Исключительные и жесткие расслоения на поверхностяхс антиканоническим классом без базисных компонент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛО В Л

На нравах рукописи УДК 512.723

Кулешов

Сергей Алексеевич

Исключительные и жесткие расслоения на поверхностях с антиканоническим классом без базисных компонент 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполпепа п Отделе алгебры Математического ипститута им. В. А. Стеклопа РАН

Официальные оппоненты:

доктор фнзико-математнаескях наук, в.н.с.Тюрив Л. Н. доктор физнко-математтеских наук, профессор Тихомироп А. С. доктор физико-математических наук, профессор Куликов В. С.

Ведущая организация — Самарский Государственный Университет.

Защита состоится "..3.." октября.............. 1996 г. в .14.... часов на заседании специализированного совета Д 02.38.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Математическом институте им. В. Л. Стсклова. РАН по адресу:

117333 Москва, ул. Вавилова 42-

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института.

Автореферат разослан "..3.."..сентября............1996 г.

Ученый секретарь спецсовега,

доктор ф.-м. н. Минесв

М. П.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В последнее время появилось много публикаций о многообразиях модулей стабильных пучков на поверхностях, что свидетельствует о большом интересе, который эта тема вызывает у математиков. В статьях "Стабильные векторные расслоения на алгебраических поверхностях" (1975) л "Модули стабильных пучков" (1978) М. Маруяма исследует существование и гладкость многообразия модулей стабильных пучков на поверхностях. В 1977 году в статье "О многообразии модулей векторных расслоений на алгебраических поверхностях" Д. Гизекер вводит более тонкое понятие стабильности, что позволяет полнее изучить вопросы, связанные с гладкостью многообразия модулей. Начиная с семидесятых годов, активно исследуются вопросы, связанные с многообразиями модулей стабильных расслоений на кривых и инстантониых расслоений, имеющих связь с физикой.

С другой стороны, расслоения, не имеющие инфинитозимальных деформаций, то есть жесткие, незаслуженно оставались в тени до второй половины восьмидесятых годов. В 1984 году С. Мукая использует жесткие расслоения (одновременно являющиеся и простыми) для описания дискретных инвариантов (ранг и первые классы Черна) полустабильных раасслосний на поверхностях КЗ с двумерным многообразием модулей ([10]). На год позже (1985) выходит работа Дрезе и Ле Потье ([3]) об описании дискретных инвариантов, реализуемых полустабильными пучками на проективной плоскости. В этой статье для простых и жестких расслоений они вводят термин "исключительные расслоения". Оказалось, что исключительные расслоения являются "границей" пучков с деформациями не только в смысле размерности многообразия модулей. Но именно в терминах образов исключительных расслоений в Яо(Р2) описываются дискретные инварианты, допускающие реализацию полустобильными пучками.

После этих двух работ исключительные расслоения стали активно изучаться на семинаре А. II. Рудакова в Москпе. Было замечено, что перестройки пучков, описанные в работе С. Мукам [10], удачно переносятся на случай исключительных пар расслоений на Р2.

Более того, исключительные расслоения на проективной плоскости естественным образом организуются в исключительные тройки, порождающие производную категорию когерентных пучков на Р2 (такие наборы исключительных расслоений принято называть полными). Причем эти тройки можно перестраивать, получая новые исключительные наборы. Ранги же расслоений, входящие в исключительные тройки, удовлетворяют уравнению А. А. Маркова

х2 + у2 + г2 = Зхуг, (1)

которое было им выписало при изучении квадратичных иррациональностей ([9]). (Сейчас решения этого уравнения называют числами Маркова.) Легко видеть, что при фиксированной парс переменных из (1) получается квадратное уравнение на третью. Так как квадратное уравнение в общем случае имеет два корня, то мы можем перестраивать тройки Маркова, заменяя одну из координат решения на сопряженный корень соответствующего квадратного уравнения. Ьыло доказано, что перестройки исключительных троек расслоений на проективной плоскости однозначно соответствуют перестройкам решений уравнения Маркова.

Кроме того, известная гипотеза А. А. Маркова о том, что тройка натуральных решений уравнения (1) однозначно определяется своим наибольшим элементом, пе-

рсформулирустся и терминах исключительных расслоений следующим обратом: Если Е и Р — исключительные расслоения на Рг одинакового ранга, то либо Е — Г(п), либо /?* = Р(п) для некоторого натурального п. Переформулировка гипотезы Маркопа п терминах исключительных расслоений принадлежит Л. II. Тюрину.

Известно, что псе решения уравнения (1) получаются описанными перестройками из решения (1,1,1). Как следствие было доказано, что все полные исключительные тройки на Р2 можно получить перестройками из набора, состоящего из линейных расслоений. Этот факт называется конструктивностью полных наборов. Несколько позже удалось доказать, что любое исключительное расслоение и любая исключительная пара расслоений на Рг включается в полный исключительный набор. Такое свойство исключительных расслоений и пяр, при условии конструктивности полных исключительных наборов, называется конструктивностью расслоений и пар соответственно. Теория исключительных расслоений на Р2 изложена в статье Л. Н. Гудакова {12] (1988).

Упомянутая работа. Л. Н. Рудакова положила начпло исследованию исключительных расслоений на различных многообразиях. Круг вопросов, которые при этом стапятся, можно сформулировать следующим образом.

