Торические вырождения многообразий Фано тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт им В А Стеклова

Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 512 76

Галкин Сергей Сергеевич Торические вырождения многообразий Фано

Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ165Ьив

Москва - 2007

003165508

Работа выполнена в отделе теории чисел Математического института имени В А Стеклова РАН

Научный руководитель:

д ф -м н , профессор Василий Алексеевич Исковских,

Официальные оппоненты:

д ф -м н Николай Андреевич Тюрин к ф -м н Александр Геннадьевич Кузнецов

Ведущая организация:

Механико-математический факультет МГУ им М В Ломоносова

Защита диссертации состоится 3 апреля 2008 года в 14 00 на заседании диссертационного совета Д 002 022 03 в Математическом институте им В А Стеклова Российской Академии Наук по адресу 119991, Москва, ул Губкина, 8 (9 этаж)

С диссергацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В А Стеклова РАН

Автореферат разослан 3 марта 2008 года

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 002 022 03 в МИ РАН

д ф -м н Н. П Долбилин

Общая характеристика работы Актуальность темы

В диссертации дается ответ на ряд вопросов, постановка которых мотивирована подходом к изучению многообразий Фано (и возможности их классификации) с помощью методов торических вырождений и зеркальной симметрии

Классификация кривых была получена еще в 19 веке - у каждой кривой есть единственная бирациональная ей полная неособая модель, а единственный численный инвариант кривой - это ее род g, который может принимать любое целое неотрицательное значение Более разнообразен случай поверхностей по любой неособой поверхности So можно построить ее минимальную модель S, после-довахельно стягивая (—1)-кривые Минимальная поверхность S -неособая поверхность бирациональная 5о, и существуют три взаимно исключающие возможности либо канонический класс Ks численно эффективен (то есть его индекс пересечения с классом любой эффективной кривой неотрицателен), либо S это проективная плоскость Р2, либо S обладает структурой расслоения над некоторой базовой кривой В, а слои С этого расслоения имеют индекс пересечения с каноническим классом KsC — — 2 В последнем случае, S рациональна если рациональна базовая кривая В, и все такие минимальные поверхности S — это рациональные линейчатые поверхности (поверхности Хирцебруха) Fn = PPi(ö © 0(п))

Современная точка зрения обобщает двумерный результат на большие размерности согласно программе минимальных моделей, всякое гладкое алгебраическое многообразие гипотетически (доказано в размерности < 4) бирационально изоморфно либо минимальной модели 1, либо расслоению Мори, слоем которого является многообразие Фано, то есть мноюобразие X с обильным антиканоническим дивизором — Кх Проективная плоскость и поверхности Fn являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные мно-

1 Определения минимальной модели и изложение программы Мори см , например, в К Matsuki Introduction to the Mon program — Springer, 2002 — 478 pp

гообразия Фано, соответственно В размерностях больше двух минимальная модель уже не обязательно гладкая, но в общем случае имеет терминальные особенности.

В связи с развитием упомянутой выше программы минимальных моделей, а также в виду интереса со стороны теоретической физики и других дисциплин, в последнее время особую роль в бира-циональной геометрии стало И1рать изучение многообразий Фано

Единственное одномерное многообразие Фано это проективная прямая Р1

Двумерные неособые многообразия Фано X называются также поверхностями Дель Пеццо Два основных инварианта поверхности Дель Пеццо это ее антиканонические индекс и степень Индексом многообразия Фано X называется наибольшее целое число г, такое что антиканонический класс представим как г-кратное некоторого дивизора Картье Я, то есть — Кх — гН Степень это квадрат канонического класса (1 — (—Кх)2 Единственная поверхность Дель Пеццо индекса 3 — проективная плоскость Р2, и ее антиканоническая степень равна 9 Поверхность Дель Пеццо индекса 2 — это квадрика в Р3, ее антиканоническая степень равна 8 Поверхность Дель Пеццо индекса 1 может иметь любую целую степень (I в пределах 1 < с? < 8, и уже не минимальна, но является раздутием проективной плоскости Р2 в 9 — (I точках общего положения (никакие три точки не лежат на одной прямой, никакие шесть точек не лежат на конике, никакие восемь точек не лежат на нодальной кубике с нодом в одной из этих восьми точек)

Г Фано изучал трехмерные гладкие многообразия, линейные сечения которых являются каноническими кривыми (в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен) В А Псковских классифицировал гладкие трехмерные многообразия Фано основной серии, окончательная классификация гладких трехмерных многообразий Фано была получена Мори и Мукаем 2 Основные численные инварианты трехмерных многообразий Фано

2См [1ь88] В А Псковских, Лекции по трехмерным алгебраическим многообразиям

Многообразия Фано, -М Московский университет (1988)

это их индекс, степень, раш группы Пикара и третье число Бетти Позже Мукай 3 заново описал трехмерные многообразия Фано основной серии, рассматривая векторные расслоения на поверхностях КЗ получающихся антиканоническим сечением трехмерного многообразия Этим же методом была получена классификация 4-мерных многообразий Фано с группой Пикара Z имеющих индекс больше 1 Задача классификации четырехмерных многообразий Фано с группой Пикара Z и индексом 1 в настоящее время открыта

В диссертации иллюстрируется подход к нахождению гипотетических многообразий Фано и описанию их классических численных инварианюв вместе с некоторыми „квантовыми", происходящими из инвариантов Громова Винена

