Эффективная классическая и квантовая динамика в полевых теориях с расширенной суперсимметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СсЬхлсо^об

005053585

Самсонов Игорь Борисович

Эффективная классическая и квантовая динамика в полевых теориях с расширенной суперсимметрией

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

18 ОКТ 2012

005053585

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, професо Бухбиндер Иосиф Львович

Кривонос Сергей Олегович, доктор физико-математических наук, Объединенный институт ядерных исследовани ведущий научный сотрудник лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова

Лавров Петр Михайлович, доктор физико-математических наук, професс Томский государственный педагогический университет,

заведующий кафедрой математического анали

Цейтлин Аркадий Александрович, доктор физйко-математических наук, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, ведущий научный сотрудник

Физический факультет Московского госуд ственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 27 декабря 2012 г. в 14 часов 30 мин. на заседании диссерта онного совета Д 212.267.07 в ФГБОУ ВПО «Национальный исследователь« Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, прост Лента, 36, аудитория 119.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО «] циональпый исследовательский Томский государственный университет» по ресу: г. Томск, проспект Ленина, 34а.

Автореферат разослан 04 сентября 2012 г.

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационпого совета

Ивонин

Иван Варфоломеевич

На правах рукописи

Ох^ос^об

Самсонов Игорь Борисович

Эффективная классическая и квантовая динамика в полевых теориях с расширенной суперсимметрией

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, професс Бухбиндер Иосиф Львович

Кривонос Сергей Олегович, доктор физико-математических наук, Объединенный институт ядерных исследовани ведущий научный сотрудник лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова

Лавров Петр Михайлович, доктор физико-математических наук, професс Томский государственный педагогический университет,

заведующий кафедрой математического анали

Цейтлин Аркадий Александрович, доктор физйко-математических наук, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, ведущий научный сотрудник

Физический факультет Московского госуд ственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 27 декабря 2012 г. в 14 часов 30 мин. на заседании диссерта онного совета Д 212.267.07 в ФГБОУ ВПО «Национальный исследователь« Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, проста Ленина, 36, аудитория 119.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО «'. циональный исследовательский Томский государственный университет» по ресу: г. Томск, проспект Ленина, 34а.

Автореферат разослан 04 сентября 2012 г.

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета

Ивонин

Иван Варфоломеевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Эффективное действие, включающее в себя квантовые поправки к классическому действию, является одним из центральных объектов квантовой теории поля и несет в себе информацию о пертурбативных и непертурбативных квантовых аспектах полевых моделей. Проблема построения эффективного действия тесно связана с такими фундаментальными проблемам квантовой теории поля как проблема нахождения функций Грина, проблема устранения расходимостей, проблема квантовых аномалий, проблема нахождения амплитуд квантовых процессов, проблема динамического нарушения симметрии и ряд других проблем. Особое значение проблема эффективного действия занимает в полевых моделях, обладающих глобальными или локальными симметриями, где необходимо развить методы исследования эффективного действия, согласованные с симметриями.

В общем случае эффективное действие является нелокальным функционалом полей и для его вычисления требуются специальные методы, подходы и приближения. В последнее время значительное внимание привлекает проблема нахождения низкоэнергетического эффективного действия, которое должно описывать динамику легких частиц с учетом квантовых вкладов от виртуальных тяжелых частиц. Низкоэнергетическое эффективное действие оказывается полезным для изучения феноменологических аспектов квантовой теории поля, а также для описания квантовой гравитации и связей между теорией суперструн и квантовой теорией поля.

Низкоэнергетическое эффективное действие в суперсимметричных полевых теориях обладает многими замечательными свойствами, обусловленными сильными ограничениями, накладываемыми суперсимметрией на классическую и квантовую динамику. В силу этого некоторые вклады в эффективное действие можно найти только па основе симметрии с точностью до численных коэффициентов. Хорошо известным примером является теория Сайберга-

Виттена, которая на классическом уровне описывается Л/" = 2 суперполом Янга-Миллса. В этой модели были точно вычислены все инстантонные вклады, ответственные за конфайнмент N = 2 суперсимметричных "кварков".

Особый интерес представляет задача о вычислении низкоэнергетических эффективных действий для теорий поля с максимально расширенной суперсимметрией поскольку они напрямую связаны с моделями Б-бран и М-бран в теории суперструн. Например, суперсимметричные теории поля Янга-Миллса с максимальной суперсимметрией в пространстве Минковского размерности 2 < й < 10 описывают низкоэнергетические степени свободы Бр-бран при р = (1 — 1. Относительно недавно была построена трехмерная N = 8 суперсимметричная и суперконформаня теория поля Черна-Саймонса с материей, которая связана с динамикой М2-бран. А построение шестимерной суперконформной теории поля, которая бы описывала систему взаимодействующих М5 бран по-прежнему остается открытым вопросом в теории поля. Все эти модели обладают богатыми симметриями, приводящими к жестким ограничениям на вид эффективных действий и в ряде случаев некоторые вклады в такие эффективные действия могут быть найдены точно.

Наиболее хорошо изученным примером является N = 4 су-персимметричпая теория поля Янга-Миллса, которая описывает низкоэнергетическую динамику БЗ брал. Для этой модели точно доказано, что Д-функция равна нулю во всех порядках теории возмущений и она остается суперконформной на квантовом уровне. В работах Дайна и Сайберга 1997 года было показано, что суперсимметрия приводит к ряду сокращений в низкоэнергетическом эффективном действии и ведущие слагаемые по числу производных описываются одним неголоморфным потенциалом в секторе полей N = 2 векторного мультиплета. Используя масштабную симметрию, не нарушенную па квантовом уровне, легко показать, что такой неголоморфный потенциал имеет простой вид, Я ос 1п IV 1п IV, где IV и \¥ - N = 2 суперполевые напряженности. Позднее, в ра-

ботах Бухбшщера и Иванова 2002 года было построено дополнение такого неголоморфного потенциала с помощью суперполей гипер-мультиплетов, обеспечивающее полную N = 4 суперсимметрию.

С точки зрения Б-бран, низкоэнергетичесоке эффективное действие N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса должно описывать динамику пробной БЗ браиы, движущейся на фоне большого числа совпадающих ВЗ бран, которые эффективно создают фоновую геометрию вида А<1Бь х55. В теории струн известно, что динамика БЗ браны на таком фоне описывается действием вида Дирака-Борна-Инфельда, обладающим N — 4 суперсимметрией. Ведущие слагаемые в этом действии по числу производных полей можно точно связать с известными вкладами в эффективное действие ЛГ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Такая связь между низкоэнергетическим эффективным действием N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Милл-са и действием пробной БЗ браны является одним из проявлений АсЮ/СРТ-соответствия. Для изучения примеров таких соответствий с другими моделями Б-бран или М-бран требуются исследования эффективных действий максимально суперсимметричных теорий поля в пространствах Минковского других размерностей.

Наиболее удобные, для целей квантовой теории поля формулировки суперсимметричных полевых моделей осуществляются в терминах суперпространств и суперполей. Описанный выше пример неголоморфного потенциала вЯ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса показывает, что использование N = 2 суперполей существенно упрощает задачу нахождения низкоэнергетического эффективного действия. Одной из основных целей настоящей диссертации является развитие различных суперполевых методов для исследования эффективных действий в суперсимметричных теориях с расширенной суперсимметрией и, в частности, для моделей, изучаемых в рамках АсК/СГТ соответствия.

Для четырехмерных калибровочных теорий мы строим ряд новых суперпространств с гармоническими переменными, в которых эффективные действия приобретают наиболее простой вид.

Для трехмерных теорий поля мы.развиваем методы пертурбатив-ных вычислений в N = 2 суперпространстве без использования гармонических переменных. Такие задачи имеют высокую актуальность в настоящее время, поскольку именно применение различных суперпростралственных подходов активно практикуется при исследования суперсимметричных вильсоновских петель и амплитуд рассеяния в трехмерных и четырехмерных суперсимметричных калибровочных теориях. В данной диссертации развиваются суперполевые подходы для исследования низкоэнергетических эффективных действий таких теорий.

Цели и задачи исследования

1. Построение лагранжианов моделей суперчастиц в N = 3 и N = 4 гармонических суперпространствах. Квантование этих моделей и классификация получающихся мультиплетов в данных гармонических суперпространствах.

