Квантовые и классические эффекты неминимально связанного с кривизной скалярного поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

на правах рукописи

ПОПОВ Аркадий Александрович

КВАНТОВЫЕ И КЛАССИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ НЕМИНИМАЛЬНО СВЯЗАННОГО С КРИВИЗНОЙ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

01.04.02 — теоретическая физика

1 7 ОКТ 2013

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2013

005535066

Работа, выполнена на кафедре выс-meii математики и математического моделирования института математики и механики им. H.H. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук Сушков Сергеи Владимирович, заведующий кафедрой ТОпГ К(П)ФУ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Виталии Николаевич, ведущий научный сотрудник ВНИИМС

доктор физико-математических наук Павлов Юрии Викторович, старший научный сотрудник ИПМаш РАН

доктор физико-математических наук Фролов Борце Николаевич, профессор кафедры физики для естественных факультетов МГПУ

Ведущая организация:

Томский государственный университет

Защита состоится «Л_» ноября 2013 г. в 15 ч. 30 мни. на заседании Диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г.Москва, ул.Орджоникидзе. д.З, зал .\'°1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов но адресу: 117198, г.Москва, ул.Миклухо-Маклая, д. б.

Автореферат разослан «_»__2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических

наук Попова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Исследование эффектов квантованных полей на фоне внешнего гравитационного поля имеет долгую историю . Эти эффекты оказались весьма важными, например, при описании ранней вселенной [1) и квантового испарения черных дыр [2]. Одними из наиболее важных величин, характеризующих квантованные ноля во внешнем гравитационном ноле, являются средние по некоторому состоянию (фг) и {ТЦ), где <р есть квантованное ноле, а ТЦ - оператор тензора энсргип-нмпульса для <р. Однако, получить точную функциональную зависимость этих величин от метрики даже в однонетле-во.м приближении невозможно, за исключением ряда высокосимметричных пространств-времен. Численные вычисления на заданном гравитационном фоне, как правило, являются весьма трудоемкими. Очевидно, таким образом, что получение аналитических приближений для (ф2) и (Т,ш), когда это возможно, является полезным. Интерес к вычислению величин (</;2) и (ТI') связан также с вопросом существования проходимых кротовых нор - топологических ручек, соединяющих удаленные части одной или разных вселенных. Возможность существования статических сферически симметричных проходимых кротовых нор как топологически нетривиальных решений уравнений Эйнштейна была впервые изучена Моррисом, Торном и Юртсеве-ром [3, 4]. Они нашли, что материя, заполняющая горловину кротовой норы, должна обладать необычными свойствами. В частности, радиальное давление материи должно превышать его плотность как локально в горловине, так п интегрально вдоль радиального направления. В дальнейшем нарушение энергетических условий в статических кротовых норах детально анализировалось. В качестве примера материи, обеспечивающей существование кротовых нор Моррис: и Торн предложили вакуум Казимира между проводящими сферическими пластинами. Аналогичными свойствами, как известно, обладает вакуум квантованных полей в искривленных пространствах-временах, пространствах с нетривиальной топологией или пространствах с границами. Поэтому естественным развитием идеи Морриса и Торна является использование вакуума квантованных нолей в качестве материи, обеспечивающей

существование кротовых нор. Такой подход дает возможность определять метрику кротовой норы как самосогласованное решение иолукласснческой теории гравитации

(3/([/ = 8л"( Т/и,),.,,„.

где С,,,, - тензор Эйнштейна, и (Т1и,),.п, - нерешширова.шюе среднее значение оператора тензора энергии-импульса квантованных полон, построенное для некоторого квантового состояния. Принципиальной проблемой, стоящей на пути получения решений уравнений иолукласснческой теории гравитации является получение функциональной зависимости тензора знергпи-нмнульса квантованных нолей (Т;„,),.,.„ от метрического тензора д„,„. Попытки построить приближенные выражения для (Г,,„),.,.„ при тех или иных предположениях о гравитационном фоне неоднократно предпринимались.

Следует отмстить принципиальное отличие приближении, полученных аналитически или численно на фоне заданного внешнего гравитационного поля, от приближений, для которых функциональный вид метрики не фиксировался, поскольку только последние можно использовать при анализе уравнений иолуклассической теории гравитации. Явная функциональная зависимость вакуумных средних величин в таких приближениях от метрики оставляет, конечно, вопросы о применимости этих приближений для безмассовых квантованных полей, поскольку вакуумные средние таких нолей, как известно, являются величинами нелокальными. Тем не менее авторы .упомянутых работ выдвигали тс? или иные соображения, касающиеся справедливости рассматриваемых приближений. В данной работе показано, что в некоторых областях пространства-времени вакуумные средние квантованного неминимально связанного с: кривизной пространства-времени скалярного поля могут определятся локальными свойствами пространства-времени. Это позволило провести анализ возможности получения решений уравнений иолуклассической теории гравитации в таких областях пространства-времени.

Особая роль экстремальных горизонтов в современной физике не вызывает никаких сомнений. Достаточно лишь напомнить о таких вопросах, как энтропия черных дыр, сценарии их испарения, включая проблему конечного состояния черных дыр. и т.д. Такие объекты (экстремальные горизонты) естественным образом появляются на классическом уровне - характерным

примером является горизонт черной дыры Рсйсснера-Нордстрема с массой, равной заряду. Однако вопрос о существовании экстремальных горизонтов становится нетривиальным в нолукласснческой теории гравитации, в рамках которой учитывается обратная реакция квантовых нолей на метрику. Выражение для квантово-поправленной метрики содержит комбинации тензора энергии-импульса, имеющие смысл энергии, измеряемой в системе отсчета свободно падающего наблюдателя, и заранее не очевидно, является ли эта величина конечной или расходится вблизи экстремального горизонта. Численные расчеты показали, что для безмассового поля на фоне экстремальной черной дыры Рсйсснера-Нордстрема таких расходимостси нет |5|. Аналитическое исследование поведения массивных полей вблизи экстремальных горизонтов дало тот же результат [0]. Такие исследования были распространены и на случай ультраэкстремальных горизонтов [7], для которых метрический коэффициент ди ~ (г+ — г)3 вблизи горизонта. Здесь г -шварцншльдова радиальная координата (координата кривизны), г = г+ соответствует горизонту. Такие горизонты встречаются, например, в пространстве Рсйсснера - Нордстрема - де Ситтера, в случае, когда космологическая константа Л > 0 [8]. Соответствующий этому случаю горизонт оказывается космологическим, так что метрика является статической между г = 0 и г = г Результаты для ультраэкстремальных горизонтов были получены в [7] только для массивных полей. Возникает естественный вопрос, существуют ли ультраэкстремальные горизонты с учетом квантовых поправок полей произвольной массы, включая случай безмассовых нолей, вклад которых в вакуумные средние оператора тензора энергии-импульса квантованных нолей много больше соответствующего вклада массивных полей. Для такого случая в данной работе провести вычисления удалось, что позволило судить о возможности существования ультраэкстремальных горизонтов с учетом квантовых поправок скалярных нолей произвольной массы.

Хороню известным фактом классической электродинамики является утверждение о том, что движение точечного заряда определяется взаимодействием заряда с нолем, которое он создает. Этот эффект (называемый самодействием или радиационной реакцией) связан с нелокальной структурой ноля, источником которого является заряд. Первые исследования в этой об-

ласти были сфокусированы на самоускоренни электрически наряженных точечных частиц в плоском пространстве-времени |9]. В дальнейшем ДеВитт, Брем и Хоббс [10, 11, 12| получали формальные выражения для силы самодеиствия на электрический заряд в искривленном пространстве-времени. Мино, Сасаки, Танака [13] и, независимо, Куин н Уолд [14] получили аналогичные выражения для гравитационной силы самодеиствия на точечную массу. Сила самодеиствия на скалярный заряд, взаимодействующий с собственным безмассовым минимально связанным с кривизной скалярным полем, была рассмотрена Купном в работе [15). Хотя формальные аналитические выражения для различных типов силы самодеиствия хорошо известны, вычисления явных выражении требуют значительных усилии, которые были осуществлены, в основном, на фоне пространств-времен черных дыр. Эти усилия связаны, в основном, с подготовкой гравитационно-вол новых детекторов, таких как LISA, способных детектировать гравитационные волны, излучаемые компактным объектом, падающим на суиермасснвную черную дыру [16]. В отличие от случая плоского пространства-времени, сила самодействия может быть не нулевой даже для статического заряда на искривленном гравитационном фоне. Было также показано, что эта сила может быть не нулевой для статического заряда в плоских пространствах-временах топологических дефектов [17|. В искривленных пространствах-временах с нетривиальной топологической структурой исследования эффекта еамодей-ствпя имеют дополнительные интересные черты [18, 19, 20].

