Космологические модели, связанные с полевой теорией струн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

0050092Эи На правах рукописи

Булатов Николай Владимирович

Космологические модели, вязанные с полевой теорией струн

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

2 фев жг

Москва 2011

005009250

Работа выполнена на кафедре Квантовой статистики и теории поля Физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор

Белокуров Владимир Викторович. Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Ведущая организация — Научно-исследовательский институт физ1

им. В.А. Фока Санкт-Петербургского государственного университета

Защита состоится «16» февраля 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, Южная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета Московского государственного университета имени М. В .Ломоносова.

Одинцов Сергей Дмитриевич; кандидат физико-математических наук Смоляков Михаил Николаевич.

Автореферат разослан: « > января 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10, доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы :туальность

Благодаря чрезвычайно высоким энергиям, достигаемым в эпоху нней Вселенной, а также, огромным расстояниям, на которых про-:одит космологическая эволюция, космология может стать инстру-нтом для изучения физики на масштабах, недоступных для прямых периментов. Более того, многочисленные высокоточные астрофи-ческие наблюдения, проведённые за последнее десятилетие, превра-ли космологию в достаточно точную науку, а Вселенную - в мощ-ю лабораторию для изучения фундаментальной физики. Комбинированный анализ данных эксперимента WMAP (Wilkinson crowave Anisotropy Probe), а также, результатов наблюдений за рхновыми типа 1а убедительно указывают на ускоренное расши-[ие Вселенной в современную эпоху. Космологическое ускорение орит о том, что в настоящее время во Вселенной доминирует при-изителыю равномерно распределённое вещество с отрицательным влением, называемое тёмной энергией.

Для спецификации различных типов космического вещества обыч-используется феноменологическое соотношение между давлением и полностью энергии д, записываемое для каждой из компонент го вещества

р = wg,

с w - параметр уравнения состояния, или, для краткости, пара-а'р состояния. Для тёмной энергии w < 0. По современным экспе-ментальным данным, параметр состояния тёмной энергии близок к . В частности, из результатов современных экспериментов следует, о значение параметра состояния тёмной энергии наиболее вероятно инадлежит интервалу

* = -i-oeiJSl-

С теоретической точки зрения указанный интервал затрагивает и существенно различных случая: w > — 1, ш = -1 н ш < -1.

• Первый случай, го > — 1, реализуется в моделях квинтэссенц представляющих собой космологические модели со скаляры полем. Такой тип моделей является достаточно приемлемым, исключением того, что в них возникает вопрос о происхождег этого скалярного поля. Для того, чтобы удовлетворить экспе ментальные данные, это скалярное поле должно быть чрез чайно лёгким и, следовательно, не принадлежать набору по.' Стандартной Модели.

• Второй случай, гу = — 1, реализуется с помощью введения кос, логической постоянной. Этот сценарий возможен с общей то^ зрения, но в нём возникает проблема малости космологичес постоянной. Она должна быть в Ю120 раз меньше, чем даёт ее ственное теоретическое предсказание.

• Третий случай, т < — 1, называется фантомным и может быть ализован с помощью скалярного поля с гостовским (фантомнь кинетическим членом. В этом случае все естественные энерге ческие условия нарушены, и возникают проблемы неустойчи сти на классическом и квантовом уровнях. Поскольку экспе ментальные данные не исключают возможности ги < — 1 и, бо„ того, была предложена стратегия прямой проверки неравенс гп < — 1, в современной литературе активно предлагаются и суждаются различные модели с ги < — 1.

Напомним, что в моделях с постоянным параметром состояв гп, меньшим —1, и пространственно плоской метрикой Фридма1 Робертсона-Уокера масштабный фактор стремится к бесконечно и, следовательно, Вселенная растягивается до бесконечных разме в конечный момент времени. Простейший способ избежать этой п блемы в моделях с гу < — 1 заключается в том, чтобы рассмотр скалярное поле ф с отрицательной временной компонентой в кипе ческом члене. В такой модели будет нарушено Нулевое Энергети ское Условие, что приведёт к проблеме неустойчивости.

возможным способом обойти проблему неустойчивости в моделях < — 1 является рассмотрение фантомной модели как эффектив-возникающей из более фундаментальной теории без отрицатель-о кинетического члена. В частности, если мы рассмотрим модель с сшими производными, такую как фе~пф, то в простейшем прибли-нии фе~~пф ~ ф2 — фПф, то есть такая модель действительно даёт [етический член с гостовским знаком. Оказывается, что такая воз-жность появляется в рамках струнной теории поля, что было по-ано в работе И.Я. Арефьевой (2004 г.). Поскольку рассмотренная дель является приближением струнной теории ноля, в которой от-гствуют госты, в этой модели не возникает проблем, связанных с товской неустойчивостью.

Эта работа стимулировала стимулировала активное изучение нело-чьных моделей, инспирированных струнной теорией поля, в аспек-их применения в космологии и, в частности, для описания тёмной ргии. Этот вопрос активно изучается в многочисленных работах I. Арефьевой, С.Ю. Вернова, Л.В. Жуковской, А.С.Кошелева, Г. лкагни, Н. Барнаби, Д. Мулрина, Н. Нунеса, М. Монтобио и дру-. В частности, были получены решения в различных моделях, ин-фированных струнной теорией поля, и исследованы некоторые их йства.

