Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Волочков Александр Андреевич Конечные простые группы

с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 2006

Работа выполнена па кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Научный доктор физпко-математических наук, профессор

руководитель Казарии Лев Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор Вслоногов Вячеслав Александрович

доктор физико-математических паук, профессор Струнков Сергей Петрович

Ведущая организация

Московский городской педагогический

университет

'Защита диссертации состоится-, "¿й " Омгумл/Я 2006 года часов па заседании диссертационного совета Д 2J2.002.03 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослан

ЧЛАО^

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Яблокова С.И.

JLOOG А

£772. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Исследования, связанные с влиянием строения нормализаторов силовских р-подгрупп в конечной группе на строение самой группы играют важную роль в теории групп. Имеется обширная литература, посвященная этой тематике. Например, G. Glauberman в [2] доказал, что конечная группа, в которой нормализатор любой силовской подгруппы нильпотентен, разрешима. Разумно спросить, какой должна быть конечная группа, в которой все нормализаторы силовских подгрупп удовлетворяют условию, промежуточному по силе между условием нильпотентности и условием разрешимости. Кажется естественным в качестве такого промежуточного условия взять условие сверхразрешимости. С другой стороны, сверхразрешимые группы 2-нильпотентны (напомним, что конечная группа G называется 2-нильпотентной, если G = А\S, где S — силовская 2-подгруппа). Поэтому возникает еще одна альтернатива для промежуточного условия: условие 2-нильпотентности. Оба соответсвующих вопроса были сформулированы и опубликованы проф. Монаховым B.C. Более точно, в Коуровской тетради [1] им был поставлен следующий вопрос (вопрос 14.63): Каковы композиционные факторы неразрешимых конечных групп с 2-нильпотентны-ми, в частности, со сверхразрешимыми нормализаторами силовских подгрупп ? Решение указанной задачи в классе конечных простых групп является центральной темой диссертации.

Цель работы*.'

перечислить конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп

Методы исследования. Для вычисления нормализаторов силовских подгрупп в знакопеременных группах используются методы и понятия теории групп перестановок. Описание нормализаторов силовских подгрупп в классических простых группах опирается на теорию линейных представлений конечных групп и на теорию линейных групп. Для анализа исключительных простых групп лиева типа применяются методы теории алгебраических групп и результаты о подгруппах конечных групп Шевалле, полученные Кондратьевым A.C. Кроме того, используются результаты Kleidman'a P.B. о максимальных подгруппах в PQg(q) и zD±{q).

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Классифицированы конечные простые группы с 2-нильпотент-

ными нормализаторами силовских подг

2. Получена некоторая информация о конечных простых группах с разрешимыми нормализаторами силовских подгрупп. В частности, перечислены знакопеременные и линейные простые группы с разрешимыми нормализаторами силовских подгрупп.

3. Вычислены нормализаторы силовских подгрупп нечетных порядков в симметрических и общих линейных конечных группах. Описываются нормализаторы силовских подгрупп нечетных порядков в других классических группах невысокой размерности, а также в некоторых исключительных простых группах лиева типа.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в исследованиях по конечным группам.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IV Научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ярославской области (Ярославль, 2003), на Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003), Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2005), на международной алгебраической конференции "Классы групп и алгебр"(Гомель, 2005), на научном семинаре в институте математики и механики г. Екатеринбурга (Уральское отделение Российской Академии Наук).

Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, оглавления, четырех глав, заключения и списка литературы из 42 наименований. Общий объем диссертации — 91 страница.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, приводится краткий обзор основных результатов, формулируется цель диссертации, характеризуется ее научная новизна.

Первая глава носит вводный характер. В ней вводятся необходимые понятия и обозначения, а также формулируются некоторые вспомогательные результаты, используемые в диссертации. Многие из них известны и приводятся без доказательств.