2. Построение низкоэнергетических эффективных действий N = 3 и N = 4 суперсимметричных теорий поля Янга-Миллса в гармонических суперпространствах.

3. Развитие методов вычисления низкоэнергетических эффективных действий различных трехмерных теорий поля в N = 2 суперпрострапстве.

4. Исследование свойств перепормируемости и структуры низкоэнергетического эффективного действия четырехмерных моделей гипермультиплета и калибровочного суперполя при наличии синглетных неантикоммутативных деформаций суперсимметрии.

5. Развитие новой лагранжевой формулировки для модели само-дуалыюго антисимметричного тензорного поля в шестимерном пространстве Минковского и изучение связи такой формулировки с моделью М5 браны в теории суперструн.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Построены лагранжиан и гамильтониан для модели релятивистской суперчастицы в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве. Проведено первичное квантование модели с учетом имеющихся связей. Показано, что квантование приводит к суперполевым реализациям в N = 3 гармоническом суперпространстве для калибровочного мультиплета, мультиплета гравитино и массивного векторного мультиплета на массовой оболочке.

2. Введено новое N = 4 гармоническое суперпространство, основанное на и8р(4)-гармонических переменных. Построены лагранжиан и гамильтониан модели супсрчастицы в таком суперпространстве и проанализированы имеющиеся связи. В результате квантования такой модели суперчастицы получены суперполевые уравнения движения и связи для калибровочного мультиплета, мультиплета гравитино и супергравитации а также для массивного векторного мультиплета в и8р(4)-гармоническом суперпрострапстве.

3. Изучены решения связей ЛГ = 4 суперсимметричной теории поля Яыга-Миллса в ЛГ = 4 гармонических суперпространствах с иБр(4) и Эи(2) хЗи(2) гармоническими переменными. Показано, что для этих суперпространств существуют незаряженные суперполевые напряженности. С использованием таких суперполей построено низкоэнергетическое эффективное действие N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Милл-са и исследована его компонентная структура.

4. Изучены симметрии члена Весса-Зумино-Виттена для скалярных полей в четырехмерном пространстве. Показано, что действие Весса-Зумино-Виттена может быть записано в одном из трех видов, каждый из которых обладает явной симметрией относительно одной из максимальных неаномальных подгрупп группы 3X1(4), т.е., БО(5), Б0(4) хБО(2) либо

Э0(3) х80(3). Установлена взаимосвязь между этими тремя видами члена Весса-Зумино-Виттена и формулировками низкоэнергетического эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в различных гармонических суперпространствах.

5. Получено низкоэнергетическое эффективное действие N = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в А/ = 3 гармоническом суперпространстве в виде локального функционала, зависящего от суперполевых напряженностей и вакуумных средних для скаляров. Доказано, что эффективный лагранжиан является суперконфомно-инвариантным и не зависит от значений вакуумных средних скалярных полей. Исследована компонентная структура полученного эффективного действия и показано, что в бозопном секторе оно содержит слагаемые вида 1<Л/ХА и Р6/Ха, а также член Весса-Зумино-Виттепа.

6. Исследована квантовая структура моделей гипермультипле-та и калибровочного суперполя с киральными синглетными деформациями в гармоническом суперпространстве. Доказана перенормируемость этих моделей в случае абелевой калибровочной группы. Вычислено низкоэнергетическое эффективное действие заряженного гипермультиплета во внешнем калибровочном суперполе при наличии таких деформаций и найдены ведущие поправки по параметру деформаций к стандартному голоморфному потенциалу для калибровочного суперполя.

7. Найдено представление суперконформной группы на суперполях в N = 2, (і = 3 суперпространстве. Построен набор ква-зипримарных суперполевых объектов, с использованием которых установлена общая структура супеконформного эффективного действия для Я — 2, й = 3 калибровочного суперполя. Вычислены низкоэнергетические эффективные действия в трехмерных моделях И = 2 кирального суперполя и гипер-

мультиплета, минимально взаимодействующих с калибровочным суперполем и доказана их суперконформная инвариантность.

8. Развит метод фонового поля для вычисления эффективного действия суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в N = 2, (1 = 3 суперпространстве. Этот метод применен для нахождения низкоэнергетического эффективного действия в трехмерных моделях суперполя Янга-Миллса с N = 2, N = 4 и N = 8 суперсимметрией. Вычислено эффективное действие в N = 2 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, взаимодействующей с двумя гипермультиплетами в бифундамен-тальном представлении и установлена связь масштабпо-ин-вариантных слагаемых в полученном действии с классическим абелевым действием модели Аарони-Бергмана-Жафери-са-Малдасены.

9. Предложена новая ковариантная формулировка для действия самодуального антисимметричного тензорного поля в шестимерном пространстве Минковского, основанная на триплете вспомогательных полей. Найдены суперсимметричпые обобщения такой формулировки и изучена возможность включения фоновой гравитации. Показано, что построенное действие для антисимметричного тензорного поля описывает низкоэнергетические степени свободы М5 браны, взаимодействующей с фоновым постоянным антисимметричным С-полем одиннадцатимерной супергравитации.

Научная новизна и практическое значение результатов

Все основные результаты, выносимые на зашиту, являются новыми.

Применение данных результатов возможно при дальнейших исследованиях квантовых аспектов различных суперсимметричных моделей теорий поля, интересных с точки зрения

А<18/СРТ-дуальности. В частности, суперпространственпые подходы, развитые при изучении структуры эффективных действий N = 3 и Л*" = 4 суперсимметричных теорий поля Янга-Миллса, могут быть использованы для вычислений корреляционных функций составных операторов и амплитуд рассеяния в этих моделях. Разработанные методы пертурбативных вычислений в N = 2, (1 = 3 суперпространстве могут применяться для исследования эффективных действий трехмерных суперконформных теорий поля с материей. Доказательство перенормируемости четырехмерных моделей теории поля с деформациями N = 2 суперсимметрии делает такие модели привлекательными для дальнейшего исследования их квантовых аспектов. Новая альтернативная формулировка для модели самодуалыюго тензорного поля в шестимерном пространстве проясняет связь между моделями М2 и М5 брап в теории суперструн.

Полученные результаты и разработанные методы могут найти применение в исследованиях по теоретической физике высоких энергий, квантовой теории поля, суперсимметрии и теории струн, проводимых в Физическом институте РАН (Москва), Объединенном институте ядерных исследований (Дубна), Математическом институте РАН (Москва), Институте физики высоких энергий (Протвино), Институте теоретической и экспериментальной физики (Москва), Институте ядерных исследований РАН (Москва), Петербургском институте ядерной физики РАН (Гатчина), Институте математики СО РАН (Новосибирск), Томском государственном педагогическом университете, Томском государственном университете, Московском государственном университете, а также в других вузах и организациях, где ведутся работы по теоретической физике высоких энергий.

Апробация работы

Все основные результаты диссертации докладывались на на-учых семинарах в Томском государственном педагогическом университете; в отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма, ФИ-АН; в институте теоретической физики, университет г. Ганновер,

Германия; в центре теоретической физики им. А. Зоммерфельда, Мюнхенский университет, Германия; в университетах г. Падуя и Милан, Италия; в техническом университете г. Вена, Австрия.

Результаты исследований были представлены на международных конференциях: Gizburg Conference on Physics, Москва, 28 мая - 2 июня 2012; Iberian Strings 2012, Бильбао, Испания, 31 января - 02 февраля 2012; Supersymmetries and Quantum Symmetries -SQS'll, Дубна, Россия, 18-23 июля 2011; Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions - SUSY'10, Бонн, Германия, 23-28 августа 2010; Supersymmetries and Quantum Symmetries - SQS'09, Дубна, Россия 29 июля - 3 августа 2009; 4-th international Sakharov conference on physics, Москва, 18-23 мая 2009; Beyond the Standard Model, Бад Хоннеф, Германия, 10-13 марта, 2008; Strings, non-commutativity and all that, 03-05 января 2008, Ганновер, Германия; Supersymmetries and quantum symmetries - SQS'07, 30 июля - 4 августа, 2007 Дубна, Россия; Integrable Systems and Quantum Symmetries, Прага, 15-17 Июня 2006; 14th International Seminar on High Energy Physics "Quarks-2006", 19-25 мая, 2006, Санкт-Петербург, Россия; Supersymmetries and quantum symmetries - SQS'05, Дубна, Россия, 27-31 июля, 2005.

