Эндоморфизмы, автоморфизмы и аппроксимационные свойства некоторых групп с одним определяющим соотношением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1. Свободные произведения групп с объединенной подгруппой

2. Некоторые свойства групп Стп

3. Описание эндоморфизмов группы (тт7г

4. Автоморфизмы ГруПП Сггпп

5. Два свойства образов эндоморфизмов группы (?тп

6. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп Стп

7. Финитная аппроксимируемость групп Отп относительно автоморфной эквивалентности

Группы с одним определяющим соотношением интенсивно изучаются уже на протяжении более чем 70 лет. Началом этих исследований являются основопологающие работы В. Магнуса [18, 19], где была доказана знаменитая теорема о свободе и установлена алгоритмическая разрешимость проблемы тождества слов в группах с одним определяющим соотношением. Важность этих работ В. Магнуса заключается также и в том, что в них впервые предложена методика изучения групп с одним определяющим соотношением при помощи конструкции свободного произведения с объединенной подгруппой.

Постоянный интерес к изучению групп с одним определяющим соотношением объясняется тем, что несмотря на формальную близость этих групп к свободным группам, их свойства могут значительно отличаться от свойств свободных групп, а ряд вопросов, решаемых для свободных групп достаточно просто, для групп с одним соотношением до сих пор остаются открытыми. С другой стороны, здесь иногда удается продвинуться в решении тех проблем, к решению которых в случае произвольных конечно определенных групп нет никаких подходов.

В данной работе рассматриваются группы с одним определяющим соотношением, обладающие представлением вида

Сшп = (а,Ь- [ат, 6П] = 1), (1) где целые числа тип удовлетворяют условиям га > 1 и п > 1 . Здесь будут рассмотрены эндоморфизмы и автоморфизмы этих групп и некоторые их свойства, связанные с финитной аппроксимируемостью.

Эндоморфизмы и автоморфизмы групп с одним определяющим соотношением ранее изучались рядом авторов. Так, в работе Д. Коллинза [13] описаны группы автоморфизмов групп Баумслага - Солитера а, Ъ- а~1Ьта = Ьп) (2) в том случае, когда числа тип взаимно просты. Эндоморфизмы групп вида а,*; ^сГНаН^аЧ = ат) (3) при |/| ф |т| описаны А. М. Бруннером [12]; начатое в той же работе описание в терминах порождающих и определяющих соотношений групп автоморфизмов этих групп закончено в работе [2]. Оказалось, в частности, что группы автоморфизмов некоторых из этих групп не являются конечно порожденными, а в тех случаях, когда группа автоморфизмов такой группы конечно порождена, она является и конечно определенной. В связи с этим следует отметить, что до сих пор неизвестно, будет ли группа автоморфизмов произвольной группы с одним определяющим соотношением конечно определенной, если она является конечно порожденной.

С того момента, когда Г. Баумслаг и Д. Солитэр [11] опубликовали первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являющихся финитно аппроксимируемыми, усилиями ряда математиков были найдены различные серии финитно аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением. Так, уже в работе [11] (с уточнением С. Мескина [20]) показано, что группа вида (2) является финитно аппроксимируемой тогда и только тогда, когда или абсолютная величина одного из чисел т ж п равна 1, или абсолютные величины этих чисел равны. В работе [2] установлено, что группа вида (3) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда |/| = \т\ (необходимость этого условия отмечена в [12]). Мы не будем перечислять здесь другие довольно многочисленные результаты этого сорта, а перейдем к более тонкому свойству финитной аппроксимируемости относительно сопряженности. Здесь известно гораздо меньше. В работе [8] показано, что группа вида (2) финитно аппроксимируема относительно сопряженности, если абсолютная величина одного из чисел т или п равна 1. Дж. Дайер [14] доказала, что финитно аппроксимируема относительно сопряженности произвольная группа, являющаяся свободным произведением двух свободных групп с объединенной циклической подгруппой. В той же работе ею передоказан неопубликованный результат М. Армстронга о финитной аппроксимируемости относительно сопряженности произвольной группы с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром. Наконец, в работе [22] показано, что этим свойством обладает произвольная группа, заданная одним соотношением вида (атЬпУ = 1.

Финитная аппроксимируемость групп Сгтп хорошо известна и может быть получена из следующих соображений общего характера. Каждая группа <?ттг является свободным произведением с коммутирующими подгруппами двух бесконечных циклических групп. Из общего критерия финитной аппроксимируемости свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами, полученного в [4], и следует, что каждая группа Стп является финитно аппроксимируемой. Здесь будет доказано, что каждая группа Стп является финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, а также будет получено некоторое обобщение этого утверждения.

