Классы скрученной сопряженности в линейных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Насыбуллов Тимур Ринатович

КЛАССЫ СКРУЧЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

Научный руководитель: д. ф.-м. н., доцент Бардаков Валерий Георгиевич

005566595

Новосибирск - 2015

005566595

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Бардаков Валерий Георгиевич

Официальные оппоненты: Брюханов Олег Вадимович

кандидат физико-математически наук, доцент

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Центросоюза Российской Федерации «Сибирский университет потребительской кооперации», доцент. Романьков Виталий Анатольевич доктор физико-математических наук, профессор,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского», заведующий кафедрой информационных систем Института математики и информационных технологий (математического факультета)

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский Федеральный Университет».

Защита состоится 8 мая 2015 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: пр. Академика Коптюга 4, г. Новосибирск,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.ns с.ru.

630090.

Автореферат разослан « Учёный секретарь

2015 г.

диссертационного совета

Стукачев Алексей Ильич

Общая характеристика работы Актуальность и степень разработанности темы исследования

Классы сопряженности в группе отражают свойства самой группы. Например, один из вопросов, сформулированный на заре развития комбинаторной теории групп, звучал так: существует ли бесконечная группа с конечным числом классов сопряженности? В 1949 Г. Хпгман, Б. Нойман и X. Пойман [1] построили бесконечно порожденную группу с конечным числом классов сопряженности. Позднее. С. Иванов (см. [2, теорема 41.2]) построил пример конечно порожденной группы с этим свойством. Затем Д. Осин [3] привел пример конечно порожденной бесконечной группы, в которой любые два несдиничных элемента сопряжены, т. с. имеющей два класса сопряженных элементов.

Обобщением классов сопряжснностн являются классы скрученной сопряженности. Более точно, элементы хм у группы С называются (скру-ченно) (р-сопряжсннымн, где <р некоторый эндоморфизм группы, если существует такой элемент г в в. что ж = гуф-1). В последние годы много работ посвящено изучению классов скрученной сопряжснностн в различных

классах групп (см. обзоры 6|).

Изучение свойств скрученной сопряженности мотивировано топологической теорией неподвижных точек отображений, именуемой также теорией Нильссна-Райдемайстера. В 1927-1932 гг в цикле статей [7 9) Я. Нильсен изучал гомеоморфизмы поверхностей п определил классы неподвижных точек. Впоследствии К. Райде.манстер использовал алгебраические методы в теории Нильсена для произвольного компактного многогранника [10|. В этой работе появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов.

Пусть /■ : Л' X отображение компактного топологического пространства X на себя; у : XX универсальное накрытие пространства X „ у. х X поднятие отображение /. т. с. ро/ = /ор. При этом два подня-

3

тия /, /' называются сопряженными, если существует 7 6 Г = 7Ti(X). такое что /' = 70 foj-1. Подмножество p(Fix(f)) называется классом неподвижных точек отображения /, определенным классом поднятия [/]. Класс неподвижных точек называется существенным, если его индекс отличен от нуля. Число классов поднятий отображения / (и, следовательно, число классов неподвижных точек) называется числом Райдсмайстсра отображения / н обозначается R(f). Число существенных классов неподвижных точек называется числом Нильсена отображения / н обозначается N(f). При этом числа N(f) и R(f) являются гомотопическими инвариантами отображения /. Числа N(f) и R{f) тесно связаны между собой п являются главными объектами изучения теории Нильссна-Райдсмайстера.

С другой стороны отображению / соответствует эндоморфизм (¿> = /; (автоморфизм, в случае когда / гомеоморфизм) фундаментальной группы 7Гх(Х). При этом число классов (^сопряженности эндоморфизма совпадает с числом Райдсмайстсра R(f), и потому называется числом Райдсмайстсра эндоморфизма <fi и обозначается символом R(ip)- Таким образом топологическая задача нахождения числа R(f) сводится к чисто алгебраической задаче нахождения числа R(<p).