Исследования по теме диссертационной работы поддерживались: грантами РФФИ (проекты 03-02-16193, 06-02-04012, 06-02-16346, 06-02-26731, 08-02-90490, 09-02-00078, 09-02-91349, 11-02-90445, 12-02-00121), грантами INTAS-00-00254, INTAS-05-7928; грантами президента РФ для ведущих научных школ (проекты НШ-1252.2003.2; НШ-4489.2006.2; НШ-2553.2008.2; НШ-3558.2010.2.), грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук МК-7110.2006.2; аналитической ведомственной целевой программой "Поддержка научного потенциала высшей школы", МОН РФ, проекты № 1003 и № 1141; фондом «Династия».

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 15 научных статьях [1-15] в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в

перечень ВАК, а также в пяти сборниках трудов международных конференций [16-20].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти.глав, разбитых на параграфы (разделы) и заключения. Она содержит одну таблицу и один рисунок. Список литературы включает в себя 263 наименования. Общий объем диссертации составляет 367 страниц.

Содержание работы

В первой главе исследуются модели суперчастиц в N = 3 и N = 4 гармонических суперпространствах. Такие суперпространства являются обобщениями стандартного Л/" = 2 гармонического суперпространства Хорошо известно, что квантование моделей релятивистских суперчастиц в JV = 1 суперпространстве или в ЛГ = 2 гармоническом суперпространстве позволяет получить суперполевые реализации различных супер симметричных мультипле-тов с N = 1 или Я = 2 суперсимметрией 2. Целью первой главы настоящей диссертациопной работы является построение суперполевых реализаций различных супермультиплетов bj\/' = 3hjV = 4 гармонических суперпространствах при помощи первичного квантования моделей суперчастиц в этих суперпространствах. В последующей главе будет показано, что некоторые из этих реализаций

1 Galperin A., Ivanov Б., Ogievetsky V., Sokatchev Е. Harmonic Superspace. UK: Cambridge University Press, 2001. P. 306.

2 Casalbuoni Я. The classical mechanics for Bose-Fermi systems // Nuovo Cimento A. 1976. Vol. 33. P 389-431;

Волков Д. В.,Пашпев А. И. О суперсимметричном лагранжиапе для частиц в собственном времени // Теоретическая и математическая физика. 1980. Т.44, № 3. С. 321-326;

Lusanna L., Milewski, В. N=2 super-Yang-Mills and supergravity constraints from coupling to a supersymmetric particle // Nuclear Physics B. 1984. Vol. 247. P. 396-420;

Акулов В.П., Бандос И. А., Сорокин Д. П., Частица в гармоническом N=2 суперпространстве // Ядерная физика. 1988. Т. 47. С. 1136-1146.

оказываются чрезвычайно полезными при изучении структуры низкоэнергетических эффективных действий N = 3 и N = 4 суперсим-метричиых теорий поля Янга-Миллса.

В разделе 1.1 строится лагранжиан для моделей N — 3 суперчастиц, как со слагаемым центрального заряда, так и без него. Эти два случая рассматриваются отдельно, поскольку они используют различные типы гармонических переменных: 8и(3)-гармоники для модели без центрального заряда и 8и(2)-гармоники при наличие нетривиального центрального заряда. Такое различие обусловлено тем фактом, что слагаемое центрального заряда нарушает И-сим-метрию N = 3 супералгебры до подгруппы Яи(2) и, следовательно, ЭЩЗ) гармоники неприменимы. Для обоих случаев найдены и проклассифицированы все связи моделей и построены соответствующие гамильтонианы.

В разделе 1.2 рассматривается каноническое квантование модели N = 3 суперчастицы без центрального заряда. Строится гильбертово пространство состояний, элементами которого являются суперполя в М = 3 гармоническом суперпространстве. Связи первого рода в модели суперчастицы накладываются в виде уравнений на вектор состояний в этом суперпространстве, а часть связей второго рода учитывается по методу Гупта-Блейлера. Показано, что это приводит к N = 3 суперполевым реализациям для калибровочного мультиплета и мультиплета гравитино, которые описываются аналитическими и киральным Л/* = 3 суперполями соответственно. Для каждого из этих мультиплетов выписаны суперполевые связи и уравнения движения. Приведены компонентные разложения таких суперполей на массовой оболочке.

В разделе 1.3 проводится аналогичное квантование модели N = 3 суперчастицы с центральным зарядом в гармоническом суперпространстве. В результате квантования получается N = 3 суперполевая реализация для массивного векторного мультиплета, масса которого связана с центральным зарядом условием Богомоль-ного-Прасаада-Зоммерфельда (БПЗ). Такой мультиплет описывается кирально-аналитическим суперполем, для которого приводятся

все связи и уравнения движения, а также выписывается компонентное разложение.

В разделе 1.4 сформулированы лагранжианы для моделей суперчастиц в N — 4 супер пространстве с Х18р(4) гармоническими переменными. Такие гармонические переменные допускают рассмотрение моделей суперчастиц как с центральным зарядом, так и без него, поскольку слагаемое центрального заряда нарушает группу и(4) Я-симметрии N = 4 супералгебры до иБр(4). Мы считаем, что масса частицы связана с центральным зарядом условием БПЗ, а безмассовый случай просто получается взятием предела нулевой массы. Как для массивной, так и для безмассовой модели суперчастиц проклассифицированы все связи и построены гамильтонианы.

Квантование модели массивной суперчастицы в N = 4 гармоническом суперпространстве проводится в разделе 1.5, где строится гильбертово пространство состояний в виде суперполей в таком суперпространстве. При квантовании, связи в модели суперчастицы транслируются в суперполевые уравнения движения и связи для этих суперполей. Показано, что такие суперполя описывают N = 4 суперсимметричный массивный векторный мультиплет на массовой оболочке.

Квантование аналогичной безмассовой модели проводится в разделе 1.6, которое приводит к формулировкам в М = 4 иЭр(4) гармоническом суперпространстве для мультиплетов супергравитации, гравитино и АГ = 4 калибровочного мультиплета. Показывается, что мультиплет ЛГ = 4 супергравитации описывается обычным киральпым N = 4 суперполем, которое не зависит от гармонических переменных, а мультиплеты гравитино и калибровочного поля описываются аналитическими суперполями с определенными условиями аналитичности. Для всех этих суперполей выписаны все уравнения движения и суперполевые связи, а также приведены компонентные разложения на массовой оболочке. Новым интересным результатом является возможность описания N = 4 калибровочных супермультиплетов с помощью незаряженных аналитических суперполей, которые реализуют синглетные представления группы

USp(4). Именно такие суперполя будут использоваться в следующей главе при изучении эффективного действия в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса.

В разделе 1.7 первой главы показывается, что суперполевые уравнения движения и связи для N = 4 калибровочного супермуль-типлета, найденные в результате квантования модели суперчастицы, могут быть получены напрямую из известных ранее суперполевых связей AT = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Милл-са при введении гармонических переменных. Это показывает, что квантование моделей суперчастиц является альтернативным эквивалентным способом нахождения суперполевых уравнений движения и связей, который очень удобен для моделей с расширенной суперсимметрией в гармонических суперпространствах.

В заключительном разделе резюмируются результаты первой главы, опубликованные в работах [1, 2].

Во второй главе исследуется структура пизкоэнергетиче-ского эффективного действия в N = 4 суперсимметричпой теории поля Янга-Миллса. Мы ограничиваемся рассмотрением части низкоэнергетического эффективного действия для безмассовых полей в кулоновой фазе теории, которые описываются слагаемыми не выше четвертого порядка в разложении по производным полей. Ранее были известны различные слагаемые такого типа, например, член Весса-Зумино 3 и слагаемое вида FA/X4, содержащееся в т.н. неголоморфном потенциале 4. Обобщенное описание этих слагаемых в Ai = 2 гармоническом суперпространстве было построено в работах Бухбиндера и Иванова где было найдено дополнение неголо-

3 Tseytlin A. A., Zarembo К. Magnetic interactions of D-branes and Wess-Zumino terms in super Yang-Mills effective actions // Physics Letters B. 2000. Vol. 474. P. 95-102;

Intriligator K. A. Anomaly matching and a Hopf-Wess-Zumino term in 6d, N=(2,0) field theories // Nuclear Physics B. 2000. Vol. 581. P. 257-273.

