Единое эффективное действие теории квантовой гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный педагогический университет

ТОЛЧЕНОВА (ШЕВЧЕНКО) Ирина Николаевна

ЕДИНОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В ТЕОРИИ КВАНТОВОЙ

ГРАВИТАЦИИ

(специальность 01.04.02 - теоретическая физика)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Одинцов С.Д.

Томск - 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Введение ................................................................ 4

Глава 1. Эффективное действие в квантовой теории поля.............. 16

§1.1. Стандартное эффективное действие в теории поля. ............. 19

§1.2. Параметризационно-инвариантное определение эффективного

действия......................................................... 24

§1.3. Единое эффективное действие в калибровочных теориях.........29

Глава 2. Единое эффективное действие в квантовой гравитации.......36

§2.1. Однопетлевое разложение эффективного действия............... 36

§2.2. Единое эффективное действие в многомерной В2 - гравитации. .. 46 §2.3. Исследование калибровочной зависимости эффективного

действия квантовой гравитации со скалярным полем............ 58

§2.4. Связность для квантовой гравитации со скалярным полем.......62

§2.5. Вычисление поправки Вилковыского............................. 66

§2.6. Единый эффективный потенциал для квантовой гравитации

со скалярным полем............................................. 68

§2.7. Единый эффективный потенциал для эйнштейновской

гравитации, теории Бранса - Дикке............................. 71

Глава 3. Единое эффективное действие в двумерной квантовой

гравитации с нелокальным действием........................... 76

§3.1. Изучение калибровочной зависимости эффективного

действия......................................................... 77

§3.2. Вычисление поправки Вилковыского.............................. 81

§3.3. Единое эффективное действие и его зависимость

от метрики конфигурационного пространства....................84

Заключение Литература

ВВЕДЕНИЕ.

С тех пор как общая теория относительности и квантовая механика изменили наши представления о мире, центральной задачей теоретической физики стало построение обьединенной теории фундаментальных сил природы. В последние несколько десятилетий было достигнуто значительное продвижение на этом пути. Квантовая теория поля [1-6], калибровочный подход [ напр. 7, 12, 13] позволили объединить электромагнитные и слабые взаимодействия [8-10] ( модель Вайнберга, Глэшоу, Салама ), основанная на калибровочной группе 311(2) х 17(1); построить квантовую хромодинамику - калибровочную теорию сильных взаимодействий; обьебдинить модели сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий ( теории большого объединения) (см. напр. [11-13]).

Однако описать все фундаментальные взаимодействия на единой теоретической основе пока не удалось из-за нерешенных ключевых проблем, связанных с особенностями гравитации. Квантовая гравитация изучает квантовые особенности гравитации. Хотя теория квантовой гравитации еще далека от завершения , вероятно, только последовательный учет квантово-гравитационных явлений может позволить завершить процесс построения единой теории всех взаимодействий и устранить основные трудности, присущие квантовой теории поля ( например, избавиться от "бесконечностей"). Поскольку константа гравитационного взаимодействия довольно мала, эффекты квантовой гравитации могут оказаться существенными или на малых пространственно-временных расстояниях (порядка планковской длины Ьр = уС?/г./с3 « 10~33см и планковского времени Тр = УС/г/с5 « 10~44сек, где С - фундаментальная гравитационная постоянная, к - постоянная Планка, с - скорость света), или в сильных гравитационных

полях. Расстояниям порядка ~ Ю-33 см соответствуют энергии взаимодействующих частиц ~ 1028 эВ (т.е. планковской энергии Ер = /С ~ 1019 ГэВ). Известно, что теория, основанная на группе локальной симметрии ££7(3) х 51/(2) х £7(1), описывает электромагнитные, сильные и слабые взаимодействия ( в прямом произведении каждой из калибровочных групп соответствует своя калибровочная константа связи). Было показано, что все три калибровочные константы связи сливаются при энергиях порядка 1015 ГэВ. Следовательно, можно ожидать , что при высоких энергиях ( порядка Ю15 ГэВ) все негравитационные взаимодействия становятся неотличимыми друг от друга и описываются единой теорией большого объединения, которая основывается на калибровочной группе 517(5), £(6), 50(10) и т.п., в которых группа 5£/(3) х 5£7(2) х [7(1) является подгруппой.

