Инварианты Громова-Виттена многообразий Фано тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт им. В. А Стеклова

Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 512 76

Пржиялковский Виктор Владимирович Инварианты Громова-Виттена многообразий Фано

Специальность-01 01 Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□031Т8023

Москва - 2007

003178023

Работа выполнена в отделе теории чисел Математического института имени В А Стеклова РАН

Научные руководители:

д ф -м н , профессор Василий Алексеевич Исковских, к ф -м н Василий Викторович Голышев

Официальные оппоненты:

д ф -м н Дмитрий Олегович Орлов, д ф -м н Николай Андреевич Тюрин

Ведущая организация:

Механико-математический факультет МГУ им М В Ломоносова

Защита диссертации состоится 20 декабря 2007 г в 14— на заседании диссертационного совета Д 002 022 03 в Математическом институте им В А Стеклова Российской Академии Наук по адресу 119991, Москва, ул Губкина, 8 (9 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического Института им В А Стеклова РАН

Автореферат разослан 20 ноября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002 022 03 в МИ РАН д ф -м н

Н П Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Зеркальная симметрия — одна из наиболее молодых и бурно развивающаяся область математики Возникнув в конце 1980-х годов в недрах теоретической физики, она сразу же заинтересовала математиков По этой тематике были опубликованы работы Концевича, Манина, Вуазен, Тюрина, Яу, Ван Стра-тена, Дубровина, Фултона, Окунькова, Орлова, Кокса, Гивенталя и многих других Феномен зеркальной симметрии нельзя охарактеризовать как принадлежащий какой-то одной классической ветви математики Особый интерес зеркальной симметрии придает то, что она находится на стыке алгебраической геометрии, симплектической геометрии, топологии, гомологической алгебры, комбинаторики, математической физики и многих других наук

Изучая теорию струн, физики заметили, что по каждому многообразию Калаби-Яу (то есть гладкому1 односвязному алгебраическому многообразию с тривиальным каноническим классом) можно построить так называемую суперконформную теорию поля Математического ее определения пока нет (физическое определение использует фейнмановский интеграл, не вполне строго определенный математически) Эта теория изучает пары многообразий с двумя типами свойств симплектическими с одной стороны и алгебро-геометрическими с другой

Зеркально симметричное многообразие для многообразия Калаби-Яу V — это такое многообразие V', симплектические свойства которого трансформируются в алгебро-геометрические свойства исходного, и наоборот Для чисел Ходжа это означает, что

hP'q{y) = hn-™(V'),

где п — (комплексная) размерность многообразий V и У Иными словами, ромбы Ходжа V я V' получаются друг из друга поворотом на 90°, отсюда и название — зеркальная симметрия

Несмотря на то, что такие конструкции базируются на нестрого определенных понятиях, с их помощью физикам удалось сделать конкретные численные предсказания Отсчет этим предсказаниям, по-видимому, следует вести с знаменитой статьи Канделаса-де ла Оссы-Грина-Паркса2 В этой статье обсуждается зеркальная симметрия для общей трехмерной квинтики

Конструкция, приведенная в этой статье, является частным случаем конструкций зеркальной симметрии для полных пересечений. А именно, в статье предъявляется пучок многообразий Калаби-Яу, такой что из решений уравнений Пикара-Фукса для этого пучка восстанавливается производящий ряд для

1Или, более общо, имеющему канонические горенштейновы особенности

2[COGP91] Р Candelas, X de la Ossa, P Green, L Parkes, A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory, Nud Phys В 359 (1991), 21-74

чисел ^

Nd = Ylknd/k'

k¡d

где n¿ — эхо числа рациональных кривых степени d на трехмерной квинтике Гипотеза Клеменса утверждает, что эти числа конечны Эта гипотеза доказана для малых d, доказательство в общем случае опубликовано, но еще не до конца проверено3 Таким образом, зеркальная симметрия позволяет эффективно вычислить m для любого сколь угодно большого d Предсказанные ею числа совпадают с числами, вычисленными ранее число прямых ni = 2875 было найдено еще в 19 веке Шубертом, число коник Пг = 609250 было найдено Ка-цем в 1986 году, а число скрученных кубик п3 = 371206375 — Эллингсрудом и Стромме в 1994

Математических версий зеркальной симметрии существует несколько (естественно, все они тесно связаны между собой) Мы остановимся на двух из них, наиболее разработанных гомологической зеркальной симметрии и зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа Перед их описанием отметим, что довольно скоро гипотезы зеркальной симметрии стали формулироваться не только для многообразий Калаби-Яу, но и для других классов многообразий (Батырев, Гивенталь, Хори, Вафа), наиболее интересные случаи — это случаи многообразий Фано (то есть многообразий с обильным антиканоническим классом)

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии была предложена Кон-цевичем на докладе на Математическом Конгрессе в 1994 году4 Объектами зеркальной симметрии являются гладкие алгебраические многообразия и пучки многообразий W Y —> А1 Каждому алгебраическому многообразию X можно сопоставить производную категорию когерентных пучков Vb(CohX), или D-бран типа В С другой стороны, каждому пучку W Y —> Â1 можно сопоставить (производную) категорию исчезающих Лагранжевых циклов D{L&gvc(W)) (D-бран типа А)

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии утверждает, что для каждого многообразия X найдется такой пучок W, что эти категории эквивалентны

Vb{CohX) Sí Z>(LagTC(H0)

Позднее эта гипотеза была усилена А именно, была сформулирована идея существования (производной) категории Фукай DT{X), объекты которой — Лагранжевы подмногообразия, снабженные локальными системами (D-бран

Зсм [Wa05a] В Wang, Clemens' conjecture part I, II, препринты arXiv math/0511312 и arXiv math/0511364

4[Ko94] M L Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, Proc International Congress of Mathematicians (Zürich 1994), Birkhauzer, Basel, 1995, pp 120-139

