Квантование сферически-симметричной гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

¿С/- О 0/у $ — /Г

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ч -

ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

Неронов Андрей Юрьевич

Квантование сферически-симметричной гравитации. Модели квантовых

черных дыр.

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители кандидат физ.-мат. наук В! А. Березин доктор физ.-мат. наук В. А. Кузьмин

Москва 1998

Оглавление

Введение 1

1 Гамильтонова формулировка гравитации. 26

1.1 Сферически-симметричное пространство-время................26

1.1.1 Пространство-время Шварцшильда......................29

1.2 Гамильтонов формализм для сферически -симметричной гравитации..................................34

1.2.1 - Действие в гамильтоновой форме............35

1.2.2 Поведение на бесконечности и поверхностные члены. 36

1.2.3 Преобразование Кухаржа, полная интегрируемость теории...........................40

2 Теория тонких оболочек. 43

2.1 Общий формализм........................43

2.1.1 Сферически-симметричные оболочки..........45

2.2 Черные дыры и кротовые норы.................47

2.3 Гамильтонов формализм для сферически -симметричной

оболочки............................................................52

2.3.1 Каноническое преобразование, доказывающее интегрируемость теории........................................55

3 Квантовая черная дыра. 62

3.1 Квантовая механика самогравитирующей тонкой оболочки. 62

3.1.1 Квантованное сферически-симметричной гравитационное поле в вакууме...................62

3.1.2 Квантовая механика на оболочке............63

3.2 Спектр масс больших черных дыр...............69

3.2.1 Метод вычисления спектра масс по асимптотикам

решений уранения..................... 73

3.3 Квазиклассический спектр масс.................77

3.3.1 Квазиклассические решения уравнения Шредингера

в комплексной плоскости................. 78

3.3.2 Квазиклассическая волновая функция в случае черной дыры.......................... 84

4 Спектр излучения Хокинга. 100

4.1 Квантовое число для инфинитного движения.........100

4.2 Спектр излучения и спектр масс черной дыры........ 104

Заключение 110

Список литературы. 114

Введение.

Черные дыры являются одним из наиболее интересных объектов современной теоретической физики. Фактически, невидимые гравитирующие объекты (объекты, из которых свет не может уходить на бесконечность), были известны еще Лапласу триста лет назад. Рассмотрим сферически-симметричное гравитирующее тело массы М и радиуса Л0- Скорость, при которой тело может уйти на бесконечность, ье) можно найти из бал-ланса потенциальной и кинетической энергии частицы, которая начинает двигаться от гравитирующего тела. Используя нерелятивистскую механику и ньютоновскую теорию тяготения, получим, следуя Лапласу (С -гравитационная постоянная, а то - масса частицы),

то\ _ втМ

(0.1)

2 _ 2вМ е Яо

Приравнивая скорость частицы скорости света с, получим максимальный радиус невидимого тела

2СМ , х

Яо = — (0.2)

что в точности совпадает, как ни удивительно, с гравитационным радиусом тела в общей теории относительности.

В рамках общей теории относительности черные дыры приобрели фундаментальное значение [1] и в последнее время получили экспериментальное подтверждение [3].

Теоремы о сингулярностях Р.Пенроуза [2] позволяют заключить, что образование сингулярностей и горизонтов событий являются ситуацией

общего положения в явлении гравитационного коллапса массивных тел, процесс коллапса неизбежно оканчивается образованием черной дыры.

Будучи последней стадией процесса гравитационног коллапса, черная дыра обладает рядом интересных свойств.

Оказывается, после завершения процесса коллапса вся информация о деталях этого процесса теряется. Для стационарных макроскопических черных дыр в рамках общей теории относительности Дж.Уиллер [74] предположил справедливость ставшей широко известной гипотезы об "отсутствии волос": черная дыра описывается всего лишь несколькими параметрами, такими, как масса, угловой момент и заряды, подчиняющиеся законам типа гауссова (как электромагнитное поле). Таким образом, черная дыра напоминает тело в термодинамическом равновесии. В 1972 году Я.Бекенштейн [4] предположил, что это не просто совпадение, и черная дыра действительно обладает некоторым количеством энтропии и имеет определенную температуру. Эта точка зрения основывалась на неравенстве, уже известном в то время, а именно, что площадь горизонта классической черной дыры не может убывать.