Исторически, зеркальная симметрия была сформулирована как соответствие (зеркальная симметрия) между ромбами Ходжа разных семейств трехмерных многообразий X с 1ривиальным каноническим классом (многообразий Калаби-Яу) Для пары численно зеркально симметричных многообразий Калаби-Яу А и В, h1,2{A) = Ь}'Х{В) и h}'l{A) = hl'2(B) Это размерности пространен параметров комплексных и кэлеровых структур, и таким образом появилась гипотеза зеркальной симметрии постулирующая что между комплексной геометрией А и симплектической геометрией В есть эквивалентное!ь, и наоборот У этого утверждения есть разные формулировки, например гомологическая зеркальная симметрия утверждает чю ограниченная производная катеюрия Т)Ь(Х) когерентных пучков на X совпадает с категорией Фукай У 4

Вернемся к невырожденному случаю многообразий (почти) Фано, и сформулируем интересующую нас версию зеркальной симмег-

3S Mukai, Biregvlar classification of Fano threefolds and Fano manifolds of Comdex 3, Proc Natl Acad Sei USA 86 (1989), 3000-3002

4Ка-1егория Фукай это зависящая от симплектическй структуры Aoo-категория, объекты в которой представлены лагранжевыми циклами, морфизмы - их пересечениями, а произведения — заклеиваниями псевдоголоморфными дисками

См [М L Kontsevich, Homologtcal algebra of mirror symmetry, Proc International Congress of Mathematicians (Zurich 1994), Birkhauzer, Basel, 1995, pp 120-139, arXiv alg-geom/9411018 j

рии для них

Используя 3-точечные инварианты Громова-Виттена можно построить кольцо малых квантовых когомологий QH*(X,A) 5 многообразия Фано X Это свободный Л-модуль Н*(Х, Л), со структурой кольца заданной посредством ^-умножения

71*72 = 7Ъ72,7З)7З>

где 7з — класс когомологий Пуанкаре-двойственный к 73, 73 в суммировании пробегает базис когомологий Н*(Х, Q), ¡3 в суммировании пробегает всю группу гомологий Н2{Х,Ж), а символом /,9(71,72,73) обозначен соответствующий 3-точечный инвариант Громова-Виттена Наивный смысл этого инварианта — число рациональных кривых на X имеющих гомологический класс /? и пересекающих представителей 3 гомологических классов Пуанкаре-двойственных к 7i, 72 и 7з (досгаточно общим образом выбранных), если таких кривых конечное число, и 0 иначе * -умножение суперкоммутативно (и уважает естественную Z/2Z-градуировку, далее мы ограничимся четными элементами) и является деформацией обычного умножения в когомологиях X, а его ассоциативность — глубокий и плодотворный результат теории Переформулированная на языке классической исчислительной геометрии, ассоциативность квантового умножения становится бесконечным набором неочевидных соотношений между числами кривых различных степеней, эти соотношения очень интересны уже в случае проективной плоскости Р2, и кроме этого позволяют вычислить инварианты на раздутии поверхности через инварианты на минимальной модели

По кольцу малых квантовых когомологий можно построить дифференциальное уравнение зеркальной симметрии (или квантовый 2>-модуль) следующим образом рассмотрим тривиальное расслоение со слоем Н*(Х, С) над тором Spec Л, зададим на этом расслоении связность так, что дифференцирование горизонтального се-

5Обозначим символом Л = Q[ff2(X, Щ\ кольцо Новикова функций на торе

двойственном к решётке характеров i руппы Пикара многообразия Фано X

чения с помощью этой связности вдоль инвариантного векторного поля равно квантовому умножению сечения на класс соответствующего дивизора

Пусть M — некомпактное многообразие, и w M —► А1 — такая функция на нем, что общий слой w бирационален многообразию с тривиальным каноническим классом Пара (M, w) называется (слабой) моделью Ландау-Гинзбурга зеркально двойственной к многообразию Фано X, если связность Гаусса-Манина семейства Mw совпадает с определенной выше связностью построенной с помощью квантового умножения на X (то есть, периоды Mw являются решениями дифференциального уравнения зеркальной симметрии)

Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Существует соответствие между многообразиями Фано X и зеркально двойственными им моделями Ландау-Гинзбурга (M, w) Другими словами, для произвольного многообразия Фано X, построенное с помощью данных исчислительной геометрии на многообразии X дифференциальное уравнение имеет геометрическое происхождение (является уравнением Пи кара Фукса некоторого семейства)

Гипотезу гомологической зеркальной симметрии можно сформулировать и в случае многообразий Фано катег ория Т>Ь(Х) эквивалентна категории исчезающих лагранжевых циклов (это относительный вариант категории Фукай), „и наоборот"

В дальнейшем под гипотезой зеркальной симметрии мы будем иметь в виду утверждение про вариации структур Ходжа

Известны кандидаты на (гомологически) двойственные модели Ландау-Гинзбур1 а для поверхностей Дель Пеццо 6 , для полных пересечений в грассманианах 7 и пространствах флагов 8

eD Auroux, L Katzarkov, D Orlov, Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces Vantshing cycles and coherent sheaves, Invent Math 166, No 3 (2006), 537-582

7[BFKSlj V V Batyrev, I Clocan-Fontanine, В Kim, D van Straten, Conifold transitions and mirror symmetry for calabi-yau complété intersections tn grassmannians, 1997, arXiv math alg-geora/9710022

s[BFKS2j V V Batyrev, I Ciocan-Fontanme, В Kim, D van Straten, Mirror Symmetry and Tonc Degenerations of Partial Flag Manifolds, Acta Math 184, No 1 (2000), 1-39 (prepnnt (1998), arXiv math AG/9803108)

