Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп Лиева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

005051857

/V

Сулейманова Галина Сафиуллановна

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ И БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ УНИПОТЕНТНОЙ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 8 АПР 2013

Красноярск - 2013

005051857

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет"

Научный консультант

д-р физ.-мат. наук, профессор Левчук Владимир Михайлович

Официальные оппоненты:

Вдовин Евгений Петрович, д-р физ.-мат. наук, доцент, Институт математики СО РАН, заместитель директора по научной работе

Кондратьев Анатолий Семенович, д-р физ.-мат. наук, профессор, Институт математики и механики УрО РАН, отдел алгебры и топологии, заведующий сектором

Нужин Яков Нифантьевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, Сибирский федеральный университет,

кафедра "Математическое обеспечение дискретных устройств и систем", профессор

Ведущая организация

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 26 апреля 2013 года в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет" по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан марта 2013 года.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Бушуева Наталья Александровна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К главным в диссертационной работе относятся две исследуемые взаимосвязано задачи:

(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала II подгруппы Бореля группы й лиева типа над полем;

(Б) Описать большие абелевы подгруппы группы б лиева типа над конечным полем.

По-видимому Уир [19] первой начала изучать задачу (А); она решила ее для унитреугольной группы 11Т(п, К) над конечным полем нечетного порядка. В [6] задача (А) решена для всех групп 11Т(п, К) над полем К.

Большой V-подгруппой конечной группы для любого теоретико-группового свойства V называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка. Изучаемая с 1970-х годов задача описания больших абелевых подгрупп конечных групп лиева типа восходит к А.И. Мальцеву, выделившему задачу о нахождении абелевых подгрупп максимальной размерности в комплексных простых группах Ли, [10].

Для одной серии классических комплексных групп Ли решение его задачи было известно: И. Шур в начале прошлого века указал наивысшую размерность абелевых подгрупп групп БЬ(п, С) и доказал, что абелевы подгруппы этой размерности при п > 2 переводятся друг в друга автоморфизмами.

Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексной алгебре Ли, ассоциированной с соответствующей системой корней Ф, и последующей редукцией к задаче нахождения абелевых подалгебр наивысшей размерности, все элементы которых нильпотентны; автоморфизмами они переводятся в нильпо-тентную подалгебру 7УФ(С) с базисом {ег | г е Ф+} алгебры Шевалле, [12].

Подобно схеме из [10] задача (Б) о больших абелевых подгруппах групп лиева типа редуцируется к аналогичной задаче для групп V. Более точно, большая абелева подгруппа конечной группы С? лиева типа совпадает с большой абелевой унипотентной подгруппой или с одним из максимальных торов в С; последние в 1978 - 1984 гг. перечислили Р. Картер и Д. Деризиотис.

В 70-80-е гг. Барри и Вонг в серии работ описали для классических типов множество A(U) больших абелевых подгрупп группы U вместе с подмножествами An(U) нормальных в U и Ae(U) элементарных абелевых подгрупп в ¡7, а также подгруппы Томпсона J(U) = (А \ А е A(U)) и Je(U) = {А \ Ае Ae(U)).

В 1986 г. в обзоре A.C. Кондратьева [4] записана, как проблема (1.6),

Проблема (В). Описать множества A(U),A,,(U),An(U) и подгруппы Томпсона J(U), Je(U) для оставшихся случаев G.

Порядки a(U) больших абелевых подгрупп в U и подгруппы Томпсона в 1999 - 2001 г. устанавливал Е.П. Вдовин [3], развивая метод А.И. Мальцева [10] с использованием компьютерных методов.

Применяемый в работах Варри, Вонга и Е.П. Вдовина подход к задаче (Б) отличается от подхода в диссертации (анонс см. [9]), связанного с предварительным решением задачи (А) и подтверждением следующей гипотезы.

Гипотеза (Г): Верно ли, что большая нормальная абелева подгруппа в U всегда есть большая абелева подгруппа ?

(Примеры показывают, что большая нормальная 'Р-подгруппа конечной группы в общем случае не обязана быть большой Р-подгруппой.) Поскольку решение задачи (А) сразу же дает описание больших нормальных абелевых подгрупп в U, то одновременно найдем множество Ац{1}) и порядки a(U). Далее (Б) редуцируется к следующей задаче.

(Д) Выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена с нормальной подгруппой в U, и описать исключения.

Решение задачи (А) дает решение и другой известной задачи. Абелеву нормальную подгруппу А в U называют экстремальной, если она не лежит во втором члене U2 стандартного центрального ряда в U. С целью применения к симплектическим амальгамам [17] и в ревизии ККПГ (классификации конечных простых групп), Паркер и Раули изучают в [15] - [18] следующую задачу.

(Е) Описать группы U с экстремальной подгруппой, то есть с нормальной абелевой подгрупппой, не лежащей во втором члене U2 стандартного цен-

трального ряда в U.

В [7], [8] вопросы нормального строения и автоморфизмов групп U исследовались взаимосвязано. Наиболее изучено нормальное строение группы U типа An-i, то есть унитреугольной группы UT(n,K). Она представлена в [6] как присоединенная группа кольца NT(n, К) (нижних) нильтреугольных матриц над К (относительно присоединенного умножения aob = a + b + ab); ассоциированное кольцо Ли изоморфно кольцу N$(K) типа An_i. Там же доказано, что нормальные подгруппы присоединенной группы кольца NT(n, К) - это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли; они описаны, когда К - тело.

