Исключительные характеры и нормальные группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

§ I. Введение

§2. Основные обозначения и определения.

ГЛАВА I. К теоремам Фейта и Ито о группах Цассенхауза

§ 3. Основная лемма об исключительных характерах

§ 4. Леммы для обнаружения нормальных подгрупп с помощью исключительных характеров

§ 5. О свойствах нормальных подгрупп непростой группы, обладающей F-подгруппой

§ 6. Характеризация PSL (i,f) с помощью смежных классов по F-подгруппе

ГЛАВА 2. Проблема А.И.Кострикина о группах с большими силовскими подгруппами

§ 7. Простые группы с большой F-подгруппой

§ 8. Об исключительных характерах главного р-блока группы.

§ 9. Нормальные подгруппы у групп с большими силовскими подгруппами.

§ 10. Простые группы с большими силовскими подгруппами

ГЛАВА 3. Конечные группы с дополняемой F-подгруппой

§ II. Об инвариантном дополнении к нормализатору

F-подгруппы.

§ 12. Простые группы, F-подгруппа которых дополняется подгруппой Фробениуса

ГЛАВА 4. Степени характеров и нормальные подгруппы

§ 13. О ядре неприводимого характера данной степени.

§ 14. F-подгруппы линейных групп.

§ 15. Силовские подгруппы разрешимых линейных групп.

§ 16. Об инвариантном дополнении к холловской нильпотентной подгруппе

§ 17. Условие ^-замкнутости группы с jD -замкнутыми подгруппами.

§ 18. Непростые группы с фробениусовым сечением.

Мы являемся свидетелями новой активизации исследований во многих разделах алгебры. Несколько ярких взлётов испытала теория конечных групп, одной из проблем которой посвящены наши исследования.

Этот подъём в теории конечных групп сопровождается появлением в ней ряда новых идей, общих точек зрения, позволивших лучше понять общую природу давно известных результатов.

В современной теории конечных групп наряду с абстрактными теоретико-групповыми методами исследования широко и плодотворно используются методы теории представлений. Теория характеров групп даёт один из наиболее мощных методов для изучения групп. Она стала играть важную роль в теории абстрактных конечных групп, в первую очередь, благодаря Фробениусу и Берн-сайду.

Важным новым разделом теории индуцированных представлений, получившим значительные применения в теории конечных групп, является теория исключительных характеров.

После того, как в 1962г. Дж.Томпсон и У.Фейт доказали разрешимость групп нечётного порядка, стало ясно, что теория конечных групп вступила в новую полосу своего развития. Ядром быстро растущей самостоятельной области теории групп стала проблема классификации конечных простых групп. Сейчас представляется возможным, что эта проблема будет решена в обозримое время. Доказательство обещает быть столь объёмным, что ценность независимого доказательства других результатов в теории конечных групп будет сохраняться.

Нередко внешне простое определение нового понятия или одна теорема открывает в математике новые пути и перспективы и становится повседневным и незаменимым средством научного исследования.

К таким простым изящным и содержательным открытиям, оставившим неизгладимый след в развитии теории конечных групп, относится и классическая теорема Фробениуса о существовании инвариантного дополнения, благодаря которой возникло понятие группы Фробениуса, послужившее нам основой наших исследований.

В дальнейшем под группой подразумевается только конечная группа.

F-подгруппой группы (? называется подгруппа М , пересечение которой с любой другой сопряжённой с М в G и отличной от М подгруппой группы G- является единичной подгруппой и нормализатор которой в группе Q является группой Фробениуса с ядром М .

Заметим, что подгруппа М группы £ тогда и только тогда является F-подгруппой группы G , когда М не совпадает со своим нормализатором в Q и является СС-подгруп-пой (иначе, сильно изолированной подгруппой) группы G , т.е. содержит централизатор любого своего неединичного элемента в (Р .

Согласно теореме Томпсона F-подгруппа будет нильпотент-ной.

Задача исследования конечных групп с СС-подгруппой поставлена Фейтом. Если порядок СС-подгруппы группы & делится на е2/ или 3 , то строение группы G уже известно [41, 42, 10} . Обстоятельную информацию о результатах других работ можно получить из обзоров А.И.Кострикина [2] и В.Д.Мазурова [4].

В настоящей диссертации на основе понятия F-подгруппы развивается и совершенствуется метод исключительных характеров. В рамках созданной теории решается ряд задач, идея которых исходила от различных по содержанию вопросов. Близкие по содержанию предшествующие результаты были весьма разрознены как по условиям, так и по методам доказательств.

Общий подход к решению задач заложен в леммах главы I, которые существенно используются во всех главах диссертации. Естественно, решение каждой задачи имеет и свои отличительные особенности, что непосредственно проявляется при доказательстве теорем. Всё это составляет общую теорию исследования конечных групп, содержащих F-подгруппу.