Торические многообразия — класс рациональных многообразий несравнимо легче поддающийся классификации чем абстрактные многообразия Фано Зеркальная симметрия для торических многообразий (и полных пересечений в них) была установлена в работах Гивенталя, Батырева и Борисова Используя малые торические вырождения многообразий Грассмана и многообразий частичных флагов, в работах [BFKS1],[BFKS2] были получены зеркальные партнеры к этим однородным многообразиям

Вскоре, Батыревым было введено понятие малого торическо-го вырождения 9 произвольного многообразия Фано, обобщающее примеры с многообразиями флагов, и предложен подход к нахождению инвариантов Громова-Виттена и построения зеркально симметричных моделей Ландау-Гинзбурга с помощью малых вырождений гладких многообразий Фано в торические многообразия Фано с особенностями Именно этот подход и используется в данной работе

Как показано далее в диссертации, к сожалению, не все трехмерные многообразия имеют малые торические вырождения, однако, некоторые интересные многообразия все-таки имеют, и в этих случаях сам факт существования вырождения позволяет решить иногда нетривиальные задачи исчислительной геометрии (например, найти инварианты Громова-Виттена многообразия V22 или V5), и метод торических вырождений может быть использован для описания неторических многообразий Фано в больших размерностях

Цель работы

Цель работы — исследование гипотез и конструкций зеркальной симметрии, в особенности торических вырождений, для многообразий Фано малой размерности, нахождение максимально вырожденных моделей Ландау- Гинзбурга и малых торических вырождений

9V V Batyrev, Tone Degenerations о/ Fano Varieties and Constructing Mirror Manifolds, Colimo, Alberto (ed ) et al, The Fano conference Papers of the conference, Tonno, Italy, September 29-October 5, 2002 Torino Universita di Torino, Dipartimento di Matematica 109122 (2004) (preprint (1997), arXiv alg-geom/9712034)

многообразий Фано

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 105 страницах и состоит из введения и трех глав Библиография включает 70 наименований

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Для квантово минимальных поверхностей Дель Пеццо S степени d > 3 существует слабая зеркально симметричная модель Ландау-Гинзбурга являющаяся компактификацией многочлена Лорана / на двумерном торе, причем у функции / только три критических значения Показано, что не квантово минимальные поверхности Дель Пеццо S являются почти квантово минимальными относительно нестандартной симплектической формы из (и существует аналогичная функция /' с 3 критическими значениями, являющаяся слабой зеркально симметричной моделью Ландау-Гинзбурга для (Х,ш))

2 Найдены все трехмерные гладкие многообразия Фано имеющие малые торические вырождения, и описано к каким тори-ческим многообразиям они вырождаются

3 Дана явная формула для спектра оператора квантового умножения на класс Шуберта в кольце квантовых когомологий грассманиана

Основные методы исследования

В диссертации используются методы торической геометрии, теории эллиптических поверхностей, теории деформаций, и теоремы о квантовых когомологиях однородных пространств (теорема

Зиберта-Тиана, квантовая формула Шевалле) и торических многообразий Кроме того, для прозрачности изложения, в третьей главе используется классификация трехмерных многообразий Фа-но10 (результаты главы позволяют не используя эту классификацию восстановить ее в том объеме, в котором она используется)

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории многообразий Фа-но, теории инвариантов Громова-Виттена и зеркальной симметрии

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах

1 Семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством В А Исковских и Ю Г Прохорова в МГУ (2006 и 2007),

2 Семинар "Характеристические классы и теория пересечений" под руководством М Э Казаряна и С К Ландо в НМУ (2006),

3 Семинар по алгебраической геометрии под руководством А Н Паршина в МИАН (2007)

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано работах, список которых приведен в конце автореферата

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав

10См [IP] V A Iskovsktkh, Yu G Prokhorav Fano varieties, Springer-Verlag, New York 1999

В главе 1 приведены необходимые определения и вспомогательные утверждения Ушерждения главы 1 как правило не доказываются, но снабжаются ссылками на источники Завершается глава 1 иллюстрацией общих идей на необходимых далее примерах — грассманианах и торических многообразиях, в последнем разделе доказаны формулы определяющие спектр квантовых когомологий грассманиана

В главе 2 подробно изучается двумерный случай Как отмечалось ранее, двумерные гладкие многообразия Фано (поверхности Дель Пеццо) были исследованы еще в 19 веке Поверхности Дель Пеццо степени 6 и больше торические, а поверхности Дель Пеццо степени 5 и меньше малых торических вырождений не имеют — всякая поверхность с терминальными особенностями сама гладкая Поэтому, в этой главе мы рассматриваем более общее вырождение — вырождение гладкой поверхности к торической поверхности с каноническими (дювалевскими) особенностями Мы опишем все поверхности такого типа (всего их 16, их степень не меньше 3), они являются вырождениями гладких поверхностей Дель Пеццо Далее, по каждой найденной торической поверхности мы построим пучок эллиптических кривых с 4 особыми слоями, заданный определенным многочленом Лорана, многоугольник Ньютона которого — это многоугольник соответствующий торической поверхности По поверхностям Дель Пеццо сглаживание которых кванюво минимально 11 получаются эллиптические пучки со всюду стабильной редукцией, а по поверхносхи Р} и поверхности Дель Пеццо степени 7 - эллиптические пучки с чуть более сложными особенностями в одном слое

Наконец, мы покажем что с точностью до перенормировки (аффинного преобразования образа) найденный пучок будет слабой моделью Ландау -Гинзбурга зеркально симметричной в смысле вариаций Ходжа к поверхности Дель Пеццо, в квантово минимальном

11Гладкое многообразие Фано называется квантово минимальным, если подкольцо в Н(Х,А) порожденное каноническим классом Кх совпадает с аналогичным подкольцом в ЯН(Х)