4 Henningson M. Extended superspace, higher derivatives and SL(2,Z) duality // Nucleal Physics B. 1996. Vol. 458. P. 445-455;

Dine M., Seiberg N. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories // Physical Letters B. 1997. Vol. 409. P. 239-244.

5 Buchbinder Г. L., Ivanov E. A. Complete N=4 structure of low-energy

морфного потенциала с помощью суперполей гипермультиплетов, обладающее M = 4 суперсимметрией. Целью второй главы является построение явно M = 4 суперсимметричного описания для всех этих слагаемых в низкоэнергетическом эффективном действии суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Это достигается за счет использования подходящих M = 4 гармонических суперпространств и аналитических суперполей, введенных в первой главе. Кроме того, мы изучим структуру низкоэнергетического эффективного действия JV = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в M = 3 гармоническом суперпространстве. Общие аспекты эффективных действий этих теорий обсуждаются в разделе 2.1.

В разделе 2.2 рассматривается структура слагаемого Весса-Зумино-Виттена для скалярных полей в эффективном действии M = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Хорошо известно, что данное слагаемое описывается действием в пятимерном пространстве с явной SO(6) симметрией,

"/ £ÁBCDEF A dXc A dXD A dXE A dXF , (1)

где Хл, А = 1,...,6 - скалярные поля и |Х|2 = ХдХА. Однако в четырехмерной формулировке симметрия относительно группы SO(6) становится неявной. Ранее была известна лишь четырехмерная формулировка этого слагаемого, инвариантная относительно подгруппы SO(5) группы SO(6) R-симметрии теории 6. В данном разделе построены новые четырехмерные формулировки для слагаемого Весса-Зумино-Виттена, которые обладают явной инвариантностью относительно подгрупп SO(4)xSO(2) и SO(3)xSO(3).

В разделе 2.3 исследуется структура низкоэнергетического эффективного действия M = 4 суперсимметричной теории поля

effective action in N=4 super Yang-Mills theories // Physics Letters B. 2002. Vol.

524. P. 208-216;

Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Petrov A. Y. Complete low-energy effective action

in N=4 SYM: A direct N=2 supergraph calculation // Nuclear Physics B. 2003. Vol. 653. P. 64-84.

6 Braaten E., Curtright T. L., Zachos С. К. Torsion and geometrostasis in non-linear sigma models // Nuclear Physics B. 1985. Vol. 260. P. 630.

Янга-Миллса в М — 4 гармоническом суперпространстве с иЭр(4) гармоническими неременными. Показывается, что требования явной суперсимметрии и масштабной инвариантности однозначно, с точностью до общего множителя, фиксируют вид пизкоэнерготического эффективного действия,

где IV - незаряженная аналитическая суперполевая напряженность в N = 4 суперсимметричпой теории поля Янга-Миллса, а интегрирование проводится в соответствующем аналитическом подпространстве, в котором определена эта напряженность. Установлено, что такое простое выражение для низкоэнергетического эффективного действия содержит все известные ранее слагаемые в своем компонентном разложении, такие как Р4/Х4 и член Весса-Зумино-Вит-тена. Последний получается в 80(5)-ковариантном виде, поскольку данная группа локально изоморфна группе и8р(4).

В разделе 2.4 рассматривается формулировка низкоэнергетического эффективного действия ЛГ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в N = 2 гармоническом суперпространстве, введенная в работе Бухбиндера и Иванова 2002 года. Показывается, что в компонентном разложении этого действия содержится член Весса-Зумино-Виттена, который записывается в четырехмерном пространстве с явной симметрией относительно подгруппы 80(4)х80(2) группы 80(6).

В разделе 2.5 вводится новое Я — 4 гармоническое суперпространство, основанное на 811(2) хБи(2) гармониках, которое мы называем бигармоническим. Приводятся решения связей N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в этом суперпространстве. Важной особенностью этого суперпространства является возможность использования незаряженпых аналитических суперполей. В результате, показывается, что низкоэнергетическое эффективное действие с такими суперполевыми напряженностями имеет такой же вид (2), как и в и8р(4)-гармопическом суперпространстве. Установлено, что в компонентном разложении эффективное действие со-

держит член Весса-Зумино-Виттена в 80(3) х80(3) ковариантном виде, поскольку эта группа локально изоморфна 511(2) хйи(2).

В разделе 2.6 строится низкоэнергетическое эффективное действие Л/" = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве. Для этого используются аналитические суперполевые напряженности ТУ12 и Щгз, введенные в разделе 1.2 при квантовании модели безмассовой суперчастицы в N = 3 гармоническом супериространстве. Требования масштабной инвариантности и 75-симметрии однозначно фиксируют вид низкоэнергетического эффективного действия,

г ~ + ^ +

] |_С С С1С1 \ С С^ С1Сг /

[ (с%)й>12Щ23 „

(?сг{с'с1 + ¿¡)12с3 + ^2361)] '

Здесь с1 = (<р1) и Сг = - вакуумные средние для скаляров, О12 = — с3, и>23 = №23 — с1 и ¿((^(¡и - мера на аналитическом подпространстве Л/- = 3 гармонического суперпространства. Особенностью такого функционала является его явная зависимость от вакуумных средних для скаляров с® и С{. Тем не менее, доказывается, что эффективное действие не зависит от значений этих констант несмотря на их явное присутствие в построенном функционале. Эта ситуация аналогична формулировке модели исправленного тензорного мультиплета в ЛГ = 2 гармоническом суперпространстве 7. Рассмотрено компонентное разложение построенного эффективного действия и показано, что оно содержит слагаемые вида Р^/Х4, .Р6/Х8, а также член Весса-Зумипо-Виттеиа.

В последнем разделе второй главы резюмируются полученные результаты, опубликованные в работах [3-6].

В третьей главе рассматриваются четырехмерные теории поля с неантикоммутативными киральными синглетными деформациями N = (1,1) суперсимметрии. Такие деформации эффективно

7 Гальперин А., Иванов Е., Огиевецкий В. Взаимодействия и преобразо-

вания дуальности тензорных N=2 мультиплетов // Ядерная физика. 1987. Т. 45. С. 245-257.

учитываются в суперполевых лагранжианах с помощью введепия -^-умножения вместо обычного умножения для суперполей:

А ■ В А * В = Аер'В, Р5 = . (4)

Здесь - оператор суперзаряда, а I - параметр деформаций. Особенностью таких деформаций является тот факт, что они сохраняют 11-симметриго 811(2), частично нарушая Я = (1,1) суперсимметрию до Я = (1,0). Целью третьей главы является доказательство перенормируемости различных суперсимметричных моделей с такой деформацией и исследование структуры низкоэнергетического эффективного действия для некоторых из них.

В разделе 3.1 обсуждаются различные виды киральных деформаций в N = (1,1) евклидовом суперпространстве. Вводится операция ^-умножения и рассматриваются ее свойства. В следующем разделе эта операция используется для построения классических действий моделей суперполя Янга-Миллса и гипермультипле-та с неантикоммутативной синглетной деформацией суперсимметрии. Исследованию компонентной структуры этих действий посвящается раздел 3.3. В разделе 3.4 доказывается перенормируемость для введенных ранее моделей в абелевом случае. Для этого вычисляются все потенциально расходящиеся вклады в эффективные действия калибровочного суперполя и гипермультиплета:

пЭУМ

рЬур 1 <1ху

- /V РП*ПФ 6 №Пфдтфдтф ...

[1+А1ФУ (1 + 41ф)* ,(5)

1 [ и РОфПф

где фиф- скалярные поля, входящие в калибровочпый мультиплет. Показывается, что они полностью устраняются с помощью простых переопределений полей вида

ЧУМ- /Ь I л 2 12УФ , 12 4рдтфдтф ^

2 у2|—

ЬурегтиШрЫ: ф—>■ ф + - . (8)

(1 +41 фу

Отмечается интересная особенность: если для классических действий рассматриваемых моделей совершить преобразование Сай-берга-Виттена, то расходящиеся вклады в эффективные действия полностью сокращаются и переопределение полей не требуется.

