Сравнительный анализ различных представлений корреляционных функций в теории Черна-Саймонса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение "Государственный научный центр Российской Федерации Институт теоретической и экспериментальной физики" им. А.И. Алиханова

На правах рукописи

Слепцов Алексей Васильевич

Сравнительный анализ различных представлений корреляционных функций в теории Черна-Саймонса

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2014

! } ФЫЗ 2014

005545112

УДК 530.145+514.745.82

Работа выполнена в ФГБУ 'ТНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Морозов А.Ю.

ФГБУ ТНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Защита состоится "25" февраля 2014 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ по адресу: 117218, Москва, ул. Б.Черемушкинская, 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ. Автореферат разослан "24" января 2014 г.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, вед. н. с. Чехов Л.О.

Математический институт им. В.А.Стеклова

РАН, г.Москва

кандидат физ.-мат. наук, ассистент-профессор Горский Е.А.

Колумбийский университет г. Нью-Йорка

Ведущая организация:

ИТФ им. Л.Д. Ландау, г. Черноголовка

Ученый секретарь диссертационного совет кандидат физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Трехмерная топологическая квантовая теория поля с действием Черна-Саймонса является отличным примером точно решаемой неабелевой калибровочной теорией. Её решения даются специальными функциями - квантовыми полиномами, в частном случае калибровочной группы БИ(ДО они называются полиномами ХОМФЛИ. Поскольку теория топологическая, то коррелятор петли Вильсона принимает разные значения только на топологически разных контурах, которыми являются узлы и зацепления. Таким образом, теория Черна-Саймонса обеспечивает естественный подход к решению давней математической проблемы - построению инвариантов узлов и зацеплений (далее просто узлов). Однако полиномы ХОМФЛИ являются неполными инвариантами, т.е. недостаточно рассмотреть только полиномы ХОМФЛИ, чтобы полностью различить все узлы. Ситуация меняется, если рассматривать цветные полиномы, то есть вильсоновские корреляторы в различных (неприводимых) представлениях группы 5,£/(Лг), которые перечисляются диаграммами Юнга. Цветные полиномы ХОМФЛИ представляют из себя очень интересный объект, который мало изучен. Однако до сих пор неизвестно, являются ли цветные полиномы ХОМФЛИ полным набором инвариантов узлов.

За прошедшие двадцать лет, с тех пор как Виттен связал вычисление корреляторов вильсоновских петель с инвариантами узлов, полиномиальные ин-

варианты появились во многих задачах математической физики. Приведем лишь некоторые их них.

Один из самых интересных вопросов - это вопрос об интегрируемых свойствах производящих функций. Если рассмотреть производящие функции чисел Гурвица, инвариантов Громова-Виттена, полиномов ХОМФЛИ и операторов Казимира, то окажется, что все они друг с другом связаны в тех или иных пределах/представлениях. Однако интегрируемые свойства хорошо изучены только у производящей функции операторов Казимира - она является тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП). У остальных производящих функций подобные свойства либо плохо изучены (Гурвиц, Громов-Виттен), либо не изучены вовсе (ХОМФЛИ). Помимо интегрируемых свойств сама по себе связь между трехмерной теорией Черна-Саймонса (теорией узлов), числами Гурвица и инвариантами Громова-Виттена выглядит очень интригующей и крайне многообещающей. За последние десять лет произошел большой прогресс в выявлении связи теории Гурвица с теорией Громова-Виттена, а вот их связь с вильсоновскими корреляторами трехмерного Черна-Саймонса носит случайный обрывочный характер. Безусловно, наша интерпретация полиномов ХОМФЛИ как сумма по характерам симметрической группы - важный шаг к понимаю этой связи и интегрируемых свойств теории.

Если производящая функция полиномов ХОМФЛИ является тау-функцией какой-нибудь иерархии, то на полиномы ХОМФЛИ должны быть соотношения, причем нелинейные, наподобие квадратичных соотношений Плюккера. Однако на сегодняшний день пока открыты только линейные соотношения на ХОМФЛИ, которые известны как (квантовые) А-полиномы. Они, в свою очередь, определяют спектральную кривую, снабженную дифференциалом Зайберга-Виттена. Это указывает на связь 3с1 теории Черна-Саймопса с 5с1 теорией Янга-Миллса.

Также стоит упомянуть связь полиномиальных инвариантов с гиперболическими объемами трехмерных многообразий, реализацией топологической рекурсии АММ/ЕО в определенных матричных моделях и с конформными блоками модели ВЗНВ.

