Раздутия трехмерных терминальных особенностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Москва - 2001

Оглавление

1 Введение

2 Существование "хорошего слона"

на лог-терминальных расслоениях на коники

2.1 Основные определения..................

2.2 Примеры..........................

2.3 Существование хорошего дивизора. . .........

3 Описание дивизоров с минимальной дискрепантно стью над с А точками

3.1 Основные определения и предварительные сведения .

3.2 Основной результат...................

4 Стягивания в сА точки

4.1 Метод...........................

4.1.1 Дивизоры с минимальной дискрепантностью . 4.1.3 Разбор случаев..................

4.2 Стягивания в ху + zn + ип = 0.............

4.2.2 Геометрия поверхности Е\............

4.2.5 Разбор случаев..................

4.3 Стягивания в ху + z3 + и4 = 0............ .

4.3.2 Геометрия поверхности Е\............

4.3.5 Разбор случаев..................

Глава 1 Введение

Среди множества различных алгебраических, дифференциальных и топологических структур, которые можно рассматривать на алгебраическом многообразии, одно из центральных мест занимает поле рациональных функций. Это объясняется тем, что оно, с одной стороны, является довольно "грубым" объектом, так как инвариантно относительно перехода к открытому (в топологии Зарисского) подмножеству, и, с другой, заключает в себе весьма существенную информацию о самом многообразии. Изоморфизм полей функций двух многообразий индуцирует изоморфизм (в обычном, бирегулярном смысле) некоторых их открытых подмножеств, и наоборот. Такого сорта "не всюду определенные" отображения называются бираци-ональными изоморфизмами и задают отношение эквивалентности в категории алгебраических многообразий. Раздел алгебраической геометрии, изучающий многообразия с точностью до бирациональ-ной эквивалентности, называется бирациональной геометрией.

Одной из важнейших задач бирациональной геометрии является проблема рациональности. В наиболее общей своей постановке -описание многообразий, бирационально эквивалентных проективному пространству соответствующей размерности, - эта проблема исключительно трудна и решена только в размерности 1 и 2. Нетрудно

3

видеть, что пространства глобальных сечений тензорных степеней пучков дифференциальных форм есть бирациональные инварианты (характеристику основного поля мы считаем равной 0), и их обнуление является необходимым условием рациональности многообразия. Для кривых и поверхностей, как известно, это условие является также и достаточным. Оказывается, в более высоких размерностях это уже не так, и именно с установления этого факта начинается современный период в истории бирациональной геометрии.

В самом начале 70-х годов почти одновременно были предложены три метода доказательства нерациональности некоторых многообразий с нулевыми дифференциально-геометрическими инвариантами. Это метод максимальных особенностей Исковских и Манина ([17]), метод Артина и Мамфорда ([5]) и метод промежуточного якобиана Клеменса и Гриффитса ([7]). Артин и Мамфорд, используя группу Брауэра как дискретный бирациональный инвариант, построили примеры нерациональных расслоений на коники. Методом промежуточного якобиана была доказана нерациональность трехмерной кубики. Здесь необходимо отметить следующее. Один из ключевых объектов бирациональной геометрии - многообразия, представимые в виде связки коник. Их промежуточные якобианы составляют класс абелевых многообразий специального вида, так называемые многообразия Прима, которые, в свою очередь, исследуются в рамках теории кривых. Это обстоятельство привело к созданию большой математической теории, в развитии которой также принимали и принимают участие многие зарубежные и отечественные математики, такие как А.Бовиль, Д.Мамфорд, А.С.Тихомиров, А.Н.Тюрин, В.В.Шокуров и другие.

Весьма эффективным также оказался метод, предложенный В.А.Исковских и Ю.И.Маниным. Идеи метода максимальных особенностей восходят к работе М.Нетера [31], где он, анализируя осо-

4

бенности линейных систем на плоскости, дает набросок доказательства своей знаменитой теоремы о кремоновой группе (то есть группе бирациональных автоморфизмов) плоскости над алгебраически замкнутым полем; первое строгое доказательство этой теоремы появилось только в 1901 году и принадлежит одному из классиков итальянской школы алгебраической геометрии Кастельнуово. Замечательно, что именно в Италии идеи Нетера получили дальнейшее развитие, и другой итальянский математик, Дж.Фано, чьи работы выходили в течении почти всей первой половины нашего века, попытался применить их к исследованию проблемы рациональности трехмерных алгебраических многообразий. Он сформулировал целый ряд утверждений о нерациональности трехмерных многообразий с обильным антиканоническим классом (сегодня их называют многообразиями Фано), но во всех этих случаях его рассуждения не выдерживали критики, и до конца 60-х годов о его работах практически не вспоминали.