Переходя к более подробной формулировке основных результатов работы, введем сначала ряд обозначений, связанных с разложением группы Стп в свободное произведение с объединенной подгруппой.

Обозначим через Н подгруппу группы Сгтоп? порожденную элементами с = аш и (1 = 6П, через А — ее подгруппу, порожденную элементом а и подгруппой Н, и через В — подгруппу, порожденную элементом 6 и подгруппой Н. Тогда (детали см. в §2) Н является свободной абелевой группой с базой с, е£, а группа Сгагг является свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой Н.

Первым из основных результатов работы является описание эндоморфизмов группы Стп.

Очевидно, что отображение, переводящее порождающие элементы а и Ь группы Огпп в элементы некоторой ее циклической подгруппы, всегда определяет эндоморфизм группы Сгтп. Таким образом, группа Отп обладает значительным количеством эндоморфизмов с циклическими образами: каждая циклическая подгруппа группы Отп является образом некоторого эндоморфизма этой группы. Все остальные эндоморфизмы группы Стп описываются следующей теоремой, доказательству которой посвящен третий параграф работы.

Теорема 1. Произвольный эндоморфизм (р группы Стп, образ 1т р которого не является циклической группой, с точностью до умножения на некоторый внутренний автоморфизм группы Стп имеет вид ар> — и, Ьср = V, где элементы и и V удовлетворяют одному из следующих условий: Оба элемента и и V лежат в одной из подгрупп А или В. (п) и = х~1акх и V = у~1Ь1у для некоторых элементов х 6 А и у £ В и ненулевых целых чисел к и I.

Ш) и == у~1Ьку и V — х~га1х для некоторых элементов х € А и у € В и ненулевых целых чисел к и I, причем число ктп делится на п и число 1п делится на гп.

В действительности, для эндоморфизмов типа (1) получено более детальное описание; более подробная формулировка теоремы 1 приведена в § 3.

Информация об эндоморфизмах группы Стп, содержащаяся в теореме 1, в следующем четвертом параграфе работы используется для описания группы всех автоморфизмов группы С?тп. Каждое из отображений

А:аи а-1, Ъ\-*Ъ\ ц : а н-» а, Ъ ¿Г"1; ^ : а i—» а-1, Ь Ь-1. определяет автоморфизм группы 6-'тп, который мы будем обозначать тем же символом. Эти автоморфизмы вместе с тождественным отображением составляют подгруппу К группы Аг^ Стп всех автоморфизмов группы Сшп. являющуюся четверной группой Клейна.

В том случае, когда гп — п, отображение

Г] : а ь-» Ъ1 Ь а определяет еще один автоморфизм группы Gmn. В этом случае подгруппа L группы Aut Gmn, порожденная подгруппой К и автоморфизмом 77, является расщепляющимся расширением группы К при помощи циклической группы порядка 2, порожденной автоморфизмом V

Оказывается, что при т ф п группа Aut Gmn всех автоморфизмов группы Gmn порождается подгруппой К и группой Inn Gmn всех внутренних автоморфизмов группы Gmn, а при гп — п группа AutGmn порождается подгруппами L ж IniiG'mn. Более точно, имеет место

Теорема 2. Пусть X, ¡л и rj — автоморфизмы группы Gmn, определенные выше, и пусть а и ß — внутренние автоморфизмы этой группы, производимые элементами а и b соответственно. m

Если m ф n, то группа AutGmn порождается автоморфизмами Л, ¡j,, a and ¡3 и определяется соотношениями

1. Л2 = ¡л2 = 1;

5. ¿/ a/i = а;

2. Xfi = jiX; Л , оЛГ 1 = /Г1

3. X ал = а :

7. аш(Зп = /Зпа .

4. А /?А = /?;

Если m ~ п, то группа Aut Gmn порождается автоморфизмами X, fi, г1, a and ¡3 и определяется соотношениями 1 - 7 и дополнительными соотношениями

8. V2 = 1;

10. ц щ = (3.

9. 7} Xrj = ц;

В частности, из этой теоремы следует, что группа автоморфизмов каждой группы Gmn является конечно определенной. Другим следствием теоремы 2 является отсутствие у группы Gmn нормальных автоморфизмов, не являющихся внутренними.

