Квантовая механика самогравитирующей оболочки, квантовые черные дыры и излучение Хокинга тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

Боярский Алексей Михайлович

Квантовая механика самогравитирующей оболочки, квантовые черные дыры и излучение Хокинга.

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители кандидат физ.-мат. наук | В. А. Березин

/ доктор физ.-мат. наук

^Л--

........7-...,. В. А. Кузьмин

Москва 1998

Оглавление

Введение 1

1 Геометродинамика сферической гравитации. 21

1.1 Пространство-время черной дыры. . . . ...... 21

1.1.1 Решение Шварцшильда. .... ..,.-.•.... ..... 24

1.2 АДМ формализм для сферически -симметричной гравитации.................................29

1.2.1 Действие в гамильтоновой форме. . ........30

1.2.2 Граничные условия и поверхностные члены............31

1.2.3 Преобразование Кухаржа и полная интегрируемость. 35

2 Теория тонких оболочек. 38

2.1 Общий формализм. . . ....................38

2.1.1 Сферически-симметричные оболочки..........40

2.2 Черные дыры и кротовые норы. . .............................42

2.3 Гамильтонов формализм для сферически -симметричной

оболочки..............................47

2.3.1 Каноническое преобразование, доказывающее интегрируемость теории........................................50

3 Квантование. 57

3.1 Квантовая геометродинамика пространства-времени с оболочкой. ..............................57

3.1.1 Квантование вечной черной дыры...........57

3.1.2 Квантовая механика самогравитирующей оболочки. 58

3.2 Предел больших черных дыр. . . ...................63

3.2.1 Метод вычисления спектра масс по асимптотикам

решений уранения................... . . 67

3.3 Спектр масс: точное уравнение ................70

3.3.1 Асимптотические решения...............71

3.3.2 Спектр масс..............................................82

4 Квантовая черная дыра и излучение Хокинга 85

4.1 Учет обратного влияния ....................87

4.2 Квантовое число для инфинитного движения.........90

4.3 Спектр излучения и спектр масс черной дыры. . ......94

5 Температура и энтропия черной дыры. 98

5.1 Квазиклассическая волновая функция.............99

5.1.1 Состояния под горизонтом и внешность черной дыры 101

5.2 Спектр излучения Хокинга...................103

Заключение 106

Список литературы. 111

Введение

Традиционная (пертурбативная) квантовая теория поля представляет собой совокупность квантовых механик для Ы-частичных состояний (для всевозможных К) и переходов между ними. Начальной точкой при формулировке такой теории является пространство Фока, образованное состояниями с различным числом (приближенно) свободных частиц со всевозможными значениями энергии и импульса. Начиная с фактически квантово-механического описания таких частиц, мы строим для них Гильбертово пространство и затем учитываем возможности переходов, рождения и уничтожения частиц.

Однако, хорошо известно, что такая интерпретация теории поля в терминах частиц имеет определенные недостатки. Один из таких недостатков сразу же проявляется при попытке распространить теоретико-полевое описание с интерпретацией в терминах частиц на Планковские масштабы. Еще в 1966 году М.А.Марков ([1],[2]) заметил, что для частицы массы Планка (тр/ = ~ 10~5дг) комптоновская длина волны 1С = ^ примерно совпадает с гравитационным радиусом.

, , , 2втР1 2С /Лс л [НС П

Таким образом, для "транс-планковских частиц" комптоновская длина волны становится меньше гравитационного радиуса и такие частицы физически должны образовывать черные дыры.Следовательно, на планков-ских масштабах приближение свободных частиц становится физически неадекватным и квантовомеханическое описание "транс-планковских частиц" должно строиться с учетом гравитационного взаимодействия ([3]).

Обычно предыдущий анализ используется в качестве аргумента в пользу необходимости построения квантовой теории гравитации. Как из-

вестно, построение такой теории сталкивается с серьезными трудностями. Построить квантование гравитации методами пертурбативной теории поля не удается. Гравитация содержит размерную константу связи и является неперенормируемой. На сегодняшний день существует несколько подходов к проблеме квантования гравитации. Все они связаны либо с попытками выйти за рамки теории возмущений, либо с отказом от теории поля вообще ([4]).