Ситуация изменилась с появлением работы В.А.Исковских и Ю.И.Манина о трехмерных квартиках ([17]), где были преодолены проблемы, возникавшие перед Фано, и было дано строгое изложение метода максимальных особенностей в размерности 3. Из доказанного в этой статье совпадения групп бирегулярных и бирациональных автоморфизмов для гладкой квартики в Р4 следовала ее нерациональность. В дальнейшем тем же способом были вычислены группы бирациональных автоморфизмов и доказана нерациональность еще целого ряда трехмерных и многомерных многообразий.

В настоящий момент метод максимальных особенностей переживает "вторую молодость", что связано как с появлением новых идей внутри самого метода, так и проникновением в него другой весьма интенсивно развивающейся ветви бирациональной геометрии - лог программы минимальных моделей.

5

Лог программа минимальных моделей родилась в результате попытки классифицировать гладкие трехмерных многообразия. Напомню, что сейчас проблема бирациональной классификации алгебраических многообразий решена в размерностях 1 и 2, т.е. для гладких кривых и поверхностей. Две кривые С\ и С2 являются бираци-онально эквивалентными тогда и только тогда, когда их рода совпадают (д{С\) — д{С^)). Для поверхностей ответ гораздо сложнее, см. например, [1], [6]. В трехмерном случае эта проблема остается полностью открытой, кроме классификации неособых многообразий Фано [18], полученной В. А. Псковских в конце 70-х годов. Основная сложность с которой тут же сталкиваются исследователи - это отсутствие теоремы о факторизации бирациональных отображений как в случае поверхностей. Напомним, что любое бирациональное отображение между гладким поверхностями раскладывается в произведение раздутий и стягиваний (-1) кривых. На каждом шаге мы получаем опять гладкую поверхность. Для трехмерных многообразий это уже не так. В начале 80-х, Мори классифицировал экстремальные стягивания f: X —ь-Y, где X - трехмерное неособое проективное многообразие, дивизор — Кх /-обилен и p(X/Y) = 1 [28]. Многообразие У, к сожалению, уже может иметь следующие особенности - (x2+y2+z2+tn = 0,0) С (С4,0) п = 2,3 и C3/Z2(l, 1,1). Это подсказало отказаться от рассмотрения неособых многообразий. С этого момента началось бурное развитие этой идеи, которая привела к созданию лог программы минимальных моделей (ЛПММ) [38]. Основной ее итог в следующем:

Теорема 1.0.1. Пусть (X,Dx) ~ дивизоршлъно логтерминалъ-ная пара. Тогда существует такое бирациональное отображение (X,Dx) -~> (Y/Z,Dy), что выполняется одно из следующих условий:

1. дивизор Ку + Dy - численно эффективен;

б

2. дивизор —(Ку + Dy) обилен над Z, где Y —> Z - не бирацио-нальный морфизм. Если X является Q-факториальным многообразием, то p{Y/Z) = 1.

Теперь применение ЛПММ к классификации трехмерных алгебраических многообразий сразу приводит к следующей проблеме:

Проблема 1.0.2. Классифицировать экстремальные стягивания, возникающие в ЛПММ, т.е стягивания /: (X,Dx) -»• (Х\ Dx>), где дивизор —(Кх + Dx) /-обилен и р{Х/Х') = 1.

Одна из основных сложностей при решении данной проблемы -это отсутствие геометрической классификации особенностей. Если посмотреть на этапы классификации гладких многообразий Фано [18], то можно увидеть, что первым шагом является нахождение "хорошего" элемента в антиканонической линейной системе | — Кх\-

Теорема 1.0.3 (Шокуров). Пусть X - неособое многообразие Фано индекса Фано г > 1 и Н Е PicX - дивизор такой, что —Кх = гН. Тогда в линейной системе \Ох{Н)\ существует гладкая поверхность.