В разделе 3.5 вычисляется голоморфный эффективный потенциал в абелевой модели заряженного гипермультйплета с ки-ральными синглетными деформациями суперсимметрии. Оказывается, что он получается простой заменой обычного умножения су-перполсй на ^-умножение в голоморфном потенциале недеформи-рованной теории,

Деформации антиголоморфного потенциала, напротив, не сводятся к такой простой замене умножения суперполей и, более того, записываются в калибровочно-инвариантном виде лишь в полном N = (1,1) суперпространстве. Исследована компонентная структура найденного эффективного действия в модели деформированного гипермультиплета и отмечены ведущие поправки по параметру деформаций к известным выражениям недеформированной теории.

В разделе 3.6 обсуждаются полученные в третьей главе результаты. Материал этой главы опубликован в работах [7-10].

Четвертая глава посвящается исследованию структуры эффективного действия в различных трехмерных моделях калибровочных полей и полей материи с расширенной суперсимметрией. В частности, рассматриваются модели Л/* = 2, d = 3 кирального суперполя и ЛГ — 4 гипермультиплета, минимально взаимодействующие с калибровочными суперполями, модели суперполя Янга-Миллса с U — 1, А/" = 4 и Л/" = 8 суперсимметрией, а также модель М = 2, d = 3 суперполя Янга-Миллса, взаимодействующего с четырьмя ки-ральными суперполями в бифундаментальном представлении. Последняя интересна тем, что она тесно связана с динамикой D2 и М2 бран 8, которые активно изучались в рамках AdS4/CFT3 соответ-

8 Klebanov I. R., Torri G. M2-brancs and AdS/CFT // International

ствия. Для формулировки классических действий всех перечисленных моделей используется подход Я = 2, d = 3 суперпространства, который аналогичен стандартному N = 1, d = 4 суперпространству 9.

В разделе 4.1 рассматривается представление суперконформной группы на суперполях в М = 2, d = 3 суперпространстве. Строятся суперконформные инвариантны и выводится наиболее общая структура суперконформно-инвариантного действия для калибровочного суперполя:

IV=2 = Jd^xd^ldVG + c2GlnG + СФ2"Н(П2)]. (10)

Здесь ci и с2 - произвольные коэффициенты, V - калибровочное сулерполе с напряженностями G, Wa и Wa. В это выражение входит произвольная функция И, а также суперполевые объекты вида

9 = ^DaDa\nG, Ü2 = ±(±DaDa)2lnG. (11)

В разделах 4.2 и 4.3 вычисляются однопетлевые эффективные действия в моделях N = 2 кирального суперполя и N — 4 гипермультиплета, взаимодействующих с внешними калибровочными суперполями. Полученные эффективные действия выражаются через суперконформные инвариантны, построенные в разделе 4.1. Например, эффективное действие для М = 2 калибровочного суперполя имеет вид (10), с коэффициентами с\ = с2 = а функция И определяется выражением

оо

1 1 dt eil / tanh(m) \

32тгП2 J tn V ( 1

о

В разделе 4.4 развивается метод фонового поля для вычисления эффективного действия в N = 2, d = 3 суперпространстве.

Journal of Modern Physics А. 2010. Vol. 25. Р. 332-350;

Aganagic M. A stringy origin of M2 brane Chern-Siraons theories // Nuclear Physics B. 2010. Vol. 835. P. 1-28.

9 Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity: Or a walk through superspace. Bristol, UK: ЮР, 1998. P. 656.

Этот метод применяется для вычисления однопетлевого эффективного действия в N = 2 суперсимметричной модели Янга-Миллса. Аналогичные вычисления для M = 4 и Я = 8 суперсимметричных теорий поля Янга-Миллса проведены в разделах 4.5 и 4.6. Отмечается, что ведущие члены в эффективном действии M = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса совпадают с классическим

действием модели Гайотто-Виттена 10 в дуальном представлении il

ï

J (PxéeiGln(G + \JG2 + ФФ) - VG2 + ФФ]. (13)

Здесь Ф - киральное суперполе, a G - JV = 2 суперполевая напряженность, которые вместе образуют 7V = 4 калибровочный супер-мультиплет.

Л/" = 8 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса интересна тем, что классическое действие для нее получается размерной редукцией из действия 7V = 4, <1 = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Эффективное действие для последней изучалось во второй главе, где было установлено, что ведущие члены в нем имеют чрезвычайно простую структуру при формулировке в подходящем гармоническом суперпространстве. В свою очередь, для трехмерной N = 8 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, изучаемой в четвертой главе, также отмечается упрощение структуры однопетлевого эффективного действия благодаря сокращению ряда слагаемых, возникающих от вкладов суперполей материи и духов,

Г>=8 = 1ttv In(Dv + Ф%). (14)

Здесь Trv означает функциональный след в пространстве вещественный суперполей, а - калибровочпо-ковариантпый оператор

10 Gaiotto D., Witten Е. Janus configurations, Chern-Simons couplings, and the theta-angle in N=4 super Yang-Mills theory // Journal of High Energy Physics. 2010. Vol. 1006. P. 097.

11 Koh E., Lee S., Lgg S. Topological Chem-Simons sigma model // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0909. P. 122(1-29).

Даламбера,

ау = ътът + о2+ т7аъа-тат>а. (15)

В разделе 4.6 исследуется эффективное действие в модели Я = 2 суперполя Янга-Миллса с калибровочной группой 8и(2)х811(2), взаимодействующей с четырьмя киральными суперполями в бифупдаменталыюм представлении. Сектор суперполей материи в этой теории имеет такую же структуру, как и в модели Баггера-Ламберта-Густавссоиа (БЛГ) 12, но, в отличие от последней, калибровочные суперполя имеют Янг-Миллсовские, а не Черн-Саймоновские кинетические члены. Поэтому такая модель описывает динамику не М2, а В2 бран на некотором многообразии. Для найденного однопетлевого эффективного действия в этой модели установлено, что масштабно-инвариантные слагаемые в нем совпадают с классическим действием абелевой теории Ааропи-Бергмапа-Жафери'са-Малдасепы в дуальном представлении, когда одно из калибровочных суперполей исключено из действия с помощью алгебраических уравнений движения,

¿АВ.ТМ = 21¿3Хс1*0 - с\п((Э10_а) - у/с2 +

+Gln(G + y/G2 + QlQ+aQ-bQ-)

(16)

Здесь G - JV = 2 суперполевая напряженность, a - киральные суперполя, а = 1,2. Такой результат может быть проинтерпретирован как проявление связи между D2 и М2 бранами, когда последняя получается в пределе сильной связи системы D2 бран вблизи конической сингулярности некоторого многообразия.

12 Bagger J., Lambert N. Modeling multiple M2's // Physical Review D. 2007. Vol. 75. P. 045020(1-7);

Bagger J., Lambert N. Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-Branes // Physical Review D. 2008. Vol. 77. P. 065008(1-6);

44. Bagger J., Lambert N. Comments on multiple M2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 02. P. 105(1-15);

Gustavsson A. Algebraic structures on parallel M2-branes // Nuclear Physics B. 2009. Vol. 811. P. 66-76.

В разделе 4.7 исследуется двухпетлевое эффективное действие в трехмерной Л/" = 2 суперсимметричной модели Весса-Зуми-но. Целью данного раздела является нахождение кэлерового эффективного потенциала и соответствующего скалярного потенциала. На основе непосредственных квантовых вычислений мы находим следующие выражения для этих потенциалов:

Здесь Ф - киральное суперполе, a tp- комплексное скалярное поле. Аналогичные вычисления для четырехмерной модели Весса-Зуми-но проводились в работах 13. В отличие от четырехмерного случая, эффективный скалярный потенциал (18) представляет собой логарифмическую поправку к полиному шестого, а не четвертого порядка, но качественно они имеют похожую структуру.

В последнем разделе четвертой главы резюмируются полученные результаты, опубликованные в работах [11-13].

