Точные космологические решения в теориях гравитации со скалярными полями и нелокальными взаимодействиями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Вернов, Сергей Юрьевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2015
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Верное Сергей Юрьевич
Точные космологические решения в теориях гравитации со скалярными полями и нелокальными взаимодействиями
01.04.02- Теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
1 б ссн т
МОСКВА —2015
005562291
005562291
На правах рукописи
Вернов Сергей Юрьевич
ТОЧНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ СО
СКАЛЯРНЫМИ ПОЛЯМИ И НЕЛОКАЛЬНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
01.04.02 — Теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
Москва — 2015
Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова".
Официальные доктор физико-математических наук, профессор оппоненты: Андрианов Александр Андреевич,
профессор кафедры Физики высоких энергий и элементарных частиц Физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета;
доктор физико-математических наук Либанов Максим Валентинович, заместитель директора по научной работе Института ядерных исследований РАН;
-- доктор физико-математических наук
Соловьев Владимир Олегович, старший научный сотрудник отдела теоретической физики Института физики высоких энергий НИЦ «Курчатовский институт»
Ведущая организация: Объединённый институт ядерных
исследований, г. Дубна, Московская область
Защита диссертации состоится 15 октября 2015 г. в 15 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, дом 1, стр. 2, физический факультет МГУ, аудитория СФА.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (119192, г. Москва, Ломоносовский проспект, дом 27) и на странице диссертационного совета Д 501.002.10 на сайте физического факультета МГУ http://www.phys.msu.ru/rus/research/disser/sovet-D501-002-10/.
Автореферат разослан. 2015 года.
Учёный секретарь
диссертационного совета Д 502.002.10 -___
доктор физико-математических наук г/ -----
• П.А. Поляков
профессор
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования и степень её разработанности
Современная космология берёт начало в работах A.A. Фридмана, нашедшего в 1922 году описывающие расширяющуюся Вселенную решения уравнений Эйнштейна. Предложенная Фридманом форма метрики оказалась очень полезной для описания глобальных свойств Вселенной, поскольку Вселенная является изотропной и однородной на больших масштабах. Предположение об изотропности и однородности Вселенной, известное как "космологический принцип", подтверждено наблюдениями. Наблюдаемая часть Вселенной имеет радиус порядка 3000 мегапарс.ек (1 Мрс = 3.08 х 1024ст). Наблюдения показывают, что Вселенная однородна и изотропна на масштабе 100Мрс и более крупных масштабах. Наблюдаемая анизотропия космического фона микроволнового излучения (реликтового излучения) является очень малой, порядка Ю-5. Также установлено, что, с высокой степенью точности, Вселенная является пространственно плоской. Таким образом, наблюдения подтверждают правильность использования в космологии пространственно плоской метрики Фридмана Леметра Робсртсона Уокера (ФЛРУ), в которой интервал задастся формулой:
ds2 = - dt2 + a2(t) (dx\ + dx\ + dxf) , (1)
где a(t) — масштабный фактор. Уравнения гравитации в данной метрике (уравнения Фридмана) используются для поиска основного решения, описывающего эволюцию Вселенной. Из уравнений Фридмана определяется логарифмическая производная масштабного фактора, то есть параметр Хаббла H(t). Зависимость метрики и поля от пространственных координат рассматривается как малая поправка с помощью теории космологических возмущений. Изучение фридмановской вселенной является не только неотъемлемой частью современных учебных курсов по космологии (например, Вайнберга (Weinberg), Горбунова и Рубакова, Муханова), но и актуальной задачей при построении космологических моделей. Модели с однородным скалярным полем подходят для описания фридмановской вселенной и являются наиболее популярными моделями описания эволюции Вселенной.
Расширение Вселенной было установлено в 1929 году благодаря наблюдениям Э. Хаббла. Открытие реликтового излучения утвердило основанную на общей теории относительности (ОТО) модель Большого взрыва с последующим этапом замедленного расширения Вселенной. Трудности описания начального этапа развития Вселенной были преодолены с помощью теорий
инфляции, то есть очень быстрого расширения Вселенной за счёт экспоненциального роста масштабного фактора (Старобинский 1980, Гус (Guth) 1981, Линде 1982, 1983). В настоящее время инфляционные модели являются стандартным методом описания начального этапа развития Вселенной, не лишённым, однако, нерешенных проблем. Модели инфляции либо включают в себя дополнительное скалярное поле, либо являются моделями модифицированной, например, f(R), гравитации. Аналогом модифицированной гравитации являются модели с неминимальным взаимодействием скаляра кривизны со скалярным полем. Активно исследуются и альтернативные сценарии развития ранней Вселенной.
Модели развития ранней Вселенной, включающие в себя скалярные поля, развиваются с начала 1980-х годов и активно исследуются в настоящее время. При этом самые свежие наблюдательные данные, полученные с помощью установки PLANCK в 2013 году, делают модели с неминимально связанным скалярным полем более предпочтительными инфляционными моделями, чем модели с минимально связанными скалярными полями. Отметим, что модели с неминимально взаимодействующим скалярным полем не только хорошо согласуются с экспериментальными данными, но и часто учитывают квантовые свойства скалярного поля. Действительно, одной из причин добавления членов неминимального взаимодействия является необходимость учёта квантовых свойств скалярного поля, поскольку квантовые поправки к действию скалярного поля ф, минимально взаимодействующего с гравитацией, содержат члены пропорциональные Нф2, где R — скаляр кривизны (Черников и Тагиров 1968). Подобный член также возникает из требования перенормируемости теории скалярного поля в пространстве с ненулевой кривизной. Модели, рассматривающие в качестве инфлатона, то есть скалярного поля, определяющего поведение Вселенной на начальном этапе эволюции, неминимально взаимодействующее с гравитацией скалярное поле, развиваются с середины 1980-ых годов.
Активно предпринимаются попытки описать раннюю эволюцию Вселенной с помощью космологической модели, основанной на квантовой теории поля. В настоящее время актуальна высказанная в работе Безрукова и Шапошникова 2007 года идея описать инфляцию с помощью бозона Хиггса, предсказанного Стандартной моделью элементарных частиц. Эта модель инфляции является ярким примером использования в космологии результатов физики элементарных частиц и привлекает большое внимание исследователей, в частности, Барвинского, Вилчика (Wilczek), Гарсиа-Бейидо (Garcia-Bellido), Горбунова, Каменщика, Кифера (Kiefer), Рубио (Rubio), Сибирякова и Старо-бинекого. Анализ свойств данной модели, предусматривающей неминималь-
ное взаимодействие гравитации с бозоном Хиггса, стал особенно актуален после открытия бозона Хиггса на Большом адронном коллайдере (ЦЕРН), а также получения данных астрофизических наблюдений с помощью установки PLANCK. В настоящее время существуют также модели, связывающие ин-флатон со скалярными полями, появляющимися в расширениях Стандартной модели элементарных частиц, например, в теориях суперсимметрии. Исследование эволюции ранней Вселенной может способствовать построению теорий за рамками Стандартной модели элементарных частиц, поскольку в то время частицы обладали энергиями, на порядки превышающими максимальные энергии частиц в современных и планируемых ускорителях элементарных частиц. Таким образом, исследования в космологии могут помочь развитию физики частиц.
За последние десятилетия космология, то есть наука, изучающая проблемы происхождения и эволюции Вселенной, вышла на качественно новый уровень, в первую очередь благодаря данным, полученным с радиотелескопов, расположенных на спутниках. Основным результатом спутниковых наблюдений стало то, что удалось не только качественно, но и количественно описать свойства Вселенной и этапы её эволюции.
Одним из наиболее важных результатов современной наблюдательной космологии является вывод о том, что расширение Вселенной происходит с ускорением, а не замедлением. Получаемые начиная с 1998 года новые наблюдательные данные, отличающиеся высокой точностью и самосогласованные, поставили под сомнение общепринятую тогда космологическую модель. Совместный анализ значений параметра Хаббла, полученных из наблюдения за сверхновыми типа Ia (SNela), особенностей скоплений галактик, анизотропии реликтового излучения и других данных свидетельствует о том, что наблюдаемая часть Вселенной находится на стадии ускоренного расширения. Теоретическое обоснование полученных космологических данных является одной из наиболее важных проблем современной физики, привлекающей огромное внимание ученых. Надежно установленный наблюдениями факт ускоренного расширения Вселенной не имеет хорошего теоретического описания и его причина не известна. Предположение, что ОТО является правильной теорией гравитации, приводит к выводу, что для объяснения наблюдаемых данных должна существовать и доминировать в настоящее время гладко распределённая, медленно меняющаяся во времени космическая жидкость с отрицательным давлением (тёмная энергия).