типа А) С другой стороны, Орлов определил5 производную категорию особенностей (D-бран типа В) Усиленная гипотеза гласит, что для зеркальной пары, кроме вышеописанной эквивалентности, эквивалентны также категория Фукай для X и производная категория особенностей для W Однако, так как категория Фукай не определена в полной мере, обычно под гомологической зеркальной симметрией понимают только первую эквивалентность

Другая гипотеза зеркальной симметрии — зеркальная симметрия вариаций структур Ходжа Опишем ее для гладких многообразий Фано с группой Пикара Z

Ключевым для этой гипотезы является понятие инвариантов Громова-Виттена Теория инвариантов Громова-Виттена для проективных алгебраических многообразий была определена аксиоматически Концевичем и Мани-ным в 1994 году6, ими же был предложен путь их конструктивного построения Основная проблема была в построении компактифицированных пространств модулей стабильных отображений кривых Эти пространства были построены Бехрендом и Маниным7 и Бехрендом8 Они являются не просто многообразиями, а стеками Делиня-Мамфорда Инварианты Громова-Виттена определяются в терминах пересечений циклов на этих пространствах Теория пересечений на стеках была построена Вистоли9. Эти стеки не всегда имеют ожидаемую размерность Чтобы определить индексы пересечения когомологических классов на них, необходимо было определить виртуальный фундаментальный класс — цикл ожидаемой размерности в группе Чжоу, заменяющий обычный фундаментальный класс Это было сделано в работах [Ве96] и [BF96]10

Инварианты Громова-Виттена — числа пересечений когомологических циклов на пространствах модулей Смысл примарных инвариантов — (ожидаемые) числа рациональных кривых заданной степени на многообразии, пересекающих общие представители некоторых фиксированных классов гомологии Инварианты с потомками не имеют столь наглядного смысла, однако они заметно упрощают вычисление примарных инвариантов и, кроме того, сами выражаются через примарные

Инварианты Громова-Виттена позволяют определить кольцо (малых) квантовых когомологий — деформацию кольца когомологий многообразия,

5[ОгОЗ] Д О Орлов, Триангулированные категории особенностей и D-браны в моделях Ландау-Гинзбурга , Тр МИАН, 2004, 246, 240-262

6[КМ94] М L Kontsevich, Yu I Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerattve geometry, Comm Math Phys 164 (1994) 525-562

7[BeMa96] К Behrend, Yu I Manin, Stacks of Stable Maps and Gromov-Witten Invariants, Duke Math J vol 85, No 1 (1996), 1-60

s[Be96] К Behrend, Gromov-Witten invariants in algebraic geometry, Invent Math, 127(3), 1997, 601-617

9[Vi89] A Vistoli, Intersection theory on algebraic stacks and their moduli, Inv Math 97 (1989), 613-670

10[BF96] K. Behrend, В Fantechi, The intrinsic normal cone, Inv Math 128 (1997), 45-88

структурными константами умножения в котором являются трехточечные (то есть соответствующие трем циклам) примарные инварианты Громова-Виттена Квантовое умножение определяет квантовый V-модуль, то есть тривиальное расслоение на прямой со слоем Н*(Х, Q), в котором связность на постоянных сечениях задается квантовым умножением на канонический класс Особенности этого £>-модуля в общем случае не регулярны Процедура, позволяющая их сделать таковыми, называется регуляризацией

С другой стороны, рассмотрим расслоение W- Y —> А1 Пусть dime У = п + 1 Рассмотрим послойный n-цикл At и послойную голоморфную п-форму uit, t g А1, непрерывно зависящие от точки на базе V-модулем Пикара-Фукса называется D-модуль, решениями которого являются (возможно многозначные) функции (периоды) вида

Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа утверждает, что для каждого гладкого многообразия Фано существует такой пучок ("модель Ландау-Гинзбурга"), что его V-модуль Пикара-Фукса изоморфен регуляризо-ванному квантовому Т>-модулю исходного многообразия

В случае квантово-минималъного многообразия Фано X размерности N квантовый Х>-модуль сводится к дифференциальному оператору типа БМ Этот оператор можно алгоритмически выписать в терминах структурных констант квантового умножения на антиканонический класс многообразия — двухточечных инвариантов Громова-Виттена Это позволяет эффективно изучать рассматриваемый нами случай гипотезы зеркальной симметрии, что выгодно отличает его от других вариантов общей гипотезы

Таким образом, встает вопрос нахождения инвариантов Громова-Виттена многообразий Фано Этот вопрос пока не решен в общем случае, однако в некоторых частных случаях ответ на него известен Как уже упоминалось, инварианты Громова-Виттена — бесконечное множество чисел, связанных между собой некоторыми соотношениями Первая теорема восстановления Концевича-Манина ([КМ94]) гласит, что все они выражаются через двухточечные инварианты Однако удобным оказывается "паковать" информацию об инвариантах и в другом виде А именно, производящий ряд одноточечных инвариантов (введенный Гивенталем под названием /-ряда) называется 1-рядом, оказывается, по нему можно восстановить все инварианты квантово минимального многообразия, что дает еще одну систему порождающих для инвариантов Громова-Виттена Этот ряд играет важную роль в теории Громова-Виттена Например, в его терминах можно выписать решения уравнений типа ИЫ или, что (гипотетически) то же самое, уравнения Пикара-Фукса Одним из основных инструментов в нахождении инвариантов Громова-Виттена является квантовая теорема Лефшеца (Гивенталь, Лиан-Лиу-Яу, Ким, Гатманн) Она дает точный рецепт, как получить /-ряд гиперповерхности в многооб-

