Двухпетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в трехмерных полевых теориях с расширенной суперсимметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ж

Мерзликин Борис Сергеевич

ДВУХПЕТЛЕВОЕ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В ТРЕХМЕРНЫХ ПОЛЕВЫХ ТЕОРИЯХ С РАСШИРЕННОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 МАП 2014

Томск - 2014

005549433

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный педагогический университет», на кафедре теоретической физики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бухбиндер Иосиф Львович

Официальные оппоненты:

Барвинский Андрей Олегович, доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, сектор теориии элементарных частиц, ведущий научный сотрудник

Плетнев Николай Гаврилович, доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, лаборатория теоретической физики, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна

Защита диссертации состоится 26 июня 2014 г. в 14:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.07, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университете», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, ЗС

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университете» www.tsu.ru

Автореферат разослан:_2014 г.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http : //www.tsu.ru/content/news/announementof the dissertations in the tsu.php

Ученый секретарь /у

диссертационного совета Киреева Ирина Васильевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Проблема унификации фундаментальных взаимодействий, включая описание гравитации на квантовом уровне, определяет центральное направление развития теоретической физики высоких энергий. В настоящее время объединение квантовой механики с гравитацией наиболее элегантно и последовательно реализовано в рамках теории суперструн. Примечательно, что неотъемлемым элементом этой теории является су-псрсимметрня, обеспечивающая ее внутреннюю согласованность. Кроме того, известно, что суперсимметричные теории поля получаются в низкоэнергстиче-ском пределе определенных моделей суперструн.

Важным достижением теории струн последних лет является открытие соответствия между суперсимметричной конформной теорией поля и теорией суперструн для случая специальной фоновой геометрии. Первым и наиболее изученным примером является дуальность десятимерпой НВ-теорпи суперструп, имеющей фоновую геометрию АйБ:, х 55, и четырехмерной Аг = 4 суперсим-метрнчиой теории тюля Янга-Мпллса. Последяя представляет собой суперконформную теорию поля (КТП), в которой отсутствуют ультрафиолетовые расходимости, что делает эту модель уникальной среди других моделей квантовой теории поля. Такая связь калибровочной теории с теорией суперструн получила название АдС/КТП соответствия.

Последние годы активно изучается еще один важный пример АдС/КТП дуальности соответствие между суперструнной теорией типа ПА с фоновой геометрией А(1Бц х СР3 и трехмерными М = 6 и Л/* = 8 суперконформными теориями поля. Это соответствие также играет важную роль при изучении М-теорнн. Существенной особенностью трехмерных калибровочных теорий по сравнению с четырехмерными является наличие полей Чсрна-Саймонса, которые играют ключевую роль в описании трехмерных супсрконформных теорий изучаемых в рамках АдС^/КТПз соответствия.

Трехмерная N = 8 суперсимметричная конформная теория ноля была построена в работах Баггера и Ламберта, а также Густавссона. Эта теория, называемая в литературе сокращенно БЛГ-модель, имеет калибровочную группу Б и (2) х ¿>[/(2) и описывает эффективную динамику мирового объема М2-бран. Позднее Ааронн, Бергман, Жаферис п Малдаеена сформулировали трехмерную суперконформпую теорию (АБЖМ-модель) обладающую N = б суперсимметрией и с калибровочной группой Vх {/(./V) или Би(Ы) х Би^). Было показано, что в т'Хофтовском пределе, когда эффективная константа связи А = д'у \{№ остается фиксированной, а ранг калибровочной группы N —» ос, АБЖМ-модель дуальна теории суперструн типа НА на пространстве AdS^ х СР3. Также стоит отметить, что в случае С/(ЛГ) х II(/V) калибровочной группы теория АБЖМ описывает низкоэнсргетическую эффективную динамику N М2-бран.

Современный интерес к трехмерным суперснмметрнчным теориям поля с

расширенной суперсимметрией в значительной степени связан с появлением моделей БЛГ и АБЖМ. Эти модели важны не только с точки зрения АдС/КТП соответствия. Сами но себе они представляют интерес, как теории полей Черна-Саймонса, взаимодействующих с полями материи специальным образом. В последнее время был достигнут существенный прогресс в построении и изучении корреляционных функций и амплитуд рассеяния в моделях типа АБЖМ. Однако задача изучения низкоэнергетической динамики в описанных теориях все еще не решена.

Одной из основных трудностей и определении эффективного действия в теории АБЖМ является проблема разделения тяжелых и легких степеней свободы вблизи вакуума скалярных полей. В самом деле, было показано, что механизм Хнггса для моделей типа БЛГ или АБЖМ отличается от стандартного случая моделей супернолей Яига-Миллса, взаимодействующих с полями матер ни, и. поэтому, построение низкоэнергетичсского эффективного действия для таких моделей представляет собой непростую проблему. Однако, важность изучения низкоэпергетического эффективного действия для этих моделей неоднократно подчеркивалась рядом известных авторов в силу связи эффективного действия для АБЖМ модели с динамикой М2 бран. Отметим, что и сами по себе трехмерные супсрсимметричные теории с расширенной суперсимметрией представляют значительный интерес и заслуживают детального исследования.

Таким образом, можно заключить, что изучение эффективной динамики трехмерных суперсимметричных калибровочных теорий с расширенной суперсимметрией является актуальным научным направлением.

Степень разработанности. Диссертационная работа посвящена разработке А/- = 2 супернолевого подхода для квантования трехмерных суперсимметричных калибровочных теорий, а также применение развитого метода к изучению структуры эффективного действия трехмерных суперсимметричных моделей с А/" = 2 и А/" = 4 расширенной сз'псрсимметрией за пределами ведущего низкоэнергетического приближения.