случае класс соответствующей симилектической формы канонический, а в остальных двух случаях — единственным образом определенный, и относительно него поверхность уже почти квантово минимальна В отличие от работы Ору-Казаркова- Орлова, где для достаточно общего выбора симплектической формы строятся гомологически зеркально симметричные партнеры, все конечные слои которых простые, построенные нами модели максимально вырождены

В главе 3 изучается трехмерный случай, а именно малые тори-ческие вырождения трехмерных многообразий Фано Мы ответим на вопрос Батырева, какие из 87 семейств исторических гладких трехмерных многообразий Фано имеют малые торические вырождения Оказывается, что только 44 из них имеют такие вырождения, причем некоторые семейства могут иметь вырождения к нескольким различным торическим многообразиям Мы опишем их все Приложением существования найденных вырождений является вычисление инвариантов Громова - Виттена вырождающихся 44 многообразий (самый неочевидный пример это, видимо, V22) В конце главы мы обсуждаем препятствия обобщения этого подхода на худшие особенности, в большие размерности, коразмерности, и на другие типы многообразий

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В А Псковских за постоянное внимание к его работе и В В Голышеву за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения, К А Шрамову за многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также Н Ф Заку, В В Пржиялковскому, Ю Г Прохорову и D van Straten за полезные обсуждения

Публикации по теме диссертации

(1) Галкин С С, Голышев В В Квантовые когомологии грассма-нианов и круговые поля // УМН - 2006 - т61, N0 1(367) -175-176

(2) Галкин С С Торическне поверхности и экстремальные эллиптические пучки // Деп в ВИНИТИ 27 02 08, 168-В 2008

(3) Галкин С С Малые тори ческие вырождения трехмерных многообразий Фано // Деп в ВИНИТИ 27 02 08, 167-В 2008

Подписано в печать 27 02 2008 Формат 60x88 1/16 Объем 1 п л Тираж 50 экз Заказ № 701 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к А-102

1 Основные понятия

1.1 Обозначения

1.2 Особенности.

1.3 Многообразия.

1.4 Торические многообразия и многочлены Лорана.

1.5 Вырождения

1.6 Классификация многообразий Фано.

1.6.1 Поверхности дель Пеццо.

1.6.2 Трёхмерные гладкие многообразия Фано.

1.6.3 Торические многообразия Фано.

1.7 Теория Громова-Виттена.

1.7.1 Определения.

1.7.2 Примеры

1.8 Многообразия Грассмана и их спектры.

2 Торические поверхности дель Пеццо и пучки эллиптических кривых с низким ветвлением

2.1 Эллиптические поверхности.

2.2 Модели Ландау-Гинзбурга для поверхностей дель Пеццо.

2.2.1 Модели Хори -Вафы 2.3 Монодромия.

3 Малые торические вырождения трёхмерных многообразий

3.1 Введение.

3.2 Утверждение.

3.3 Доказательство.

3.4 Описание торических вырождений гладких трёхмерных многообразий Фано.

3.5 Следствия.

3.6 Обобщения.

3.7 Вычисление.

А Публикации по теме диссертации

История вопроса

В диссертации даётся ответ на ряд вопросов, постановка которых мотивирована подходом к изучению многообразий Фано (и возможности их классификации) с помощью методов торических вырождений и зеркальной симметрии.

Классификация кривых была получена ещё в 19 веке — у каждой кривой над алгебраически замкнутым полем есть единственная бирациональ-но эквивалентная ей полная неособая модель, а единственный численный инвариант кривой — это её род д, который может принимать любое целое неотрицательное значение. Более разнообразен случай поверхностей: по любой неособой поверхности Sq можно построить её минимальную модель S, последовательно стягивая (—1)-кривые. Минимальная поверхность S — неособая поверхность, бирационалыю эквивалентная Sq, и существуют три взаимно исключающие возможности: либо канонический класс Ks численно эффективен (то есть его индекс пересечения с классом любой эффективной кривой неотрицателен), либо S — это проективная плоскость Р2, либо поверхность S обладает структурой Р1-расслоения над некоторой базовой кривой В.Поверхность S рациональна, если рациональна базовая кривая В, и все такие минимальные поверхности S — это рациональные линейчатые поверхности (поверхности Хирцебруха) Fn = PPi (О 0 0(п)).

Современная точка зрения обобщает двумерный результат на большие размерности. Согласно программе минимальных моделей, гипотетически всякое гладкое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно либо минимальной модели (определения минимальной модели и изложение программы Мори см., например, в [64]), либо расслоению Мори, слоями которого являются многообразия Фано (то есть многообразия с обильным антиканоническим дивизором) с числом Пикара 1. Это доказано в размерности ^ 4.

Проективная плоскость и поверхности ¥п являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные многообразия Фано, соответственно. В размерностях больше двух минимальная модель уже не обязательно гладкая, но в общем случае имеет терминальные особенности (опр. см. в 1.2.11).

В связи с развитием упомянутой выше программы минимальных моделей, а также в виду интереса со стороны теоретической физики и других дисциплин, в последнее время особую роль в бирациональной геометрии стало играть изучение многообразий Фано. Мы работаем над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

Единственное одномерное многообразие Фано — это проективная прямая Р1.