разии Фано, зная /-ряд самого многообразия Вкупе с вычислением инвариантов проективных пространств (Гивенталь), грассманианов (гипотеза Хори— Вафа, Бертрам-Чиокан-Фонтанин-Ким), многообразий (частичных) флагов (Гивенталь-Ким), произвольных однородных пространств (Фултон-Вудвард), гладких торических многообразий (Гивенталь), трехмерных многообразий Фано, это дает множество примеров явных вычислений. Кроме того, Батырев разработал метод нахождения инвариантов и моделей Ландау-Гинзбурга для многообразий Фано, имеющих малые торические вырождения (то есть вырождения к торическим многообразиям с особенностями, допускающими малые торические разрешения)

Основной задачей зеркальной симметрии является нахождение подходящих кандидатов на роль зеркально двойственных многообразий К настоящему времени известны кандидаты на двойственные модели Ландау-Гинзбурга для полных пересечений в гладких торических многообразиях (Батырев, Батьгрев-Борисов), грассманианах и пространствах флагов (Батырев-Чиокан-Фонтанин-Ким-Ван Стратен), многообразий Фано, допускающих малые торические вырождения (Батырев) и поверхностей Дель Пеццо (Кацарков-Орлов-Уру)

Естественно, такая богатая теория, как зеркальная симметрия, имеет много приложений в разных областях математики Приведем два из них

Первое приложение — классификация многообразий Фано Согласно зеркальной симметрии, каждому многообразию Фано соответствует двойственная модель Ландау-Гинзбурга Изучая ее свойства (основываясь на том, что она соответствует многообразию Фано), можно попытаться выделить конечное число пучков с подходящими свойствами По этим пучкам можно восстановить численные инварианты многообразий Фано (инварианты Громова-Виттена, характеристические числа) и составить список их семейств В трехмерном случае, более простом, чем многомерный, так как все гладкие трехмерные многообразия Фано с группой Пикара Z квантово минимальны, классификация Псковских таких многообразий была воссоздана Голышевым в серии работ, а также автором в настоящей диссертации

Второе приложение — доказательство нерациональности некоторых многообразий Фано А именно, о нерациональности можно судить, следя за поведением двойственной модели Ландау-Гинзбурга и монодромии ее особых слоев при раздутии многообразия Фано (эта идея принадлежит, по-видимому, Кацаркову)

Цель работы

Цель работы — исследование гипотез зеркальной симметрии для гладких трехмерных многообразий Фано с группой Пикара Ъ (в частности, нахождение их квантовых когомологий и построение некоторых слабых моделей Ландау—

Гинзбурга), изучение решений детерминантальных уравнений для многообразий Фано, а также построение абстрактной теории Громова-Виттена для квантово минимальных многообразий

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 117 страницах и состоит из введения и трех глав Библиография включает 59 наименований

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Явно описаны решения уравнения типа DN для квантово минимального многообразия Фано размерности N в терминах его I-рада

2 Построена абстрактная теория Громова-Виттена для квантово минимальных многообразий А именно, описано (в терминах образующих и соотношений) минимальное кольцо Громова-Виттена Теории Громова-Виттена квантово минимальных многообразий — это гомоморфизмы этого кольца в поле комплексных чисел Также доказана абстрактная теорема восстановления, в которой строится конкретный изоморфизм между этим кольцом и свободным коммутативным кольцом, порожденным бесконечным числом переменных ("двухточечных инвариантов Громова-Виттена")

3 Завершено доказательство гипотезы Голышева о модулярности трехмерных многообразий Фано с числом Пикара 1 А именно, найдены считающие матрицы многообразий Vjo, Vu, Vi, V2 и V2'

4 Найдены слабые модели Ландау-Гинзбурга для многообразий Vio, Vie и V22 и изучены некоторые их свойства

Основные методы исследования

Для нахождения решений уравнений типа DN и считающих матриц многообразий Фано использованы соотношения между инвариантами Громова-Виттена, квантовая теорема Лефшеца и теоремы о квантовых когомологиях однородных пространств и торических многообразиях Для нахождения слабых моделей Ландау-Гинзбурга многообразий Фано использован метод сравнения коэффициентов разложения решений детерминантальных уравнений и уравнений Пикара-Фукса

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории многообразий Фано, теории инвариантов Громова-Виттена и зеркальной симметрии

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на российских (семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством В А Псковских и Ю Г Прохорова в МГУ (2005-2006), семинар "Характеристические классы и теория пересечении" под руководством М Э Казаряна и С К Ландо (20052007), семинар А И Бондала в МИ АН (2007), семинар "Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физик" под руководством С М Натанзона, О В Шварцмана и О К Шейнмана (2007), семинар по алгебраической геометрии МИАН под руководством И Р Шафаревича (2007), Колмогоровские чтения V (Ярославль, Россия, 2007)) и международных (конференция GAEL-XI (Марсель, Франция, 2003), Algebraic Geometry and Topological Strings (Лиссабон, Португалия, 2005), Classification Problems and Mirror Duality (Москва, Россия, 2006), Moduli spaces of Riemann surfaces and related topics (Монреаль, Канада, 2007), "p-adic Mathphys-2007" (Москва, Россия, 2007)) научно-исследовательских семинарах и конференциях

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав

Глава 2 посвящена общей теории инвариантов Громова-Виттена Параграф 2 1 является подготовительным для всей диссертации и содержит основы теории Громова-Виттена В частности, в нем определены инварианты Громова-Виттена Эти инварианты подчинены некоторым соотношениям, имеющим место д ля всех многообразий данной размерности При аксиоматическом определении инвариантов Громова-Виттена они являются аксиомами, при конструктивном построении инвариантов эти соотношения становятся теоремами В том же параграфе определены квантово минимальные многообразия — наименьший естественный с точки зрения квантовых когомоло-гий класс многообразий Соотношения позволяют выразить любой инвариант

Громова-Виттена таких многообразий через несколько "базисных" инвариантов Такими базисными инвариантами могут быть примарные двухточечные инварианты или одноточечные инварианты с потомками