Цели и задачи диссертационной работы.

1. Развитие метода коварнантного супсрполевого квантования трехмерных А/" = 2 супсрспммстрнчных калибровочных теорий, сформулированных в терминах А/" = 2 супериолеи. Получение точных выражений для су-перпропагаторов нолей материн, зависящих от фонового калибровочного АГ = 2 супермультиплета.

2. Исследование структуры низкоэнергстического эффективного действия в трехмерных абелевых калибровочных теориях с А/" = 2 и А/" = 4 расширенной суиерсимметрией. Получение петлевых пертурбативных вкладов в метрику пространства модулей трехмерной А/* = 2 суперспмметрнчной электродинамики.

3. Вычисление двухпетлевого низкоэнергетического эффективного действия в трехмерной Н = 2 суперсимметричной абелсвой калибровочной теории поля Черна-Саймонса, взаимодействующего с суперполями материи.

4. Изучение локальных в суперпространстве вкладов в низкоэнергетическое эффективное действие общей трехмерной модели киралыюго М = 2 суперполя.

Научная новизна и практическая значимость. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми и получены впервые.

Практическая значимость обусловлена применением полученных результатов для дальнейшего изучения структуры низкоэнергетнческнх эффективных действий различных неабелевых трехмерных супсрсимметричных калибровочных теорий, таких как суперсимметричная теория Янга-Миллса или модель АБЖМ.

Полученные результаты и разработанные методы могут найти применение в исследованиях по теоретической физике высоких энергий, квантовой теории поля, суперсимыетрии и теории струн, проводимых в Физическом институте РАН (Москва), Объединенном институте ядерных исследований (Дубна), Математическом институте РАН (Москва), Институте физики высоких энергий (Протвино), Институте теоретической и экспериментальной физики (Москва), Институте ядерных исследований РАН (Москва), Петербургском институте ядерной физики РАН (Гатчина), Институте математики СО РАН (Новосибирск), Томском государственном университете, Томском политехническом университете, Томском государственном педагогическом университете, Московском государственном университете, а также в других вузах и организациях, где ведутся работы но теоретической физике высоких энергий.

Методы и подходы. Используются современные методы квантовой теории поля, включающие метод фонового поля и петлевое разложение, ковариантную технику вычисления эффективного действия, а также различные методы математической физики. Исследование структуры эффективного действия проводится на основе подхода М = 2. Л = 3 суперпространства, который обеспечивает явную сунерснмметршо на всех этапах квантовых вычислений. Петлевые квантовые вычисления проводятся с использованием метода фонового поля в Я = 2 суперпространстве, который гарантирует калибровочную инвариантность получаемых результатов.

Степень достоверности. Научные положения и выводы полностью обоснованы. Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с результатами других авторов. Полученные результаты опубликованы в рецензируемых журналах.

Положения, выносимые на защиту.

1. Развитие Af = 2 суперсимметричного калибровочно-ковариантного подхода для изучения низкоэнергетического эффективного действия в трехмерных суперснмметрнчных калибровочных теориях за пределами одно-петлевого приближения. Получение точных выражения для пропагаторов киральных суперполей, зависящих от ковариантно постоянного фонового векторного мультиплета.

2. Вычисление двухиетлевого ннзкоэпергетического эффективного действия типа Гейзенберга-Эйлера в трехмерных Af = 2 и Af = 4 суперснмметрнчных моделях квантовой электродинамики. Получение петлевых иертур-бативных вкладов в метрику пространства модулей трехмерной Л/* = 2 суисрснммстричной электродинамики.

3. Построение двухнетлевого ннзкоэпергетического эффективного действия в трехмерной А/ = 2 суперсимметричиой абелевой калибровочной теории поля Черна-Саймонса, взаимодействующего с суперполями материи, с точностью до вкладов четвертого порядка по пространственно-временным производным от компонентных полей.

4. Получение выражения дли двухпетлевых эффективных кэлерова и ки-рального потенциалов в трехмерной модели общего Af = 2 киралыюго супсрполя. В частном случае, для трехмерной Af = 2 суперсимметричиой модели Вссса-Зумино. вычисление двухпетлевых квантовых поправок к скалярному потенциалу.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и семинарах: Международная конференция "Quantum field theory and gravity", Томск (2010, 2012); Международный семинар по проблемам гравитации, космологии и астрофизики "RUSGRAV-14", Ульяновск (2011); Международный семинар ''Quantum symmetries and supcrsymmctrics", ОИЯИ. Дубна (2011. 2013); Результаты работы обсуждались также на семинарах кафедры теоретической физики ТГПУ.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано G статей и ведущих международных и российских научных журналах, в том числе в журналах из списка рекомендованных ВАК [1-5].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 106 страницы и содержит библиографический список из 116 наименований, а также 4 рисунка и 1 таблицу.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы и приводится краткий обзор литературы в исследуемой области. Также дается краткое описание структуры диссертации и формулируются основные задачи, решаемые в работе.

Первая глава содержит формулировку абелевой калибровочной теории в трехмерном N = 2 суперпространстве, основанной на алгебре ковариантных производных вида

= -2г(7т)а/3Ут + 2 ге^дС,

[Ут:У„] = (1)

Ковариантные спинориые производные могут быть выражены через одно вещественное калибровочное суперполе V

V,, = е-^е21' = Д» + 2, V« = Д> . (2)

В этом случае суперполевые напряженности имеют вид

С = = (3)

В дальнейшем, используются специальные ограничения на фоновое калибровочное суперполе V:

(¡) фоновое супериоле является решением ЛГ = 2 суперсимметричных уравнений Максвелла.

