Исследование динамики в моделях теории поля с бесконечным числом производных тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Физический факультет

Волович Ярослав Игоревич

Исследование динамики в моделях теории поля с бесконечным числом производных

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Москва- 2005

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Белокуров Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В. Грац

диссертационного совета К 501.001.17 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

доктор физико-математических наук М.А Соловьев

Ведущая организация: Институт ядерных исследований РАН,

г. Москва

Защита состоится

«-У?.» МаА 2005 г. в ^Я^асов 0рминут на заседании

МГУ, Физический факультет, аудитория

Автореферат

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математических наук профессор

П.А. Поляков

1 Общая характеристика работы 1.1 Актуальность темы

В современной физике высоких энергий значительное место занимают исследования по теории струн. В спектре бозонной струны имеется возбуждение с отрицательным квадратом массы, т.е. бозонная струна содержит тахион. Это утверждение относится как к открытым, так и к замкнутым бозонным струнам. Поскольку тахион приводит к неустойчивости, то, в свое время, это рассматривалось как существенный недостаток бозонной струнной теории. В последнее время было предложено использовать тахионы для описания распада Б-брал - решений струнных теорий с краевыми условиями на поверхностях.

Развитие теории струн в последнее время связано с изучением ее непертур-бативных аспектов. В конце 1980-х годов Виттеном из общего принципа калибровочной инвариантности было предложено ковариантное полевое бозон-ное струнное действие 8[А]. Одной из основных мотивировок его построения была возможность исследовать с помощью полевой теории непертурбативные аспекты и, в частности, исследовать непертурбативные вакуумы.

По аналогии с механизмом Хиггса в локальной теории поля естественно предположить, что в теории бозонной струны, в которой имеется тахион, может существовать другой вакуум, отличный от пертурбативного, в окрестности которого тахион отсутствует. Вопрос о существовании такого вакуума в теории струны связан с существованием специальных вакуумных решений. Это предположение высказали в 1987 году Костелецкий и Самуэль и проверили его численными вычислениями, ограничиваясь простейшим приближением.

В последние несколько лет велась активная работа по исследованию нетривиальных (ненулевых) вакуумных, т.е. не зависящих от времени и простран-

ственных координат, решений в струнной теории поля. К настоящему времени гипотеза о существовании стабильного вакуума подтверждена многочисленными вычислениями - показано, что в ковариантной теории открытых бозон-ных струн имеется непертурбативный стабильный вакуум и спектр струны меняется в окрестности нового вакуума.

Задача нахождения решений уравнений движения в струнной теории поля имеет две существенные специфики по сравнению с аналогичной задачей локальной теории поля. Прежде всего действие полевой теории струн содержит бесконечный набор локальных полей возбуждений струны. Во-вторых, взаимодействие, получающееся для этих полей, нелокально в том смысле, что соответствующие уравнения движения содержат бесконечное число производных. Заметим, что в отличие от некоммутативной теории поля, где имеется бесконечное число пространственных производных, в струнной теории поля присутствуют пространственные, временные и смешанные производные. Отметим также, что полевые теории с бесконечным числом производных естественным образом связаны с нелокальными квантовыми теориями поля, изучающимися, в частности, в связи с попытками избежать ультрафиолетовых расходимостей.

Для иллюстрации указанной специфики рассмотрим действие, получающееся из действия Виттена для открытой бозонной струны в пренебрежении высшими возбуждениями - это так называемая процедура обрезания по уровням. Таким образом мы приходим к действию вида

где ф - скалярное тахионное поле соответствующее низшему возбуждению струны. В действии д константа, зависящая от параметров теории, и

Ф(аг) = епф(х)

Оператор в правой части понимается в виде формального ряда

где оператор Даламбера определяется обычным образом □ = — ^ + др- +

о2 1

• • • + д й • Как мы видим полученное действие содержит бесконечное число ох<1-1

производных в члене взаимодействия эта ситуация, как отмечалось выше, типична для струнной теории поля и отражает, в частности, ее нелокальность. Из приведенного действия следует уравнение движения вида

Оно описывает динамику тахионного поля в теории струн в пренебрежении вкладом остальных полей. Для определенного класса интегрируемых функций оно записывается как нелинейное интегральное уравнение. Такие уравнения являются уравнениями нового класса, они отличаются от уравнений, традиционно рассматривавшихся в математической физике, и их исследование представляет большой интерес. Проблема постановки задачи Коши для таких уравнений недавно исследовалась Мюллером и Цвибахом (2002 г.). Было показано, что наличие бесконечного числа производных приводит к ограничениям на возможное множество начальных условий. Представляет значительный интерес развитие общих методов эффективного анализа уравнений такого типа.