1. Существуют ли полные исключительные наборы на данном многообразии?

2. Можно ли произвольный полный исключительный набор получить перестройками из какого-то одного, фиксированного для данного многообразия, набора? (То есть вопрос о конструктивности полных исключительных наборов.)

3. Любое ли исключительное расслоение включается в конструктивный полный исключительный набор (конструктивность исключительных расслоений)?

.4. Любой ли исключительный набор расслоений включается в конструктивный полный исключительный набор (конструктивность исключительных наборов)?

Несколько позже А. Л. Городенцсву удалось доказать, что с любим исключительным набором расслоений связана спектральная последовательность типа Бей-линсоновской ([2]), что, конечно, повысило интерес к исключительным расслоениям.

Развитие теории исключительных расслоений шло по нескольким направлениям. Было установлено существование полных исключительных наборов на Р", линейчатых поверхностях с рациональной базой (Р„), грассманиане. С(2,4), многообразии флагов, поверхностях Дель Пеццо. ...

При попытках доказательства конструктивности полных исключительных наборов, по аналогии с ситуацией на проективной плоскости, пользовались методом, основанном на выписывании уравнения типа Маркова на ранги и другие целочисленные инварианты полных наборов и изучении множества его решений. Но с. ростом размерности многообразия и ранга Кя от него задача становилась все более сложной. Кроме того, на некоторых многообразиях появились исключительные пучки кручения и перестройки новых типов, которые еще больше запутывали ситуацию. Возникли проблемы с доказательством существования перестроек в исключительных парах, которые были преодолены с выходом в производную категорию когерентных пучков. Но при этом терялся контроль над основной категорией. Исследованном уравнений типа Маркопа в некоторых случаях удавалось доказать конструктивность полных исключительных наборов на арифметическом уровне, с точностью до эквивалентности в Кц. Такого сорта теоремы были получены Д. Ногикьгм для поверхностей и Р3 [И] (1990). Для доказательства же геометрической конструктивности требовалось описание исключительных объек-

топ производной категории. Та коп описание на поверхностях Дель Пеццо сделали А. Л. Городенцсв и Д. О. Орлоп (1991). Ими было доказано, что любой исключительный объект производной категории когерентных пучков на поверхносях Дель Пеццо квязиизоморфен пучку.

Ближе всех из изучавшихся многообразий к проективной плоскости оказалась двумерная гладка» квядрикл. 1Р1 х Р1. Хотя тям и появились перестройки нового типа и ранг Ло(Р' х Р1) рнпси четырем, проблем с существованием перестроек исключительных пар не возникло. А. II. Рудакову удалось доказать конструктивность полных исключительных наборов и исключительных расслоений на квадрике (1988). Но остапалась проблема с конструктивностью исключительных пар, которая была решена С. Зю.зиной только в 1993 году ([б]).

Несмотря на то, что исключительные расслоения изучались достаточно активно, общим жестким расслоениям уделялось мало внимания. Хотя в работе [4] (1986) Дреэе доказал, что любое жесткое расслоение на проективной плоскости — прямая сумма исключительных, этому важному факту не было придано должного значения.

Примерно в 1991 году, при изучении подходов к решению проблемы Маркова, мною было замечено, что если попытаться перестроить неисключительную пару исключительных расслоений ни Р2, то в результате получится сверхжесткое расслоение, прямые слагаемые которого дополняют одно ил перестраиваемых расслоений до исключительного набора. Постепенно созревала идея распространения этой конструкции на все поверхности Дель Пеццо. Наконец удалось получить классификационную теорему в духе Дрсзе для жестких расслоений на поверхностях Дель Пеццо. В [7] автор доказал, что любой жесткий пучок без кручения на поверхности Дель Пеццо разлогается п прямую сумму исключительных расслоений. Эта информация стала основой для метода перестроек в неисключительных парах, которым удалось доказать, что любое исключительное расслоение на поверхности Дель Пеццо включается в исключительную пару.

После моего доклада на семинаре А. Н. Рудакова, Д. О. Орлов заметил, что нужно заменить одно из перестраиваемых расслоений на исключительный пучок кручения. И этим, поистине замечательным приемом, с использованием теоремы о жестких расслоениях, ему удалось включить произвольное исключительное расслоение на поверхности Дель Пеццо в полный исключительный набор. Результат Орлова, важный сам по себе, показал, что можно решать проблемы конструктивности, не прибегая к уравнениям типа Маркова.

Развивая далее этот метод, буквально через две недели, я обосновал перестройку исключительного пучка кручения и сверхжесткого расслоения. В результате получилась теорема о том, что любой исключительный набор на поверхности Дель Пеццо включается в полный.

Итогом этих исследований дожна была стать совместная статья. При работе над ней у меня возникла идея перестраивать пары сверхжестких расслоений, ассоциированных с иключительными наборами. Оказалось, что такая перестройка влечет серию перестроек соответствующих исключительных наборов. Это-то и позволило мне доказать теорему о конструктивности исключительных наборов на поверхностях Дель Пеццо.

Все результаты об исключительных пучках на вышеуказанных поверхностях вошли в работу [8]. Этим достижениям в теории исключительных пучков на поверхностях Дель Пеццо была посвящена часть доклада А. II. Рудакова на международном математическом конгрессе в Цюрихе (1991).