= 0, ГУ'\¥п = 0; (4)

(н) супсрполевыс напряженностн не зависят от пространственно-временных координат,

0ШС = 0: ¿}П,И"„ =0, 9Л = 0. (5)

Последнее ограничение означает, что рассматривается медленно меняющееся фоновое калибровочное суперполе.

В первой главе изучены свойства оператора параллельного переноса в трехмерном N = 2 суперпространстве и получены точные выражения для различных функций Грина, связанных с трехмерными калибровочными теориями. В частности, изучены функции Грина С+(г, г') и г') удовлетворяющие сле-

дующим уравнениям

(□+ + т2)С+(л,<) = -О, (6)

^2С_+(г,г') + т2С+(г,г') = (7)

Здесь 5+(z, z') представляет собой киральную дельта-функцию и является ковариантным оператором Д'Аламбера, действующим на подпространстве киральных суперполей.

Функции Грина (6) н (7) могут быть выражены через тепловые ядра, которые в диссертационной работе были вычислены точно для фонового суперполя. удовлетворяющего условиям (4) и (5)

К+(г, z'\s) = U(s, pm(s)) e^M^M^M+J^W^e)/^, ; (g) K+-{z,z'\s) = (9)

ТТ/П = _\__S_B_ ¡sG4i(FcMi{sF)).....,/»(„),,»(„)

K ' 8(гтгя)3/2 siiih(sB)

Здесь />"' и С - компоненты J\f = 2. d = 3 суперсимметричного интерната. £А = {pm.C'v,Ctt}- Двухточечная (функция I(z.z') представляет собой оператор параллельного переноса в Af = 2, d = 3 еуперпроетрапстве, обеспечивающий корректное преобразование теплового ядра при калибровочных преобразованиях. Тепловое ядро (9) содержит также двухточечную функцию pm(z, z'). которая киральна по первому аргументу и антнкиральна по втором}'

р»> = рГ + гСЧ'.'лС', Д',Рт = 0аГ - 0 ■ (Ю)

Функции R(z,z') и E(z, г') в тепловом ядре K+-(z, r'|s) (9) выражаются через компоненты суперсимметричного интервала и напряженностей калибровочного суперполя. Полученные пропагаторы необходимы для дальнейших вычислений петлевых квантовых поправок.

Во второй главе вычисляются двухлетлевые квантовые вклады в эффективное действие в трехмерной Ы — 2 и N — 4 сунерсимметричной электродинамике без слагаемого Черна-Саймопса. Под эффективным действием в этих моделях подразумевается действие типа Гейзенберга-Эйлера для калибровочного суперполя. полученное интегрированием по полям материн в функциональном интеграле. Суперполевое эффективное действие рассматриваемого вида может быть представлено в следующей общей форме:

Г[У] - I (Ыв £<.ff(G, ФФ, И;,. Й/ц; D{a\Vß)). (11)

Здесь эффективный лагранжиан, который зависит от Af = 2 суперполе-

вых напряженностей G, И7а и П^, и кирального суперполя Ф, которое является частью Л/* = 4 калибровочного мультпплета. Случай J\T = 2 суперснмметрни соответствует частному случаю кирального суперполя Ф = т, где т является Л/* = 2 комплексным массовым параметром. Предполагается, что суперполевая напряженность калибровочного мультпплета медленно изменяется в пространстве-времени, так что достаточно рассматривать только первые производные от суперполя Wlt, Nuli = D(aWpy В терминах компонентных полей

действие вида (11) содержит все степени максвелловской напряженности электромагнитного поля F2n.

Классическое действие Ai = 2, d = 3 суперсимметричной электродинамики имеет вид

5л-=2 = d7zG2 — J d1 z (Q+e2VQ+ + Q~e~2VQJ)

- (m j d?z Q+Q- + c.c.^ , (12)

где киральные супсрполя с противоположными по отношению к калибровочному суперполю V зарядами.

Нашей целью является вычисление двухнетлевого вклада в эффективное действие в H = 2 суиерснмметричнон электродинамики (12). Однопетлевон вклад в эффективное действие в данной модели (12) был получен ранее. Напомним, что рассмотрение ведется для случая коварнантно постоянного калибровочного фона (5), удовлетворяющего суперсимметричным уравнениям Максвелла (4). Следовательно, все слагаемые с высшими производными от суперполевых нанряжснностей обращаются в ноль или сводятся к функциям от N„3. Используя точное выражение для тепловых ядер (8) и (9), в диссертационной работе установлено, что двухпетлевой вклад в эффективное действие имеет следующую структуру:

r£L2 = ¿¡1 âz [С, + WaCiJ*We + C,W2W2) , (13)

где функции C\(G, N), C-i{G, N) и Cj(G. N) вычислены и явно представлены в тексте диссертационной работы. Важно отметить, что все функции £1, £2 " £3 не содержат ультрафиолетовых расходимостей.