В работах Мюллера и Цвибаха, Сена, Фужиты и Хаты и др. (1999-2004 гг.) большое внимание уделялось нахождению классических решений таких полевых уравнений, интерполирующих между различными вакуумными конфигурациями бозонной струнной теории. Подчеркнем, что в отличие от аналогичной задачи по изучению решений солитонного или кинкового типа в локальной теории поля, где обычно рассматривается интерполяция по пространственным переменным, в струнах в связи с задачей о распаде Л-бран рассматривается интерполяция по времени.

Интерполяция между различными вакуумами изучалась в рамках приближения, в котором в качестве действия для тахиона рассматривалось действие Борна-Инфельда в работах Минахана, Сена, Ховары и др. (1998-2003 гг.). Переходы между различными вакуумами в струнной теории, т.е. между вакуумами с которыми связана определенная картина бран, можно изучать также со стороны гравитации. При таком подходе эти переходы описываются специальными решениями, так называемыми s-бранами. Локализация полей на бранах в рамках гравитационного подхода активно изучается в современной литературе.

В современных исследованиях интерполирующих решений важное место занимает изучение так называемого эффективного тахионного действия р-адической струны. Это действие имеет нелокальную структуру, схожую с приведенным выше действием для скалярного поля тахиона бозонной струнной теории. Исследованию этой модели посвящено много работ, в частности Виттена, B.C. Владимирова, Фрамптона, Фройнда, Шнабла и др. (1986-2005 гг.). Если ограничиться случаем низшего струнного возбуждения, то соответствующие уравнения движения принимают вид нелинейных интегральных уравнений. Поиску и исследованию решений уравнений такого типа посвящено много работ. В частности, Бекки, Фройндом, Олсеном и Виттеном было численно построено зависящее от времени решение типа кинка, интерполирующее между двумя нетривиальными вакуумами теории р-адической струны для случая р = 3. В недавней работе Мюллера и Цвибаха (2002 г.) были численно подтверждены эти результаты с более высокой точностью, также был доказан ряд теорем, утверждающих отсутствие специального класса классических пространственно-однородных решений интерполирующих между вакуумами в нелинейной кубической теории (случай р = 2). Интерес к задаче о построении нестационарного, пространственно-однородного классического решения, интерполирующего между различными вакуумами, связан, в част-

ности, с возможными применениями в космологии. А именно, А. Сен (2000 г.) предложил отождествлять тахион в бозонной струнной теории с космологическим скалярным полем. Однако многочисленные попытки построения интерполирующего решения в бозонной струнной теории не привели к успеху. Представляет большой интерес выявления общих закономерностей и критериев наличия решений такого типа. Более того, имеет непосредственный интерес проведение аналогичного исследования в рамках несуперсимметричной фермионной теории струн.

Другая важная проблема современного развития исследований физического процесса распада нестабильной D-браны связана с учетом взаимодействия открытой и замкнутой струн. В настоящее время имеется отсутствие согласованности значения энергии нестабильной D-браны, полученной в рамках процедуры обрезания по уровням для кубической открытой струны, и этой же величины, полученной методами конформной теории поля. Для решения этой проблемы активно проводятся исследования системы взаимодействующих открытой и замкнутой струн, в частности, в работах Куго, Омури, Та-кахаши, Цвибаха, Жуковской и др. (2000-2005 гг.). Предполагается, что для получения совпадающих значений энергии обоими методами необходимо учитывать взаимодействие открытой струны с замкнутой, что должно приводить к диссипации энергии D-браны (сектор открытой струны) в сектор закрытой струны в процессе скатывания в стабильный вакуум полной теории. Для изучения и проверки этого предположения в 2003 г. Омури была предложена эффективная модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн в приближении низших возбуждений. Исследование наличия решений, интерполирующих между вакуумами этой модели, представляет значительный интерес. В частности, это должно позволить исследовать процесс диссипации энергии в полной модели взаимодействующих открытой и замкнутой струн.