Вторая глава посвящена описанию нормализаторов силовских подгрупп нечетных порядков в знакопеременных и симметрических группах. Доказывается следующая

Теорема 2.2.1. Пусть р — нечетное простое число, р < n, п = к

J2 CtPa' > где 0 < Сг < р для всех i < к и 0 < ai < с*2 < • • • < &k, i=i

Р — силовская р-подгруппа в Sn и N = N$n(P). Тогда имеет место изоморфизм

N = Р\ х (Zp_iГ i5с,. »=1

Дается следующий критерий разрешимости или 2-нильпотент-ности нормализаторов силовских подгрупп нечетного порядка в знакопеременных группах:

Теорема 2.2.2. Пусть р — простое нечетное число, р < n, Р —

оо

силовская р-подгруппа в An, п — а»Р* > гДе 0 < аг < р для всех

»=о

i > 0. Имеют место утверждения:

1. Na„(P) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда ао < 3 и ati< 2 для всех i > 0 ;

2. NAn (Р) разрешим тогда и только тогда, когда аг < 4 для всех i > 0.

Третья глава посвящена описанию нормализаторов силовских подгрупп нечетных порядков в группах PSLn(q). Основной результат имеет следующий вид:

Теорема 3.2.5. Пусть р € ir(GLn(q)) \ {2}, р \ q, Р — Sp-подтруппа в

г

GLn(q), Р& = PnSLn(q), 5 — порядокq по модулюр, [f] = YlciPai,

»=1

где о < Cj < р при 1 < i < г, 0 < ai < OL2 < .. ■ < ar, г — п — [у] 6. Имеют место утверждения:

1. За исключением случая п — р — (q - 1)р = 3, iVGin(g)(P&) =

2. Нормализатор в SLn(q) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда 2-нильпотентен нормализатор Р в GLn(q);

3. Нормализатор Р& в SLn(q) разрешим тогда и только тогда, когда разрешим нормализатор Р в GLn{q);

4. Пусть q нечётно. (Р) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда сг < 2 при г > 1 и г < 1. Пусть q четно. NGLn^(P) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда выполнены два условия: во первых, с, < 3, если at = 0 и S нечетно и сг <2 в противном случае. Во вторых, г < 1 или г — q = 2.

5. Нормализатор Р в GLn{q) разрешим тогда и только тогда, когда с, < 4 при i > 1 и либо г < 1, либо г = 2 и q е {2,3}.

Четвертая глава содержит классификацию конечных простых групп с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп. Доказывается следующая основная

Теорема 4.1. Пусть G — неабелева конечная простая группа. Нормализаторы силовских подгрупп группы G 2-нильпотентны тогда и только тогда, когда G изоморфна одной из групп следующего списка: L2(q), q = ±1 (mod 8); Ln(q), 2 f <7, " 1) £ {2,3}, n € {3,4}; PSp4(q), Я = ± 1 (mod 8); Un(q), 2 f q, тг(q + 1) С {2,3}, n e {3,4}; An, n € {6,7,8,10}; L„(2), n € {5,6}; Spn(2), n € {6,8}; q € {2,3,5,7,17};Pii+(2); G2(g), <? € {3,5,7,17};Mn; M12;M22; M23; C03; #s; Mc.

Заключение содержит обсуждение возможных путей развития диссертации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Издание четырнадцатое. Новосибирск, 1999. С. 130.

[2] Glauberman, G. Prime-power factor groups of finite groups / G. Glauberman // Math. Z. 1968. 107, N3. P. 159 - 172.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Волочков, A.A. Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп / A.A. Волочков // Международная алгебраическая конференция "Классы групп и алгебр", посвящ. 100-летию со дня рожд. С.А. Чунихина (5 — 7 ' окт. 2005 г.): тез. докл. Гомель, 2005. С. 50-51.

[2] Волочков, A.A. Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп. Редукция к изучению небольших знакопеременных и классических простых групп / A.A. Волочков // Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп: препринт / Яросл. гос. ун — т. Ярославль: ЯрГУ, 2005. С. 5 — 30.

[3] Волочков, A.A. Нормализаторы силовских подгрупп в конечных знакопеременнных и симметрических группах / A.A. Во*' лочков // Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп: препринт / Яросл. гос. ун

• - т. Ярославль: ЯрГУ, 2005. С. 31-41.