Наличие "хорошего" элемента для экстремального стягивания уже позволяет увидеть структуру стягивания. Поэтому основную подпроблему, которой будет посвящена глава 1 данной диссертации можно сформулировать следующим образом:

Проблема 1.0.4. Найти "хороший" элемент в кратной антиканонической линейной системе для экстремального стягивания (особенности).

Пример 1.0.5. Если экстремальное стягивание трехмерного терминального многообразия является расслоением на коники, то существование дивизора с дювалевскими особенностями в антиканонической линейной системе | — Кх \ позволяет сразу получить полную локальную классификацию [33].

7

Важную гипотезу, играющую существенную роль в современной бирациональной геометрии, и, являющуюся частным случаем проблемы 1.0.4, высказал М. Рид:

Гипотеза 1.0.6 (Гипотеза о слоне). Пустъ X - нормальное трехмерное многообразие с терминальными Q-факториальными особенностями, р : X —S - проективный морфизм, р*Ох = Os и —Кх является р—обильным. Тогда общий элемент линейной системы | — Кх + р*(А)\, где А - достаточно обильный дивизор Картье на S, имеет лишь дювалевские особенности (так называемый дювалевский слон).

В своей работе [36] М.Рид доказал обобщение теоремы Шокурова [39] на случай многообразия X, имеющего канонические особенности и — Кх = D, где D - дивизор Картье. В [32] Ю.Г. Прохоров обобщил теорему из [36] на лог-терминальный случай. В главе 1 настоящей диссертации исследуется вопрос существования хорошего "слона", т.е. с лог-терминальными особенностями, на Q-Фано расслоенных пространствах — расслоениях на коники .

Проблема классификации алгебраических многообразий также тесно связана с задачей описания особенностей многообразий. Одним из основных классов трехмерных особенностей является класс терминальных особенностей. Хотя эти особенности и были классифицированы в [12],[35],[30],[29] с точностью до аналитического изоморфизма, этого описания не всегда достаточно для решения задач, возникающих при изучении трехмерных многообразий. В частности, весьма актуальными являются задача описания разрешений терминальных особенностей и смежная с ней задача описания морфизмов многообразий с терминальными особенностями. Стягивания в циклические фактор-особенности классифицированы Каваматой в [21], описания стягиваний с многообразия, имеющего не хуже, чем терминальные горенштейновы особенности, приведены в [28] и [11]. Лу

8

в [25] описал стягивания в случае, когда индекс многообразия не понижается, Кавакита в [19] и [20] описал стягивания в гладкую точку и в особенность типа сА\. А в работе [10] описаны все дивизо-риальные стягивания в точки вида ху + z3 + и3 = 0. Представляет интерес и задача описать (или хотя бы построить) морфизмы, реализующие дивизоры с заданной дискрепантностью. Кавамата в работе [22] построил дивизоры с минимальной дискрепантностью над терминальными циклическими фактор-особенностями, Маркушевич в [27] сделал то же самое для терминальных cDv точек, а Хаякава в [16] описал все раздутия в категории Мори, реализующие дивизоры с минимальной дискрепантностью над терминальными точками индекса > 2.

В главе 2 данной диссертации мы классифицируем раздутия трехмерных терминальных особенностей типа сА в категории Мори, исключительный дивизор которых неприводим и имеет дискре-пантность 1, а в главе 3 мы опишем все дивизориальные стягивания в категории Мори в особенности вида ху + zn + ип = 0 и вида ху + z3 + и4 = 0.

Стоит отметить, что отсутствие геометрического описания терминальных особенностей (в частности отсутствие описания разрешения особенности) сильно сужает множество многообразий поддающихся анализу методом максимальных особенностей. И, как видно из работ [10] и [9], наличие подобной классификации способно ключевым образом повлиять на продвижение в исследованиях вопросов рациональности.

Основная задача диссертации заключается в разработке и дальнейшем развитии, совершенствовании методов классификации дивизориальных стягиваний в трехмерные терминальные особенности алгебраических многообразий.

9

Первый шаг при классификации дивизориальных стягиваний состоит в описании дивизоров с минимальной дискрепантностью. Для сА особенностей описание было сделано в этой диссертации.

Второй шаг заключается в изучении геометрии дивизоров с минимальной дискрепантностью.

Третий шаг состоит в изучении положения центра нормирования стягиваемого дивизора и отсечению не реализующихся случаев. Отметим, что в результате автоматически получается детальная классификация дивизориальных стягиваний.