Автор старался сделать содержание диссертации весьма мало зависимым от журнальной литературы, приближаясь по стилю к монографии.

Отметим основные решённые в настоящей диссертации задачи: решена проблема А.И.Кострикина о конечных группах с «большими" силовскими подгруппами; получен аналог теоремы Фробениуса для групп с дополняемой F-подгруппой; получены принципиально новые теоретико-групповые характе-ризации простых групп Цассенхауза; для линейных групп с F-подгруппой существенно улучшены теоремы Брауэра, Леонарда, Сибли; получена удобная информация о ядре неприводимого характера; найден необходимый и достаточный признак существования инвариантного дополнения к холловской нильпотентной подгруппе, содержащейся прямым множителем в одной из максимальных подгрупп; найдено условие р-замкнутости группа, все собственные подгруппы которой р-замкнуты, выраженное через степень одного из её нелинейных неприводимых характеров.

Перейдем к более подробному изложению и анализу основных полученных нами результатов.

Метод исключительнж характеров, идея которого была навеяна работами Брауэра, существенно использовался Томпсоном и Фейтом при доказательстве разрешимости групп нечетного порядка, что весьма ярко раскрыто А.й.Кострикиным в его обзоре [2] , что и привлекло к себе в своё время внимание автора.

Первое четкое изложение метода исключительных характеров содержится в работе Судзуки [44] . В дальнейшем его развитие продвинуто Фейтом [19] и Сибли [39] .В двух докладах Судзуки [45, 4б] содержатся некоторые конкретные соображения и детали, связанные с применеием исключительных характеров (см. ещё работу Леонарда [35] ). Иногда эта техника используется в комбинации с теорией р-блоков Брауэра [16, 23, 25].

Метод исключительных характеров нашёл также отражение в книгах Фейта [18] , Хупперта и Блэкберна [52] , Горенштейна [24] , Айзакса [33] , Белоногова и Фомина [5] .

Введём необходимые для изложения полученных результатов пояснения.

Пусть есть подгруппа группы С , S - некоторое множество неприводимых характеров подгруппы М , US) -множество целочисленных линейных комбинаций характеров из S .

Линейное отображение z множества Г£ 1(5) в кольцо обобщённых характеров группы & называется линейной изометрией, если 'У, О11) q = для любых

U,9 Г .

Если ]? G S , то для указанной линейной изометрии Т будет q. ~ (^ 1 • Таким образом, <£ есть неприводимый характер группы & , где либо 6 = 1 , либо £ - ~~ 1 .

Неприводимые характеры £ ^^ группы G- называются исключительными характерами группы Q (соответствующими S и Г ).

Очевидно, существует одно-однозначное соответствие между S и соответствующим множеством исключительных характеров группы G .

Теперь понятна важность построения указанного отображения Т .

Заметим, что отображение индуцирования ( об —об ) множества I(S) в кольцо обобщённых характеров группы G является линейным. Обозначим через I0 CS) подмножество

KS) состоящее из всех сЛ , для которых

При определённых условиях отображение индуцирования множества /(jfS) в кольцо обобщённых характеров группы G будет линейной изометрией. Это, например, по теореме Брауэра-Судзуки (теорема 4.4.6 из [24]), когда N является нормализатором в G некоторого ТТ-множества М группы G , a S состоит из неприводимых характеров N , имеющих нулевое значение для элементов из N\M . Важно иметь линейную изо-метрию X множества ICS) в кольцо обобщённых характеров группы G , которая продолжает отображение индуцирования I0 ( S) , т.е. о£г = оС* для любого ©£ ^ I0 (S).

Условие, когда такая линейная изометрия существует, указывает, например, теорема Фейта-Сибли [39]. Эта теорема нами будет существенно использоваться.

Для построения указанной линейной изоыетрии t не обязательно брать отображение индуцирования. В § 8 нами будет взято другое отображение <5" , которое отлично от индуцирования, но определяется с его помощью, что будет полезно для получения вспомогательного результата, необходимого для решения проблемы А.И.Кострикина.

Множество 5 называется когерентным (относительно ) или C^t)-когерентным, если Io(S):^0 , отображение ^ является линейной изометрией I0 (S) в кольцо обобщённых характеров группы G- , оС*(1)~0 для об^ 10(S) , и если существует линейная изометрия Т множества 1(S) в кольцо обобщённых характеров группы Q , что — а^5 для любого и g. 1с Сs) , т.е. tT продолжает отображение на

I(S) .

Множество S будем называть 7Г-когерентным, если S когерентно относительно (*,Т) .

Через: SZ будем обозначать образ S при отображении Z .