В настоящей работе изучаются свойства космологических моделей, спирированных струнной теорией поля, применимых как для опи-шя современной эволюции Вселенной, так и для описания эпохи нней Вселенной.

Во второй главе проводится изучение устойчивости классических шний в космологических моделях с нарушением Нулевого Энерге-ческого Условия но отношению к анизотропным возмущениям. Как ло указано, такие модели могут являться кандидатами на описа-е тёмной энергии с параметром состояния га < — 1. Сначала рас-атривается случай однополевых моделей с фантомным скалярным лем. Модели с нарушением Нулевого Энергетического Условия мот иметь классически устойчивые решения в космологии Фридмана-

Робертсона-Уокера. В частности, существуют классически устой вые решения для моделей с самодействием, содержащих гостовс поля, минимальным образом взаимодействующие с гравитацией, лее того, имеет место аттракторное поведение (аттракторное пове ние решений в случае неоднородных космологических моделей о сано в работе A.A. Старобинского) в классе фантомных космологи ских моделей, описанное в работах И.Я. Арефьевой, С.Ю. Верно A.C. Кошелева и Р. Ласкос с соавторами. Можно изучать устой1 вость метрики Фридмана-Робертсона-Уокера, специфицируя фор возмущений. Интересно узнать, являются ли эти решения устой выми по отношению к деформации метрики Фридмана-Робертсо Уокера в анизотропную, в частности, метрику Бьянки I. Мод Бьянки являются пространственно однородными анизотропными к мологическими моделями. Существуют строгие ограничения на а зотропные модели, следующие из астрофизических наблюдений, этих ограничений следует, что модели, развивающие большую ани тропию, не могут являться моделями, описывающими эволюцию В ленной. Таким образом, нахождение условий устойчивости изотр ных космологических решений относительно анизотропных возму ний представляет интерес с точки зрения отбора моделей, способн описывать тёмную энергию.

Устойчивость изотропных решений в моделях Бьянки была р смотрена в инфляционных моделях (работы С. Джермани с соавто ми и Т. Коивисто с соавторами и ссылки в них). В работе Р. М. Уо (1983 г.), предполагая, что энергетические условия выполнены, бы показано, что все изначально расширяющиеся модели Бьянки, за i ключением типа IX, становятся пространством-временем де Ситте] Теорема Уолда показывает, что для пространства-времени Бьянки пов I—VIII с положительной космологической постоянной и матери удовлетворяющей Основному и Сильному Энергетическим Услови решения, существующие в будущем, имеют определённые асимпто ческие свойства при £ —> оо. Интересно рассмотреть аналогичн вопрос в случае фантомной космологии и моделей, инспирированн

унной теорией поля. В настоящей работе мы получаем условия, полнение которых является достаточным в случае моделей с фан-щыми скалярными полями для того, чтобы изотропные космоло-1еские решения были устойчивыми, и тем самым, рассматриваемые дели могли быть адекватными для описания тёмной энергии. В третьей главе рассматривается космологическая эволюция в мо-чях с неположительно определёнными потенциалами, инспириро-шых струнной теорией поля. Такие модели оказываются интерес-ми с точки зрения применения их к описанию космологической люции в ранней Вселенной.

Большое внимание в качестве модели инфляции привлекает хигг-ская инфляция. Её исследование представляет собой предмет ра-г М. Шапошникова, Ф.Л. Безрукова, A.A. Старобинского, Х.Л.Ф. рбона, X. Эспинозы, X. Гарсиа-Бейидо и других, выполненных в 7-2011 годах.

В настоящей работе изучается модель ранней космологии с по-циалом Хиггса, инспирированная струнной теорией поля. Исходя мотивация для работы с нелокальными моделями такого типа одель И.Я. Арефьевой, 2004 г.) была связана с изучением вопро-тёмной энергии. На возможность рассмотрения моделей такого па в контексте изучения эпохи ранней Вселенной было указано аботах Дж.Э. Лидси, Н. Барнаби и Дж.М. Кляйна (2007 г.). В м случае скалярное поле является тахионом фермионной струны вё-Шварца-Рамона, и модель имеет форму нелокального потенци-а Хиггса. Нелокальность скалярной материи ведёт к существен-ш изменениям свойств соответствующих космологических моделей сравнению с чисто локальными космологическими моделями. Эти менения происходят вследствие эффективной перерастяжки кине-ческой части лагранжиана материи, на что указывается в работах .Э. Лидси, Н. Барнаби и Дж.М. Кляйна (2007 г.). Подробнее во-ос о том, как происходят эти изменения, обсуждается во введении гастоящей работе.

Основное изменение свойств заключается в том, что в рассматрива-

емой эффективной локальной теории изменяется соотношение м ду константой связи, массовым членом и значением космологичес постоянной, вследствие чего появляется дополнительный отрицат ный постоянный член и нам приходится иметь дело с неполо: телыю определённым потенциалом Хиггса. Неположительная о делённость потенциала вызывает появление запрещённых облас на фазовой плоскости, что существенно меняет динамику системы сравнению со случаем положительно определённого потенциала.