Одноточечный инвариант Громова-Виттена квантово минимального многообразия X размерности Лг, соответствующий классу Н3 — (—Кх)3, рациональной кривой (аятиканонической) степени й и степени г относительно потомков обозначается через (тгН3)^ Рассмотрим /-рад, то есть производящий ряд

одноточечных инвариантов Громова-Виттена Квантовая теорема Лефшеца объясняет, как преобразуется этот ряд при переходе от многообразия к гиперповерхности в нем, в диссертации приведены точные формулы такого перехода для многообразий Фано и Калаби-Яу

В этом же параграфе приведены теоремы, определяющие /-ряды грассма-нианов и гладких торических многообразий (в параграфе 3 1 мы обобщаем этот результат на случай гладких полных пересечений в особых торических многообразиях) Эти теоремы, вместе с точными формулами восстановления трехточечных инвариантов Громова-Виттена многообразия по его /-ряду, позволяют эффективно найти квантовые когомологии полных пересечений в грас-сманианах и торических многообразиях

Параграф 2 2 посвящен квантовым ©-модулям Умножение в квантовых когомологиях многообразия X позволяет определить структуру ©-модуля в тривиальном расслоении на торе Ет со слоем Н*(Х, <0>), эквивариантное дифференцирование на постоянных сечениях которого действует квантовым умножением на канонический класс Регуляризация этого ©-модуля, по зеркальной гипотезе, изоморфна ©-модулю Пикара-Фукса двойственной модели Ландау-Гинзбурга В случае квантово минимального многообразия X размерности N эта конструкция заметно упрощается А именно, рассмотрим считающую матрицу, то есть матрицу двухточечных инвариантов Громова-Виттена

''ао.о ао,1 &о,лг-1 ао,к \ 1 а1,лг-1 01, N

1

\ о 0 1 аил)

где ак = (ожидаемое число рациональных кривых степени ] — г + 1,

пересекающих общие представители классов, двойственных к Н1^"3 и Н1) Ре-гуляризованный квантовый ©-модуль задается оператором типа ©Аг, который строится по этой матрице с помощью конкретного алгоритма, сформулированного Голышевым В диссертации доказывается следующая теорема — первый основной результат диссертации

Теорема (следствие 2 49) Рассмотрим регуляризованный 1-ряд для квантово минимального многообразия X размерности N

Iх = 1+ £ + . (/» + (*) 6 С[[*]][А]/А"

Пусть Iх = 1кЬ,к, где Г для каждого г — ряд от £ Тогда N функций

7°, 7°1о5(*) + 7\ 7°^)2/21 + 711оЕ(4) + 721 . .

образуют базис ядра оператора типа ИЫ для X

Таким образом, решения уравнения, задающегося в терминал: примарных двухточечных инвариантов Громова-Виттена выражаются в терминах одноточечных инвариантов В частности, она позволяет переформулировать квантовую теорему Лефшеда в терминах дифференциальных операторов

Рассмотрим уравнения типа построенные по матрицам с переменными коэффициентами Оказывается, их решения (как формальные ряды от коэффициентов матрицы) получаются друг из друга "ограничением" Это наталкивает на мысль о существовании универсальной теории Громова-Виттена для квантово минимальных многообразий, не зависящей от размерности многообразия Такая теория построена в параграфе 2 3 А именно, определение инвариантов Громова-Виттена и соотношений между ними переформулировано в виде, не зависящем от объемлющего многообразия (это достигается "опусканием" одного коэффициента с помощью двойственности Пуанкаре) Далее, определено минимальное кольцо Громова-Виттена СУ/, порожденное образующими и соотношениями, восходящими к теории Громова-Виттена В диссертации доказывается следующая теорема, обобщающая первую теорему восстановления Концевича-Манина на абстрактный случай Она является вторым основным результатом диссертации

Теорема 2.56 (абстрактная теорема восстановления) Пусть г С[ау] —> ОIV — отображение, переводящее ау в символы двухточечных инвариантов (более подробно см в тексте диссертации) Тогда г является изоморфизмом

Таким образом, теория Громова-Виттена любого квантово минимального многообразия — это отображение СШ —> С Несмотря на то, что кольцо С\У изоморфно свободному кольцу, оно дает очень удобный язык для теорий Громова-Виттена инварианты на этом языке — это универсальные многочлены от а,3 Все доказательства предыдущих параграфов основаны на соотношениях между инвариантами, таким образом, их можно дословно повторить в абстрактном случае В частности, определить универсальный регуляризованный /-ряд, из которого решения уравнений типа получаются ограничением

Глава 3 посвящена гипотезе зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа для трехмерных многообразий Фано с группой Пикара Z А именно, сопоставим такому многообразию не одну считающую матрицу Л, а их семейство AXE, где Е — единичная матрица Следующая гипотеза относится к 17 трехмерным многообразиям Фано из списка Исковских Для 12 из них утверждение гипотезы было проверено ранее, для 5 оставшихся многообразий гипотеза доказывается в диссертации Это есть третий основной ее результат

Гипотеза Гольпыева. Для трехмерных гладких многообразий Фано с группой Пикара Ъ решения уравнений D3 модулярны Конкретнее, пусть X — такое многообразие, %х — его индекс, а N ~ — его уровень11. Тогда в семействе считающих уравнений для X есть такое уравнение ЬХх [Ф(г)] = О, решением которого является ряд Эйзенштейна веса 2 на модулярной кривой Xo(N)

Основываясь на этой гипотезе, Голышев предсказал считающие матрицы для всех 17 семейств многообразий Фано с группой Пикара Z из списка Исковских Для доказательства гипотезы необходимо проверить, что предсказанные матрицы и есть считающие матрицы для этих многообразий Для 12 из них считающие матрицы были найдены Бовилем (полные пересечения и многообразие V5), Кузнецовым (V22) и Голышевым (V12, Vl6 и Vie) Матрицы для оставшихся многообразий получены в параграфе 3 3 А именно, в теореме 3 21 получены считающие матрицы многообразий Vw и Vu