Для покоящихся зарядов в статических пространствах-временах описание эффекта самодействия сводится к отысканию функции Грина трёхмерного искривлённого пространства. Это означает, что но аналогии с упоминавшимся выше эффектом поляризации вакуума в некоторых областях пространства-времени, эффект самодеиствия заряда, являющегося источником неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, может определятся локальным» свойствами пространства-времени. В данной работе дается описание эффекта в упомянутом случае.

Таким образом, актуальность работы объясняется как общетеоретическим интересом к разработке методов расчета квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени (поляризация вакуума квантованных но-

лей в искривленном пространстве-времени, обратное влияние квантованного ноля на пространственно-временную метрику), к исследованию квантовых эффектов в физике горизонтов, так и практическим интересом к эффекту самодсйствпя заряда, связанным с подготовкой гравитационно-волновых детекторов, таких как LISA, способных детектировать гравитационные волны, излучаемые компактным объектом, падающим на суиермасснвную черную дыру [21, 16|.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование эффектов квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, в частности, эффекта поляризация вакуума квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в искривленном пространстве-времени; обратного влияния квантованный полей на геометрию пространства-времени; а также эффекта самодсйствпя заряда в искривленном пространстве-времени.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Анализ проблем, возникающих при использовании процедуры перенормировки вакуумных средних (ф2) и (Т'{,') квантованного скалярного поля в искривленных пространствах-временах методом раздвижки точек; построение явных выражений для ренормалнзационных контрчленов, используемых в этой процедуре, в произвольной системе координат.

2. Разработка метода построения аналитических приближенных выражений для вакуумных средних (ф2) и (Т^1) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного ноля в статических сферически симметричных областях пространства-времени, допускающих локальное представление исследуемых величин.

3. Разработка метода построения аналитических приближенных выражений для вакуумных средних {ф2} и (7^') квантованного скалярного поля в асимптотически плоской области статического сферически симметричного пространства-времени.

4. Разработка метода построения аналитического приближения для вакуумного среднего (ф2) квантованного скалярного поля в асимптотически

плоской области ультрастатического пространства-времени.

5. Определение условий существования и построение самосогласованных статических сферически симметричных решении с длиной горловиной в по-лукласспческоп теории гравитации.

6. Построение самосогласованных ультрастатнческих цилиндрически симметричных решений в нолукласснческой теории гравитации.

7. Изучение условий существования длинных горловин, порождаемых вакуумными флуктуацнями квантованных полей.

8. Исследование возможности существования ультра-экстремальных горн-зонтов с учетом обратной реакции квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля.

9. Разработка метода перенормировки собственного потенциала, покоящегося скалярного и -электрического заряда в статическом пространстве-времени.

10. Исследование эффекта самоденствия покоящегося скалярного заряда, в длинной горловине ультраетатпческого пространства-времени.

11. Исследование эффекта самодействня покоящегося электрического заряда в длинной горловине кротовой норы.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

В отличие от предшествующих работ, разложение бивектора параллельного переноса вектора вдоль кратчайшей геодезической линии, соединяющей близкие точки, в ряд по степеням разности координат этих точек получено в явной координатной форме. Это позволяет явно выписать ренормалпзацнон-ные контрчлены ДеВитта-Швпнгера {Т/ш) квантованного скалярного поля в произвольной системе координат.

В отличие от предшествующих работ показано, что вакуумные средние (ф~) и (Т/1¡,) для квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в областях статического сферически симметричного пространства-времени, называемых длинными горловинами, определяются локальными свойствами нространства-вре.мсни. При этом скалярное поле полага-

ется массивным или безмассовым и находящимся в вакуумном состоянии с нулевой температурой, определенном по отношению к врсменинодобно-му вектору Киллиш'а, всегда существующему в статическом пространстве-времени. В длинных горловинах получены аналитические приближения для вакуумных средних (а>2) и {Т1Ш). Показано, что такие приближения аналогичны разложениям ДеВитта-Швингсра вакуумных средних (ф2) и (Т/1(/) массивного скалярного поля, комптоновская длина волны которого много меньше характерного масштаба радиуса кривизны фонового гравитационного поля, и переходят в них в случае большой (по сравнению с обратным радиусом длинной горловины) массы ноля.

В отличие от предшествующих работ получены пределы применимости аналитических приближений (<р2) и (ТЦ) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в статических сферически симметричных асимптотически плоских пространствах-временах. Предполагается, что скалярное поле является массивным или безмассовым и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой и совпадает с вакуумом Минковского на асимптотике.

В отличие от предшествующих работ получены пределы применимости аналитического приближения (<р2) квантованного скалярного поля в ульт-растатпческих асимптотически плоских пространствах-временах. Предполагается, что поле обладает произвольной массой, константа £ связи поля со скалярной кривизной произвольна, и иоле находится в вакуумном состоянии с произвольной температурой и совпадает с вакуумом Минковского на асимптотике.

В отличие от предшествующих работ для обоснования существования статических сферически симметричных кротовых нор, порождаемых вакуумными флуктуациямп квантованных полей, использовано аналитическое приближение (Т1')Г1.п, предложенное Андерсоном, Хискоком и Самуэлем для квантованного скалярного поля, находящегося в вакуумном квантовом состоянии с нулевой температурой. В рамках этого приближения построено самосогласованное решение уравнений полуклассичсской гравитации, описывающее кротовую нору.

В отличие от предшествующих работ показано, что область пространства-

времени, которую .можно назвать длинной горловиной, может порождаться электростатическим полем п вакуумными флуктуациями квантованных скалярных полей. Такая горловина может быть, например, частью кротовой норы.

В отличие от предшествующих работ показано, что ультраэкстремальные горизонты не разрушаются вакуумными флуктуациями квантованного без.массового неминимально связанного с кривизной скалярного поля.

В отлично от предшествующих работ показана возможность неренормп-ровать собственный потенциал покоящегося скалярного и электрического заряда в статическом пространстве-времени вычитанием перенормировочных контрчленов. В случае скалярного поля такой метод перенормировки справедлив для произвольной константы связи скалярного поля с кривизной фонового гравитационного ноля и произвольной массы ноля. В пределе, когда, комптоновская длина волны 1 /т скалярного поля много меньше характерного масштаба 1Я радиуса кривизны фонового гравитационного поля, вычислена сила самодсйствпя на покоящийся скалярный заряд в статическом пространстве-времени.

В отличие от предшествующих работ показано, что собственный потенциал покоящегося заряда, который является источником неминимально связанного с кривизной нространства-врсмснн скалярного поля, в длинной горловине ультрастатпчсского пространства-времени определяется локальной областью пространства-времснн. Получено аналитическое приближение для силы самодсйствпя в этом случае.

В диссертационной работе был модифицирован и усовершенствован метод, позволяющий вычислить силу самодсйствпя, действующую на статический электрический заряд в длинной горловине кротовой норы.

Теоретическое значение

Теоретическое значение результатов диссертационного исследования заключается в том, что развитый метод вычисления приближенных выражений для вакуумных средних (ф2), (ТЦ) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля произвольной массы позволяет решать задачи

расчета квантовых эффектов в пространствах-временах длинных горловин. Полученные в работе результаты показывают принципиальную возможность в некоторых случаях описывать квантовые эффекты безмассовых нолей локальными величинами. Развитый метод перенормировки собственного потенциала покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени позволяет наиболее просто решать задачи расчета эффекта самодействня в такой ситуации. А построенная в работе асимптотика при т оо для перенормированного собственного потенциала заряда, являющегося источником скалярного поля массы т, может быть использована для проверки расчетов эффекта самодействня статического скалярного заряда.

Практическое значение

Полученные в диссертации результаты и развитые методы могут быть использованы в исследованиях по квантовой теории поля в искривленных пространствах-временах, физике ультраэкстремальных горизонтов и эффекту самодействия зарядов в пространствах-временах кротовых нор.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Вакуумные средние (ф2) и (Т.квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в статических сферически симметричных областях пространства-времени, называемых длинными горловинами, определяются локальными свойствами пространства-времени.