Один из самых актуальных вопросов последнего времени в этой науке - это обобщение полиномов ХОМФЛИ на случай суперполиномов. Суперполиномы - это тоже полиномиальные инварианты узлов, но уже от трех переменных. Помимо полиномов ХОМФЛИ они обобщают и другие полиномиальные инварианты, такие как полиномы Хеегарда-Флоера и Хованова-Рожанского. Они являются чем-то вроде /3-деформацией теории Черна-Саймонса, аналогичной той, что приводит к появлению функций Некрасова в низкоэнергетическом пределе четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Цель работы

Целью диссертации является построение корреляционных функций теории Черна-Саймонса (Игц(1С)) через интеграл Концевича. В работе используется комбинаторный способ вычисление интеграла Концевича, в котором коррелятор представляется как произведение ассоциаторов Дринфельда и сплетающих операторов. Поскольку для сплетающих операторов известны явные выражения, то основная цель заключается в нахождении явного вида ассоциатора путем решения регуляризованного уравнения Книжника-Замолодчикова.

Также целью работы является изучение поведения корреляторов (1Уд(/С)) в пределе при больших N и вычисление поправок к этому пределу. В пленарном пределе N оо целью диссертации является установить, удовлетворяют ли корреляторы квадратичным соотношениям Плюккера и является ли ста-

тистическая сумма

г{р,р'\К) = Х](И01(/С)>5л(р*)5д(р) (0.1)

л

тау-функцией интегрируемой иерархии. При вычислении поправок к пределу основной целью является исследование и описание зависимости корреляторов от представления Я.

Целью работы является исследование суперполиномиальных обобщений корреляторов теории Черна-Саймонса. Для упрощения задачи мы ограничиваемся рассмотрением только торических узлов, то есть таких узлов, которые можно положить на тор без самопересечений. В нашем подходе предлагается представить суперполином как разложение с некоторыми коэффициентами по базисным векторам; в качестве базисных векторов рассматриваются полиномы Макдональда. Тогда весь вопрос сводится к вычислению коэффициентов и нахождению простых формул для них.

Научная новизна

Все представленные к защите результаты являются оригинальными и новыми разработками автора диссертации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов.

Практическая и научная ценность

Результаты работы имеют большую теоретическую значимость для пер-турбативных исследований теории Черна-Саймонса, для изучения дуально-стей между этой теорией и другими топологическими теориями, такими как теория Гурвица или Громова-Виттена, а также для построения и изучения

бета-деформированной теории Черна-Саймонса и подобных теорий. Полученные результаты предоставляют новые возможности исследовать математические объекты физическими методами. Прогресс в направлении расширения связей между теоретической физикой и математикой, достигнутый в последние десятилетия исследовательскими группами по всему миру, показывает, что такая возможность обычно является плодотворной и для физической, и для математической наук.

Результаты, выносимые на защиту диссертации

• В случае фундаментального представления алгебры 0 вычислен ассоциатор Дринфельда. С его помощью для простейших узлов проверено, что интеграл Концевича в точности совпадает с полиномами ХОМФЛИ.

• Показано, что компоненты решения для ассоциатора совпадают с определенными компонентами \VZWN конформного блока для примарных полей.

• Используя разложение при больших Ы, описана зависимость вильсонов-ских корреляторов от представления Л для произвольной петли. Она дается характерами симметрической группы.

• Доказано, что производящая функция корреляторов Вильсона в пределе больших N имеет степенную зависимость от |Л|.

• Построены суперполиномиальные обобщения корреляторов петель Вильсона для различных семейств торических узлов через /с-эволюцию по полиномам МакДональда.

• Показано, что начальные условия для /с-эволюции имеют простое описание через полиномы Холла-Литтлвуда.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на теоретических семинарах ИТ-ЭФ, института Кортевега-де Фриза (Амстердам) и следующих международных конференциях: IX, X международные школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике для одаренной молодежи (Севастополь, 2010, 2012 гг.); Ill, V Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Триест, Италия, 2010, 2012 гг.); I, II, III, IV Workshop on Synthesis of integrabilities arising from gauge-string dualty (Москва, 2010, 2011, 2013 гг. и Осака, Япония, 2012 г.); 50th International School of Subnuclear Physics (Эриче, Сицилия, Италия, 2012 г.); I, II Workshop on Aspects of Non-Associative and Non-Commutative Geometries in String Theory (Стамбул, Турция, 2012, 2013 гг.); 2nd Northeast String Meeting: Strings, Knots and Related Aspects (Натал, Бразилия, 2013 г.).

