Индекс и коциклическая сопряженность полугрпп эндоморфизмов W-факторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0 д на правах рукописи

"-Г

Амосов Григорий Геннадьевич

ИНДЕКС И КОДИКЛИЧЕСКАЯ СОПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛУГРУПП ЭНДОМОРФИЗМОВ И^-ФАКТОРОВ

01.01.01 Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА -1998

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, додент

Официальные оппоненты:

. доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

А.В. Булинский

А.Я. Хелемский А.С. Холево

Ведущая организация: Казанский Государственный Университет

Защита состоится ч.Зрмин. на заседа]

диссертационного совета К 053.22.23 в Российском университете друа народов по адресу: 117302, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Российск университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Микл) Маклая, 6.

но)

Автореферат разослал

998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент ж?.-/ у /

Щ ааиси-

М.В. Драгнев

Актуальность работы.

В настоящее время существует повышенный интерес к свойствам отображений операторных алгебр как у непосредственных специалистов, так и специалистов по квантовой вероятности, и квантоЕому стохастическому исчислению. Согласно теории Пауэрса-Арвесона, каждой однопараметри-ческой полугруппе эндоморфизмов а алгебры М = В(Н), удовлетворяющей некоторым дополнительным условиям, ставится в соответствие числовая характеристика, индекс inda, являющийся инвариантным относительно коциклической сопряженности полугрупп. Диссертационная работа посвящена введению индекса а на W'-факторе М, неизоморфном В (Tí), и исследованию коциклической сопряженности полугрупп на гиперфинитных факторах типа 1,11 и III, что является естественным развитием теории индекса Пауэрса-Арвесона.

Цель работы.

Исследование условий и инвариантов коциклической сопряженности од-нопараметрических полугрупп унитальных нормальных эндоморфизмов И^-факторов.

Методы исследования.

Применяются методы и результаты модулярной теории операторных алгебр, теории бесконечномерных представлений, теории операторов и комплексного анализа.

Научная новизна работы.

1. Исследована возможность расширения ^-эндоморфизма а И^-фактора М С В(Ч)> вполне совместимого с точным нормальным состоянием, до *-эндоморфизма /? алгебры В (Tí). Рассмотрены случаи произвольного W*-фактора М и квазисвободного a на гиперфинитном факторе М. Построено семейство изометрий, выполняющее а.

2. Введен индекс оддапараметрической полугруппы эндоморфизмов на И^-факторе, неизоморфном алгебре всех ограниченных операторов В(7í), по аналогии с индексом Пауэрса-Арвесона полугруппы эндоморфизмов ал-

гебры В{Н).

3. Исследован модельный случай полугрупп квалисвободных эндоморфизмов на гиперфинитных факторах М = к(А(К.)), связанных с нефоков-скими представлениями я- алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС) Л[К) над сепарабельным гильбертовым пространством К. Установлена связь между свойствами "затравочной" полугруппы изометрических операторов V в К и свойствами полугруппы квазисвободных эндоморфизмов 5(К), полученной "подъемом" V. Установлены условия, при которых полугруппам изометрических операторов V и и в К отвечают ко-циклически сопряженные полугруппы эндоморфизмов В(У) и В{и).

4. Исследован класс "затравочных" полугрупп изометрических операторов в К, которым отвечают полугруппы квазисвободных эндоморфизмов, коциклически сопряженные заданному полупотоку квазисвободных сдвигов. То же самое для заданного квазисвободного К-потока.

Научно-практическое значение:

Исследование качественных свойств полугрупп отображений произвольных операторных алгебр важно для дальнейшего развития теории квантовых стохастических процессов, существенным этапом которого является изучение модельных динамических полугрупп на алгебрах КАС.

Апробация работы, публикации, внедрение и использование результатов:

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: "Алгебра и анализ", Конференция посвященная Б.М. Гагаеву (Казань, июнь, 1997), Семинар "Алгебры операторов и их приложения" Кафедры математического анализа КГУ (Казань, октябрь, 1997), Юбилейная Конференция МФТИ (Долгопрудный, ноябрь, 1997), Международная Конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Совместные заседания Московского математического общества и Семинара им. Петровского)" (Москва, МГУ, январь, 1998), Международный конгресс математиков (Берлин, август, 1998), Семинар "Алгебра в анализе"

Кафедры теории функций и функционального анализа МГУ (Москва, сентябрь, 1998). По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы: Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.из 97 наименований.