о

Упомянутая работа важна и г. методологической точки зрения. Она заставила переосмыслить подход к проблемам конструктивности в теории исключительных расслоений. Стало ясно, что три задачи: конструктивность расслоений, наборов и полных исключительных наборов - - следует решать одновременно с использованием информации о структуре жестких и сперхжестких пучков. Действенность этого подхода проявила себя также 1414 исследовании исключительных и жестких расслоений на гладких проективных поверхностях с антиканоническим классом бед базисных компонент и положительным квадратом. Этот класс поверхностей содержит поверхности Дель Пеццо и является их естественным обобщением.

Цель работы.

1. Выяснить структуру жестких и сверхжс.стких расслоений на поверхностях с ачтиканоиичсским классом без базисных компонент и положительным квадратом.

2. Доказать конструктивность исключительных наборов расслоений на поверхностях Дсль Псццо.

3. Доказать конструктивность исключительных наборов расслоений на поверхностях с антиканоническим классом без базисных компонент и положительным квадратом.

Общая методика исследования.

Исключительные, расслоения п диссертации исследуются с помощью сперхжест-кпх, которые тесно связаны с исключительными наборами, и, перестраивая сверхжесткие расслоения, мы перестраиваем соответствующие исключительные наборы.

При изучении исключительных расслоений использовался нопый метод перестроек спсрхжестких расслоений.

При работе с исключительными расслоениями и наборами используется метод ограничения на. подходящие кривые,, что позволяет вычислять группы когомоло-гий.

Построение фильтраций с заданными свойствами для спсрхжестких расслоений позволяет доказать совпадение ортогональных дополнений к сверхжссткому расслоению и к ассоциированному с иим исключительному набору.

Научная повизна.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в алгебраической геометрии и аналитической теории многообразий В частности, результаты и новые методы диссертации могут быть использованы при изучении свсрхжсстких расслоений на линейчатых поверхностях, многообразиях высших размерностей, при построении и исследовании многообразия модулей полустабильных лучков, при решении проблемы Маркова, в теории деформаций многообразий.

Аппробацня.

Результаты докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1) международная конференция по алгебраической геометрии (г. Ярославль 1992 г.);

2) международная конференция по алгебраической геометрии (г. Ярославль

1994);

3) семинар отдела алгебры МИГ АН им. В. А. Стсклова под руководством И. Р. Шафарсвича (1994);

4) семинар А. II. Рудакова по векторным расслоениям в НМУ (1992 - 1994).

Основные результаты диссертации, в качестве составной части, вошли в доклад А. Н. Рудакова на международном математическом конгрессе (Цюрих 1994).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах (одна из них в соавторстве), которые приведены п конце автореферата.

Структура н объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 84 страницы текста, написанного в редакторе Список литературы содержит 25 названий.

Содержание работы.

Во введении к диссертации излагается история тематики диссертации, дастся краткий обзор основных определений и известных фактов теории исключительных расслоений, формулируются основные результаты и кратко описываются методы, использованные при их выводе.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена понятию стабильности. Дело в том, что основной инструмент при исследовании жестких расслоений на поверхностях — это фильтрация Гардера - Нарасимхана с полустабильными факторами относительно антиканоничсского класса. Но этот дивизор на поверхностях, служащих базой исследуемых расслоений, всего лишь численно эффективен. Поэтому требуется обоснование стабильности относительно численно эффективного дивизора.

Кроме того, известно, по крайней мере, три различных типа стабильности когерентных пучков: Мамфорда-Такемото, Ппекера и векторная стабильность относительно набора поляризаций, введенная А. Н. Рудаковым. Эти стабильности объединяет наличие наклона и список основных свойств стабильных пучков. Для систематизации этих видов стабильностсй автор вводит аксиоматическое определение наклона и стабильных пучков, которое выглядит следующим образом:

определение. Пусть на множестве, пучков без кручения полного алгебраического многообразия X над полем С задана функция 7 со значениями в R" с лексикографическим упорядочением, которая обладает свойствами: НАК.1. Для любой точной тройки пучков без кручения

О —> F —> Е —» G —> О

y(F) < 7(£) 7(Я) < у(0),

y(F) > 7(Е) 7(Е) > у(G),

7(F) = 7(E) <=> 7(Я)=7(С); IIAK.2. Для любой пары пучков без кручения одинакового ранга F С Е выполнено неравенство:

7(F) < у(Е).

Такую функцию будем называть функцией наклона, а ее значение на пучке без кручения Е ^-наклонам или просто наклоном пучка Е. Функцию наклона со значениями п К" будем иногда налы пять ас.кищтпИ функцией наклона.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пучок бед кручения Е на алгебраическом многообразии Л" называется ■)-(полу)стабильным или просто (полу)стабилышм, если для любого его подпучка Г строго меньшего ранга справедливо неравенство

т(^) < -у(Е)

(■у(Е) < 7(К) для полустабильных). Основные свойства стабильных пучков, которые, выводятся из аксиом наклона, представлены следующим списком:

Теорема.. 1. Для двух наклонов у = (71,721 • • • >7п) и V = (ТьТъ • • • ,7щ 7"+1> • • • 17т), из-за лексикографического сравнения их лплчепий, справедливы утверждения:

а) сели пучок Е — 7-стабился, то оя л '/-стабилен;

б) ссли пучок Е — '/~110ЛУстг1'>ился, то он и 7-нолустабилсн.