В космологии для спецификации различных типов космической жидкости обычно используется феноменологическое соотношение между давлением р и плотностью энергии д каждой из компонент жидкости р = wg, где w
— параметр уравнения состояния или, для краткости, параметр состояния. Компонента с отрицательным w соответствует тёмной энергии. Современные эксперименты, в том числе WMAP и PLANCK, свидетельствуют о том, что в настоящее время параметр состояния тёмной энергии близок к —1. А именно, из существующих наблюдательных оценок и предположения о постоянстве w с вероятностью 95% следует, что и> лежит в интервале:
«; =-1.1318:®. (2)
Самым простым способом описать тёмную энергию является добавление космологической постоянной в действие Гильберта-Эйнштейна. Положительная космологическая постоянная соответствует постоянному параметру Хаббла Н (решение де Ситтера) и w — — 1. Для описания темной энергии с зависящим от времени параметром состояния можно добавить скалярное поле в космологическую модель. Это позволяет получить изменяющийся во времени параметр Хаббла. В любой космологической модели с минимально связанным скалярным полем, обладающим стандартным кинетическим членом, получаем w > —1 и монотонно убывающий параметр Хаббла. Чтобы получить возрастание или немонотонное поведение параметра Хаббла, нужно либо добавить фантомное скалярное поле, либо рассмотреть модель со скалярным полем, неминимально взаимодействующим с гравитацией, либо рассмотреть скалярное поле, лагранжиан которого включает производные второго порядка.
С теоретической точки зрения случаи w > —1, w = — 1 и w < — 1 существенно различны:
• Первый случай, w > —1, реализуется в моделях квинтэссенции, которые являются космологическими моделями с минимально взаимодействующими скалярными полями. Такие типы моделей вполне приемлемы, однако возникает вопрос о происхождении этого скалярного поля. Для согласия с данными астрономических наблюдений скалярное поле должно быть очень легким и, следовательно, не принадлежащим к набору полей Стандартной модели элементарных частиц.
• Второй случай, к; = — 1, описывается с помощью космологической константы, которая является частью ЛС D М - м одел и. Эта модель, принятая учёными как основная для описания эволюции Вселенной и образования её структуры, удовлетворяет всему набору наблюдательных данных. Однако существует проблема, связанная с порядком величины космологической константы, которая оказывается в Ю120 раз меньше естественного теоретического предсказания. Действительно, Л^ ~ (Ю_30Мр)4, где Мр — масса Планка.
• Третий случай, w < —1, называется "фантомным" и может быть реализован с помощью скалярного поля с духовым (фантомным) кинетическим членом. В этом случае все энергетические условия нарушаются, и возникают проблемы нестабильности на классическом и квантовом уровнях. Легко показать, что в моделях с постоянным, меньшим —1, значением vj и пространственно плоской метрикой Фридмана происходит обращение в бесконечность масштабного фактора и, следовательно, гибель Вселенной в конечный момент времени.
Отметим, что модели квинтэссенции могут иметь как w < —1, так и w ^ —1. Однако динамический переход из области w ^ -1 в область w < — 1 и обратно в моделях с одним скалярным полем, минимально взаимодействующим с гравитацией, запрещён при достаточно общих предположениях.
Поскольку экспериментально возможность w < — 1 не закрыта, интенсивно ведутся поиски непротиворечивых моделей, в которых условие w < — 1 выполняется. Отметим, что актуальным и важным представляется также анализ возможности построения в моделях с неминимальным взаимодействием космологических сценариев с эффективным параметром состояния, меньшим минус единицы, иными словами, с растущим параметром Хабб-ла. В моделях с минимально связанными скалярными полями для описания растущего параметра Хаббла в пространственно плоской метрике Фридмана необходимо ввести либо фантомное поле, либо скалярное поле с лагранжианом, содержащим вторые производные. Обзор подобных моделей, приводящих к уравнениям поля второго порядка, дан в статье Рубакова 2014 года. Некоторые из таких, не имеющих никаких явных патологий моделей, имеют решения, нарушающие изотропное условие энергодоминантности (в англоязычной литературе: the Null Energy Condition, NEC). Возможный способ избежать проблему нестабильности в моделях с w < — 1 состоит в том, чтобы рассматривать фантомную модель, как эффективную модель, возникающую из более фундаментальной теории, которая не имеет отрицательного кинетического члена. В качестве такой теории рассматривается теория струн, с которой связаны нелокально модифицированные теории гравитации и нелокальные скалярные поля.
Альтернативой включения в действие, описывающее эволюцию Вселенной, различных полей является модификация гравитации. ОТО прекрасно описывает поведение планет в Солнечной системе и является хорошо проверенной теорией. В то же время, правильное описание движения небесных тел на галактических и космологических масштабах требует добавления тёмной материи и тёмной энергии. Существует вероятность, что тёмные материя и энергия могут быть не материальными полями, а наблюдаемым эффектом,
свидетельствующим о необходимости поиска теории гравитации, обобщающей общую теорию относительности Эйнштейна. Начиная с работ Сахарова., Рузмайкина и Рузмайкиной, Гуровича и Старобинского, различные локальные теории модифицированной гравитации активно изучаются, и в настоящее время они рассматриваются в монографиях и обзорах.
Одним из примеров модифицированной теории гравитации, хорошо объясняющей развитие ранней Вселенной, является R2 гравитация и модель инфляции Старобинского. В работах Готтлёбера (Gottlobcr), Старобинского и других авторов с начала 1990-ых годов развиваются модели инфляции обобщённой модифицированной гравитации с плотностью лагранжиана f(R,ROR), где □ — даламбертиан, а также модели R2 гравитации со скалярными полями.
Отметим, что идея модифицировать гравитацию также связана с нерешённой проблемой квантования гравитации и попытками объединить гравитационное взаимодействие с другими фундаментальными взаимодействиями. Как известно, ОТО неперенормирусма, иными словами, сё перенормировка требует бесконечного числа контрчленов, следовательно, неприменима стандартная процедура квантования физических полей. Перенормируемую гравитацию удалось построить с помощью добавления в действие квадратичных по тензору Риччи слагаемых, однако, это привело к появлению духовых степеней свободы. На сегодняшний день квантовой теории гравитации не создано.
Решением всех этих задач могло бы быть построение новой теории гравитации, связанной с теорией струн. Главная теоретическая мотивация поиска нелокального действия связана с желанием связать гравитацию с квантовой физикой с помощью теории струн, которая предлагает нелокальные поправки к действию Гильберта-Эйнштейна. Нелокальные поправки появляются уже классически (т.е. на древесном уровне в вершинах) и могут быть перенесены на кинетические члены с помощью переопределения полей (ф —> Исследования как тёмной энергии, так и ранней Вселенной стимулировали активное изучение нелокальных космологических моделей, мотивированных струнной теорией поля, в частности, моделей с нелокальным полем ф, лагранжиан которого включает член фе~аф. Отметим работы Арефьевой, Жуковской, Калкагни (Calcagni), Кошелева, Малрина (Mulryne) и Нунеса (Nuncs) моделей тёмной энергии, а также исследования Барнаби (Barnaby), Бисваса (Biswas) Кляйна (Cline), Мазумдара (Mazumdar) и Сигела (Siegel). Заметим, что пока из конкретного действия теории струн не получены гравитационные модели, эта связь скорее идейная, а не на уровне строгих формулировок. По этой причине рассматриваемые модели включают произвольные функции. Важным вопросом является наличие тех или иных космо-
логических решений в данных моделях в зависимости от вида функции, определяющей вклад нелокальной поправки к действию Гильберта-Эйнштейна.
В настоящее время один из возможных сценариев развития Вселенной (предложенный Арефьевой в 2004 году) связан с представлением се как Ш-браны (3 пространственных и одна временная переменная), вложенной в многомерное пространство-время. Б-браны естественным образом возникают в теории открытых струн. Рассматривается неэкстремальная Б-брана, которая нестабильна и эволюционирует в стабильное состояние. Этот процесс описывается динамикой открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране. Если ограничиться только низшим возбуждением — тахионом, то динамика Б-браны будет описываться действием тахиона открытой струны. Интерес к космологическим моделям, связанным с полевой теорией открытых струн, вызван возможностью получения решений, описывающих переходы из возмущенного вакуума в истинный (так называемые роллинговые решения). После того, как все массивные поля (или часть низших массивных полей) проинтегрированы с помощью уравнений движения, тахион открытой струны приобретает потенциал, обладающий нетривиальным минимумом. В рамках этой модели было показано, что эффективная модель гравитации может содержать фантомное скалярное поле, поскольку тахион открытой струны эффективно моделируется скалярным полем с отрицательным кинетическим членом. Обратная реакция браны в данной модели описывается динамикой тахиона замкнутой струны. Локальное описание связанного с сектором замкнутых струн скалярного поля содержит стандартный кинетический член. Таким образом, получается связь струнной теории поля с квинтомными ((¡шпкип) космологическими моделями.