Если G - конечная группа, то классическая теорема Бернсайда [И, §10] утверждает, что число классов сопряженности в группе G равно числу классов эквивалентности ее комплексных (и, следовательно, унитарных) неприводимых представлений. В настоящее время активно изучается аналог этой теоремы для классов скрученной сопряженности. Ищется связь между числом R{<p) и числом неподвижных точек отображения, индуцированного автоморфизмом ip на множестве вссх классов эквивалентности унитарных представлений группы G.

Говорят, что группа обладает свойством Rсслн число R(ip) бесконечно для всякого автоморфизма <р. Вопрос о том, какие группы обладают свойством R0о сформулировали А. Фслынтын и Р. Хплл [12]. Этот вопрос

привлекал внимание многих исследователей [0,13-21]. В частности. А. Фель-штын, Г. Левитт и М. Лгостнг показали, что неэлсментарные гиперболические (по Громову) группы обладают свойством Л» [13.14]. Другой не менее широкий класс групп, обладающих свойством Я», указали А. Фельштын и Е. Троицкий [6]. Они установили, что конечно порожденные финитно аппроксимируемые неаменабельные группы также обладает свойством R^. Из этого результата, в частности, следует, что конечно-порожденные свободные группы обладают свойством RВ. Романьков и Е. Кукнна показали, что свойством R-к обладают также некоторые свободные нильпотентные и свободные разрешимые группы [18,20].

В диссертации свойство Rx изучается для групп Шеваллс над целостными кольцами п полями нулевой характеристики. Группы Шсвалле являются естественным обобщением как алгебраических групп, так н классических линейных групп над коммутативными кольцами. Частными случаями групп Шеваллс являются многие классические группы матриц, такие как SL;(fí). SOi(R) п Sp2;(Я). Группы Шсвалле изучали такие известные математики. как К. Шсвалле, Э. Абе, Р. Стейнберг, Дж. Хамфри, Н. Вавилов, В. Лсвчук. С. Колесников и многие другие.

Группа Шсвалле над полем положительной характеристики не может обладать свойством Я,с. Это следует из результата Р. Стсйнбсрга [22, теорема 10.1] о том, что связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем, обладающая автоморфизмом <р с конечным числом неподвижных точек, совпадает с множеством элементов вида £<¿(i_1), т. е. с классом (¿j-сопряжснностн единичного элемента. Следовательно -ñ(<¿>) = 1 и такая группа не может обладать свойством Rx. Для групп Шевалле над полем ненулевой характеристики такой автоморфизм <р всегда существует (автоморфизм Фробениуса).

Особый интерес при изучении классов скрученной сопряженности представляет класс скрученной сопряжснностн единичного элемента. Ча-

сто, опираясь на свойства этого класса, можно делать выводы о числе классов скрученной сопряженности, а также о свойствах самой группы.

А. Фсльштын и Е. Троицкий установили [23], что если С - абеле-ва группа, то класс скрученной сопряженности [еЦ единичного элемента с является подгруппой группы (3 для любого автоморфизма группы С. При этом любой другой класс (^-сопряженности является смежным классом по этой подгруппе. Отсюда, в частности, следует, что число классов (^-сопряженности в абслсвоп группе совпадает с индексом класса скрученной (,3-сопряжснностн единичного элемента

Я(^) = \С : [ф|.

Используя этот факт, Е. Кукнна в своей кандидатской диссертации описала спектр Райдемайстера (множество чисел Райдемапстсра для всех автоморфизмов группы) для конечно порожденных абелсвых групп.

В работе Е. Кукиной н В. Романькова [20] для нильпотентных групп без кручения была предложена формула вычисления чисел РандсмаПсте-ра: Пусть С конечно порожденная ннльпотентная группа без кручения ступени нильпотентности к, а ¡р - некоторый се автоморфизм. Пусть также С,С г-й член верхнего центрального ряда, Л,- = С • \(>/С.,С<- <А' автоморфизм. индуцированный на А,;. Тогда

к-1

если число конечно. При помощи этой формулы найден спектр Рай-

демапстсра для некоторых свободных нильпотетных групп малых рангов и ступеней нильпотентности.

Как было отмечено выше, в случае абелсвых групп класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для любого авто-

морфнзма группы. В диссертации рассматривается вопрос о том. для каких еще групп класс [е]г- является подгруппой, а также при каких условиях на автоморфизм ф это выполнено в группах Шеваллс. Цели и задачи

К основным целям диссертации относятся:

1. Исследование свойства в группах Шсвалле (нормального типа) над различными кольцами и полями.