По материалам диссертации опубликованы 4 научные работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя введение, три главы основного текста и заключение. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая 4 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержит 132 ссылки.

Содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы: актуальность темы, поставленные задачи.

В главе 2 обсуждается способ вычисления корреляционных функций виль-

соновских петель в теории Черна-Саймонса через интеграл Концевича. Исход-

но интеграл Концевича представлялся в виде бесконечной суммы интегралов по данной петле Вильсона (узлу):

раторы алгебры Ли. Взятие такого интеграла в п-том члене даже для фиксированного узла является крайне сложной задачей, не говоря уже о том, чтобы просуммировать весь ряд. Однако можно представить интеграл Концевича в виде произведения тензоров Я (сплетающий оператор) и Ф (ассоциатор Дрин-фельда), причем порядок произведения зависит от узла. Сплетающий оператор дается простым выражением:

Основная сложность данного подхода состоит в вычислении Ф. В 1996 году Т. Ле и Дж. Мураками обнаружили выражение для ассоциатора как бесконечной суммы по некоммутативным операторам А и В (без каких-либо дополнительных соотношений, то есть для всех представлений) с коэффициентами

где Ср = ^ (та°1>(1)ТагтрМ.. ^ - это групповые факторы, Т° гене-

Д = еА, А = Т° ® (ТаУ ® 1 или Я = ев, В = 1 <8) (Та)*.

(0.3) (0.4)

в форме значений мультикратной дзета-функции:

оо к к -_.

Фз = 1®з + £ (JL) £ £ (-l)Iq|T(pbgb...pm)9m)x (0.5)

\2iriJ

fc=2 rra>0 p>0q>0

~ |p|+|q|=fc

¿(p)=i(q)=m

l(r)=m \t=1 Гг Sî /

l(s)—m

0<r<p

0<sgq

где p = (pi,p2, ■■-,Pm) это вектор с положительными целыми компонентами. Длина вектора ¿(р) = m и |р| = ]T)pi. Для р и q с положительными целыми р > q означает, что рг > g, и р > 0 означает, что р, > О для всех г. Коэффициенты т(рь q\, ...рт, qm) выражаются через мультикратные дзета-функции следующим образом:

т(рь <7ъ -Рт, qm) = CQ^^J,. Q1 + 1.42 + 1, -, Qn + 1) (0.6)

pi-l P2-1

такое что, например, т(1,2) = Ç(3) и т(2,1) = <(1,2). Дзета-функции определяются как:

Ç(mbm2,...,mn) = £ К^^-К^ (0.7)

0<fci<fcî<—<fcn

Формула (0.6) дает точный ответ для ассоциатора Дринфельда во всех порядках h, однако это непрактично для явных вычислений инвариантов узла. Для таких вычислений необходимо отсуммировать именно ряд (0.6) в присутствии некоторых соотношений между А и В, заданных представлением калибровочной группы. В случае, рассмотренном здесь (фундаментальное представление

^/(Лг)), эти соотношения заданы в зависимости от типа ассоциатора:

А2 = В2 = (АВ)3 = (ВА)3 = 1 тип а А2 = ИА, В2 = ЫВ, ВАВ = В, АВА = А тип Ь А2 = 1, В2 = МВ, ВАВ = В типе

тип а

(0.8) (0.9) (0.10)

Основная трудность состоит в том, что значения мультикратных дзета-функций (0.7) сложно вычислить, и поэтому нет шансов отсуммировать ряд (0.6) точно во всех порядках по Й голыми руками даже при наличии дополнительных соотношений для А и В.

Наш подход учитывает соотношения с самого начала: используя их, мы сводим уравнение Книжника-Замолодчикова

к системе гипергеометрических уравнений. Решение этой системы в точке г — 1 дает ассоциатор. Таким образом, мы сумели отсуммировать ряд (0.6) с нетривиальными коэффициентами дзета-функции явно, и результат имеет форму простых гамма-функциональных множителей, например, для типа а:

(0.11) (0.12)

Фх(1) = 1,

Фа(1) = 0,

Ут-- Ъ Г(1 + 2^)2 ^ ; у Г(1 + Й)Г(1 + ЗЙ)'

С08(7ГЙ)'

Ф4(1

(0.13)

В главе 3 изучается разложение 'тХофта (предел больших N) для корреляционных функций теории Черна-Саймонса. В планарном пределе этого разложения среднее значение вильсоновской петли зависит очень простым образом от представления (диаграммы Юнга):

(0-14)

где \R\ - размер диаграммы Юнга, <J^(A) - полином по Л в фундаментальном представлении для узла К,. Такое поведение означает, что в планарном пределе корреляторы (Wr{K,))Sr{jp*), умноженные на полиномы Шура SR(p*), удовлетворяют соотношениям Плюккера для произвольного узла 1С. Это, в свою очередь, подразумевает, что производящая функция корреляторов

Z(P,P*= Х^й(/С))5л(р*)5л(р) (0.15)

R

становится тривиальной тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили.