Если ^^ S и S -когерентно, то следовательно, <5 есть неприводимый характер группы G , 6 = —/ , который, как уже отмечалось, называется исключительным характером группы G

Пусть М есть F-подгруппа группы G , а 5 - множество всех неприводимых характеров Х^ подгруппы Л/qCM) , индуцируемых неглавными неприводимыми характерами подгруппы М . Теорема Фейта-Сибли [39] даёт достаточное условие

Т-когерентности множества S .

Леммы 3.1, 4.1 и 4.2 главы I дают новую информацию об исключительных характерах группы G- и неоднократно используются в каждой главе.

Лемма 3.1 является отправной, направляющей и весьма удобной при доказательстве всех лемм и теорем, формулируемых с помощью F-подгруппы.

Лемма 4.1 рассматривает ключевую ситуацию, при которой группа & имеет собственную нормальную подгруппу, содержащую М . Такая ситуация складывается при доказательстве основных результатов всех глав. Одну из таких ситуаций непосредственно подготавливает лемма 4.2, что в сочетании с леммой 4.1 приводит к важной информации о ядре неприводимого характера данной степени (теорема 13.I).

В главе I получена следующая характеризация простых групп PSL у) с помощью смежных классов по г-подгруппе, причём без предположения в условии, что группа Q является простой, а именно, при доказательстве в первую очередь устанавливается простота группы б- , как это было нами вначале сделано в работе [68].

Пусть группа G имеет F-подгруппу М порядка W , и пусть (М) * 6 и порядок нечётен. Если каждый смежный класс М ос группы G для эс g Q \ jVg(M) содержит инволюцию, то G S PSL («2,, т) ( теорема 6.1).

Группой Цассенхауза называется группа, которая допускает точное представление в виде дважды транзитивной группы подстановок, в которой лишь единичная подстановка оставляет на месте более двух символов.

Этот класс групп был введен в 30-х годах Цассенхаузом.

Группа Цассенхауза G- степени М -+• 1 имеет F-подгруппу М порядка W . Если & проста и число нечётно, то легко устанавливается, что Мх содержит инволюцию для любого Х€ С? \ JV^ СМ) . Значит, из теоремы 6.1 прямо следуют теоремы Фейта ([18], теорема 32.1; [24], теорема 13.2.I) и Ито [31] для простых групп Цассенхауза четной степени, или с помощью небольшого рассуждения (см. следствие 6.4) для групп Цассенхауза четной степени m + i $ не обладающих инвариантной подгруппой порядка ^ ■+ 1

Теорема Фейта [19] легла в основу изучения групп Цассенхауза. Изучение групп Цассенхауза нечетной степени 1+ Щ привело Судзуки к новой серии простых групп . Благодаря работам Цассенхауза, Фейта, Ито и Судзуки выяснено, что простыми группами PSJLXA, Yy\) и исчерпываются все простые группы Цассенхауза степени [52] .

Применение индукции при доказательстве теоремы 6.1 требовалось для установления простоты группы б* , для чего важно было доказать, что hn + 1 , где П =

Это му способствовало то, что полученная информация об исключительных характерах группы G- помогла ввести в действие лемму 4.1 и установить существование в & соответствующей нормальной подгруппы, когда Yy) =t= <Zy} + \ . Условие теоремы позволяло в необходимых случаях получать удобную информацию об ограничениях на оЛ/^/Mj как исключительных, так и неисключительных характеров группы Q . Благодаря этому, можно было в различных ситуациях находить удачное разложение ^ по неприводимым характерам группы & , где есть неприводимый характер подгруппы J*Jq (М) , в ядре которого содержится М . Это приводило к тому, что I GJ\fq{M) \ — + 1 9 но как показано, для справедливости теоремы в этом случае достаточно лишь теоремы XI.I.I2 Цассенхауза из [52] .

Используя вместо упомянутых теорем Фейта и Ито теорему 6.1, мы получим другой подход к классификации групп Цассенхауза. Ешё один подход дает теорема 7.2, полученная при решении проблемы А.И.Кострикина.

Из теоремы 6.1 следует ответ на поставленный автором в работах [68, 65} вопрос о существовании отличных от P5L u,m) простых групп, удовлетворяющих условию теоремы 6.1. Развивая теорему 4.1 автора из [68} для простых групп, Л.С.Казарин в работе [б] анонсировал результат, из которого также следует ответ на этот же вопрос. Доказательство Л.С.Казарина пока не опубликовано. Чтобы получить теорему 6.1 на основании исследований Л.С.Казарина,необходимо полностью использовать первую половину доказательства автора, относящуюся к установлению простоты группы б- , т.е. использовать теорему 4.1 автора из [68] . Предполагаемое доказательство Л.С.Казарина второй части теоремы 6.1 не может иметь общих моментов с доказательством автора, как следует из пояснения в работе [б] . Доказательство же теоремы 6.1 существенно использует результаты автора и демонстрирует применение метода исключительных характеров.