С использованием двухнетлевого эффективного действия (13), вычислены двухпетлевые квантовые поправки к метрике пространства модулей для трехмерной Л/' = 2 сунерспмметричной абелевой калибровочной теории. Пространство модулей в J\f = 2. d = 3 суперсиммстричных калибровочных теориях является кэлеровым многообразием. В рассматриваемом нами случае его вещественная размерность равна двум. Поэтому, оно может быть параметризовано двумя вещественными координатами г и а. Координату г естественно отождествить с вакуумным значением скалярного поля ф, входящего в M = 2, d = 3 калибровочный мультнплет, г = (ф). Второй скаляр а возникает при дуализа-ции абелева векторного поля А„„

dma ex £„lnvFnp , (14)

где Fmn - максвелловская напряженность поля Ат. Координату а можно связать с вакуумом этого скаляра, а = (а). Во второй главе получена метрика на

пространстве модулей этих полей, которая будет параметризована координатами г и а,

= дтг(г, а)<1г2 + даа{г, а)йа2. (15)

Для нахождения двухпетлевых вкладов в (15) необходимо вычислить эффективное действие (13) в пределе N —>■ 0. Показано, что двухпетлевая метрика имеет вид

<1з2 = \д(т)йг2 + , д(г) = дт(г) + д^\г) + д™(г) (16)

Функции , и д№ представляют собой вклады от классического действия, одно- и двухпетлевых поправок, соответственно. Явный вид функций д^ , д^ и дследующий

0<°>(г) = — = — 1 дЮ(г)=— г2~ш2 (17)

9 е,, 9 V) 4ж^г2+т2 9 ^ 8я3(г2+т2)2- У1''

Ранее в метрике пространства модулей для трехмерной N = 2 суперсимметричной электродинамики были известны только вклады д® и д^К В диссертационной работе были впервые установлены двухпетлевые вклады дМ в рассматриваемую метрику.

Классическое действие N — 4 су перси мметрнч нон электродинамики записывается в терминах N — 2 суперполей в виде

= ~ I ¿2(С2 - ±ФФ) - I (д+е2^+ + <Э_е-2,'<2_) (18) - У Ф<Э- + J Ф<?_ .

Действие (18) явно М = 2 сунерсимметрично н, кроме того, оно инвариантно относительно преобразований "скрытой'' .V = 2 суперспмметрип. Л/" = 4 калибровочный мультнплст состоит из пары Л/* = 2 суперполей (V, Ф). Однопетле-вая поправка в эффективном действии трехмерной N = 4 суперсимметричной электродинамике (18) была получена ранее в работах других авторов. Двух-нетлевой вклад в эффективное действие вычислен в диссертационной работе с использованием тепловых ядер (8) и (9). Полученный результат записывается в виде

г(2>

И'2\¥2С4 + Ы21У2^£5

(19)

Явный вид функций £4(0, АА) и £5((7, А") также был найден н представлен в тексте диссертации. Заметим, что в выражении (19) все двухпетлевые вклады в эффективное действие содержат выражение IV2IV2. но отсутствуют слагаемые зависящие только от суперполей С. По этой причине, в трехмерной N = 4

суперсимметричной электродинамике отсутствуют двухпетлевые вклады в метрику пространства модулей скалярных полей.

В третьей главе исследуется низкоэнергетическое эффективное действие в трехмерной абелевой N = 2 суперсимметричной калибровочной теории, описывающей взаимодействие поля Черна-Саймонса с матерней

J¿гУв-1а1 г (д+е2,/д+ + д_е-2Кд_)

J </5.г <?+<?- + с.с.^ . (20)

к_ 2тг

Пропагаторьт полей материи в модели (20) имеют аналогичный вид, что и в модели (12), и выражаются через тепловые ядра (8) и (9). Однако, пропага-тор калибровочного суперполя у отличается от проиагатора. в модели (12) и определяется выражением

- } - ¥ ^^ + 2а □ ) 6 ^2 ]' (21)

Здесь а - параметр фиксации калибровки, для которого не фиксируется конкретные значения для сохранения возможности контроля зависимости получаемых результатов от выбора калибровки. В работе показано, что часть оператора (21), зависящая от параметра а, не даст вклад в эффективное действие с учетом наших ограничений (4) и (о) па калибровочное суперполе V.

Однометлевой вклад в эффективное действие в модели (20) был получен ранее и полностью совпадает с однонетлевым вкладом в трехмерной ЛГ = 2 электродинамике с максвелловским кинетическим членом (12). В связи с этим, представляет интерес задача о вычислении двухпетлевого эффективного действия для трехмерной N = 2 суперсимметричной электродинамики с кинетическим членом Черна-Саймонса. В диссертационной работе показано, что с точностью до слагаемых с четырьмя пространственно временными производными, двухпетлевой вклад в эффективное действие модели (20) записывается в виде

256ттк У (С2 + т2)3 К '

Отмстим, что ведущие вклады в двухпетлевое эффективное действие не содержат ультрафиолетовых расходимоетей.

В четвертой главе рассматривается общая трехмерная N = 2 суперсимметричная модель с одним киральным суперполем Ф, которая описывается следующим действием

= - J (13х<140 К(Ф, Ф) - <Рх(?0 И'(Ф) + с.с^

(23)

Здесь К{Ф, Ф) - кэлеров потенциал и И7(Ф) - киральный потенциал. Случай сигма-модели соответствует Ш = 0. Мы сохраним киральный потенциал произвольным для общности рассмотрения. Другой частный случай

Кш = ФФ, Щп = ?ф2 + + 1гф4' (24)

2 о 24

соответствует классическому действию N = 2 трехмерной модели Весса-Зумпно.

Целью четвертой главы является нахождение локальной части эффективного действия в модели (23), которая описывается эффективным кэлеровым и кнральными потенциалами

Г = - / йях(14в Ке«(Ф, Ф) - ( / еРхсРв 1Кг5(Ф) + с.с. . (25)

В соответствии с петлевым разложением эффективного действия, эффективный кэлеров потенциал может быть представлен в виде

КсК = К + Кт + К[2) + ... ? (26)

где К представляет собой классический кэлеров потенциал, а А''1' н К^2> соответствуют одно- и двух-петлевым вкладам. Многоточие в этом выражение подразумевает наличие квантовых вкладов от высших петель, которые не учитываются в рамках данного рассмотрения.