Далее в главе 3 изучаются поправки к формуле (0.14), т.е. рассматривается разложение:

00

(Wn()C)) = + £ п^(А) ■ *», (0.16)

П=1

где г связана с исходной переменной q как z = q — q~l. Основная цель главы - исследование того, что происходит, когда ^-зависимость восстанавливается "пертурбативно": как разложение по степеням z вокруг точки <7 = 1, где зависимость от представления полностью описывается с помощью (0.14). Показано, что отклонения имеют очень интересную структуру, выражаемую через действие И^-операторов разрезания-и-склейки, генераторов "замкнутой струны" коммутативной алгебры Иванова-Керова, которая содержит все характеры SR{pk} линейной группы SL{oo) (функции Шура) в качестве обычных собственных векторов и все характеры ^я(Д) симметрической группы S(оо)

в качестве соответствующих собственных значений:

ИЪМйгМ = ¥>я(Д)&г{р} (0.17)

Точнее, (¿>я(Д) пропорционально характеру хя{&) стандартной симметрической группы 5(|Л|) при |Д| = |й|

тогда как при |й| = |Д| + к это равно

к! гд! '—^—^

к

где гд - это число линий единичной длины в диаграмме Д, (¡ц~3ц{р) ,

Рк=Лк,1

а 2д - это порядок автоморфизма диаграммы Юнга Д. В итоге, разложение имеет следующий вид:

и (<,(Л)) Ы \|АН ) \

где (А) являются полиномами от константы связи 'тХофта А, которые зависят от узла, и которые мы называем старшими специальными полиномами. Они могут быть выражены через числа Оогури-Вафы. Они также связаны с инвариантами Васильева, появляющимися в обычном разложении слабой связи (при конечном ТУ); и тот факт, что эти функции являются полиномами по А, подразумевает бесконечное число нелинейных соотношений между инвариантами Васильева, некоторые из них универсальны, некоторые зависят от

конкретного узла. В общем, производящая функция (0.15) принимает вид: :

г(р,р*|К)=ехр{Х; (ел^) } х

3=1 (сг£(А)) г=1 \лн /

к

В главе 4 мы переходим к построению суперполиномов, которые обобщают корреляторы вильсоновских петель или, что то же самое, полиномы ХОМФЛИ. Мы ограничиваемся рассмотрением только торических узлов, которые в общем виде могут записаны как Т[т,гпк + г], где числа т и тк + г задают намотки на тор. Полиномы ХОМФЛИ можно разложить в сумму характеров калибровочной группы с постоянными коэффициентами, которые принимают значения в целых числах; сумма берется по диаграммам Юнга СЦ:

№(£)> = (0.22) <3

Как известно, характерами группы СЬ(ЛГ) являются полиномы Шура — базис в пространстве симметрических полиномов по {рк}- Основная идея построения суперполиномов Рд — это замена полиномов Шура на полиномы Макдональда, которые зависят еще от двух дополнительных переменных:

Однако надо еще заменить подходящим образом коэффициенты. Они определяются из начального условия. В качестве начального условия к = 0 используется простейший узел в соответствующей серии узлов, т.е. узел Т[т, г]. Показано, что если такой узел удалось разложить по полиномам Макдональда,

то всю серию, т.е. при произвольных к, можно восстановить вставкой оператора эволюции:

у-2(к+г/тМО')£2(к+г/т)и{С})^ (0.24)

где <3 - это транспонированная диаграмма, а р{0) = — !)• Также

в главе 4 показано, что узел, используемый в качестве начального условия, лучше раскладывать по полиномам Холла-Литтлвуда, нежели по полиномам Макдональда (или Шура). Именно в этом случае коэффициенты разложения устроены наиболее простым образом, например, в фундаментальном представлении

= 1, (0-25)

тогда как, будучи представленными в базисе полиномов Макдональда, они превращаются в сложные рациональные функции. Например, тот же коэффициент в базисе полиномов Макдональда выглядит следующим образом:

(72) _ 4 дЧЧь - <1

(¡г—£

Сама по себе эта сложность несущественна - она есть следствие линейного преобразования от полиномов Холла-Литтлвуда к полиномам Макдональда. В заключении обсуждаются полученные результаты.