Глава 2 полностью посвящена решению проблемы А.И.Кострики-на. Для этого доказываются теоремы, которые представляют также самостоятельный интерес.

А.И.Кострикин поставил проблему о строении простой группы & с силовской (э-подгруппой Р , для которой IPI^-Hd и CG W £ РСрСР), если х<= Р# .

Частным случаем проблемы А.И.Кострикина, когда IPI ~ jp , является проблема Артина, которая решена Брауэром и Рейнолдсом в работе [17] . Класс групп, удовлетворяющий проблеме А.И.Кострикина, как показывает следующая наша теорема, значительно шире и совпадает с двумя бесконечными сериями простых групп.

Если простая неабелева группа Q имеет такую силовскую подгруппу Р , что 1С1<(1Р1 + 1Я и Се(эс)£РС&(Р) для каждого X ^ Р , то либо Q * PSL U ) ty) , либо

G = Sz (у) для некоторого (p (теорема 10.I).

В частности, необходимо было иметь ответ также и в случае, когда Сд. (эс) Я Р , осе Р , т.е. когда Р является

F-подгруппой группы G . Этого также не было известно. Возникала задача освободиться от требования в соответствующей теореме Харады из работы [26] , заключающегося в том, что

IMG(M): Ml = «2 для F-подгруппы М группы G . В результате была получена следующая теорема, представляющая и самостоятельный интерес:

Если G есть такая простая группа с F-подгруппой М порядка т , что IGI < (m-М)3 , то либо G^PSh (Л,?), либо

G - SsCf) для некоторого ^ (теорема 7.1).

Эта теорема сразу приводит к новой теоретико-групповой ха-рактеризации простых групп

PSJL, (Л,^) с помощью г-подгруппы нечётного порядка.

Простая группа G тогда и только тогда изоморфна

PSL (Д, <Ь) когда G- содержит такую F-подгруппу нечётного порядка КМ , что I £1 < (kv\ + 1) (теорема 7.2).

Как показывает доказательство теоремы 7.1, чтобы освободиться от указанного условия в теореме Харады, нужно было показать, что в случае, когда число исключительных характеров группы G не менее трёх, не существует простых групп, удовлетворяющих условию теоремы и для которых т

Информация, полученная об исключительных характерах f • группы б- в случае € 1 оказывается такой1, что с помощью леммы 4.2 складывается ситуация, когда становится применимой лемма 4.1.

Особая трудность возникла в случае, когда . Удаче в первую очередь сопутствует то, что оказываются справедливыми равенства (7.14) и (7.19). Линейный характер ^ подгруппы-А^СМиз (7.19) играет активную роль. Если Г\ = М | нечётно, то ~ » что позволяет переходить к случаю, когда И чётно. Теперь уже становится необходимым получить информацию о неисключительных характерах 9 группы (? с положительным и отрицательным значением на М . Часто оказывается весьма важным, что неисключительный характер группы G с отрицательным значением на М не может быть неприводимой компонентой ^ для любого неприводимого характера ^ подгруппы J\/q(M) , в ядре которого содержится М . Труднее всего оказалось показать, что

КУП -+• 1 = I Q JVp(M)| делит степень неисключительного ft характера с положительным значением на М . Здесь требовались исключительные усилия. Необходим был принципиально новый подход. В существовавших ранее доказательствах близких по содержанию результатах такой трудности не возникало, точнее её обходили благодаря условию теоремы, при котором значения неисключительных характеров оказывались равными — / , что и избавляло от этих трудностей.

На завершающем этапе доказательства теоремы 7.1 существенно используется информация о степенях и значениях всех неприводимых характеров группы G для вычисления структурных констант, что помогает установить число инволюций, а на основании чего и число неисключительных характеров группы б" . Предположение, что существует в рассматриваемом случае неисключительный характер с положительным значением на М приводит к тому, что число исключительных характеров должно быть равно . Приходим к противоречию.

Применить теорему 7.1 для решения проблемы А.И.Кострикина позволяет теорема 9.1, которая является критерием существования нормальных подгрупп.

Пусть группа 6- для некоторого нечётного простого числа р имеет такую силовскую p-подгруппу Р , что С^Срс)^ S РСд(Р) для любого XG. Р . Если IGKOPI + O-3 , то группа Q имеет собственную нормальную подгруппу, содержащую р-дополнение -L подгруппы (теорема 9.1).

Эта теорема показывает, что при силовская р-подгруппа простой группы б- , удовлетворяющей условию проблемы А.Й.Кострикина, является F-подгруппой группы G

Для доказательства теоремы 9.1 в комбинации с теорией р-блоков Брауэра теоремой 8.2 устанавливается когерентность относительно С^,^) определённого множества характеров си-ловской р-подгруппы Р группы & , где ^ отличн< от индуцирования, но определяется с его помощью.