Наиболее развитым и популярным сегодня подходом, обладающим богатой математической структурой, является теория суперструн [5]. Теория суперструн содержит (супер) гравитацию в качестве низкоэнергетического предела. В рамках струнной теории возмущений построена сво-. бодная от расходимостей теория рассеяния частиц спина два, соответ-свующих гравитационному полю, а также их взаимодействие с полями материи и калибровочными полями. Основными недостатками этой теории, с точки зрения гравитации, являются отсутствие формулировки, не зависящей от фоновой метрики [6], трудности с механизмом нарушения суперсимметрии, отсутствие прямых физических предсказаний.

В последнее время был достигнут значительный прогресс в построении непертурбативной теории струн (и ее расширения, так называемой "М-теории"). Он связан с изучением протяженных непертурбативных объектов, таких как Д-браны (возникающие как поверхности граничных условий Дирихле для открытых струн) и р-браны (солитонные решения супергравитации, взаимодействующей с полем Янга-Милса и дилатоном в низкоэнергетическом пределе теории струн) [7], а также гипотезами о дуальностях между различными теориями струн [8],[9],.[10]. В рамках этого подхода удалось получить описание черных дыр как солитоно-подобных объектов в низкоэнергнтической теории струн и предложить вариант статистического описания термодинамики экстремальных [11] и близких к экстремальности [12] черных дыр. Однако, большинство утверждений и конструкций "М-теории" основывается на предположениях и гипотезах, хотя и широко принимаемых сегодня специалистами. Полностью отсутствует четкая формулировка теории, не известны фундаментальные переменные. В сущности, "М-теория" представляет собой на сегодняшний день совокупность конкретных (но непроверяемых эксперементально) вычислительных рецептов, необыкновенно красивых математических конструкций и интригующих совпадений. Во-первых, эта теория еще совершенно далека от завершенности и, во-вторых, по-

прежнему отсутствуют серьезные физические основания быть уверенным, что она дает правильный путь для описания материи на план-ковских масштабах. В частности, невозможно пока сформулировать на таком языке многие принципиальные проблемы гравитации и физики черных дыр (о которых реч пойдет ниже). Кроме того, хотя дуальности дают возможность описания непертурбативных эффектов в теории струн, в частности нетривиальной, непертурбативной по отношению к пространству Минковского пространственно-временной геометрии, про-блемма формулировки, не зависящей от фоновой метрики, не решена полностью также и в "М-теории" [13],[4].

Другой подход, называемый "петлевой квантовой гравитацией" [14], основан на формулировке общей теории относительности в переменных А.Аштекара [15] и на выборе голономий связности Аштекара в качестве наблюдаемых теории. Трудности петлевой квантовой гравитации так же, как и теории струн, состоят в отсутствии полной согласованной теории, а так же в отсутствии определенных физических предсказаний. В петлевой квантовой гравитации, кроме того не ясен низкоэнергетический предел теории [4]. Достоинством этого подхода является явная независимость от фоновой метрики. Возможная связь петлевой квантовой гравитации с М-теорией обсуждается в работах [16],[17].

Существует также подход к квантовой гравитации, основанный на триангуляции пространственно-временного многообразия - исчисление Редже [18]. Подход, основанный на анализе евклидова функционального интеграла для гравитационного поля, [19] получил широкое применение в квантовой космологии [20].

Наиболее традиционным подходом к квантованию гравитации является канонический подход. Канонический формализм для гравитации был развит П.Дираком [21] и Р.Арновиттом, С.Дезером и Ч.Мизнером (АДМ) [22]. Действие Гильберта - Эйнштейна

5= I (0.2)

инвариантно относительно общих диффеоморфизмов Г>г'//М4 пространства -времени М4. Поэтому соответствующая гамильтонова теория оказывается теорией со связями первого рода [23], причем гамильтониан пропорционален связям.