Вопрос характеризации радикальных колец с таким соответствием записан в [5], вопрос 6.19 (см. там же комментарий Е.И. Хухро к этому вопросу) и 10.19. Указанное структурное соответствие изучалось для кольца Rn(К, J) всех п х п-матриц с коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей и элементами из его идеала J на и над главной диагональю. Естественна задача

(Ж) Изучить нормальное строение U и соответствие нормальных подгрупп в U = 1/Ф(К) над полем и идеалов ассоциированного кольца Ли ЛГФ(А").

С 90-х годов стали систематически изучаться локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а & А как некоторый автоморфизм алгебры А, зависящий, вообще говоря, от выбора а. Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [13]. Естественно возникает задача

(3) Построить примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр N$(K).

Исследования нормального строения и автоморфизмов классических линейных групп и групп Шевалле традиционно вызывают интерес, они отражались в обзорах Д.А. Супруненко, Ю.И. Мерзлякова [11], A.B. Михалева, Абэ и др.

Целью работы является решение задач (А) - (3).

Основные методы исследования. Наряду с общими методами исследования теории групп, колец и алгебр Ли, используются специальные методы А. И. Мальцева и Е.П. Вдовина. Введенные фреймы и специальное представление унипотентной группы U позволили использовать в исследовании ее нормального строения линейные методы.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в ревизии классификации конечных простых групп, в исследованиях групп, колец и алгебр, а также при чтении спецкурсов.

Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на алгебраических семинарах в МГУ (2007), ИМ СФУ (2012). Они были представлены на "Мальцевских чтениях"(Новосибирск, 2004, 2006, 2009, 20011, 2012), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004), на Всероссийском симпозиуме "Абелевы группы"(Бийск, 2005, 2006), на Международной конференции "Antalya Algebra Days IX"(Ankara, 2007), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения "(Красноярск, 2007), на Международной конференции "Классы групп, алгебр и их приложения"(Гомель, 2007), на Международном российско-китайском семинаре "Алгебра и логика" (Иркутск, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), на Международной школе-конференции, посвященной 60-летию A.C. Кондратьева (Челябинск, 2008), на Международной конференции "Алгебра, логика и приложения" (Красноярск, 2010), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию С.Н. Черникова (Киев, 2012).

Основные публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]—[43], 11 из которых - в изданиях из перечня ВАК. Все совместные результаты получены в неразделимом соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация изложена па 128 страницах. Она состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 9© наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации исследуются задачи (А), (Ж), (3) и проблема о больших абелевых подгруппах групп лиева типа. Основными ее результаты следующие.

1. Описаны максимальные абелевы нормальные подгруппы радикала 1} подгруппы Бореля группы С? лиева типа над полем и, как следствие, дано новое решение задачи Паркера - Раули об экстремальных подгруппах в и (совместно с В.М. Левчуком).

2. Перечислены большие нормальные абелевы подгруппы конечных групп и, доказано, что они являются большими абелевыми в II и завершено (для типов С?2, и 2Е$) вычисление порядков больших абелевых подгрупп в и (совместно с В.М. Левчуком).

3. Доказано, что любая большая абелева унипотентная подгруппа группы С? сопряжена с нормальной подгруппой в и или С? есть типа или 2 Ее (совместно с В.М. Левчуком).

4. Описаны исключительные большие абелевы унипотентные подгруппы и завершено (для типов <32, 3Д4, 2Ев и Еа) вычисление подгрупп Томпсона в С/. Завершены решения проблем о больших абелевых подгруппах в [/ и в С (для типов 3D^ - совместно с В.М. Левчуком).

5. Построены примеры нетривиальных локальных автоморфизмов лиевых алгебр ЛГФ(К) классических типов, описаны автоморфизмы обобщенных (финитарных) унипотентных групп и над полем (совместно с В.М. Левчуком).

6. Установлены критерии нормальности подгрупп в С/, выявлены все случаи для групп Шевалле, когда нарушается стандартное соответствие нормальных

подгрупп группы II и идеалов ассоциированного кольца Ли Л^Ф (К) (совместно с В.М. Левчуком); для типа разработано перенесение соответствия на произведение I/ и конгруэнц-подгруппы группы б над кольцом.

Глава 1 посвящена нормальному строению унипотентной подгруппы групп лиева типа.

В § 1.1 приводится необходимая терминология, связанная с группами лиева типа. Наряду со стандартными корневыми подгруппами Хг группы Шевалле Ф(К), ассоциированной с системой корней Ф, в скрученной группе типа тФ однопараметрические корневые множества Хг сопоставляем каждой "-орбите в Ф, где "есть подстановка Ф, соответствующая симметрии порядка т — 2 или 3. Таким образом,

и = иС(К) = {Х,\з<=в+), в = т ФилиФ.

В этом же параграфе вводится гомоморфизм £ решетки корней системы Ф на решетку такой системы корней, что С(г) = С(з) г = в или г = э или в = г. Если т = 2 и Ф типа £>„+1 ,А2п-1, А2п, Ее или (т, Ф) = (3, £>4), то £(Ф) есть система корней, соответственно, типа Вп, Сп, ВСп, или <32.

Подробно данная терминология описана в [21], [22], [27], [28].