Важно, что существующие по теореме 8.2 исключительные характеры принадлежат главному jb-блоку группы G- , а теорема 8.3 показывает с какими исключительными характерами, существующими в G по теореме Фейта-Сибли [39} , они совпадают в основном случае, что дает возможность выразить значения исключительных характеров для элементов из Р через значения неприводимых характеров подгруппы Р . Последнее необходимо для определения степени исключительных характеров, когда где h = ] J\^P) : PL Если IP) = , то устанавливается, что 1 р не является неприводимой компонентой ограничения на Р одного из неглавных характеров главного р-блока группы G . Следствие 5 работы Брауэра [13] тогда показывает, что становится применимой лемма 3.1 работы Глаубермана [2з1 .

В главе 3 исследуются группы с дополняемой F-подгруппой. С помощью лемм, которые используются также в главе получен следующий результат.

Если F-подгруппа М группы G имеет в G дополнение В , то либо группа G имеет инвариантное дополнение к подгруппе , либо сг действует дважды тран-зитивно на множестве правых смежных классов группы G по подгруппе

В ,и1М1-1 делит IBI (теорема II.5).

Этот результат существенно использовался Арадом и Чилягом [II] для доказательства более сильного варианта теоремы Ито.

Среди групп с дополняемой F-подгруппой есть и простые, поэтому привлекает внимание полученная нами теорема, условие которой подсказано теоремой Фробениуса, а утверждение такое же, как и у теоремы Фробениуса.

Пусть F-подгруппа М группы G имеет в G дополнение D . Если

IMI-I не делит 1di , то группа уу имеет инвариантное нильпотентное дополнение к J^Jq(M) (теорема II.б).

Эта теорема непосредственно следует из теоремы II.5, из которой вытекает также следующий результат, привлекающий внимание своей простой формулировкой.

Если F-подгруппа М группы Gr дополняется в С её немаксимальной подгруппой, то группа G имеет инвариантное нильпотентное дополнение к теорема II.7).

Из теорем II.б и II.7 следует, что подгруппа М инвариантна в G , если М является нециклической.

Применяя теорему II.5, приходим к следующей характеризации простых групп

Если F-подгруппа М простой группы G дополняется в Ь" подгруппой Фробениуса, то G = PSI (Л,АП) , и > 1 (теорема I2.I).

Перейдём теперь к обсуждению результатов главы 4.

Пусть G есть конечная группа с точным представлением степени Yl над полем комплексных чисел. Улучшая теорему

Бликфельда [12] , Томпсон и Фейт [21] доказали, что если р > Лпч- i (р - простое), то силовская jb-подгруппа группы Q является абелевой и инвариантной в G . Брауэр [15] доказал эту теорему для случая, когда порядок группы не oi делится на Jb , а Ито [32] получил ранее этот результат для разрешимых групп. Результаты Бликфельда оказались источником большого числа исследований, которые продолжаются и в настоящее время. Информацию о других результатах можно найти в обзорах Фейта [20] , Леонарда [Зб] ,

Завершая исследования Брауэра и Леонарда ^16, 37] , Сибли в работе [40] получил такой результат: Пусть группа Q имеет такую силовскую jb-подгруппу Р , что для любого ос ^ р . Если для некоторого точного комплексного характера Ф группы G справедливо то Р <» Q .

В главе 4 получен следующий результат о конечных линейных группах:

Пусть М есть F-подгруппа порядка m группы G . Если степень каждой неприводимой компоненты некоторого точного характера группы G меньше , то либо М < G , либо Sst , п ^ 1 (теорема I4.I).

Заметим, что для неединичного элемента ОС силовской р-подгруппы Р из F-подгруппы М группы б- , очевидно ,

С&(Х) S РСд(Р) = М а если Р абелева, то Сд(ОС) = С9(Р) = М . Видим, что при условии теоремы 14.I нельзя утверждать по теореме Сибли об инвариантности в G даже подгруппы Р , во-первых, из-за отсутствия условия абелевости для Р , во-вторых, может оказаться, что Р^М , тогда для степени точного характера *f> группы G неравенство теоремы Сибли может не выполняться.

Обратим также внимание, что в теореме 14.I по сравнению с теоремой Сибли предъявляется требование не к степени самого точного характера группы б- , а только к степени его неприводимых компонент.

Для доказательства теоремы 14.I получена следующая теорема, которая представляет также самостоятельный интерес:

Пусть М есть F-подгруппа порядка W группы G , не изоморфной , П ^ 1 . Тогда ядро любого неприводимого характера ^ группы & , для которого у>(1)<(М-О/Л, содержит либо И , либо инвариантное нильпотентное дополнение к в группе iy ( теорема 13.I ).

Для доказательства теоремы 13.I существенно используются леммы главы I, которые применялись и в предыдущих главах. Это объединяет содержание всех глав и демонстрирует дееспособность метода исключительных характеров, основанного на F-подгруппе.