2. Выражения для вакуумных средних и (ТЦ) скалярного поля в асимптотически плоской области статического сферически симметричного пространства-времени или ультрастатичсского пространства-времени могут быть разбиты на низкочастотную и высокочастотную части. Для высокочастотной можно получить приближенное выражение, аналогичное приближенному выражению ДсВитта-Швингера для массивного ноля с комптонов-ской длиной много меньшей характерного масштаба радиуса кривизны фонового гравитационного поля. Низкочастотный вклад может быть вычислен в асимптотически плоской области пространства-времени в квантовом coll

стоянии соответствующем вакууму Минковского.

3. Вакуум квантованных полей способен обеспечить существование статических сферически симметричных кротовых нор в случае большого числа N полей. Особенность таких кротовых нор состоит в том, что характерный масштаб радиуса горловины такой кротовой норы имеет порядок \ZNIpi.

4. Электростатическое поле п вакуумные флуктуации квантованных неминимально связанных с кривизной скалярных нолей в рамках общей теории относительности могут обеспечивать существование длинных горловин.

5. Обратная реакция неминимально связанного с кривизной квантового скалярного поля не разрушает ультраэкстремальные горизонты.

6. Процедуру перенормировки собственного потенциала покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени можно свести к вычитанию из поля заряда перенормировочных контрчленов, которые явно выписаны. В пределе, когда комитоновская длина волны 1 /т скалярного ноля много меньше характерного масштаба 1;1 радиуса кривизны фонового гравитационного поля, сила самодействня на покоящийся скалярный заряд в статическом пространстве-времени может быть вычислена.

7. Собственный потенциал покоящегося заряда, который является источником электростатического или неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, в длинной горловине ультрастати че-ского пространства-времени есть функционал метрики. Аналитическое приближенно для силы самодействня в этом случае может быть вычислено.

В диссертации развито новое направление, связанное с исследованием вакуумных квантовых эффектов безмассовых полей, определяемых локальной геометрией искривленного пространства-времени.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов основывается на использовании экспериментально и теоретически установленных принципов квантовой теории поля и общей теории относительности, корректности проведенных математических преобразований и расчетов. Достоверность конкретных результатов

вычислений подтверждается, кроме того, сравнением в предельных случаях с результатами полученными ранее другими авторами. Во всех случаях, когда более общий результат, полученный в диссертации, должен совпадать с ранее опубликованным частным результатом, такая согласованность имеется.

Апробация работы

Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и рабочих совещаниях:

"Quantum Field Theory and Gravity (QFTG'12)" International Conference (Tomsk, 2012); Международная сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» (Москва, 2012); 3-я Российская школа-семинар "Современные теорстпчсскпс проблемы теории гравитации и космологии , GRACOS-2012 (Казань-Яльчик, 2012); Международная научно-практическая конференция "Информационные технологии в образовании п науке - ИТОН 2012" (Казань, 2012); 14-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Ульяновск, 2011); Международная конференция "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики" RUDN-10 (Москва, 2010); Международная конференция ,:Pctrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation" (Казань, 2010); APCTP-BLTP .JINR Joint Workshop "Frontiers in Black Hole Physics at Dubna" (Dubna., 2009); 2 Российская летняя школа.-семина.р "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS-2009 (Казань, Яльчик, 2009) 13-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция но гравитации, космологии и астрофизике (Москва, 2008) XX Международной летней школы-семпнар но современным проблемам теоретической и математической физики "Волга -20'2008" (Казань, 2008); Российская летняя школп-ссмппар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS-2007 (Казань, Яльчик, 2007) Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике, посвященная 90-летию со дня рождения проф. К.П. Станюковича (Москва, 2006); Между-

народный семинар но проблемам измеримости в квантовой гравитации и темной составляющей Вселенной (Санкт-Петербург, 2006) 18-я Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической н математической физики "Волга XVIII-2006" (Казань, 2006); 12 Российская гравитационная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Казань, 2005); Международная конференция "Astrophysics and cosmology after Gamow" (Odessa, 2004); 3 Международная школа-ссмннар "Проблемы теоретической il наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003); 11 Международная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации" (Томск, 2002); V международная конференция "Gravitation and Astrophysics of Asian-Pacific Countries" (Москва, 2001); 2 Международная школа-семинар "Проблемы теоретической космологии" (Ульяновск, 2000); IV международный семинар им. А..А. Фридмана "Gravitation and Cosmology" (Санкт-Петербург, 1998); 15th International Conference on General Relativity and Gravitation (Pune, India, 1997); 1 Международная школа-семинар "Современные проблемы космологии" (Ульяновск, 1997); III Международная конференция Теометризащш физики" (Казань, 1997); Международный геометрический семинар "Современная геометрия н теория физических нолей" (Казань, 1997); 9 Российская гравитационная конференция "Теоретические н экспериментальные проблемы гравитации" (Новгород, 1996); III международное рабочее совещание "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions", (Германия, Лейпциг, 1995); 14th international conference on general relativity and gravitation (Florence, Italy, 1995); а также на научных семинарах кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета, Российского гравитационного общества (Центр гравитации и фундаментальной метрологии ВНИИМС), кафедры физики Ульяновского государственного педагогического университета, кафедры геометрии и кафедры теоретической физики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. Научная работа но теме диссертации поддерживалась различными фондами: РФФИ (Россия, девять грантов), НИОКР (Россия, Татарстан, один грант).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав основного текста, заключения, приложений и списка литературы из 213 наименований. Общий объем диссертации составляет 229 страниц.

Основное содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, дастся представление об основном содержании работы, перечислены основные положения диссертации, выносимые на защиту.

В первой главе "Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в искривленном пространстве - времени" диссертации обсуждаются некоторые проблемы вычисления неренормированных вакуумных средних (ф2) и (Тр) квантованных полей в искривленных пространствах-временах. В качестве модели рассматривается скалярное ноле ф, лагранжиан которого есть

Цх) = ч/Ы [Пфд.ф - (т2 + ф2] , (1)

где = | ёс^я,,,,)!, т - масса поля, £ - константа связи скалярного поля с кривизной В пространства-времени.

§1.1 этой главы носит вводный характер. В §1.2 описана процедура регуляризации в искривленных пространствах вакуумных средних (ф2) и (Т//) квантованного скалярного поля раздвижкой точек, а §1.3 процедуры их перенормировки вычитанием контрчленов ДеВптта-Швингера. В §1.3.1 строится разложение бивектора д™ параллельного переноса вектора вдоль кратчайшей геодезической, соединяющей раздвинутые точки, в ряд но разности координат этих точек, что используется в упомянутой процедуре перенор-

мировкп.

__ л-'» _ р'" -к , / _1р"7 _1_ 1г'" Г" I Ун - °п 1 „А- +1 г,1 пА.,, + ^Ч«1 „р I с с

| (_}_Г"'__1_Г"" Г" __А-Рш Г" 2- Р'" Г" I 1.Г'" Г"

\ 0 19 19 /"/ 3 А'«.;,1 7»; Т" ц1 ка1 пр.г/

__г'' -I__—Г'" Г" ГЬ — А Г'" Г" г'' 1 с^'с-Р-Ч

^г) 1 аЬ1 7/* х /я/ ' "Ь IЩ р А'а рЬ* т\ I - - с

[ 1 ра _ _1_р7" Р" _ Ар7" Ра

I 94 "к-рч* :)4 '¡^ 24 -Ра ч* 3 7,4

I _^_Р'77р77. __]_р"> ра__Г| Аг'" Р"

94 "М" 94 77 77 .А ,77,„Ч 77 А".77 Щ. Н + д1 А'а.р1 77 7,..4

__Р'7 I _А.р7" Г'! _ Ар"' Р" Р^ _1__!_РШ Р" Р'7

аЬ.к-1 77Р1 </» "Г Г,^1 А'71.,7 пЬ (¡.Ч д1 А'77.,71 ф1 77* 94 1 А'Я.Ь1 11р1 7,4' __?_Г1Г,7 ]^7 рЬ _ ра рЬ ,__^_р777 ра рЬ ,__р771. ра рб

94 п1' "к-Р Ч" 94 "А- /77,.я 94 ка np.li1 чя 94 ка1 'Iь1 __^_р"7 р'7 рЬ__}_р"7 ра р4 I__}_р'"р" рЬ Р''

9^ ка pb.ll 774' 94 А'77 ]>Ь 1 777/.Л- '94 «Ь А,,1 7/С' 77»

+ ¿ГЭДГ^»») + О(г'), (2)

1-до символы Крпстоф<У1я г;;'д. перед разностями координат ек = .г*' — .г*' (плн произведениями таких разностей) должны быть вычислены в точке х. Некоторые технические детали процедуры перенормировки вакуумных средних (о2) и (Т,,„) обсуждаются в §1.3.2.