Квантово-гравитационные эффекты могут быть значительными и в сильных гравитационных полях, возникающих естественным образом на ранних этапах эволюции Вселенной и при образовании черных дыр. Черные дыры являются компактным массивным объектом, сильное гравитационное поле которых удерживает вещество и свет и препятствует тем самым выходу наружу любой информации. При изучении строения пространства-времени в рамках классической гравитациии было показано, что возникновение сильных гравитационных полей неизбежно связано с образованием сингулярностей, т.е. неустранимых особенностей в пространстве-времени , в окрестностях которых классическая теория гравитации оказывается недостаточной и перестает работать. В космологии эта сингулярность присутствовала ( в рамках классического описания ) в начальный момент расширения Вселенной. В черных дырах сингулярность развивается как результат сжатия (коллапса) вещества. Исследование космологической сингулярности оказывается необходимым, поскольку, именно ха-

рактер процессов, происходящих около нее, может существенным образом определять дальнейшую эволюцию Вселенной. В рамках квантовой гравитации можно будет понять характер квантовых явлений в подобных экстремальных условиях. В конкретных исследованиях в этой области имеются серьезные трудности, связанные, например, с тем, что с ростом величины спина частиц теория сильно усложняется [11]. Кроме того, в классической гравитации стандартные схемы квантования не приводят к удовлетворительной квантовой теории.

Сформулируем кратко ряд проблем и вопросов, исследование которых представляется наиболее актуальным и важным для понимания как самой квантовой гравитации, так и ее космологических приложений и остановимся на тех новых результатах, которые были достигнуты при изучении этих проблем.

Известно, что теории большого объединения и гравитация связаны с различными типами калибровочных симметрий (в гравитации - пространственно - временные, в теории большого обьединения - внутренние). Возможность унификации внутренних симметрий с геометрическими представлена фундаментальным принципом, названным суперсимметрией [16-18]. Преобразования суперсимметрии переводят друг в друга фермионы и бозоны . Фермионные и бозонные петли имеют противоположные знаки. Поэтому в суперсимметричных теориях удается компенсировать нежелательные квантово-полевые расходимости ( в отличие от суперсимметричных ) [напр. 19]. В математическом аппарате квантовой теории поля суперсимметрия раскрыла глубокие связи между различными типами преобразований. Переходя от глобальной суперсимметрии к локальной, было получено обобщение общей теории относительности - супергравитация [напр. 20], обьединившая суперсимметрию и гравитацию, была развита расширенная

супергравитация. Но несмотря на уже достигнутые многообещающие результаты , построить последовательную квантовую гравитацию в рамках супергравитационных моделей не удалось.

Большой интерес вызывают теории с дополнительными пространственными измерениями. Особенно это относится к известной в принципе давно модели Калузы-Клейна [21-31]. Эта модель была объектом большого числа исследований еще в тридцатые годы, затем забыта, а в восьмидесятые годы возрождена на совершенно новой основе. В подходе Калузы-Клейна исходят из того, что все физические поля имеют единое происхождение и обусловлены геометрией многомерного пространства-времени. Ненаблюдаемость дополнительных ( с? — 4 ) измерений объясняется с помощью механизма спонтанной компактификации, в котором "лишние" (с точки зрения видимого нам 4-мерного мира) измерения имеют размеры порядка планковских (Ьр ~ Ю-33 см), что соответствует очень высоким энергиям, недоступным в настоящее время и характерным для ранней Вселенной. Следовательно, исследования спонтанной компактификации [20-31] в различных многомерных моделях должно дополнятся анализом квантово-гравитационных аспектов теории.