Двумерные неособые многообразия Фано X называются также поверхностями дель Пеццо. Два основных инварианта поверхности дель Пец-цо — это её аптиканонические индекс и степень. Индексом многообразия Фано X называется наибольшее целое число г, такое что антиканонический класс представим как г-кратное некоторого дивизора Картье Н, т.е. —Кх — Ш. Степень — это квадрат антиканонического класса d = (—Кх)2-Единственная поверхность дель Пеццо индекса 3 — это проективная плоскость Р2, и её антиканоническая степень равна 9. Поверхность дель Пеццо индекса 2 — это квадрика в Р3, её антиканоническая степень равна 8. Поверхность дель Пеццо индекса 1 может иметь любую целую степень d в пределах 1 ^ d ^ 8, и уже не минимальна, но является раздутием проективной плоскости р2 в 9 — d точках общего положения (см. 1.6.1).

В работах [24], [25], [26], [27] Г. Фано изучал трехмерные гладкие многообразия, линейные сечения которых являются каноническими кривыми (в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен).

В. А. Псковских в работах [45], [46] классифицировал гладкие трехмерные многообразия Фано X основной серии (с PicX = Z), окончательная классификация гладких трехмерных многообразий Фано была получена Мори и Мукаем в работах [67], [66], [68] (обзор полной классификации см. в [47] и [48]). Основные численные инварианты трёхмерных многообразий Фано — это их индекс, степень, ранг группы Пикара и третье число Бетти.

Позже Мукай ([69],[70]) заново описал трёхмерные многообразия Фано основной серии, рассматривая векторные расслоения на поверхностях КЗ, получающихся антиканоническим сечением трёхмерного многообразия. Этим же методом была получена классификация 4-мерных многообразий Фано с группой Пикара Z, имеющих индекс больше 1. Задача классификации четырехмерных многообразий Фано с группой Пикара Z и индексом 1 в настоящее время открыта.

В диссертации иллюстрируется подход к нахождению многообразий Фано и описанию их классических численных инвариантов вместе с некоторыми „квантовыми", происходящими из инвариантов Громова-Виттена.

Исторически зеркальная симметрия была сформулирована как соответствие (зеркальная симметрия) между ромбами Ходжа разных семейств трёхмерных многообразий X с тривиальным каноническим классом (многообразий Калаби-Яу). Для пары численно зеркально симметричных многообразий Калаби-Яу А и В выполнено hl,2{A) = ft1'1 (В) и h1'1 (А) = hl'2{B). Это размерности пространств параметров комплексных и кэлеро-вых структур, и таким образом появилась гипотеза зеркальной симметрии, утверждающая эквивалентность между комплексной геометрией А и симплектической геометрией В, и наоборот. У этого утверждения есть разные формулировки, например, гомологическая зеркальная симметрия утверждает, что ограниченная производная категория Vb(X) когерентных пучков на X совпадает с производной категорией категории Фукай Y 1.

Вернёмся к случаю многообразий Фано, и сформулируем интересующую нас версию зеркальной симметрии для них.

Пусть 71,72,73 — некоторые классы когомологий H'(X,7j), a j3 6 H2(X,7j) — гомологический класс комплексной кривой. Обозначим символом /5(71,72,73) соответствующий 3-точечный инвариант Громова-Виттена (см. 1.7.1, [63]). Наивный смысл этого инварианта — число рациональных кривых на X, имеющих гомологический класс /3 и пересекающих представителей гомологических классов двойственных по Пуанкаре к 7i, 72 и 7з (достаточно общим образом выбранных), если таких кривых

1 Категория Фукай это зависящая от симплектической структуры Л^-категория, объекты в которой представлены лагранжевыми циклами, морфизмы — их пересечениями, а произведения — заклеиваниями псевдоголоморфными дисками (см. [57]) конечное число, и 0 иначе.

Обозначим символом Л = ЩН2{Х,Ъ)] кольцо Новикова функций 4p<=n2{xz) на тоРе двойственном к решётке характеров группы Пикара многообразия Фано X 2.

Используя 3-точечные инварианты Громова-Виттена, можно построить кольцо малых квантовых когомологий QH(X) многообразия Фано X. По определению, кольцо малых квантовых когомологий (с коэффициентами в Л) QH(X,A) это свободный Л-модуль Н'(Х, А) со структурой кольца, заданной посредством ★-умножения: (7i ^72) U 7з= ^ ЛЗ(7Ъ72,7З)

Зея2(ЗД

Умножение * является деформацией обычного U-умножения в кого-мологиях X, суперкоммутативно (и согласовано с естественной Z/2Z-градуировкой; далее мы ограничимся чётными элементами, ограничение квантовых когомологий на них — коммутативное кольцо), а его ассоциативность — глубокий результат теории ([58],[63]). Переформулированная на языке классической исчислительной геометрии, ассоциативность квантового умножения становится бесконечным набором неочевидных соотношений между числами кривых различных степеней; эти соотношения очень интересны уже в случае проективной плоскости Р2, и кроме этого позволяют вычислить инварианты Громова-Виттена на раздутии поверхности через инварианты на минимальной модели.

По кольцу малых квантовых когомологий можно построить дифференциальное уравнение зеркальной симметрии (или квантовый £>-модуль)

2Иногда оказывается удобнее работать с с коэффициентами в кольце А — <Q{NE(X)z] — это под-кольцо в Л порождённое мономами соответствующими только эффективным 1-циклам. следующим образом ([35]): рассмотрим тривиальное расслоение со слоем Н'(Х,С) над тором Spec А 3; зададим на этом расслоении связность так, что дифференцирование горизонтального сечения 7 G Н' (X, С) с помощью этой связности вдоль инвариантного векторного поля равно квантовому умножению сечения на класс соответствующего векторному полю дивизора.

Голоморфное решение этого уравнения выписывается как производящий ряд 1-точечных инвариантов Громова-Виттена с потомками (/-ряд).