2. Описание групп, для которых класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для всех автоморфизмов (внутренних автоморфизмов).

3. Исследование класса скрученной сопряженности единичного элемента в группах Шсвалле (нормального типа), нахождение критериев того, что этот класс является подгруппой.

Основные результаты диссертации

Обозначим через И класс целостных колец нулевой характеристики, состоящий из колец, у которых группа автоморфизмов периодична, и из полей конечной степени трансцендентности над простым подполсм.

К основным результатам диссертации относятся следующие утверждения.

1. Пусть Я € К. тогда группы Шсвалле типов Л(. Я/. С/. О/ над кольцом Я обладают свойством Ях. Если при этом Я является полем, то свойством Язе обладают также группы Шеваллс типов Со-

2. Класс (¿-сопряженности [е]^ единичного элемента группы Шеваллс над полем F £ 7Z является подгруппой тогда и только тогда, когда ^ центральный автоморфизм.

3. Группа, в котором класс [е]^ является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма ¡¿>. принадлежит классу Куроша-Чсрннкова X и обладает строго убывающей цепочкой нормальных подгрупп.

7

В частности, конечная группа, для которой класс [е]^ является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма tp, ннльпотснтна.

Научная новизна и значимость работы

Работа носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп и алгебраической топологии. Доказанные в диссертации утверждения могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Методы исследования

В работе используются методы работы в группах Шеваллс. также привлечены элементы теории колец, полей и их расширений. Активно используется известная теорема Стейнберга [24,25] о строении групп автоморфизмов групп Шсваллс над полями и се аналоги [26-30] над различными кольцами.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск. 2011, 2012, 2014); международной конференции по теории колец посвященной 90-летшо со дня рождения Анатолия Илларионовича Ширшова (Новосибирск, 2011); международной молодежной школе-конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (республика Алтай, 2012); международной конференции «Nielsen Theory and Related Topics» (Корея, Тэджон, 2013); международной конференции по теории групп, посвященной 70-лстшо Виктора Даниловича Мазурова (Новосибирск, 2013); международной научной конференции «Алгебра и логика, теория и приложения» (Красноярск, 2013); международной конференции «Knots, Braids and Automorphism Groups» (Новосибирск, 2014); международной конференции «Winter Braids V» (Франция, По, 2015).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинаре «Теория групп» лаборатории теории групп Института математики им. С. JI. Со-

болсва СО РАН а также на семинарах «Алгебра и логика» и «Эварнст Га-луа» Новосибирского национального исследовательского государственного университета.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [31-38], при этом работы [31-33] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [31] получены в неразделимом соавторстве с В. Г. Бардаковым и М. В. Нсщадимом с равнозначным вкладом каждого участника.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 104 страницах, библиография содержит 46 наименований.

Основное содержание диссертации

Общая структура диссертации.

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Все утверждения (теоремы, предложения, леммы и следствия) имеют одинарную сквозную нумерацию. Формулы имеют двойную нумерацию: первое число номер главы, второе - номер формулы в текущей главе.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, освещается степень ее разработки; изложены цели, методы исследования и основные результаты диссертации; отражены научная новизна и значимость работы и сведения об апробации. Также приведены сведения о публикации результатов диссертации.

В первой главе собраны необходимые определения, обозначения и предварительные результаты: приведены элементарные свойства отношения

скрученной сопряженности (§1.2), необходимые данные из теории колец и полей (§1.3), информация о классических линейных группах и группах Ше-валлс, а также описание их групп автоморфизмов (§1.4, 1.5).

Остановимся более подробно на некоторых пунктах. Напомним, что два элемента хну группы б называются скрученно (¿»-сопряженными (или просто (¿^сопряженными). если для некоторого элемента г группы С выполнено равенство х = г2/<р(~_1). Классы эквивалентности по отношению скрученной ^-сопряженности называются классами (^-сопряженности. Класс сопряжснностн элемента .г обозначается через [х\-. Количество классов -сопряженности называется числом Райдемайстера автоморфизма (р и обозначается символом Д(<р). Говорят, что группа (3 обладает свойством (или С является Я^-группой), если число Щ<р) бесконечно для любого автоморфизма группы й.