В §1.4 и §1.5 этой главы строятся ашичитическпе приближения для вакуумных средних (о2) п (Т[!) неминимально связанного с кривизной квантованного скалярного поля в области статического сферически симметричного пространства-времени

сЫ2 = -/(р)(112 + (1р2 + г{р)2 (йО2 + ип2 ОсЪр2) , (3)

по малому параметру

с„к„ = !*/£ (4)

где

и =

г-

-1/2

т - .масса поля, £ - константа связи скалярного поля с: кривизной и Ь

характерный масштаб изменения метрических функций /(р) и г(р): 1

Цр)

шах

гч/Ш

Такая область, и дальнейшем, называется длинной горловиной. Скалярное поле полагается массивным или безмассовым и находящимся в вакуумном состоянии с нулевой температурой, определенном по отношению к време-нпподобному вектору Киллпнга, всегда существующему в статическом пространство-времени.

Аналитические приближения для вакуумных средних (ф2} и (Т£) строятся с точностью до г1кп и е%кп соответственно. Нулевые члены таких приближений описывают однопетлевые выражения для {ф2) и (ТЦ) в проетранстве-временн (3) с постоянными метрическими коэффициентами / и г

4 я2(ф-)1т=-4

2 , 2 т + —

1п

(€ - У») /'2 , , ,

--^-- 77 Ш,

<*?>......-та.....-зМёЫМ"9

11 з ^

г1 V 7680 +

' Г л

ПГ I 1

2 г2

т 8~

?п' 2т2 ( 1\ 2 / 1

11 1 , ---ь -е -

00 О 2

1п

т- г-

л

(Д) - /2(/<)]

(8)

+

4тг2 [8г "8 + г1 I 60 ~ +

V т1г-

И 1 ^ я

Л"

2 [с 1

+

ьш.

711 27П-

1

— К"

(9)

А*2 = т2г2 + 2€ - ^ (Ю)

я;2"'11п [1 -зг| ;

= 1 + ^ (11)

1пп„ равна массс т поля для массивного скалярного поля. В случае безмассового поля эта константа является известным параметром инфракрасного обрезания в {Т[!)03. Конкретный выбор величины твз соответствует конечной перенормировке коэффициентов при членах гравитационного лагранжиана, квадратичных по тензору Вейля и скалярной кривизне, и должен быть фиксирован экспериментом или наблюдениями.

В пределе большой массы ноля (т2г2 » 1) построенные аналитические приближения совпадают с известными выражениями [22].

В параграфе §1.6 получено аналитическое приближение для (<р2) и (Т квантованного скалярного поля в статических асимптотически плоских пространствах временах. Предполагается, что скалярное поле является массивным или безмассовым и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой. Выражения для (р2) и (Т^1) разделяются на низкочастотную и высокочастотную части. Для аппроксимации высокочастотных частей используется подход Андерсона, Хпскока и Самюэля [22]. Эти части содержат все ультрафиолетовые расходимости и могут быть перенормированы. Низкочастотный вклад в ((¿2)„.„ и {ТЦ)гт определяется в общем случае глобальной структурой пространства-времени и вычислен в статическом сферически симметричном асимптотически плоском пространстве-времени для квантового состояния соответствующего вакууму Минковского (в общепринятой терминологии это соответствует выбору квантового состояния Бульвара). Обе части (Т£')гто удовлетворяют закону сохранения. В случае конформно инвариантного ноля след низкочастотной части (Т^')гто равен нулю, а след высокочастотной части равен аномальному следу. Важной частью исследования является получение пределов применимости рассмотренных приближений.

В параграфе §1.7 аналогичное приближение получено для (<р2) квантованного скалярного поля в ультрастатнчсских асимптотически плоских пространствах временах. Предполагается, что иоле обладает произвольной мас-

сой, константа £ связи поля со скалярной кривизной произвольна и поле находится в вакуумном состоянии с произвольной температурой.

Глава 2 "Самосогласованные решения полуклаеепчеекой теории гравитации с квантованным скалярным полем" посвящена исследованию вопроса существования статических искривленных пространств-времен, кривизна которых порождается вакуумом квантованных нолей

0/ш = 8n{T/lv),.m. (12)

Подчеркнем, что единственным параметром размерности длины в таких задачах является нланковская длина Это означает, что характерный масштаб 1ц радиуса кривизны гравитационного поля, соответствующий решению уравнений (12) может быть много больше /г., (что требуется условиями применимости полуклаеепчеекой теории) только если в задаче существует большой безразмерный параметр. В качестве такого параметра обычно рассматривают число квантованных полей, поляризация которых является источником искривления пространства-времени. В параграфе §2.1 для получения статического сферически симметричного численного решения с горловиной уравнений полуклаеепчеекой теории гравитации используется аналитическое приближение Андерсона, Хпскока п Самуэля для (7),„),.,.„ квантованного скалярного поля [22]. Предполагается также, что поле является конформно связанным и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой. Метрика статического сферически симметричного пространства-времени может быть представлена в виде

ds2 = —f(p)dt2 + dp2 + r2{p) (dO2 + sin2 0 dó1) , (13)

'Ж f(p)-,r(p) являются функциями собственной радиальной координаты р, —ос < р < +оо, 0 < в < я, 0 < < 2тг. Одно из численных решений уравнений (12), определяемое граничными условиями на горловине

К2 = (5760ТГ)"1; 1п/(0) = -2/3; /'(0) = 0;/"(0) = 0; /"'(0) = 0; г(0) = у/—16 К'2 1п /(0) « 0.02/„; г'(0) = 0; г"(0) = 0; г"'(0) = 0 (14)

имеет вид

60 40 20 0

Яр)

рКг1"

500

300

100 0

■г (р)А-1

РкГ1

0 50 150 250 350 "0 50 150 250 350

Рис. 1: Численное статическое сферически симметричное (13) решение уравнений (12). определяемое граничными условиями на горловине (14).

В параграфе §2.2 описаны численные ультастатические цилиндрически симметричные решения уравнений полу классической теории гравитации. В качестве источника гравитационного ноля в этих уравнениях используется вакуум безмассового конформно связанного с кривизной скалярного поля, описываемый средним вакуумным значением оператора тензора энергии-импульса (Т),„)ге„ в приближении Фролова-Зельникова [23]. В параграфе §2.3 исследована возможность поддержания длинной горловины вакуумными флуктуациями квантованных полей. Если в качестве источника кривизны такого пространства-времени использовать вакуумное среднее оператора тензора энергии-импульса (Т1Ш)геп в приближении (4, 8, 9), то система уравнений полуклассической гравитации (12) является алгебраически несовместной. Для преодоления этой проблемы в качестве источника рассмотрены два квантованных скалярных поля: первое - конформно инвариантное («?! = 1/6,г»! = 0), второе - массивное = £ - произвольная постоянная, т2 - ш, = т2г2 + 2£-1/4 » 1, т?г2 » |2£-1/4|), а также классическое электромагнитное поле. Нетривиальные уравнения (12) в этом случае имеют вид

1

1

+ -

8тгг2 1

4тг27"4

0.00310 +4 Ш

1

I!

" 6 + 12 60 + 630

8тгг4'

(15)

о [-0.00171-41п(т^)

+ -

4тг2г4 1

е!

720

А П

з2

(16)

3 6 30 315) \ 8тгг4'

где постоянная Ц имеет смысл электрического заряда. Решением этих урав-

20

ионий, удовлетворяющих условию г '» 1/(720тг), является

г- ~ , -

£ 3

6 30 315

7Г

0.00171+ ¿-11!

720 У т^/тт

С 30 315)

+

+ ± 3 6 30

1

315

(18)

Примером частного решения системы (15,16), удовлетворяющего всем выше перечисленным условиям может служить

^ = -10'

10:\ г ~ 101.49.

(19)

Отметим,что вещество, определяющее искривление пространства-времени в рассматриваемом случае обладает необходимыми 'экзотическими" свойствами (в смысле Морриса и Торна [3, 1|) для того, чтобы горловина могла, существовать:

1

р,.=-е =

4тг2Н

0.00310 + ^111 (т*„г2)

+-

1

А.