В диссертации рассмотрены модели нелокально модифицированной гравитации, включающей в себя либо аналитическую функцию оператора Да-ламбера, либо обратный оператор Даламбсра. Эти модели активно развиваются в настоящее время учёными многих стран. Отметим, что многие модели модифицированной гравитации, в том числе и нелокальные, можно переформулировать как модели ОТО с дополнительными скалярными полями, возможно, нелокальными и неминимально связанными с гравитацией. Таким образом, данные модели и методы их исследования близки к методам исследования моделей со скалярными полями и являются их важным дополнением. Модели модифицированной гравитации могут служить возможным объяснением природы скалярного поля, используемого в космологических моделях. В частности, модели с обратным оператором Даламбсра могут быть сформулированы как локальные модели со скалярными полями, неминимально взаимодействующими с гравитацией.
Космологические модели с минимально и неминимально взаимодействующими скалярными полями активно исследуются в настоящее время и как инфляционные модели, и для описания темной энергии. При построении как космологических моделей, так и других гравитационных моделей часто приходится сталкиваться с задачей нахождения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно, уравнений Фридмана, описывающих эволюцию Вселенной, и уравнений Клейна-Гордона для скалярных полей. Скалярно-тензорная гравитация, предложенная Йорданом в 1959 году, активно развивается, начиная со статей Бранса и Диккс 1960-ых годов. Несмотря на это математические свойства космологических моделей с неминимально взаимодействующими скалярными полями еще недостаточно изучены. В настоящее время космологическая динамика таких моделей активно исследуется, в частности, в работах Капозиелло (Capozziello), Леона (Leon), Топоренского, Фараони (Faraoni) и Шидловски (Szydlowski) с соавторами. Актуальной задачей является обобщение методов, развитых для моделей с минимально взаимодействующими скалярными полями, на модели с неминимальным взаимодействием.
Одной из проблем в построении космологических моделей является неинтегрируемость уравнений Фридмана, описывающих глобальную динамику Вселенной. Поскольку понятие интегрируемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений определено неоднозначно, уточним, что в космологии под интегрируемостью обычно понимается разрешимость уравнений, а именно, возможность получить общее решение уравнений Фридмана с помощью подходящего выбора параметрического времени и сведение уравнений к интегрируемым, например, линейным, уравнениям от одной переменной. Только для очень небольшого числа потенциалов скалярного поля соответствующая система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается интегрируемой. Наиболее известной интегрируемой космологической моделью является модель с одним скалярным полем и экспоненциальным потенциалом. Активно ведётся поиск новых интегрируемых систем таких уравнений. Одним из способов проверки интегрируемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений является анализ дифференциальных уравнений в окрестностях точек сингулярности их решений на комплексной плоскости, известный как сингулярный анализ Ковалевской-Пенлеве. В работах Лича (Leach), Котсакиса (Cotsakis) и Мирициса (Miritzis) 2001 года была проверена интегрируемость различных систем уравнений Фридмана со скалярными полями с помощью теста Пенлеве, позволяющего находить необходимые условия интегрируемости системы уравнений из анализа поведения её решений в окрестности точки сингулярности. Данный анализ полезен так-
же для нахождения точных частных решений неинтегрируемых систем. Поскольку для физических приложений достаточно найти частное решение с требуемыми свойствами, важными являются задача поиска космологических моделей с точными решениями и задача реконструкции потенциала скалярного ноля по предполагаемому виду решения.
Идея рассматривать параметр Хаббла как функцию скалярного поля и получить из уравнений Фридмана уравнение, похожее на уравнение Гамильтона Якоби, была предложена в 1990 году независимо в статье Са-лопека и Бонда и статье Муслимова. В статье Салопска и Бонда эта идея использовалась для доказательства интегрируемости космологической модели с экспоненциальным потенциалом. Позже похожая идея активно использовалась для реконструкции потенциала скалярного поля и поиска частных точных решений как в космологических моделях, так и в моделях мира на бранс тина Рэндалл Сундрума со скалярным полем, а также в моделях, использующих вспомогательное пространство с дополнительным измерением для исследования кварк-глюонной плазмы. Данный метод известен также как метод суперпотенциала и как формализм уравнений первого порядка. То, что параметр Хаббла рассматривается как функция скалярного поля, позволяет восстанавливать потенциал скалярного поля и определять динамику поля без априорно заданного поведения параметра Хаббла как функции времени или масштабного фактора метрики Фридмана. Типичной задачей, решаемой методом суперпотенциала, является построение моделей с требуемыми качественными свойствами частного точного решения и полиномиальным потенциалом. Актуальным является развитие данного метода и расширение области его применения.
При построении как космологических моделей, так и моделей математической физики часто приходится сталкиваться с задачей нахождения решений неинтегрируемых систем дифференциальных уравнений с требуемыми свойствами. Актуальной задачей является развитие методов поиска частных решений неинтегрируемых систем в виде мероморфных функций, например, эллиптических. Оказалось, что развитие анализа Ковалевской Пенлеве, изначально предложенного для поиска интегрируемых систем дифференциальных уравнений, может способствовать решению этой задачи. Тест Пенлеве в формулировке Ковалевской лежит в основе предложенного в 2003 году нового алгоритма поиска частных решений неинтегрируемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде эллиптических или вырожденных эллиптических функций (метода Конта-Мюзетты (Conte Musette)). Основанный на анализе сингулярностей и построении локальных решений в виде рядов Лорана, данный метод позволяет преобразовывать исходные нелинейные
дифференциальные уравнения в бесконечные системы алгебраических (а по многим переменным линейных) уравнений, используя решения в виде рядов Лорана исходной системы дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие этот метод получил, в частности, в работах Хона, а также Дёминой и Кудряшова.
Нахождение новых решений давно и активно изучаемых уравнений является доказательством полезности предлагаемого метода поиска, демонстрирует его преимущества по сравнению с другими аналогичными методами. Развитие метода Конта Мюзстты и использование его новых модификаций для поиска частных эллиптических решений неинтегрируемых систем и уравнений, активно используемых в физике, например, уравнений Гинзбурга-Ландау и обобщённой системы Хснона Хейлеса, является интересной и важной задачей. Также важно автоматизировать данный алгоритм с помощью написания соответствующего пакета процедур системы компьютерной алгебры, поскольку это позволит проанализировать существование эллиптических решений у широкого класса физически значимых задач.
В космологии активно используются эллиптические решения, и, особенно, решения в виде вырожденных эллиптических функций, например, гиперболических. В частности, типичным решением типа "отскока"(bounce solution) является решение с параметром Хаббла, пропорциональным гиперболическому тангенсу. Развитие основанных на тесте Пенлсве методов поиска частных решений неинтегрируемых систем может способствовать их более активному применению в космологии в будущем.
Целью диссертационной работы является изучение космологической динамики в моделях со скалярными полями и моделях нелокальной гравитации для поиска решений, подходящих как для описания современного ускоренного расширения Вселенной, так и её более ранних стадий развития. Для отыскания частных решений нелокальных нелинейных уравнений модифицированной гравитации, мотивированной струнной теорией поля, развиваются методы локализации данных моделей и решаемых уравнений. Для изучения динамики в моделях со скалярными полями развиваются методы поиска точных частных решений неинтегрируемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений и процедуры реконструкции потенциала скалярного поля.
В работе решались следующие задачи:
1. Изучение гравитационных моделей с минимально взаимодействующим нелокальным скалярным полем, мотивированных полевой теорией струн. Данные модели характеризуются нелокальным кинетическим
членом, включающим в себя аналитическую функцию от оператора Да-ламбера. Развитие методов поиска частных решений уравнений Эйнштейна, в частности, космологических уравнений с нелокальным скалярным полем. Для модели f(R) гравитации, включающей в себя минимально взаимодействующее нелокальное скалярное поле с квадратичным или линейным потенциалом, ставилась задача преобразования её в модель с локальными полями, число которых равняется числу корней исходной аналитической функции с учётом их кратности.