В пятой главе развивается альтернативная лагранжева формулировка для модели самодуального тензорного поля в шестимерном пространстве Минковского. В разделе 5.1 приводится краткий обзор традиционной процедуры построения лагранжиана, которая основана на нарушении лоренц-ковариантности SQ(1,5) до

13 Buchbinder I. L., Kuzenko S., Yarevskaya Z. Supersymmetric effective potential: Superfield approach // Nuclear Physics В. 1994. Vol. 411. P. 665-692; Pickering A., West P. C. The one-loop effective supcrpotential and nonholomorphicity // Physics Letters B. 1996. Vol. 383. P. 54-62; Grisaru M. T., EoCek M., von Unge R. Effective Kahler potentials // Physics Letters B. 1996. Vol. 383. P. 415-421;

Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Petrov A. Y. Superflcld chiral effective potential // Physics Letters B. 1994. Vol. 321. P. 372-377;

Бухбиндер И. Л., Кузенко С. M., Петров А. Ю. Суперполевой эффективный потенциал в двухпетлевом приближении // Ядерная физика. 1996. Т. 59. С. 157-162.

(17)

(18)

подгруппы SO(5) 14. В традиционном подходе, развитом в работах Пасти, Сорокина и Тонина (ПСТ) 15, лоренц-ковариаптность может быть восстановлена за счет введения одного вспомогательного поля. В разделе 5.2 строится альтернативный лагранжиан для антисимметричного тензорного поля, который основан на нарушении лоренц-ковариантности до подгруппы SO(1,2) xSO(3). Например, антисимметричное тензорное поле напряженности имеет следующие 80(1,2)х80(3)-компоненты

FI"P Fabc,Fab&, F^, (19)

где a,b,cna,b,c - индексы векторных представлений групп SO(l,2) и S0(3) соответственно. Действие, приводящее к уравнениям самодуальности для этих полей имеет простой вид

5 = I^{Fabc(Fai& - Fahi) + lF.bi(F^ - F^)], (20)

гДе Kbc = &аЬс£ьса I,lbca' Fhit = I eabceibiFabc. В разделе 5.3 показывается, что ковариантность лагранжиана может быть восстановлена в соответствии со стандартной процедурой ПСТ, но, в отличие от стандартной формулировки, требуется введение не агаглета, а триплета вспомогательных полей ar, г = 1,2,3,

<fxl-F^PF""P + + ■ (21)

Здесь Р/ = д^аГ (dpardpas)~1 сГа" и = б^-Р^ - матричные проекторы, построенные из вспомогательных полей. В выражении

14 Henneaux М., Tcitelboira С. Dynamics of chiral (selfdual) p forms // Physics Letters B. 1988. Vol. 206. P. 650-654.

15 Pasti P., Sorokin D. P., Tonin M. Note on manifest Lorentz and general coordinate invariance in duality symmetric models // Physics Letters B. 1995. Vol. 352. P. 59-63;

Pasti P., Sorokin D. P., Tonin M. Duality symmetric actions with manifest spacetime symmetries // Physical Review D. 1995. Vol. 52. P. 4277-4281; Pasti P., Sorokin D. P., Tonin M. On Lorentz invariant actions for chiral p-forms // Physical Review D. 1997. Vol. 55. P. 6292-6298.

(21) использовано обозначение = Р^р—Ё^р. Далее мы применяем построенный лагранжиан самодуального антисимметричного тензорного поля для введения взаимодействия с фоновой гравитацией и для суперсимметризации действия за счет добавления спи-норных и скалярных полей Я = (2,0) тензорного мультиплета.

Введение альтернативной лагранжевой формулировки для модели антисимметричного тензорного поля, рассматренной в пятой главе, мотивировано тем, что она естетсвенным образом возникает при изучении модели БЛГ с калибровочной группой диффеоморфизмов, сохраняющих локальный объем некоторого трехмерного многообразия 16. В этих работах показывается, что теория БЛГ с такой калибровочной группой эффективно описывает некоторую шестимерную теорию поля, которая содержит низкоэнергетические степени свободы М5 браны. В разделе 5.4 устанавливается связь между этими теория за пределом линейного приближения и пока-зьшается, что шестимерное действие действительно описывает одну М5 брану на фоне постоянного антисимметричного Сз-поля одиннадцатимерной супергравитации. Раздел 5.5 посвящается выводу нелинейных уравнений движения и тождеств Бьянки для случая, когда присутствует взаимодействие с таким постоянным Сз-полем.

В последнем разделе пятой главы резюмируются полученные результаты, опубликованные в работах [14, 15].

16 Ho P.-M., Matsuo Y. M5 from M2 // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 06. P. 105(1-16);

Ho P.-M., Imamura Y., Matsuo Y., Shiba S. M5-brane in three-form flux and multiple M2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 08. P. 014(1-33); Bandos I. A., Townsend P. K. SDiff gauge theory and the M2 condensate // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 02. P. 013(1-15);

Bandos I. A., Townsend P. K. Light-cone Mo and multiple M2-branes // Classical and Quantum Gravity. 2008. Vol. 25.- P. 245003(1-25).

Список публикаций

1. Buchbinder I. L., Lechtenfeld О., Samsonovl. В. N=4 superparticle and super-Yang-Mills theory in USp(4) harmonic superspace // Nuclear Physics B. 2008. Vol. 802. P. 208-246.

2. Buchbinder I. L., Samsonov I. B. N=3 superparticle model // Nuclear Physics B. 2008. Vol. 802. P. 180-207.

3. Belyaev D. V., Samsonov I. B. Wess-Zumino term in the N=4 SYM effective action revisited // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1104. P. 112(1-26).

4. Belyaev D. V., Samsonov I. B. Bi-harmomc superspace for N=4 d=4 super Yang-Mills // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1109. P. 056(1-21).

5. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Scale invariant low-energy effective action in N=3 SYM theory // Nuclear Physics B. 2004. Vol. 689. P. 91-107.

6. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Superconformal N-3 SYM low-energy effective action // Journal of High Energy Physics. 2012. Vol. 1201. P. 001(1-30).

7. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Lechtenfeld O., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Gauge theory in deformed N"=(1,1) superspace // Физика элементарных частиц и атомпого ядра. 2008. Т. 39, № 5. С. 1467-1541.

8. Samsonov I. В. On renormalizability of non-anticommutative N=(1,0) theories with singlet deformation // Czechoslovak Journal of Physics. 2006. Vol. 56, no. 10/11. P. 1281-1286.

9. Buchbinder I. L., Lechtenfeld O., Samsonov I. B. Vector-multiplet effective action in the non-anticommutative charged hypermultiplet model // Nuclear Physics B. 2006. Vol. 758. P. 185-203.

10. Buchbinder I. L., Ivan о v E. A., Lechtenfeld 0., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Renormalizability of non-anticommutative N=(1,1) theories with singlet deformation // Nuclear Physics B. 2006. Vol. 740. P. 358-385.

11. Buchbinder I. L., Pletnev N. G., Samsonov I. B. Low-energy effective actions in three-dimensional extended SYM theories // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1101. P. 121(1-38).

12. Buchbinder I. L., Pletnev N. G., Samsonov I. B. Effective action of three-dimensional extended supersymmetric matter on gauge su-perfield background // Journal of High Energy Physics. 2010. Vol. 1004. P. 124(1-27).

13. Buchbinder I. L., Merzlikin B. S., Samsonov I. B. Two-loop effective potentials in general N=2, d=3 chiral superfield model // Nuclear Physics B. 2012. Vol. 860. P. 87-114.

14. Pasti P., Samsonov I., Sorokin D., Tonin M. Bagger-Lambert-Gus. tavsson-motivated Lagrangian formulation for the chiral two-form

gauge field in D=6 and M5-branes // Physical Review D. 2009. Vol. 80. P. 086008(1-16).

15. Pasti.P., Samsonov I., Sorokin D., Tonin M. BLG and M5 // Письма в ЭЧАЯ. 2011. Т. 8, № 3. С. 355-368.

16. Buchbinder I. L., Pletnev N. G., Samsonov I. B. N=2 and N=4 supersymmetric low-energy effective actions in three dimensions // Cosmology, Quantum Vacuum and Zeta Functions (Barcelona, 8-10th March, 2010) / Ed. by S. D. Odintsov, D. Saez-Gomes, S. Xambo-Descamps. Vol. 137. Springer Proceedings in Physics, 2011. P. 67-76.