В § 1.2 приводится специальное представление группы 1Ю(К) из [7], [8]. В А'-алгебре Ли с базисом Шевалле {ег (г € Ф), • • • } [12, § 4.4] выберем подалгебру ЛГФ(АГ) с базисом {ег | г е Ф+}. Известно, что любой элемент 7 6 и однозначно записывается как произведение корневых элементов хг(уг) (г 6 Ф+), расположенных согласно фиксированному (произвольно) упорядочению корней [12, 5.3.3]. Полагая

Ф) = Е ^ Ь е ицк)),

геФ+

ао (3 = 7г(7г_1(а)7г_1(/0)) (а,/3 е NФ(K)),

мы определяем присоединенную группу (МФ(К), о), изоморфную группе 11Ф(К). Аналогично рассматривается представление для групп II скрученных типов. Когда сомножители не зависят от выбранного упорядочения, будем использовать в записи вместо присоединенного умножения о сложение.

Данное представление группы U и вводимые в § 1.3 понятия фреймов и углов подмножеств в U позволяют применять линейные методы в исследовании нормального строения группы СЛ. В § 1.3 устанавливаются естественные критерии нормальности подгрупп в U.

Пусть М+ при г е G есть совокупность s е G+ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении s — г через базу П. Положим

Г(г) = {Ха I в 6 W+), Q(r) = {Xs\se {г}+ \ {г}).

Если Я С T(ri)T(r2)... Т(гт) и включение нарушается при любой замене Т(п) на Q{n), то назовем {ri,r2, • ■ ■ ,rm} = £(Н) множеством углов для Н. Когда s-проекция любого элемента из Я равна произведению r-проекции на фиксированный скаляр ф 0, назовем г, s связанными в H, а при p,r + p,s + р £ G+ их называем также р-связанными.

Фреймом для H С U назовем множество J~{H) такое, что

НЩЯ П х„ ?{Н) = Н mod П Q(s).

ss £(Я) sS£(H)

Ясно, что элементы из Я дают фрейм Т(Н), если в их канонических разложениях отбросить все сомножители с г ÇL £(Я).

В большинстве случаев критерием нормальности подгруппы Я группы U является следующая

Теорема 1.3.1. Пусть Я - подгруппа группы U классического типа или типа Еп над полем К. Если 2К = К или U типа Ап или 2Ап, то H<U в том и только том случае, когда Н,ХР]) Ç Я для каждого р € П((3). Для типа Dn (или 2Dn), если Я <U и ^{[Н, Хр]) g Я, то существуют простые углы г, г (соответственно, ((г)J и р-связанный угол в Н, проекции Я на которые имеют порядка 2.

Следующая теорема дает описание нормального строения группы U перечисленных в условии теоремы типов.

Теорема 1.3.8. Пусть UG(K) - группа типа Вп, Сп при 2К = К или типа А>> 2Ап. Подгруппа Я нормальна тогда и только тогда, когда для любого угла г подгруппы Я и любого р е n(G) с условием г+р е G имеем

(A) H[H,Xp\)Q(r + p)QH,

или G = Вп и выполнено условие

(B) два угла в [Я, являются q-связанньши для некоторого q 6 n(G), два угла в [Я, Хя] - связанные и Т{\Н, ХР\)Т{[Н, Xq])Q(r + p,r + p + q) С Н.

Теорема 1.3.8 переносится на исключительные группы UCn(K), 2К = 0, с помощью модификации понятий углов и фреймов - 2-углов и 2-фреймов.

Подмножество S в Ф+ назовем 2-нормальным, если включения seS,i,s + t, is+jt e Ф+ с нечетной константой CijiSt (г, j > 0) из коммутаторной формулы Шевалле всегда дают включение is+jt е S. Через {r}J обозначим минимальное 2-нормальное подмножество в Ф+, содержащее г. Наряду с Т(г) и Q(L) полагаем

T{r} =(Х,\ se (r}+), Q{L} = (X, | 5 6 UreiM2+ \ L), L С Ф+.

Назовем {гх,г2, ■■■ ,rm} множеством 2-углов с обозначением С2{Н) в Я С T{rl}T{r2} ... T{rm}. если при любой замене Т{на Q{r,} включение нарушается. Заменив в определении фрейма Т{Н) множеств Q(s) на £?{s} и £(Я) на С2(Я), приходим к 2-фрейму F2{H).

Теорема 1.3.9. Подгруппа Я группы UCn{K) над полем К порядка >2 и характеристики 2 нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее 2-угла г и простого корня р с коротким корнем г + р выполнено одно из следующих условий:

(.А2) ([Я, Xp])Q{r +р} С Я и при И ф |р| также Q{r + р + s} С Я для короткого корня s € {г, р};

(В2) в [Я, Хр] два 2-угла q-связаны для простого корня q, в [Я, два 2-угла связаны, причем F2{[H, ХР\)Т2{\Н,Xq})Q{r + p,r + р + q} С Н.

Нормальное строение группы UC„(2) более громоздкое и приведено в теореме 1.3.10.

В общем случае нормальное строение групп U более сложное. В группах U типа Dn и 2Dn существуют максимальные абелевы нормальные подгруппы М такие, что вес коммутаторов [[• • • [[М, [/],[/]•••], ¡7], не порождаемых корневыми подгруппами, неограничено растет вместе с п. В § 1.4 приводится описание нормального строения групп UDn(K), U2Dn{K) и UEn(K) при 2К = 0.