В последние несколько лет появилась новая теория, вызвавшая целый поток статей - теория суперструн. Теория суперструн обьединяет идеи локальной суперсимметрии и Калузы-Клейна. С квантово-полевой точки зрения теория одной суперструны является теорией бесконечно большого числа квантовых полей. Спектр частиц, описываемых суперструной, обладает суперсимметрией. Минимальная размерность пространства-времени, в котором можно построить непротиворечивую теорию суперструны, равна 10, что соответствует одной временной координате и девяти пространственным. Тогда считают, что при компактификации 10-мерного пространства

шесть пространственных измерений образуют компактное многообразие с характерными размерами порядка 1/тр , а оставшиеся четыре измерения соответствуют обычному пространству Минковского. Теория суперструн имеет привлекательные стороны из-за ее конечности, сокращения аномалий, непротиворечивости на квантовом уровне и т.д. Но более-менее приемлемое описание этой теории, по-видимому, еще отсутствует, и надежды на эту теорию, как на последовательную квантовую гравитацию пока не оправдались.

Подводя итоги приведенному краткому обзору современного состояния физики высоких энергий, можно заключить, что удовлетворительная квантовая теория гравитации еще не построена. Поэтому единственной возможностью получить информацию о квантовых свойствах гравитационного взаимодействия (по крайней мере, на качественном уровне) остается изучение различных моделей квантовой гравитации.

Одним из наиболее важных объектов в квантовой теории поля является эффективное действие [34, 35]. Эффективное действие - это функционал, представляющий обобщение классического действия, в котором учитываются квантовые поправки. Используя такую конструкцию (классическое действие + все квантовые поправки), можно определить все квантовые свойства теории. Обычно в качестве эффективного действия выбирается производящий функционал вершинных функций Грина. После введения эффективного действия Швингером, этот формализм оказался чрезвычайно полезным в исследовании различных аспектов теории квантовых полей, таких как : анализ структуры расходимостей и перенормировки теории поля, определение вакуумного состояния, изучение динамического нарушения симметрии и фазовых переходов, вычисление квантовых поправок к классическим уравнениям движения (эффективные уравнения), постро-

ение квантовых космологических моделей и др. Концепция эффективного действия оказалась очень полезной также и в теории (супер)струн. Однако применение этого формализма к калибровочным теориям обнаруживает две проблемы. Во-первых, при квантовании вводятся члены, фиксирующие калибровку, в результате эффективное действие теряет калибровочную инвариантность. Эта проблема решается с помощью метода фонового поля [14]. При этом рассматриваемые поля разлагаются на фоновую и квантовую части. Калибровка фонового поля выбирается так, чтобы калибровка квантового поля фиксировалась, в то время как калибровочная инвариантность эффективного действия относительно фонового поля еще сохраняется.

Во-вторых, даже если эффективное действие, благодаря методу фонового поля является калибровочно-инвариантным, оно еще будет зависеть от выбора калибровочного условия. Как отмечалось в работе [40], этот факт обусловлен зависимостью эффективного действия от перепараметризации полей. При этом 5-матрица не зависит от выбора калибровочного условия и параметризации квантового поля [40]. Физические величины, определяемые с помощью эффективного действия, как правило, не зависят от выбора калибровочного условия. Однако, как указывалось в работах [41-43], радиус спонтанной компактификации зависит от выбора калибровочного условия. От выбора параметризации квантового поля зависит критическая температура и т.д.