2. Если пучки Е и Е — полустабильны и 7(7?) > 7(Р), то Нот(/7, Е) = 0.

3. Пусть Е и Е — полустабильньге пучки равных наклонов и у : Е —> Е — ненулевой мерфплм лучков. Тогда

я) если Е стабилен, то (р — вложение;

б) ил стабильности F следует, что 1р — наложение в общей точке.

4. Стабильный пучок прост.

5. Любое расширение полустпбплъпых пучков рапных паклопов — полустябиль-ный пучок.

Во второй главе диссертации доказывается следующая теорема о фильтрации Гардера - Нарасимхана:

теорема. Предположим, что наклон 7 удовлетворяет дополнительной аксиоме НАК.З. Для произвольного наперед заданного значения 70 функции 7 и М = {С^Сз.б'д,... } — упорядоченного множества пучков без кручения, ранг которых яс превосходит г, из условия

7(С?,)>7((7|+1)>7о V» = 1,2,3,...

следует, что множество М — конечно.

Тогда для любого пучка без кручения Е существует единственная фильтрация Гардера - Няряеямхяшя:

О = Еп+1 С Я„ С ■ • • С Е2 С Е1 = £

с 7-полустабильными факторами ц = в,- , наклоны которых удовлетворяют неравенствам:

7(С,+.)>7 («О (» = 1,2,...,п — 1). Далее фильтрации пучка Е с факторами <7; мы будем обозначать как Сг{Е) = (С„,<?„_„...,С,).

Третий параграф имеет дело с различиями известных типов стабильности. Оказывается, что корень различия заключен во второй аксиоме, которой наклоны удовлетворяют в разной степени.

Напомню обозначения: = --наклон Мамфорда-Такемото от-

носительно обильного дивизора А на многообразии X размерности п, ~ул(Е\п) = ~ 1,аклон Гизекера относительно обильног о дивизора А. П третьем параграфе доказывается следующее утверждение.

ЛЕММА, а.) для любых двух пучков без крученая одинакового ранга яа многообразна X : Е С Е и произвольного численного эффективного дивизора Я выполнено неравенство: /¡ц(Р) < ^ц{Е), причем равенство достигается в том случае, когда

соЛтвирр(Е/Р) > 1.

Фикцию наклона, удовлетворяющую такой редакции аксиомы НАК.2, будем называть слабым наклоном;

б) для любых двух пучков без кручения одинакового ранга на многообразии X : Р С Е и произвольного обильного дивизора А выполнено неравенство:

< цЛ(Е), причем равенство достигается только тогда, когда

\

сосПш яирр(£/Г) > 2.

Фикцию наклона, удовлетворяющую такой редакции аксиомы НАК.2, будем называть наклоном Мамфорда-Такемото;

в) для любых двух пучков без кручения одинакового ранга на многообразии X : Р С Е и произвольного обильного А выполнено неравенство: 7л(Г) < 7л(Е), причем равенство наклонов равносильно

В =

Фикцию наклона, удовлетворяющую такой редакции аксиомы НАК.2, будем называть наклоном Гизекера;

В этом же параграфе для полустабильных по Гизекеру пучков строится фильтрация с изотипными факторами.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Любой полустабильный по Гизекеру пучок Е имеет фильтрацию с изотипными нолустобильными факторами:

Сг(Я) = (С„,С7п_,.....(7,),

где каждый го С,- обладает фильтрацией , состоящей из изоморфных стабильных факторов:

Сг(С<) = .., б?,) (7(<?..) = 7(О.-) =

Более того, эту фильтрацию можно построить таким образом, что если — это члены фильтрации пучка К, то

Нот(£ч,(7;_|) = Нот(й?,-,= Нош^ьС,) = 0.

Вторая глава диссертации включает пять параграфов, в которых исследуются жесткие и сверхжесткие расслоения на поверхностях 5 с антнканоничегким классом Н = — без базисных компонент и положительным квадратом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пучок Е на многообразии X называется жестким, ссли

Ех1.'(Е,Е) = 0.

Наиболее ялементярпнми жесткими пучками являются исключительные.

Определение. Пучок Е на многообразии назыпается исключительным, если Ех(."(£, Е) = С и = 0 V« > 0.

После напоминания в первом параграфе второй главы необходимых базисных фактов, во втором параграфе, применяя технику, развитую С. Мукаи ([10]), А. Го-роденцсвым ([1]), Д. Орловым ([8]) и С. Зубе ([5]), мы получаем стартовую информацию о структуре жестких и исключительных пучков. Эта информация собрана в следующей теореме:

ТЕОРЕМА. 1. Жсс.ткпЯ пучок бел крученая п.1 гладкой проективпой поверхности — локально свободен.

2. Исключптсльпый пучок на поверхности 5 может быть одним из следующих: локально свободен;

имеет кручеппе, сосредоточенное на кривой, пересекающейся с Н по пулю; C',(<í) для некоторой рациональной кривой е с с2 = — 1;

пучок кручепяя, сосредоточенный па щтводямой кривой, имеющей о качестве неприводимой компоненты кривую, пересекающуюся с Н по пулю.