Для построения гамильтонова формализма АДМ пространственно-временное многообразие М4 расслаивается на пространственно - подобные поверхности М4 = Е3 х М1. Тогда метрику можно представить в виде

ds2 = h^dx1 + Nidt)(dxj + Njdt) - (Ndt)2 (0.3)

где x\ ¿ = 1.2,3- координаты на пространственно-подобной поверхности Е3, hij - индуцированная метрика на Е3, t - времени-подобная координата, трансверсальная этой поверхности, а (1 /N, N*/N) - компоненты вектора нормали к Е3. Действие (0.2) переписывается через метрику (0.3) в виде

S = J тгVhij — NH — NiUid3xdt + (surface terms) (0.4)

где

тгij -- Vh (hijSpK - Kij) (0.5)

- импульсы, сопряженные h^,

Kij = 2^ + ~ hij) (°-6)

- тензор внешней кривизны поверхности Е3, вложенной в М4. Здесь точка означает дифференцирование по времени, черта - ковариантное дифференцирование по трехмерной метрике hФункции

[ut = 8тгfyhikhji + huhjk - hijhkiyhты - 1,. [W = -2Trg.

являются связями в гамильтоновом формализме. Здесь 1Z - скалярная кривизна трехмерной метрики hij. Видно, что величины N и iVj = h^Ni оказываются множителями Лагранжа и не определяются из уравнений движения; первичные связи НшИ1 являются связями первого рода и генерируют калибровочные преобразования, соответствующие в гамильтоновом формализме инвариантности действия относительно диффеоморфизмов DiffM4-

Калибровочная теория со связями первого рода может быть прокван-тована в соответствии с процедурой Дирака [24]. В случае теории поля

гамильтоново (дираковское) квантование систем со связями проводится в рамках формализма Баталина-Вилковысского-Фрадкина (БВФ) [25]. Однако, связи гамильтонова формализма в теории гравитации имеют сложную нелинейную структуру, а калибровочная группа £>г//м4 ~ сложную геометрию, что затрудняет реализацию схемы квантования БВФ. В рамках другого варианта процедуры Дирака уравнения связи переходят при квантовании в операторные уравнения на волновую функцию. Трудности этого подхода в теории поля связаны с тем, что волновая функция является функционалом Ф [/г^-], зависящим от полей /г^-, а связи (0.7) переходят при квантовании в операторнозначные функционалы [26, 27]

НМЫ]] = -

\з

2

87Г Г 5 8 , "V л/м?

(0.8)

= о

где йцы = ЬгкН^ + Ник^к — к^кы- Первый набор уравнений (0.8) означает, что физическое состояние должно быть инвариантно относительно репараметризаций трехмерной поверхности Е3, второе уравнение в (0.8) есть известное уравнение Уиллера-деВитта [27, 26].

Решение и интерпретация этого уравнения в общем виде затруднены. Однако, замораживая почти все степени свободы, за исключением нескольких, (как, например, в космологических моделях), можно получать точно решаемые модели в квантовой гравитации, что впервые было продемонстрировано деВиттом в [26]. Ч.Мизнер и его школа развили эту идею "квантования минисуперпространства" [28] до систематического исследования задач квантовой космологии [29, 30]. Далее техника "минисуперпространства" была развита до "квантования мидисуперпро-странств" бесконечномерных моделей. Первая система, рассмотренная подобным образом, была цилиндрическая гравитационная волна [31]. На примерах таких "мидисуперпространств" стали ясны принципиальные трудности интерпретации уравнения Уиллера-деВитта (0.8). Изучение этих трудностей привело к исследованию так называемых "репараметризационно-инвариантных теорий" [24, 32].

Вернемся, однако, к проблеме квантово-механического описания материи на масштабе энергий порядка и выше планковской. В сущности, эта пролема не является специфичной только для собственно гравитационного поля. Подобные состояния, с энергиями, при которых, по чисто