В настоящей работе изучаются классические аспекты динам! скалярных моделей с неположительно определёнными потенциал Хиггса в космологии Фридмана-Робертсона-Уокера. Поскольку не калыюсть может дать эффективную теорию с достаточно малой к стантой связи, некоторые стадии эволюции могут быть описаны с мощью приближения свободного тахиона. По этой причине прич мы начинаем Третью главу с рассмотрения динамики свободного хиона в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера. Затем мы перехо к обсуждению динамики модели с потенциалом Хиггса.

Цель работы

Изучение классической устойчивости решений в космологичес моделях с нарушением Нулевого Энергетического Условия, связ пых со струнной теорией ноля, по отношению к анизотропным воз щениям в метрике Бьянки I. Получение условий устойчивости в од и двухполевых моделях, содержащих фантомные скалярные пол холодную тёмную материю, в терминах параметров модели, а так в терминах суперпотенциала. Изучение динамики в моделях раш космологии, инспирированных струнной теорией поля, с неполо> тельно определёнными потенциалами.

Научная новизна работы

В настоящей работе впервые исследовалась устойчивость реше! в космологических моделях с нарушением Нулевого Энергетическ Условия относительно анизотропных возмущений метрики. Полу ны условия устойчивости как в терминах параметров моделей, та

ерминах суперпотенциала. Кроме того, построено следующее одно-дное приближение, описывающее динамику тахиона с положитель-й космологической постоянной, по сравнению с полученным ранее иближением. Также в настоящей работе впервые построена асимп-тика решений в модели с тахионным потенциалом и положительной смологической постоянной вблизи границы запрещённой области.

Методы исследования

В диссертации используются методы общей теории относительно-и, теории дифференциальных уравнений, численный анализ.

Научная и практическая значимость работы

Настоящая диссертационная работа имеет теоретический харак-р. Результаты настоящей работы могут быть использованы для хьнейшего изучения космологических моделей, инспирированных рунной теорией поля. Результаты главы 2 могут быть использо-ны в дальнейших исследованиях свойств устойчивости решений в зличных моделях тёмной энергии, более того, полученные резуль-ты дают критерии возможности использования той или иной моли для описания космологической эволюции. Кроме того, предло-нный алгоритм построения устойчивых решений с помощью мето-суперпотенциала даёт возможность построения моделей, заведо-имеющих устойчивые решения. Полученные в главе 3 результаты 1еют непосредственное отношение к изучению инфляционных молей с неположительно определённым потенциалом Хиггса и могут 1ть использованы для дальнейшего изучения этих моделей. Резуль-ты диссертации могут быть использованы в работах, проводимых физическом факультете МГУ, в МИАН, ФИАН, ИЯИ, ЛТФ ОИ-:, ИТЭФ.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором следующих международных конференциях:

. Международная конференция «Проблема необратимости в классических и квантовых динамических системах», Москва, Россия,

2011.

2. 6-я летняя школа и конференция по современной математичес физике, Белград, Сербия, 2010.

3. XIX Международная конференция по физике высоких энерги квантовой теории поля, Голицыно, Россия, 2010.

4. Международная конференция «Кварки-2010», Коломна, Росс 2010.

5. Конкурс молодых физиков Московского Физического Общее Москва, Россия, 2009.

Публикации

Основные приведённые результаты получены автором данной д сертации самостоятельно, являются новыми и опубликованы в ра тах [1, 2, 3, 4, 5, 6].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, ключения, и списка цитируемой литературы, включающего 129 именований. Объем диссертации составляет 115 страниц.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор результатов, полученных для кос логических моделей, инспирированных струнной теорией поля, сф мулированы мотивация и цели данного исследования, а также, о сана структура диссертационной работы.

В главе 2 проводится изучение устойчивости решений в космо гических моделях с нарушением Нулевого Энергетического Уело относительно анизотропных возмущений в метрике Бьянки I.

В параграфе 2.1 даётся определение метрики Бьянки I и запи вается действие для модели с N скалярными полями и космоло ческой постоянной в этой метрике. Записываются уравнения Э

ейна в метрике Бьянки I, обсуждается добавление в модель хо-дной тёмной материи, а также, используются переменные сдвига, которых удобно проводить анализ уравнений в рассматриваемом остранстве-времени. Кроме того, обсуждается модель ¿-эссенции в трике Бьянки I, а также, приводится напоминание основных фак-в об устойчивости решений нелинейных систем дифференциальных авнений.

В параграфе 2.2 выводятся условия устойчивости решений, стре-щихся к конечному пределу, в модели с одним скалярным полем, также, добавленной холодной тёмной материей относительно ани-тропных возмущений в метрике Бьянки I. При этом не предпола-ется выполнение энергетических условий. Результаты, полученные этом параграфе, говорят о том, что если изотропное решение яв-ется устойчивым относительно изотропных возмущений в метрике ридмана-Робертсона-Уокера, то оно является устойчивым и относи-льно анизотропных возмущений в метрике Бьянки I. Таким обрам, показывается, что Нулевое Энергетическое Условие не является юбходимым для устойчивости изотропных решений относительно изотропных возмущений, что обобщает ранее полученные резуль-ты, предполагающие выполнение энергетических условий. В параграфе 2.3 рассматриваются решения в моделях с N ска-рными полями, но не стремящихся к конечному пределу. Для та-тх решений выводится связь между первыми поправками в метрике ридмана-Робертсона-Уокера и в метрике Бьянки I. Затем доказы-ется теорема, говорящая о равносильности ограниченности первых правок в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера и в метрике Бьян-11.