2. Рассмотрение модели нелокально модифицированной гравитации, включающей в себя аналитическую функцию оператора Даламбсра, с целью нахождения новых точных космологических решений и исследование связи данной нелокальной модели с локальными моделями модифицированной гравитации.
3. Анализ моделей нелокальной гравитации, в исходное действие которых включена функция от обратного даламбертиана, действующего на скаляр кривизны: /(1И-1Я). Ставилась задача обоснования выбора того или иного вида функции /. С этой целью для локальной скалярио-тензорной формулировки данной модели требовалось развить алгоритм, позволяющий восстанавливать входящую в действие функцию / по заданному поведению параметра Хаббла. Для наиболее важных космологических решений (де Ситтера и с параметром Хаббла, обратно пропорциональным времени: Н = n/t) необходимо было найти простейшую подобную функцию и получить соответствующие космологические решения в явном виде для модели с идеальной жидкостью и космологической константой. Также решалась задача анализа стабильности решений де Ситтера относительно изотропных возмущений в метрике ФЛРУ и анизотропных возмущений в метрике Бьянки I.
4. Исследование космологических моделей с тёмной энергией, описываемой скалярными полями, происхождение которых объясняется с помощью полевой теории струн. Для построения моделей тёмной энергии с зависящим от времени параметром состояния, могущим принимать значения, которые меньше минус единицы, требовалось получить новые точные решения в космологических моделях с полиномиальными потенциалами, мотивированными струнной теорией поля, и развить метод супсрпотен-циала с целью конструирования устойчивых решений типа кинка.
5. Исследование космологических моделей с неминимальной связью скалярного поля и гравитации и обобщение на них метода суперпотенциала.
Необходимо получить потенциалы скалярного поля, которые приводят к решениям де Ситтера и к асимптотическим решениям де Ситтера (в том числе и немонотонным). Изучение динамики космологических моделей индуцированной гравитации с полиномиальными потенциалами, найденными с помощью метода супсрпотенциала.
6. Необходимо построить интегрируемые космологические модели с неминимально взаимодействующим скалярным полем и получить общее решение для одной из таких моделей в явном виде.
7. Метод поиска эллиптических решений неинтегрируемых систем с помощью формальных решений в виде рядов Лорана должен быть улучшен, автоматизирован и обобщен на многозначные решения, разложимые в ряд Пюизё. Для сравнения предложенной модификации метода с его первоначальным вариантом необходимо было применить его для нахождения новых точных решений физически важных и активно исследуемых неинтегрируемых систем. В частности, требовалось рассмотреть комплексные уравнения Гинзбурга-Ландау с целью нахождения волновых эллиптических решений либо доказательства отсутствия подобных решений.
Научная новизна
Все представленные в диссертации результаты являются новыми и опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах. Научные положения и выводы математически корректны и обоснованы.
Теоретическая и практическая значимость
Значимость работы состоит в возможности применения полученных результатов и развитых подходов при построении и анализе космологических моделей, реалистично описывающих эволюцию Вселенной, и сравнении их с новыми наблюдательными данными. Полученные результаты и методы могут найти применение в исследованиях по космологии и гравитации, а также в других областях математической и теоретической физики.
Методология и методы исследования
В данной работе использовались методы теории динамических систем, анализ Пенлсве, процедуры реконструкции потенциала, методы теории дифференциальных уравнений и методы компьютерной алгебры. Эффективное использование ряда методов потребовало их развития, которое было сделано в диссертации.
Положения, выносимые на защиту
1. С цслыо объяснения ускоренного расширения Вселенной и феномена темной энергии изучены космологические модели с нелокальными скалярными полями, мотивированными полевой теорией струн, и полиномиальными потенциалами второй и третьей степени.
Для моделей с квадратичным потенциалом сформулирован алгоритм локализации, и с его помощью поиск частных решений уравнений Эйнштейна с нелокальным полем сведён к анализу уравнений Эйнштейна с локальными скалярными и фантомными скалярными полями. Доказано, что системе нелокальных уравнений Эйнштейна соответствует множество систем локальных уравнений Эйнштейна со скалярными и фантомными скалярными полями. Решение любой из этих систем является частным решением исходной системы нелокальных уравнений. Таким образом, показана связь космологических моделей с фантомными скалярными полями с полевой теорией струн. Данный результат получен для моделей общей теории относительности и обобщен на модели /(Я) гравитации. С помощью алгоритма локализации найдены точные частные решения уравнений с нелокальным скалярным полем в метриках ФЛРУ и Бьянки I.
2. Для космологических моделей с нелокальными скалярными полями и произвольными потенциалами предложен метод поиска точных решений уравнения нелокального поля. Новые точные решения этого уравнения найдены для произвольного кубического потенциала, рассмотрение которого мотивировано полевой теорией струн. В зависимости от коэффициентов потенциала решения получаются в виде степенных, гиперболических или эллиптических функций. Показано, что точное решение всех уравнений Эйнштейна можно получить с помощью добавления в модель вспомогательного скалярного поля. С помощью предложенного метода точные решения уравнения нелокального поля также найдены для экспоненциального, логарифмического и степенного потенциалов.
3. Исследованы мотивированные теорией струн модели нелокальной гравитации, в действия которых добавлена аналитическая функция оператора Даламбера, действующая на скаляр кривизны. Показано, что рассматриваемую нелокальную модель можно связать с моделью Е2 гравитации, наложив тс же дополнительные условия, что используются для нахождения точных решений нелокальных уравнений. Найдено новое точное космологическое решение типа "отскока" в модели без материи и без радиации.
4. Исследована локальная скалярно -тензорная формулировка моделей гравитации, в исходное нелокальное действие которых включена функция от обратного даламбсртиана, действующего на скаляр кривизны: f(0~lR). Данная локальная формулировка включает в ссбя два скалярных ноля, неминимально взаимодействующих с гравитацией. Для указанного вида моделей, включающих в себя также космологическую константу и материю в виде идеальной космической жидкости, развит алгоритм, позволяющий восстанавливать входящую в действие функцию / по заданному поведению параметра Хаббла. Для наиболее важных космологических решений (де Ситтера и степенных решений с параметром Хаббла Н = n/t) показано, что простейшей подобной функцией является экспонента. Соответствующие космологические решения (де Ситтера и с Н = n/t) получены в явном виде для модели с идеальной жидкостью и космологической константой. Найдены функции /(Ш-1/?), допускающие, в зависимости от начальных данных, как решение с постоянным параметром Хаббла, так и решение с Н = n/t.
5. В рассматриваемой модели нелокальной гравитации с экспоненциальной функцией /, включающей идеальную космологическую жидкость и космологическую константу, получены новые, обобщающие известные ранее, решения де Ситтера и решения с Н =n/t. Проанализирована стабильность решений де Ситтера относительно анизотропных возмущений в метрике Бьянки I. Найдены достаточные условия стабильности.
G. Проведено исследование космологических моделей с темной энергией, описываемой скалярными полями, происхождение которых объясняется с помощью полевой теории струн. Цель данного исследования — теоретическое описание тёмной энергии с зависящим от времени параметром состояния, могущим принимать значения, меньшие минус единицы. В модели с фантомным скалярным полем и полиномиальным потенциалом получено точное решение типа кинка. Найдена область значений параметра модели, в которой построенное решение является стабильным.
7. Рассмотрено обобщение модели с фантомным скалярным полем, полученное добавлением тёмной материи. Найдены начальные значения плотности энергии тёмной материи, при которых для нынешнего отношения плотностей энергии тёмной энергии и темной материи получается значение параметра состояния тёмной энергии, близкое к наблюдаемому.
8. Для описания тёмной энергии с параметром состояния, пересекающим барьер космологической константы, построена космологическая модель
с полиномиальным потенциалом, мотивированным струнной теорией поля, и двумя скалярными полями, одно из которых является фантомным. В этой модели получено двухпарамстрическое множество точных решений. При этом некоторые точные решения соответствуют при больших временах параметру состояния темной энергии > — 1 и убывающему параметру Хаббла, тогда как другие соответствуют юое < —1 и растущему параметру Хаббла. Найдены точные решения, в том числе и нарушающие изотропное условие эиергодоминантности, которые устойчивы в метрике Бьянки I.
9. Для космологических моделей с двумя скалярными полями, минимально взаимодействующими с гравитацией, развит метод реконструкции потенциала (метод суперпотенциала) и показана его эффективность при поиске новых точных решений, в частности, устойчивых решений типа кинка.