Напомним, что автоморфизм некоторой группы G называется нормальным, если для любой нормальной подгруппы N группы G выполнено равенство Nip — N. Очевидно, что всякий внутренний автоморфизм группы G является нормальным, и известно, что в ряде случаев никакими другими нормальными автоморфизмами группа G не обладает. Так, в работах [16, 17] было доказано, что произвольный нормальный автоморфизм нециклической свободной группы является внутренним. Обобщая этот результат, недавно М. Нещадим в работе [9] установил справедливость этого утверждения для любой группы, разложимой в (обычное) свободное произведение неединичных групп. Там же отмечено, что это не так для некоторых свободных произведений с неединичной объединенной подгруппой и для некоторых групп с одним определяющим соотношением. Тем не менее, для групп здесь будет доказана

Теорема 3. Произвольный нормальный автоморфизм группы С?ти является внутренним.

Следующие два результата диссертации связаны с теоремой Р. Хи-ршона [15], утверждающей, что если С? — произвольная конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа тир — такой эндоморфизм группы <?тп, что его образ С<р является подгруппой конечного индекса группы С, то найдется положительное число к такое, что <р является изоморфизмом подгруппы С<рк на подгруппу

В этой же работе Хиршон сформулировал вопрос, является ли требование конечности индекса подгруппы Сер в этой теореме существенным, т. е. будет ли указанное утверждение справедливым для произвольного эндоморфизма произвольной конечно порожденной финитно аппроксимируемой группы. Недавно Д. Вайс [23] показал, что это не так: он построил пример конечно порожденной финитно аппроксимируемой группы (У, обладающей таким эндоморфизмом что пересечение подгрупп С<рк и Кег (р нетривиально для любого положительного целого числа к. Тем не менее, группа из этого примера не является конечно определенной, и в связи с этим естественно возникает вопрос, будет ли заключение теоремы Хиршона выполняться для всех эндоморфизмов произвольной конечно определенной группы без каких-либо ограничений на индексы их образов» Верно ли это, в частности, для любой финитно аппроксимируемой группы с одним определяющим соотношением? В пятом параграфе данной работы доказана

Теорема 4. Для любого эндоморфизма ср группы Стп существует положительное число t такое, что отображение <р является изоморфизмом подгруппы С тиф1 на подгруппу Стп<р*+1.

С другой стороны, имеет место доказанная в том же параграфе

Теорема 5. Если для некоторого эндоморфизма (р группы Стп его образ 1т (р является подгруппой конечного индекса группы Схтп, то имеет место равенство 1т = С?тэт, т. е, <р является автоморфизмом этой группы.

В шестом и седьмом параграфах работы рассматриваются аппрок-симационные свойства групп Стп. Основным результатом здесь является

Теорема 6. Произвольная группа

Отп = (а, 6; [ате, Ъп] = 1) (ш > 1, п > 1) является финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Далее рассматривается следующее обобщение свойств финитной аппроксимируемости и финитной аппроксимируемости относительно сопряженности.

Если Ф — некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов группы С. то элементы а и Ь группы С назывем Ф-эквивалентными, если найдется автоморфизм (р (Е Ф такой, что а = Ь(р.

Группу С будем называть финитно аппроксимируемой относительно Ф-эквивалентности, если для любых элементов а и 6 группы С, не являющихся Ф-эквивалентными, существует нормальная Ф-инвари-антная подгруппа N конечного индекса группы С такая, что элементы aN и ЫV фактор-группы С?[Н не являются Ф-эквивалентными. (Здесь Ф обозначает подгруппу группы автоморфизмов фактор-группы <2/^, состоящую из автоморфизмов, индудированных автоморфизмами из Ф.)

Очевидно, что частными случаями этого понятия являются финитная аппроксимируемость (когда подгруппа Ф состоит лишь из тождественного автоморфизма группы О) и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (когда Ф совпадает с группой Inn G всех внутренних автоморфизмов группы G).

Имеет место следующее простое достаточное условие финитной аппроксимируемости группы относительно Ф-эквивалентности.

Теорема 7. Пусть подгруппа Ф группы всех автоморфизмов некоторой группы G содержит группу Inn G внутренних автоморфизмов этой группы, причем Inn G имеет конечный индекс в группе Ф. Если группа G конечно порождена и финитно аппроксимируема относительно сопряженности, то она является финитно аппроксимируемой относительно Ф-эквивалентности.