Теорема 1.4.1. Подгруппа Н группы МОп(К) нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее угла г и р е П(б) сг+реб имеем (А), (В) или

(Л) г, г г есть р-связанные углы в Н и существуют простые корни Рз = р^ и корни Г] = г + Р1 + рг + ■ ■ ■ + Р} с Р1 = р, 1 < ] < М > 1, для которых {г, г)-проекция и (гг ^-проекции в Н при j < t — 1 порождают в К-модуле (К, К) подмодуль К(а,Ъ), (гг-1,^-1)-проекция равна К(а,Ъ) или в Н есть рг-связанный с г^ 1 угол ф гг-1, причем

й,г + г+р)+ Г{[[Н,ХР),ХГ)) + Т{\\Н, Х„],ХГ]) г

+Н[н, *Р1]) + X] к(аеп + Ю ^ н

и либо Хр])Ч-Т(г+г +р) С Н, либо \ НГ\ = 2, угол г простой, р-связанный

с углом в = И, и Н Э К{аег+Р + Ье?+Р — аЬег+(=+р — се„+г, | а € Щ, Ь € Щ, с 6 Я*}. Описание нормального строения групп II типа

'А, и Еп приведено в теоремах 1.4.2 и 1.4.3, соответственно.

Понятия фреймов и углов введены в [21]. Там же анонсированы теоремы 1.3.8, 1.3.9, 1.4.1, 1.4.2. Теорема 1.3.1 опубликована в [27]. Теоремы 1.3.9 и 1.3.10 опубликованы в [39]. Теорема 1.4.3 опубликована в [40]. Доказательства остальных теорем приведены в [28].

Во второй главе устанавливается описание максимальных абелевых нормальных подгрупп групп II.

В § 2.1 перечисляются максимальные абелевы нормальные подгруппы групп и исключительного типа лиева ранга < 2.

Теорема 2.1.1. В группе II ранга < 2 все максимальные абелевы нормальные подгруппы исчерпываются следующими подгруппами:

a) (7}и2 (7 е и \ и2) при в = 2В2;

b) И2 при в = 2С?2 или в2, 3К = 0,-

c) 1/3 при С? = Сг2} если 6К = К, и, кроме того, РС{К) • С/4 (с 6 К), если 2К = 0, а при \К\ = 2 также {а) х (/31(1)), где

а = жа(1)ж2а+ь(1), /Зс(4) = ха+ь^)х2а+ь^с);

d) U3 при G = 3£>4 и если 2К = 0, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, подгруппы ßc(K^)x2a+b{K1+<7) ■ U4 (с 6 К), а при \Ка\ = 2 также

(а) х (А(1)> х х2а+ь(К1+а).

В § 2.2 рассматриваются максимальные абелевы нормальные подгруппы классического типа. Группа UAn(K) (то есть группа U типа Ап) изоморфна унитреугольной группе UT(n + 1, К). Ее максимальные абелевы нормальные подгруппы описала Уир [19, Теорема 7]), в случае конечного поля К нечетного порядка. Когда К — произвольное поле (или даже тело), они перечислены в [6, Теорема 3]. Напомним, что централизаторы С(Т(г)) подгрупп Т(г) найдены в [8].

Лемма 2.2.1 С точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, всякая максимальная абелева нормальная подгруппа группы иА„(К) есть Т(р) или подгруппа (1) или при 2К = 0,п > 3, подгруппа (2) для подходящих г, г' G Ф+, простого корня р и с е К:

а{К)(С(Т(г)) П С(Г(0)), a(t) = *r(i)xr,(i) (t G К), r + r' = p; (1)

ß(K)(C(T(r)) П C(T(r'))){xr(t)xri(t)xr+p(ct) 11 e K}, (2)

ß(t) = xr+p(t)xrl+p (t), r + r' +p = p.

Максимальные корни p систем корней G перечислены в [1, таблицы 1-1Х].

Подмножество Ф в Ф+ называем нормальным, если {s}+ С Ф для всех s б Ф и, следовательно, Ху = (Хт | г е Ф) < U<b{K). Подмножество Ф в Ф+ называется, согласно А.И. Мальцеву [10], коммутативным или абелевым, если r+s ^ Ф для всех г, s G Ф. В этом случае Ху есть прямое произведение корневых подгрупп. При Н С UG(K) положим

Ф(Я) = {г € G+ | НПХг ф 1}.

Совокупность углов каждого элемента из Я, пе лежащих в Ф(Я), и сумм таких углов в (3+ обозначаем через Ф(Я). Для подгрупп Я вида (1) или (2) имеем ф(Я) = {г,г',р} или {г, г', г +р,г' + р, р}, соответственно.