Возможный вариант решения этой проблемы был предложен в работе [40]. Был определен новый функционал, который является уже кали-бровочно - и параметризационно - инвариантным вне массовой оболочки. Для этого автором работы [40] была введена связность в пространстве полей, что дало возможность построить параметризационно - инвариантное

эффективное действие. Затем эта связность была реализована для калибровочных теорий и гравитации, что позволило получить калибровочно-и параметризационно - инвариантное эффективное действие [40]. Позже было получено простое эффективное действие, которое совпадает с описанным выше вариантом в однопетлевом приближении [50]. Для теорий Янга-Миллса эти два эффективных действия сравнимы до двухпетлевого уровня [51]. Было найдено, что новое эффективное действие сохраняет перенормируемость. Основываясь на результатах [ 40,50] было обнаружено, что существует бесконечное множество калибровочно- и параметризационно - инвариантных эффективных действий вне массовой оболочки. На массовой оболочке все эти эффективные действия совпадают со стандартным эффективным действием.

Большое число работ было посвящено изучению возможностей формализма, предложенного Вилковыским и Де Виттом [ см. напр. 51-56, 60,62, 75-88]. Применяя единое эффективное действие , удалось рассмотреть ряд вопросов, а именно: физическая интерпретация эффективного действия [39]; вычисление однопетлевого эффективного действия Вилковыского и Вилковыского-Де Витта в квантовой гравитации [52-54], теориях Янга-Миллса [51,54], многомерной эйнштейновской гравитации [55,57], многомерной R2 -гравитации [56, 57, 62,104], многомерной супергравитации [ 6671]; приложения к теории (супер)струн [ 63-65], квантовой хромодинамике при ненулевой температуре [ 72,75]; эффективный потенциал Коулмена-Вейнберга [ 106] и возможность спонтанного нарушения в конечных теориях [ 105 ]; эффективные уравнения в квантовой гравитации с материей [79, 98-101 ]; динамическое нарушение локальной суперсимметрии в N — 1 супергравитации [86, 101-103], квантовая спонтанная компактификация в многомерной R2 -гравитации [104] и d = 5 калибровочной супергравитации

[69]. Было также доказано, что ¿"-матрица, определяемая эффективным действием Вилковыского-Де Витта, эквивалентна стандартной 5-матрице [73]. В целом ряде работ были изучены квантовые аспекты теории Калузы-Клейна и применения эффективного действия Вилковыского-Де Витта в этих теориях [55, 56, 60, 87-89,91]. В обзорных работах [ 14, 77 ] была детально исследована геометрическая структура калибровочно- и параметриза-ционно - инвариантных эффективных действий с физическими приложениями. Исследование эффективного действия составных полей оказалось удобным при решении многих проблем (при построении космологических моделей ранней Вселенной, динамическое нарушение симметрии в квантовой хромодинамике и сильно взаимодействующей квантовой электродинамике и др.) [ 92-94].

Таким образом, эффективное действие, действительно, является "эффективным" в решении различных проблем моделей квантовой гравитации.

Данная диссертация посвящена дальнейшему исследованию единого эффективного действия в различных моделях квантовой гравитации на од-нопетлевом уровне.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Глава первая посвящена рассмотрению общих принципов формализма калибровочно- и параметризационно-инвариантного действия действия в квантовой теории поля [ 39, 40, 50, 74].

В первом разделе данной главы были рассмотрены свойства эффективного действия, определенного стандартным образом.

Во втором разделе показано, как обычно строится параметризационно-инвариантное эффективное действие для некалибровочных теорий. На про-

странстве полей (рг , обладающей связностью Т^к[<р], вводится двухточечный функционал стг((р(з), <р(0)) [ 34 ], где 5-параметр, который, как показано в [40, 50], можно разложить в функциональный ряд Тейлора в окрестности точки ср\ .Тогда производящий функционал 9?*] определяется следующим образом

ехрг/ТП^«/, р*] = ! Б- ^(7г((р*,(р))

в котором подинтегральное выражение очевидно, скаляр относительно преобразований квантового поля. Выполняя преобразования Лежандра для И^У, ,получили уравнение для Г, определяющее бесконечное множество эффективных действий, нумеруемых различными точками . Все эти эффективные действия являются параметризационно- инвариантными. В этом разделе выписаны тождества Уорда, управляющие зависимостью Г от ср1 . Как отмечалось в работе [74], удоб