Теорема 14.2 и её следствие показывают, что улучшение неравенства в теореме 14.I приводит к ещё одной серии простых групп даже тогда, когда ip является неприводимым характером группы б* .

Рассмотрение группы б* с дополняемой (^-подгруппой позволило улучшить неравенство в теореме 14.I, что показывает следующая теорема, которая вытекает из теоремы 14.3.

Пусть F-подгруппа М порядка W группы Q имеет в б- дополнение В , и пусть степень каждой неприводимой компоненты некоторого точного характера группы б" меньше YYl — f . Если yyi"i не делит 1BI , либо В не является максимальной подгруппой группы Q , то М< G (теорема 14.4).

В § 18 доказана теорема о существовании собственной нормальной подгруппы, в основе доказательства которой находится теорема 8.2 из главы 2 о когерентности относительно (<5", т) определённого множества характеров силовской подгруппы группы G .

В главу 4 помещено также небольшое число результатов о существовании нормальных подгрупп, которые хотя и связаны с рассмотрением характеров группы G* , но не тех, которые мы называем исключительными.

Теорема 15.I обобщает теорему Уинтера [50] о конечных разрешимых линейных группах.

В § 16 получен необходимый и достаточный признак существования инвариантного дополнения к холловской нильпотентной подгруппе, содержащейся прямым множителем в одной из максимальных подгрупп:

Пусть холловская нильпотентная подгруппа Н группы G содержится прямым множителем в некоторой максимальной подгруппе М из G и имеет не инвариантную в G силовскую р-подгруппу. Для того, чтобы группа G имела инвариантное дополнение к Н , необходимо и достаточно, чтобы G имела инвариантное ^-дополнение (теорема 16.2).

Эта теорема вскрывает сущность ранее доказанных автором теорем из [9] и порождает новые достаточные условия для существования инвариантного дополнения.

Приведём, например, такое следствие, не содержащееся среди предложений 1-10 из [53] : Пусть холловская нильпотентная подгруппа Н группы G содержится прямым множителем в некоторой максимальной подгруппе из б- и имеет не инвариантную в G силовскую ^-подгруппу. Если р делит степень каждого нелинейного неприводимого характера группы G , то группа б" имеет инвариантное дополнение к /7 .

Ключевым фактом, использованным при доказательстве теоремы 16.2, является наша теорема из работы JVJ , которая неоднократно применялась многими авторами.

Изящная теорема 4.3.1 С.А.Чунихина из [з] об инвариантном р-дополнении наводит на мысль получить аналогичную теорему о р-замкнутости группы. Но существуют не р-замкнутые группы, все собственные подгруппы которых р-замкнуты. Потому достойно внимания следующее достаточное условие р-замкнутости:

Пусть группа G с абелевой силовской р-подгруппой не является группой Шмидта, и пусть все собственные подгруппы группы G р-замкнуты. Если степень некоторого нелинейного неприводимого характера группы G не больше VlG-pl 1 , то б-р^ G (теорема 17.3).

Результаты диссертации докладывались на нескольких алгебраических конференциях и симпозиумах, на научно-исследовательском семинаре по алгебре в Московском университете ^59, 64, 76, 77] , на расширенных заседаниях Ленинградского алгебраического семинара (ЛОМИ и ЛГУ). В школе по алгебраическим системам (Сухуми) автором прочитана лекция на тему "Решение проблемы А.И.Кострикина о конечных группах с большими силов-скими подгруппами". Результаты диссертации содержатся в статьях [53-79] .

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

2. Кострикин А.И. Конечные группы. В кн.: Алгебра. 1964: Итоги науки / ВИНИТИ АН СССР. М., 1966, с. 7-46.

3. Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. Минск: Наука и техника, 1964.

4. Мазуров В.Д. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия: Итоги науки и техники / ВИНИТИ АН СССР. т. 14. М.: 1977, с. 5-56.

5. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. М.: Наука, 1976.

6. Казарин Л.С. О группах с факторизацией. ДАН СССР, 1981, т. 256, № I, с. 26-28.

7. Казарин Л.С. О некоторых признаках непростоты и разрешимости конечных факторизуемых групп. Вопросы теории групп и гомологич. алгебры, 1977, I, с. 70-93.

8. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

9. Романовский А.В. Группы с холловскими нормальными делителями. В кн.: Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1966, с. ?8-П5.

10. Arad Z. A classification of groups with a centralizer condition. Bull. Austral. Math. Soc., 1976, v. 15, К 1,p. 31-85.

11. Arad Z., Chillag D. On a theorem of N.Ito on factorizable groups. - Arch, math., 1978, v. 30, p. 236-239.

12. Blichfeldt H.P. On the order of the linear nomogeneous groups. Trans. Amer. Math. Soc., 1903, v. 4, p. 387-397.13» Brauer R. Some applications of the theory of blocks of characters of finite groups I. J.Algebra, 1964, v. 1,1. 2, p. 152-167.