1.2 Цель работы

• Разработка общих методов исследования моделей теории поля с бесконечным числом производных, возникающих в теории струн, в частности, исследование наличия и характера классических решений, интерполирующих между соответствующими вакуумами теории.

• Установить сходимость итерационной процедуры, предложенной Бекки, Фрейндом, Ол сеном и Виттеном, для нахождения решения типа кин-ка, интерполирующего между двумя нетривиальными вакуумами теории р-адической струны, для случая р = 3 с использованием численных оценок. Провести полное доказательство существования решения уравнения для скалярного тахионного поля р-адической струны для любого нечетного р.

• Провести исследование существования решений тахионных уравнений, интерполирующих между вакуумами фермионной струны. Связать соответствующие уравнения с уравнениями, возникающими в теории р-адической струны, для которой имеются точные результаты.

• Исследовать приближение слабо меняющегося вспомогательного поля в модели фермионной струны и изучить наличие и характер решений, выходящих на вакуумы теории.

• Провести детальный анализ интерполирующих решений эффективной модели Омури, описывающей взаимодействие тахионов открытой и замкнутой струн. Исследовать влияние параметров теории на наличие решений кинкового типа.

1.3 Научная новизна и практическая ценность

Работа носит теоретический характер.

Научная новизна данной работы заключается в построении решений нелинейных полевых уравнений движения с бесконечным числом производных, описывающих распад ZJ-бран в теории струн.

Для модели, описывающей скалярное поле тахиона р-адической струны, исследована итерационная процедура нахождения решений кинкового типа, и получено доказательство гипотезы о ее быстрой сходимости, выдвинутой рядом авторов.

Установлена смена режима поведения решения и критическое значение параметра q, при котором эта смена происходит для скалярного тахионного поля в модели фермионной струны на неэкстремальной бране. Построенные в диссертации решения и найденные критические значения параметра q использовались в работах других авторов для анализа динамики неэкстремальной D-браны, а также нашли применение в исследовании некоторых современных космологических моделей.

Для эффективной модели Омури, приближенно описывающей взаимодействие открытой и замкнутой струн, впервые построена итерационная процедура, которая численно сходится к качественно новому решению, интерполирующему между двумя непертурбативными вакуумами теории. Построенные решения могут быть использованы, в частности, для анализа диссипации энергии в модели взаимодействующих открытой и замкнутой струн.

Результаты работы могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН им. П.Н. Лебедева, МИАН им. В.А. Стеклова и др.

1.4 Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах МГУ, научных семинарах ИЯИ и МИАН РАН, на международной конференции по р-адической математической физике (Москва, 2003), VIII научной конференции молодых ученых и специалистов (Дубна, ОИЯИ, 2004).

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту опубликованы в работах [1,2,3,4].

1.5 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 99 страниц, библиография включает 83 наименования.

2 Содержание работы

Во введении обсуждается возникновение и свойства уравнений с бесконечным числом производных, возникающих в теории струн, а также описаны некоторые современные проблемы теории и мотивируется актуальность выбранной темы.

В первой главе проведено исследование уравнений р-адической струны при р = 3. Уравнение р-адической струны в приближении одного скалярного поля ф(х) имеет вид

где как и ранее оператор Даламбера. Оператор как и оператор появившейся выше в струнной теории поля, можно представить в виде ряда, аналогичного (1). Для пространственно-однородных конфигураций, т.е. случая, когда полевые функции зависят только от времени, исходное уравнение

принимает вид

Правую часть этого уравнения можно переписать в виде свертки с гауссовым ядром, тогда после перерастяжки <р{Ь) = ф{1у/2\пр) исходное уравнение при р = 3 принимает вид

Для этого уравнения построена итерационная процедура нахождения решения, интерполирующего между вакуумами <? = ±1, и доказана ее равномерная сходимость.