10. Метод суперпотенциала был впервые использован для реконструкции космологических моделей с неминимальной связью скалярного поля и гравитации. Найдены потенциалы скалярного поля, которые позволяют получить модели с решениями де Ситтера, с асимптотическими решениями де Ситтера (в том числе с немонотонным поведением параметра Хаббла). Изучена динамика космологических моделей индуцированной гравитации с полиномиальными потенциалами шестой степени, найденными с помощью метода суперпотенциала. Важным свойством таких моделей является существование решений, стремящихся к неподвижным точкам. Найдены достаточные условия стабильности таких решений. В частности, найдены условия, при которых решения с немонотонным параметром Хаббла, стремящимся к положительной константе, являются аттракторами.
11. Найдены интегрируемые космологические модели с неминимально взаимодействующим скалярным полем. В явном виде получено общее решение для одной из таких моделей, а именно, модели индуцированной гравитации со степенным потенциалом.
12. Развит метод построения с помощью теста Пенлеве решений неинтегри-русмых систем в виде рядов Лорана и применения данных решений для поиска точных эллиптических решений. С помощью предложенного метода доказано отсутствие эллиптических решений в виде стоячих волн у кубического комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау и получено эллиптическое решение уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени. В
двух неинтегрируемых случаях обобщённой системы Хенона-Хейлеса получены трёхпараметрические решения в виде сходящихся рядов Лорана и новые точные двухпарамстричсские решения, являющиеся эллиптическими функциями четвёртого порядка. Метод поиска эллиптических решений неинтегрируемых систем с помощью формальных решений в виде рядов Лорана автоматизирован и обобщён на многозначные решения, разложимые в ряд Пюизё.
Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается корректностью построения математических моделей, внутренней согласованностью и согласием полученных в диссертации результатов с известными результатами исследований других авторов.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и семинарах:
Mathematical physics meetings: Summer School and Conference on Modern Mathematical Physics (Belgrade, Serbia, 2014; 2010; 2008); International Seminars on High Energy Physics ("Quarks-2014", Суздаль, 2014; "Quarks-2012", Ярославль, 2012; "Quarks-2006" Санкт-Петербург, 2006; "Quarks-2004", Пушкиногорьс, 2004; "Quarks-2002", Великий Новгород, 2002); International conference "Zeldovich-100" on Cosmology and Rclativistic Astrophysics (Москва, 2014); Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии "Петровские чтения - 2014" (Казань, 2014) The 20-th International Conference on General Relativity and Gravitation "GR20" and the 10-th Amaldi Conference on Gravitational Waves "AmaldilO" (Warsaw, Poland, 2013); The International School-Seminars "The Actual Problems of Microworld Physics" (Gomel, Belarus, 2013; 2011; 2005); International Workshop High Energy Physics and Quantum Field Theory ("QFTHEP'2013", Санкт Петербург, 2013; "QFTHEP'2011", Сочи, 2011; "QFTHEP'2010", Голицыно, Московская область, 2010; "QFTHEP'2004", Санкт Петербург, 2004; "QFTHEP'2003", Самара-Волгоград, 2003); The International Workshops "Supersymmetries and Quantum Symmetries" (SQS'2013, Дубна, 2013, SQS'2011, Дубна, 2011, SQS'2009, Дубна, 2009); II Russian-Spanish Congress, Particle and Nuclear Physics at all Scales and Cosmology (Санкт- Петербург, Россия, 2013); IV Jornadas CPAN (Granada, Spain, 2012); Ginzburg Conference on Physics (Москва, Россия, 2012); Dual year Russia-Spain: Particle Physics, Nuclear Physics and Astroparticle Physics (Barcelona, Spain, 2011); Workshops on Geometric Methods in Physics
(Bialowieza, Poland, 2010; 2006); 4-th International Sakharov Conference on Physics (Москва, 2009); Second International Conference on String Field Theory and Related Aspects (Москва, 2009); The 15-th International Symposium on Particles, Strings, and Cosmology (PASCOS'2009, Hamburg, Germany, 2009); International Conferences "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Kiev, Ukraine, 2009; 2007; 2005; 2003); Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (Москва, 2009); International Workshops "Classical and Quantum Integrable Systems" (Протвино, 2008; 2006); The XVII-th International Colloquium on Integrable Systems (Prague, Czech Republic, 2008); International Symposium on Quantum Theory and Symmetries ("QTS-5", Valladolid, Spain, 2007, "QTS-4", Varna, Bulgaria, 2005); The International Conferences on Geometry, Integrability and Quantization (Varna, Bulgaria, 2006, 2005); The International Conferences "Computer Algebra in Scientific Computing" (CASC'2005, Kalamata, Greece, 2005; CASC'2004, Санкт-Петербург, 2004); The XXVI-th International Workshop on the Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory (Протвино, 2003); The XVII International Conference "Order and Chaos in Stellar and Planetary Systems" (AGAVA'03, Санкт Петербург, 2003); The Xth International Conference "Symmetry Methods in Physics" (Ереван, Армения, 2003); International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics CAAP-2001 (Дубна, 2001); а также на семинарах по компьютерной алгебре в Москве (ВМК МГУ) и Дубне, на семинарах по гравитации и космологии им. A.JI. Зельманова в ГАИШ МГУ, на физических семинарах в НИИЯФ МГУ, Институте космических исследований (Барселона, Испания), Болонском и Пизанском университетах (Италия).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 35 научных работах, из которых 23 статьи изданы в реферируемых журналах из списка Web of Science и/или Scopus и рекомендованных ВАК. Полный список публикаций приведён в конце автореферата.
Объём и структура работы
Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения, трёх приложений и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 321 страницу. Диссертация содержит 21 рисунок. Библиография включает 455 наименований.
Содержание работы
Во Введении обосновывается актуальность проведённого исследования, сформулирована цель работы, перечислены используемые методы исследования, описана структура диссертации и дано краткое содержание её глав.
В Главе 1 исследованы космологические модели с нелокальным скалярным полем, которые описываются следующим действием
= ! («'□) ф - У(ф)) - Л, (3)
где а' — квадрат характерной длины струны. Так как происхождение нелокального поля связано с теорией открытых струн, действие содержит и безразмерную константу взаимодействия открытых струн д0. Скалярное поле ф, которое ассоциируют с тахионом открытой струны, является безразмерным.
Функция Т является аналитической на всей комплексной плоскости, иными словами, она является целой функцией оператора Даламбсра. Следовательно, она может быть представлена в виде сходящегося ряда
оо
= (4)
п=0
а также, по теореме Вейерштрасса, в виде следующего произведения:
7 \ 1 З2 1 ( 3 \Рк
П-П = , (5)
где т — порядок корня J = 0 (т может равняться нулю), ,1к — нули функции
У-^), У{1) является целой функцией. Натуральные числа рп выбраны так, оо / г\Р"+1
что ряд I т") сходится абсолютно и равномерно.
п=1 ^
В случае квадратичного потенциала действие (3) получается добавлением гравитации в модель, которая в пространстве Минковского является линеаризацией модели, получаемой с помощью полевой теории струн. Отмстим, что в пространстве с произвольной метрикой получаемые уравнения не являются линейными, однако обладают некоторыми свойствами линейных уравнений, что позволяет существенно упростить их анализ, сведя его к анализу локальных уравнений Эйнштейна.
В диссертации показано, что указанная модель с квадратичным потенциалом порождает множество, конечное или бесконечное, локальных моделей со скалярными и фантомными скалярными полями. Решения полученных локальных моделей являются частными решениями исходной нелокальной модели. Таким образом, найден метод поиска точных и численных частных решений нелокальной модели с помощью анализа локальных космологических
моделей. Данный результат обобщён на модели гравитации. Основной идеей поиска решений является предположение, что функция ф является собственной функцией оператора Даламбера в пространстве, метрика которого будет найдена позже. При поиске точных решений данной модели разложение аналитической функции по теореме Вейерштрасса оказывается очень полезным.
Также в этой главе рассмотрено нелокальное уравнение Клейна-Гордона в случае произвольного потенциала:
)Ф = У{ф), (0)
где штрих обозначает производную по ф. Частным решением (0) является решение следующей системы локальных уравнений
N-1
^21папф = у'{ф)-с, }кп"ф = с, (7)
71 = 0
где N — 1 является натуральным числом, а С — произвольная константа.
В диссертации показано, как можно решить систему (7) в случае метрики ФЛРУ. Предложенный метод применим для произвольного потенциала, за исключением случаев линейного и квадратичного потенциалов, и позволяет получить в квадратурах решения, зависящие от двух произвольных параметров. Точные решения найдены для произвольного кубического потенциала, рассмотрение которого мотивировано полевой теорией струн, а также для экспоненциального, логарифмического и степенного потенциалов. Показано, что добавлением вспомогательного скалярного поля можно получить точное решение, удовлетворяющее всем уравнениям Эйнштейна.