Отмстим, следующее утверждение, связывающее число классов скрученной сопряженности в группе и факторгруппе [21].

Предложение 1 (в диссертации - следствие 1) Пусть имеет .место короткая толтая последовательность групп

1 N ^ С А^ 1,

где N характеристическая подгруппы группы <3. Тогда

1. Если группа А обладает свойством П^. то группа б такэ/се обладает свойством Нуз.

2. Ec.au А - конечная группа и N обладает свойством то С также обладает свойством

Я. Ec.au всякий автоморфизма группы А поднимается до автоморфизма группы б, при это.ы N конечная группа, и С обладает свойством Лх, то А также обладает свойством .

Данное утверждение чрезвычайно полезно при исследовании классов скрученной сопряженности в группах Шевалле, так как любая группа Шсвалле есть расширение ее центра при помощи элементарной группы Шевалле.

Предложение 1 изложено в (21]. однако в силу его важности, для полноты картины, автор приводит доказательство, отличное от [21]. Центральным утверждением при работе с группами Шевалле, является теорема Стейнбсрга о представлении любого автоморфизма группы Шевалле в виде произведения внутреннего, диагонального, полевого и графового автоморфизмов. В параграфе 1.5.1 теорема Стсйиберга уточнена, а именно уточнен

вид диагонального автоморфизма.

Вторая глава посвящена доказательству того, что группы Шевалле над некоторыми целостными кольцами и полями нулевой характеристики

обладают свойством

В параграфе 2.1 рассматриваются группы Шевалле классических серий А/. В\. С/. Д а также общая линейная группа над различными целостными кольцами. Одним из основных результатов данного параграфа является

Теорема 1 (в диссертации - теорема 2) Яг/сть С общая линейная группа СЬ/и(Я) или специальная линейная группа ЭЬ/+1(Я), где I > 2, а Я целостное кольцо. Если Я гшсст нулевую характеристику и группа автоморфиз.нов кольца Я периодична, то в обладает свойством Яж.

Так как произвольная группа Шевалле типа А, есть некоторый центральный фактор группы 8Ь,+1(Я). нз теоремы 1 вытекает Следствие Пусть Я целостное кольцо нулевой характеристики, обладающее периодической группой автомор/шзмов, а С группа Шевалле типа А, (I > 2) над кольцом Я. Тогда, С обладает свойством Ях.

Примерами колец, удовлетворяющих условиям теоремы являются: произвольные подкольца в содержащие кольцо 2. конечные алгебраические расширения поля рациональных чисел <0. поле вещественных чисел

К, кольцо целых р-адичсекнх чисел поле р-аднческих чисел С}}, (для некоторого простого р).

Если дополнительно потребовать, чтобы основное кольцо было локальным, то аналогичные утверждения справедливы и для групп Шевалле типов В, (при условии обратимости двойки в кольце), С;, О; (теоремы 3, 4). Дополнительные ограничения связаны с тем, что утверждение о разложении автоморфизма группы Шевалле одного из типов Я;, С,, Д в произведение стандартных автоморфизмов, справедливо лишь для групп над локальными кольцами с дополнительными условиями на обратимость некоторых элементов.

В параграфе 2.2 рассматриваются группы Шевалле всех нормальных типов (включая исключительные) над полем. Основные результаты сформулированы в виде следующих утверждении.

Теорема 2 (в диссертации - теорема 5) Пусть С! — группа Шевалле типа Ф ф А\ над полем ^ пулевой характеристики. Если группа автоморфизмов поля Е периодическая, то С обладает свойством Ях.

Теорема 3 (в диссертации - теорема 6) Пусть в группа Шевалле типа Ф ф Ах над полем F нулевой характеристики, приче.и степень трансцендентности Е над (2 конечна. Тогда

1. Если Ф имеет один из типов > 2), > А), ЕЕ^ Сг, то й обладает свойством Л^.