В параграфе 2.4 доказывается утверждение, аналогичное теореме параграфа 2.3, в случае модели ¿-эссенции, а также, приводится имер модели, и выводятся условия устойчивости решений в ней с мощью полученных результатов.

В параграфе 2.5 анализируются космологические модели, инспири-ванные струнной теорией поля, и получаются условия устойчиво-

сти изотропных решений в них, записанные в терминах парамет| моделей.

В параграфе 2.6 проводится изучение устойчивости решений, ст мящихся к конечному пределу, в модели с двумя скалярными поля а также, добавленной холодной тёмной материей относительно ани тропных возмущений в метрике Бьянки I. Также получаются уело устойчивости решений. При этом не предполагается выполнение эн гетических условий. Результаты, полученные в этом параграфе, го рят о том, что если изотропное решение является устойчивым от сительно изотропных возмущений в метрике Фридмана-Робертсо Уокера, то оно является устойчивым и относительно анизотропн возмущений в метрике Бьянки I. Таким образом, происходит обобг ние результатов параграфа 2.2 на случай моделей с двумя нолям нарушением Нулевого Энергетического Условия.

В параграфе 2.7 напоминается метод суперпотенциала для мо лей с двумя полями. Этот метод позволяет восстановить потенщ модели, если известны решения для этой модели. При этом в слу двух полей за счёт неоднозначности определения функций и С

потенциал модели также восстанавливается неоднозначно

дШ дШ

= _ 4ттСМ ^ — = - 4-кСмС2 С,

дф

V=__(ц?ас\\1. с «гП

8тгс„ уъуаф) с, I ас ) )'

Таким образом, с помощью метода супериотенциала в случае двух лей можно построить различные модели, в которых заданные фу} ции будут являться решениями.

Затем выводятся условия устойчивости решений в терминах суп потенциала, что позволяет сразу при построении моделей выбир те из них, в которых рассматриваемые решения будут устойчивы

В параграфе 2.8 в качестве примера рассматривается квинтомная дель (модель с одним обычным скалярным полем и одним фан-мным скалярным полем) с полиномиальным потенциалом шестой епени, инспирированная струнной теорией поля. С помощью мето-суперпотенциала выводятся условия устойчивости решений в этой дели в терминах параметров модели, а также, приводятся и анали-руются примеры точных устойчивых решений в ней. В главе 3 проводится изучение классической динамики в космоло-ческих моделях с неположительно определёнными потенциалами, спирированных струнной теорией поля.

В параграфе 3.1 приводится напоминание свойств фазовых диа-амм для некоторых моделей с положительно определёнными иотен-галами, а также, уравнения, описывающие динамику в этих моде-х, записываются в более удобных переменных, введённых в работе А. Белинского, И.М. Халатникова, Л.П. Грищукома и Я.Б. Зельдо-ча (1985 г.)

_ Зтр —р—Л|\ ■ Зттр р . .

ф — . -вт^вт-ш (5

л/12тг 1-Я

Я = т—^—соБв. (6)

1 -р

(7)

В параграфе 3.2 рассматривается модель свободного тахиона с шожительно определённой космологической постоянной в метрике ридмана-Робертсона-Уокера. В разделе 3.2.1. этого параграфа при-дятся фазовые диаграммы для этой модели, на которых присут-вует запрещённая область. Из фазовых диаграмм отчётливо видно, о все траектории достигают границы запрещённой области, на корой Н — 0, и тогда стадия расширения сменяется фазой сжатия. В зделе 3.2.2 напоминается формализм медленного скатывания, при-нимый вблизи вершины потенциала. На основании рассуждений

этих двух разделов делается вывод о том, что рассматриваемая дель может являться инфляционной моделью и может дать необ димое число е-фолдингов в эпоху инфляции, но в этой модели сутствует стадия постинфляционного разогрева вследствие нали запрещённой области, приводящего к появлению стадии сжатия.

Затем, в разделе 3.2.3 рассматривается тахионная динамика b6j зи космологической сингулярности. Система уравнений, описыв щих динамику этой модели, записывается в терминах безразмери переменных, описанных в параграфе 3.1.

Ищутся критические точки полученной системы, соответствую прошлой и будущей космологическим сингулярностям. Затем расе тывается асимптотика вблизи космологической сингулярности

Ар (а) = Cie3^,

Аф(а) = +

Ав(а) = С3 е2 (

где

da _ 1

dr ~ 1 -р '

В разделах 3.2.4 и 3.2.5 напоминается о приближении динами тахиона в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера динамикой в п странстве де Ситтера и приводится общий вид решения в таком cj чае

ф(£) = С\ er+t + С2 ег-г, (

где

=-| «О ± | ^Я-о» +1М». (

Такое приближение справедливо лишь вблизи максимума потенщ ла, где Н можно считать примерно постоянным. Для Hq > 0 С*2-м убывает быстро по сравнению с возрастающей Ci-модой для 6oj ших t. Если рассматривается динамика "перекатывания"через в

шу потенциала, то слева (при ф > 0) от вершины доминирует С2-да, ей нельзя пренебрегать и приближение медленного скатывания той области не применимо. Справа же от вершины потенциала минирует С]-мода, и могут быть выполнены условия медленного тывания.