Общие многообразия Vi V2 и V{ можно представить как полные пересечения во взвешенных проективных пространствах Гипотеза Голышева для этих многообразий (теорема 3 22) следует из теоремы об /-ряде для гладких полных пересечений в (особых) торических многообразиях (теорема 3 12), доказанной в параграфе 3 1

Наконец, глава 4 посвящена методам нахождения и изучению свойств кандидатов на роль моделей Ландау-Гинзбурга трехмерных многообразий Фано Метод, использованный в диссертации, позволяет свести ее в некоторых случаях к комбинаторике

Рассмотрим квантово минимальное многообразие X размерности N Пусть l + ait+a2Î2+ — аналитическое решение уравнения типа DN для него Рассмотрим многочлен Лорана /€ C[xi, if1, Пусть 6, — свободный член многочлена /'

Определение Многочлен Лорана / называется очень слабой моделью Ландау-Гинзбурга для X, если а, = 6, для всех г

Многочлен Лорана / называется слабой моделью Ландау-Гинзбурга для X, если он является очень слабой моделью Ландау-Гинзбурга для X и для

11 Здесь N временно обозначает не размерность, а уровень модулярной кривой, как это принято в теории модулярных форм

общего £ € С гиперповерхность (1 — Ь} = 0) бирационально эквивалентна многообразию Калаби-Яу

Смысл этого определения объясняется следующим предложением, относящимся к математическому фольклору

Предложение 4.3. Ряд

1 + М + М2+ -является решением уравнения Пикара-Фукса для пучка {(1 — tf),t € С}

Кроме того, общая философия зеркальной симметрии говорит о том, что общий слой модели Ландау-Гинзбурга должен быть многообразием Калаби-

Яу

Прямой способ нахождения слабых моделей Ландау-Гинзбурга состоит в следующем Рассмотрим многочлен Лорана с неопределенными коэффициентами Напишем свободные члены его степеней как многочлены от этих неопределенных коэффициентов и, зная решение уравнения типа БЫ, решим полученную систему уравнений Однако этот способ неприемлем с вычислительной точки зрения уже для трехмерных многообразий он оказывается очень громоздким Поэтому надо вести поиск подходящих моделей не среди всех многочленов, а среди многочленов из некоторого более узкого класса В параграфе 4 3 обсуждаются способы такого поиска Как показывает опыт, многочлены должны быть "простые" имеющие много симметрии, имеющие маленькие целочисленные коэффициенты Но основной способ связан с торическими каноническими (то есть с каноническими особенностями) вырождениями многообразий Фано Общая философия говорит, что двойственная модель не зависит от деформации многообразия Допустим, что трехмерное многообразие вырождается к торическому многообразию с каноническими особенностями Тогда (гипотетически) выпуклая оболочка веера этого торического многообразия совпадает с многогранником Ньютона двойственной слабой модели Ландау-Гинзбурга На данный момент для большинства трехмерных многообразий Фано неизвестно, допускают ли они канонические торические вырождения Однако такое предположение помогает найти двойственные модели В том же параграфе показано, что основные численные инварианты (антиканоническая степень, размерность антиканонической линейной системы, число Пикара) сохраняется при таких вырождениях Для торического многообразия эти инварианты определяются комбинаторикой его многогранника Таким образом, можно выделить небольшое число многогранников и искать слабые модели Ландау-Гинзбурга среди многочленов с такими многогранниками Ньютона Такой подход подсказывает и естественную компактификацию слабых моделей Ландау-Гинзбурга — внутри торических многообразий, соответствующих этим многогранникам

Венчает главу теорема 4 4 (четвертый основной результат диссертации), в которой находятся слабые модели Ландау-Гинзбурга для многообразий 1^8 и У22 В параграфе 4 2 обсуждаются также свойства найденных моделей, они подтверждают предсказания других версий зеркальной симметрии Метод, примененный в диссертации, применим и для гораздо более широкого класса многообразий Автору неизвестны модели Ландау-Гинзбурга для многообразий Фано с группой Пикара Z, не являющиеся компактификациями слабых моделей

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В В Голышеву и В А Псковских за постановку задачи, помощь, постоянное внимание и многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также благодарит М Э Казаряна, Д О Орлова, Ю Г Прохорова, И Радлоффа, И А Челъцова и К А Шрамова за полезные обсуждения и замечания

Публикации автора по теме диссертации

[1] Пржиялковский В В , Инварианты Громова-Виттсна трехмерных многообразий Фано рода 6 и рода 8, Матем сб , 2007, 198 3, 145-158

[2] Пржиялковский В В , Квантовые когомологии гладких полных пересечений во взвешенных проективных пространствах и особых торических многообразиях, Матем сб , 2007, 198 9, 107-122

[3] Пржиялковский В В , Минимальное кольцо Громова-Виттена, Деп в ВИНИТИ 16 10 07, № 961-В 2007

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 23. Ю, О ? Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0,75 Тираж /¿0 экз Заказ39

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

1 Введение

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты диссертации.

2 Инварианты Громова-Виттена и квантовые Б-модули

2.1 Инварианты Громова-Виттена.

2.1.1 Определения

2.1.2 Соотношения.

2.1.3 Квантовые когомологии.

2.1.4 Грассманианы и торические многообразия

2.1.5 Квантовая теорема Лефшеца.

2.2 Квантовые Б-модули.

2.2.1 Определение

2.2.2 Случай квантово минимальных многообразий

2.2.3 Решения уравнений типа БЯ.

2.3 Минимальное кольцо Громова-Виттена.