Нормальное замыкание М0 в группе иОп{К) подгруппы а(К) с простыми углами г и г' = г абелево при 2Л" = 0 и Ф(Мо) = {г}+ и {г'}+. Когда п = 4, существуют р, д € П(Ф) такие, что Мо имеет вид

а(К)0(К)(С(Т(г)) П С(Г(г')))К+р+,ВД1г<+р+,(4) | * е К}. (3)

Теорема 2.2.2. Пусть М — максимальная абелева нормальная подгруппа группы и = 11Ф(К), р(Ф)\К = К. Тогда Ф = Ф(М) - абелево нормальное подмножество и Ху С М. При М ф Ху, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, либо

(%) ~ иТ{3,К) и М вида (1), либо

(H) 2К = 0, р(Ф) = 1 и Хф П М имеет р-связанные углы для простого р. Кроме того, в случае (И) выполнено одно из следующих утверждений:

a) М имеет вид (2) и ХРХФ ~ иТ{А,К),

b) и = и04{2) = ХуХ,,,

c) 17 - группа типа Ип или Ет, и х Хв ~ [и04(К), иИ4(К)] для некоторого в ё Ф,

(I) М имеет вид Мо для типа Ип или (3) для типа Ет.

Список максимальных абелевых нормальных подгрупп групп С/ классических типов приведен в теореме 2.2.4.

В § 2.3 теорема 2.2.2 доказывается для групп и типа Еп.

Группы 1/ типа рассматриваются в § 2.4. Для системы корней

типа используется ее представление из [7]. Там же см. представление группы и2Р4(К). В группах иР4(К) и и2Е6(К) выделим следующие подгруппы, где Е = К и Е = Ка, соответственно:

Т(д43)^б, Г(р4,-07493,-2), Т(р4,-1Жз,-2(*К42М I * € (4)

Т(Р42)Х„43, Т(Р42)ХР13, Т(РЗ,-2), Г(рз,-2)т, Г(94,_2)ХР11ХР3^-, (5)

I « 6 ВД 5 = Т(943)Г(Р41) ИЛИ Г(?3,-2)*«,; (6)

(г)\геК}Т(Р,,_1)хр^, Б = хщзхР12 иш (7)

(*«.(!)*«.№> г(р«) {йек<)- (8)

(г)\гек)х (*«,_,(«)*„,(<&) \ гек)] т{р^)хГ11. (9)

Теорема 2.4.1. Максимальные абелевы нормальные подгруппы в группах 1}Рц{К) и и2Ев(К), с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, исчерпываются подгруппами (4) при 2К = К. Если 2К = 0, то они исчерпываются подгруппами (5) - (9), и, соответственно, (4), (Т(р31_2) П Еб{Ка))ит, а также

I * 6 Р}х^{ка)т{Ча)и7 и ек\К„). (10)

В группе 112Е^(К) их исчерпывают подгруппы

(Я4з(1))Д42(ВД, {Дз.-гИАяИ | < е К}и5 (с е К). (11)

§ 2.5 посвящен задаче Паркера-Раули об экстремальных подгруппах. Нормальная абелева подгруппа А группы и = 1Ю{К) в [15] названа экстремальной, если А и2, то есть А 11р = (Хг \ г 6 г ф р) для некоторого р € 11(6), в обозначениях [12, § 8.1]. Это означает, что А имеет простой угол р.

С целью приложений к симплектическим амальгамам [17] и ревизии классификации конечных простых групп, К. Паркер и П. Раули [15] - [18] решают (за исключением групп II типа следующую задачу.

Задача Паркера — Раули. Выявить группы II, имеющие экстремальные подгруппы, и простые углы в таких подгруппах.

Полученное в §§ 2.1 - 2.4 описание максимальных абелевых нормальных подгрупп группы II дает также описание экстремальных подгрупп и, таким образом, дает новое решение задачи Паркера - Раули. В то же время, уточняются результаты из [15] и [16] для групп II типа и 2£>4.

Зафиксируем симметрию " порядка 3 графа Кокстера системы корней Ф типа Г>4, простые корни д = д, г,г,г и общий для групп IIВ ^{К) и и2Б4(К) элемент

■д = тг(1)а;,(1)хг-(1)х3_г(1)2;8_г-(1)з;5_?(1) (з = д + г + г + Г). (12)

Теорема 2.5.1. Нормальное замыкание элемента (12) в группах II£>4(2) и и2Л4(4) является экстремальной подгруппой с тремя или двумя простыми углами, соответственно. Группы иЛ4(К), \К\ >2 и, аналогично, и20±(К), \К\ > Ане содержат экстремальных подгрупп, имеющих > 3 или > 2 простых углов, соответственно.

Замечание. Согласно [16, Теорема 1.2], если группа и2О^К) имеет экстремальную подгруппу с двумя простыми углами, то 2К = 0. Экстремальную подгруппу группы иП±(К) над любым полем К характеристики 2, имеющую три простых угла, дают пример [15, стр. 396 - 397] и теорема 1.3 там же. Теорема 2.5.1 показывает, что для выбранных групп имеем \К\ = 4 и \К\ = 2, соответственно.

Результаты второй главы анонсированы в [21], полные формулировки и доказательства приведены в [28].

Как следствие основных теорем главы 2, в третьей главе (§ 3.1) перечислены большие нормальные абелевы подгруппы (теоремы 3.1.1 и 3.1.2).