В разделе 3.2.6 строятся следующие поправки к приближённым [ениям с помощью разложения в ряд по Сх-моде. Показывается, о до членов следующего порядка решение имеет вид

Я(г) = #о-Я2е2г+Ч..., (14)

ФРеП.8оМ ~ Ф\ег+г + <^3е3г+' + ..., (15)

37Г

Нг = -щ&Щ\1- , (16)

Фз = ———Ф\- (17)

8г+ + 6Я0 ^ ;

ратим внимание, что мы получили однопараметрическое семей-о решений, задав начальные условия требующие, чтобы тахионное е и мело нулевое значение при £ —— оо. Такое начальное усло-е позволяет нам сохранить только Сх-моду. Приближённые реше-я сравниваются с точными, полученными численно, и оказывается, о в определённой области значений поля ф построенное приближе-е хорошо описывает точные решения. В параграфе 3.3 рассмат-вается динамика в рассматриваемой модели вблизи границы за-ещённой области. Исходная динамическая система переписывается иде сначала трёх-, а затем, двумерной динамической системы в минах е-фолдингов. Строится асимптотика решений вблизи гра-цы запрещённой области.

В параграфе 3.4 рассматривается динамика в модели с неположи-ьно определённым потенциалом Хиггса. Рассматриваются три су-

щественно различных случая Л>0,Л = 0иЛ<0, строятся фазов диаграммы и анализируется эволюция различных решений.

В заключении перечисляются основные результаты диссертащ

Положения, выносимые на защиту

1. Проанализирована классическая устойчивость решений в косм о. гических одно- и двухиолевых моделях с нарушением Нулевого Эн гетического Условия по отношению к анизотропным возмущениях метрике Бьянки I. Получены условия устойчивости решений, стрел щихся к конечным пределам, в моделях с одним и двумя полями также, холодной тёмной материей. С помощью полученных резу; татов проанализирована устойчивость полученных ранее решенш космологических моделях, связанных со струнной теорией поля.

2. Получены условия устойчивости для двухполевых моделей с рушением Нулевого Энергетического Условия в терминах суперпот циала, что позволяет при построении моделей методом суперпот циала выбирать те из них, в которых требуемые решения являю устойчивыми.

3. Изучена динамика в моделях с неположительно определённы потенциалами, инспирированных струнной теорией поля. В рам одномодного приближения, описывающего динамику тахиона с noj жительной космологической постоянной, вычислена следующая i правка по сравнению с полученным ранее приближением. Постро асимптотика решений в модели с тахионным потенциалом и поло тельной космологической постоянной вблизи границы запрещённ области.

Публикации автора по теме диссертации

[1] I.Ya. Aref'eva, N.V. Bulatov, L.V. Joukovskaya, and S.Yu. Vern Null Energy Condition Violation and Classical Stability in the Bian I Metric, Phys. Rev. D 80 (2009) 083532; arXiv:0903.5264.

И.Я. Арефьева, Н.В. Булатов, С.Ю. Вернов, Устойчивость изтроп-ных решений с фантомным скалярным полем в метрике Бьянки I, Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия, (2008), 8/1(67), 504-517.

Булатов Н.В., Исследование устойчивости изотропных космологических решений в анизотропной метрике Бьянки I, Приложение к журналу ФИЗИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ВУЗАХ, Т. 15, N 1, 2009, П9.

N. Bulatov, S. Vernov, Stable cosmological solutions and superpotential method in two-field models, PoS(QFTHEP2010)075.

N. Bulatov, Null Energy Condition Violation and Classical Stability in the Bianchi I Metric, The 16th International Seminar on High Energy Physics QUARKS 2010 Proceedings, Издат. Отдел ИЯИ, ред. В.А. Матвеев, А.Г. Панин, В.А. Рубаков, Москва, Россия, 2010.

I.Ya. Aref'eva, N.V. Bulatov, R.V. Gorbachev, FRW Cosmology with Non-Positively Defined Higgs Potentials, (2011); arXiv:1112.5951.

Подписало в печать 12.01.2012. Тираж 100 экз. Отпечатало в Математическом ипституте им. В. А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкипа, 8.

61 12-1/468

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.

М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ПОЛЯ

На правах рукописи

Булатов Николай Владимирович

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛЕВОЙ

ТЕОРИЕЙ СТРУН

01.04.02 Теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В. В. Белокуров

Москва — 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 2. Устойчивость решений в космологических моделях с нарушением Нулевого Энергетического Условия 18

2.1 Описание модели............................18

2.1.1 Космологическая модель со скалярными и фантомными скалярными полями, а также, холодной тёмной материей в метрике Бьянки I............................18

2.1.2 Модель /г-эссенции в метрике Бьянки I..............21

2.1.3 Несколько известных фактов об устойчивости..........23

2.2 Устойчивость изолированных фиксированных точек и решения типа кинка в однополевых моделях с холодной тёмной материей . 25

2.3 Соотношения между поправками первого порядка к изотропным решениям в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера и метрике Бьянки I..............................29

