Аппроксимационные свойства свободных произведений групп с коммутирующими и централизованными подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. Аппроксимируемость свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами

§ 1. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами

§ 2. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами

§ 3. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с централизованными подгруппами

ГЛАВА И. Финитная отделимость подгрупп свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами

§4. Предварительные замечания. Формулировка результатов

§ 5. Отделимость циклических подгрупп свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами

§ 6. Отделимость конечно порожденных подгрупп свободного произведения с централизованными подгруппами двух конечно порожденных абелевых групп

ГЛАВА III. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами

§ 7. Формулировка результатов. Контрпример

§ 8. Сопряженность элементов свободного произведения групп с объединенными подгруппами

§ 9. Сопряженность элементов свободного произведения групп с коммутирующими центральными подгруппами

§ 10. Доказательство теоремы

§11. Доказательство теоремы

Группа G называется финитно аппроксимируемой, если для любого ее неединичного элемента д можно указать такой гомоморфизм <р группы G в некоторую конечную группу, при котором образ gtp элемента д отличен от единицы. Как свидетельствуют авторы книги [13], понятие финитно аппроксимируемой группы сформировалось к концу 30-х годов прошлого века. Термин "финитная аппроксимируемость" был введен Ф. Холлом в 1955 году, но понятие финитно аппроксимируемой группы фактически присутствует уже в статье А. И. Мальцева [5] 1940 года. Эта работа, как следует из [13], является первой публикацией, где встречаются финитно аппроксимируемые группы, и именно в этой работе доказаны известные теоремы А. И. Мальцева о финитной аппроксимируемости конечно порожденных матричных групп (над произвольным полем) и о хопфовости конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп.

Одним из заметных направлений в изучении финитно аппроксимируемых групп является исследование поведения свойства финитной аппроксимируемости относительно тех или иных конструкций групп. Прямое произведение двух финитно аппроксимируемых групп является, очевидно, финитно аппроксимируемой группой. Для полупрямого произведения это уже, вообще говоря, не так, и достаточное условие финитной аппроксимируемости полупрямого произведения финитно аппроксимируемых групп было получено А. И. Мальцевым [6]. В работе К. Грюнберга [18] доказано, что свободное произведение финитно аппроксимируемых групп является финитно аппроксимируемой группой.

В отличие от обычного свободного произведения, свободное произведение с объединенными подгруппами двух финитно аппроксимируемых групп далеко не всегда является финитно аппроксимируемой группой, и в течение последних четырех десятилетий ведутся достаточно интенсивные исследования по нахождению условий, накладываемых на перемножаемые группы и (или) объединяемые подгруппы и гарантирующих финитную аппроксимируемость соответствующей группы. Началом систематических исследований в этом направлении следует считать работу Г. Баумслага [16]. В этой работе, в частности, указано весьма общее достаточное условие финитной аппроксимируемости свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами (см. ниже предложение 1.4), опирающееся на доказанное там же утверждение о финитной аппроксимируемости свободного произведения с объединенными подгруппами двух конечных групп. Тем не менее, это условие не является необходимым, и в настоящее время можно со значительной степенью уверенности утверждать, что простых необходимых и достаточных условий здесь не существует. Следует отметить также, что доказательства практически всех известных результатов о финитной аппроксимируемости свободных произведений с объединенными подгруппами используют идеи работы [16] и упомянутое достаточное условие.

Наряду с финитной аппроксимируемостью групп широко изучаются различные обобщения этого понятия, причем эти обобщения идут, главным образом, в следующих двух направлениях. С одной стороны, рассматривают аппроксимируемость данной группы в некоторых классах групп, отличных от класса всех конечных групп (например, в классе конечных р-групп или в классе нильпотентных групп). С другой стороны, можно говорить об аппроксимируемости группы относительно некоторого отношения (или предиката) между элементами и подмножествами группы. Здесь, в основном, рассматривают отношение сопряженности элементов и отношение принадлежности элемента подгруппе. (Таким образом, с этой, более общей точки зрения финитная аппроксимируемость — это аппроксимируемость в классе всех конечных групп относительно предиката равенства.)