Главы 2 и 3 посвящены моделям нелокально модифицированной гравитации, мотивированным теорией струн. В начале этих глав описана связь данных моделей с полевой теорией струн.
В Главе 2 рассмотрена модель нелокальной гравитации, описываемая действием
'А/2 „ 1
5 =
J [^Я + \RT R - А + £м
(8)
где М, — масса, при которой высшие производные в действии становятся важными, Л — космологическая константа, £м — лагранжиан материи. Данная модель предложена в 2005 году Бисвасом (Biswas), Мазумдаром (Mazumdar) и Сигелом (Siegel) и привлекательна наличием точного решения типа отскока (bounce solution) для модели с радиацией и космологической константой. Это решение было получено с помощью наложения дополнительного условия
UR = ryR + r2, (9)
где 7*1 ^ 0 и г2 являются константами.
Если скалярная кривизна Я удовлетворяет условию (9), то уравнения нелокальной гравитации становятся локальными. Для радиации след тензора энергии импульса Т^1 = 0, поэтому уравнение следа существенно упрощается:
АЯ + Р(п) (2пВ2 + д^Яд^Я) + В = 0 , (10)
где Т' является первой производной аналитической функции Т по её аргументу, а константы А и В определены следующим образом:
А = 4Г(г!)г2 -М1- 2~(Г{п) - /о) + В = 4Л + ^М2Р + ^А.
п Г1 г 1
Простейший способ получить частное решение уравнения (10) — наложить
условия ^'(гх) = О, А = 0, В = 0. Подставляя эти условия в систему всех
уравнений, получаемую варьированием нелокального действия, имеем
1.
2 Лп)(Д + 3 п)С» = П' + 2^(п)
д"рУрдиЯ - {В.2 + 4п Я + г2)
(И)
Отметим, что для решения всех уравнений потребуется также зафиксировать количество радиации в данной модели.
В диссертации приведены два результата, связанных с построением точных решений с помощью указанного условия. Во-первых, найдено точное космологическое решение, не требующее добавления радиации. Во-вторых, показано, что полученные уравнения (11) совпадают с уравнениями В2 гравитации. Таким образом, любое решение некоторой модели Я2 гравитации, возможно с радиацией, является решением соответствующий нелокальной модели, описываемой действием (8). Полученный результат не подразумевает некоторую специальную форму метрики и справедлив для произвольной метрики. При этом нелокальная модель не эквивалентна модели В2 гравитации, поскольку полное рассмотрение модели включает не только построение фонового решения, но и анализ возмущений, которые могут не удовлетворять условию (9).
В Главе 3 изучаются модели нелокальной гравитации, в исходное действие которых включена функция от обратного даламбертиана, действующего на скаляр кривизны: /(□_1Я). Рассматриваемая в диссертации модель была предложена в работе Дезера и Вударда (Бевег и \Voodard) 2007 года. Отметим, что идея использовать обратный оператор Даламбера для модификации гравитации активно используется в настоящее время в разных космологических моделях. Модель Дезера- Вударда описывается следующим действием:
5 = У Лс^ [Я (1 + /(□"'Я)) - 2Л] + £т| , (12)
где / — дифференцируемая функция, D-1 — обратный оператор Даламбе-ра, Л — космологическая константа, а Ст — Лагранжиан материи. В 2007 году Ноджири (Nojiri) и Одинцовым была предложена локализация данной модели, а именно, действие с двумя скалярными полями, неминимально взаимодействующими с гравитацией:
S,= Jd*xV^{^-[R(l + f(1>)) + t(R-Dil>)-2A] + Cm} . (13)
Данная модель содержит функцию /, которая не определяется постановкой задачи, поэтому важно обоснование выбора того или иного вида функции /. С этой целью для локальной скалярно-тензорной формулировки данной модели, описываемой действием (13), развит метод реконструкции, позволяющий восстанавливать функцию / по заданному поведению параметра Хаббла. Для наиболее важных космологических решений (де Ситтера и с параметром Хаббла, обратно пропорциональным времени: Н = n/t) удалось показать, что простейшей подобной функцией является экспонента. При этом были найдены в явном виде соответствующие космологические решения для модели с идеальной жидкостью и космологической константой. Были также найдены функции /, позволяющие, в зависимости от начальных данных, получать как решение с постоянным параметром Хаббла, так и решение c. Н = n/t. В модели с экспоненциальной функцией /, включающей в себя идеальную космологическую жидкость и космологическую константу, получены новые, обобщающие известные ранее, решения де Ситтера и решения с Н = n/t. Проведен анализ стабильности решений де Ситтера относительно изотропных возмущений в метрике ФЛРУ и анизотропных возмущений в метрике Бьяики I, который позволил получить достаточные условия стабильности этих решений.
В Главе 4 исследуются модели со скалярными полями, минимально взаимодействующими с гравитацией.
В диссертации рассмотрены локальные модели с эффективными полиномиальными потенциалами V(<p,£). Форма этих потенциалов предполагается заданной кубической теорией струн с помощью метода обрезания по уровням. Предложенная модель гравитации содержит фантомное скалярное поле ф, поскольку тахион открытой струны эффективно моделируется скалярным полем с отрицательным кинетическим членом. Для учёта обратной реакции браны, которая описывается динамикой тахиона замкнутой струны, в действие вводится скалярное поле Таким образом, рассматривается модель пространственно плоской фридмановской Вселенной с фантомным скалярным полем ф и стандартным скалярным полем Поскольку происхождение скалярных полей связано с теорией струн, действие содержит характер-
нуго массу струны Ms и безразмерную константу взаимодействия открытых струн д„:
Если скалярные поля зависят только от времени, то в метрике ФЛРУ (1) уравнения движения имеют следующий вид:
Для краткости мы используем безразмерный параметр т2 = д^Мр/М2. Отметим, что только три из четырех уравнений (15) (17) независимы.
В случае плоского пространства-времени эффективная локальная теория обладает чётным потенциалом четвёртой степени и имеет решения типа кинка. Точная форма взаимодействия открытых и замкнутых струн неизвестна, поэтому мы рассматриваем простейшее полиномиальное взаимодействие и предполагаем, что потенциал V(ф, £) является чётным потенциалом шестой степени, переходящим в пределе плоского пространства времени в потенциал типа Хиггса.
Из полевой теории струн мы также предположим асимптотические условия для полей. Напомним, что имеется в вида' следующая картина. Мы предполагаем, что фантомное поле <p(t) плавно движется из нестабильного возмущённого вакуума (ф = 0) в невозмущённый и останавливается в нём. Другими словами, функция ф(1) обращается в нуль в некоторой точке (пусть ф(0) = 0) и стремится к ненулевой асимптотике при t —> +оо: ¿>(+оо) = А. Поле £(£) соответствует замкнутой струне и стремится к нулю при t —» +оо.
Космологические модели с полиномиальными потенциалами общего вида неинтегрируемы, более того, иногда не так просто получить даже частное решение в аналитической форме. В диссертации решается задача построения точных частных решений с требуемыми асимптотическими свойствами, при этом потенциал ищется в классе полиномиальных потенциалов, связанных с теорией струн.
Для нахождения точных частных решений используем метод суперпотенциала. Положив H(t) = Ш{ф{Ь), £(£)), уравнение (16) можно переписать в виде
5 =
J d^v^i^R+^tfawd^ - а^ы) - то))- (14)
(17)
(16)
(15)
Если найден такой суперпотенциал что выполнены следующие
соотношения:
то соответствующие функции ф{Ь), £(£) и Н(Ь) являются решением системы (15)—(17). Метод суперпотенциала разделяет систему уравнений (15)—(17) на две части: систему (19), которая, как правило, интегрируема при заданном полиноме и уравнение (20), которое не интегрируемо, если -
полином, но имеет частные решения в виде полиномов. Потенциал У{ф, £) строится по заданному IV(ф. £).
В двухполевых моделях метод суперпотенциала способствует нахождению новых решений. Действительно, дифференциальные уравнения (19) формируют систему второго порядка. Если эта система интегрируема, то мы получаем двухпараметрическое множество решений. Фиксация явного вида полей ф{£) и £(<) равносильна заданию однопараметрического множества решений. Метод суперпотенциала позволяет обобщить это множество решений до двухпараметричсского множества. В диссертации получено двухпараметрическое множество точных решений в космологической модели с полиномиальным потенциалом и двумя скалярными полями, одно из которых является фантомным. С помощью метода суперпотенциала проанализирована устойчивость полученных решений типа кинка в исследуемых моделях, связанных с полевой теорией струн.