Теорема 3.1.1. Большие нормальные абелевы подгруппы группы 1Ю(К) исключительного типа над конечным полем К исчерпываются следующими подгруппами:

a) (а) х (^(1)) в ¡7(72(2), Щ и 0С{К)1У4 в ив2{К), 2К = 0, \К\ > 2;

b) и3 в ив2[К), 6К = К,и и2 при ЗК = 0, в = в2 или 2в2;

c) и3 в и3О^К), 2К = К, и Т{цы)иь при 2К = К, в = или 2Е6; й) с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом,

/Зс(К^х2а+ь(К1+") -и4 и и3 в и3Б^К),2К = 0, \К,\ > 2,

(а) х {/М!)) х хм(К1+а) в [/3Я4(8), (13)

Т(р3,_2)т, ХР13Т(р 42) ) ^РАЗ 1 {^<73,-2 <742

Г(рз,_2), х,13т(р42), (0*14,(0 I г 6 к}х^т(Ри) в ир,(к)

при 2К = 0 и, кроме того, {2ч,4з(1):е,4з(1))Т(р42) при \К\ = 2,

(Т(р31.2)пЕ6(К„))и7 в и2Е6(К), 2К = 0; (14)

е) (Д4з(с))Д42(ЛГ)С/5 (с ф 0) при С? = 2^4, (7)[/2 (7 € и \ и2) при в = 2В2;

/) Т{а 1 + 2а2 + 2а3 4- За4 + 2а5 + «а) в иЕв(К), Т(а7) в иЕ7{К) и, наконец, Т(а1) и Т(а6) в 1ГЕ6(К).

Теорема 3.1.2. Большие нормальные абелевы подгруппы группы иС(К) классического типа над конечным полем К исчерпываются следующими подгруппами:

а) Тп+для типа А2п-1, а для типа А2п, п > 1, еще Тп+2,п+1/

б) Гх_1 при б = Сп, п > 2, или 2А2п-1, а для типа 2А2п - подгруппы Тг-1 + ¿К„еп о;

в) Т2-1 + Тп0 или Тпп-1 при в = Вп, 21)„+1 и 2К = К, соответственно, случаям п>4ип<4, а для п = 4 - обе подгруппы;

г) подгруппы б) теоремы 2.2.4, когда б = Бп, 2А,+1 и 2К = 0, а для (3 = £>п также подгруппы Т2-\, Т2'_1 и при п = 4 еще Т43.

В § 3.2 отражается развитие исследований по проблеме о больших абелевых подгруппах.

Основным результатом § 3.3 является

Теорема 3.3.1. Пусть С/ = 1Ю(К) для конечного поля К. Подгруппа в и является большой нормальной абелевой подгруппой тогда и только тогда, когда она является нормальной большой абелевой подгруппой.

В § 3.4 доказана

Теорема 3.4.1. Всякая большая абелева подгруппа группы £/С(<?) классического типа сопряжена в с нормальной подгруппой из 1Ю(д).

В общем случае это не так.

Предложение 3.4.2. Пусть и есть группа и30^(К) над конечнъш полем К = 2К или группа 1Ю2(К), 6К = К. Тогда в 17 существует большая абелева подгруппа, не сопряженная в группе Шевалле ни с какой нормальной подгруппой из и.

Результаты § 3.1 и § 3.3 опубликованы в [28]. Результаты § 3.4 опубликованы в [22].

Глава 4 посвящена большим абелевым подгруппам групп V исключительных типов. В связи с теоремой 3.4.1 и описанием Ак(11) в теоремах 3.1.1 и 3.1.2,

проблема о больших абелевых подгруппах редуцируется к следующей задаче.

Задача о G-сопряженных больших абелевых подгруппах. Выяснить, в группах U каких лиевых типов всякая большая абелева подгруппа G-сопряжена с нормальной подгруппой в U, и перечислить исключительные большие абелевы подгруппы.

В § 4.1 этой главы задача редуцируется к группам U лиева типа G2, 3-D4, F4 и 2Е6.

В группах U типа Ев, Е7 и 2F4 всякая большая абелева подгруппа нормальна, в силу [10] и [3]. Для групп UEs(K) справедлива

Теорема 4.1.2. В группе G лиева типа Е% над конечным полем большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы U попарно G-сопряэюепы.

В § 4.2 рассматриваются большие абелевы подгруппы групп U типа G2 и 3£>4. Как и в § 1.1, в записи корневых элементов xr(t) групп U типа G2 и 3D4 будем использовать корни системы G2. Выбирая простые корни a and b так, что |а| < \Ь\, используем гиперцентральный автоморфизм q (d € К) группы U (см. [7]), для которого sd{xb{t)) = хь(Ь)хза+ь{2д.Ь) mod U5 (t е К). Полагаем

а := ха (l)i2a+b(l), 0c{t) := xa+b(t)x2a+b(tc). (15)

Теорема 4.2.1. Каждая большая абелева подгруппа группы U = UG2{K) является С2{К)-сопряжепной с одной из следующих подгрупп:

a) с нормальной большой абелевой подгруппой в U;

b) с образом относительно автоморфизма q (d € К) подгруппы, которая (Хапа)-сопряжена с U3 или Xa+bU4 при 6К = К;

с) {xb(t)x3a+b(t) | t е K}/3d{K)U5 {d € К) for even |A"| > 2; (16)

d) (a,Pi(l))Ui при \K\ = 4.

Аналогично в этом же параграфе приводится описание для групп U типа 3D4.