13. Brauer R. On grbups whose orders contain a prime number to the first power I,II. Amer. J.Math., 1942, v. 64, p. 401-420, 421-440.

14. Brauer R. On permutation groups of prime degree and related classes of groups. Ann. Math., 1943, v. 44,p. 57-59.

15. Brauer R., Leonard H.S. On finite groups with an abelian Sylow group. Canad. J. Math., 1962, v. 14, H 3, p.436-450.

16. Brauer R., Reynolds W.F. On a problem of E.Artin. Ann. Math., 1958, v. 69, N 3, p. 713-720.

17. Feit W. Characters of finite gropcps. Hew York, 1967. 19» Feit W. On a class of doubly transitive permutationgroups. 111. J. Math., 1960, v. 4, N 2, p. 170-186.

18. Peit W. The current situation in the theory of finite simple groups. Actes, Congr. Intern. Math., 1970, v.1, p. 55-93.

19. Peit W., Thompson J.G. Groups wich have a faithful representation of degree less than (p-1)/2. Pacif. J. Math., 1961, v. 11, И 4, p. 1257-1262.

20. Ferguson P.A. Complex linear groups of relatively small degree. J. Algebra, 1983, v. 80, Itf 1, p. 73-89.

21. Glauberman G. A characterization of the Suzuki groups. -Illinois J.Math., 1968, v. 12, И 1, p. 76-98.

22. Gorenstein D. Finite groups. New York, 1968.

23. Gorenstein D., Walter J.H. On finite groups with diheedral Sylow 2-subgroups.- Illinois J. Math., 1962, v. 6, N 4,p. 553-593.

24. Harada K. A characterization of the group LF(2,q).1.linois J. Math., 1967, v. 11, N 4, p. 647-659.

25. Herzog M. On finite groups containing a CCT-subgroup with a cyclic Sylow subgroup. Pacif. J. Math., 1968, v. 25, N 3, p. 523-531.

26. Herzog M. On a problem of E.Artin. J. Algebra, 1970, v. 15, N 3, P. 408-416.

27. Holt D.F. Doubly transitive groups with a solvable one point stabilizer. J. Algebra, 1977, v. 44, N 1, p. 2992.

28. Huppert B. Endliche Gruppen. B.I. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1967.

29. Ito I. On a class of doubly transitive permutation groups.- Illinois J. Math., 1962, v. 6, N 2, p. 341-352.

30. Ito N. On the theorem of H.F.Blichfeldt. Nagoya Math.J., 1953, v. 5, p. 75-77.

31. Isaacs J.M. Character theory of finite group. New York: Academic Press, 1976.

32. Isaacs J.M., Passman D.S. Groups with representations of bounded degree. Canad. J. Math., 1964, v. 16, p. 299309.

33. Leonard H.S. On finite groups which contain a Frobenius factor group. Illinois J. Math., 1965, v. 9, N 1, p. 4758.

34. Leonard H.S. Finite complex linear groups of small degree.- In: Finite simple groups. N.¥.: Academic press, 1971, p. 191-197.

35. Leonard H.S. Finite linear groups having an abelian Sylow subgroup II. J, Algebra, 1973, v. 26, N 2, p. 368-382.

36. Puttaswamaiah B.M., Dixon J.D. Modular representations of finite groups. New York, San Francisco, London, 1977.

37. Sibley D.A. Coherence in finite groups containing a Frobenius section. Illinois J. Math., 1976, v. 20, К 3, P. 434-442.

38. Sibley D.A. Finite linear groups with a strongly self-centralizing Sylow subgroup II. J. Algebra, 1975, v. 36, H 2, p. 319-332.

39. Suzuki M. On a class of doubly transitive groups. Ann. Math., 1962, v. 75, N 1, p. 105-145.

40. Suzuki M. Two characteristic properties of ^T-groups. Osaka Math. J., 1963, v. 15, H 1, p. 143-150.

41. Suzuki M. Finite groups of even order in which Sylow 2-groups are independent. Ann. Math., 1964, v. 50, I 1, p, 58-77.

42. Suzuki M. On finite groups with cyclic Sylow subgroups for all odd primes. Amer. J.Math., 1955, v. 77, p. 657-691.

43. Suzuki M. Applications of group characters. Proc. Sympos. Pure Math., 1959, v. 1, p. 88-99.

44. Suzuki M. Applications of group characters. 1960. Inst, Finite Groups, Pasadena, Calif. Providence, R.I., Amer. Math. Soc., 1962, p. 101-105.

45. Suzuki M. Group theory I. Berlin e.a.: Springer, 1982. 4S. Wielandt H. tJber die Existenz von Uormalteiler in endlichen Gruppen. Math. Nachr., 195Q, B. 18, s. 274-280.