> 0 (0.3)

Это уравнение напоминает второй закон термодинамики. Поэтому Я. Бе-кенштейн предположил, что энторпия черной дыры пропорциональна ее площади $ (или является монотонно возрастающей функцией площади). Более того, оказалось, что можно записать аналог первого закона термодинамики, который совпадает с формулой для приращения массы черной дыры.

6т = £-6$ + ШЛ-Фй<Э (0.4)

07Г

Здесь 8т - разница масс двух стационарных черных дыр с мало различающимися площадями 5Б, угловыми моментами ЬЗ и электрическими зарядами ¿<3, а О, - угловой момент черной дыры, Ф - значение куло-новского потенциала на ее поверхности. Множитель к перед <55 - это так называемая поверхностная гравитация на горизонте черной дыры, он равен

к = /м2 - д2/с - Р/МЮ (0.5)

о

Я.Бекейнштейн предположил, что он пропорционален температуре черной дыры Твн.

Это предположение было подтверждено открытием С.Хокингом явления испарения черных дыр [5, 6]. С.Хокинг рассматривал квантовые флуктуации полей материи на фоне щварцшильдовских черных дыр и показал, что само существование горизонта событий приводит к потоку излучения, исходящему из черной дыры (нарушающему классическую теорему йБ > 0). Неожиданным явилось то, что это излучение, оказалось, обладает тепловым спектром, причем с температурой

Твн = ^ (0.6)

87ТТЛ

где тР1 - масса Планка. Таким образом, энтропия черной дыры оказыа-ется в равной одной четверти обезразмеренной площади горизонта

= -А - (0-7)

что находится в полном соответствии с предположением Бекенштейна (мы используем единицы измерения, в которых постоянная Планка К, скорость света с и постоянная Больцмана к положены равными единице; тогда планковская длина равняется 1р1 = ^JhG/c3 = С1//2 ~ 10_33ст,

планковская масса шр; =

у/Пс/в = е-1'2 ~ ю-V)-Интересно заметить, что теплоемкость черной дыры Шварцшильда отрицательна. Действительно, имеем по определению

яс

С = Твн---- = -8тгОт2 < 0 (0.8)

дТвн

Это означает, что если за счет флуктуации масса черной дыры уменьшается и тепловое равновесие нарушается, то температура черной дыры растет (0.6) и поток энергии от черной дыры увеличивается, что приводит к еще большему уменьшению массы. За счет термодинамической нестабильности черная дыра должна испаряться до самого конца, если только формулы для температуры и энтропии остаются справедливыми вплоть до малых (т ~ тр{) масс черных дыр.

В этом случае мы сталкиваемся с проблемой, известной как проблема "потери информации" при испарении черной дыры. Она состоит в том, что вещество, падающее в черную дыру имеет, вообще говоря, вполне определенные характеристики (оно может, например, нести различные

заряды - содержать "информацию"). В то же время тепловое излучение Хокинга не корреллировано с поглощенным веществом. В таком случае, если черная дыра полностью испаряется, не оставляя после себя даже остатка малой массы, то вся информация о веществе, поглощенном черной дырой исчезает. Это значит, что квантовая теория, при учете гравитационных эффектов, становится существенно неунитарной теорией.

Однако, черные дыры малой массы являются объектами, которые должны описываться с помощью квантовой теории гравитации. В этом режиме, конечно же, гравитационное поле уже не может быть рассмотрено как фоновое для распространяющихся в нем материальных полей, и необходимо учитывать обратную реакцию излучения на гравитационное поле. В этом случае вычисления, проведенные С.Хокингом, не работают. В таком случае возникает естественный вопрос - как модифицируются полуклассические вычисления С.Хокинга в рамках квантовой гравитации?