[4] Волочков, A.A. Нормализаторы силовских подгрупп в общих и специальных линейных группах над конечными полями / A.A. Волочков // Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп: препринт / Яросл. гос. ун — т. Ярославль: ЯрГУ, 2005. С. 42 — 58.

[5] Волочков, A.A. Небольшие знакопеременные и классические простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп /A.A. Волочков / / Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп: препринт / Яросл. гос. ун — т. Ярославль: ЯрГУ, 2005. С. 59 — 88.

Лицензия ПД 00661 от 30.06.2002 г. Формат 60x84 1/16. Печ.л. 0,44. Заказ 610. Тираж 100. Отпечатано в типографии Ярославского государственного технического университета г. Ярославль, ул. Советская, 14 а, тел. 30-56-63.

\

f

»

г

■V

t

■I

¿OQgft <£»772-

Введение

1 Предварительные замечания

1.1 Абстрактные группы

1.2 Сплетения абстрактных групп.

1.3 Группы перестановок.

1.4 Сплетения групп перестановок.

1.5 Нормализатор сплетения групп перестановок.

1.6 Линейные группы.

1.7 Сплетения линейных групп.

1.8 Симплектические группы.

1.9 Унитарные группы.

1.10 Ортогональные группы.

1.11 Группы лиева типа

1.12 Некоторые изоморфизмы.

1.13 Теория чисел.

2 Нормализаторы ¿у-подгрупп Ап, рф

2.1 п =ра, а > 0.

2.2 Общий случай.

3 Нормализаторы 5р-подгрупп ОЬп(д) и 8Ьп(д),р ф

3.1 п/5 = ра.

3.2 п/6 = сра, 0 < с < р.

3.3 Общий случай.

4 Простые Л4-группы

4.1 Ап.

4.2 Ьп(д).

4.2.1 Редукция к случаю небольших п

4.2.2 д чётно.

4.2.3 д нечётно.

4.3 Р££/„(?2).

4.3.1 Редукция к случаю небольших п и нечётных

4.3.2 п = 3.

4.3.3 п = 4.

4.4 РЭМя).

4.4.1 Редукция к случаю небольших п

4.4.2 q нечётно.

4.4.3 д чётно.

4.5.1 Редукция к случаю небольших п ид.

4.5.2 д чётно.;.

4.5.3 д нечётно

4.6 Исключительные группы лиева типа.

4.6.1 в = в2(я)

4.6.2 в = РА(д)

4.6.3 £ = Я6(д)

4.6.4 £ =

4.6.5 в = Е8{<1).

4.6.6 <7 = 2Б2(д), д = 22т+1.

4.6.7 в = 2С2(д), я = 32т+1.

4.6.8 С? = 3£>4(93).

4.6.9 <3 = 2^4(д),д = 22т+1.

4.6.10 С = 2^4(2)'.

4.6.11 £ = 2£6(92).

4.7 Спорадические простые группы.

4.7.1 в = Мп.

4.7.2 <3 = М12.

4.7.3 в = М22 .83'

4.7.4 в = М23.

4.7.5 С = М24.

4.7.6 С = Л

4.7.7 С = 72.

4.7.8 в =

4.7.9 в = Л.

4.7.10 д = Соз . . :.

4.7.11 в = Со2.

4.7.12 С = Сох.

4.7.13 в = М{22).

4.7.14 в = М2Ъ

4.7.15 С7 = М(24)'.

4.7.16 С =

4.7.17 в = Р[.,.