физическим соображениям, следующим из оценок типа (0.1), становятся существенны гравитационные эффекты, содержатся (по крайней мере формально) в любой теории поля. Помимо трудностей, связанных с неперенормируемостью при пертурбативном описании рассеяния частиц спина два, модели гравитирующей материи содержат следующую общую проблему. Гравитационное поле, как известно, не только отвечает за гравитационное взаимодействие между частицами, но также определяет глобальную структуру пространства-времени. В обычной механике пространство-время является также конфигурационным пространством для частиц. Поэтому, когда гравитационные взаимодействия принимаются во внимание, структура самого наивно определенного "конфигурационного пространства" начинает зависеть от начальных условий, как это можно видеть из анализа классических решений. Поэтому возникает проблема корректного определения конфигурационного пространства для гравитирующей частицы. На квантово-механическом уровне эта проблема проявляется особенно ярко. В квантовой механике мы обычно должны рассматривать суперпозицию различных классических состояний. Это означает, что для самогравитирующих систем мы должны работать в терминах суперпозиции различных пространственно-временных геометрий.

Эта проблема является одной из основных при построении квантовой теории с учетом гравитационных взаимодействий. Фактически, она не связана прямо с проблемой рассеяния, рождения и уничтожения гравитонов. Присутствуя в квантовой теории поля, эта проблема возникает уже на квантово-механическом уровне, т.е. для систем с конечным числом степеней свободы. Поэтому естественно попытаться исследовать ее в простейших ситуациях, когда значительно проще получить корректное определение конфигурационного пространства и исследовать структуру гильбертового пространства для квантовой самогравитирущей частицы.

Возможный путь построения квантово-механической модели самогра-витирующей материи, не столкнувшись с трудностями пертубативной квантовой гравитации, возникает, если включить в теорию только часть степеней свободы гравитационного поля - глобальные, топологические степени свободы, ответственные за глобальную геометрию пространственно-временного многобразия.

Одним из популярных примеров такой "гравитации без гравитонов" является случай размерности 2+1. Гравитация в такой размерности ока-

зывается топологической и эквивалентой теории Черна-Саймонса (см. [33],[34],[35],[36]). Физические степени свободы в этом случае описываются в терминах вильсоновских петель.

Другим простым примером топологической гравитационной модели является сферически симметричная гравитация в 3+1 измерениях. В этом случае локальные степени свободы отсутствуют благодаря теореме Биркгофа. В этом случае роль топологических степеней свободы играют глобальные наблюдаемые, входящие в качестве параметров в сферически-симметричную метрику, такие как шварцшильдова масса. В последнее время появилась интересная конструкция, описывающая полную эйнштейновскую гравитацию в любой размерности как топологическую теорию (так называемую В¥-теорию) со связью [37],[38].

Для того, чтобы сделать теорию физической, необходимо ввести источник. В простейшей ситуации мы можем ввести лишь конечное число степеней свободы. Тогда, после редукции к физическим переменным, мы получим конечномерную систему и эффективное динамическое уравнение, описывающее частицы, взаимодействующие с топологичекими степенями свободы полевой системы. Эффективное фазовое пространство может быть определено, тогда как пространство классических решений, профакторизованное по калибровочной симметрии. Тогда квантовая механика, построенная в соответствующем конфигурационном пространстве, и будет эффективно описывать "суперпозицию" различных пространств-времен с материей, соответствующих различным классическим решениям.

Подобный анализ проводился в различных приближениях для случая гравитации в размерности 2+1 в работах Ж.т'Хоофта, С. Кар-липа, Х.Матчула и М.Веллинга [39],[40]. Формально подобная процедура проделывалась и для других топологических моделей с источниками (не связанных с гравитацией), например в работах Н.Некрасова и А.Горского [41]. Опыт этих исследований показывает, что в результате получаются действительно необычные квантово-механические системы. Общим свойством этих систем является то, что возникающие уравнения (аналоги уравнений Шредингера или Клейна-Гордона) оказываются уравнениями в конечных разностях. Это свойство имеет весьма глубокое происхождение и связано с (1-мерным (гамильтоновым) описанием систем, имеющих явную ¿+1-мерную релятивистскую инвариантность. Действительно, релятивистскую инвариантность в теории поля

можно реализовать либо перейдя к равноправному рассмотрению пространственных и временной координат, реализуя группу Лоренца в четырехмерном пространстве-времени (обычный формализм релятивистской теории поля), либо реализуя действие группы Лоренца на трехмерно