Существуют различные подходы к проблеме квантования гравитации. Наиболее развитым из них является теория струн [7]. Вера в то, что теория струн является правильной теорией, описывающей гравитацию в квантовом режиме, основана на том, что она, с одной стороны, свободна от расходимостей, а с другой стороны, среди струнных возбуждений присутствует безмассовая мода спина два. Такая мода с необходимостью взаимодействует с тензором энергии-импульса остальных полей и в первом приближении дает уравнения общей теории относительности в классическом пределе. В рамках теории струн были получены результаты, касающиеся статистического происхождения энтропии черных дыр для заряженных экстремальных [8] и близких к экстремальным черных дыр [9]. Основные трудности теории струн состоят в отсутствии самосогласованной теории вне рамок теории возмущений [10], отутствии формулировки, не зависящей от фоновой метрики [11], а также отсутствие прямых предсказаний (кроме наличия общей теории относительности в классическом пределе, что является лишь требованием приемлемости для любой теории, претендующей на роль квантовой теории гравитации), каких-либо (в идеале - проверяемых) следствий теории [12].

Другой подход, называемый "петлевой квантовой гравитацией" [13], основан на формулировке общей теории относительности в переменных А.Аштекара [14] и на выборе голономий связности Аштекара в качестве наблюдаемых теории. Трудности петлевой квантовой гравитации, так

же, как и теории струн, состоят в отсутствии полной согласованной теории, а также в отсутствии определенных физических предсказаний. В петлевой квантовой гравитации, кроме того, неясен низкоэнергетический предел теории [12].

Существуют также подход к квантовой гравитации, основанный на триангуляции пространственно-временного многообразия - исчисление Редже [15]. Подход, основанный на анализе евклидова функционального интеграла для гравитационного поля [16] получил широкое применение в квантовой космологии [17].

Никакой из известных на сегодняшний день подходов не дает согласованной теории и не предсказывает физических явлений, которые нужно ожидать в задачах, где важны квантовые флуктуации метрики пространства-времени. Для того, чтобы понять, какого рода эффекты следует ожидать, или каковы могут быть проявления квантовой гравитации в экспериментально доступной области, необходимо обратиться к анализу физических моделей, которые, с одной стороны, достаточно просты, чтобы можно было справиться с математическими трудностями - квантования гравитации, а с другой стороны, соответствуют какой -либо конкретной физической ситуации.

Модели такого типа можно получать в рамках канонического подхода в квантовой гравитации.

Канонический формализм для гравитации был развит П.Дираком [18] и Р.Арновиттом, С.Дезером и Ч.Мизнером (АДМ) [19]. Действие Гильберта - Эйнштейна

I Я^^х (0.9)

м4

инвариантно относительно общих диффеоморфизмов 1?г//м4 пространства -времени М4. Поэтому соответствующая гамильтонова теория оказывается теорией со связями первого рода [20], причем гамильтониан оказывается пропорционален связям.

Для построения гамильтонова формализма АДМ пространственно-временное многообразие М4 расслаивается на пространственно - подобные поверхности М4 = Е3 х М1. Тогда метрику молено представить в виде

¿в2 = кц(с1х1 + №<И)((1х> + №<И) - (№)2 ^ (0.10) где х\ г = 1,2,3 — координаты на пространственно-подобной поверхности

E3, hij - индуцированная метрика на Е3, t - времени-подобная координата, трансверсальная этой поверхности, a (1/iV, Nl/N) - компоненты вектора нормали к Е3. Действие (0.9) переписывается через метрику (0.10) в виде

S = J тг^ hij -NU- NiWcPxdt + (surface terms) (0.11)

где

TTij = Vh (hijSpK - Kij) (0.12)

- импульсы, сопряженные h^,

K„

lj = Ш (Nilj + Njli" ^ (013)

- тензор внешней кривизны поверхности Е3, вложенной в М4. Здесь точка означает дифференцирование по времени, черта - ковариантное дифференцирование по трехмерной метрике /г^-. Функции

Tit = 8тт-^(hikhu + huh,к - - 11

W = -2тг Ц

8тx-jjihikhji + huhjk - Ы^ы)1*1'тгы - у^'--, ^ щ

ij 1Г

являются связями в гамильтоновом формализме. Здесь 71 - скалярная кривизна трехмерной метрики Нц. Видно, что величины N и Щ оказываются множителями Лагранжа и не определяются из уравнений движения; первичные связи % и %г являются связями первого рода и генерируют калибровочные преобразования, соответствующие в гамильтоновом формализме инвариантности действия относительно диффеоморфизмов -Ог//м4-

Решение уравнений движения строится следующим образом. Фиксируется четырехмерное многообразие М4. Строится его слоение М4 = Е3 х М1 на стандартные трехмерные поверхности Е3 и некоторое одномерное многообразие М1. Затем строится метрика на Е3, удовлетворяющая уравнениям связи

( = о

1 , Щу) = 0

После этого, выбрав произвольно зависящее от точки х £ М4 векторное поле {1/N,N%/N), трансверсальное поверхностям £3 и нигде не обращающееся в нуль, можно реализовать метрику h^ на Е3 как метрику, индуцированную вложением £3 С М4 по формуле (0.10). При этом поверхность Е3 становится пространственноподобной поверхностью в пространстве -времени М4, а вдоль векторного поля (1/N, N'/N) отсчиты-вается временная координата.