Поведение некоторых из упомянутых обобщений финитной аппроксимируемости относительно различных теоретике-групповых конструкций также привлекало внимание ряда авторов. Так, в уже упоминавшейся работе К. Грюнберга [18] доказано, что свободное произведение групп, аппроксимируемых конечными р-группами, является группой, аппроксимируемой конечными р-группами. В. Н. Ремесленников [10] доказал, что свободное произведение групп, финитно аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности; аналогичный результат получен Дж. Дайер [17] для свободного произведения с объединенными конечными подгруппами. Н. С. Романовский [11] доказал, что все конечно порожденные подгруппы свободного произведения групп финитно отделимы, если этим свойством обладает каждый из сомножителей (подгруппа Я группы G называется финитно отделимой, если G аппроксимируема в классе всех конечных групп относительно отношения принадлежности элементов подгруппе И). С другой стороны, конструкция прямого произведения групп не наследует свойство финитной отделимости конечно порожденных подгрупп: прямое произведение двух нециклических свободных групп содержит неотделимую конечно порожденную подгруппу [14]. Укажем также на построенный недавно в работе [1] пример свободного произведения с объединенными подгруппами двух финитно аппроксимируемых относительно сопряженности групп, являющегося группой финитно аппроксимируемой, но не финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Ситуация с аппроксимируемостью конечными р-группами свободных произведений с объединенными подгруппами оказывается еще более сложной, чем с финитной аппроксимируемостью, поскольку уже свободное произведение с объединенными подгруппами двух конечных р-групп не обязательно является группой, аппроксимируемой конечными р-группами. Соответствующий критерий был найден Г. Хигманом [19], и в данной работе будет (в предложении 1.9) указано основанное на этом критерии достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами, являющееся аналогом вышеупомянутого условия Г. Баумслага.

Строение некоторых групп может быть описано с помощью конструкции свободного произведения с объединенными подгруппами; классическим примером таких групп являются группы с одним определяющим соотношением. В ряде случаев об аппроксимируемости таких групп позволяют судить имеющиеся в нашем распоряжении условия аппроксимируемости свободных произведений с объединенными подгруппами. То же самое относится и к теоретико-групповым конструкциям, описываемым в терминах свободного произведения с объединенными подгруппами. Две такие конструкции групп, введенные в книге [4] и названные там свободным произведением с коммутирующими подгруппами и свободным произведением с централизованными подгруппами, и являются основным объектом исследования данной диссертационной работы.

Пусть А и В — некоторые группы, Н — подгруппа группы А и К — подгруппа группы В. Группа

Н,К] = 1), порождаемая образующими групп А и В и определяемая всеми соотношениями этих групп, а также — всевозможными соотношениями вида [h, k] = 1, где h £ Н и к Е К, называется свободным произведением групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К. Группа

А,К] = 1, [Я, 5] = 1), порождаемая образующими групп А и В и определяемая всеми соотношениями этих групп, а также — всевозможными соотношениями вида [a, k] = 1 и [h,b] = 1, где а е А, 6 е В, he Нике К, называется свободным произведением групп А и В с централизованными подгруппами Н и К (см. [4, с. 230]). Иначе говоря, свободное произведение групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К является фактор-группой (обычного) свободного произведения групп А и В по нормальному замыканию взаимного коммутанта подгрупп

Я и К, а свободное произведение групп Aw В с централизованными подгруппами Я и К является фактор-группой свободного произведения групп А и В по нормальному замыканию объединения взаимных коммутантов подгрупп А и К и подгрупп Я и В.

Строение этих групп может быть описано с помощью конструкции свободного произведения с объединенными подгруппами следующим образом (детали см. в параграфах 2 и 3).

Если G = {А * В] [Я, Я] = 1) — свободное произведение групп А и В с коммутирующими подгруппами Я и Я, то группы А и В оказываются естественным образом вложимыми в группу G, и мы можем считать их подгруппами этой группы. Обозначим, далее, через М подгруппу, порождаемую в G подгруппами А и К, через N — подгруппу, порожденную подгруппами В и Я, и через U — подгруппу, порожденную подгруппами Я и К. Тогда U = Я х К — прямое произведение групп Н и К, М = (A*U; Я) — свободное произведение групп А и U с объединенной подгруппой Я, N = (В * U; К) — свободное произведение групп В и U с объединенной подгруппой К) и, наконец, G = (М*/V; U) — свободное произведение групп М и JV с объединенной подгруппой /7.