17. Samsonov I. B. Quantum aspects of non-anticommutative N=(1,0) theories with singlet deformation // Supersymmetries and quantum symmetries (SQS'07) Proc. of International Workshop, (Dubna, Russia, July 30 - August 4, 2007). Dubna: JINR, 2008. P. 246-249.

18. Samsonov I. B. Low-energy effective action in non-anticommutative charged hypermultiplet model // QUARKS-2006: Proc. of 14th international seminar (St. Petersburg, Russia, 19-25 May, 2006). Institute for Nuclear Research, RAS, 2006. P. 159-170.

19. Samsonov I. B. On scale-invariant generalization of N=3 Born-Infeld action // Supersymmetries and quantum symmetries (SQS'05) Proc. of International Workshop. Dubna: JINR, 2006. P. 350-355.

20. Samsonov I. B. On low-energy effective action in N=3 supersym-metric gauge theory // QUARKS-2004: Proc. of 13th international seminar (Pushkinogorie, Russia, May 24-30, 2004). Vol. 2. Institute for Nuclear Research, RAS, 2005. P. 189-201.

Отпечатано в ООО «НИП»: г. Томск, ул. Советская, 47,

тел.: 53-14-70. Тираж 100 экз., заказ 2810.

Отпечатано в ООО «НИП»: г. Томск, ул. Советская, 47,

тел.: 53-14-70. Тираж 100 экз., заказ 2810.

Научно-исследовательский Томский политехнический университет

На правах рукописи

Са^хоо^В

05201350586 Самсонов Игорь Борисович

Эффективная классическая и квантовая динамика в полевых теориях с расширенной суперсимметрией

01.04.02 - теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант д.ф.-м.н., профессор И.Л. Бухбиндер

Томск - 2012

Содержание

Введение ................................... 5

Глава 1. Квантование моделей суперчастиц вЛГ = Зи.Л/ = 4

гармонических суперпространствах................27

1.1. Частица в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве ......28

1.2. Квантование модели ЛУ = 3 суперчастицы без центрального заряда.................................35

1.3. Квантование модели N — 3 суперчастицы с центральным зарядом .................................51

1.4. Частица в Л/* = 4 гармоническом суперпространстве......60

1.5. Квантование модели массивной частицы в Л/" = 4 гармоническом суперпространстве с центральным зарядом.........73

1.6. Квантование модели безмассовой частицы в Л/" = 4 гармоническом суперпространстве.......................83

1.7. Связи N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в и8р(4) гармоническом суперпространстве ............95

1.8. Резюме................................98

Глава 2. Низкоэнергетическое эффективное действие в N = 3

и N ~ 4 суперсимметричных теориях поля Янга-Миллса . . 100

2.1. Предварительные комментарии..................100

2.2. Слагаемое Весса-Зумино-Виттена в эффективном действии

Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса......104

2.3. Эффективное действие в Л/* = 4 гармоническом суперпространстве ..................................112

2.4. Эффективное действие в N = 2 гармоническом суперпространстве ..................................118

2.5. Эффективное действие в Л/* = 4 бигармоническом суперпространстве ...............................122

2.6. Эффективное действие в N = 3 гармоническом суперпространстве ..................................141

2.7. Резюме

164

Глава 3. Проблема перенормируемости и эффективное действие в неантикоммутативных моделях с расширенной суперсимметрией ................................166

3.1. Киральные деформации Л/" = (1,1) суперсимметрии.......166

3.2. Классические действия неантикоммутативных моделей вЛГ = (1,1) гармоническом суперпространстве .............177

3.3. Компонентная структура Л/* = (1,0) неантикоммутативных абелевых моделей..........................183

3.4. Перенормируемость J\f — (1,0) неантикоммутативных абелевых моделей ............................. 201

3.5. Голоморфный потенциал в неантикоммутативной абелевой модели заряженного гипермультиплета.........222

3.6. Заключительные замечания....................235

Глава 4. Эффективные действия для калибровочных и кираль-ных суперполей в Л/" = 2, d = 3 суперпространстве.......237

4.1. Представление суперконформной группы в N = 2, d = 3 суперпространстве ...........................237

4.2. ЛГ = 2 суперсимметричное действие Гейзенберга-Эйлера .... 253

4.3. Низкоэнергетическое эффективное действие JV = 4 калибровочного суперполя .......................... 262

4.4. Метод фонового поля в N = 2, d — 3 суперпространстве .... 266

4.5. Однопетлевое эффективное действие вЛ/" = 4иЛ/" = 8 суперсимметричных теориях поля Янга-Миллса............276

4.6. N = 2 суперсимметричные теории поля Янга-Миллса с ки-ральными суперполями в бифундаментальном представлении . 285

4.7. Двухпетлевое эффективное действие в трехмерной модели Весса-Зумино.............................298

4.8. Резюме................................312

Глава 5. Альтернативная лагранжева формулировка модели самодуального тензорного поля в шестимерном пространстве

Минковского...............................316

5.1. Традиционное действие для киральных полей в шестимерном пространстве ............................. 318

5.2. Альтернативная нековариантная формулировка.........322

5.3. Альтернативная ковариантная формулировка..........326

5.4. Связь шестимерного тензорного поля с моделью Баггера-Лам-берта-Густавссона..........................331

5.5. Действие и уравнения движения для нелинейного кирального тензорного поля...........................335

5.6. Резюме................................339

Заключение..................................341

Литература..................................344

Введение

Современный прогресс в физике высоких энергий в значительной степени базируется на использовании методов квантовой теории поля для построения реалистичных моделей взаимодействия элементарных частиц. В настоящее время вся совокупность твердо установленных экспериментальных данных об элементарных частицах и процессах с их участием описывается в рамках Стандартной Модели, объединяющей на квантовом уровне электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. В основе Стандартной Модели лежит квантовая теория калибровочных полей, представляющая собой предмет многих монографий (см. напр. [1-5]). Существенным элементом Стандартной Модели является хиггсовский бозон, описываемый скалярным полем и обеспечивающий спонтанное нарушение симметрии. Теоретическое предсказание хиггсовского бозона представляет собой вызов для экспериментальной физики элементарных частиц, поиски хиггсовского бозона запланированы как одна из важнейших целей исследований на Большом Адронном Коллайдере.

Успехи Стандартной Модели продемонстрировали плодотворность калибровочного принципа для объединения фундаментальных взаимодействий. Однако включение гравитации в эту схему не представляется возможным в силу ряда концептуальных физических проблем в области планковских энергий и неразработанности теоретических основ квантовой гравитации (см. напр. [6-8]). Тем не менее, построение объединенной теории всех фундаментальных взаимодействий является центральным направлением развития современной теоретической физики высоких энергий.

В настоящее время наиболее успешным кандидатом на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий является теория суперструн [9,10]. В рамках этой теории действительно удается обойти проблемы непере-нормируемости общей теории относительности и сформулировать подходы к унификации всех взаимодействий, однако новых, существенно суперструнных предсказаний, допускающих непосредственную экспериментальную проверку сформулировать пока не удалось. Тем не менее, теория суперструн оказала и продолжает оказывать огромное влияние на развитие теоретической и математической физики. Здесь можно отметить значительный интерес к теории

поля в многомерных пространствах, теоретическое открытие специфических протяженных объектов таких как D-браны и М-браны, установление сети дуальности между казалось бы различными теориями в различных размерностях (см. напр. [10]).

Одним из наиболее важных достижений в теории струн является так называемое AdS/CFT соответствие [11-13], которое представляет собой определенного вида дуальность между моделями суперструн и суперсимметричными теориями поля (см. напр. [14] в качестве обзора). В своем первоначальном виде эта гипотеза представляет собой утверждение о том, что корреляционные функции составных калибровочно-инвариантных операторов в Af = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса однозначно связаны с корреляционными функциями в теории IIB супергравитации с определенными граничными условиями. Более конкретно, необходимо сравнивать аномальные размерности составных операторов в тхофтовском пределе со значениями энергий определенных конфигураций IIB суперструны на многообразии AdS$ х S5. Такое соответствие между корреляционными функциями, в этих теориях было проверено для множества различных примеров, и в настоящее время справедливость AdS/CFT-гипотезы не вызывает сомнений. Тем не менее, всестороннее изучение различных аспектов этой дуальности является важной темой многих современных исследований в теоретической физике высоких энергий (см. напр. [15] в качестве современного обзора).