6 + 12 60 + 630

8тгН

< 0.

(20)

где р,- есть радиальное давление, е - плотность энергии а г, С) определяются выражениями (17,18).

Очевидным недостатком вышеприведенного решения является то, что величина соответствующая большим, но сравнению с планковской длиной, радиусам горловины, является также большой (по сравнению с единицей). Тем не менее, в случае большого числа N полей радиус горловины г пропорционален (./V1/4 для достаточно массивных полей) и большие (по сравнению с планковской длиной) радиусы горловины могут быть получены для значений меньших, чем рассмотренные выше.

В главе 3 "Обратная реакция квантованного скалярного поля на гравитационное поле фонового пространства-времени" исследован эффект обратного влияния квантованного скалярного ноля на ультраэкстремальный

горизонт. Такой горизонт встречается, например, в пространстве Рейсснсра-Нордстрема - Де Спттсра, в случае, когда космологическая константа Л > О [8|. Соответствующий этому случаю горизонт оказывается космологическим, так что метрика

¿52 = -и{г)<1,е + Щ + г2 {йв2 + 8Ш2 , (21)

= Ж = г)3, (22)

является статической между г = 0 и г = г+. Влияние квантовых поправок на метрику (21,22) в окрестности горизонта определяется уравнениями

в+= г/; + ';),,,„ (23)

где тензор энергии-импульса классического электромагнитного поля в координатах (21) есть

ТЦ^) = 1,-1,1,1). (24)

67ГГ

В нулевом по квантовым поправкам приближении константа С) и космологическая константа Л в ультраэкстремалыюм случае, связаны соотношениями

<У = Т' А(ЗД

Требование ультраэкстрсмальностн горизонта даже с учетом квантовых поправок

Щг+) = и'(г+) = ¿/"(г+) = К(г+) = К'(г+) = У"{т+) = 0 (26) приводит к

= , (27)

2 аг |»-г, + ......<28>

/Аг1 д2 \ 1 Аг2 , д2 , 8тг л „2 , У(г) = 1 + ^ - т: -г+) ; - ~+ 7Г+ ТI агг {т<

(29)

и = (1 + (30)

сслЫ [' ,..Т'Г —Т} .

ф = —— + 4тг / йгг у . (31)

Окрестность ультразкетремального горизонта г — г+ является длинной горловиной (4-0). Используя для вычисления (7"/,'),.,.„ квантованного скалярного поля полученные в главе 1 выражения с точностью до е('укп (в координатах (21) это соответствует точности (г - г+)3) удастся показать, что выражения (27 — 31) сходятся. Это дает возможность утверждать, что квантованное скалярное поле не разрушает ультра-экстремальный горизонт.

В главе 4 "Эффект самодепствпя покоящегося заряда в статических пространствах временах" построена процедура перепормпровкп собственного потенциала покоящегося заряда в статических пространствах-временах, а также вычислена сила самодепствпя на заряд в длинной горловине (4-6). Процедура перенормировки, изложенная в §4.1,

представляет собой вычитание некоторых членов разложения соответствующей функции Грина ©,„

по степеням малости параметра. 1 /(ш1я), где I,, - характерны« масштаб кривизны фонового гравитационного поля, т - масса скалярного поля, £ - константа связи скалярного ноля с кривизной Я, д^ - детерминант метрики йн/. <1 ~ скалярный заряд и г ~ его собственное время. Предполагается, что мировая линия заряда определяется функциями г'^(т). Перенормировочные члены определяются простым правилом: они не исчезают при стремлении массы соответствующего ноля к бесконечности. Такой подход аналогичен перенормировке в квантовой теории ноля в искривлённых пространствах-временах. используемой в регулярнзацпонной процедуре раздвижкой точек [24. 25|. В координатах

6,г„(и:) - Ши (ф(.1г, хи) - фп;.1-0)).

(32)

с/-,,,:;; - (ш2 + (И) ф„, = -4щ

I <)[ ''{■>' .г„(г))

= + !)1к(х')Лх]Нхк, к — 1,2,3

(34)

выражение для перенормпровочных членов имеет вид

Ф„*(х': я:'и) = ц

¿К 4</„(хп)\/2а

— тп

(35)

ГДР

1 / ■ <п''а,

4 г'„,г'/; +

(^-4) (¿-4)

"6 1 дх'0

+0 ((* - *0)4) , (36)

а = (37)

а символы Крнстоффсля Г*д. вычисляются в точке .тп. Как и в квантовой теории поля, такая неренормировка справедлива в случае произвольной массы т поля (даже тп = 0).

В случае массивного поля, для которого тп1д » 1, приближенное выражение для собственного потенциала скалярного заряда есть

Фгсп{х)= 1т1_(<?„,(аг;а;о) - фт(х; х0))

"+0 (38)

х0->.г

я

2т

9п/ + _ / _ 1 д

12д„ 48дн2 V 6

тЧ*

Конечно, порядок этого выражения в 1/(т1;1) раз меньше соответствующего порядка Фгт для бсзмассового поля (или ноля с массой т&\/1д). Тем не менее, выражение (38) может быть использовано для проверки асимптотического поведения фг„, массивного ноля в пределе т —» оо.

В §4.2 вычислена силы самодействия на покоящийся заряд, являющийся источником безмассового скалярного поля, в длинной горловине (4-6)

где

\f4-Ui

= / а^^-1/4-*»' (40)

о

Для бсзмассового минимально связанного с кривизной (£ = 0) скалярного поля нет малого параметра, аналогичного (4). Тем не менее, если разложить

2 1.5

m i

0.5- X

o-L-A-.-,-,-,

1/8 0.5 1 1.5 2

Рис. 2. Крш>,ая задает функцию F(i). описываемую вцижипга (-J0).

поле ф по угловым гармоникам

ф(х';х')=4ттд^ Z УйЛ^Ш.Л^Ыр, р)

Ul 1 ш^-í

=«7 (2/+ l)ñ(™i)gi(psp).

(41)

где I) - полиномы Лежаидра, сон-/ = cosacos0 + sin(?siii0cos(-,r — f), то i¡ длинной горловине кротовой норы приближенное решение уравнения (33) для всех значений /. за исключением I = 0, можно построить по аналогии с решением в предыдущем параграфе. При этом для моды с I = 0 можно получить получить решение в квадратурах, учитывающее поведение геометрии пространства-времени на асимптотике. Такая программа реализована в параграфе §4.3, где1 в качестве1 поля рассмотрено поле покоящегося электрического заряда, что не меняет задачу принципиально. В этом случае единственная ненулевая компонента силы самодепетвпя в координатах

¿«г = -dt- + dp¿ + r{pf (d0- + silх1 в dip2)

(42)

о каз ы в а ется р а в 11 о i i

ш = /¡г" + /;

(43)

где

А 0.01112 ...

(45)

Основные результаты

1. Показано, что вакуумные средине (о2) и (Т',„,) для квантованного неминимально связанного скривизнон скалярного поля в областях статического сферически симметричного пространства-времени, называемых длинными горловинами, определяются локальными свойствами пространства-времени. В области пространства-времени, называемой длинной горловиной, получены аналитические приближения для вакуумных средних (<Ь2) и (Т),,,). Аналогичные приближения получены в статических сферически симметричных асимптотически плоских и ультрастатпческпх асимптотически плоских пространствах-временах и квантовом состоянии, соответствующем вакууму Мин-ковского в асимптотически плоской области.

2. В рамках иолукласспческой теории гравитации, описываемой уравнениями = 8тг(Т/,'),.,.„ рассмотрена задача самосогласованного описания статических сферически симметричных кротовых пор, порождаемых вакуумными флуктуацнямн квантованных полей Получены примеры таких решений.

3. Рассмотрена квантовая обратная реакция на ультраэкстрс.мальный горизонт квантового скалярного ноля с произвольной массой и параметром связи с кривизной. Проанализировано поведение тензора энергии-импульса квантового поля вблизи горизонта и показано, что квантово-ноиравленные ультраэкстремальные горизонты действительно существуют.

4. Представлен метод, позволяющий неренормировать собственный потенциал покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени. В случае скалярного ноля метод справедлив для произвольной константы связи скалярного поля с кривизной фонового гравитационного поля и произвольной массы поля. Приведены примеры вычисления силы самодействия, действующей на статический скалярный и электрический заряд в длинной горловине кротовой норы.

Список литературы

[1] Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях.— М.: Энсргоатомнздат.-1988.—288 с.

