Парные силовские пересечения групп лиева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Силовские р - подгруппы групп Шевалле над кольцами р - примарной характеристики

1.1. Группы Шевалле и их основные подгруппы.

1.2. Специальные представления систем корней.

1.3. Определяющие соотношения подгруппы РФ(Ку J)

Глава 2. Парные силовские пересечения

2.1. Постановка задачи и основная теорема.

2.2. Вспомогательные результаты

2.3. Классические типы.

2.4. Типы Eiy Z = 6, 7, 8 .Г.;.

2.5. Парные унипотентные пересечения групп Шевалле малых лиевых рангов

В теории конечных групп одним из традиционных является следующий вопрос: что можно сказать о строении конечной группы G, если известно строение ее силовской 2 - подгруппы или задан способ ее вложения в G7 В разнообразных характеризациях существенную роль играют свойства си-ловских р - подгрупп конечных простых групп: коммутаторное строение, основные соотношения, автоморфизмы и др. Выявление таких свойств, как правило, вызывает самостоятельный интерес, например, [5], [15], [7], [9, §1], [22] и др.

К основным объектам исследования в диссертации относятся, в первую очередь, пересечения пар силовских р - подгрупп в группах лиевых типов или, другими словами, парные р - силовские пересечения. По - видимому, исследованиям конечных групп с заданными свойствами пересечений их силовских подгрупп положила начало в 1964 году работа М. Сузуки [25]. В ней дано описание конечных групп с независимыми силовскими 2 -подгруппами или TI - групп, то есть групп с единичными пересечениями пар силовских 2 - подгрупп. В частности, простые TI - группы - это группы Шевалле лиева ранга 1 над полем характеристики 2.

В середине 70-х годов была завершена классификация конечных простых групп, в которых пересечение каждой пары силовских 2 - подгрупп нормально хотя бы в одной из них. Как показали В. В. Кабанов, А. А. Махнев и А. И. Старостин (1976 г.), такие группы исчерпываются TI -группами и группами с абелевой силовской 2 - подгруппой. После этого естественной становилась задача об описании конечных групп, в которых пересечение Р (~)Q каждой пары Р, Q силовских 2 - подгрупп нормально в какой - либо силовской 2 - подгруппе, не обязательно совпадающей с Р или с Q. Те же авторы записали в 1976 году в Коуровской тетради следующую задачу: описать конечные группы,

• в которых нормализаторы всех парных 2 - силовских пересечений имеют нечетные индексы (вопрос 5.14, в));

• в которых для любых силовских 2 - подгрупп Р, Q пересечение PDQ нормально в некоторой силовской 2 - подгруппе из гр (Р, Q) (вопрос 5.14, г)).

Позднее стали исследоваться также пересечения различных наборов силовских р - подгрупп и даже наборов нильпотентных холловых к - подгрупп. Как показал В. И. Зенков, во всякой конечной группе G наибольшая нормальная р - подгруппа Op(G) всегда совпадает с пересечением подходящих трех силовских р - подгрупп. Таким образом, в конечной простой группе всегда существует тройка силовских р - подгрупп с единичным пересечением, см. [4].

Вопросы 5.14, в), г) остаются открытыми до сих пор. В середине 90-х годов В. И. Зенков высказал следующую гипотезу

Гипотеза В. И. Зенкова: все группы лиева типа характеристики 2 с указанным в 5.14, в) свойством имеют лиев ранг < 2.

В диссертации ставится целью исследование гипотезы В. И. Зенкова, и, вместе с тем, исследование аналогов вопроса 5.14, в) и г) для силовских р - подгрупп группы Шевалле над конечным полем произвольной характеристики р. Ставится также целью выявление основных соотношений в терминах элементарных элементов силовских р - подгрупп над кольцами характеристики р.

Диссертация состоит из введения и двух глав. Опишем содержание диссертации по главам.

1. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп, изд. Ц - е). - Новосибирск: ИМ СО РАН, 1999.

2. Брюханов О.В. Генетика универсальных групп Шевалле над некоторыми коммутативными кольцами// Мат. заметки. 1995. - Т. 57, №6. - С.814 - 826.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Jlu (IV-VI). М.: Мир, 1982.

4. Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах (докт. дисс-я). Красноярск: КрасГУ, 1996.

5. Кабанов В. В., Кондратьев А. С. Силовские 2 подгруппы конечных групп. ~ Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1979.

6. Кабанов В. В., Махнев А. А., Старостин А. С. Конечные группы с нормальными пересечениями силовских 2 подгруппы// Алгебра и логика. - 1976. - У. 15, № 6. - С. 655 - 659.

7. Кабанов В. В., Махнев А. А., Старостин А. С. Конечные группы.// Итоги науки и техники Алгебра, Топология, Геометрия. - М.: ВИНИТИ. - 1986. - V. 24. - С. 3 - 120.

8. Каргаполов М. И.,Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

9. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле// Успехи мат. н. 1986. - V. 41, № 1. - С. 57 - 96.

10. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле// Алгебра и логика. 1990. - У. 29, №3. - С. 315 - 338.

11. Левчук В. М. Коммутаторное строение некоторых подгрупп группы Шевалле// Укр. мат. журн. 1992. - Т. 44, №6. - С. 786 - 795.

12. Левчук В. М. Гиперцентральные ряды и парные пересечения силов-ских подгрупп групп Шевалле// Алгебра и логика. 2002. - V. 41, №4.

13. Мерзляков Ю. И. Линейные группы// Итоги науки и техн. Алгебра. Топология. Геометрия. - М.: ВИНИТИ. - 1978. - V. 16. - С. 35 - 89.

14. Носков Г. А. Порождающие элементы и определяющие соотношения симплектических групп над некоторыми локальными кольцами// Ма-тем. заметки. 1974. - Т. 16, №2. - С. 237 - 246.

15. Сосновский Ю. В. Коммутаторное строение симплектических групп// Матем. заметки. 1978. - Т. 24, №5. - С. 641 - 248.

16. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

17. Carter R. Simple groups of Lie type. New York: Wiley and Sons, 1972.

18. Demazure M., Grothendieck A., Schemes in Groupes// III (SGA3), Lecture Notes in Mathematics, 153. Springer - Verlag, 1970.

19. Goldschmidt D. M. 2 fusion in finite groups// Ann. Math. - 1974. -V. 99, №l. - p. 70 - 117.

20. V. M. Levchuk Chevalley groups and their unipotent subgroups// Contemporary Mathematisc. 1992. - V. 131 (part 1). - P. 227 - 242.

21. Stein M. R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings// Amer. Math. J. 1971. - V. 93, № 4. - P. 965 - 1004.

22. Stein M. R. Surjective stability in dimension 0 for K2 and related functors// Trans. Amer. Math. Soc. 1973. - V. 178, №1. P. 165 - 191.

23. Suzuki M. Finite groups even order in which Sylow 2 groups are independent// Ann. Math. - 1964. - V. 80. - P. 58 - 77.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

24. Войтенко Т. Ю., Зюбин С. А., Левчук В. М. Определяющие соотношения обобщенных конгруэнц подгрупп// В сб. Вестник КГТУ, вып. 16. - Красноярск: КГТУ, 1999. - С. 14 - 18.

25. Войтенко Т. Ю., Левчук В. М. Парные унипотентные пересечения групп Шевалле малых лиевых рангов// В сб. Симметрия и дифференциальные уравнения Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 71 - 74.

26. Войтенко Т. Ю. Парные силовские пересечения групп Шевалле лиева ранга 3// В сб. Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3-й. Томск: ТГУ, 2001. - С. 21 - 27.

27. Войтенко Т. Ю. Парные унипотентные пересечения групп Шевалле типов El// В сб. Материалы XXXIV научной студенческой конференции. Красноярск: КрасГУ, 2001. - С. 35 - 43.

28. Войтенко Т. Ю. Гипотеза В. И. Зенкова о парных р силовских пересечениях групп Шевалле характеристики р// В сб. тезисов II - ого Всесибирского конгресса женщин-математиков. - Красноярск: Крас-ГУ, 2002. - С. 40 - 41.

29. Войтенко Т. Ю., Левчук В. М. Гипотеза В. И. Зенкова о парных р -силовских пересечениях групп Шевалле характеристики р// Укр. мат. журн. 2002. - №7 (в печати).