В § 4.3 рассматриваются большие абелевы подгруппы групп U типа F4. Для системы корней Ф типа J4 через abed обозначим, как ив [1], корень аа 1 + ba2 +

саз + da4, где o¡i, а2, a¡, а4 - простые корпи. Основная теорема использует в группе U типа F.4 подгруппы

{E001l(í)Zl22l(eit) I t 6 K}{x0ui{t)xn2l(c2t) | t в К}

{xlm(í)x0i2i(c3í) 11 е К}Х1231Т(0122) (сьс2,сз е К). (17)

Теорема 4.3.1. В группе Шевалле G типа над конечным полем К каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы, U сопряжена в G либо с нормальной подгруппой в U, либо, когда 2К = 0, с подгруппой (17) или ее образом относительно графового автоморфизма. Подгруппа (17) не сопря-OfC&HCL в G с нормальной в U подгруппой.

Случай групп U типа 2Е6 рассмотрен в § 4.4.

В § 4.5 для уточняются известные результаты из [3, таблица 4] о подгруппах Томпсона для типов G2, 3D¿, 2£g и

Используем обозначение из [12]: пТ для мономиальных элементов и подгруппы Ur = (ХГ | г е G+\{r}), г е II(G). Для систем корней типов Еп и F4 простые корни обозначаются через ai, a2, • • • , как в [1, таблицы V-VIII].

Теорема 4.5.1. Пусть К - кончное поле и U = UG(K). Тогда:

a) J(U) = JC(U) = U в UG2{K), \К\ > 2, и в U3D4{K),\Ка\ > 2;

b) Je{U) = 1 и J{U) = T(a) в U3Di{8);

c) Je(U) = 1, J(U) =< a > x < a"' >,a = ха(1)х2а+ь(1) e UG2{2);

d) J(U) = Je{U) = Uai в U2E6(K);

e) J(U) = JC(U) = Ua7 П Ua& в UES(K).

Теорема 4.1.2 опубликована в [26]. Результаты § 4.2 опубликованы в [30]. Результаты § 4.3 опубликованы в [23] и [25]. Результаты § 4.4 опубликованы в [29] и [30]. Теорема 4.5.1 опубликована в [30].

Первый параграф пятой главы посвящен соответствию нормальных подгрупп группы 1/Ф(К) и идеалов ассоциированного кольца Ли Д^Ф(К).

Кроме того, в этом же параграфе строятся примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр Ли Л^Ф(К) клас-

сического типа. Напомиим, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а е А как некоторый автоморфизм алгебры А, зависящий, вообще говоря, от выбора а. Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования; последние, как известно, образуют кольцо Ли. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [13] для подалгебры треугольных матриц в М(3, С) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.

Каждый элемент а алгебры Ли ИФ(К) классического типа в § 1.2 представлен Ф+-матрицей ||а„„||. Пусть п - ранг Ф, а р - максимальный корень. По аналогии с эндоморфизмами ipnn-2,t алгебры NT(п, К) выделим при i € К следующий эндоморфизм

<Рпп-2,t ■■ а ia„,n_2ep (a = ||au„|| € ЛГФ(К))

К-модуля ЛГФ(К). Справедлива

Теорема 5.1.5. Если Kt - единственный минимальный ненулевой идеал кольца К, то fnn-2,t есть локальное дифференцирование алгебры Ли ЛГФ(АГ) типа Ап, Вп,Сп (п > 3) или Dn (п > А), а 1 + <pnn-2,t ~ локальный автоморфизм.

В § 5.2 рассматривается случай алгебр Шевалле над кольцами. Через Rn(K, J) далее обозначается кольцо всех п х n-матриц с коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей и элементами из его идеала J на и над главной диагональю. В [14] описаны идеалы кольца R„(K, J) для случая коммутативного сильно максимального идеала J. В [20] этот метод переносился на случай ассоциированного кольца Ли. Там же показано, что существует алгоритм построения нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца Rn(K, J) из его лиевых идеалов.

Теорема 5.2.1 обобщает описание идеалов из [14] для случая некоммутативного сильно максимального идеала J.

В § 5.3 строятся финитарные обобщения унипотентных подгрупп классических групп скрученных типов и доказывается

Теорема 5.3.4. Всякий автоморфизм финитарной унипотентной группы UG(K) над полем К типа G = Вг, Сг, Dr, 2АГ или 2Dr равен произведению fiXi где ¡л. — стандартный автоморфизм, а х ~ локально гиперцентральный автоморфизм, когда 2К = 0 при G = В? или Сг, и гиперцентральный автоморфизм высоты <5 а остальных случаях.

Результаты § 5.1 (кроме теоремы 5.1.5) опубликованы в [21] и [40]. Теорема 5.1.5 опубликована в [24]. Результаты § 5.2 опубликованы в [36]. Результаты § 5.3 опубликованы в [22].

Список литературы

[1] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). - М.: Мир, 1972.

[2] Вдовин Е. П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле // Матем. заметки, т. 68 (2000), вып. 1, с. 53-76.

[3] Вдовин Е.П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 40 (2001), № 5, с. 523-544.

[4] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи математических наук, т. 41 (1986), № 1 (247), с. 57-96.

[5] Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 17-е изд., ИМ СО РАН, Новосибирск, 2010.

[6] Левчук В.М. Связи унитреутольной группы с некоторыми кольцами // Алгебра и логика, т. 15 (1976), № 5, с. 558-578.

[7] Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 29 (1990), № 2, с. 141-161.

[8] Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 29 (1990), № 3, с. 315-338.

[9] Левчук В.М. Обобщенные унипотентные подгруппы классических линейных групп // Фунд. и прикл. математика, т. 2 (1996), № 2, с. 625-627.