Конструктивная реализация этой процедуры сталкивается с трудностями уже в случае сферически-симметричного пространства-времени, которые связаны с необходимостью a priori фиксировать топологию пространственно -временного многообразия М4, слоение на трехмерные поверхности £3, так, чтобы они впоследствии оказались поверхностями Коши в пространстве-времени, а также с построением векторного поля {l/N,Nl/N) без особенностей на многообразии М4. Эти трудности привели к тому, что геометродинамика сферически-симметричной гравитации была проанализирована до конца только в 1994 году К.Кухаржем в [21], где. был а доказана полная интегрируемость соответствующей теории поля.

Калибровочная теория со связями первого рода может быть прокван-тована в соответствии с процедурой Дирака [22]. Релизация процедуры квантования Дирака в случае теории поля приводит к формализму Баталина-Вилковысского-Фрадкина (БВФ) [23]. Однако, связи (0.15) га-мильтонова формализма в теории гравитации имеют сложную нелинейную структуру, а калибровочная группа Dif fM4 - сложную геометрию, что затрудняет реализацию схемы квантования БВФ. В рамках другого варианта процедуры Дирака уравнения связи (0.15) переходят при квантовании в операторные уравнения на волновую функцию. Трудности этого подхода в теории поля связаны с тем, что волновая функция является функционалом Ф [hij], зависящим от полей h^, а связи (0.14) переходят при квантовании в операторнозначные функционалы [24, 25]

где й^ы = + НиЩи — Первый набор уравнений (0.16) озна-

чает, что физическое состояние должно быть инвариантно относитель-

' = 2г Ф[Лу] = 0

<

т2 (0.

но репараметризаций трехмерной поверхности £3, Второе уравнение в (0.16) есть известное уравнение Уиллера-деВитта [25, 24].

Решение и интерпретация этого уравнения в общем виде затруднены. Однако, замораживая почти все степени свободы, за исключением нескольких, (как, например, в космологических моделях)., можно получать точно решаемые модели в квантовой гравитации, что впервые было продемонстрировано деВиттом в [24]. Ч.Мизнер и его школа развили эту идею "квантования минисуперпространства" [26] до систематического исследования задач квантовой космологии [27, 28]. Далее техника "минисуперпространства" была развита до "квантования мидисупер-пространств" бесконечномерных моделей. Первая система, рассмотренная подобным образом, была цилиндрическая гравитационная волна [29]. На примерах таких "мидисуперпространств" стали ясны принципиальные трудности интерпретации уравнения Уиллера-деВитта (0.16). Исследование этих трудностей привело к исследованию так называемых "репараметризационно-инвариантных теорий" [22, 30].

Одна из наиболлее важных задач теории гравитации состоит в построении теории гравитационного коллапса. Простейший пример задачи такого типа - коллапс сферически-симметричного распределения материи. Этот случай является достаточно простым ввиду наличия большой группы симметриии. В то же время в решенях уравнений Эйнштейна уже в этом простом случае присутствуют характерные для гравитационного коллапса особенности геометрии пространства-времени, такие, как наличие сингулярностей и горизонтов. Виду справедливости общих теорем о сингулярностях [2] можно ожидать, что результаты, полученные для сферически-симметричного случая, качественно сохраняются и при малых отклонениях от симметрии.

Исследование гамильтонова формализма для сферически - симметричной гравитации началось с работы Б.Бергера, Д.Цитре, В.Монкрифа и У.Нутку (БЦМН) [31]. В этой работе изучалась мидисупермодель, состоящая из взаимодействующих сферически-симметричных гравитационного и скалярного полей. Авторы привели действие к выделенному разбиению пространства -времени на пространство и время, характеризующемуся обращением в нуль "радиал