В диссертации также рассмотрена модель с одним скалярным полем, получаемая из указанной модели с двумя полями при £(<) = 0. В данной модели построено точное решение уравнений Фридмана с фантомным скалярным полем материи, происходящим из полевой теории струн, и явно показано отсутствие сингулярности типа "большой разрыв". Особенностями рассматриваемой модели являются духовый знак кинетического члена и специальная полиномиальная форма эффективного тахионного потенциала. Показано, что предложенное решение устойчиво относительно малых изменений начальных условий. Рассмотрены космологические следствия, в частности, изменение поведения параметра Хаббла при добавлении тёмной материи и проанализированы условия устойчивости точного решения по отношению к малым флуктуациям начального значения плотности энергии тёмной материи.
В Главе 5 рассмотрены космологические модели с неминимальным взаимодействием скалярного поля и гравитации. Скалярные поля, нсминималь-
(19)
(20)
но взаимодействующие с гравитацией, естественно возникают как в теориях с дополнительными измерениями, например, теории струн, так и в перенормируемых теориях квантовых полей в искривленном пространстве-времени. Важной отличительной чертой моделей с одним скалярным полем и неминимальным взаимодействием является возможность получения немонотонного поведения параметра Хаббла как функции времени. Данная модель описывается действием
где I/(а) и У(а) суть дифференцируемые функции скалярного поля а.
В пространственно-плоской метрике ФЛРУ получаемые варьированием действия (21) уравнения записываются следующим образом:
где точка обозначает производную по времени, а штрих — производную по скалярному полю а.
В диссертации представлены результаты исследований по развитию методов поиска интегрируемых моделей и процедуры реконструкции потенциала в космологических моделях с действием (21). Метод суперпотенциала был впервые использован для реконструкции космологических моделей с неминимально взаимодействующим скалярным полем и были получены потенциалы скалярного поля, которые приводят к решениям де Ситтера, к асимптотическим решениям де Ситтера (в том числе и с немонотонным поведением параметра Хаббла), а также решениям с параметром Хаббла, обратно пропорциональным времени. Почти все полученные потенциалы содержат свободные параметры и являются полиномами при некоторых значениях этих параметров. Также получены необходимые условия для получения методом суперпотенциала полиномиального потенциала. Рассмотрена стабильность асимптотических решений де Ситтера и показано, что существуют подобные стабильные решения с немонотонным поведением параметра Хаббла.
Несмотря на то, что космологические модели со скалярными полями приобрели большую популярность в последние десятилетия, среди них очень мало интегрируемых космологических моделей. Наиболее известной подобной моделью является пространственно плоская модель Фридмана с минимально связанным скалярным полем и экспоненциальным потенциалом. Для
(21)
61/Н2 + 6&Н = + V,
(22)
(23)
(24)
такой модели общее решение давно получено и подробно изучено, а частное решение данной модели со степенным масштабным фактором активно используется для построения космологических моделей.
В диссертации получено соответствие между интегрируемыми космологическими моделями с минимально и неминимально связанными скалярными полями. Известно, что космологические модели с неминимальной связью могут быть преобразованы в модели с минимальной связью с помощью правильно подобранного конформного преобразования метрики в сочетании с преобразованием скалярного поля. Было показано, что использование параметрического времени в метрике ФЛРУ позволяет получить простые ({юр-мулы, связывающие интегрируемые модели с минимально и неминимально связанными скалярными полями. Таким образом, предложен метод получения общих космологических решений в моделях с неминимально связанными скалярными полями. Получены явные формы потенциалов скалярного поля для шести интегрируемых моделей индуцированной гравитации и шести моделей, включающих член Гильберта-Эйнштейна и скалярное поле, конформно связанное с гравитацией. Для одной из интегрируемых моделей, а именно, модели индуцированной гравитации со степенным потенциалом получено общее решение.
В Главе 6 рассмотрена проблема поиска точных частных решений неин-тегрируемых систем. Решения было предложено искать в виде общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений более низкого порядка. Для нахождения подходящих уравнений более низкого порядка использовались решения исходного уравнения в виде рядов Лорана. Подобные решения легко найти с помощью анализа Пенлеве.
В 2003 году Коптом и Мюзеттой (R. Conte, M. Musette) был предложен метод поиска как эллиптических, так и вырожденных эллиптических решений автономного дифференциального уравнения. Этот подход был применен к исследованию различных неинтегрируемых систем, активно применяемых в физике, в частности, он позволил доказать отсутствие эллиптических решений в виде бегущих волн для кубического комплексного уравнения Гинзбурга Ландау. Описанная в диссертации модификация данного метода позволила продвинуться дальше и доказать отсутствие эллиптических решений в виде не только бегущих, но и стоячих волн для кубического комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. С помощью улучшенного метода поиска эллиптических решений были впервые найдены эллиптические решения для комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени.
Ключевой идеей предложенной модификации является отказ от одновременного поиска как эллиптических, так и вырожденных эллиптических
решений и ограничение поиском только эллиптических решений. Это позволяет использовать для поиска точных решений не одно, а несколько решений в виде рядов Лорана. При поиске только эллиптических решений с помощью теоремы вычетов удастся упростить вычисления, в частности, установить, при каких значениях параметров исследуемая система не может иметь решений в виде эллиптических функций. Применённый нами подход позволяет найти эллиптические решения как одного дифференциального уравнения, так и систем дифференциальных уравнений.
Метод поиска эллиптических решений нсинтегрируемых систем с помощью формальных решений в виде рядов Лорана обобщён на многозначные решения, разложимые в ряд Пюизё, и автоматизирован.
В Главе 6 также исследуются неинтегрируемые случаи обобщенной системы Хенона-Хсйлеса с дополнительным неполиномиальным членом. В шестидесятые годы в астрономии активно изучались модели движения звёзд в цилиндрически симметричном и не зависящем от времени потенциале. Трёхмерная задача, благодаря симметрии потенциала, сводится к двухмерной, однако, нахождение второго интеграла полученной системы в аналитическом виде, например, в виде полинома по фазовым переменным, оказывается неразрешимой задачей даже для сравнительно простых полиномиальных потенциалов. Хенон и Хейлес для ответа на вопрос о существовании неизвестного интеграла исследовали поведение траекторий с помощью численного интегрирования уравнений движения. Система Хенона Хейлеса впоследствии активно изучалась различными математическими методами, а также использовалась в физике, в частности, в гравитации и теории плазмы. Эта система была обобщена введением численных параметров и неполиномиального слагаемого. Обобщённая система Хенона-Хейлеса описывается гамильтонианом
Н = \ + У\ + А^2 + А 2у2) + (25)
где 1( е | я !/( е а А^ А2, /¡и С — численные параметры.
В двух нсинтегрируемых случаях системы Хенона Хейлеса с помощью теста Пснлеве найдены новые частные решения в виде сходящихся рядов Лорана, зависящих от трёх параметров. Один из параметров определяет положение особой точки, а два других — коэффициенты рядов Лорана. В исследуемых случаях ранее были известны только однопараметрические решения в виде эллиптических функций. Полученный результат позволил найти новые двухпараметрические эллиптические решения.
В Заключении перечислены основные результаты работы.
В Приложении 1 приведены основные обозначения и используемые стандартные формулы ОТО. В Приложении 2 перечислены основные свой-
ства эллиптических функций, используемые в Главе 6. Приложение 3 также относится к Главе 6 и содержит описание пакета процедур на языке компьютерной алгебры Maple, используемого для получения частных эллиптических решений неинтегрируемых систем и позволяющего автоматизировать вычисления.
Список работ, опубликованных автором по теме диссертации
Публикации в журналах, рекомендованных ВАК
1. Koshelev A.S., Vernov S.Yu. Cosmological solutions in nonlocal models // Physics of Particles and Nuclei Letters. - 2014. - Vol. 11, no. 7. - P. 960963
2. Integrable cosmological models with non-minimally coupled scalar fields /' A. Kamcnshchik, E. Pozdceva, A. Tronconi, G. Vcnturi, S. Vernov // Classical and Quantum Gravity. - 2014. - Vol. 31, no. 10. - P. 105003.
3. Cosmological solutions of a nonlocal model with a perfect fluid / E. Elizalde, E.O. Pozdceva, S.Yu. Vernov, Y.-l. Zhang /'/ Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2013. - Vol. 2013, no. 07. - P. 034
4. Reconstruction of scalar potentials in modified gravity models / A. Kamenshchik, A. Tronconi, G. Venturi, S. Vernov // Physical Review D
- 2013. - Vol. 87, no. 6. - P. 063503.