Основные публикации по теме диссертации

1. P. Dunin-Barkowski, A. Sleptsov and A. Smirnov, "Explicit computation of the

Drinfeld associator in the case of the fundamental representation of gl(N)", J. Phys. A: Math. Theor. 45, 385204, 2012

2. А. Д. Миронов, А. Ю. Морозов, А. В. Слепцов, "Разложение по родам для

полиномов ХОМФЛИ", ТМФ, 177:2 (2013), 179-221

3. P. Dunin-Barkowski, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov and A. Smirnov,

"Superpolynomials for torus knots from evolution induced by cut-and-join operators", JHEP 1303, 021 (2013)

4. A. Mironov, A. Morozov, Sh. Shakirov, and A. Sleptsov, "Interplay between

MacDonald and Hall-Littlewood expansions of extended torus superpolynomials", JHEP 1205, 070 (2012)

Подписано к печати 21.01.14 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 0,7 Тираж 100 экз. Заказ 591

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

04201456307 ^^

Слепцов Алексей Васильевич

Сравнительный анализ различных представлений корреляционных функций в теории Черна-Саймонса

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук А.Ю. Морозов

Москва 2014

Оглавление

1 Введение 3

1.1 Содержание диссертации..........................................................6

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации................................9

2 Вычисление ассоциатора Дринфельда 11

2.1 Интеграл Концевича ..............................................................12

2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора 14

2.3 Решения..............................................................................16

2.4 Сравнение с известными формулами для узлов................................23

2.5 Препотенциал Дринфельда........................................................26

3 Разложение при больших N для корреляторов Черна-Саймонса 30

3.1 Пертурбативные разложения полиномов ХОМФЛИ............................31

3.2 Структура разложения т'Хофта..................................................34

3.3 Замечания ..........................................................................41

4 Обобщение корреляторов на случай суперполиномов 55

4.1 Полиномы ХОМФЛИ для торических узлов....................................55

4.2 Деформация в характеры Макдональда........................................60

4.3 Замечания ..........................................................................68

4.4 Редукции суперполиномов........................................................75

4.5 Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов............................................................79

4.6 Коэффициенты Холла-Литтлвуда Ид для торических узлов..................81

4.7 Производящие функции..........................................................84

5 Заключение 89

6 Приложения 90

6.1 Приложение А. Уравнение КЗ....................................................90

6.2 Приложение Б. Характеры симметрической группы ..........................91

6.2.1 Примеры структурных констант..........................................91

6.2.2 Таблица характеров симметрической группы (рц(А) ..................93

6.3 Приложение В. Суперполиномы..................................................93

6.3.1 Неузлы......................................................................94

6.3.2 Случай (2, п), серия п = 2к фундаментальное представление .... 94

6.3.3 Случай (2, п), серия п = 2к + 1 фундаментальное представление . . 96

Глава 1 Введение

В работах [1, 2] было предложено рассмотреть трехмерную (2 + 1) квантовую теорию поля с действием Черна-Саймонса и неабелевой калибровочной группой для изучения топологических инвариантов. Идея довольно проста.

Действие Черна-Саймонса для векторного поля Ац = А^Та

= ^хе^Тг (л^Ар + ¡4ЛЛ) (1-0.1)

построено без введения метрики на Л43, поэтому естественно ожидать, что наблюдаемые не будут зависеть от метрики, а будут зависеть только от своей "топологической конфигурации". Будем полагать, что М3 = в3, а С = 5£/"(АГ), тогда Та являются генераторами алгебры 5и(Л^). След в действии берется по фундаментальному представлению, а к - это константа связи, иногда ее называют уровнем теории. В качестве наблюдаемых будем рассматривать калибровочные инварианты, а именно корреляционные функции операторов Вильсона. Оператор Вильсона в случае неабелевой теории для контура С дается следующим выражением:

И/Л(С, А) = Тг я (Рехр г £ А^х^ , (1.0.2)

где Я является неприводимым представлением рассматриваемой алгебры Ли и поэтому нумеруется диаграммой Юнга. Коррелятор петли Вильсона равен

(ИЪ(/С)> = {т>А е*{А) А), (1.0.3)

и уже не зависит от реализации контура С в в3, а зависит от топологического класса эквивалентности узла /С, и следовательно, коррелятор (И0?(/С)) определяет топологический инвариант узла.