Краткое содержание работы

1. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное продолжение. Случай произвольного 1У*-фактора.

Пусть M есть W-фактор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве И с циклическим и отделяющим вектором Ü, определяющим точное нормальное состояние = (П, -П) на М. Мы изучаем од-нопараметрические полугруппы унитальных нормальных *-эндоморфизмов t at G End{M)1 t 6 Т, на W-факторе M. В качестве Т мы рассматриваем Z+ = N ф {0} и R+ = [0, +оо) для дискретных и непрерывных полугрупп соответственно. Свойства дискретной полугруппы az+ полностью определяются ^-эндоморфизмом ai = a, так что az+ = (o¡n)n€z+. Для полугрупп ait,. = (a<)<€R+ всюду дальше предполагается выполненым условие непрерывности функций t -> r)(at(x)) при любых фиксированных г) ем$> х 6 м, при выполнении которого aj^ называется So-полугруппой (оо = Id).

Каждой полугруппе ay на алгебре Bfii), для которой выполнено условие пространственности (Пауэре),, те есть существует такая Со-полугруппа изометрических операторов 1 = (ît)ieR+ в пространстве Н, что Pt{x)Tt = %х, х 6 B(7í),¿ G R+) можно сопоставить (Пауэре, Арвесон1) числовую характеристику, индекс îndaf. В случае T = Z+, индекс принимает натуральные значения, indar € N, причем indaz+ = 1 тогда и только тогда,

1 Powers R.T.//C&i&¿J.Mit!i. -1988. - v. <0. - P. 86-1 M; Arveeon W.//Mem.AMS. - 1889. - V.80. - P. 1-66.

когда az+ состоит из автоморфизмов. В случае Т = Е+, индекс принимает неотрицательные значения indcqtf-G Z+, и inda^ = 0 тогда и только тогда, когда ад+ состоит из автоморфизмов.

Определение 1ЛК Назовем полугруппы эндоморфизмов (on)nez+ и (/?n)íi6Z+ №*-фактора М коциклически сопряженными, если найдется такой унитарный оператор U € М, что /?(•) = Ua(-)U*.

Две полугруппы эндоморфизмов (a¡)t>o и (A)t>o называются коциклически сопряженными, если найдется такое сильно непрерывное семейство унитарных операторов Ut € Л-í, t > 0, называемое коциклом, что

/?<(•) = ¡W-W, ^ = IW^)» М > оГ .

Индекс Пауэр са-Арвесона indar полугруппы на S(?í) инвариантен относительно коциклической сопряженности. Мы рассматриваем случай {^"-факторов, неизоморфных В(Н). Для наших целей на класс рассматриваемых полугрупп нужно наложить некоторые условия.

Определение 1.2. (Булинский) Отображенией£С{М) называется совместимым с состоянием и, если выпонено условие

(a) и инвариантно относительно действия а, то есть ш = и; при выполнении условия (а) и дополнительного условия

(b) а коммутирует с модулярной группой а", отвечающей состоянию и, то есть аша = аоы; . h

а называется вполне совместимым с ш.

Полугруппа ат называется (вполне) совместимой с и, если эндоморфизмы at (вполне) совместимы $ 0 при любом t € Т.

Для ^-эндоморфизма а, совместимого с точным нормальным состоянием и(-) = (ti,'ü), формула Txtt = a(x)fl, х еМ, определяет изометрический оператор Т. Свойства a оказываются в этом случае близкими к свойствам изометрических операторов в гильбертовом пространстве.

Пусть (Vi)i<i<n, и < +оо, - такое семейство изометрических операторов

__л

в Ti, что проекторы V,V*, i = 1,п, попарно ортогональны, причем £ V¿V* = /, где / - единичный оператор в Н.