[10] Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Известия АН СССР, сер. матем., т. 9 (1945), № 4, с. 291-300.

[11] Мерзляков Ю.И. Линейные группы, В "Итогах науки и техники. - Алгебра. Топология. Геометрия", т. 16, ВИНИТИ - М., 1978, с. 35-89.

[12] Carter R. Simple groups of Lie type. - New York: Wiley and Sons, 1972.

[13] Crist R. Local automorphisms // Proc. AMS, vol. 128 (2000), p. 1409-1414.

[14] Kuzucuoglu F., Levchuk V. M. Ideals of some matrix rings // Commun.Algebra, vol. 28 (2000), no. 7, p. 3503-3513.

[15] Parker C. and Rowley P. Extremal subgroups in Chevalley groups // J. London Math. Soc, vol. 55 (1997), no. 2, p. 387-399.

[16] Parker C. and Rowley P. Extremal subgroups in twisted Lie type groups // J. Reiene Angew. Math., no. 498 (1998), p. 135-152.

[17] Parker C. and Rowley P. Symplectic Amalgams, Springer Monographs in Mathematics, London. Springer-Verlag London, Ltd. 2002.

[18] Parker C. and Rowley P. Unique node extremal subgroups in Chevalley groups // Comm. Algebra, vol. 31 (2003), no. 7, p. 3471-3486.

[19] Weir A.J. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p // Proc. Amer. Math. Soc., vol. 6 (1955), no. 3, p. 454-464.

Работы автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК

[20] Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K,J) // Сибирский математический журнал, т. 43 (2002), № 2, с. 419-437.

[21] Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Доклады РАН, т. 419 (2008), № 5, с. 595-598.

[22] Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Труды института математики и механики УрО РАН, т. 15 (2009), № 2, с. 133-142.

[23] Сулейманова Г.С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Фундаментальная и прикладная математика, т. 15 (2009), № 7, с. 205-216.

[24] Елисова А.П., Зотов И.Н., Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", т. 4 (2011), № 1, с.9-19.

[25] Сулейманова Г.С. Классы сопряженных в группе Шевалле типа Fi больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Владикавказский математический журнал, т. 13 (2011), вып. 2, с. 45-55.

[26] Сулейманова Г,С. Сопряженность в конечной группе Шевалле типа Е& больших абелевых унипотентных подгрупп // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 4 (2011), no. 4, p. 536-540.

[27] Левчук B.M., Сулейманова Г.С. Нормальное строение унипотентной подгруппы групп лиева типа и её экстремальные подгруппы // Фундаментальная и прикладная математика, т. 17 (2012), № 1, с. 155-169.

[28] Levchuk V.M., Suleimanova G.S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type // Journal of Algebra, vol. 349 (2012), iss. 1, no.l, p. 98-116.

[29] Сулейманова Г.С. Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа // Вестник СибГАУ, т. 44 (2012), № 4, с. 61-64.

[30] Levchuk V.M., Suleimanova G.S. Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 6 (2013), no.l, p. 64-74.

Прочие работы автора по теме диссертации

[31] Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы Стейнберга над полем // Вестник КГТУ. Вып. 16. - Красноярск: КГТУ, 1999. - С. 44-48.

[32] Сулейманова Г.С. Нормальное строение максимальной унипотентной подгруппы унитарной группы над полем // Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 206-209.

[33] Сулейманова Г.С. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец // Абе-левы группы и модули. Сборник статей. Вып. 15. - Томск: ТГУ, 2000. - С. 89-97.

[34] Suleimanova G.S. On ideals of some matrix rings // Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. - Красноярск: КрасГУ, 2002. - С.146-147.

[35] Suleimanova G.S. On some matrix rings // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов. - М: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ, 2004. - С. 286-288.

[36] Suleimanova G.S. Ideals of Some Matrix Rings // Acta Applicandae Mathematicae, 85, 2005. - P. 291-296.

[37] Suleimanova G.S. Abelian normal subgroups of unipotent subgroups of Chevalley groups // Proceed. Int. Conf - 2007 "Antalya Algebra Days IX". Ankara. METU, 2007. - P. 30-31.

[38] Левчук B.M., Сулейманова Г.С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы группы Шевалле // "Классы групп, алгебр и их приложения" (Межд. конф.) - Гомель, ГГУ, 2007. - С. 98-99.

[39] Сулейманова Г.С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы симплектической группы // Владикавказский математический журнал, т. 10 (2008), № 1. с. 79-83.

[40] Suleimanova G.S., Yakobi V.V. The normal structure of the unipotent subgroup of a Chevalley group of type Ее, E7, Eg // Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics, vol. 1 (2008), no. 2, p. 51-55.

[41] Левчук B.M., Сулейманова Г.С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Ку-роша. Тезисы докладов. - М., 2008. - С.154-155.

[42] Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Теория групп. Тезисы сообщений седьмой Международной школы-конференции, посвященной 60-летию А.С. Кондратьева. Челябинск, 3-9 августа, 2008 г. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. - С.57-58.

[43] Suleimanova G.S. Large abelian unipotent subgroups in finite Lie-type groups // Book of abstracts of Internetional Conference on Algebra. - Kiev, 2012. - P. 153.

Подписано в печать 15.03.2013. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 120 экз. Заказ № 903

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр Свободный, 82а, тел.: +7(391) 206-26-49, 206-26-67, E-mail: print_sfu@mail.ru