4.7.18 G — HS.

4.7.19 G = Не

4.7.20 G = Suz.

4.7.21 G = M°.

4.7.22 G - Ly

4.7.23 G = Ru.

4.7.24 G = O'N

4.7.25 G = Fz.

4.7.26 G = F

Исследования, связанные с влиянием строения нормализаторов силовских р-подгрупп в конечной группе на строение самой группы играют важную роль в теории групп. Имеется обширная литература, посвященная этой тематике. Например, G. Glauber-man в [34] доказал, что конечная группа, в которой нормализатор любой силовской подгруппы нильпотентен, разрешима. Разумно спросить, какой должна быть конечная группа, в которой все нормализаторы силовских подгрупп удовлетворяют условию, промежуточному по силе между условием нильпотентности и условием разрешимости. Кажется естественным в качестве такого промежуточного условия взять условие сверхразрешимости. С другой стороны, сверхразрешимые группы 2-нильпотентны (напомним, что конечная группа G называется 2-нильпотентной, если G = Л X S, где S — силовская 2-подгруппа). Поэтому возникает еще одна альтернатива для промежуточного условия: условие 2-нильпотентности. Оба соответствующих вопроса были сформулированы и опубликованы профессором Монаховым B.C. В Коуровской тетради [24] им был поставлен следующий вопрос (вопрос 14.63): Каковы композиционные факторы неразрешимых конечных групп с 2-нильпотентными, в частности, со сверхразрешимыми нормализаторами силовских подгрупп ? Решение указанной задачи в классе конечных простых групп является центральной темой диссертации. Прежде, чем дать ответ, введем определение.

Определение. .Л4-группа (5.М-группа), это группа, нормализаторы всех силовских подгрупп которой 2-нильпотентны (разрешимы).

Теперь можно сформулировать основной результат диссертации (теорема 4.1 основного текста).

Теорема 1. Пусть G — неабелева конечная простая группа. G является М-группой тогда и только тогда, когда G изоморфна одной из групп следующего списка: L,2(q), q = ± 1 (mod 8); Ln{q), 2 \ q, тг[q - 1) С {2,3}, n G {3,4}; PSpA(q), Q = ±1 (mod 8); Un(q), 2 | q, *(q + l) С {2,3}, n € {3,4}; An, n € {6,7,8,10}; Ln{2), n G {5,6}; Spn(2), n € {6,8}; PQfiQ), 4 € {2,3,5,7,17}; Pf^0(2); G2(q), q € {3,5, 7,17}; Mn; M12; Л/22; Л/23; Co3; Hs; Mc.

Приведём некоторые другие новые результаты этой работы. Получены некоторые сведения о конечных ¿>Л4-группах. В частности, перечислены все конечные ¿>.М-груп-пы, изоморфные одной из следующих групп: Ап, СЬп(д), РОЬп(д), ЗЬп(д), РЗЬп{д). Вычислены нормализаторы силовских подгрупп нечетного порядка групп и СЬп(д) и получены удобные критерии 2-нильпотентности или разрешимости нормализаторов силовских подгрупп в группах Ап, СЬп(д), РОЬп(д), ЗЬп(д), РЗЬп(д). В частности, доказаны следующие утверждения (в основном тексте соответственно теоремы 2.2.1, 2.2.2, 3.3.3): оо

Теорема 2. Пусть р 6 7г(5„)\{2}, п = ]Г) сгР% где О < а < р для всех г > О и все, кроме г=0 конечного числа, коэффициенты равны нулю, Р — Бр-подгруппа в Бп и N = Л^П(Р). Тогда имеет место изоморфизм (считаем, что 1° и 5о — единичные группы): г=0 оо

Теорема 3. Пусть р € п(Зп) \ {2}, Р е Зу1р(Ап), п = с^р1, где 0 < й < р для i=О всех г > 0 и все, кроме конечного числа, коэффициенты с* равны нулю. Имеют место утверждения:

1) Иап{Р) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда Со < 3 и с* < 2 для всех г > 0;

2) Иап(Р) разрешим тогда и только тогда, когда с* < 4 для всех г > 0. Теорема 4. Пусть р е 7г(РЗЬп(д)) \ {2}, (р, д) = 1, Р — Зр-подгруппа в РЗЬп{д), 8 оо наименьшее натуральное число к с условием дк = 1 (тос! р), = Х)сг'Рг> где есе, г=0 кроме конечного числа, коэффициенты с* равны нулю и 0 < С{ < р для всех г > 0, г = п — 5. Имеют место утверждения:

1) Пусть д нечётно. -ЛГр5хя(9)(.Р) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда г < 1 и Сг < 2 для всех г > 0. Пусть д четно. NpsLn(q){P) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда выполнены условия: с* < 2 при г > 0, Со < 3, если 5 нечётно, со < 2 в противном случае. Кроме того, г < 1 или г = д = 2.