Для поверхностей Дель Псццо Исследование структуры исключительных пучков начато А. Л. Городснцевым и закончено Д. О. Орловым.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. (Городспцев — Орлов.) Исключительный пучок на поверхности Доли Псццо (—Ks -- обплгп) либо локялъпо свободен, либо пучок кручепяя вида Ог(<1) для неприводимой рациональной кривой с е2 = — 1.

D заключение второго параграфа доказывается стабильность исключительных расслоений на S относительно антиканонического класса.

В третьемпараграфс классифицируются исключительные пары расслоений на поверхностях S.

определение. Исключительным набором называется упорядоченный набор (Е\,Ег,..., Е„) исключительных пучков, удовлетворяющих условию:

= 0 npHt>j и Чк = 0,1,2.

Исключительной парой называется исключительный набор из двух пучков.

На поверхностях S встречаются исключительные пары четырех типов: пара (Е, F) - типа "Ьm" — Ext'(ß, F) = О при t = 1,2 и Horn(ß, F) ^ 0; пара (Е, F) — типа "ext" — Ext'(/7, F) = 0 при i = 0,2 и Ext.'(£;, F) ф 0; пара (E,F) — типа "нуль" (нуль-пара) — Exl'(E,F) = 0 при t = 0,1,2; пара (E,F) — особа, если

при ¿ = 0,1 и Ext2 (Б, F) = 0.

Оказывается, тип исключительной пари расслоений легко определяется сравнением наклонов членов относительно антиканонического класса.

Предложение. Пусть (Е, Р) — исключительная плр,т. расслоений пл. ттппсрхппсти 5. Тогда (Е, Р) имеет тип:

я) "}ют" ц„(Е) <1Ч,{Р)\

(>) "ехГ 141 {Е) > 14,{Г)-

в) "нуль" или особа <{=Ф- /'//(#) =

Существует способ различать особые и нуль-пары:

лемма. Пусть (Е,Р) — исключительная пара расслоений равных наклонов (/'//(£) = 11ц(Е)). Обозначим через С = с^Р) — с^Е) разность их детерминантов. Тогда:

1) г(Я)=г(Л.

2; С2 = -2 и АГ® • С = О.

3) Если (Е,Г) — особа, то

л) С — связная кривая;

б) Ш\Е,Р) = Ех^Е, Л = С;

в,) существует точная последовательность

О —► Я —► К —► Ц —>0,

где ф — пучок кручепля С С1 (<?) = С.

В четвертом параграфе доказывается следующая важная теорема о жестких расслоениях:

ТЕОРЕМА. Пусть 5 — гладкая проективная комплексная поверхность с антикано-яическим классом Н без базисных компонент и положительным квадратом. Тогда

1) Любой жесткий пучок без кручения на 5 — прямая сумма ц [¡-полустабильных жестких расслоений.

2) Любой неразложимый жесткий пучок без кручения яа 5 /£д -полустябткп.

3) Любой рц-полустаЛплъпый жесткий пучок без кручения на 5 обладает исключительной фильтрацией, то есть

Сг(Р) = (х„Еп, !„-,£„_,,...

где (Б], Еъ,..., 13п) — исключительный набор расслоений, упорядоченных по /«я-наклону: /¡я(^) < /№+|).

4) Любой жесткий пучок без кручения на поверхностях Дель Пеодо — прямая сумма исключительных расслоений.

При доказательстве конструктивности исключительных наборов важную роль приобретают сверхжесткие расслоения. Поэтому в последнем параграфе второй главы доказываются следующие теоремы:

ТЕОРЕМА. Пусть 5 — гладкая проективная поверхность над С с антиканониче-скпм классом // без базисных компонент и Н2 > 0. Тогда

С любым исключительным набором расслоений (Е\, • • •, Еп), удовлетворяющих условию: < ]) ассоциировано сверхжссткое расслоение В (Ех^Я.Е) = ЕхЬ2(У;,/?) = 0,), для которого Яг (Е) = (хпЕп,хп-ХЕп-ь .. .,*,£,).

2. Любой сверхжесткий пучок без кручения Е имеет исключительную фильтрацию:

Сг(£) =(*„£„, *„_,£!„_„... ,*,£!,).

3. Веля сверхжесткий пучок без кручения В имеет две таких фильтрации:

<7г(£) = (х,,^,*„_,£„_,.....!,£■,) = ,5л/\),

то т — п и исключительный набор (Р^Рг,. ■■ ,Рт) получается из набора (£,, ..., £„) перестановкой членов в соседних нуль-нарах.

ТЕОРЕМА. Пусть Т*4 — рц-полустабильное жесткое расслоение,

— его исключительная фильтрация и С — пучок без кручения. Тогда:

а) /■') = 0 VI Ех1'(С,£:4) = 0У!,4;

б) Ех^.С) = 0У; Ех1\Ек,0) = <Ж,к.

Первый параграф третьей главы посвящен теории спиралей, в частности, определяются перестройки исключительных пар.

Лемма-Определен не. 1. Пусть (Е,Р)— исключительная Ьот-пара пучков. Рассмотрим канонические отображения:

Нош(Л\ Р)&е'^> Р и Ег-Щ Нот(Е, Е)'® Р.

Если /сап — эпиморфизм, то пара (Е, Р) — лсводопустима и

ЬцР - кег/сап.