2.4 Устойчивость решений моделях А;-эссенции в метрике Бьянки I . . 32

2.4.1 Первые поправки..........................32

2.4.2 Пример................................33

2.5 Примеры изотропных устойчивых решений в моделях, инспирированных струнной теорией поля...................34

2.5.1 Космологические модели, инспирированные струнной теорией поля .................................34

2.5.2 Модель с решением типа кинка и потенциалом шестой степени 36

2.5.3 Модель с решением типа колокола................38

2.5.4 Модель с безмассовым фантомным полем............40

2.5.5 Модель с квадратичным потенциалом и космологической постоянной ...............................41

2.6 Двухполевые модели..........................43

2.6.1 Уравнения Эйнштейна в метрике Бьянки I............43

2.6.2 Достаточные условия устойчивости по Ляпунову фиксированной точки ..............................45

2.7 Построение устойчивых решений с помощью метода суперпотенциала ...................................51

2.7.1 Суперпотенциал для моделей с двумя полями..........51

2.7.2 Условия устойчивости в методе суперпотенциала........53

2.8 Струнные Космологические Модели.................54

2.8.1 Квинтомная модель с потенциалом 6-ой степени ........54

2.8.2 Построение устойчивых решений.................55

2.8.3 Примеры устойчивых точных решений..............56

ГЛАВА 3. Космологические модели с неположительно определённым потенциалом 59

3.1 Фазовые портреты для положительно определённых потенциалов 59

3.2 Свободный тахион в пространстве Фридмана-Робертсона-Уокера . 62

3.2.1 Точный ф — ф фазовый портрет для свободного тахиона .... 62

3.2.2 Свободный тахион в режиме медленного скатывания......64

3.2.3 Тахионная динамика вблизи космологической сингулярности . 68

3.2.4 Приближение динамики тахиона в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера динамикой в пространстве де Ситтера ... 72

3.2.5 Инфляция вблизи вершины....................75

3.2.6 Следующие поправки в приближённом описании динамики тахиона в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера.........78

3.3 От расширения к сжатию.......................81

3.3.1 Динамика тахиона в терминах е-фолдингов как трёхмерная

динамическая система.......................81

3.3.2 Динамика тахиона в терминах е-фолдингов как двумерная ди-

намическая система.........................83

3.3.3 Фазовые портреты системы уравнений (3.98) и (3.174).....84

3.3.4 Критические точки.........................85

3.3.5 Вблизи критических точек.....................85

3.3.6 Решения в пределе больших $...................86

3.4 "Растянутый"Хиггс в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера ... 94

3.4.1 Перерастянутая константа связи .................94

3.4.2 Фазовые портреты для различных значений Aeff........94

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 101 БИБЛИОГРАФИЯ..............................103

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ

Благодаря чрезвычайно высоким энергиям, достигаемым в эпоху ранней Вселенной [1], а также, огромным расстояниям, на которых происходит космологическая эволюция, космология [2-4] может стать инструментом для изучения физики на масштабах, недоступных для прямых экспериментов. Более того, многочисленные высокоточные космологические наблюдения, проведённые за последнее десятилетие, превратили космологию в достаточно точную науку, а Вселенную - в мощную лабораторию для изучения фундаментальной физики.

Комбинированный анализ данных [5] эксперимента WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), а также, результатов наблюдений за сверхновыми типа 1а убедительно указывает на ускоренное расширение Вселенной в современную эпоху. Космологическое ускорение говорит о том, что в настоящее время во Вселенной доминирует приблизительно равномерно распределённое вещество с отрицательным давлением, называемое тёмной энергией [6]- [10].

Для спецификации различных типов космического вещества обычно используется феноменологическое соотношение между давлением р и полностью энергии q, записываемое для каждой из компонент этого вещества,

р = WQ,

где w - параметр уравнения состояния, или, для краткости, параметр состояния. Компонента с w < 0 является тёмной энергией. Современные экспериментальные данные указывают на тот факт, что в настоящее время параметр состояния тёмной энергии близок к —1 [5,11-13]. В частности, из результатов современных экспериментов следует, что значение параметра состояния

тёмной энергии наиболее вероятно принадлежит интервалу

С теоретической точки зрения указанный интервал затрагивает три существенно различных случая: ги > — 1, гу = —1иги<—1.

• Первый случай, > — 1, реализуется в моделях квинтэссенции [14]- [22], представляющих собой космологические модели со скалярным полем. Такой тип моделей является достаточно приемлемым, за исключением того, что в них возникает вопрос о происхождении этого скалярного поля. Для того, чтобы удовлетворить экспериментальные данные, это скалярное поле должно быть чрезвычайно лёгким и, следовательно, не принадлежать набору полей Стандартной Модели [23].

• Второй случай, т = — 1, реализуется с помощью введения космологической постоянной. Этот сценарий возможен с общей точки зрения, но в нём возникает проблема порядка величины космологической постоянной. Она должна быть в Ю120 раз меньше, чем естественное теоретическое предсказание [10].