Показано, что однопетлевой вклад в эффективный кэлеров потенциал определяется производными от классических кэлерова и кнралыгого потенциалов и имеет следующий вид

= = (27)

фф

Однопетлевой эффективный потенциал (27) конечен, поскольку в трехмерных теориях поля ультрафиолетовые расходимости (в рамках размерной регуляризации) могут возникать только в четных петлях. Двухпетлевой кэлеров потенциал содержит ультрафиолетовые расходимости, он найден в виде

К® = к^ + к^, (28)

1

=

(ки У

64тг2е _

(Щ5

192^(^)3

=

32тг2

1,. , М2, К^'Г- ~ 3(К'^2\У'ЧУ" + с.с.)

М2 ' (Щ4

, м , , з(30)

Параметр /г2 в этом выражении представляет собой произвольный массовый масштаб, б - параметр размерной регуляризации (е —> 0), а 7 - константа Эйлера.

Квантовые вклады в эффективный киральный потенциал И7,,^ возможны благодаря тождеству

У сЫв/(Ф) 5(Ф) = У МвПФ)д(Ф). (31)

Как видно из (31) слагаемые, дающие вклад в 11^-, могут появиться только в безмассовом случае. Учитывая, что только тс диаграммы Фейнмана дают вклад в эффективный киральный потенциал, которые в локальном пределе являются конечными и для которых этот предел является единственным, показано, что в обшей трехмерной N = 2 суиерсимметричной модели кнрального суперполя квантовая поправка в эффективный киральный потенциал имеет вид

С2) 1 (32) РП 512 (КЬУ • (32)

В диссертации также рассмотрен частный случаи действия (24), который соответствует трехмерной модели Весса-Зумшю. В этом случае, с использованием общих результатов (27) и (30), было показано, что двухпетлевой эффективный кэлеров потенциал имеет вид

= -^--^ывр.) . (33)

V 8тг 192 к2 96тг-' 2ц ) v '

а эффективный киральный потенциал водится к выражению (32)

\у » =__С34)

24 2048 '

Отметим, что он конечен так же как и в четырехмерном случае.

Заключение содержит список основных результатов, полученных в диссертационной работе.

1. Развит N = 2 суперсимметричный калибровочно-ковариантный подход для изучения низкоэнергетического эффективного действия в трехмерных суперсимметричных калибровочных теориях за пределами од-нопетлевого приближения. Введен оператор параллельного переноса калибровочно-ковариантных объектов в А/ = 2, (1 = 3 суперпространстве и изучены его основные свойства. Получены точные выражения для про-пагаторов киральных суперполсй, зависящих от ковариаитно постоянного фонового векторного мультнплета.

2. Вычислено двухпстлевос низкоэнергетическое эффективное действие типа Гсйчсиберга-Эйлера в трехмерных Л/" = 2 и N = 4 суперсимметрнчных моделях квантовой электродинамики. Показано, что полученные эффективные действия содержат ряд слагаемых, не имеющих аналогов в четырехмерных теориях. В частности, в N = 2 электродинамике вычислены двухпетлевыс вклады в эффективное действие и показано, что эти вклады отвечают за новые члены в метрике пространства модулей скалярных полей теории. Для N = 4 еунереимметричной модели квантовой электродинамики доказано отсутствие двухпетлевых квантовых поправок к метрике пространства модулей скалярных полей.

3. Построено двухпетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в трехмерной N = 2 суперснмметрпчной абелевой калибровочной теории ноля Черна-Саймонса, взаимодействующего с сунерполямп материи, с точностью до вкладов четвертого порядка по пространственно-временным производным от компонентных полей. Показано, что полученное двухпетлевое эффективное действие не зависит от параметров фиксации калибровки п не содержит ультрафиолетовых расходимостей.

4. Получены выражения для двухпетлевого эффективного кэлерова и ки-рального потенциалов в трехмерной модели общего N = 2 кпрального суперполя. Установлено, что нетривиальные вклады в эффективный ки-ральиый потенциал в данной модели возможны, как и для аналогичной четырехмерной модели, только в безмассовом случае. Доказано, что эффективный киральный потенциал не содержит квантовых расходимостей, что полностью согласуется с теоремой о неперенормируемости. В частном случае, для трехмерной ]\[ — 2 суперсимметричной модели Весса-Зумино, найдены двухпетлевые квантовые ноправкн к скалярному потенциалу.

Публикации автора по теме диссертации

1. Buchbinder I.L., Merzlikin В.S., Samsonov I.В. Two-loop low-energy effective action in Abelian supersymmetric Chern-Simons matter models // Nuclear Physics B. 2014. - Vol. 881. - P. 42-70. - 1,81/0,60 тт.л.

2. Buchbinder I.L., Merzlikin B.S., Samsonov I.B. Two-loop low-energy effective actions in TV = 2 and N = 4 three-dimensional SQED // Journal of High Energy Physics. 2013. - Vol. 07. - No. 012. - P. 1-32. - 2,00/0,67 п.л.

3. Buchbinder I.L., Merzlikin B.S., Samsonov I.B. Two-loop effective potentials in general X--2, d—3 chiral superfield model // Nuclear Physics B. 2012. -Vol. 860. - P. 87-114. - 1,7-5/0,58 п.л.

4. Merzlikin B.S., Samsonov I.B. Two-loop effective action in three-dimensional Wess-Zumino model // Gravitation and Cosmology. 2012.— Vol. 18. — No. 1.

- P. 84-87. - 0,25/0,12 п.л.

5. Merzlikin B.S. One-loop effective action in three-dimensional general chiral superfield model // Physics of Particles and Nuclei. 2012. - Vol. 43. - No. 5.

- P. 714-716. - 0,18/0,18 п.л.