3 Гипотеза Голышева

3.1 Инварианты Громова-Виттена полных пересечений в особых торических многообразиях

3.2 Соотношения. Трехмерный случай.

3.3 Доказательство теорем 3.21 и 3.22.

4 Модели Ландау-Гинзбурга

4.1 Слабые модели Ландау-Гинзбурга.

4.2 Слабые модели Ландау-Гинзбурга для Vie, Vis и V22 и их свойства.

4.3 Методы поиска.

А Публикации по теме диссертации

Соглашения и обозначения

Под инвариантами Громова-Виттена мы будем подразумевать только инварианты рода ноль.

Символом Похгаммера (Х)п мы будем обозначать произведение Х(Х+ 1) •. • (X + п — 1), в котором X — элемент некоторого кольца (см. [А872], 6.1.22). Бесконечное произведение Па=-ооР^ + а) мы будем обозначать через [Х]п (бесконечное произведение определяется формально; в тексте мы будем использовать лишь отношения двух бесконечных произведений, у которых все (кроме конечного числа) множители можно формально сократить).

Гомологии Н*(Х,0>) и когомологии Н*(Х,<0>) мы будем обозначать через #*(Х) и Н*(Х) соответственно.

Двойственный по Пуанкаре класс к классу 7 6 Н*{Х) мы будем обозначать через 7Х/.

Одним и тем же символом мы часто будем обозначать гиперповерхность и двойственный ей класс когомологий.

Все многообразия считаются определенными над полем комплексных чисел С.

Глава

Введение

1.1 История вопроса

Зеркальная симметрия — одна из наиболее молодых и бурно развивающаяся областей математики. Возникнув в конце 1980-х годов в недрах теоретической физики, она сразу же заинтересовала математиков. По этой тематике были опубликованы работы Концевича, Манина, Вуазен, Тюрина, Яу, Ван Стратена, Дубровина, Фултона, Окунькова, Орлова, Кокса, Гивента-ля и многих других. Феномен зеркальной симметрии нельзя охарактеризовать как принадлежащий какой-то одной классической ветви математики. Особый интерес зеркальной симметрии придает то, что она находится на стыке алгебраической геометрии, симплектической геометрии, топологии, гомологической алгебры, комбинаторики, математической физики и многих других наук.

Изучая теорию струн, физики заметили, что по каждому многообразию Калаби-Яу (то есть гладкому1 односвязному алгебраическому многообразию с тривиальным каноническим классом) можно построить так назы

1Или, более общо, имеющему канонические горенштейновы особенности. ваемую суперконформную теорию поля. Математического ее определения пока нет (физическое определение использует фейнмановский интеграл, не вполне строго определенный математически). Эта теория изучает пары многообразий с двумя типами свойств: симплектическими с одной стороны и алгебро-геометрическими с другой.

Зеркально симметричное многообразие для многообразия Калаби-Яу V — это такое многообразие V', симплектические свойства которого трансформируются в алгебро-геометрические свойства исходного, и наоборот. Для чисел Ходжа это означает, что где п — (комплексная) размерность многообразий V и V'. Иными словами, ромбы Ходжа V ж V' получаются друг из друга поворотом на 90°; отсюда и название — зеркальная симметрия.

Несмотря на то, что такие конструкции базируются на нестрого определенных понятиях, с их помощью физикам удалось сделать конкретные численные предсказания. Отсчет этим предсказаниям, по-видимому, следует вести с знаменитой статьи [ССЮР91]. В этой статье обсуждается зеркальная симметрия для общей трехмерной квинтики.

Конструкция, приведенная в этой статье, является частным случаем конструкций зеркальной симметрии для полных пересечений. Рассмотрим пучок многообразий Калаби-Яу (по определению авторов, зеркально двойственный к общей трехмерной квинтике), являющийся разрешением особенностей пучка

1 \ х2 : : х± \ Хь)\х\-\-х\+х\+х\+х\ = гх1х2х^х^хъ}I{Ъ/ЪЪ)ъ, х € А1, где {Ъ/ЪЪ)^ действует на координатах ., как группа диагональных матриц с корнями пятой степени из единицы на диагонали, определитель которых равен единице, по модулю скалярных матриц. Уравнение Пикара-Фукса этого пучка имеет вид

Ш4 - ++++4>) ^=

Рассмотрим функции фо(г),., ^3(2), определяемые из равенства ФШ + ОИ = £

5 ^ ((1 + е)(2+ £).(п + 5е))

В частности, п=0 п=0 \*г=п+1 /

И Т. д.

Гипотеза Клеменса утверждает, что число п^ рациональных кривых степени на трехмерной квинтике конечно. Эта гипотеза доказана для малых с1; доказательство в общем случае опубликовано, но еще не до конца проверено (см. [\Уа05а], [\Уа05Ь]). Определим виртуальное число рациональных кривых степени й на первый взгляд кажущееся искусственным, это определение естественно с точки зрения теории инвариантов Громова-Виттена). Рассмотрим функцию

Предсказания зеркальной симметрии утверждают, что

Р М.\ Ьфж-'фофз

ФоУ 2 Ф

Эта формула позволяет эффективно вычислить т^ для любого сколь угодно большого (1. Числа, предсказанные этой формулой, совпадают с числами, вычисленными ранее: число прямых щ = 2875 было найдено еще в 19 веке Шубертом, число коник щ = 609250 было найдено Кацем в 1986 году (см. [Ка96]), число скрученных кубик щ = 371206375 — Эллингсрудом и Стромме в 1994 (см. [Е894]).

Естественно, такого рода предсказания не могли не заинтересовать математиков. В самом начале 1990-х годов они направили свои усилия на то, чтобы, во-первых, математически определить, а, во-вторых, обосновать и доказать обнаруженный физиками феномен. Вторая задача до сих пор не решена; некоторое продвижение в ней и есть цель настоящей диссертации. Однако для того, чтобы решить вторую задачу, необходимо прежде всего решить первую. А именно, необходимо "обойти" столь любимое физиками понятие суперконформной теории поля и сформулировать гипотезы о зеркальном соответствии многообразий в уже имеющихся математических терминах.