Пусть М — некомпактное многообразие, и w : М —» А1 — такая функция на нём, что общий слой отображения w бирационален многообразию с тривиальным каноническим классом. Пара (М, w) называется (слабой) моделью Ландау-Гинзбурга зеркально двойственной к многообразию Фа-но X, если связность Гаусса-Манина семейства Mw совпадает с определенной выше связностью, построенной с помощью квантового умножения на X (то есть периоды Mw являются решениями дифференциального уравнения зеркальной симметрии).

Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Существует соответствие между многообразиями Фано X и зеркально двойственными им моделями Ландау-Гинзбурга (М, w). Неформально говоря, для произвольного многообразия Фано X, построенное с помощью данных исчислительной геометрии на многообразии X дифференциальное уравнение имеет геометрическое происхождение (является уравнением Пикара-Фукса некоторого семейства).

3Естественной базой для этого 1>-модуля является Spec а, но обычно достаточно либо тора Spec Л, либо одномерного аффинного пространства — замыкания в Spec а какого-то (например, антиканонического) одномерного подтора в Л.

Гипотезу гомологической зеркальной симметрии также можно сформулировать в случае многообразий Фано: категория Vb(X) эквивалентна категории исчезающих лагранжевых циклов на (М, w) (это относительный вариант категории Фукай).

В дальнейшем под гипотезой зеркальной симметрии мы будем иметь в виду утверждение про вариации структур Ходжа.

Известны кандидаты на роль (гомологически) зеркально симметричных партнёров (слабые модели Ландау-Гинзбурга) для поверхностей дель Пец-цо ([1]), для полных пересечений в грассманианах pi пространствах флагов

43],[8],[9]).

Торические многообразия — класс рациональных многообразий, гораздо легче поддающийся классификации, чем абстрактные многообразия Фано. В работе [2] вычислено кольцо квантовых когомологий торического многообразия. В [35] вычислен I-ряд полного пересечения Y в ториче-ском многообразии X, если антиканонический класс —Ку численно эффективен. Зеркальная симметрия для гладких торических многообразий (и полных пересечений в них) была построена в [3], [10] и [35]. Используя малые торические вырождения (допускающие горенштейновы терминальные особенности) многообразий Грассмана (построенные в [83, 84]) и многообразий частичных флагов (построенные в [39, 40, 62]), в работах [8, 9] были получены кандидаты в слабые модели Ландау-Гинзбурга зеркально симметричные к этим однородным многообразиям.

В работе [4] было введено понятие малого торического вырождения произвольного многообразия Фано, обобщающее примеры с многообразиями флагов. Тогда же и был предложен подход к нахождению иивариантов Громова-Виттена и построения зеркально-симметричных моделей Ландау-Гинзбурга с помощью малых вырождений гладких многообразий Фано в торические многообразия Фано с особенностями.

Именно этот подход и используется в данной работе как основной метод изучения многообразий Фано в размерности 2 и 3.

Как показано далее в диссертации, к сожалению, не все трехмерные многообразия Фано имеют малые торические вырождения, однако некоторые интересные многообразия всё-таки имеют, и в этих случаях сам факт существования вырождения позволяет решить иногда нетривиальные задачи исчислительной геометрии (например, найти некоторые инварианты Громова-Виттена многообразия V22 или V5 не прибегая к геометрии объемлющего пространства), и метод торических вырождений может быть использован для описания неторических многообразий Фано в больших размерностях.

Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из введения (главы ) и трёх глав (1, 2 и 3).

1. D. Auroux, L. Katzarkov, D. Orlov, Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves, 1.v. Math. 166, No. 3 (2006), 537-582 arXiv:math.AG/0506166.

2. V. V. Batyrev, Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds, arXiv:alg-geom/9310004.

3. V. V. Batyrev. Dual polyhedra and mirror symmetry for calabi-yau hypersurfaces in toric varieties, J. Algebraic Geom., 3:493-535 (1994); arXiv:alg-geom/9310003.

4. V. V. Batyrev, L. A. Borisov, Mirror duality and string-theoretic Hodge numbers, Invent. Math. 126, No.l (1996), 183-203, arXivralg-geom/9509009.

5. A. Bertram, I. Ciocan-Fontanine, B. Kim, Two Proofs of a Conjecture of Hori and Vafa, Duke Math. J. 126, No. 1 (2005), 101-136, arXiv:math. AG/0304403.

6. V.V.Batyrev, I.Ciocan-Fontanine, B.Kim, D.van Straten, Conifold transitions and mirror symmetry for calabi-yau complete intersections in grassmannians, arXiv:alg-geom/9710022.

7. V.V.Batyrev, I.Ciocan-Fontanine, B.Kim, D.van Straten, Mirror Symmetry and Toric Degenerations of Partial Flag Manifolds, Acta Math. 184, No. 1 (2000), 1-39, arXiv:math.AG/9803108.

8. Generalized Hypergeometric Functions and Rational Curves on Calabi-Yau Complete Intersections in Toric Varieties, Commun. Math. Phys. 168 (1995) 493, arXiv:alg-geom/9307010.

9. A. Beauville, Le nombre minimum de fibres singulieres d'une courbe stable sur P1, Asterisque 86, 97-108 (1981), http: / / math.unice.fr/~beauvill/pubs / fibsing.pdf

10. A. Beauville, Les families stables de courbes elliptiques sur P1 admettant 4 fibres singulieres, C. R. Acad. Sc. Paris 294, 657-660 (1982), http: / / rnath.unice.fr/~beauvill / pubs/ellss.pdf

11. K. Behrend, Gromov-Witten invariants in algebraic geometry, Invent. Math., 127(3), 601-617 (1997) arXiv:alg-geom/9601011.