G. Buchbinder I.L., Merzlikin B.S., Samsonov I.B. On low-energy effective action in three-dimensional A/" = 2 and AT = 4 supersymmetric electrodynamics // Journal of Physics: Conference Series. 2013. - Vol. 474. - No. 012012. - P. 1-11. - 0,68/0,22 п.л.

Отпечатано в «Томском ЦНТИ» Россия, г. Томск, пр. Фрунзе,115/3. Тел.: 44-40-50 Заказ №346. Тираж ЮОэкз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный педагогический университет»

04201460158

У

На правах рукописи

а '

Мерзликин Борис Сергеевич

ДВУХПЕТЛЕВОЕ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В ТРЕХМЕРНЫХ ПОЛЕВЫХ ТЕОРИЯХ С РАСШИРЕННОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ

01.04.02 - Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Бухбиндер И.Л.

Томск - 2014

Содержание.

Введение 4

1 Тепловые ядра пропагаторов в N = 2, б/ = 3 суперпространстве 13

1.1 N — 2) с1 — 3 сунерпространство..................13

1.2 Калибровочная тория в Л/* = 2, (I = 3 суперпространстве .... 14

1.3 Пропагатор параллельного переноса в N = 2, в, = 3 суперпространстве ...............................16

1.4 Функция Грина вещественного суперполя и ее тепловое ядро . . 20

1.5 Функция Грина (?+(£, г') и ее тепловое ядро...........22

1.6 Функция Грина г') и ее тепловое ядро...........24

1.7 Тепловые ядра и К+-(г, г'\з) при совпадающих грас-смановых переменных........................27

2 Низкоэнергетическое эффективное действие в трехмерной N — 2 и N = 4 суперсимметричной электродинамике 31

2.1 Предварительные замечания....................31

2.2 Классическое действие N — 2 суперсимметричной электродинамики и метод фонового поля...................32

2.3 Петлевое разложение и общая структура эффективного действия 34

2.4 Двухпетлевое эффективное действие в модели N = 2 суперсимметричной электродинамики..................36

2.5 Двухпетлевые вклады в метрику пространства модулей.....40

2.6 Классическое действие и структура двухпетлевого эффективного действия N — 4 суперсимметричной электродинамики ... 44

2.7 Двухпетлевое эффективное действие в модели N = 4 суперсимметричной электродинамики..................46

3 Ведущие двухпетлевые вклады в эффективное действие трехмерной электродинамики Черна-Саймонса 49

3.1 Предварительные замечания....................49

3.2 Классическое действие и структура эффективного действия . . 50

3.3 Двухпетлевое эффективное действие................52

3.3.1 Независимость двухпетлевого эффективного действия

от параметра фиксации калибровки............53

3.3.2 Двухпетлевая диаграмма типа А..............54

3.3.3 Двухпетлевая диаграмма типа В..............58

3.3.4 Результаты двухпетлевых вычислений...........60

4 Двухпетлевые эффективные потенциалы в общей модели

Л/* = 2, с1 = 3 кирального суперполя 61

4.1 Предварительные замечания....................61

4.2 Эффективный кэлеров потенциал.................62

4.2.1 Однопетлевые вклады....................62

4.2.2 Двухпетлевые вклады....................65

4.2.3 Вычисление двухпетлевого эффективного кэлерова потенциала ............................67

4.3 Эффективный киральный потенциал ...............71

4.3.1 Общие свойства........................71

4.3.2 Анализ возможных фейнмановских диаграмм, дающих вклад в киральный эффективный потенциал.......72

4.3.3 Детали двухпетлевых вычислений

эффективного кирального потенциала...........80

4.3.4 Импульсные интегралы...................86

4.3.5 Результаты вычислений двухпетлевого эффективного кирального потенциала...................90

4.4 Эффективный потенциал в трехмерной модели Весса-Зумино . 91

Заключение 93

Список литературы 95

Введение

Исследования в области суперсимметричной теории поля играют важную роль в современной теоретической физике высоких энергий (см. напр. монографии [1, 2]). Суперсимметрия в теории поля представляет собой расширение группы Пуанкаре, обеспечивающее объединение бозонов и фер-мионов (см. монографии [1-3]). Такие нетривиальные расширения группы пространственно-временных преобразований были предложены в пионерских работах Гольфанда и Лихтмана [4], а также Волкова и Акулова [5] и получили дальнейшее развитие в работах многих авторов. В частности, хорошо известно суперсимметричное обобщение Стандартной Модели (см., напр., [6]), в рамках которого устраняются некоторые недостатки обычной Стандартной Модели (см., напр., [7-11]), такие как проблема иерархии, проблема времени жизни протона и проблема строгого пересечения бегущих констант связи. Хотя проявлений суперсимметрии в экспериментах пока не удалось обнаружить, экспериментальные исследования суперсимметрии в физике элементарных частиц содержатся в плане работ на Большом Адронном Коллайдере (см., напр., работы [12-18]).

Проблема унификации фундаментальных взаимодействий, включая описание гравитации на квантовом уровне, определяет центральное направление развития теоретической физики высоких энергий. В настоящее время объединение квантовой механики с гравитацией наиболее элегантно и последовательно реализовано в рамках теории суперструн (см.,напр., монографию [19] и обзоры [20,21]). Примечательно, что суперсимметрия в этой модели является неотъемлемым элементом и необходима для ее внутренней согласованности.