[21 Frolov V. P.. Novikov I. D., Black Holes Physics: Basic Concepts and New Developments. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht/Boston/London, 1 i)f)iS. 770 p.

|3| Morris M. S.. Tlionie K. S. Wormholes in spaectimc; and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity ,// American Journal of Physics. -1988.—V.56.—P.395-412.

|1| Morris M. S.. Tlionie I\. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, anil the weak energy condition // Physical Review Letters.—198S.—V.C1.—P.144G-1119.

|5| Anderson P.R., Hiscock W.A.. Loranz D..J. Semi-classical stability of the extreme Reissner-Nordstrdm black hole , j Physical Review Lett ers. —1995. — V.71. -P. 1365-1368.

[6] Ma.tyjasek .1.. Zaslavskii O. Quantum back reaction of massive fields and selfeonsislerit. semielassical extreme black holes and acceleration horizons // Physical Review D—2001.-V.64.- 101018.

|7| Matyjasek J., Zaslavskii O. Scmielassiea.l ultraextremal horizons // Physical Review D.-2005,- Y.71.-087501.

|SJ Romans L.J. Supcrsyrmu.ctric, cold and lukewarm, black holes in cosmologieal Eins t cin - A fax u 'ell. theory /.' Nucl. Phys.. -1992.-V.B383.-P.395-415.

[9| Dirac P.A.M. Classical Theory of Radiating Electrons // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A.-1938. --V.167.-P.l-18-169.

|10| DeWit.t. B.S., Brehme RAY. Radiation damping in a gravitational field // Ann. Phys..-1960.-V.9. P.220-259.

[llj HoI)bs J.M. .-1 vi.erbien formalism of radiation damping /./ Aim. Phys.. 1968. --V.47. —P. 141-165.

|12j Hobbs .J.M. Radiation damping in cor/formally flat. Universes /7 Ann. Phys..—1968.—V. 17,—P. 166-172.

|13| Mino Y., Sasaki M.. Tanaka. T. Gravitational radiation reaction to a particle motion < / Physical Review D.—1997.-V.55.-3457-3476.

|14| Quinn Т.С., Wald R.M. Axiomatic approach to ele.ct.mmagnc.tic and gravitational radiation reaction of patiiclcs in curved spacctimc // Physical Review D. 1997. V.r>(>. 3381-3394.

[15j Quinn T.C. Axiomatic approach to radiation rc.ac.tion of scalar point particles in curved spacctimc // Physical Review D.—2000.—V.62.—064029.

[1GJ Hughes S.A. Listening to the universe with gravitational-wave astronomy // Annals. Pliys..—2003.—V.303.—P. 142-178.

[17] Хуснутдннов H.P. Эффекты самодейспюия частиц в гравитационном поле // Успехи физических паук.—2005 —Т.175.—С.603-620.

[18] N.R. Khusnutdinov, I.V. Bakhmatov Self-force of a point chargc in the space-time of a symmetric wormhole // Physical Review D.—2007.—V.76.— 124015.

[19] Bezerra V.B. and Khusnutdinov N.R. Self-force, on a scalar particle in a class of wormhole spac.etim.es // Physical Review D.-2009.-V.79.-064012.

[20] Casals M., Dolan S.R.. Ottewill A.C., Wardell B. Self-Force Calculations with Matched Expansions and Quasinornuil Mode Sums // Physical Review D.—2009.—V. 78.—124043.

[21] Schutz B.F. Gravitational wave astronomy // Class. Quant. Grav..—1999.— V.16.-P.A131-A156.

[22] Anderson P.R., Hiscock W.A., Samuel D.A. Stress-energy tensor of quantized scalar fields in static spherically symmetric spacetimes // Physical Review D.-1995.-V.51.-P.4337-4358.

[23] Зольников А.И., Фролов В.П. Приблиэюепие Киллинга и поляризация вакуума в черных дырах // Труды ФИАН.—1989,—Т.197,—С.63-87.

[24] ДеВитт Б. С., Динамическая теория групп и полей: Пер. с. англ./Под ред. Г. А. Внлковыского.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.—1987.— 288 с.

[25] Christenscn S.M. Regularization, renonnalization, and covariant geodcsic point separation // Physical Review D. - -1978.—V.17.—P.946-963.

Список основных работ по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах входящих в перечень ВАК

1. Popov А. Л.Self-force on a static charge in the long throat of a worvMei i Genera] Relativity and Gravitation - 2013. - DOI 10.1007/sl0714-013-1.346-5

2. Popov A. A. 7?cnornialization of static self-potential >/ TSPU Bulletin.-2012.-V. 13(128). -P. 125-129.

3. Popov A. A. Renormalization for self-potential of a scalar charge m static spacc-timcs </ Physical Review D.-2011.-V.84.-064009.

4. N.R. Klmsnutdinov. A. A. Popov, L.N. Lipatova Self-force of a point charge in the spacc-time of a massive ivormholc // Classical and Quantum Gravity.--2010,- -V.27.—P.215012.

5. Popov A. A. Self-force, on a scalar point, charge in the long throat // Plivs. Lett, B. 2010. V.693. P. 180-183.

6. Popov A. A., Zaslavskii O.B. Quantum-corrected ultrae.dremal horizons and the validity of the WKI3 approximation in the massless limit, <7 Physical Review D.--2007.- V.75. -081018.

7. Popov A. A. Local, expansion of the bivcctor of geodesic parallel displacement, j/ Gravitation k. Cosmology.- -2007—Y.13.— P.ll.9-122.

8. Popov A. A. Long throat, of a wormholc crcatcd from vacuum fluctuations

// Classical and Quantum Gravity.-2005—V.22.—P.5223-5230.

9. Popov A. A. Analytical approximation for (<p2) of a. quantized scalar field in ii.ltrasta.t.ic asymptotically flat spacetimes /' / Physical Review D—2004 — V.70.—084047.

10. Popov A. A. Analytical approximation of the stress-energy tensor of a quantized scalar field in static spherically symmetric spacciimcs // Physical Review D.-2003.-V.67.-044021.

11. Popov A. A. Stress-energy of a ijuantizr.il scnlnr field in static wormholr. spacetimes // Physical Review D.-2001.-V.64,-104005.

12. Popov A. A., Sushkov S. V. Vacuum polarization of a scalar field in wormholc spacetimes /,' Physical Review D.-2001 .-V.63.-044017.

13. Popov A. A. Cylindrical self-consistent, solutions of semiclassical gravity // Ph.ys. Lelt. A.—1998.—V.249.—P.37G-382.

14. Hochberg D., Popov A., Sushkov S. V. Sclf-consistcnt wormholc solutions of semiclassical gravity // Physical Review Letters.-1997.-V.7S.—P.2050-2053.

15. Попов А.А. Перенормировка собственного потенциала статического скалярного заряда // Вестник ТГГПУ.-2011.-Т.1(23).-О.36-40.

16. Попов А.А. Сила самодействия па скалярный заряд в кротовой поре с длинной горловиной // Вестник ТГГПУ.-2010.-Т.З(21).-С.59-СЗ.

Статьи в других изданиях

17. Попов А.А., Заславский О.Б. Полуклассические ультраэкстремальпые. горизонты // Труды Института прикладной а.строномпп РАН.—2008.-Т.18,—С.279-293.

18. Попов А.А. О существовании проходимых кротовых нор в полуклассической теории гравитации /7 Вестннк Казанского государственного педагогического университета.—2005,—Т.4.—С. 160-167.

19. Попов А.А. Использование компьютерных систем аналитических вычислений в квантовой теории поля на фойе искривленных пространств-времен // Проблемы информационных технологий в математическом образовании: Учебное пособие.- Казань: Изд-во ТГГПУ — 2005. — С.78-84.

20. Попов А.А. Поляризацгм вакуума квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах // Вестник Казанского государственного педагогического университета—2004 — Т.2.—С.50-65.

21. Попои Д.Д. Поляршшцим вакуума и простраиетае-иремспи цилиндрически. симметричной кротоаои норы . Труды математического центра. имени H.II. Лобачевского. Казанское математическое общество,-Казань.: Изд-во "Ушшросс",—2001.—Т. 11 .-С.221-227.

22. Sushkov S. V.. Popov A. A. A self consistent scmidassical solution with a wormhole m the theory of y cavity ,'/ in "Quantum Fickl Theory Under the Influence of Externa] Conditions", lui. M.Bordag-Teubner, Leipzig - 1996. - P.20G.