12. A. Buch, Quantum cohomology of Grassmannians, Compos. Math. 137, No.2, 227-235 (2003), arXiv:math.AG/0106268.

13. H. Clemens, Degeneration of Kahler manifolds, Duke Math. J. Volume 44, Number 2 (1977), 215-290.

14. H.Clemens, Double solids, Adv. Math. 47 (1983), 107-230.

15. B. Crauder, R. Miranda, Quantum Cohomology of Rational Surfaces, arXi v: alg-geom/9410028.

16. В.И.Данилов, Геометрия торических многообразий, Успехи матем. наук, т. 33, вып. 2 (200) (1978), 85-134, http: / / mi .mathnet.ru / umn/33/2/85

17. В. И. Данилов, А. Г. Хованский, Многогранники Ньютона и алгоритм вычисления чисел Ходжа-,Делиня, Изв. АН СССР, Сер. Мат., 50, No. 5 (1986), 925-945, http://mi.mathnet.ni/izv/50/5/925

18. P. Deligne, Theoreme de Lefschetz et criteres de degenerescence de suites spectrales, Publications Mathematiques de 1'IHES, 35 (1968), p. 107-126 numdam:PMIHES1968351070

19. M. Demazure, Surfaces de del Pezzo, Lect. Notes Math, 777, 23-69.

20. B. Dubrovin, Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds, Proc. ICM Berlin 1998, arXiv:math/9807034.

21. P. Du Val, On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction, I, II and III, Proc. Cambridge Phil. Soc. 30 (1934), 453-459, 460-465, 483-491

22. G. Fano, Sulle varieta algebriche a tre dimensioni aventi tutti г generi nulli, //in "Atti Congr. Int. Bologna IV", 1929 115-121.

23. G. Fano, Su alcune varieta algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche, //in "Scritti Mat. offerti a L.Berzolari 1st. Mat. R. Univ. Pavia", 1936 329-349.

24. G. Fano, Sulle varieta algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche //in "Mem. Accad. d'ltaliana VIII", 1937 — 23-64.

25. G. Fano, Su alcune varieta algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve sezioni canoniche j j Comment. Math. Helv. — 1942 — No. 14. — 202-211.

26. R.Friedman, Simultaneous resolutions of threefold double points., Math.Ann., 274(4):671-689 (1986).

27. M.Fukae, Y.Yamada, S.-K.Yang, Mordell-Weil Lattice via String Junctions, Nucl.Phys. B572 (2000) 71-94, arXiv:hep-th/9909122vl.

28. M.Fukae, Monodromies of rational elliptic surfaces and extremal elliptic К3 surfaces, arXiv:math/0205062.

29. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, Princeton, NJ (1993).

30. W.Fulton, C.Woodward, On the quantum product of Schubert classes, J. Algebr. Geom. 13, No. 4 (2004), 641-661, arXiv:math.AG/0112183.

31. A. Gathmann, Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces, Duke Math. J. 115, No. 2 (2002), 171-203, arXiv:math. AG/0009190.

32. I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants, Birkhauser, Boston (1994).

33. A. B. Givental. Homological geometry and mirror symmetry. In Proceedings of the ICM, Zurich 1994, volume 1, pages 472 480. Birkhauser (1995), http://math.berkeley.edu/~giventh/papers/hg.pdf

34. V. V. Golyshev, Classification problems and mirror duality, LMS Lecture Note, ed. N.Young, 338 (2007), arXiv:math.AG/0510287.

35. V. V. Golyshev, Spectra and strains, arXiv:0801.0432.

36. N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Degenerations of flag and schubert varieties to toric varieties, Transform. Groups, 1(3):215 248 (1996).

37. N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Schubert varieties, toric varieties and ladder determinantal varieties, Ann. Inst. Fourier, t.47:1013 1064 (1997), http: / / www.math.neu.edu / ~lakshmibai / mega.pdf.

38. L. Gottsche, R. Pandharipande, The quantum cohomology of blow-ups of IP2 and enumerative geometry, arXiv:alg-geom/9611012.

39. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир (1981)

40. H.Hori, C.Vafa, Mirror symmetry, arXiv:hep-th/0002222.

41. В. А. Исковских, Многообразия Фано I, Изв. АН СССР; Сер. Мат., 41:31977), 516-562, http://mi.mathnet.ni/izv/41/3/516.

42. В. А. Исковских, Многообразия Фано II, Изв. АН СССР, Сер. Мат., 421978), 504-549, http://mi.mathnet.ni/izv/42/3/506.

43. В. А. Исковских, Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий, Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики. Т. 12, М.: ВИНИТИ, с. 59-158 (1979).

44. В. А. Исковских, Лекции по трехмерным алгебраическим многообразиям. Многообразия Фано, М.: Московский университет (1988).

45. V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov, Fano Varieties, volume 47 of Encyclopaedia Math. Sci. Springer-Verlag, Berlin.

46. P. Jahnke, I. Radloff, Terminal fano threefolds and their smoothings, arXiv:math/0601769.

47. Б.В.Карпов, Д.Ю.Ногин, Трехблочные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо, Изв. РАН. Сер. матем. 62:3 (1998), 3-38, arXiv:alg-geom/9703027.

48. A. Kasprzyk, Toric fano 3-folds with terminal singularities, Tohoku Math. J., Volume 58, Number 1 (2006), 101-121. arXiv:math/0311284.

49. Y. Kawamata, Deformations of canonical singularities, J. Am. Math. Soc. 12, No.l (1999), 85-92 arXiv:alg-geom/9712018.