Если (7 = (Л * В; [А, /Г] = 1, [Я, Б] = 1) — свободное произведение групп А и В с централизованными подгруппами Я и /С, то группы А и В тоже естественным образом вложимы в группу G, и их можно считать подгруппами этой группы. Снова обозначим через М подгруппу, порождаемую в G подгруппами А и К, через N — подгруппу, порожденную подгруппами В и Я, и через U — подгруппу, порожденную подгруппами Я и К. В этом случае М = А х К — прямое произведение групп AnK,N = HxB — прямое произведение групп Н и В, U = Я х К — прямое произведение групп Я и К и G = (М * N; U) — свободное произведение групп М и N с объединенной подгруппой U.

Конструкция свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами рассматривалась в работе [20], где с помощью геометрических методов была доказана алгоритмическая разрешимость проблемы сопряженности в свободном произведении двух свободных групп с коммутирующими конечно порожденными подгруппами. Аналогичными методами решение ряда других алгоритмических проблем для этой группы получено в работах [2, 8]. В работе [23] рассмотрена аппроксимируемость конечными р-группами некоторого обобщения конструкций свободного произведения с коммутирующими или централизованными подгруппами.

Основными результатами данной диссертации являются критерии финитной аппроксимируемости, аппроксимируемости конечными р-группами и финитной отделимости циклических подгрупп для указанных конструкций групп. Получены также некоторые другие результаты относительно финитной отделимости их подгрупп и указано достаточное условие финитной аппроксимируемости таких групп относительно сопряженности. Сформулируем результаты диссертации более подробно.

Очевидно, что если хотя бы одна из подгрупп Я или К является единичной, то свободное произведение групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К оказывается обычным свободным произведением групп А и В, а если хотя бы одна из подгрупп Я или К совпадает со всей группой А или В соответственно, то свободное произведение групп А и В с централизованными подгруппами Я и К является прямым произведением групп А и В. Поэтому в этих вырожденных случаях вопросы об аппроксимируемости указанных групп решаются тривиально. В остальных случаях имеют место следующие утверждения:

Теорема 1. Пусть А и В — произвольные финитно аппроксимируемые группы, Н и К — неединичные подгруппы групп А и В соответственно. Свободное произведение G = {А * В; [Н,К] = 1) групп А и В с коммутирующими подгруппами Я и К является финитно аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда в группах А и В подгруппы Я и К финитно отделимы.

Теорема 2. Пусть А и В — произвольные группы, аппроксимируемые конечными р-группами, Н и К — неединичные подгруппы групп А и В соответственно. Свободное произведение G = (А * В; [Н, К] = 1) групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К является группой, аппроксимируемой конечными р-группами, тогда и только тогда, когда в группах А и В подгруппы Н и К являются отделимыми в классе конечных р-групп.

Теорема 3. Пусть А и В — произвольные финитно аппроксимируемые группы, Н и К — собственные подгруппы групп А и В соответственно. Свободное произведение

G = (А* В; [А,К} = 1, [Я,В] = 1) групп А и В с централизованными подгруппами Н и К является финитно аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда в группах А и В подгруппы Н и К являются финитно отделимыми.

Теорема 4. Пусть А и В — произвольные группы, аппроксимируемые конечными р-группами, Н и К — собственные подгруппы групп А и В соответственно. Свободное произведение

G=(A*B; [А, К] = 1, [Н,В} = 1) групп А и В с централизованными подгруппами Н и К является группой, аппроксимируемой конечными р-группами, тогда и только тогда, когда в группах А и В подгруппы Н и К являются отделимыми в классе конечных р-групп.

Отметим, что утверждение о достаточности условий в теореме 2 доказано также (другим методом) в вышеупомянутой работе [23].

Перечисленные результаты показывают, в частности, что, в отличие от конструкции свободного произведения групп с объединенными подгруппами, вопрос о финитной аппроксимируемости и об аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух групп с коммутирующими и централизованными подгруппами решается исчерпывающим образом.

Приведем некоторые следствия сформулированных теорем.

Заметим, прежде всего, что если некоторая группа является финитно аппроксимируемой или аппроксимируемой конечными р-груп-пами, то любая ее конечная подгруппа финитно отделима или отделима в классе конечных р-групп соответственно. Поэтому непосредственно из теорем 1-4 вытекает следующее утверждение:

1. Свободное произведение G финитно аппроксимируемых (аппроксимируемых конечными р-группами) групп А и В с коммутирующими или централизованными конечными подгруппами Н и К является финитно аппроксимируемой (соответственно, аппроксимируемой конечными р-группами) группой.