Определение 1.3. (Арвесон) CcjKetícmeo(V¿)i<¿<n называется выполняющим эндоморфизм а, если

а(х) = t V.zV;, г € М. (Л) ¿=i ......

Пусть а представим в виде (А), тогда п = inda, независимо от выбора семейства (К'.,

И^-фактор М и его коммутант М' в Н порождает И^-алгебру В{%). Возникает вопрос о расширении а до ^-эндоморфизма /? алгебры В(Н). Пусть а' есть вполне положительное отображение коммутанта М\ дуальное a, a а - w-сопряжено а'. Иными словами, (a(z)fí, x'Q) = (xíl,c/(x')Sl), (a'(x')ü,y'ü) = (x'ü,á{y')ü), x € My x',y' 6 M'< B случае, когда а вполне совместим с точным нормальным состоянием со, вполне положительное отображение 5 является ^-эндоморфизмом.

Определение 1.4. (Булинский) Назовем нормальный ^-эндоморфизм /3 W*-алгебры В{Н) регулярным расширением эндоморфизма a W*-фактора М, если (3\м — а и /?|м' = <*■

Пусть М - U-"-фактор типа 0 < А < 1. Фиксируем í = щ. Предположим, что выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

— <7 ? = Id;

— алгебра неподвижных элементов а" является фактором;

— Sp(Au) = Г^), где Аш — модулярный оператор;

тогда мы будем говорить, что и удовлетворяет условию Е. Для следовых состояний lo на И^-факторе типа IIi мы будем считать условие Е выполненным.

Теорема 1.5. Для любой полугруппы ат, вполне совместимой с точным нормальным состоянием и, удовлетворяющим условию Е, существует единственное регулярное расширение fc, являющееся полугруппой нормальных *-эндоморфизмов В{4). В случае, когда ац+ является Е0-полугруппой, — также Ец-полугруппв.

Полугруппа ßji+ является пространственной. Действительно, можно ввести полугруппу изометрических операторов Тт по формуле Ttxü = сф)Я, х е М, t е R+. Тогда ßt{x)Tt = 7tz, х € B{7i),t € R+. Следовательно, определен индекс Пауэрса-Арвесона indßn+, как размерность системы-произведения (СП) гильбертовых пространств Р, ассоциированной с /?r+.1 Для полугрупп, допускающих расширение, введем

Определение 1.6. Назовем индексом полугруппы ait,, индекс indßr+.

Предложение 1.7. Индекс полугруппы инвариантен относительно ко-циклической сопряженности.

2. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное расширение квазисвободных полугрупп.

Фиксируем сепарабельное гильбертово пространство К со скалярным произведением (•, •), линейным по второму аргументу, и антиунитарный оператор J € В{К) : (Jf,Jg) = {g,f)> },g £ h, J2 = 7. Алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС) А(К) называется2 С*-алгебра с единицей 1, образующими B[f),B*{f) f € удовлетворяющими соотношениям (i) B(f) линейно по f Е 1С (ii) B*(f) = B(Jf)> f 6 К (iii) B{f)B*(g) + B\g)B{j) = {gj) 1, f,g 6 и нормой, определяемой условием р(/)|| = II/IIjc- Пусть Я € В(К), 0 < R < I, RJ = JR. Формула

иц(Вут)... B*(fi)B(g1)... B(gn)) = Smdet{{fu %)),

fit 9] £ определяет состояние Ь)ц на С*-алгебре А(К), называемое квазисвободным. Рассмотрим представление ГНС 7Гд, отвечающее состоянию ur. Отметим, что в гильбертовом пространстве "Н представления 7Гд найдется такой циклический вектор Ür, что ur{-) = (Пя,7Гя(-)Пя). Представление

1 Arveson //Mem.AMS. - 1989. - V.80. - P. 1-66; Powera RT.,Price G.L. //Trtw.AMS, - 1990. - V.321. -P. 347-351.

J Anki H. //PubLRIMS. -1971. - V.«. - P. 385-442.