Во второй главе проведено исследование краевых задач для ограниченных решений уравнения движения тахионного поля р-адической струны. В случае пространственно-однородных решений уравнение, записанное в интегральной форме, име-^ га™

Соответствующему уравнению движения придается точный смысл в терминах обобщенного преобразования Фурье.

Далее исследуются свойства ограниченных решений. Для нечетных р >1 ДОКаЗаНа О КС1 "11 г' 'г г г гг,г'|г 11 г<1 ^тгтпсю р\'п 1 гг-г\т( к"[г тлтрп^тшпиипй т-юцедуры

к непрерывному нечетному решению, с краевым условием lim<p(i) = ±1 при t —> ±оо. При этом в качестве начальной итерации выбирается ifo(t) = 1 при 1 ^ О и Vo(0 = _ 1 ПРИ i < 0. Тем самым доказана гипотеза, выдвигавшаяся Фройндом, Виттеном и др.

Также доказан ряд теорем, характеризующих свойства ограниченных пространственно-однородных решений. В частности показано, что всякое такое ограниченное решение удовлетворяет оценке ^ 1. Далее показано, что краевая задача имеет лишь тривиальное

п > 1

неотрицательное решение <р(1) = 1. Обсуждается также многомерный случай уравнений движения.

В третьей главе проведено исследование существования решений полевых уравнений, интерполирующих между вакуумами фермионной струны. Как отмечалось выше, в фермионной струне существует тахион в СБО" секторе. Смысл рассмотрения такого сектора состоит в том, что именно ферми-онная струна без выделения СЯО+ сектора, описывает так называемое неэкстремальные D-браны. А именно фермионная струна, на (р + 1) координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, и описывает неэкстремальную D-брану (non-BPS брану), на которой находятся концы струны. Если в этой теории ограничиться только тахионным полями (их теперь два, хотя второе поле является вспомогательным и не содержит кинетического члена), то соответствующий лагранжиан для пространственно-однородных конфигураций имеет вид

где

знак д здесь и далее обозначает производную по времени, а' - натяжение струны, число, характерное для описания взаимодействия локальных мод в полевой струнной теории (в данном случае 7 = т.е. 1п7 < 0). Это действие приводит к уравнениям движения типа

В приближении слабо меняющегося поля после иерерастяжки, сосредоточивающей все параметры в эти уравнения можно заменить уравнением

При д = 0 это уравнение переходит в уравнение р-адической струны при

Проведено исследование существования решения приближенного уравнения (5), интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, в зависимости от параметра д. Уравнение сведено к интегральной форме, и показано, что при достаточно больших д уравнение допускает периодическое решение, а при малых д имеется решение типа кинка с асимптотиками ±1 на бесконечности. Особое внимание уделено нахождению критического значения параметра при котором происходит смена режима - интерполирующее решение переходит в периодическое. Численными вычислениями показано, что д^. ^ 1.38. Физически интересному случаю соответствует значение параметра

Далее, в этой главе аналогичное исследование проведено для системы уравнений (4). Показано, что в этом случае ~ 2.22. И, наконец, проведено сравнение построенных решений полных уравнений (4) и решений приближенных уравнений (5) при физически интересном значении

В четвертной главе исследована модель с двумя взаимодействующими тахионными полями, недавно предложенная Омури. Эту модель можно рассматривать как упрощенную модель теории взаимодействующих открытой и замкнутой струн в которой выполнено приближение обрезания по уровням, при чем часть членов отброшена даже на первом нетривиальном уровне. Несмотря на то, что эта модель может рассматриваться только как упрощенная модель полной открыто-замкнутой струнной теории, она допускает интересные роллинговые решения. Пертурбативный вакуум теории интерпретируется как фон нестабильной D-браны, а стабильный вакуум отвечает вакууму открытой струны вблизи которого отсутствуют возбуждения D-браны.