При этом пучок Ьр;Р — исключителен и пара (ЬцР, Е) тоже исключительна. Если гсап - - мономорфизм, то пара (Е, F) — право допустима и

ПрЕ — сокеггсап.

При этом пучок ПуЕ — исключителен и пара (Р, НрЕ) тоже исключительна. В обоих случаях перссройку пары (Е, F) будем называть регулярной. Если /гага — мономорфизм, то левый сдвиг определяется как ЬцР = сокег 1сап (пара (1/ЯР,£) — вновь исключительна).

Если гсап — эпиморфизм, то правый сдвиг определяется как НрЕ = кег гсап (пара (Р,ПуЕ) — исключительна).

2. Если плра (F, F) — имеет тип ext., то она как и лепо, так и праподопустима. Соответствующие сдвиги, определяемые из универсальных расширений:

О —у F —> Lp,F —» Ext'(К, Г) » Я —» О,

О —► Ext'(F,F)' ® F —► RfE —У Е —> О,

являются исключительными, как и соответствующие перестройки пары. При этом перестроенная exf.-napa будет уже иметь тип horn.

3. Как левая, так и правая перестройки в нуль-парах — трипиальны и состоят в перестановке членов пары.

Как следует из этой леммы, перестройки в hom-napax определены не всегда; а о перестройках в особых парах вообще нет, речи. Do избежание этих неприятных ограничений, следуя А. .Л. Городенцеву ([1]), можно перейти к ограниченной произподной категории пучков поверхности S (Dh(S)). При этом понятия исключительных объектов и наборов переносятся без изменения. Определение же перестроек выглядит следующим образом:

Лемма-Определение. Пусть (Е, F) — исключительная пара в Db(S). Объекты LeF и RfE, дополняющие канонические морфиэмы

LeF —+ Я IIom(E, F)®E—» F и Е —У R Hom(E, F)* » F —» ПГЕ

до отмеченных треугольников, как и пары (LeF, Е), (F, RfE), являются исключительными.

Категория пучков вложена в DI'(S) морфизмом 6. При этом вложении любой исключительный набор пучков сохраняет свою исключительность. Пересройки в основной и производной категории связаны следующим образом: если исключительная пара пучков (Е, F) — леводопустима, то левый сдвиг 6(F) в производной категории квазиизоморфен S(L^F), то есть является комплексом, имеющим единственную ненулевую когомологию, совпадающую с LjjF, и наоборот. Аналогичное утверждение справедливо и для правых перестроек. Тем самым, можно считать, что перестройки определены для всех исключительных пар.

Далее приводятся важные сведения о перестройках.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. (ГЪроденцев) Если (Л, В) — исключительная пара в производной категории, то левая и правая ее перестройки — исключительные пары.

ТЕОРЕМА. (Городенцев-Орлов.) Если S — поверхность Дель-Пеццо, то любой исключительный объект в Dl(S) квазиизоморфен исключительному пучку, то есть псе перестройки лежат в основной категории.

Определение. Пусть (т — (Е\, Ез,..., Еп) исключительный набор пучков или объектов Db(S). Его называют полным, если он порождает производную категорию, то есть минимальная триангулированная подкатегория, содержащая объекты E\,Ei,...,E„ , совпадает с Db(S).

Примером полного набора служит набор:

(Ог,,Ор,(1),ОГ,(2)).

Теорема. (Бонд ал.) Пусть о = (Е1,Е2, ■ ■ ■,Е„) — исключительный набор (пучков или объектов производной категории) на многообразии X. Тогда

1. Если а — полный, то левые и правые его перестройки скова полные наборы.

2. Пб.Яв.., ...Лв.ЯО = Е0(-К3) иЬЕо£Е, ... Ье^,Е„ = Е„(К5).

С каждым исключительным набором связана спектральная последовательность. С исключительным набором (Ец,Е1,Ег, ■ ■ ■, Еь) свяжем левый и правый двойственные.

= = ££ч/Я-2 = Ь^Е2,...,"Е.к = ¿(4>Ь'ц

К = = Л^-1»^,^ = = Ек.

Набор ..., — левый двойственный, а , 1,.. — правый

двойственный.

Б этих обозначениях справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА. (Городенцев.) Пусть (Ео, Ь'2|... ,Еь) —исключительный набор пучков на Б и левый двойственный к нему целиком лежит в основной категори^то есть тоже состоит ил пучков. Тогда для любого пучка принадлежащего категории, порожденной этим набором, существует спектральная последовательность Егл, Е\-член которой равен:

Е= Е® ЫЕГ,

где Др — число не регулярных перестроек, встречающихся при получении пучка

Аналогично, если правый двойственный набор целиком лежит в основной категории, то возникает спектральная последовательность с ^-членом

Е\л = ® Е1р,

где Др — число не регулярных перестроек, встречающихся при получении пучка

КОбе эти последовательности сходятся на главной диагонали, яр есть Е™ =

О при р + д Ф 0 и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в исключительном наборе т = (Еа,Е1,Е2,. ■., Е„) исключительную пару (£?(, ^ 1) заменить ее левой перестройкой, то полученный набор ¿¡г называют ¿-той левой перестройкой т. Аналогично определяются правые перестройки.

Справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА (Городенцев — Бондал.) 1. Перестройки исключительных пи&оров являются исключительными наборами.

2. Перестройки полных исключительных наборов — полные исключительные наборы.