7Гд задает W'-фактор Mr - Mr(K) = Яя(Д(£))", тип которого полностью определяется спектральными свойствами оператора R (Мураками и Ямагами1).

Пусть ^-эндоморфизм Вц(Т) И^-фактора Мц(К) получен квазисвободным подъемом "затравочного" изометрического оператора Т, TR = RT, TJ = JT, t > 0, действующего в гильбертовом пространстве К. Иными словами, Вц(Т) задан на образующих Мц{К) формулой Вл(Г)(тгд(В(/)) = тгл(В(Г/)), f е К, t> 0. Отметим, что BR(T) будет вполне шд- совместимым (см. определение 1.2), причем, при условии TJ = JT, £ > 0, or является *-отображением.

Пусть Л = z/1. Состояние определяет "очищенное", в смысле Пауэ-рса и Стермера2, состояние и на С*-алгебре Л(К, ф К). Состоянию ш отвечает представление ГНС тг, которое может быть реализовано в гильбертовом пространстве 7i представления tv, причем я(А(К Ф К))" = В(Н). Пусть W и V есть некоторые изометрические операторы в пространстве К. Введем в пространстве К Ф К изометрический оператор W' = W ф V". Мы говорим, что квазисвободный ^'-эндоморфизм BU(W) гиперфинитного фактора Mv расширяется до квазисвободного W'-эндоморфизма B(W') на B(7i), если B(W') получается продолжением действия квазисвободного эндоморфизма /?, заданного на образующих С*-алгебры к(А(К,®К)) формулой = *$[W'f))t ft К® 1С, на W-алгебру В(Н) = ж(Л(К ф К))". Обозначим 32 класс операторов Гильберта-Шмидта.

Теорема 2.1. Условие W - V £ является достаточным, а в случае, когда W u V - унитарные операторы, к необходимым для того, чтобы квазисвободный *-зндоморфизм BV(W) фактора Му расширялся до квазисвободного *-эндоморфизма B(W) алгебры В(Н.) -MUV M]v.

Лусть V - (Vj)^ есть, Со-полугрупла изометрических операторов в

1 MursJami T.,Yamigmi S. //РаЫ. RIMS. - 1077. - V.31. - Р. 33-44.

2 Powers R.T., Stormer Е. //ComiEai.MitK.Phys. - 1970. - V.16. - р. 1-33.

гильбертовом пространстве ДЦ = У(Д, JVt = < > 0, и индекс дефекта генератора V равен п, п > О. Тогда а = (Вд(У()){ек+ есть вполне уд-совместимая £о-полугруппа (см. определение 1.2). Для квазисвободной £тгп0лугруппы а на факторе Мц можно определить регулярное расширение до ^-полугруппы /? на Мн v М'я = В(Н). Можно показать, что 0 = (5(Ц $ Ц))^^, то есть регулярное распшрение является полугруппой квазисвободных эндоморфизмов. : '

Определим как V/*--подалгебру Мц с образующими 1, В(/), / 6 /С{ = кегУД Рассмотрим расширяющееся семейство гильбертовых пространств & \ (${ = (]лп((/^Пя)], t > 0. Линейные операторы, действующие по формуле 1/<,,МЕ#(/1) • • • В*{иШн ® тгй(В#Ы... В#{дт))Пц) = МВ#Ш1)-..ВЦци)В*(91)...ВЧ9т))йл, /¡еки $ е к,, продолжаются до унитарных операторов (7г,,: 0< ® 2, <34+, и задают структуру системы-произведения в <2К:

Предложение 2.2. Селсйстео является системой - произведением, ассоциированной с регулярным расширением а.

Замечание 2.3. Согласно приведенному утверждению, СП совпадает с СП Бхата Ру \ ассоциированной с регулярным расширением, которое является квазисвободной полугруппой на 5(4), полученной подъемом Со-далугрулпы изометрических операторов V ф V. Размерность СП Ту равна индексу Пауэрса-Арвесона, который'¡равен 2п, где п есть индекс дефекта генератора полугруппы V. Таким образом, размерность СП (27, ассоциированной с квазисвободной .Ео-полу группой, полученной поцъемом Со-полугруппы изометрий V с индексом дефекта генератора п, равна 2гг. Отметим, что связь индекса Пауэрса-Арвесона с индексом затравочной полугруппы изометрий в одночастичном пространстве для случая фоковского представления КАС установлена Йоргенсеном и Прайсом для непрерывных полугрупп и Биненхаем для дискретных.