Современное развитие теории струн приводит к так называемой М-теории [22], которая, в принципе, должна объединять различные известные струнные модели. В настоящее время нет последовательной однозначной формулировки этой теории, но известно, что в низкоэнергетическом пределе она описывается одиннадцатимерной супергравитацией [23]. Одшшадцатимерная супергравитация допускает два вида ВРБ-решений [23], сохраняющих половину су-персимметрий теории, а именно, М2 и М5 браны. Оба этих решения являются такими же фундаментальными объектами в М-теории, как и элементарные

частицы в теории поля или струны в теории струн. Поэтому, М-теоршо можно понимать как модель, описывающую динамику взаимодействующих М2 и М5 бран. Построение такой теории является открытой актуальной задачей в теоретической физики высоких энергий.

Напомним, что М2-брана — это некоторая мембрана в одиннадцатимерном пространстве, мировой объем которой можно интерпретировать как трехмерное пространство Минковского. Следовательно, в статической калибровке, М2 браиа может описываться трехмерной квантовой теорией поля, содержащей восемь скалярных и восемь спинорных степеней свободы на массовой оболочке, причем, взаимодействие этих полей должно иметь специальный вид, такой, чтобы модель обладала максимальной суперсимметрией, т.е., Л/" = 8 суперсимметрией. Как объясняется в известной работе Дж. Шварца [24], взаимодействие между разными М2 бранами в данной формулировке может описываться полями вида Черна-Саймонса, а не Янга-Мнллса, поскольку добавление последних нарушило бы баланс бозонных и фермионных степеней свободы. Лагранжиан такой трехмерной модели квантовой теории поля вида Черна-Саймонса с полями материи, обладающий А/" = 8 суперсимметрией был построен около пяти лет назад в работах Баггера и Ламберта [25-28], а также Густавссона [29,30]. Такую теорию в настоящее время принято называть моделью Баггера-Ламберта-Густавссона, сокращенно БЛГ.

Уникальной особенность модели БЛГ является использование новой математической конструкции, известной как 3-агебра, в качестве алгебры калибровочной симметрии теории. Такая 3-алгебра является частным случаем п-алгебры Филиппова [31]. Она является в некотором смысле обобщением обычной алгебры Ли, в которой операция умножения определяется скобкой, вовлекающей три, а не два элемента пространства. Это послужило толчком для исследований математических аспектов данной конструкции, см., напр., [32-34]. Однако было замечено [35], что, применительно к модели взаимодействующих М2-бран, такая алгебраическая конструкция не является необходимой, и она может быть выражена в одном из частных случаев через обычную алгебру Ли, соответствующую калибровочной группе 311(2) х 5С/(2). Следовательно, модель БЛГ описывает низкоэнергетические степени свободы двух М2 бран.

Важным достижением теории струи последних пятнадцати лет являет-

ся открытие соответствия между суперсимметричной конформной теорией поля и теорией суперструн для случая специальной фоновой геометрии [36-38]. Первым и наиболее изученным примером является соответствие десятимерной ПВ-теории замкнутых суперструн, имеющей фоновую геометрию А(13ь х 55, и четырехмерной М = 4 суперсимметричной теории Япга-Миллса с калибровочной группой 8и{Щ. N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса представляет собой (супер) конформную теорию поля, в которой отсутствуют ультрофиалетовые расходимости, что делает эту теорию весьма удобной для изучения. Подразумевается также, что калибровочная теория |,живет"в плоском четырехмерном пространстве-времени, которое является границей пятимерного пространства анти-де Ситтера. Эта связь калибровочной теории с теорией суперструн получила название АдС/КТП соответствие (см., напр., [39,40]).

Хорошо известно, что АдС/КТП соответствие применимо для суперкон-формых калибровочных моделей теории поля в пределе, когда ранг калбиро-вочной группы стремится к бесконечности (см. обзоры [39-41]). Поэтому, для исследования аспектов АДС4/КТП3 соответствия требовалось обобщение модели БЛГ на случай калибровочной группы произвольного ранга. Такое обобщение было построено в работе Аарони, Бергмана, Жафериса и Малдасены (АБЖМ) [42] ценой снижения суперсимметрии до N = 6. С точки зрения теории поля, данная модель представляет собой модель Черна-Саймонса с калибровочной группой Зи(п) х Зи(п), которая содержит также необходимое число скалярных и спинорных полей в бифундаметельном представлении калибровочной группы. Взаимодействие имеет специальный вид, при котором достигается N — 6 суперсимметрия. В рамках АдС/КТП соответствия данная модель дуальна НА суперструне на фоне геометрии АйБ^, х СР3. Построение именно этой модели открыло широкие возможности для исследования различных аспектов АДС4/КТП3 соответствия (см. [43] в качестве обзора). В частности, корреляционные функции составных операторов в АБЖМ модели, отвечающих сохраняющимся величинам ПА суперструиы изучались в работах [44-48], а основные свойства амплитуд рассеяния были исследованы в [49-52].

Изучение структуры низкоэнергетического эффективного действия в моделях типа АБЖМ и БЛГ сталкивается с рядом трудностей. Одна из основ-

пых проблем в определении эффективного действия в теории АБЖМ связана с разделения тяжелых и легких степеней свободы в окрестности вакуума скалярных полей. В самом деле, было показано [53-58], что механизм Хиггса для таких моделей отличается от стандартного, широко применяемого в моделях суперполей Янга-Миллса, взаимодействующих с полями материи. В результате, сама по себе задача об эффективном действии для легких полей в моделях АБЖМ и БЛГ требует переосмысления. Однако важность изучения такого низкоэнергетического эффективного действия была особенно подчеркнута в недавней работе Шварца [59], в которой обсуждалась связь эффективного действия для АБЖМ модели с динамикой М2 бран. Это требует разработки специальных методов вычисления квантовых поправок к низкоэнергетическим эффективным действиям в различных суперсимметричных трехмерных калибровочных теориях.