3. Перестройки наборов удпплетпоряют следующим соотпошепилм:

HiLi = Ь,П i = Id

i'if'iuLi ~ LU I Ltl'H 1 = Lj /,,• если {ф j + 1, i j — 1.

Ил этой теоремы следует, что на множестпе псех исключительных наборов действует группа кос, порожденная левыми перестройками L;.

Определение. Будем говорить, что исключительный набор конструктивен (даже тогда, когда он состоит только из одного элемента), если он включается в полный исключительный набор, получающийся перестройками из какого-то одного, фиксированного для данного многообразия исключительного набора.

Do втором и третьем параграфах диссертации с помощью ограничения исключительных и жестких расслоений на рациональные кривые доказывается следующая важная лемма:

лемма. Пусть на поверхности S с К| > 1 <? — {Et, Е2,..., Ei) — исключительный набор расслоений. Прячем, если Kg = 1, го в этом наборе нет пар вида (Os(D),Os{D + e + Ks)), где D — некоторый дивизор, а е = ej — исключительная рациональная кривая. Тогда найдется такой эквивалентный ему исключительный hora-набор г = (Fi, F2,.,., Ft), что ассоциированное с ним сверхжесткое расслоение F (Gr{F) = (ijtFt, xt_iF).-i,..., включается в ключевую точную последовательность:

О G F Hom(F,Oe(-l))* ® С?е(—1) О, где G — сверхжесткос расслоение; причем,

Ext*(G,C>e(-l)) = 0 VA.

Из све.рхжесткости G' вытекает существование исключительной фильтрации:

Gr(C') = (упСп,у„_,Сп_„..., у,С,).

Используя индукцию по числу дивизоров раздутия на поверхности, можно считать, что исключительный набор расслоений {G'\,G'i,... ,G'„) — конструктивен, то есть включается в полный исключительный набор, получающийся перестройками из базисного:

Напомню, что база индукции — ситуация на проективной плоскости — проверена в работе [12].

Ввиду равенства о* (С) = G, расслоение G имеет исключительную фильтрацию:

Gr(G) = (ynGn,yn.1Gn.u...,ylGi),

где Gi = tr'(G?t). Более того, набор т' = (Ог(—1),<7j, ... ,G„) — исключителен (тривиальность пространств Ext*(Gi, ОД—1)) следует из вида ограничения

= А его конструктивность вытекает из конструктивности набора

(С'ьС'з ,...,£»„).

Теперь для доказательства основной теоремы достаточно показать, что т включается в исключительный набор, полученный перестройками из г\

Чтобы лучше представлять процедуру такого включения, проиллюстрируем ее в проективизации К0(3) & (2 = К. Каждому пучку Е на 5 сопоставим вектор \Е\ в К. Очевидно, что векторы в К, отвечающие исключительному набору, будут линейно независимы. Напомню, что в К определена невырожденная билинейная форма. (-,-), соответствующая эйлеровой характеристики пучков Е). Поскольку все. исключительные, пучки удовлетворяют уравнению: х{Е,Е) = 1, то векторы, им соответствующие, не пропорциональны. Перейдем к проективизации К. При этом, векторы, отвечающие пучкам исключительных наборов, спроскти-руются в вершины некоторых симплексов.

Из ключевой точной последовательности вытекает, что вектор [.Г] попадет внутрь симплекса, вершины которого: (<9е(—1)], ...,[С?„].

Спроецируем точку [Е] на ребро ([Ое(—1)], [Сп]). Проекция окажется сверхжестким пучком. А исключительная пара (С0,С[), ассоциированная с ним, получается перестройками пары (Ое(—1),(?1). Б результате получим меньший симплекс, содержащий [Р]. Затем спроецируем [Р] на грань ([С,], [С?2], • • •, [С?„]) и так далее. Останется только проследить за конечностью этого процесса. Сформулируем леммы о проекциях.

ЛЕММА. Пусть С?, Е, Е — сосрхжс.сткче пучки па поверхности Я, связанные точной последовательностью:

О —► О —> Р —¥Е —> О.

Пусть

Сг(Е) = (укЕк,ук-1Ек.и... ,у,£,), Сг(С) = (!/тС„,,¡/т_1Ст_1,...,

исключительны« фильтрации, притом набор ,..., /7», (7т,..., С,„) — исключителен. Разобьем фильтрацию пучка С на дпг группы:

О —V С —» б —> С —* О,

гдо С и С»'" — пучки с исключительными фильтрациями:

Сг(С') = (УтСт,уга_1Ст-1,...,у,+ 1С,+ 1),

С?г(С) = ..,у1+,<?»+,).

Тогда

1) Сив" — сверхжесткие пучки;

2) Ет1(<У)ёНот(<?,Р); З; Ех^С, F) = О при 1 > 0;

4) ЕхЬ5(Р, С) = 0;

5) существует точная последовательность.'

О —> С —> F —> Я" —> О, где — сверхжесткий пучок, включающийся в точную тройку:

О—> С—О, причем ЕхЬ'(С, Е1) = О VI.

ЛЕММА. В предположениях предыдущей леммы, разобьем фильтрацию пучка Е на две группы:

О —> Е1 —► Е —» Е" —> О, где Е" и Е" — пучкн с иеклютительньгмя фильтрациями:

С7г(Я') = .. Сг(Е") = {у.Е„у..1Е,.и...,ухЕх).