50. Y. Kawamata, К. Matsuda, К. Matsuki, Introduction to the minimal model problem, Algebraic Geom., Sendai, June 24-29, 1985: Symp. Tokyo; Amsterdam e.a.1987 p. 283-360.

51. S.Kleiman, Towards a numerical theory of ampleness, Ann. Math, 94, 1, 293-344 (1966).

52. K. Kodaira, On compact complex analytic surfaces II, Ann. Math. 77, 563626 (1963).

53. J.Kollar, Singularities of pairs, //in "Algebraic geometry — Santa Cruz (1995), Proc. Symp. Pure Math. AMS", No. 62 221-287 (1997), arXiv:alg-geom/9601026.

54. M. L. Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, Proc. International Congress of Mathematicians (Zurich 1994), Birkhauzer, Basel, 120-139 (1997), arXiv:alg-geom/9411018.

55. M. L. Kontsevich, Yu.I. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys. 164 (1994) 525-562, arXiv:hep-th/9402147.

56. M. Kreuzer, H.Skarke, Classification of reflexive polyhedra in three dimensions. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2:847 (1998), arXiv:hep-th/9805190.

57. В. С. Куликов, П. Ф. Курчанов Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структуры Ходжа, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления ВИНИТИ, т. 36 (1989).

58. M. Kreuzer, Н. Skarke, PALP: A Package for Analyzing Lattice Polytopes with Applications to Toric Geometry, Computer Physics Communications, 157:87 (2004), arXiv:math/0204356.

59. V. Lakshmibai, Degenerations of flag varieties to toric varieties. C. R. Acad. Sci Paris, 321 (no. 9):1229-1234 (1995).

60. Ю. И. Манин, Фробеииусовы многообразия, квантовые когомологии и пространства модулей, -М.: Издательство "Факториал Пресс" (2002).

61. K.Matsuki, Introduction to the Mori program — Universitext, Springer, 2002 478 pp.

62. R. Miranda, U. Persson, On Extremal Rational Elliptic Surfaces, Math. Z., 193, 537-558 (1986).

63. S.Mori, S.Mukai, Classification of fano 3-folds with b2 ^ 2, Manuscr. Math., 36:147-162 (1981). Erratum 110: 407 (2003).

64. S.Mori, S.Mukai, On fano 3-folds with b2 ^ 2, Algebraic varieties and analytic varieties, Proc. Symp., Tokyo 1981, Adv. Stud. Pure Math., 1:101-129 (1983), http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mukai/paper/Fanol983.pdf

65. S.Mori, S.Mukai, Classification of Fano 3-folds with B2 > 2, I, 'Algebraic and Topological Theories to the memory of Dr. Takehiko Miyata', (M. Nagata ed.), Kinokuniya, 496-545 (1985), http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mukai/paper/Fanol985.pdf.

66. S. Mukai, Biregular classification of Fano threefolds and Fano manifolds of coindex 3, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 86 (1989), 3000-3002

67. S.Mukai, Fano 3-folds, Lond. Math. Soc. Lcct. Note Ser. 179, 255-263 (1992).

68. Y. Namikawa, Smoothing fano 3-folds., J Alg. Geom., 6:307-324 (1997).

69. A. Neron, Modeles minimaux des varieties abeliennes sur les corps locaux et globaux, Publ. I.H.E.S., 21 (1964).

70. B. Nill, Gorenstein toric fano varieties, manuscripta mathematica, 116:183 (2005). Диссертация (подробная): http://w210.ub.uni-tuebingen.de/dbt/volltexte/2005/1888/pdf/nill.pdf.

71. В. В. Пржиялковский, On Landau-Ginzburg models for Fano varieties, Comm. Num. Th. Phys., в печати, arXiv:0707.3758.

72. В. В. Пржиялковский, Минимальное кольцо Громова-Виттена, Известия РАН, Сер. Мат., в печати (Деп. в ВИНИТИ 16.10.07, 961-В 2007), arXiv:0710.4084.

73. V. Przyjalkowski, Quantum cohomology of smooth complete intersections in weighted projective spaces and singular toric varieties, arXiv:math/0507232v3.

74. M. Reid, Decomposition of toric morphisms, in Arithmetic and Geometry, papers dedicated to I.R. Shafarevich, Birkha"user 1983, Vol II, 395-418.

75. M. Reid, The moduli space of 3-folds with К = 0 may nevertheless be irreducible, Math. Ann., 278:329-334 (1987).

76. M.Reid, Young person's guide to canonical singularities, In Algebraic Geometry Bowdoin 1985, Proc. Symp. Pure Math. 46 (1987).

77. Т. Shioda, On elliptic modular surfaces, J. Math. Soc. Japan, 24 (1972), 20-59.

78. B.Siebert, G.Tian, On quantum cohomology rings of Fano manifolds and a formula of Vafa and Intriligator, Asian J. Math. 1, No.4, 679-695 (1997), arXiv: alg-geom/9403010.

79. J. Stienstra, F. Beukers, On the Picard-Fuchs equation and the formal Brauer group of certain elliptic КЗ-surfaces, Mathematische Annalen 271 (1985) p.269-304.

80. B. Sturmfels, Algorithms in invariant theory, Texts and Monographs in Symbolic Computation, 1993.

81. B. Sturmfels, Grobner bases and convex polyhedra American Mathematical Society, 8, 1996.

82. J. Tate, On the conjecture of Birch and Swinnertod-Dyer, Sem. Bourbaki Exp. 306, 1-26 (1966).

83. K. Ueda, Homological mirror symmetry for toric Del Pezzo surfaces, arXiv: math. AG/0411654.

84. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, Cambridge Studies in Adv. Math. 77, CUP, 2003.