• Третий случай, ио < — 1, называется фантомным и может быть реализован с помощью скалярного поля с гостовским (фантомным) кинетическим членом. В этом случае все естественные энергетические условия нарушены, и возникают проблемы неустойчивости на классическом и квантовом уровнях [24]- [40]. Поскольку экспериментальные данные не исключают возможности ии < — 1 и, более того, была предложена стратегия прямой проверки неравенства ио < —I [41], активно предлагаются различные модели с ии < —1. Возможность появления таких моделей как эффективных моделей в струнной теории поля была отмечена в работе И.Я. Арефьевой [42] (2004 г.).

Заметим, что модель ^-эссенции, рассмотренная В. Мухановым [18], может допускать как ии < — 1, так и и* ^ —1. Вместе с тем, динамический

переход из области, где ги ^ — 1, в область, где ги < — 1, или обратно невозможен, вообще говоря, что было показано в работе А. Викмана [43], и может быть реализован лишь при выполнении особых условий, полученных в работе А. Андрианова [44].

Существуют и другие подходы к описанию динамики тёмной энергии. Модифицированные теории гравитации могут генерировать эффективное скалярное поле, эти теории рассмотрены, в частности, в работах С. Одинцова и других ( [45] и ссылки в них). Другие модели тёмной энергии, основанные на описании мира на бране, представлены в работах [46]- [54]. Кроме того, описание различных подходов к построению теории тёмной энергии представлено в обзоре Э. Коупланда, М. Сами и Ш. Цужикавы [55].

Давайте напомним, что в моделях с постоянным параметром состояния и>, меньшим —1, и пространственно плоской метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера масштабный фактор стремится к бесконечности и, следовательно, Вселенная растягивается до бесконечных размеров в конечный момент времени [26], см. также [27]. Простейший способ избежать этой проблемы в моделях с и) < —1 заключается в том, чтобы рассмотреть скалярное поле ф с отрицательной временной компонентой в кинетическом члене [12,28]. В такой модели будет нарушено Нулевое Энергетическое Условие, что приведёт к проблеме неустойчивости.

Возможным способом обойти проблему неустойчивости в моделях с ии < — 1 является рассмотрение фантомной модели как эффективной, возникающей из более фундаментальной теории без отрицательного кинетического члена. В частности, если мы рассмотрим модель с высшими производными, такую как фе~пф, то в простейшем приближении фе~пф ~ ф2 — фПф, то есть такая модель действительно даёт кинетический член с гостовским знаком. Оказывается, что такая возможность появляется в рамках струнной теории поля [42]. Поскольку рассмотренная модель является приближением струнной теории поля, в которой отсутствуют госты, в этой модели не возникает

проблем, связанных с гостовской неустойчивостью.

Описанные модели появляются при рассмотрении динамики тахиона в теории поля открытой струны, а точнее в кубической струннополевой формулировке открытой фермионной струны Невё-Шварца-Рамона с ГСО- сектором, этот результат был получен в работе И.Я.Арефьевой, Д.М.Белова, А.С.Кошелева, П.Б.Медведева [56] (2002 г.). Когда все массивные состояния проинтегрированы с помощью уравнений движения, тахион открытой струны получает нетривиальный потенциал с непертурбативным минимумом. Скатывание тахиона из нестабильного пертурбативного экстремума к этому минимуму описывает, согласно гипотезе Сена [21], переход нестабильной D-браны в истинный вакуум, где нет пертурбативных состояний открытой струны. Решение, соответствующее истинному непертурбативному вакууму в открытой фермионной струне Невё-Шварца-Рамона с ГСО- сектором, описываемое модифицированной кубической струнной теорией поля [56], было найдено в работе И.Я.Арефьевой, Р.В.Горбачёва, П.Б.Медведева [57], и гипотеза Сена была доказана (для бозонной струны решение Шнабла [58] доказывает гипотезу Сена). Полученное решение содержит как тахионную моду, так и другие возбуждения. Можно, в качестве разумного приближения, ограничить число этих возбуждений и проинтегрировать их с получением потенциала формы мексиканской шляпы для тахионного поля.

Много внимания уделяется построению скатывающихся решений в р-адических струнных моделях. В этой области был получен ряд интересных результатов. В частности, существует теорема Мёллера-Цвибаха, которая запрещает существование скатывающихся решений для р = 2. А также, существуют теоремы Владимирова-Воловича, утверждающие существование решений для р = 3.

Исследования И.Я. Арефьевой стимулировали активное изучение нелокальных моделей, инспирированных струнной теорией поля, в аспекте их применения в космологии и, в частности для описания тёмной энергии. Этот

вопрос изучается в большом количестве работ И. Я. Арефьевой, С. Ю. Верно-ва, JI. В. Жуковской, А.С.Кошелева, Г. Калкагни, Н. Барнаби, Д. Мулрина, Н. Нунеса, М. Монтобио и других [42], [59]- [72]. В частности, были получены решения в различных моделях, инспирированных струнной теорией поля, и исследованы некоторые их свойства.

В настоящей работе изучаются свойства космологических моделей, инспирированных струнной теорией поля, применимых как для описания современной эволюции Вселенной, так и для описания эпохи ранней Вселенной.