AdS/CFT соответствие естественным образом распространяется и на другие квантовые аспекты JV = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. В частности, в работах [16, 17] было установлено, что амплитуды рассеяния в этой модели однозначно связаны с площадью струны в пространстве анти-Деситтера, прикрепленной к границе этого пространства. При этом, классическая струна, без учета квантовых поправок, дает значение амплитуды рассеяния при больших значениях калибровочной константы связи, когда теория поля находится вне пертурбативного режима. Получение аналогичных результатов для реалистичных моделей элементарных частиц, таких как квантовая хромодинамика, является важной задачей в современной физике высоких энергий.

Эффективное действие является одним из центральных объектов изуче-

ния в квантовой теории поля. По определению, это производящий функционал одночастично-неприводимых связных функций Грина. В теориях, где имеются как легкие (безмассовые) так и тяжелые (массивные) поля, имеет смысл говорить про низкоэнергетическое эффективное действие для легких полей, которое получается в результате интегрирования по всем тяжелым полям в функциональном интеграле. Очевидно, что такое эффективное действие должно хорошо описывать физику на определенных масштабах энергий, при которых тяжелые поля не наблюдаются как конечные или начальные состояния.

Для калибровочных теорий разбиение полей на массивные и безмассовые возникает естественным образом в результате механизма Хиггса. Например, для Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса механизм Хиггса был исследован в работе [18]. Очевидно, что для этой модели эффективное действие должно обладать рядом специфических свойств в силу богатых симметрий: оно не содержит квантовых расходимостей [19-21] и поэтому является суперконформно инвариантным. Оказывается, что суперконформная симметрия позволяет найти вид ведущих слагаемых в низкоэнергетическом эффективном действии не прибегая к пертурбативным вычислениям. Например, на основе анализа требования масштабной симметрии в работах [22, 23] был найден вид неголоморфного потенциала, который был получен позднее непосретственными квантовыми вычислениями [24-26]. N = 4 расширенная суперсимметрия может быть использована для нахождения вкладов в эффективное действие с суперполями гипермультиплетов [27, 28]. Слагаемые более высокого порядка по числу производных в эффективном действии М = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса изучались, например, в работах [29, 30]. Оказывается, все эти слагаемые имеют ясную интерпретацию на языке Б-бран в рамках АсШ/СРТ соответствия.

Согласно гипотезе Ас18/СРТ соответствия, низкоэнергетическое эффективное действие в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса должно описывать динамику пробной БЗ браны, движущейся на фоне большого числа других БЗ бран [11, 31]. Это эквивалентно движению БЗ браны в пространстве вида Л<¿¿>5 х 55, поскольку такая геометрия индуцируется большим числом совпадающих БЗ бран. С точки зрения теории струн, описать

динамику БЗ браны на таком фоне не трудно: в бозонном секторе она определяется действием вида Дирака-Борна-Инфельда (см. [32] в качестве обзора). Это действие содержит все степени максвелловского поля напряженности, а также скалярные и спинорные поля, которые требуются для суперсимметрии. С другой стороны, вычисление низкоэнергетического эффективного действия в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса представляет собой сложную задачу, которая обычно решается пертурбативно по отношению к различными параметрам теории (постоянная Планка и число производных поля). Следовательно, для развития суперсимметричной квантовой теории поля требуются методы, позволяющие находить эффективное действие, как пертурбативно, так и непертурбативно.

Использование суперпространства позволяет сократить и упростить многие вычисления при исследовании как классических, так и квантовых свойств суперсимметричных теорий поля. Хотя суперпространственные методы наиболее хорошо развиты для моделей с простой суперсимметрией [33, 34], имеются их различные обобщения для моделей теории поля с расширенной суперсимметрией. Мы будем касаться одного из таких обобщений, который принято называть подходом гармонического суперпространства [35-38].

Метод гармонического суперпространства был изначально предложен для изучения классических и квантовых свойств теорий поля о, N — 2 суперсимметрией, но был успешно расширен для формулировки классического действия N = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса [39, 40]. Имеются также различные версии N = 4 гармонических суперпространств [41-45], но, к сожалению, они не позволяют записать классическое действие Л/* = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах неограниченных суперполей. Тем не менее, мы увидим, что некоторые из таких суперпространств оказываются чрезвычайно удобными для построения низкоэнергетического эффективного действия этой теории. Как мы покажем, наиболее удобны N — 4 гармонические суперпространства, которые используют и8р(4) либо 8и(2)х8и(2) гармонические переменные. Особенностью этих суперпространств является наличие незаряженных суперполевых напряженности, для которых эффективное действие принимает наиболее простой вид.

Обсудим некоторые аспекты N = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Она описывается классическим действием в Л/* = 3 гармоническом суперпространстве с использованием несвязанных калибровочных суперполей [39, 40], т.е. все суперсимметрии в этом действии реализованы явно и замыкаются вне массовой оболочки. Хорошо известно, что на массовой оболочке эта модель эквивалентна N — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса [38]. Поэтому N = 3 суперсимметрия вне массовой оболочки является максимально возможной в Л/" = 4 суперкалибровочной теории. Можно ожидать, что использование N = 3 суперпространства должно приводить к наиболее сильным результатам при исследовании квантовых аспектов N — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Тем не менее, проблема низкоэнергетического эффективного действия ЛА = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса до настоящего времени оставалась неизученной несмотря на то, что некоторые пути для квантовых вычислений в Л/" = 3 суперпространстве были намечены в [46]. Решение этой проблемы является одной из целей настоящей диссертационной работы.

Хотя Л/* = 3 и N = 4 суперсимметричные теории поля Янга-Миллса эквивалентны на массовой оболочке, вне массовой оболочки это может не выполняться. То есть, эти теории должны иметь одни и те же амплитуды рассеяния для физических полей, но вне массовой оболочки их эффективные действия могут отличаться. Как следствие, эти модели будут иметь разную связь с фоновой супергравитацией. Последнее очевидно уже из того, что мультиплеты N = 3 и N = 4 супергравитации различаются (см. напр. [47]).

Дуальность между N = 4 суперсимметричной теорией поля Янга-Милл-са и ПВ суперструной на многообразии вида 5 х Б5 является наиболее глубоко изученным, но не единственным примером АсШ/СРТ соответствия. В течение последних пяти лет активно развивается еще один пример этого соответствия, основанный на дуальности между моделью ПА суперструны на

о

многообразии вида АйБ^ х СР и трехмерными суперконформными теориями поля с N — 6 или Л/* = 8 расширенной суперсимметричной (см. [48] в качестве обзора). Классическое действие такой модели теории поля с N — 8 расширенной суперсимметрией было построено в серии работ Баггера, Ламберта и Густавссона [49-53], поэтому такую теорию часто называют аббревиатурой

БЛГ по первым буквам фамилий авторов. Удивительным свойством этой теории является использование новой математической конструкции, известной как три-алгебра. Такая три-алгебра является некоторым обобщением понятия обычной алгебры Ли, но является частным случаем гг-алгебры, которая была предложена в работе [54]. Впрочем, в последующих работах было установлено, что такая конструкция не является необходимой для записи классического действия модели БЛГ и все результаты могут быть переформулированы на языке обычных алгебр Ли [55, 56].

Модель Баггера-Ламберта-Густавссона представляет собой теорию поля Черна-Саймонса, взаимодействующего с полями материи специальным образом, так, что суперсимметрия расширяется до Л/" = 8 [49-52]. Было установлено, что требование максимально расширенной суперсимметрии накладывает сильные ограничения на вид лагранжиана теории: фиксируется не только представление калибровочной группы, но и сама калибровочная группа. Оказывается, что единственной компактной калибровочной группой Ли, совместной с Л/" = 8 суперсимметрией, является группа 80(4)~811(2)х8и(2), а поля материи находятся в бифундаментальном представлении [57-59]. Это вызывает определенные трудности при изучении АсШ/СРТ соответствия с этой теорией, поскольку известно, что оно хорошо применимо для случая, когда ранг калибровочной группы стремится к бесконечности. Это ограничение удается преодолеть за счет ослабления требования максимальной Л/" = 8 суперсимметрии до М = 6. В работах [56, 60] показывается, что при расширении калибровочной группы 811(2)х8и(2) в БЛГ теории до 8и(га)х8и(п)