Математических версий зеркальной симметрии существует несколько (естественно, все они тесно связаны между собой). Мы остановимся на двух из них, наиболее разработанных: гомологической зеркальной симметрии и зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Перед их описанием отметим, что довольно скоро гипотезы зеркальной симметрии стали формулироваться не только для многообразий Калаби-Яу, но и для других классов многообразий (Батырев, Гивенталь, Хори, Вафа); наиболее интересные случаи — это случаи многообразий Фано (то есть многообразий с обильным антиканоническим классом).

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии была предложена Кон-цевичем на докладе на Математическом Конгрессе в 1994 году (см. [Коп94]). Объектами зеркальной симметрии являются гладкие алгебраические многообразия и пучки многообразий У/\ У —> А1. Каждому алгебраическому многообразию X можно сопоставить производную категорию когерентных пучков Т>ь(СоНХ), то есть категорию, объектами которой являются комплексы пучков (на X) конечной длинны, а морфизмами — классы морфизмов по модулю гомотопической эквивалентности (то есть два мор-физма называются эквивалентными, если они индуцируют изоморфизм когомологий комплексов). В контексте зеркальной симметрии эту категорию часто называют Б-браном типа Б. С другой стороны, каждому пучку : У —А1 можно сопоставить (производную) категорию исчезающих Лагранэюевых циклов 0(Ьа£ус(\¥)) (Б-бран типа А, см. [БеОО]).

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии утверждает, что для каждого многообразия X найдется такой пучок IV, что эти категории эквивалентны:

1^{СокХ) * £>(1^УС(И0).

Позднее эта гипотеза была (гипотетически) усилена. А именно, была сформулирована идея существования (производной) категории Фукай объекты которой — Лагранжевы подмногообразия, снабженные локальными системами (П-бран типа А). С другой стороны, в [ОгОЗ] Орлов определил производную категорию особенностей (В-бран типа В). Усиленная гипотеза гласит, что для зеркальной пары, кроме вышеописанной эквивалентности, эквивалентны также категория Фукай для X и производная категория особенностей для Однако, так как категория

Фукай не определена в полной мере, обычно под гомологической зеркальной симметрией понимают только первую эквивалентность.

Другая гипотеза зеркальной симметрии — зеркальная симметрия вариаций структур Ходжа. Она является первоначальной гипотезой, пришедшей из физики, и первой, имеющей строго математическую формулировку. Опишем ее для простоты в частном случае гладких многообразий Фано с группой Пикара Ъ — именно этот случай мы будем рассматривать в диссертации.

Ключевым для этой гипотезы является понятие инвариантов Громова-Виттена. Теория инвариантов Громова-Виттена для проективных алгебраических многообразий была определена аксиоматически Концевичем и Маниным в 1994 году в знаменитой статье [КМ94]; там же был предложен путь их конструктивного построения. Основная проблема была в построении компактифицированных пространств модулей стабильных отображений кривых. Эти пространства были построены в работах [ВеМа96] и [ВеЬ96]. Они являются не просто многообразиями, а стеками Делиня-Мамфорда. Инварианты Громова-Виттена определяются в терминах пересечений циклов на этих пространствах. Теория пересечений на стеках была построена Вистоли в [У189]. Эти стеки не всегда имеют ожидаемую размерность. Чтобы определить индексы пересечения когомологических классов на них, необходимо было определить виртуальный фундаментальный класс — цикл ожидаемой размерности в группе Чжоу, заменяющий обычный фундаментальный класс. Это было сделано в работах [ВеЬ96] и [ВР96].

Пусть X — многообразие Фано размерности АГ, (3 € Н2(Х,Ж) — класс алгебраической кривой, с? = (—Кх)(3 ^ 0. Родом (возможно приводимой) связной кривой мы будем называть число к1 (Ос)- Легко проверить, что связная кривая имеет род ноль тогда и только тогда, когда она является деревом неособых рациональных кривых. Связная кривая с отмеченными точками называется предстабилъной, если ее особые точки являются обыкновенными двойными точками, а отмеченные точки являются неособыми. Стабильным отображением предстабильной кривой в многообразие X называется такое отображение, что на каждой стягиваемой компоненте кривой лежит как минимум три особые или отмеченные точки (то есть отображение, не имеющее инфинитезимальных автоморфизмов). Пространство модулей (являющееся стеком Делиня-Мамфорда) стабильных отображений кривых рода ноль вХсп отмеченными точками, образы которых лежат в классе гомологий ¡3, обозначается как Мп(Х, р), а его виртуальный фундаментальный класс как [Мп(Х, /3)]У1Г* £ Ллг+^+п-з(МпрГ,/?)). Пусть еУ{ \ Мп(Х,(3) —► X — отображение вычисления, ставящее в соответствие стабильному отображению кривой образ ее г-й отмеченной точки. Пусть 71,.,7П € Н*(Х,Ж). (Примарным п-точечным) инвариантом Громова-Виттена (рода ноль) называется число

7ь • • •, ■Ъ)р = (71, • • •, 1п)<1 = еиХъ) •. • е<Ы • [МП(Х, /?)]**, если сосНт7г = N + й-\-п — 3, иО иначе.

Это число не меняется при гладких деформациях многообразия X. Смысл этих чисел — (ожидаемое) число рациональных кривых степени в, на X, пересекающих общие представители классов гомологий, двойственных 7ь. ,7„.