Следует, впрочем, отметить, что часть этого утверждения, относящаяся к финитной аппроксимируемости группы (7, может быть получена также из теоремы 3 работы Г. Баумслага [16], утверждающей, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с объединенными конечными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой. В самом деле, если подгруппы Я и К являются конечными, то группа G в любом случае является свободным произведением групп М и N с объединенной конечной подгруппой U, причем в случае свободного произведения с коммутирующими подгруппами каждая из групп М и N, в свою очередь, является свободным произведением с объединенными конечными подгруппами финитно аппроксимируемых групп (и потому финитно аппроксимируема), а в случае свободного произведения с централизованными подгруппами финитная аппроксимируемость каждой из групп М и N просто очевидна. Аналогичное альтернативное обоснование аппроксимируемости группы G конечными р-группами невозможно, поскольку аналог упомянутой теоремы Г. Баумслага в этом случае не имеет места.

Так как каждая подгруппа произвольной полициклической группы финитно отделима (см. [6, теорема 6]), из теорем 1 и 3 имеем

2. Свободное произведение полициклических групп А и В с коммутирующими или централизованными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой.

Используя теорему Холла - Бернса (см., напр., [3, с. 34]) нетрудно показать, что конечно порожденные подгруппы произвольной свободной группы финитно отделимы. Поэтому

3. Свободное произведение свободных групп А и В с коммутирующими или централизованными конечно порожденными подгруппами Н и К является финитно аппроксимируемой группой.

В работе Г. Баумслага [15] доказано, что группа с одним определяющим соотношением вида [u,v] = 1 финитно аппроксимируема, если ни один порождающий этой группы не входит одновременно в оба слова и и v. Так как такая группа, очевидно, является свободным произведением двух свободных групп с коммутирующими циклическими подгруппами, порождаемыми соответственно элементами и и v, соответствующая часть утверждения 3 является обобщением этого результата Г. Баумслага.

Напомним, далее, что подгруппу X группы У называют р-изоли-рованной (где р — простое число), если для любого элемента у G Y включение ур € X возможно лишь при у G X. Если 7г — некоторое множество простых чисел, то подгруппа X называется л-изолированной, если онар-изолирована для любого числа р из множества 7Г. Наконец, р', как обычно, обозначает множество всех простых чисел, отличных от р.

Легко видеть, что если подгруппа X группы Y отделима в классе конечных р-групп, то X должна быть р'-изолированной. Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, но в некоторых случаях оно оказывается справедливым. Прежде всего, отметим здесь отделимость в классе конечных р-групп произвольной циклической р'-изолированной подгруппы свободной группы. Поэтому из теоремы 2 получается следующий "р-аналог" вышеупомянутого результата Г. Баумслага:

4. Пусть группа G задана в образующих a±, ci2, . , ап одним определяющим соотношением [u,v] — I, где и и v — такие непустые несократимые слова, что ни один порождающий о,{ не входит одновременно и ви, и bv. Группа G аппроксимируема конечными р-группами тогда и только тогда, когда в свободной группе (ai, a2,., an) каждый из элементов и и v не является q-ой степенью ни для какого простого числа q, отличного от р.

Можно показать также (см. предложение 2.5 данной работы), что произвольная ^'-изолированная подгруппа конечно порожденной нильпотентной группы отделима в классе конечных р-групп. Поэтому из теорем 2 и 4 получается следующее утверждение:

5. Пусть А и В — конечно порожденные нильпотентные группы, аппроксимируемые конечными р-группами, Н и К -— неединичные (собственные) подгруппы групп А и В соответственно. Свободное произведение G групп А и В с коммутирующими (соответственно, централизованными) подгруппами Н и К является группой, аппроксимируемой конечными р-группами, тогда и только тогда, когда подгруппы Н и К групп А и В р'-изолированы.