2. Если более того в поле Е уравнение Тп = а разрешимо для любого а, где натуральное число п (в зависимости отФ) имеет вид

ф в1 С/ А Еа Еу

п 2 2 2 3 2

то С обладает свойством и в случае корневых систем типов £,(/ = 2,3), с;(г> 3), а(/>4), Еа, Е7.

Примерами полей, удовлетворяющих условиям теоремы 3 могут служить Q(Tl,..., Тк). <0>(х, Ть ..., Тк) (для некоторого алгебраического над <5 элемента х), ЩТЬ •.. ,Тк). 0(Т^7777П).

Результаты второй главы опубликованы в [32.33]

Третья глава посвящена изучению класса скрученной сопряженности единичного элемента и его основных свойств, а также его связи со строением группы. В частности, устанавливается, что если класс [е]г- является подгруппой для некоторого эндоморфизма группы в, то эта подгруппа нормальна в б.

В параграфе 3.2 рассматриваются классы скрученной сопряженности единичного элемента для внутренних автоморфизмов. Если /г некоторый элемент группы С. то обозначим через внутренний автоморфизм, индуцированный элементов Ь. а через [е]/, класс [е]г-ь.

Напомним, что группа принадлежит классу Куроша Черникова если в ней всякую нормальную матрешку можно уплотнить до центральной матрешки. В диссертации установлено следующее утверждение. Теорема 4 (в диссертации - теорема 7) Пусть группа в такова, что для любого Ъ е в класс скрученной сопряженности [с]Л является подгруппой группы в. Тогда группа в принадлежит классу Куроша-Чсрникова

Более того, для групп, удовлетворяющих условию теоремы 4 существует строго убывающая матрешка нормальных подгрупп (см. теорему 8 диссертации). В качестве следствия отсюда получается, что если группа имеет тривиальный центр и удовлетворяет условию минимальности для нормальных подгрупп, то у нес найдется внутренний автоморфизм, для которого класс скрученной сопряженности единичного элемента не является подгруппой.

Условие того, что класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма, накла-

13

дываст достаточно жссткнс условия на строение группы. Об этом говорит, в частности, следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 5 (в диссертации — теорема 9) Пусть группа б удовлетворяет одновременно у&говиям обрыва возрастают,их и убывающих цепей нормальных подгрупп, и для всякого элемента к € О класс [с],, является подгруппой. Тогда группа С нильпотснтна.

Всякая конечная группа удовлетворяет условиям этой теоремы, а потому из нее следует, что если для всякого элемента И конечной группы С7 класс [е]/, является подгруппой, то С нильпотснтна.

Параграф 3.5 посвящен исследованию класса скрученной сопряженности единичного элемента в группа Шеваллс над полем. Как уже упоминалось выше, если С1 абслева группа, то для любого автоморфизма группы С? класс [е]г- является подгруппой. Справедливо более общее утверждение. Предложение 2 (в диссертации - предложение 12) Пусть С группа. ■центральный автолюрфизм группы Ст. Тогда .множество [е]г-является подгруппой в С.

Оказывается, что для группа Шеваллс над некоторыми полями предложение 12 является критерием, а именно для групп Шеваллс, заданных условиями теоремы 5 пли теоремы 6 класс скрученной сопряженности единичного элемента [е]у- является подгруппой тогда и только тогда, когда (р центральный автоморфизм.

Результаты третьей главы опубликованы в [31,33]

Заключение

В диссертации исследовались классы скрученной сопряженности и свойство Лзс для групп Шсваллс (нормального типа) над целостными кольцами и полями нулевой характеристики. Особое внимание уделено связи свойств класса скрученной сопряженности единичного элемента группы со свойствами этой группы. Установлены следующие результаты:

1. Описаны некоторые классы колец, над которыми группа Шевалле (нормального типа) удовлетворяет свойству Ясс;

2. Установлено, что группа, в которой класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма, принадлежит классу Куроша-Черникова /Г и обладает строго убывающей нормальной матрешкой.

3. Установлено, что группа, удовлетворяющая условию обрыва возрастающих и убывающих цепей нормальных подгрупп, в которой класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма, нпльпотентна.

4. Доказано, что класс <р-сопряжснностн единичного элемента группы Шевалле является подгруппой тогда и только тогда, когда центральный автоморфизм.