1 ВЫ В.У.Н. //Тши.АМБ. - 1996. - У.348. - Р. 561-583.

Предложение 2.4. Системы-произведения <2У и би, отвечающие Со-полугруппам изометрических операторов V и и в К с равными индексами дефекта генераторов, изоморфны.

Предложение 2.5. Система-произведение 0,у делима.

В случае, когда Д ~Р - ортогональный проектор, гиперфинитный фактор Мр я В[Н) в некотором гильбертовом пространстве Н, и из предложения 2.5 вытекает:

Теорема 2.6. Пусть Р есть ортогональный проектор. Тогда все квазисвободные Ео-полугруппы на Мр с одинаковыми индексами коцикличе-ски сопряжены.

3. Внутренние квазисвободные автоморфизмы и коциклическая сопряженность на гиперфинитных факторах типа 1,11 и III.

Классический результат Араки устанавливает условие Ри - IIР Е ¿2, при котором квазисвободный автоморфизм Вр{11), где 1} есть унитарный оператор и Р - ортогональный проектор в К, унитарно выполним. Основываясь на этом условии можно доказать следующее утверждение:

Предложение 3.1. Для того, чтобы полугруппы квазисвободных *-эндоморфизмов [В„(Уп))яег+ « [Ви(И^п))пег+ фактора М^О <и<1/2, полученные подъемом изометрических операторов V и IV соответственно, были коциклически сопряжены, необходимо и достаточно выполнение условияУ - IV € ¿2.

Замечание 3.2. Из предложения 3.1 следует, что для того, чтобы автоморфизм В„(Ц?), полученный подъемом унитарного оператора V/, был внутренним, необходимо и достаточно выполнение условия ]У -16 ¿2-

Пусть ((/<)(£() и (^)<>о есть две Со-полугруппы унитарных операторов в гильбертовом пространстве К.

Предложение 3.3. Полугруппы {Ви{и^)т " (¿Ц^))^ «а И^*-факторе Ми> 0 < V < 1 ¡2,' коциклически сопряжены тогда и только тогда, когда Щ-Це ¿2, * > О-

к

Пусть теперь (У()<>о и (У«)*>о являются минимальными унитарными ди-латациями Со-полугрупп изометрий и (^')<>о, действующих в гильбертовом пространстве К' С К. Предположим также, что и^Ц^р = I, I > 0. Тогда из предложения 3.3 вытекает:

Следствие 3.4. Пусть Ц € з2,1 > 0'. Тогда полугруппы (В1/(1[/|))4>о и (Ву(У/))(>о на факторе Му(К')% 0 < и < 1 /2, коциклически сопряжены.

Предложение 3.1 и следствие 3.4 делают естественными следующие два определения.

Определение 3.5. Назовем изометрический оператор V в пространстве К, аппроксимирующим изометрический оператор V в К, если и-V £

Определение З.б. Со-полугруппа (Ц')«>о изометрических операторов в гильбертовом пространстве К' называется аппроксимирующей Сц-полу-группу (£/{)«>о изометрических операторов в К', если у полугрупп (Ц')«>о и ([/('){>о найдутся такие минимальные унитарные дилатации (Уг)(>0 и (СГ,),>0| действующие в гильбертовом пространстве К' С К, что Ц = ^ + Д<, t > 0, где (Д<)<>о есть непрерывное по норме || • ||г семейство операторов € ¿2) * > 0-

Определение 3.7 (Пауэре). Нормальный *-эндоморфизм а называется сдвигом, если П^а"^) = С1, где 1 - единица М.

Полугруппа ат но V/'-факторе М называется полупотоком сдвигов, если Пп^аы(М) = С1, I £ Т,г > 0.