Так как каждая конечная р-группа является нильпотентной, то произвольная группа, аппроксимируемая конечными р-группами хотя бы для одного простого числа р, аппроксимируема, очевидно, и нильпотентными группами. Поскольку обратное, вообще говоря, неверно, представляет интерес и следующее утверждение, которое, впрочем, не является столь же непосредственным следствием сформулированных выше теорем, как предыдущие (и доказывается в параграфах 2 и 3):

6. Пусть А и В — конечно порожденные нильпотентные группы без кручения, Н и К — неединичные (собственные) подгруппы групп А и В соответственно. Группа G, являющаяся свободным произведением групп А и В с коммутирующими (соответственно, централизованными) подгруппами Н и К, аппроксимируема нильпотентными группами тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа р она аппроксимируема конечными р-группами.

Следующий пример показывает, что (в случае свободного произведения с коммутирующими подгруппами) предположение об отсутствии кручения в формулировке утверждения б является существенным.

Группа G, заданная образующими и определяющими соотношениями вида G = (а, 6, с; а2 = Ь2 = с3 = [а, с] = [6, с] = 1), является свободным произведением групп А = (а, с; а2 = с3 = [а, с] = 1) и В = (b\ b2 = 1) с коммутирующими подгруппами Н, порождаемой элементом с, и К, совпадающей с В. Нетрудно видеть (см. §2), что эта группа аппроксимируема нильпотентными группами, но не является, очевидно, аппроксимируемой конечными ^-группами ни для какого простого числа р.

Перейдем теперь к изложению результатов относительно финитной отделимости подгрупп свободного произведения двух групп с коммутирующими или централизованными подгруппами. В самом общем виде соответствующая проблема может быть сформулирована следующим образом:

Пусть А и В — некоторые группы, Н — подгруппа группы А и К — подгруппа группы В. Предположим, что в группах А и В все (или все конечно порожденные, или все циклические) подгруппы являются финитно отделимыми. Верно ли, что в свободном произведении G групп А и В с коммутирующими или централизованными подгруппами Н и К будут финитно отделимы все (соответственно, все конечно порожденные или все циклические) подгруппы?

Разумеется, поскольку в каждом случае предполагается, в частности, отделимость единичной подгруппы, очевидным необходимым условием выполнимости любого из этих утверждений является финитная аппроксимируемость группы G, т. е. в силу результатов, перечисленных выше, — финитная отделимость в группах А и В подгрупп Н и К. Но даже при выполнении этого условия, ответ на поставленный вопрос в том случае, когда речь идет об отделимости всех подгрупп, почти всегда отрицательный. А именно, имеет место следующее утверждение:

Пусть А и В — произвольные группы, Н и К — неединичные собственные подгруппы групп А и В соответственно. Тогда в свободном произведении групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К существует подгруппа, не являющаяся финитно отделимой. Если, к тому же, индекс хотя бы одной из подгрупп Н или К в группе А или В соответственно не равен двум, то и в свободном произведении групп А и В с централизованными подгруппами Н и К существует подгруппа, не являющаяся финитно отделимой.

Неотделимая подгруппа, предъявляемая доказательством этого утверждения, не является конечно порожденной. Примеры свободных произведений с коммутирующими или централизованными подгруппами, не наследующих от сомножителей финитную отделимость конечно порожденных подгрупп, доставляются следующим утверждением:

Пусть подгруппа Н группы А и подгруппа К группы В являются нециклическими свободными группами. Тогда в свободном произведении групп А и В с коммутирующими или централизованными подгруппами Н и К существует конечно порожденная подгруппа, не являющаяся финитно отделимой.

Ситуация с финитной отделимостью циклических подгрупп оказывается прямо противоположной. А именно, в работе получены следующие результаты:

Теорема 5. Пусть А и В — произвольные группы, все циклические подгруппы которых финитно отделимы, Н и К — неединичные подгруппы групп А и В соответственно. Все циклические подгруппы свободного произведения G — (А * Б; [Н,К\ — 1) групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К финитно отделимы тогда и только тогда, когда в группах А и В подгруппы Н и К являются финитно отделимыми.

Теорема 6. Пусть А и В — произвольные группы, все циклические подгруппы которых финитно отделимы, Я и К — собственные подгруппы групп А и В соответственно. Все циклические подгруппы свободного произведения G = (А* В; [А, К] — 1, [Я, В] = 1) групп А и В с централизованными подгруппами Н и К финитно отделимы тогда и только тогда, когда в группах А и В подгруппы Я и К являются финитно отделимыми.