Свое развитие эта идея нашла в работах [3], где было показано, что физические состояния теории Черна-Саймонса описывают конформные блоки двумерной конформно-инвариантной теории Весс-Зумино-Виттена. То есть было установлено соответствие между 3d калибровочной теорией и 2d конформной теорией. Используя это соответствие, Э.Виттен сумел вычислил корреляторы вильсоновских петель для группы SU(2). Для конкретного узла и конкретного представления ответ дается многочленом по переменным

q = exp(ft) A = exp(Nh), (1.0.4)

где введено обозначение, смысл которого станет ясен чуть ниже,

П=—. (1.0.5)

к

По сути, эти многочлены являются нетривиальными обобщениями характеров группы Ли G. Эти же самые многочлены были вычислены по узлу исходя из совершенно других соображений в работах [32, 33, 108, 109, 110, 111, 126, 127] и называются полиномами ХОМФЛИ для SU(N) (в частности, полиномами Джонса для SU(2)) и полиномами Кауффмана для SO(N):

{WR{lC))^nR{K), G = SU(N) (1.0.6)

Таким образом, Э.Виттен с помощью непертурбативных методов не только установил соответствие между 3d калибровочной теорией Черна-Саймонса и 2d конформной теорией, но и точно вычислил корреляторы вильсоновских петель.

Позже в работах [7] было показано, что теория перенормируема и не содержит расходимостей, т.е. конечна. Коррелятор (Wr(K)) имеет осмысленное пертурбативное разложение по константе связи

П=~. (1.0.7)

к

Это разложение оказывается исключительно плодотворным, поскольку приводит к инвариантами конечного типа (инвариантам Васильева) Впервые эти инварианты были получены в работе [4]. Их связь с полиномиальными инвариантами установлена в [5, 6]. Более того, в калибровке светового конуса из функционального интеграла (1.0.3) можно вывести универсальный инвариант Васильева [8], известный как интеграл Концевича [9]. По сути мы записываем коррелятор как ряд по инвариантам Васильева:

(И= (1.0.8)

п,т

Инварианты Васильева зависят только узла, а зависимость от группы и представления дается факторами г7Цт. Таким образом, это подход раскрывает нам структуру корреляционных функций Вильсона. Стоит отметить, что вычисление инвариантов Васильева и групповых факторов - важная научная задача, которая в общем виде не решена. Более того, даже размерность линейного пространства, натянутого на инварианты Васильева, в общем случае не известна.

Вообще пертурбативные методы исследования в этой теории играют одну из ключевых ролей. Они позволяют не только изучать структуру корреляторов, но также устанавливают связь с другими теориями. Так в работах [10, 11] показано, что для группы 577 (2) в пределе больших представлений малой константы связи коррелятор узла К равен гиперболическому объему трехмерной сферы, из которой вырезали узел /С. На сегодняшний день это утверждение для произвольного узла носит статус гипотезы, подтвержденной многочисленными примерами. Она допускает обобщение на случай группы 577 (]\Г), вопрос о вычислении поправок также интересен [12]. Таким образом, благодаря этому разложению с помощью теории Черна-Саймонса можно изучать геометрию трехмерных многообразий.

Еще одним интересным пределом является планарный предел, т.е. предел при больших N. В диссертации показано, что в этом пределе корреляторы имеют очень простую зависимость от представления Я, и их производящая функция является тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили. Другими словами, полиномы ХОМФЛИ в пределе больших N удовлетворяют соотношениям Плюккера. Также вычислены поправки к этому пределу в произвольном порядке по теории возмущения, явно выписан ответ для п-го порядка. Показано, зависимость от представления полностью описывается характерами симметрической группы. Записанный в таком виде коррелятор имеет вид двухточечной функции Гурвица, тем самым разложение при больших N позволяет установить связь между теорией Черна-Саймонса и теорией Гурвица, которая изучает накрытие римановых поверхностей [13]. С другой стороны, в работах [87, 88] показано, что 1/А/" разложение обеспечивает дуальность между теорией Черна-Саймонса и замкнутой топологической струной и тем самым с инвариантами Громова-Виттена.