46. Winter D.L. Finite groups having a faithful representation of degree less than С Ар + 1)13 • Amer. J. Math., 1964, v. 86, N 3, p. 608-618.

47. Winter D.L. On finite solvable linear groups. Illinois J. Math., 1971, v. 15, N 3, p. 425-428.

48. Zassenhaus H. Kennzeichnung endlicher linear Gruppen alsPermutationo^gruppen. Abb. Math, Sem. Univ. Hamburg, 1936, B. 11, s. 17-40.

49. Huppert В., Blackburn N. Finite groups. III. Berlin e.a.s Springer, 1982.

50. Романовский А.В. Инвариантные дополнения нильпотентных подгрупп у конечных групп. ДАН БССР, 1972, т. 16, № 8, с. 684-685.

51. Романовский А.В. Характеры и нормальные подгруппы конечных групп. ДАН СССР, 1973, т. 210, № 6, с. 1288-1289.

52. Романовский А.В. Инвариантные подгруппы и характеры конечных групп. В сб.: ХП Всесоюзный алгебраический коллоквиум: Тезисы, тетрадь I. Свердловск, 1973, с. 102.

53. Романовский А.В. Существование холловских нормальных подгрупп у конечных групп. Матем.заметки, 1974, т. 16, № 3, с. 381-385.

54. Романовский А.В. О конечных разрешимых линейных группах. В кн.: Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1975, с. 129-132.

55. Романовский А.В. Признак непростоты конечной группы с подгруппой Фробениуса. В сб.: Всесоюзный алгебраический симпозиум: Тезисы, ч. I. Гомель, 1975, е.- 59.

56. Романовский А.В. Подгруппы Фробениуса конечных групп. -Вестник Моск. унив., матем.мех., 1976, № 6, с. 120.

57. Романовский А.В. О существовании инвариантного дополнения к подгруппе Фробениуса. В сб.: Пятый Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тезисы. Новосибирск, 1976, с. 74.

58. Романовский А.В. О конечных группах с подгруппой Фробениуса. Матем.заметки, 1976, т. 20, № 2, с. 177-186.

59. Романовский А.В. Об инвариантном дополнении к подгруппе Фробениуса. ДАН БССР, 1977, т. 21, №4, с. 293-295.

60. Романовский А.В. К характеризации простых линейных групп.- В сб.: 14-я Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы, ч. I. Новосибирск, 1977, с. 59.

61. Романовский А.В. Простые конечные группы с подгруппой Фробениуса. Вестник Мос.унив., матем.мех., 1977, to 6, с. 117.

62. Романовский А.В. К теоремам Фейта и Ито о группах Цассен-хауза. ДАН БССР, 1978, т. 22, № 4, с. 293-295.

63. Романовский А.В. О простых конечных группах с дополняемой F-подгруппой. В кн.: Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1978, с. 78-81.

64. Романовский А.В. Конечные группы с F-подгруппой. -В сб.: У1 Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тезисы. Киев, 1978, с. 51.

65. Романовский А.В. Конечные группы с подгруппой Фробениуса.- Матем.сб., 1979, т. 108(150), № 4, с. 609-635.

66. Романовский А.В. Конечные группы с фробениусовой секцией.- В сб.: ХУ Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы, ч. I. Красноярск, 1979, с. 129.

67. Романовский А.В. О конечных группах с фробениусовой секцией. В сб. научных трудов: У1 Всесоюзный симпозиум по теории групп. Киев: Наукова думка, 1980, с. 200-208.

68. Романовский А.В. Конечные группы с данным фробениусовым сечением. В сб.: УП Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тезисы докладов. Красноярск, 1980, с. 98.

69. Романовский А.В. Простые группы с большими силовскими подгруппами. Матем.сб., 1981, т. 115(157), № 3(7), с. 426-444.

70. Романовский А.В. Конечные группы с большими силовскими подгруппами. ДАН СССР, 1981, т. 259, й 3, с. 540-541.

71. Романовский А.В, Об одном критерии непростоты групп.В кн.: Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981, с. 71-77.

72. Романовский А.В. Строение простой группы с большой силовской подгруппой. В сб.: ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы, ч. I. Ленинград, 1981, с. 136-137.

73. Романовский А.В. О конечных группах с фробениусовым сечением. Вестник Моск.унив., матем.мех., 1981, № I, с. 100.

74. Романовский А.В. Проблема Кострикина-Артина о простых группах с большими силовскими подгруппами. Вестник Моск.унив., матем.мех., 1981, № 3, с, 79.

75. Романовский А.В. Характеризация групп Цассенхауза. В сб.: УШ Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тезисы. Киев, 1982, с. 109.

76. Романовский А.В. Характеризация простых групп Цассенхауза. Матем.сб., 1982, т.119(161), № 3(11), с. 406-417.