Во второй главе проводится изучение устойчивости классических решений в космологических моделях с нарушением Нулевого Энергетического Условия по отношению к анизотропным возмущениям. Как было указано, такие модели могут являться кандидатами на описание тёмной энергии с параметром состояния w < — 1. Сначала рассматривается случай однополевых моделей с фантомным скалярным полем. Модели с нарушением Нулевого Энергетического Условия могут иметь классически устойчивые решения в космологии Фридмана-Робертсона-Уокера. В частности, существуют классически устойчивые решения для моделей с самодействием, содержащих гостовские поля, минимальным образом взаимодействующие с гравитацией. Более того, имеет место аттракторное поведение (аттракторное поведение решений в случае неоднородных космологических моделей описано в работе A.A. Старобинско-го [73,74]) в классе фантомных космологических моделей, описанное в работах И.Я. Арефьевой, С.Ю. Вернова, A.C. Кошелева и Р. Ласкос с соавторами [75-78]. Можно изучать устойчивость метрики Фридмана-Робертсона-Уокера, специфицируя форму возмущений. Интересно узнать, являются ли эти решения устойчивыми по отношению к деформации метрики Фридмана-Робертсона-Уокера в анизотропную, в частности, метрику Бьянки I.

Модели Бьянки [79-82] являются пространственно однородными анизотропными космологическими моделями. Существуют строгие ограничения на анизотропные модели, следующие из наблюдений [83,84]. Из этих огра-

ничений следует, что модели, развивающие большую анизотропию, не могут являться моделями, описывающими эволюцию Вселенной. Таким образом, нахождение условий устойчивости изотропных космологических решений относительно анизотропных возмущений представляет интерес с точки зрения отбора моделей, способных описывать тёмную энергию.

Устойчивость изотропных решений в моделях Бьянки [79,81,82] была рассмотрена в инфляционных моделях (работы С. Джермани с соавторами и Т. Коивисто с соавторами [85,86] и ссылки в них). В работе P.M. Уолда [87] (1983 г.), предполагая, что энергетические условия выполнены, было показано, что все изначально расширяющиеся модели Бьянки, за исключением типа IX, становятся пространством-временем де Ситтера (см. также [88-91]). Теорема Уолда показывает, что для пространства-времени Бьянки типов I—VIII с положительной космологической постоянной и материей, удовлетворяющей Основному и Сильному Энергетическим Условиям, решения, существующие в будущем, имеют определённые асимптотические свойства при t —> оо. Интересно рассмотреть аналогичный вопрос в случае фантомной космологии и моделей, инспирированных струнной теорией поля.

В настоящей работе рассматривается устойчивость изотропных решений в метрике Бьянки I в присутствии фантомных скалярных полей. Мы анализируем два класса моделей с одним полем. Первый класс моделей включает в себя модели тёмной энергии, которые имеют точные решения типа кинка или типа колокола, найденные в работах И. Я. Арефьевой с соавторами [61,92]. Для этого класса моделей мы также анализируем устойчивость по отношению к малым возмущениям начального значения плотности энергии холодной тёмной материи. Второй класс моделей включает в себя скаляр-но полевые модели, которые имеют точные решения типа ф ~ t, такие как модели ^-эссенции, рассмотренные В. Мухановым и другими [18,93-95].

Также в настоящей работе рассматривается устойчивость решений в двух-полевых моделях с нарушением Нулевого Энергетического Условия в метрике

Бьянки I.

В настоящей работе мы получаем условия, выполнение которых является достаточным в случае моделей с фантомными скалярными полями для того, чтобы изотропные космологические решения были устойчивыми, и тем самым, рассматриваемые модели могли быть адекватными для описания тёмной энергии.

В третьей главе рассматривается космологическая эволюция в моделях с неположительно определёнными потенциалами, инспирированных струнной теорией поля. Такие модели оказываются интересными с точки зрения применения их к описанию космологической эволюции в ранней Вселенной.

Большое внимание в качестве модели инфляции привлекает хиггсовская инфляция. Её исследование представляет собой предмет ряда работ М. Шапошникова, Ф.Л. Безрукова, A.A. Старобинского, Х.Л.Ф. Барбона, X. Эспи-нозы, X. Гарсиа-Бейидо и других, выполненных в 2007-2011 годах.

В настоящей работе изучается модель ранней космологии с потенциалом Хиггса, инспирированная струнной теорией поля. Исходная мотивация для работы с нелокальными моделями такого типа (модель И.Я. Арефьевой, 2004 г. [42]) была связана с изучением вопросов тёмной энергии. На возможность рассмотрения моделей такого типа в контексте изучения эпохи ранней Вселенной было указано в работах Дж.Э. Лидси, Н. Барнаби и Дж.М. Кляй-на [96,97] (2007 г.). В этом случае скалярное поле является тахионом ферми-онной струны Невё-Шварца-Рамона, и модель имеет форму нелокального потенциала Хиггса. Нелокальность скалярной материи ведёт к существенным изменениям свойств соответствующих космологических моделей по сравнению с чисто локальными космологическими моделями. Эти изменения происходят вследствие эффективной перерастяжки кинетической части лагранжиана материи, на что указывается в работах Дж.Э. Лидси, Н. Барнаби и Дж.М. Кляйна [96,97] (2007 г.).

Давайте сделаем несколько замечаний, касающихся вопроса о том, почему

нелокальность скалярной материи ведёт к существенным изменениям свойств соответствующих космологичес