Как уже говорилось, корреляторы вильсоновских петель являются полиномами от двух переменных А и д. В 2004-2005 гг. в работах [34, 35] было предложено рассмотреть полиномы от трех переменных А, q и t, которые обобщают полиномы ХОМФЛИ и другие полиномиальные инварианты, не получаемые из теории Черна-Саймонса, такие как полиномы Хеегарда-

Флоера и Хованова-Рожанского [36]-[39]. Эти новые полиномы, называемые еуиерполиномами, являются чем-то вроде деформацией теории Черна-Саймонса аналогичной той, что приводит к появлению функций Некрасова в низкоэнергетическом пределе четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Миллса. Многие известные свойства полиномов ХОМФЛИ обобщаются и на случай суиерполиномов. На сегодняшний день исследование суперполиномов является важной и актуальной задачей.

1.1 Содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы: актуальность темы, поставленные задачи.

В главе 2 обсуждается способ вычисления корреляционных функций вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса через интеграл Концеви-ча. Исходно интеграл Концевича представлялся в виде бесконечной суммы интегралов по данной петле Вильсона (узлу):

*'<*> = £<¡£5= /

где Ср

= ^ (га°рЫТа°рЮ- это групповые факторы, Та генераторы алгебры Ли. Взятие такого интеграла в п-том члене даже для фиксированного узла является крайне сложной задачей, не говоря уже о том, чтобы просуммировать весь ряд. Однако можно представить интеграл Концевича в виде произведения тензоров Я (сплетающий оператор) и Ф (ассоциатор Дринфельда), причем порядок произведения зависит от узла. Сплетающий оператор дается простым выражением:

Я = еА, А = Та <%> (Та)* <8> 1. (1.1.10)

Основная сложность данного подхода состоит в вычислении Ф, и в общем случае он тоже дается бесконечным степенным рядом по тензорам А = Та 0 (Та)* О 1 и В = 1 <8> Тй (8) (Та)*, который просуммировать непосредственно довольно сложно. Тем не менее исходя из того, что ассоциатор Дринфельда является решением регуляризованного уравнения Книжника-Замолодчикова

£® = 5 (1 _ *)"» А (1 - г)ш Ф - - ФА, (1.1.11)

аг г г

для него был получен непертурбативный ответ в случае фундаментального представления алгебры Это позволило вычислить интеграл Конце-

вича явно. Кроме того, в главе 2 показывается, что в таком подходе ассоциаторы Дринфельда бывают разного типа. Тип ассоциатора зависит от ориентации нитей в узле. Это приводит к немного разных уравнениям на ассоциатор и, как следствие, к разным решениям.

В главе 3 изучается разложение т'Хофта (предел больших /V) для корреляционных функций теории Черна-Саймонса. В планарном пределе этого разложения среднее значение вильсоновской петли зависит очень простым образом от представления (диаграммы Юнга):

(1.1.12)

где \Щ - размер диаграммы Юнга, - полином по А в фундаментальном

представлении для узла /С. Такое поведение, в частности, означает что в планарном пределе производящая функция корреляторов

Я(р,р*|К) = (1-1.13)

я

становится тривиальной тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили, где 5д(р) - полиномы Шура в произвольных временах {рь}- Также в главе 3 изучаются поправки к этой формуле:

= (1.1.14)

п

В частности, изучается зависимость корреляторов от представления. Показано, что эта зависимость полностью описывается характерами симметрической группы </?я(Д):

„5КК(А)= £ па*(А)М Д), (1.1.15)

Д:|Д|+1(Д)<п-2

В главе 4 мы переходим к построению суперполиномов, которые обобщают корреляторы вильсоновских петель или, что то же самое, полиномы ХОМФЛИ. Мы ограничиваемся рассмотрением только торических узлов, которые в общем виде могут записаны как Т[т, тк + г], где числа т и тк + г задают намотки на тор. Полиномы ХОМФЛИ можно разложить в сумму характеров калибровочной группы с постоянными коэффициентами, которые принимают значения в целых числах; сумма берется по диаграммам Юнга

я

Как известно, характерами группы СЬ(ЛГ) являются полиномы Шура б'д(р) — базис в пространстве симметрических полиномов по {рк}- Основная идея построения суперполиномов — это замена полиномов Шура на полиномы Макдональда, которые зависят еще от двух дополнительных переменных:

^ = (1-1.17)

я

Однако надо еще заменить подходящим образом коэффициенты. Они определяются из начального условия. В качестве начального условия к = О используется простейший узел в соответствующей серии узлов, т.е. узел Т[ш,г]. Показано, что если такой узел удалось разложить по полиномам Макдональда, то всю серию, т.е. при произвольных к, можно восстановить вставкой оператора эволюции:

^(к+г/тМЯ'^к+г/тМЯ) ^ (1.1.18)