Из теорем 5 и 6 и замечаний, приведенных выше при обсуждении следствий из теорем 1 и 3, следует, что свободное произведение групп А и В с коммутирующими или централизованными подгруппами Н и К в следующих случаях является группой с финитно отделимыми циклическими подгруппами:

1) в группах А и В все циклические подгруппы финитно отделимы, а подгруппы Н и К являются конечными;

2) группы А и В являются полициклическими;

3) группы А и В являются свободными, а подгруппы Я и К — конечно порожденными.

Сформулированные выше результаты отрицательного характера показывают, что даже в случае, когда группы Аи В являются конечно порожденными абелевыми, свободное произведение этих групп с коммутирующими или централизованными подгруппами может содержать неотделимую подгруппу. Тем не менее, имеет место

Теорема Т. Пусть А и В — конечно порожденные абелевы группы, Н и К — произвольные подгруппы групп А и В соответственно. Тогда все конечно порожденные подгруппы свободного произведения G = (А* В) [А, К] = 1, [Я, В] = 1) групп А и В с централизованными подгруппами Н и К финитно отделимы.

Отметим, что вопрос об отделимости конечно порожденных подгрупп свободного произведения с коммутирующими подгруппами двух конечно порожденных абелевых групп остается открытым.)

Если группы А и В являются абелевыми, то абелевыми будут и свободные множители М и N указанного выше разло?кения свободного произведения групп А и В с централизованными подгруппами Н и К в свободное произведение с объединенными подгруппами. Поэтому теорема 7 является частным случаем следующего более общего результата:

Теорема 8. Пусть М и N —■ конечно порожденные абелевы группы, U и V — изоморфные подгруппы групп М и N соответственно и (р : U —У V — фиксированный изоморфизм. Все конечно порожденные подгруппы свободного произведения

G=(M*N; U = V,cp) групп М и N с объединенными подгруппами U и V финитно отделимы.

Перечислим, наконец, полученные в работе результаты, относящиеся к финитной аппроксимируемости относительно сопря?кенности рассматриваемых групповых конструкций. Начнем с простого замечания отрицательного характера:

Теорема 9. Пусть подгруппа Н группы А содер?кит элементы, сопряженные в группе А, но не сопряженные в Н, а в группе В пусть существует элемент, не сопряженный ни с каким элементом из подгруппы К, но образ которого в любом конечном гомоморфном образе группы В сопряжен с образом некоторого элемента подгруппы К. Тогда свободное произведение G = (А* В; [А, К] = 1, [Я, В] = 1) групп А и В с централизованными подгруппами Н и К не является группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Для построения конкретных примеров групп A w В, удовлетворяющих условиям теоремы 9, в качестве группы А можно взять группу, заданную представлением (a,h; a~lha = /г-1); элементы h и h~l ее циклической подгруппы Н, порожденной элементом h, сопряжены в группе А, но не сопряжены в Н. Существование группы В с подгруппой К, обладающей требуемым свойством, можно получить из результатов работы [22]. Более того, из теоремы С1 этой работы следует, что в качестве В может быть выбрана некоторая конечно порожденная нильпотентная группа.

Так как группы А и В, будучи полициклическими, являются финитно аппроксимируемыми относительно сопряженности (см. [9]), мы получаем пример свободного произведения с централизованными подгруппами двух финитно аппроксимируемых относительно сопряженности групп, являющегося финитно аппроксимируемой группой, но не являющегося группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности. Этот пример можно сравнить с упомянутым выше аналогичным примером свободного произведения с объединенными подгруппами из работы [1]. Следует заметить, что вопрос о существовании соответствующих примеров свободного произведения с коммутирующими подгруппами остается открытым.

Результаты, полученные в положительном направлении, формулируются следующим образом.

