расширением свободной группы, то произвольный элемент бесконечного порядка группы G является С^-отделимым. Распространив это утверждение и на элементы конечного порядка, Дайер доказала тем самым, что конечное расширение свободной группы является группой, ^-аппроксимируемой относительно сопряженности. Это влечет, в частности, требуемый результат, поскольку, как заметил Б. Нейман [25], обобщенное свободное произведение двух конечных групп является почти свободной группой.

В диссертации по той же схеме и с использованием идей и некоторых результатов работы Дайер доказано (теорема 12), что если обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является .^-аппроксимируемой группой, то оно является и группой, ^-аппроксимируемой относительно сопряженности. А именно, сначала установлен (в теореме 9) следующий аналог теоремы Стиба:

Если группа G является расширением свободной группы при помощи конечной р-группы, то в группе G каждый элемент бесконечного порядка С^-отделим.

Затем доказывается соответствующий аналог теоремы Дайер:

Теорема 11. Любое расширение свободной группы при помощи конечной р-группы является группой, Тр-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Ввиду теоремы 9 для доказательства теоремы 11 достаточно показать, что для любых двух элементов а и b группы G, имеющих конечный порядок и не сопряженных в G, существует гомоморфизм группы G на конечную р-группу, образы относительно которого элементов а и 6 не сопряжены. Доказательство этого является определенной модификацией доказательства Дайер, использующего тот известный факт, что произвольная почти свободная группа изоморфна фундаментальной группе некоторого графа групп, все вершинные группы которого конечны. Дайер свела общую ситуацию сначала к фундаментальной группе графа групп с двумя вершинами, а затем — к фундаментальной группе графа групп, у которого две вершины и не более двух ребер. Первая часть этого сведения проходит и в нашем случае, и этого для нас уже достаточно, поскольку система подгрупп примарной циклической группы линейно упорядочена по включению.

Теорема 12 является непосредственным следствием теоремы 11 в силу следующего простого замечания (см., напр., [10, лемма 2.1]):

Обобщенное свободное произведение G = (if * К] А = В, (р) конечных р-групп Н и К является Тр-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда G есть расширение некоторой свободной группы при помощи конечной р-группы.

Отметим, что с помощью этого замечания и с использованием конструкции обобщенного прямого произведения групп утверждение теоремы 12 при дополнительном предположении центральности объединяемых подгрупп может быть выведено уже из теоремы 9. С помощью этого ослабленного варианта теоремы 12 доказывается, что свободное произведение ^-аппроксимируемых относительно сопряженности групп Н и К с объединенными конечными центральными подгруппами А и В является группой, .^-аппроксимируемой относительно сопряженности (теорема 10). Отсюда, в свою очередь, следует, что (обычное) свободное произведение произвольного семейства групп, ^-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, ^-аппроксимируемой относительно сопряженности.

Теорема 10 допускает некоторое обобщение (теорема 13), где вместо конечности объединяемых подгрупп (при сохранении требования центральности) предполагается отделимость в классе конечных р-групп тех подгрупп свободных множителей, которые лежат в объединяемых подгруппах и имеют в них конечный р-индекс. Частным случаем теоремы 13 является

Теорема 14. Пусть

G=(H*K; А = В, ip) свободное произведение с объединенными подгруппами конечно порожденных нильпотентных групп Н и К, Tv-аппроксимируемых относительно сопряженности, причем А и В —р'-изолированные центральные подгруппы групп Н и К соответственно. Тогда группа G Тр-аппроксимируема относительно сопряженности.

Отсюда, в свою очередь, вытекает

Теорема 15. Пусть

G=(H*K; А = В, (р) свободное произведение с объединенными подгруппами конечно порожденных абелевых групп Н и К, причем А ф Н и В ф К. Если группы Н и К ^-аппроксимируемы (т. е. их периодические части являются р-группами), то следующие утверждения равносильны:

1) подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно: *

2) группа G Тр-аппроксимируема относительно сопряженности;

3) группа G Тр-аппроксимируема.

Из этой теоремы вытекает утверждение, часть которого уже приводилась выше.

Следствие. Пусть G = (Я * К; А = В, ф) — свободное произведение с объединенными подгруппами конечно порожденных свободных абелевых групп Н и К, причем А ф Н и В ф К. Следующие утверждения равносильны:

1) группа G N-аппроксимируема;

2) для некоторого простого числа р подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно;

3) для некоторого простого числа р группа G Tv-аппроксимируема относительно сопряженности;

4) для некоторого простого числа р группа G Tv-аппроксимируема.

В заключение отметим, что если в обобщенном свободном произведении G = (Я * К) А = В, ф) объединяемые подгруппы принадлежат центрам соответствующих свободных множителей, то необходимым условием /С-аппроксимируемости относительно сопряженности группы G является /С-аппроксимируемость относительно сопряженности каждого из свободных множителей Н и К. В общем случае это, по-видимому, не так, но о существовании соответствующего примера автору ничего не известно.

Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре Ивановского государственного университета, на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 17—22 апреля 2000 г.), на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-XXI веку" (Ивановский государственный университет, Иваново, 19— 20 апреля 2001 г.), на Научных конференциях фестиваля студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука в классическом университете" (Ивановский государственный университет, Иваново, 15—19 апреля 2002 г., 21—25 апреля 2003 г., 20—23 апреля 2004 г.) и на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 19—24 мая 2003 г.). Основные результаты опубликованы в работах [30-40].

1. Азаров Д. Я. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений свободных групп с циклическим объединением // Мат. заметки. - 1998. - Т. 64, № 1. - С. 3 - 8.

2. Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Сибирск. матем. ж. 1997. - Т. 38, № 2. - С. 3 - 13.

3. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 3-е изд. - М.: Наука, 1982. - 240 с.

4. Каргаполов М. И., Тимошенко Е. И. К вопросу о финитной аппроксимируемости относительно сопряженности метабелевых групп // IV-ый Всесоюзный симпозиум по теории групп (Новосибирск, 5-9 февраля 1973 г.). Тезисы докладов. Новосибирск, 1973. - С. 86 - 88.

5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. - 448 с.

6. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сибирск. матем. ж. 1999. - Т. 40, № 2. - С. 395 - 407.

7. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. - 456 с.

8. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. - Т. 18. - С. 49 - 60.

9. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. - Т. 25. -С. 347 - 366.

10. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группа-ми HNN-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. Иваново, 2000. - Вып. 3. - С. 129 - 140.

11. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сибирск. матем. ж. 1971. -Т. 12, № 5. - С. 1085 - 1099.

12. Холл Ф. Нилыютентные группы // Математика. Пер. сб-к переводов иностр. статей. 1968. - Т. 12, № 1. - С. 3 - 36.

13. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. - V. 106, № 2. - P. 193 - 209.

14. Baumslag G. On the residual nilpotence of certain one-relator groups // Comm. Pure. Appl. Math. 1968. - V. 21, № 5. -P. 491 - 506.

15. Blackburn N. Conjugacy in nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. - V. 16, № l. - p. 143 - 148.

16. Cohen D. E. Groups with free subgroups of finite index // Conf. Group Theory, Univ. Wiskonsin Parkside 1972. - Lecture Notes Math., 1973. - 319. - P. 26 - 44.

17. Dyer J. L. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extensions //J. Aust. Math. Soc. 1980. - V. 29, Kq 1. - P. 35 - 51.

18. Dyer J. L. Separating conjugates in free-by-finite groups //J. Lond. Math. Soc. (2). 1979. - V. 20. - P. 215 - 221.

19. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1957. - V. 7. - P. 29 - 62.

20. Higman G. Amalgams of p-groups //J. Algebra. 1964. - V. 1. -P. 301 - 305.

21. Karrass A., Pietrowski A., Solitar D. Finite and infinite cyclic extensions of free groups //J. Aust. Math. Soc. 1973. -V. 16. - P. 458 - 466.

22. Kim G.} McCarron J. On amalgamated free products of residually p-finite groups // J. Algebra. 1993. - V. 162, № 1. - P. 1 - 11.

23. Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und idealen in einem speziellen Ring // Math. Ann. 1935. - V. 111. - P. 259 - 280.

24. McCarron J. Residually nilpotent one-relator groups with nontrivial centre // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. - V. 124, № 1. -P. 1 - 5.

25. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1954. - V. 246.- P. 503 554.

26. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f.g. abelian group // J. Pure Appl. Algebra. 1991. - V. 76, № 2. - P. 167 - 178.

27. Scott G. P. An embedding theorem for groups with a free subgroup of finite index // Bull. Lond. Math. Soc. 1974. - V. 6. -P. 304 - 306

28. Stebe P. F. A residual property of certain groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. - V. 26, № 1. - P. 37 - 42.

29. Varsos D. The residual nilpotence of the fundamental group of certain graphs of groups // Houston. J. Math. 1996. - V. 22, № 2. - P. 233 - 248.

30. Азаров Д. Н., Иванова Е. А. К вопросу о нильпотентной аппроксимируемости свободного произведения с объединением локально нильпотентных групп // Научные труды ИвГУ. Математика.- Иваново, 1999. Вып. 2. - С. 5 - 7.

31. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости нильпотентными группами свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой // Вестник молодых ученых ИвГУ. Иваново, 2002. -Вып. 2. - С. 3 - 7.

32. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости нильпотентными группами свободного произведения с объединенной подгруппой двух абелевых групп // Чебышевский сборник. Тула, 2002. - Т. 3, вып. 1(3). - С. 72 - 77.

33. Иванова Е. А. Об аппроксимируемости относительно сопряженности свободных произведений групп с объединенной подгруппой // Молодая наука в классическом университете: Тез. докл. науч. конф. (Иваново, 15-19 апреля 2002 г.). Иваново, 2002. -С. 79.

34. Ivanova E. A. On the conjugacy separability in the class of finite p-groups of finitely generated nilpotent groups // math.GR/0408393. 4 p. - http: //arxiv.org