Из теорем 2, б и 7 непосредственно следует

Теорема 8. Произвольная группа

Gmn = (а, Ь- [ат, Ъп] = 1) (т > 1, n > 1) является финитно аппроксимируемой относительно Aut Gmn-эквивалентности.

Доказательства всех перечисленных результатов используют упомянутое выше разложение группы Gmn в свободное произведение с объединенной подгруппой и различные свойства этой конструкции. Подробному изложению этих свойств посвящен первый параграф работы. Здесь в удобной для нас форме приводятся как общие свойства этой конструкции, так и необходимые нам здесь более специфические ее свойства. Во втором параграфе устанавливается ряд предварительных свойств групп Gmn

Все результаты диссертации получены самостоятельно. В частности, автору диссертации принадлежат доказательства основных результатов работы [24] (теорема 1) и работы [25] (теорема 3).

12

Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре в Ивановском государственном университете (руководитель — Д. И. Молдаванский), на Международной научной школе "Компьютерные средства в математических исследованиях", (ENS, Университет Яунде I, Камерун, 5-17 апреля 1999 г.), на Международной конференции по общей алгебре (Дрезден, Германия, 22-25 июня 2000 г.), на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-XXI веку" (Ивановский государственный университет, Иваново, 19—20 апреля 2001 г.) и на Научной конференции фестиваля студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука в классическом университете" (Ивановский государственный университет, Иваново, 15—19 апреля 2002 г.). Основные результаты опубликованы в работах [24 - 27].

1. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость и другие алпрокси-мационные свойства свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Иваново. 1999. 55 с. Деп. в ВИНИТИ 28.04.99, №■ 1371-В99.

2. Кавуцкий М. А., Молдаванский Д. И. Об одном классе групп с одним определяющим соотношением // Алгебраические и дискретные системы. Межвузовский сборник научных трудов. Иваново. 1988. С. 35-48.

3. ЛиндонР., Шупп Л. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

4. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. мат. ж. 1999. Т. 40, N 2. С. 395-407.

5. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

6. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение. М.: Мир, 1977.

7. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Мат. сб. 1940. Т. 8. С. 405-422.

8. Молдаванский Д. И., Кравченко Е. ВФролова Е. И. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности некоторых групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986. С. 81-91.

9. Нещадим М. В. Свободные произведения групп не имеют внешних нормальных автоморфизмов // Алгебра и логика. 1996. 5. С. 562566.

10. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups.// Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. P. 193-209.

11. Baumslag G. and Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hop-fian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199-201.

12. Brunner A. On a class of one-relator groups // Can. J. Math. 1980. V. 32. N 2. P. 414-420.

13. Collins D. J. The automorphism towers of some one-relator groups. Proc. Lond. Math. Soc. 36. 1978. P. 480-493.

14. Dyer J. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extentions // J. Austral. Math. Soc. 1980. V. 29, N 1. P. 35-51.

15. Hirshon R. Some properties of endomorphisms in residually finite groups // J. Austral. Math. Soc. 1977. V. 24. P. 117-120.

16. Lubotski A. Normal automorphisms of free groups //J. Algebra. 1980. V. 63 P. 494-498.

17. Lue A. S.-T. Normal automorphisms of free groups // J. Algebra. 1980. V. 64 P. 52-53.

18. Magnus W. Uber diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation (Der Freiheitssatz) ff J. reine u. angew Math. 1931. V. 163. P. 141-165.

19. Magnus W. Das Identitäts problem für Gruppen mit einer definierenden Relation ff Math. Ann. 1932. V. 106. P. 295 307.

20. Meskin S. Nonresidually finite one relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 164. P. 105-114.

21. Neumann B. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. V. 246. P. 503-554.

22. Tang C. Y. Conjugacy separability of certain 1-relator groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V. 86. P. 379-384.

23. Wise D. T. A continually descending endomorphism of a finitely generated residually finite group // Bull. Lond, Math. Soc. 1999. V. 31. P. 45-49114

24. Тьеджо Д. О нормальных автоморфизмах некоторых групп с одним определяющим соотношением // Тезисы докладов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-XXI веку", Иваново, 19-20 апреля 2001 г. С. 69.

25. Тьеджо Д. Об эндоморфизмах некоторых групп с одним определяющим соотношением // Тезисы докладов научной конференции фестиваля студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука в классическом университете", Иваново, 15—19 апреля 2002 г. С. 86.