5. Elizalde E., Pozdccva E.O., Vernov S.Yu. Reconstruction procedure in nonlocal cosmological models /'/ Classical and Quantum Gravity. — 2013.
- Vol. 30, no. 3. - P. 035002.
6. Elizalde E.. Pozdeeva E.O., Vernov S.Yu. De sitter universe in non-local gravity // Physical Review D - Particles, Fields, Gravitation and Cosmology.
- 2012. - Vol. 85, no. 4. - P. 044002.
7. Vernov S.Yu. Nonlocal gravitational models and exact solutions //' Physics of Particles and Nuclei. - 2012. - Vol. 43, no. 5. - P. 694-696.
8. Koshelev A.S., Vernov S.Yu. On bouncing solutions in non-local gravity // Physics of Particles and Nuclei. - 2012. - Vol. 43, no. 5. - P. 666-668.
9. Vernov S.Yu. Localization of the SFT inspired nonlocal linear models and exact solutions // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2011. — Vol. 8, no. 3. - P. 310-320.
10. Вернов С.Ю. Точные решения нелокальных нелинейных полевых уравнений в космологии /'/ Теоретическая и математическая физика — 2011. — Том. 166, по. 3. — С. 452 464 (Английский перевод: Vernov S.Yu. Exact solutions of nonlocal nonlinear field equations in cosmology // Theoretical and Mathematical Physics. - 2011. - Vol. 166, no. 3. - P. 392 402).
11. Vernov S.Yu. Localization of nonlocal cosmological models with quadratic potentials in the case of double roots // Classical and Quantum Gravity. — 2010. - Vol. 27, no. 3. - P. 035006.
12. Арефьева И.Я., Булатов Н.В., Вернов С.Ю. Стабильные точные решения в космологических моделях с двумя скалярными полями /'/ Теоретическая и математическая физика — 2010. — Vol. 163, по. 3. — Р. 475 494 (Английский перевод: Aref'eva I.Ya., Bulatov N.V., Vernov S.Yu. Stable exact solutions in cosmological models with two scalar fields /'/ Theoretical and Mathematical Physics. - 2010. - Vol. 163, no. 3. - P. 788 803).
13. Вернов С.Ю. Построение точных решений в двухполевых космологических моделях // Теоретическая и математическая физика — 2008. — Vol. 155, no. 1. — Р. 47-61 (Английский перевод: Vernov S.Yu. Construction of exact solutions in two-field cosmological models // Theoretical and Mathematical Physics. - 2008. - Vol. 155, no. 1. - P. 544-556).
14. Aref'eva I.Ya., Joukovskaya L.V., Vernov S.Yu. Dynamics in nonlocal linear models in the Friedmann -Robertson-Walker metric // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2008. — Vol. 41, no. 30. — P. 304003.
15. Vernov S.Yu. Elliptic solutions of the quintic complex one-dimensional Ginzburg-Landau equation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2007. - Vol. 40, no. 32. - P. 9833 9844.
16. Вернов С.Ю. Построение точных частных решений неинтегрируемых систем с помощью формальных рядов Лорана и Пюизе // Программирование — 2006. — Том 32, по. 2. — С. 77-83 (Английский перевод: Vernov S.Yu. Construction of exact partial solutions of nonintegrable systems by means of formal Laurent and Puiseux series // Programming and Computer Software. - 2006. - Vol. 32, no. 2. - P. 77-83).
17. Vernov S.Yu. Construction of special solutions for nonintegrable systems // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2006. — Vol. 13, no. 1. — P. 50-63.
18. Арефьева И.Я., Вернов С.Ю., Кошелев А.С. Точное решение в струнной космологической модели // Теоретическая и математическая физика — 2006. — Том 148, no. 1. — С. 23 -41 (Английский перевод: Arcf'eva I.Ya., Vernov S.Yu., Koshelev A.S. Exact solution in a string cosmological model // Theoretical and Mathematical Physics. — 2006. — Vol. 148, no. 1. — P. 895-909).
19. Вернов С.Ю. Доказательство отсутствия эллиптических решений кубического комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау // Теоретическая и математическая физика — 2006. — Том 146, no. 1. — С. 161-171 (Английский перевод: Vernov S.Yu. Proof of the absence of elliptic solutions of the cubic complex Ginzburg-Landau equation // Theoretical and Mathematical Physics. - 2006. - Vol. 146, no. 1. - P. 131-139).
20. Aref'eva I.Ya., Koshelev A.S., Vernov S.Yu. Crossing the w = — 1 barrier in the D3-brane dark energy model // Physical Review D. — 2005. — Vol. 72, no. 6. - P. 064017.
21. Vernov S.Yu., Timoshkova E.I. On two nonintegrable cases of the generalized Henon-Heiles system /'/ Physics of Atomic Nuclei. — 2005. — Vol. 68, no. 11. - P. 1947-1955.
22. Aref'eva I.Ya., Koshelev A.S.. Vernov S.Yu. Stringy dark energy model with cold dark matter // Physics Letters B. - 2005. - Vol. 628, no. 1-2. - P. 1-10.
23. Вернов С.Ю. Построение решений обобщённой системы Хенона Хейлеса с помощью теста Пенлеве /7 Теоретическая и математическая физика — 2003. — Том 135, по. 3. — С. 409-419 (Английский перевод: Vernov S.Yu. Constructing solutions for the generalized Henon-Heiles system through the Painleve test // Theoretical and Mathematical Physics. — 2003. — Vol. 135, no. 3. - P. 792-801).
Публикации в сборниках трудов конференций
24. Vernov S.Yu. Reconstruction procedure in modified gravity cosmological models // Proceedings of Science. - 2014. - PoS(QFTHEP2013). - P. 069.
25. Pozdceva E.O., Vernov S.Yu. Stable exact cosmological solutions in induced gravity models // AIP Conference Proceedings. — 2014. — Vol. 1606. — P. 48-58.
26. Elizalde E., Pozdeeva E.O., Vernov S.Yu. Stability of dc sitter solutions in non-local cosmological models // Proceedings of Science. — 2012. — PoS(QFTHEP2011). - P. 038.
27. Vernov S.Yu. Gravitational models with non-local scalar fields // Proceedings of Science. - 2010. - PoS(QFTHEP2010). - P. 072.
28. Vernov S.Yu. Solutions of nonlocal cosmological equations // AIP Conference Proceedings. - 2010. - Vol. 1307. - P. 185-190.
29. Vernov S.Yu. Nonlocal cosmological models and exact solutions // Proceedings of 16th International Seminar on High Energy Physics (QUARKS 2010). - Vol. 1. - Издат. отдел ИЯИ РАН, Москва, 2010.
- Р. 391-401.
30. Vernov S.Yu. Construction of exact solutions in two-fields models // Particle Physics On The Eve Of LHC: Proceedings of the Thirteenth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics. — Singapore: Singapore, 2009.
- P. 245-248.
31. Vernov S.Yu. Exact solutions to nonlocal linear dark energy models // Proc. of 5th Mathematical Physics Meeting: Summer School and Conference on Modern Mathematical Physics, MPHYS 2008. - SFIN Scr. A: Conferences.
- Inst. Phys. Belgrade, Serbia, 2008. - P. 473-481.
32. Aref'eva I.Ya., Koshelev A.S., Vernov S.Yu. Exact solutions in w < — 1 SFT inspired cosmological models // Bulgarian Journal of Physics. — 2006. — Vol. 33, no. SI. - P. 360-367.
33. Vernov S.Yu. Interdependence between the Laurent-series and elliptic solutions of nonintegrable systems // Computer Algebra In Scientific Computing, Proceedings. — Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3718
- Berlin, Germany, 2005. - P. 457-468
34. Vernov S.Yu. Construction of single-valued solutions for nonintegrable systems with the help of the Painleve test // Proceedings of the International Conference "Computer Algebra in Scientific Computing" (CASC 2004, July 12-19, 2004, St. Petersburg, Russia). — Technische Universität München, Germany, 2004. - P. 457-465.
35. Vernov S.Yu. Construction of special solutions for nonintegrable dynamical systems with the help of the Painleve analysis // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2004. - Vol. 50, no. 1. - P. 504-512.
Ф-т 60x84/16 Печл. 2,0 Зак. № 22357 Тираж 100 экз. Бесплатно
Печать цифровая Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт ядерных исследований Российской академии наук Издательский отдел 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а