где - это транспонированная диаграмма, а у(0) = Х^Ф«^ ~~ !)• Также в главе 4 показано, что узел, используемый в качестве начального условия, лучше раскладывать по полиномам Холла-Литтлвуда, нежели по полиномам Макдональда (или Шура). Именно в этом случае коэффициенты разложения устроены наиболее простым образом, например, в фундаментальном представлении

= 1, (1.1.19)

тогда как будучи представленными в базисе полиномов Макдональда они превращаются в сложные рациональные функции, тот же коэффициент

7(4,3/= 9 -¿¡Ц-• (1Л'2°)

Сама по себе эта сложность несущественна - она есть следствие линейного преобразования от полиномов Холла-Литтлвуда к полиномам Макдональда. В заключении обсуждаются полученные результаты.

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации

• В случае фундаментального представления алгебры д1(М) вычислен ассоциатор Дринфельда. С его помощью для простейших узлов проверено, что интеграл Концевича в точности совпадает с полиномами ХОМ-ФЛИ.

• Показано, что компоненты решения для ассоциатора совпадают с определенными компонентами \VZWN конформного блока для примарных полей.

• Используя разложение при больших Ы, описана зависимость вильсонов-ских корреляторов от представления Я для произвольной петли. Она дается характерами симметрической группы.

• Доказано, что производящая функция корреляторов Вильсона в пределе больших N имеет степенную зависимость от \Щ.

• Построены суперполиномиальные обобщения корреляторов петель Вильсона для различных семейств торических узлов через /с-эволюцию по полиномам Макдональда.

• Показано, что начальные условия для ^-эволюции имеют простое описание через полиномы Холла-Литтлвуда.

Благодарности

Я хотел бы особо поблагодарить моего научного руководителя А.Ю.Морозова за постановку интересных задач и бесчисленные разъяснения научных вопросов. Я искренне признателен ему за помощь, поддержку и внимание к моей научной работе.

Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам П.Дунину-Барковскому, А.Миронову, А.Морозову, А.Пополитову, А.Смирнову, Г.Шабату, Ш. Шакирову и А.Штерну, а также признательность за полезные обсуждения и разъяснения научных вопросов В. Альбе, Н.Амбург, Г.Аминову,

А.Анохиной, С.Апенко, С.Артамонову, Э.Ахмедову, Ф.Бурде, Д. Васильеву, Д.Галахову, Е.Горскому, В.Диесперову, В.Долотину, И.Ждановскому, А.Забродину, Е.Зенкевичу, А.Зотову, Е.Крейнес, И.Кричеверу, С.Локтеву, А.Лосеву, В.Лосякову, А.Маршакову, Анд.Морозову, С.Натанзону, И.Полюбину, П.Пушкарю, Л.Рыбникову, Л.Чехову и С.Харчеву.

Мне приятно поблагодарить Е.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Глава 2

Вычисление ассоциатора Дринфельда

Как обсуждалось во введении для вычисления корреляторов вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса используются разные калибровки. Соответственно применяются разные методы и разные техники, чтобы получить ответ. За каждым методом стоит своя структура. Конкретный метод выбирается в зависимости от того, какую именно структуру планируется изучить. Всего же известно около десяти на первый взгляд совершенно различных способов вычислить полином ХОМФЛИ. Безусловно, все они просто соответствуют различным выборам калибровки в теории Черна-Саймонса. Одной из самых продуктивных является голоморфная калибровка, и именно она приводит к интегралу Концевича. Вычисление интеграла Концевича для конкретного узла, конкретной группы и конкретного представления является непростой задачей. В этом разделе будет рассмотрен подробно один из способов вычисления интеграла Концевича. Этот способ основан на представлении интеграла Концевича как произведения ассоциаторов и И-матриц. Их порядок в этом произведении определяется видом косы данного узла. Сама по себе Я-матрица, используемая в этой конструкции, устроена очень просто, а вся сложность интеграла Концевича, по сути, зашита в ассоциаторе, который был введен В.Г. Дринфельдом в [23] при изучении алгебр Хопфа. Ассоциатор связан с асимптотическим поведением решений уравнения Книжника - Замолодчикова (КЗ). Этот факт устанавливает связь ассоциатора Дринфельда с конформными блока, которые как известно являются решениями уравнения КЗ. Конформные блоки являются локально голоморфные и антиголоморфные множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля. В свою очередь ассоциаторы Дринфельда являются множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции трехмерной топологической квантовой теории поля. Таким образом, связь между асс