2) Нормализатор Р в РЗЬп(д) разрешим тогда и только тогда, когда с* < 4 при г > 0 и либо г < 1, либо г = 2 и д € {2,3}.

Подробно описаны нормализаторы силовских подгрупп в некоторых других конечных классических группах невысоких размерностей.

Опишем кратко основные результаты и методы, использующиеся в настоящей работе. Доказательство теоремы 1 опирается на классификацию конечных простых групп см. [13]). При исследовании нормализаторов силовских 2-подгрупп конечных простых групп используются результаты статьи [22] Кондратьева A.C. Для изучения нормализаторов силовских подгрупп в симметрических и знакопеременных группах применяются методы и понятия терии групп перестановок. Описание нормализаторов силовских подгрупп в классических простых группах опирается на теорию линейных представлений конечных групп и на теорию линейных групп. Для анализа исключительных простых групп лиева типа используются методы теории алгебраических групп и результаты о подгруппах конечных групп Шевалле, полученные Кондратьевым A.C. (см. [21]). Кроме того, использованы результаты Kleidman'a P.B. о максимальных подгруппах в PQt(q) и zD^(q) (см. [38], [39]).

Все основные результаты диссертации отражены в публикациях [8], [9], [10], [11], [12].

Заключение

Классификация конечных простых групп с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп, полученная в настоящей работе, является важным продвижением в решении вопроса Монахова B.C. Тем не менее, этот вопрос данной классификацией не исчерпывается. Поэтому, в качестве одного из возможных направлений для дальнейшего развития можно указать окончательное решение задачи Монахова B.C. Следует сказать, что уже после завершения текста диссертации в этом направлении были получены новые результаты. В статье [16] доказана следующая теорема:

Теорема. Если в неразрешимой конечной группе G нормализатор любой силовской подгруппы 2-нильпотентен, то каждый неразрешимый композиционный фактор группы G с точностью до изоморфизма принадлежит следующему списку: L2(q),q > 4 , PSPi(q),q > 3; L<n(q), тг(q-e) С {2,3}, п € {3,4}, q ф 8; G2{q\q € {2,3,5,7,17};

Un{2), n < 6; Pf28"(2); (2); Sp6(2); Sp8(2); An,n e {5,6,7,8,10}; Mu; M12; M22; M2Z; Coy, HS; Mc.

В этой теореме L\{q) = Ln{q), L~l{q) = PSUn(q2).

Привлекательность темы, рассматриваемой в растоящей работе во многом обусловлена тем, что в ходе ее решения требуется детальный анализ нормализаторов силовских подгрупп в конечных простых группах. Удивительно, но эта сторона теории конечных простых групп отнюдь не закрыта. Помимо статьи [22], в которой дано описание нормализаторов силовских 2-подгрупп в конечных простых группах, имеется лишь небольшое количество разрозненных фактов. Результаты о нормализаторах силовских подгрупп в конечных простых группах, полученные в диссертации, несомненно, могут быть значительно расширены и углублены. В этом заключено еще одно направление развития.

1. Артин, Э. Геометрическая алгебра / Э. Артин. — М.: Наука, 1969.

2. Белоногов, В.А. Задачник по теории групп / В.А. Белоногов. — М.: Наука, 2000.

3. Белоногов, В.А. Представления и характеры в теории конечных групп / В.А. Белоногов. — Свердловск: Изд-во УрО АН ССР, 1990.

4. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп / О.В. Богопольский. — Москва — Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Бурбаки, Н. Алгебра: Модули, кольца, формы / Н. Бурбаки. — М.: Наука, 1966.

6. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1972.

7. Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. — М.: Наука, 1972.

8. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. — М.: Мир, 1985.

9. Дъедонне, Ж. Геометрия классических групп / Ж. Дъедонне. — М.: Мир, 1974.

10. Ивахори, Н. Централизаторы инволюций в конечных группах Шевалле / Н. Ивахори // Семинар по алгебраическим группам / М.: Наука, 1973.