Изучение низкоэпергетической квантовой динамики представляет собой одну из центральных задач квантовой теории поля. Основным объектом, в терминах которого формулируется рассматриваемая проблема, является эффективное действие. Важность изучения эффективной динамики в трехмерных теориях с расширенной суперсимметрией уже отмечалась выше [59]. Метод фонового поля представляет [1] собой основной способ изучения эффективного действия. В рамках этого подхода удается в ряде случаев получить низкоэнергетическое эффективное действие в виде суммы классического действия и квантовых поправок к нему. Р1зучение петлевых квантовых поправок удобно проводить с помощью метода собственного времени Швингера-ДеВитта [60] или его обобщения [61-63]. Использование описанных выше методов обеспечивает калибровочную инвариантность полученного эффективного действия на каждом этапе вычислений. В суперсимметричных теориях подход суперпространства [1,2] позволяет сформулировать теорию в терминах суперполей, что обеспечивает явную суперсимметрию в квантовых вычислениях, и, на ряду с методом фонового поля, является основным методом изучения низкоэнергетического эффективного действия.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке методов многопетлевых квантовых вычислений в N — 2, с1 = 3 суперпространстве и их применению для исследования структуры низкоэнергетических эффективных действий различных трехмерных моделей теории поля с расширенной

суперсимметрией. В частности, рассматриваются модели трехмерной электродинамики сЛ/* = 2иЛ/" = 4 суперсимметрией, трехмерные абелевы модели суперполя Черна-Саймонса с материей, обладающие ЛГ = 2 суперсимметрией, а также общая модель кирального J\f = 2 суперполя без калибровочных полей. Полученные двухпетлевые квантовые вклады в низкоэнергетические эффективные действия этих теорий не имеют непосредственного применения к моделям типа БЛГ и АБЖМ, но представляют широкий интерес сами по себе, в свете современных исследований свойств суперсимметричных моделей теории поля. Далее, обсудим основные особенности этих моделей.

Трехмерные N = 2 и N = 4 суперсимметричные модели теории поля Янга-Миллса и Черна-Саймонса обладают рядом замечательных свойств в классической и квантовой областях, такими как зеркальная симметрия [64-69] и дуальности Зайберга [68-74]. Значительная часть информации о квантовой динамике содержится в структуре пространства модулей, которое отражает как пертурбативные, так и непертурбатнвные эффекты. Пертурба-тивные квантовые вклады в метрику пространства модулей для трехмерной N = 2 суперсимметричной электродинамики были известны лишь с точностью до первого порядка по постоянной Планка [68,75]. Однако квантовые поправки от высших петель также представляют интерес и заслуживают детального исследования. Это мотивирует изучение многопетлевых квантовых вкладов в низкоэнергетическое эффективное действие в трехмерных суперсимметричных калибровочных теориях [78-80]. В работе [81] было вычислено двухпетлевое эффективное действие в трехмерной N = 2 и J\f = 4 суперсимметричной электродинамике без топологического слагаемого Черна-Саймонса. Классические действия этих моделей возникают в результате размерной редукции соответствующих четырехмерных N = 1 и N — 2 моделей. Двухпетлевое эффективное действие Гейзенберга-Эйлера в четырехмерных сунерсимметричных моделях было получено ранее в работах [82, 83] с использованием техники ковариантных пертурбативных многопетлевых вычислений в N = 1, d = 4 суперпространстве [84]. Привлекательная особенность данного метода состоит в его универсальности, общности и возможности явного сохранения суперсимметрии и калибровочной инвариантности на каждом этапе вычисления. В нашей работе [81] рассматривается расширение описанной выше техники на случай трехмерного Л/* = 2 суперпростран-

ства. В частности, найдены точные выражения для проиагаторов киральных суперполей, зависящих от медленно меняющегося фонового калибровочного суперполя. Полученные выражения для пропагаторов применяются для вычисления двухпетлевого эффективного действия в трехмерной N = 2 \\ N = 4 суперсимметричной электродинамике. Как было показано [81,85], эффективное действие представляет собой функционал от напряженностей калибровочного суперполя и содержит ряд слагаемых не имеющих аналогов в четырехмерном случае, но играющих важную роль в низкоэнергетической динамике этих моделей.

Опираясь на результаты, полученные в [81], в работе [86] было вычислено двухпетлевое эффективное действие трехмерной N = 2 суперсимметричной абелевой теории поля Черна-Саймонса, взаимодействующего с материей. Низкоэнергетическое эффективное действие для указанной теории вычислено с точностью до слагаемых четвертой степени по пространственно-временным производным. Стоит отметить, что полученное эффективное действие не зависит от калибровочного параметра [86] и не содержит ультрафиолетовых расходимостей. Развитые методы и полученные результаты будут полезны при вычислении эффективного действия в моделях типа БЛГ и АБ-ЖМ.

Поля Черна-Саймонса в классическом действии модели АБЖМ делают описание М2 бран очень элегантным, поскольку суперсимметрия, II-симметрии и конформная инвариантность явно прослеживаются [87,88]. Тем не менее, эти поля могут быть, в принципе, устранены путем фиксации калибровочной симметрии. После того как калибровочная симметрия фиксирована, остается только трехмерная нелинейная суперсимметричная сигма-модель, в которой симметрии М2 бран становятся неявными. Квантовые аспекты такой сигма-модели (в частности, низкоэнергетическое эффективное действие) могут быть исследованы с помощью стандартных методов квантовой теории поля. "Учитывая эти мотивации, интерес представляют также исследования низкоэнергетического эффективного действия Л/' = 2, = 3 суперсимметричных сигма-моделей. Ограничиваясь случае