Тогда

1) Е' и Е" — сверхжесткис пучки;

2) ЕпсЦЕ") = Нот(Е, Е");

3) ЕхЬ'(Г, Е") = 0 при I > 0; ЕхЬ2(£"', Е) = 0;

5) существует точная последовательность:

0 —► С —> Р —► —+ О, где С — сверхжесткий пучок, включающийся в точжую тройку:

О —► С? •—► С —»• Е1 —> О, причем Ех^С, Е") = О VI.

Тот факт, что процесс перестроек симплексов — конечен, доказывается индукцией по числу вершин. База индукции рассматривается в четвертом параграфе:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть сверхжесткий пучок К на поверхности Я включается в точную последовательность

о —+ —V Р —> иА —> О,

где (Со,С?1) — исключительная пара, у{ — положительны и О1 — расслоение. Тогда.

1) Если (?о — локально свободен, то у Г существует единственная (с точностью до перестановки факторов) исключительная фильтрация

= (х^ыо^о) (И>0),

причем,

а_) пара (Ро,^) получается перестройками из нары (<7о,Сч), б; г(Д,)+г(*1) >г(С0)+г(С,), еслиго-ц^О, в,) > г(С0) + г(С]), если 2, = О,

г^ равенство суммы рангов достигается только в случае ^ = С;.

2) Если С0 = Ое(— 1) для исключительной рациональной кривой е = е</, то

Р=г1Р1©1 оР0 (*!>0),

причем,

а_) исключительная пара перестраивается из пары (С0, С?1),

^ + КЯ) > г(<7о) + г(£?,), если х0 • ц ^ 0,

в) г(Ро) > г(С0) + «-(СО, если I, = 0,

г) — локально свободен.

Наконец, пятый параграф посвящен доказательству теоремы о конструктивности, которую можно сформулировать следующим образом:

Теорема. 1. Любой исключительный набор расслоений на поверхности 5, ранг которых больше I, включается в полный исключительный набор, получающийся •перестройками из базисного :

где е; — полный прообраз ¿-той раздутой точки и к — полный прообраз прямой на проективной плоскости, й частности, все спирали, целиком состоящие из расслоений с рангом больше 1 — конструктивны.

2. Если > 1, го условие на ранг расслоений можно отбросить.

3. Любой исключительный набор пучков на поверхности Дсль Пеццо — конструктивен.

Литература

[1] А. Л. Городенцев: Исключительные расслоения на поверхностях с подвижным антиканоничсским классом.// Изв. АН СССР. Сер. матем, 1988. Т.52, (4). С. 740-755.

[2] A. L. Gorodentsev: Exceptional Objects яле) Mutations in Derived Categories.// Helixes and Vector Bundles, London Math. Soc., Lecture Nmite Series 148. Cambridge Univ. Press, p.57-74.

[3] J.-M. Drezct and J.Lc Pot.ier: Fibres stables et fibres exceptionnels sur P2.// Ann. Sci. ENS(4)18(1985),193-243.

[4] J.-M. Drezct: Fibres exceptionnels et suite spectrale de Beilinson generalisee sur P2(C).// Math. Ann. 275,(1) (198G), 25-48.

[5] S. K. Zube, D. Yu. Nogin: Computing Invariants of Exceptional Bundles on a Quadric.// Helixes and Vector Bundles, London Math. Soc., Lecture Noute Scries 148. Cambridge Univ. Press, p.23-32.

[6] С. Ю. Зюзнна. Конструктивность исключительных пар векторных расслоений на квадрике.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1993. Т.57 (1) С.183-191.

[7] S. A. Kuleshov: Rigid Sheaves on Surfaces.// Aspects of Mathematics. Algebraic Geometry and its Applications. Proceedings of the 8th Algebraic Geometry Conference, Yaroslavl' 1992.

[8] С. А. Кулешов, Д. О. Орлов: Исключительные пучки на поверхностях Дсль Пеццо.// РАН, сер. матем., Т.58 (3) 1994. стр. 53 87.

[9] А. А. Марков: О бинарных квадратичных формах положительного определения.// СПб., 1880, с.44.

[10] S.Mukai: On the Moduli Spaces of Bundles on КЗ Surfaces,1// in Vector Bundles ed. Atiyah et at, Oxford Univ. Press, Bombcy, (1986) P. 67-83.

[11] Д. Ю. Ногин: Спирали периода четыре и уравнения типа Маркова.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990 Т.54 (4) С.862-878.

[12] А. II. Рудаков: Исключительные расслоения на Р2 и числа Маркова. Изв. АН СССР сер. матем. 1988, Т.52 (1) С.100-И2.

Работы по теме диссертации.

1. S. A. Kuleshov: Rigid Sheaves on Surfaces.// Aspects of Mathematics. Algebraic Geometry and its Applications. Proceedings of the 8th Algebraic Geometry Conference, Yaroslavl* 1992.

2. С. А. Кулешов, Д. О. Орлов: Исключительные пучки на поверхностях Дель Пеццо.// РАН, сер. матем., Т.58 (3) 1994. стр. 53 87.

3. Kuleshov S. A.: Exceptional and Rigid Sheaves on Surfaces with anticanonical Class without Base Components.// preprint MPI 95-13 and to appear in Journal mathematical scances.