11. Калужнин, JI.A. (Kaloujnine L.). Sur les p-groupes de Sylow du groupe symétrique de degré pm. C.R., Paris. 1945. 221. p. 222 224.

12. Калужнин JI.A. (Kaloujnine L.). Sur les p-groupes de Sylow du groupe symétrique de degré pm (Suite centrale ascendante et dascendante). C.R., Paris. 1946. 223. p. 703 — 705.

13. Калужнин JI.A. (Kaloujnine L.). La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis // Annales de L'Ecole Normale. 1948. 65. p. 239 — 276.

14. Картер, P. Классы сопряженных элементов в группе Вейля / Р. Картер // Семинар по алгебраическим группам / М.: Мир, 1973. С 288 — 306.

15. Кондратьев, А.С. Подгруппы конечных групп Шевалле / А.С. Кондратьев // УМН. 1986. т 41, вып 1(247). С 56 96.

16. Кондратьев, А.С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах / А.С. Кондратьев // Мат. заметки. 2005. 78. С 368 — 376.

17. Кондратьев, А.С. Мазуров, В.Д. 2-Сигнализаторы конечных простых групп / А.С. Кондратьев. В.Д. Мазуров // Алгебра и логика. 2003. Т 42. С 594-623.

18. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп) 14-е изд. / Новосибирск: ИМ СО РАН, 1999. С. 130.

19. Спрингер, Т.А. Стейнберг, Р. Классы сопряженных элементов / Т.А. Спрингер. Р. Стейнберг // Семинар по алгебраическим группам / М.: Мир, 1973. С 162 — 262.

20. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг // М.: Мир, 1975.

21. Супруненко, Д.А. Группы матриц / Д.А. Супруненко. — М.: Наука, 1972.

22. Сыскин, С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп / С.А. Сыскин // УМН. 1980. Т 35, (215). С 181 210.

23. Холл, М. Теория групп / М. Холл. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

24. Carter, R.W. Simple groups of Lie type / R.W. Carter. — John Wiley & Sons, 1972.

25. Carter, R. Fong, P. The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups / R. Carter. P. Fong // J. Algebra. 1964. 1, N2. p. 139-151.

26. Conway, J. H. Curtis, R.T. Norton, S.P. Parker, R.A. Wilson, R.A. Atlas of Finite Groups / J.H. Conway. R.T. Curtis. S.P. Norton. R.A. Parker. R.A. Wilson. Oxford: Clarendon Press, 1985

27. Dixon, J.D. The structure of Linear Groups / J.D. Dixon. — London: Batler к Tanner Ltd, 1971.

28. Glauberman, G. Prime-power factor groups of finite groups / G. Glauberman // Math. Z. 1968. 107. N3. p. 159- 172.

29. Gorenstein, D. Finite Groups / D. Gorenstein.— N.Y.: Harper & Row, 1968.

30. Gorenstein, D. Lyons, R. The local 2-structure of groups of characteristic 2-type / D. Gorenstein. R. Lyons // Memoirs of the AMS. 1983. V.42, N276. Providence, R.I., USA.

31. Huppert, B. Endlich Gruppen I / B. Huppert. — Berlin: Springer, 1967.

32. Kleidman P.B. The Maximal Subgroups of the Finite 8-Dimensional Orthogonal Group PQtil) and of Their Automorphism Group / P.B. Kleidman // J. Algebra. 1987. 110. p. 173-242.

33. Kleidman P.B. The maximal subgroups of the Steinberg triality groups zD±{q) and their automorphism groups / P.B. Kleidman // J.Algebra. 1988. 115. p. 182-199.

34. Weir A.J. Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to p / A.J. Weir // Proc. Amer. Math. Soc. 1955. 6, N4. p. 529 — 533.

35. Wiegold, J. Williamson, A.G. The factorization of the alternating and symmetric groups / J. Wiegold. A.J. Williamson // Math. Z. 1980. 175. p. 171-179.

36. Zsigmondy, K. Zur Theory der Potenzreste, Monatsch /К. Zsigmondy // Math. Phys. 3(1892). p. 265 284