Теорема 10. Пусть группы А и В финитно аппроксимируемы относительно сопряженности и пусть Н и К — центральные подгруппы групп А и В соответственно. Если в группах А и В подгруппы Н и К являются финитно отделимыми, то свободное произведение G — (А* В; [Н, К] = 1) групп А и В с коммутирующими подгруппами Н и К является группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Теорема 11. Пусть группы А и В финитно аппроксимируемы относительно сопряженности и пусть Я и К — центральные подгруппы групп А и В соответственно. Если в группах А и В подгруппы Н и К являются финитно отделимыми, то свободное произведение G = (А * Б; [А, К] = 1, [Я, В] = 1) групп А и В с централизованными подгруппами И и К является группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Поскольку все полициклические группы финитно аппроксимируемы относительно сопряженности (см. [9]), а их произвольные подгруппы финитно отделимы (см. [6]), из теорем 10 и 11 следует, что если А и В — произвольные полицикли чесние группы, II — центральная подгруппа группы А и К — центральная подгруппа группы В, то свободное произведение групп А и В с коммутирующими или централизованными подгруппами Н и К является группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Диссертация состоит из трех глав, объединяющих одиннадцать параграфов. В первой главе рассматриваются свойства финитной аппроксимируемости и аппроксимируемости конечными р-группами свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами. Первый параграф содержит определение и необходимые для дальнейшего свойства свободного произведения групп с объединенными подгруппами. В этом же параграфе приведено достаточное условие финитной аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой из работы Г. Баумслага [16] и доказан основанный на вышеупомянутом критерии Г. Хигмена [19] аналог его для аппроксимируемости конечными р-группами. Во втором и третьем параграфах доказываются соответственно теоремы 1 и 2 и теоремы 3 и 4, а также следствия из этих теорем. В доказательствах всех основных результатов работы используются разложения свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами в свободное произведение с объединенными подгруппами; подробное описание этих разложений также приведено в параграфах 2 и 3.

Перечисленные выше результаты о финитной отделимости подгрупп доказываются во второй главе. Третья глава работы посвящена финитной аппроксимируемости относительно сопряженности. Открывающий ее § 7 содержит формулировки основных результатов и доказательство теоремы 9. Восьмой параграф, имеющий подготовительный характер, содержит необходимые результаты о сопря

1. Азаров Д. Н., Иванова Е. А. О финитной аппроксимируемости относительно сопряженности свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой // Научные труды Ивановск. гос. ун-та. Математика. Выпуск 5. 2002. С. 3 - 5.

2. Безверхний В. Н., Новикова О. А. Решение проблемы пересечения централизаторов элементов для свободного произведения с коммутирующими подгруппами // Известия Тульск. гос. ун-та. Сер. "Математика". Тула. 2001. Т. 7. С. 21 33.

3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

4. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

5. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8. С. 405 422.

6. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49 60.

7. Молдаванский Д. И., Тимофеева Л. В. Конечно порожденные подгруппы группы, определяемой одним соотношением и обладающей нетривиальным центром, финитно отделимы // Известия ВУЗов. Математика. 1987. 12. С. 58 59.

8. Новикова О. А. Решение проблемы обобщенной сопряженности для свободного произведения с коммутирующими подгруппами j j Че-бышевский сборник. Научные труды по математике. Тула. 2001. Т. 2. С. 73 78.

9. Ремесленников В. Я. Сопряженность в полициклических группах // Алгебра и логика. 1969. Т. 8. С. 712 725.

10. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, N 5. С. 1085 1099.

11. Романовский Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения j j Известия АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, N 6. С. 1324 1329.

12. Холл Ф. Нилыютентные группы // Математика. Пер. сб-к переводов иностр. статей. 1968. Т. 12, N 1. С. 3 36.

13. Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп. М.: Мир, 1985.

14. Allenby R., Gregorac R. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. V. 319. P. 9 17.

15. Baumslag G. Free subgroups of certain one-relator groups defined by positive words // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1983. V. 93, N 2. P. 247 251.

16. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106, N 2. P. 193 209.

17. Dyer J. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extentions // J. Austral. Math. Soc. 1980. V. 29, N 1. P. 35 51.

18. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. (3) 1957. Y. 7. P. 29 62.

19. Higman G. Amalgams of p-groups // J. of Algebra. 1964. У. 1. P. 301 305.

20. Hurwitz R. D. On the conjugacy problem in a free product with commuting subgroups // Math. Ann. 1976. V. 221. P. 1 8.

21. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. V. 246. P. 503 -554.

22. Segal D. Decidable properties of polycycle groups // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61. P. 497 528.

23. Wong P. C. and Tang С. K. Free products of residually p-finite groups with commuting subgroups J J Bull. Malaysian Math. Soc. (Second Series). 1996. V. 19. P. 25 28.

24. Логинова E. Д. О финитной аппроксимируемости свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева. Тезисы