Таким образом, список групп, удовлетворяющих свойству Я^, в котором до сих пор практически не было линейных групп, пополнен классом групп Шевалле над целостными кольцами и полями из достаточно обширного множества, включающего в себя Ъ. 2[г], <0>, И2(;г), <Ц>, <12(71,..., 21), Г,,.... 71). Шп. ..., 71). (¡2(21— ,7}.). К. г,„ <5,,. Помимо этого изучены свойства класса скрученной сопряженности единичного элемента в различных группах и их связь со свойствами самой группы п ее строением. В дальнейшем представляется интересным перенести полученные результаты на группы Шевалле скрученного типа и другие линейные группы.

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Валерию Георгиевичу Бардакову за неизменную всестороннюю помощь и поддержку. Автор благодарен Евгению Петровичу Вдовину за регулярную помощь н консультации в ходе выполнения работы, а также за стп-

мулнрованис мотивации и стремления заниматься. Автор благодарит Александра Леопольдовича Фсльштына и Елену Игоревну Бунину за полезные советы н консультации. Также автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории групп ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики ИГУ за дружескую творческую атмосферу и полученные знания.

Список литературы

1. G. Higman. В. Neumann, Н. Neumann. Embedding theorems for groups ,7 J. London Math. Soc. - V. 24. 1949. P. 247-254.

2. А. Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах. - М.: Наука. - 1989.

3. D. V. OsiN. Small cancellations over relatively hyperbolic groups and embedding theorems // Ann. Math. V. 172. №1. 2010. P. 1-39.

4. A. L. Fel'shtyn. New directions in Nielsen-Rcidcmcistcr theory Topology Appl. V. 157, №10-11. 2010. P. 1724-1735.

5. A. L. Fel'SHTYN. New directions in Nielsen Rcidcmcistcr theory /, ArXiv:0712.2G01.

6. A. L. Fel'shtyn, E. V. Troitsky. Twisted conjugacy classes in residuallv finite groups // ArXiv:1204.3175.

7. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologic der geschlossenen zweiseitigen Flaehcn I </ Acta Math. V.50. 1927. P. 189-358.

8. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologic der geschlossenen zweiseitigen Flachen II /7 Acta Math. V.53. 1929. P. 1-7G.

9. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologic der geschlossenen zweiseitigen Flachen III//Acta Math. V. 58. 1932. P. 87-167.

10. K. REIDEMEISTER. Automorphismen von Homotopickcttcnringcn // Ann. Math. V. 112. 1936. P. 586-593.

11. А. А кириллов. Элементы теории представлений. - М.: Наука. -1978.

12. A. L. Fel'shtyn, R. Hill. The Rcidcmcistcr zeta function witli applications to Nielsen theory and a connection with Rcidcmcistcr torsion K-Thcory. V. 8. №4. 1994. P. 367-393.

17

23. A. L. Fel'SHTYN, E. V. TROITSKY. Geometry о! Rcidcmeistcr classes and twisted Burnside theorem // K-theory. V. 1. - 2008. P. 1-40.

24. R. steinberg. Automorphisms of finite linear groups / / Canad. J. Math.

V. 121. - I960. P. C06-615.

25. J. E. humphreys. On the automorphisms of infinite Chcvalley groups Canad. J. Math. V. 21. - 1969. P. 908-911.

26. L. McQueen, B. R. McDonald. Automorphisms of symplectic group over local ring // .1. Algebra. V. 30, №1-3. 1974. P. 485-495.

27. В. Я. БЛОЩИЦЫН. Автоморфизмы симплсктнчсской группы Spj над локальным кольцом < Матем. заметки. Т. 33, №4. 1983. - 481-487.

28. Е. И. БУНИНА. Автоморфизмы элементарных присоединенных групп Шевалле типов Ai, Di, Ei над локальными кольцами с 1/2 // Алгебра и Логика. Т. 48, №4. 2009. С. 443-470.

29. Е. И. БУНИНА. Автоморфизмы групп Шевалле типов А/, Di, Ei над локальными кольцами с необратимой двойкой /7 Фундамент, и прикл. матем. Т. 15. №7. 2009. С. 48-80.