(

Попон Аркадий Александрович Квантовые и классические эффекты неминимально связанного с кривизной скалярного поля

В диссертационной работе исследуются эффекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, в частности, эффект поляризация вакуума квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в искривленном пространстве-времени; эффект обратного влияния квантованного скалярного ноля на геометрию пространства-времени; а также эффект еамодействия заряда в искривленном пространстве-времени.

Popov Arkady Alexatidrovich Quantum and classical cffccts of a scalar field with nonminimal coupling to curvature

The effects of quantum field theory in curved space-time, in particular, the effect of vacuum polarization of the quantized scalar field with nonmininia.l coupling to curvature are investigated in this work. We also investigate the effect of the backrcaction of the quantized scalar field on the geometry of space-time and the effect of self-action of charge in curved space-time.

Подписано в печать 24.07.2013 Формат 60 х 84 1/16 Печ. л. 2. Тираж 110 экз.

Казанский университет 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37

казанский (приволжский) федеральный университет

05201351833

на правах рукописи

Попов Аркадий Александрович

КВАНТОВЫЕ И КЛАССИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ НЕМИНИМАЛЬНО СВЯЗАННОГО С КРИВИЗНОЙ

СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

У

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физико-математических наук

Сушков Сергей Владимирович

КАЗАНЬ - 2013

Оглавление

Общая характеристика работы 6

1 Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в искривленном пространстве - времени 24

§1.1 Введение..............................................................24

§ 1.2 Регуляризация (ф2) и {Тци) квантованного скалярного поля

раздвижкой точек..................................................26

§ 1.3 Перенормировка (ф2) и (Т^) квантованного скалярного поля . 28 § 1.3.1 Локальное разложение оператора параллельного переноса вектора вдоль геодезической ........................29

§ 1.3.2 Обсуждение процедуры перенормировки................40

§ 1.4 (ф2) квантованного скалярного поля в длинной горловине . . 42 § 1.4.1 Неперенормированное выражение для (ф2) квантованного скалярного поля в статическом сферически симметричном пространстве-времени..........................44

§ 1.4.2 ВКБ разложение (ф2)ипгеп квантованного скалярного

поля в длинной горловине..................................46

§ 1.4.3 Перенормировка (ф2) квантованного скалярного поля в

пространстве-времени длинной горловины и результат 49

§ 1.4.4 Анализ (ф2): случай г >Ь..................................53

§ 1.4.5 Анализ (ф2): случай г<і ................................56

§ 1.4.6 Обсуждение..................................................58

§ 1.5 (Т^) квантованного скалярного поля в длинной горловине . . 59

§ 1.5.1 ВКБ разложение для (Т£)ипгеп квантованного скалярного поля в длинной горловине.............. 59

§ 1.5.2 Перенормировка (Т^) и результат............ 65

§ 1.5.3 Случай Ь2 > г2, тп2г2 <1................ 69

§ 1.5.4 Случай Ь2 > г2, т2г2 >1................ 69

§ 1.5.5 Обсуждение......................... 70

§ 1.6 Аналитическое приближение для (ср2) и (Т£) квантованного скалярного поля в статических сферически симметричных асимптотически плоских пространствах-временах........... 72

§ 1.6.1 Высокочастотный вклад в (ср2) и (Т£) квантованного скалярного поля в статических сферически симметричных асимптотически плоских пространствах-временах 74

§ 1.6.2 Низкочастотный вклад в (ср2) и (Т£)........... 86

§ 1.6.3 Обсуждение......................... 88

§ 1.7 Аналитическое приближение для (ср2) квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах-временах ........................ 90

§ 1.7.1 Функция Грина ...................... 91

§ 1.7.2 Высокочастотный вклад в ............. 93

§ 1.7.3 Низкочастотный вклад в (ср2) и процедура

перенормировки ...................... 96

§ 1.7.4 Обсуждение......................... 99

Заключение................................101

Самосогласованные решения полуклассической теории гравитации с квантованным скалярным полем 104

§2.1 Самосогласованные сферически симметричные решения с горловиной в полуклассической теории гравитации........108

§2.2 Цилиндрически симметричные решения в полуклассической

теории гравитации.........................116

§ 2.3 Длинные горловины, порождаемые вакуумными флуктуация-

ми квантованных полей......................123

§ 2.3.1 Тензор энергии-импульса квантованного скалярного поля в пространстве-времени статической сферически симметричной длинной горловине..............125

§ 2.3.2 Обсуждение.........................129

Заключение................................133

3 Обратная реакция квантованного скалярного поля на гравитационное поле фонового пространства-времени 135

§ 3.1 Применимость ВКБ приближения................137

§ 3.2 Квантовая обратная реакция вблизи ультраэкстремального горизонта ...............................140

§ 3.3 Поведение (Т^)геп квантованного скалярного поля вблизи ультраэкстремального горизонта...................143

§ 3.4 Обсуждение.............................149

Заключение................................151

4 Эффект самодействия покоящегося заряда в статических пространствах временах 152

§ 4.1 Перенормировка собственного потенциала скалярного заряда

в статических пространствах-временах .............154

§ 4.1.1 Разложение собственного потенциала скалярного заряда по 1/(гп1д)........................155

§ 4.1.2 Сила самодействия на статический скалярный заряд в

пространстве-времени Шварцшильда ..........161

§ 4.1.3 Обсуждение.........................162

§ 4.2 Сила самодействия на на скалярный заряд в длинной горловине163

§ 4.2.1 ВКБ аппроксимация для силы самодействия......164

§ 4.2.2 Примеры ..........................169

§4.3 Сила самодействия на статический электрический заряд в длин-

ной горловине кротовой норы ..................170

§ 4.3.1 Общий подход........................170

§ 4.3.2 ВКБ вклад в At{x\x) в длинной горловине.......172

§ 4.3.3 Нулевая мода и перенормировка.............176

§ 4.3.4 Примеры ..........................177

Заключение................................178

Основные результаты и выводы 180

Приложения 182

Приложение к § 1.3 ...........................182

Приложение к § 1.4.4 ..........................184

Приложение к § 1.5.1 ..........................186

Приложение к § 1.5 ...........................192

Приложение к § 1.6.1 ..........................202

Приложение к § 1.6.2 ..........................204

Литература 208

Общая характеристика работы

Круг проблем, которых касается данная работа, охватывает некоторые квантовые вакуумные эффекты в искривленном пространстве-времени (поляризация вакуума квантованных полей в искривленном пространстве-времени, обратное влияние вакуума квантованного поля на геометрию пространства-времени), а также эффект самодействия заряда.

Актуальность работы

Исследование эффектов квантованных полей на фоне внешнего гравитационного поля имеет долгую историю [190, 191]. Эти эффекты оказались весьма важными, например, при описании ранней вселенной [4] и квантового испарения черных дыр [103]. Одними из наиболее важных величин, характеризующих квантованные поля во внешнем гравитационном поле, являются средние по некоторому состоянию (</?2) и (Т^), где (р есть квантованное поле, а - оператор тензора энергии-импульса для {р. Однако, получить точную функциональную зависимость этих величин от метрики даже в однопетле-вом приближении невозможно, за исключением ряда высокосимметричных пространств-времен (см., например, [89, 64, 68. 69, 28, 95, 96, 138]). Численные вычисления даже на заданном гравитационном фоне, как правило, являются весьма трудоемкими [120, 74, 92, 124, 125, 32, 33, 60]. Очевидно, таким образом, что получение аналитических приближений для (ф2) и когда

это возможно, является полезным. Интерес к вычислению величин (с/?2) и (Тр) связан также с вопросом существования проходимых кротовых нор -топологических ручек, соединяющих удаленные части одной или разных все-

ленных. Возможность существования статических сферически симметричных проходимых кротовых нор как топологически нетривиальных решений уравнений Эйнштейна была впервые изучена Моррисом, Торном и Юртсеве-ром [160, 161]. Они нашли, что материя, заполняющая горловину кротовой норы, должна обладать необычными свойствами. В частности, радиальное давление материи должно превышать его плотность как локально в горловине [160], так и интегрально вдоль радиального направления [161]. В дальнейшем нарушение энергетических условий в статических кротовых норах детально анализировалось рядом авторов (см., например, [94, 117, 118, 119]). В качестве примера материи, обеспечивающей существование кротовых нор Моррис и Торн предложили вакуум Казимира [13, 14] между проводящими сферическими пластинами. Аналогичными свойствами, как известно, обладает вакуум квантованных полей в искривленных пространствах-временах, пространствах с нетривиальной топологией или пространствах с границами [2, 3, 4, 107]. Поэтому естественным развитием идеи Морриса и Торна является использование вакуума квантованных полей в качестве материи, обеспечивающей существование кротовых нор. Такой подход дает возможность определять метрику кротовой норы как самосогласованное решение полуклассической теории гравитации