Пусть 5 есть вполне неунитарный изометрический оператор в пространстве К. Тогда В „(в) является сдвигом в смысле определения 3.7. Задача об описании класса коциклической сопряженности полупотока сдвигов (В^(5л))пег+ эквивалентна, в силу предложения 3.1, задаче описания множества операторов, аппроксимирующих 5 в смысле определения 3.5.

Теорема 3.8. Для любого изометрического оператора V с индексом п > 0 найдется аппроксимирующий его вполне неунитарный изометрический оператор, так что полугруппа (Вкоциклически сопряже-

на полупотоку сдвигов;(Я„(5п))„ег+-

Рассмотрим группу ^-автоморфизмов а = (В„(5*))г€л И^'-алгебры М„ = М^Н ® 1»г(-оо,+оо)). Здесь (5*/)(ж) = }{х + £), при почти всех х 6 И , / 6 #®12(-оо,-1-со)^ € Я. Пустьесть IV*- подалгебра порожденная элементами 1,7Г„(£(/)),7Г¡/(В*(/))) гДе / € {/ € #®12(-оо,+оо), /(«) = О, при почти всех х < 0}. Как известно, система является

К-потоком (в смысле Эмха). Сужение ю- сопряженной группы а+|лг„ задается формулой а+(тг„(В(/))) = хДН(5</)), / 6 {/ 6 Ь2(-оо,+оо), /(г) = 0 при почти всех х < 0}, < > 0, и является полупотоком сдвигов (5^(5г)){>0 И^*-алгебры АС в смысле определения 3.7.

Теорема 3.9. Яусть С0-полугруппа (^)(>0 неунитарных изометрических операторов в гильбертовом пространстве К имеет равномерно непрерывную унитарную часть (174 = У||к:0)<>о-

Тогда найдется аппроксимирующая ее Со-полугруппа вполне неунитарных изометрических операторов ¿> = (5()(>о и полугруппа эндоморфизмов (ад))«>о коциклически сопряжена полупотоку сдвигов (В1/(5г))^о> Обозначим тем же символом минимальную унитарную дилатацию 5, действующую в пространстве /С. Тогда существует такое разложение К, = К] ® Кч и унитарные операторы \ К\ и и-1 \ Кч К, что группа В^У), полученная квазисвободным подъемом группы унитарных операторов V = (ищиI ® 1/2*5/£/2)г€д, будет коциклически сопряжена К-потоку (В„(5,*))№е.

Основные результаты работы.

1. Доказано существование и единственность регулярного расширения полугруппы *-эндоморфизмов <*г И^-фактора Л4 с вполне совместимых с точным нормальным состоянием о;, удовлетворяющим условию Е, до полугруппы *-эндоморфизмов /?г И^-алгебры

т\

2. Для случая гиперфинитного фактора Л4я С показано, что регу-

лярное расширение полугрупп квазисвободных эндоморфизмов ау, вполне совместимых с квазисвободным состоянием шц, существует без дополнительных предположений относительно и>в и является полугруппой квазисвободных эндоморфизмов. Для модельного случая гиперфинитного фактора Ми описан класс квазисвободных эндоморфизмов В(Н), являющихся расширениями (не только регулярными) квазисвободного эндоморфизма фактора Ми.

3. С каждой £0-полугруппой а на И^-факторе М, для которой существует регулярное расширение, ассоциирована система-произведение V. Индекс а введен как размерность V. Показано, что в случае, когда а является квазисвободной Ь'о-полугруптюй на гиперфинитном факторе М, V является делимой. с

4. Получено необходимое и достаточное условие коциклической сопряженности полугрупп квазисвободных автоморфизмов и дискретных полугрупп квазисвободных эндоморфизмов. В качестве следствия найдено достаточное условие коциклической сопряженности квазисвободных Ец-полугрупп на гиперфинитных факторах М„.

5. На основе полученных нами условий коциклической сопряженности полугрупп квазисвободных эндоморфизмов введены определения аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Установлено, что в классе изометрических операторов, аппроксимирующих заданный, содержится вполне неунитарный изометрический оператор и класс Со-полугрупп изометрических операторов, аппроксимирующих заданную, содержит Со-полугруппу вполне неунитарных изометрических операторов.