Инварианты Громова-Виттена позволяют определить кольцо (малых) квантовых когомологий — деформацию кольца когомологий многообразия. Кольцом квантовых когомологий называется кольцо, равное как С-линейное пространство Н*(Х,<0>) ® С[£], с квантовым умножением, определенным формулой где 71,72,7 £ H*(X,Q), 7V — класс, двойственный по Пуанкаре классу 7, а элемент 7® 1 мы обозначаем просто как 7. Сумма берется по d ^ 0 и элементам 7 фиксированного базиса пространства Н*(Х). То, что это умножение ассоциативно, накладывает условия на инварианты Громова-Виттена. Эти условия, называемые WDVV-уравнениями, или уравнениями ассоциативности, следуют из аксиом Концевича-Манина. При конструктивном построении инвариантов они являются теоремами. Квантовое умножение определяет квантовый V-модулъ, то есть тривиальное расслоение на прямой со слоем H*(X,Q), в котором связность на постоянных сечениях задается квантовым умножением на канонический класс. Особенности этого D-модуля в общем случае не регулярны. Процедура, позволяющая их сделать таковыми, называется регуляризацией (см. 2.2.1).

С другой стороны, рассмотрим расслоение W : Y —> А1. Пусть dime У — п + 1. Рассмотрим послойный n-цикл At и послойную голоморфную п-форму LJt, t Е А1, непрерывно зависящие от точки на базе. V-модулем Пикара-Фукса называется 22-модуль, решениями которого являются (возможно многозначные) функции (периоды) вида

Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа утверждает, что для каждого гладкого многообразия Фано существует такой пучок ("модель Ландау-Гинзбурга"), что его V-модуль Пикара-Фукса изоморфен регуляризованному квантовому Т>-модулю исходного многообразия.

В диссертации изучается именно этот вариант зеркальной симметрии. В случае квантово-минимального многообразия Фано X размерности ЛГ, то есть многообразия с максимально просто устроенными квантовыми ко-гомологиями (такими многообразиями являются, например, трехмерные многообразия Фано с группой Пикара Z или полные пересечения), регу-ляризованный квантовый Х>-модуль сводится к дифференциальному оператору типа БЫ (см. определение 2.34). Этот оператор можно алгоритмически выписать в терминах структурных констант квантового умножения на антиканонический класс многообразия — двухточечных инвариантов Громова-Виттена. Это позволяет эффективно изучать рассматриваемый нами случай гипотезы зеркальной симметрии, что выгодно отличает его от других вариантов общей гипотезы.

Таким образом, встает вопрос нахождения инвариантов Громова-Виттена многообразий Фано. Этот вопрос пока не решен в общем случае; однако в некоторых частных случаях ответ на него известен. Как уже упоминалось, инварианты Громова-Виттена — бесконечное множество чисел, связанных между собой некоторыми соотношениями. Первая теорема восстановления Концевича-Манина (см. [КМ94]) гласит, что все они выражаются через двухточечные инварианты. Однако удобным оказывается "паковать" информацию об инвариантах и в другом виде. А именно, множество инвариантов можно расширить, рассматривая так называемые инварианты Громова-Виттена с потомками (см. определение 2.6). Нового знания они не добавляют, так как выражаются через примарные. Производящий ряд одноточечных инвариантов (введенный Гивенталем под названием ./-ряда) называется 1-рядом (см. определение 2.7); оказывается, по нему можно восстановить все инварианты квантово минимального многообразия, что дает еще одну систему порождающих для инвариантов Громова-Виттена. Этот ряд играет важную роль в теории Громова-Виттена. Например, в его терминах можно выписать решения уравнений типа БЫ или, что (гипотетически) то же самое, уравнения Пикара-Фукса. Одним из основных инструментов в нахождении инвариантов Громова-Виттена является квантовая теорема Лефшеца (Гивенталь, Лиан-Лиу-Яу, Ким, Гатманн). Она дает точный рецепт, как получить /-ряд гиперповерхности в многообразии Фано, зная /-ряд самого многообразия. Вкупе с вычислением инвариантов проективных пространств (Гивенталь, [0196]), грассманианов (гипотеза Хори-Вафа, Бертрам-Чиокан-Фонтанин-Ким, [ВСКОЗ]), многообразий (частичных) флагов (Гивенталь-Ким, [ОК93]), произвольных однородных пространств (Фултон-Вудвард, [Г\¥04]), гладких торических многообразий (Гивенталь, [0197]), трехмерных многообразий Фано, это дает множество примеров. Кроме того, Батырев ([Ва97], см. также [ВСРК898]) разработал метод нахождения инвариантов и моделей Ландау-Гинзбурга для многообразий Фано, допускающих малые торические вырождения, то есть вырождения к торическим многообразиям, допускающим малые разрешения (см. [Ва97], определение 3.1).

Первой задачей зеркальной симметрии является нахождение подходящих кандидатов на роль зеркально двойственных многообразий. При этом требований гипотезы зеркальной симметрии вариации структур Ходжа оказывается недостаточно: им удовлетворяет большое количество пучков, лишь немногие из которых подходят на роль зеркально двойственных моделей Ландау-Гинзбурга (например, общие элементы моделей Ландау-Гинзбурга должны быть бирационально эквивалентны многообразиям Калаби-Яу, тогда как большинство пучков не удовлетворяют этому свойству). Однако обычно бывает ясно, какую из предложенных ей моделей следует выбрать. К настоящему времени известны кандидаты на двойственные модели Ландау-Гинзбурга для полных пересечений в гладких торических многообразиях (Батырев [Ва94], Батырев-Борисов [ВВ94], [ВВ95]), грассманианах и пространствах флагов (Батырев-Чиокан-Фонтанин-Ким-Ван Стратен, [ВСРК898]), многообразий Фано, допускающих малые торические вырождения (Батырев, [Ва97]) и поверхностей Дель Пеццо (Кацарков-Орлов Уру, [АК005]).

Естественно, такая богатая теория, как зеркальная симметрия, имеет много приложений в разных областях математики. Приведем два из них.