Основные результаты диссертации :

1. Доказана гипотеза о "слоне" для многообразий с каноническими и лог-терминальными особенностями имеющих структуру расслоений на коники.

2. Описаны все неприводимые дивизоры с минимальной дискрепантностью над произвольными трехмерными особенностями типа сА в категории Мори и показано что все они реализуются взвешенными раздутиями.

3. Разработан метод классификации дивизориальных стягиваний в трехмерные терминальные особенности в категории Мори.

4. Классифицированы дивизориальные стягивания в особенности типа ху + zn + ип = 0 в категории Мори.

5. Классифицированы дивизориальные стягивания в особенности типа ху + z3 + и4 = 0 в категории Мори.

Диссертация состоит из введения и 3 глав.

В первой главе в параграфе §2.1 собраны основные определения, используемые в данной главе. В параграфе §2.2 приведены примеры рассматриваемых многообразий. В параграфе §2.3 доказана

10

Теорема 1.0.7. Пусть X - трехмерное расслоение на коники с лог-терминалъными особенностями, р : X -» S - проективный морфизм на нормальную поверхность S, —Кх = Q, где Q — дивизор Картье, А — достаточно обильный дивизор на S, Н = p*A—Q. Тогда линейная система \Н\ = \р*А — Q\ содержит приведенный неприводимый дивизор лишь с лог-терминальными особенностями.

Вторая глава посвящена описанию дивизоров с минимальной дис-крепантностью над трехмерными сА точками в категории Мори. В параграфе §3.1 описан метод классификации. В параграфе §3.2 приведены основные определения и предварительные результаты. В параграфе §3.3 доказаны следующие результаты.

Теорема 1.0.8. Пусть X - росток трехмерной терминальной сА точки. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если v Е Wi - максимальный элемент относительно у, то v-раздутие X дивизориально с дискрепантностью 1.

2. Для любого дивизориального раздутия тг : X —»• X с дискрепантностью 1 существует некоторый элемент v Е Wi; такой что 7Г изоморфен г/-раздутию X.

3. Существует однозначное соответствие между множеством всех максимальных элементов W\/ ~ и множеством всех классов (с точностью до изоморфизма) дивизориальных раздутий X с дискрепантностью 1.

Следствие 1.0.9. Пусть X - росток трехмерной терминальной сА точки, п - количество дивизоров с дискрепантностью 1 над X. Тогда, в обозначениях 1.2, п = degmin(f) — 1, где degmin(f) -минимальная из степеней мономов, входящих в /.

11

В третьей главе исследуются дивизориальные стягивания в трехмерные терминальные сА особенности. В параграфе §4.1 предлагается новый эффективный метод проверки реализуется ли данное дивизориальное стягивание в терминальную сА особенность в категории Мори взвешенным раздутием и дается метод как классифицировать все такие дивизориальные стягивания. В параграфах §§4.2-4.4 доказываются

Теорема 1.0.10. Пусть есть некоторое дивизориальное стягивание f : У X, гдеУ имеет лишь терминальные особенности, S-исключительный дивизор, X - росток особенности xy+znjrun = 0; где п > 3. Тогда f изоморфно взвешенному раздутию X с весами (k, п — к, 1,1) для некоторого 1 < k < п — 1.

Теорема 1.0.11. Пусть есть некоторое дивизориальное стягивание f :Y X, где Y имеет лишь терминальные особенности, S-исключительный дивизор, X - росток особенности xy + z3 + u4 = 0. Тогда f изоморфно взвешенному раздутию X с весами (к, 3 — к, 1,1) для некоторого k = 1,2.

12

Глава 2

Существование "хорошего слона" на лог-терминальных расслоениях на коники

2.1 Основные определения.

Здесь и далее все многообразия будут определены над С.

Определение 2.1.1. Многообразие X называется Q-факториальным, если некоторая кратность любого дивизора Вейля есть дивизор Картье. Многообразие X называется Q-горенштейновым, если некоторая кратность Кх - дивизор Картье.

Определение 2.1.2. Нормальное Q-горенштейново многообразие X имеет не хуже чем терминальные (канонические, лог терминальные, лог канонические) особенности, если для любого разрешения / : Y —» X такого, что Ку = f*Kx + все бЦ > 0 (соответ-

ственно а{ > 0, а,{ > —1, щ > —1)

Определение 2.1.3. Q-Фано расс