6. На основании полученных результатов об аппроксимации, описан класс коциклической сопряженности квазисвободных полупотоков сдвигов и К-потоков на гиперфинитных факторах М„.

Работы автора по теме диссертации:

1. Амосов Г.Г., Булинский A.B. Сопряженные полугруппы сдвигов гиперфинитных факторов //Некот. пробл. совр. матем. и их прилож. к задач, физ. и мех. М.: Изд-во МФТИ, 1995. - Ç, 12-15.

2. Амосов Г.Г. К теории индекса непрерывных полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве //Некот. пробл. фунд. и прикл. матем. М.: Изд-во МФТИ, 1996. - С. 14-24.

3. Амосов Г.Г. Об аппроксимации непрерывных полугрупп изометрий //Алгебра и анализ. Матер, конф., поев. 100-летию Б.М.Гагаева (16-22 июня 1997 года, г.Казань). - С. 17-18.

4. Амосов Г.Г. О классе коциклической сопряженности квазисвободных #о-полугрупп сдвигов //Совр. пробл. фунд. и прикл. физ. и матем.: Тезисы докладов юбил. науч. конф. МФТИ. 28-29 ноября 1997 г. - М.,1998. - С. 56.

5. Амосов Г.Г. О классах коциклической сопряженности квазисвободных K-систем IIНекот. пробл. фунд. и прикл. матем., М.: Изд-во МФТИ, 1997. -С. 4-16. .

6. Амосов Г.Г., Булинский A.B. Индекс Пауэрса-Арвесона для квазисвободных динамических полугрупп //Матем. Заметки. - 1997. - Т.62, N 6. -С. 933-936.

7. Амосов Г.Г., Булинский A.B. Индекс Пауэрса-Арвесона для динамических щшугрушг на И^-алгебрах //УМН. - 1998. - Т.53, N 4. - С. 210.

8. Amosov G. Cocycle conjugacy classes of Powers' semiflows of shifts //Abstracts of Short Commun, and Posters of Internat. Congr. of Math. Berlin, August 18-27, 1998. - P. 113-114.

Амосов Григорий Геннадьевич (Россия)

Индекс и коциклическая сопряженность полугрупп эндоморфизмов W-факторов.

Исследуются однопараметрические полугруппы унитальных нормальных *-эндоморфизмов t а4 € End(M), t 6 T, на И^-факторе М, где Т = Z+ в дискретном и Т = R+ в непрерывном случаях. Индекс полугруппы а на М С В{Н), вполне совместимой с точным нормальным состоянием, определен как индекс Бауэрса-Арвесона регулярного расширения а до полугруппы Д на B(7i). В модельном случае квазисвободных полугрупп на гиперфинитных М = 7г(Д^С))", порожденных представлениями х алгебры канонических антикоммутационных соотношений Л{1С) над сепарабельным гильбертовым пространством /С, установлены условия коциклической сопряженности полугрупп на М в терминах "затравочных" полугрупп изометрических операторов в К, и описан класс коциклической сопряженности полупотоков сдвигов Пауэрса и К-потоков.

Grigori Amosov (Russia)

Index and cocycle conjugacy of endomorphisms semigroups on IP-factors.

One-parametei semigroups a of unital normal *-endomorphisms t -* a< G End(M), t € T, of a W'-factor M, where T = Z+ in the discrete case and T = R+ in the continuous one are investigated. For a semigroup a which is complitely compatible with the faithful normal state on M С В(Н), the index is introduced as the Powers-Arveson index of the regular extension of a to the semigroup /? С End(B(H)) on B{%). In the model case of quasifree semigroups on the hyperfinite factor M = ж(Л(К))" generated by the representation к of the algebra of the canonical anticommutation relations A(K) over separable Hilbert space K, the cocycle conjugacy conditions for semigroups on M in the terms of initial isometrical semigroups in К are stated and the classes of cocycle conjugacy of Powers' semiflow of shifts and K-flows are described.