Gpv = 8тг<Тм„),

где GßV - тензор Эйнштейна, и (TßV) - переномированное среднее значение оператора тензора энергии-импульса квантованных полей, построенное для некоторого квантового состояния [196, 12, 140, 9, 189, 195, 197, 198, 116, 173, 163, 164, 178]. Связанные с существованием кротовых нор в рамках полуклассической теории гравитации вопросы обсуждались также в работах [97, 128, 129, 208, 130, 200, 199, 141, 202, 134, 135, 93]. Принципиальной проблемой, стоящей на пути получения решений уравнений полуклассической теории гравитации является получение функциональной зависимости тензора энергии-импульса квантованных полей (Tßiy) от метрического тензора

дтп. Попытки построить приближенные выражения для (Т^) при тех или иных предположениях неоднократно предпринимались [169, 98, 99, 100, 65, 66, 101, 102, 37, 38, 39, 32, 128, 129, 104, 154, 155, 175].

Следует отметить принципиальное отличие упомянутых приближений от многочисленных приближений, полученных аналитически или численно на фоне заданного внешнего гравитационного поля. В упомянутых приближениях (Тцу) метрика заранее не фиксировалась, что позволяло использовать эти приближения при решении уравнений полуклассической теории гравитации. Явная функциональная зависимость вакуумных средних величин в таких приближениях от метрики оставляет, конечно, вопросы о применимости этих приближений для безмассовых квантованных полей, поскольку вакуумные средние таких полей, как известно, являются величинами в общем случае нелокальными. Тем не менее авторы упомянутых работ выдвигали те или иные соображения, касающиеся справедливости рассматриваемых приближений. В данной работе показано, что в некоторых областях пространства-времени вакуумные средние квантованного неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля могут определятся локальными свойствами пространства-времени. Это позволило провести анализ возможности получения решений уравнений полуклассической теории гравитации в таких областях пространства-времени.

Особая роль экстремальных горизонтов в современной физике не вызывает никаких сомнений. Достаточно лишь напомнить о таких вопросах, как энтропия черных дыр, сценарии их испарения, включая проблему конечного состояния черных дыр, и т.д. Такие объекты (экстремальные горизонты) естественным образом появляются на классическом уровне - характерным примером является горизонт черной дыры Рейсснера-Нордстрема с массой, равной заряду. Однако вопрос о существовании экстремальных горизонтов становится нетривиальным в полуклассической теории гравитации, в рамках которой учитывается обратная реакция квантовых полей на метрику. Выра-

жение для квантово-поправленной метрики содержит комбинации тензора энергии-импульса, имеющие смысл энергии, измеряемой в системе отсчета свободно падающего наблюдателя, и заранее не очевидно, является ли эта величина конечной или расходится вблизи экстремального горизонта. Численные расчеты показали, что для безмассового поля на фоне экстремальной черной дыры Рейсснера-Нордстрема таких расходимостей нет [33]. Аналитическое исследование поведения массивных полей вблизи экстремальных горизонтов дало тот же результат [156]. Недавно такие исследования были распространены на случай ультраэкстремальных горизонтов [157], в котором метрический коэффициент ди ~ (г+ — г)3 вблизи горизонта. Здесь г - шварцшильдова радиальная координата (координата кривизны), г = г+ соответствует горизонту. Такие горизонты встречаются, например, в пространстве Рейсснера - Нордстрема - де Ситтера, в случае, когда космологическая константа А > 0 [186]. Соответствующий этому случаю горизонт оказывается космологическим, так что метрика является статической между г = 0 и г = г+. Результаты для ультраэкстремальных горизонтов были получены в [157] только для массивных полей. Возникает естественный вопрос, существуют ли ультраэкстремальные горизонты с учетом квантовых поправок полей произвольной массы, включая случай безмассовых полей, вклад которых в вакуумные средние оператора тензора энергии-импульса квантованных полей много больше соответствующего вклада массивных полей. Для такого случая в данной работе провести вычисления удалось, что позволило судить о возможности существования ультраэкстремальных горизонтов с учетом квантовых поправок скалярных полей произвольной массы.

Хорошо известным фактом классической электродинамики является утверждение о том. что движение точечного заряда определяется взаимодействием заряда с полем, которое он создает. Этот эффект (называемый самодействием или радиационной реакцией) связан с нелокальной структурой поля, источником которого является заряд. Первые исследования в этой об-

ласти были сфокусированы на самоускорении электрически заряженных точечных частиц в плоском пространстве-времени [82]. В дальнейшем ДеВитт, Врем и Хоббс [80, 114, 115] получили формальные выражения для силы самодействия на электрический заряд в искривленном пространстве-времени. Мино, Сасаки, Танака [158] и, независимо, Куин и Уолд [183] получили аналогичные выражения для гравитационной силы самодействия на точечную массу. Сила самодействия на скалярный заряд, взаимодействующий с собственным безмассовым минимально связанным с кривизной скалярным полем, была рассмотрена Куином в работе [184]. Хотя формальные аналитические выражения для различных типов силы самодействия хорошо известны, вычисления явных выражений требуют значительных усилий, которые были осуществлены, в основном, на фоне пространств-времен черных дыр [209, 193, 7, 152, 144, 165, 166, 71, 72, 212, 153, 42, 43, 44, 45, 162, 84, 73, 46, 47, 48, 172, 49, 50, 85, 86, 159, 88, 35, 34, 126, 77, 51, 52, 110, 53, 87, 167, 168, 55, 56, 127, 210, 211]. Эти усилия связаны, в основном, с подготовкой гравитационно-волновых детекторов, таких как LISA, способных детектировать гравитационные волны, излучаемые компактным объектом, падающим на супермассивную черную дыру [192, 123].

В отличие от случая плоского пространства-времени, сила самодействия может быть не нулевой даже для статического заряда на искривленном фоне. Было также показано, что эта сила может быть не нулевой для статического заряда в плоских пространствах-временах топологических дефектов [147, 148, 194, 133, 132, 131, 83, 27]. В искривленных пространствах-временах с нетривиальной топологической структурой исследования эффекта самодействия имеют дополнительные интересные черты [136. 149, 142, 61, 76].

Для покоящихся зарядов в статических пространствах-временах описание эффекта самодействия сводится к отысканию функции Грина трёхмерного искривлённого пространства. Это означает, что по аналогии с упоминавшимся выше эффектом поляризации вакуума в некоторых областях

пространства-времени, эффект самодействия заряда, являющегося источником неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, может определятся локальными свойствами пространства-времени. В данной работе дается описание эффекта в упомянутом случае.

Таким образом, актуальность работы объясняется как общетеоретическим интересом к разработке методов расчета квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени (поляризация вакуума квантованных полей в искривленном пространстве-времени, обратное влияние квантованного поля на пространственно-временную метрику), к исследованию квантовых эффектов в физике горизонтов, так и практическим интересом к эффекту самодействия заряда, связанным с подготовкой гравитационно-волновых детекторов, таких как LISA, способных детектировать гравитационные волны, излучаемые компактным объектом, падающим на супермассивную черную дыру [192, 123].

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование эффектов квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, в частности, эффекта поляризация вакуума квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в искривленном пространстве-времени; обратного влияния квантованный полей на геометрию пространства-времени; а также эффекта самодействия заряда в искривленном пространстве-времени.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Анализ проблем, возникающих при использовании процедуры перенормировки вакуумных средних (ф2) и (Т^) квантованного скалярного поля в искривленных пространствах-временах методом раздвижки точек; построение явных выражений для ренормализационных контрчленов, используемых в этой процедуре, в произвольной системе координат.

2. Разработка метода построения аналитических приближенных выраже-

ний для вакуумных средних (ф2) и (Т^) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в статических сферически симметричных областях пространства-времени, допускающих локальное представление исследуемых величин.

3. Разработка метода построения аналитических приближенных выражений для вакуумных средних (ф2) и (Х^) квантованного скалярного поля в асимптотически плоской области статического сферически симметричного пространства-времени.

4. Разработка метода построения аналитического приближения для вакуумного среднего (ф2) квантованного скалярного поля в асимптот