30. Е. И. БУНИНА. Автоморфизмы групп Шевалле типа В/ над локальными кольцами с 1/2 // Фундамент, и прикл. матем. Т. 15, Л»7. 2009. С. 3-46.

Работы автора по теме диссертации

31. В. Г. ВАРДАКОВ, Т. Р. Насыбуллов, М. В. НЕЩАДИМ. Классы скрученной сопряженности единичного элемента // Сибирский математический журнал. - Т. 54. №1. - 2013. С. 20-34.

32. Т. Р. насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в общей и специальной линейных группах // Алгебра п Логика. Т. 51, №3. -2012. С. 331-346.

33. Т. Р. Насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в группах Шевалле / / Алгебра и Логика. Т. 53, №6. 2014. - С. 735-764.

13. А. Л. фельштын. Число Райдсмайстсра любого автоморфизма гро-мовской гиперболической группы бесконечно ,// Зап. научн. сем. ПОМИ. Т. 279. - 2001. С. 229-240.

14. G. LEVITT. М. Lustig. Most automorphisms of a hyperbolic group have very simple dynamics // Ann. Scicnt. Ec. Norm. Sup. - V. 33. 2000. -P. 507-517.

15. A. L. Fel'SHTYN, D. L. Goncalves. Rcidcmeistcr numbers of any automorphism of Baumslag-Solitar group is infinite // Geometry and Dynamics of Groups and Spaccs. Progress in Mathematics. - V. 265. -2008. P. 286-306.

16. G. Levitt. On the automorphism group of generalised Baumslag-Solitar groups ,7 Gcom. Topol. V. 11. 2007. P. 473-515.

17. A. L. Fel'SHTYN. Yu. G. Leonov, E. V. Troitsky. Twisted conjugacy classes in saturated weakly branch groups ,7 Gcom. Dedicata. V. 134. -2008. - P. 61-73.

18. V. A. Roman'kov. Twisted conjugacy classes in nilpotcnt groups // J. Pure Appl. Algebra. V. 215. 2011. P. 664-671.

19. K. Dekimpe, D. L. Goncalves. The R^ property for free groups, free nilpotcnt groups, and free solvable groups // Bull. London Math. Soc. ■ V. 46. 2014. P. 737 -746.

20. E. G. Kukina, V. A. roman'kov. On the Rcidcmeistcr spcctrum and the property for some free nilpotcnt groups /7 ArXiv:0903.4533.

21. T. Mubeena, p. sankaran. Twisted conjugacy classcs in abelian extensions of ccrtain linear groups / / Canadian Mathematical Bulletin.

V. 57. 2014. P. 132-140.

22. R. Steinberg. Endomorphisms of Linear Algebraic Groups /7 Memoirs of AMS. V. 80. 1968.

Тезисы конференций

34. т. R. nasybullov. Twisted conjugacy classes in Clicvallcy groups // Hot topic workshop on Nielsen Theory and Related topics, Program & Abstract, Daejcon. Korea. 2013. - P. 12.

35. Т. P. НАСЫВУЛЛОВ. Классы скрученной сопряжснностн в линейных группах /7 Материалы XLIX Международной научной студенческой конферецнни «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск.

2011. С. 19.

3G. Т. Р. НАСЫВУЛЛОВ. Обобщение классов сопряженности в общей и специальной линейных группах 7 Международная конференция по теории колец, посвященная 90-летию со дня рождения А.И.Ширшова, Тезисы докладов, Новосибирск. - 2011. - С. 51.

37. Т. Р. насывуллов. Классы скрученной сопряженности в ннльпо-тентных группах /7 Материалы юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. 2012. - С. 18.

38. Т. Р. НАСЫВУЛЛОВ. Классы скрученной сопряженности в группах Шсвалле /' Материалы 52-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск.

2014. С. 12.

Насыбуллов Тимур Ринатович

Классы скрученной сопряженности в линейных группах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 03.03.2015 Усл. печ. л. 0,75 Тираж 100 экз.

Формат 60x84 1/16 Печать офсетная Заказ Ж' 22

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, г. Новосибирск, ул. Пнрогова, 2