Исследуемая модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн,

описывается действием

^фаф + + ^фаф + 2-ф2 - ^Ф3 + зФФ - Ф2Ф ,

где - некоторые постоянные. Для

численного анализа, согласно Омури, они кладутся равными Здесь д некоторая константа, величина которой обсуждается ниже. Поля ф и ф соответствуют скалярным тахионным полям открытой и замкнутой струн соответственно.

Для пространственно-однородных конфигураций Ф = Ф(£), Ф = Ф(() уравнения движения имеют вид

В работе исследуются свойства системы и указывается на наличие решений при значениях параметра и их качественное различие.

Также исследована эффективная механическая задача, получаемая из исходных уравнений в приближении высшими производными, и соответствующие решения интерполирующие между различными вакуумами теории.

В заключении перечислены основные результаты проделанной работы, в приложении описаны итерационные алгоритмы численного построения решения рассматриваемых уравнений и проведена оценка их сложности.

Основные результаты выдвигаемые на защиту

В работе получены следующие основные результаты:

• Разработаны аналитические и численные методы исследования динамики в моделях теории поля с бесконечным числом производных для построения и анализа решений, интерполирующих между соответствующими вакуумами.

• Исследованы решения нелинейных уравнений движения с бесконечным числом производных, описывающих зависимость от времени тахионного поля р-адической струны. При произвольном нечетном р > 1 построена итерационная процедура нахождения решения, интерполирующего между различными вакуумами и аналитически доказана ее экспоненциально быстрая сходимость. Показано, что при р = 3 эти уравнения описывают поведение скалярного тахионного поля фермионной струны на неэкстремальной бране при пренебрежении кинетическим слагаемым в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля.

• Исследована динамика тахионного поля фермионной струны на неэкстремальной бране, интерполирующего между вакуумами теории в зависимости от параметра q. Эта динамика описывается системой из двух нелинейных уравнений с бесконечным числом производных. Установлено наличие критического значения эпределяющего выбор режима поведения решения. Показано, что при q < qл имеет место интерполирующий режим, напротив, при интерполирующее решение переходит в периодическое. На основе итерационной специальной процедуры численно найдено значение Также проведено исследование системы в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля. В этом случае мы имеем одно уравнение и При это уравнение переходит в уравнение для тахиона р-адической струны с р = 3. Таким

образом установлено, что для тахиона фермионной струны на неэкстремальной бране при физическом значении параметра ql = q%iring « 0.96 возможны вакуумные переходы.

• Получено качественное обоснование наличия критического значения параметра q при помощи рассмотрения линеаризованной системы при больших временах. Показано, что при q —» со интегральное уравнение переходит в дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора, что подтверждает численно найденный переход в осциллятор-ный режим.

• Исследована эффективная модель Омури, описывающая взаимодействие тахионов открытой и замкнутой струн. Найдены значения параметров теории, допускающие интерполирующие решения. Это позволило найти решения качественно нового тина интерполирующие между двумя нетривиальными вакуумами теории.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Ya. Volovich, Numerical Study of Nonlinear Equations with Infinite Number of Derivatives // J. Phys. A: Math. Gen. 2003, т. 36, с. 8685-8701.

[2] B.C. Владимиров, Я.И. Волович О нелинейном уравнении динамики в теории р-адической струны // ТМФ 2004, т. 138, №3, с. 355-368.

[3] Я.И. Волович, Свойства уравнений динамики в р-адической и полевой струнных моделях // Труды МИАН 2004, т. 245, с. 296-303.

[4] Я.И. Волович, Нелокальная динамика в струнных моделях и моделях с дискретным временем // Труды VIII научной конференции молодых ученых и специалистов, Дубна, ОИЯИ, 2-6 февраля 2004, с. 183-184.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 72400-05

J)

182

Введение

Глава 1. Исследование нелинейного уравнения, возникающего в р-адической теории струн

§ 1.1 Эффективное действие //-адпчсской струны.

§ 1.2 Дифференциальное уравнение с бесконечным числом производных.

§ 1.3 Интегральная форма уравнения

1.3.1 Лемма об интегральном представлении дифференциального оператора ехр(52).

1.3.2 Интегральная форма уравнений движения.

§ 1.4 Построение решения методом итераций для случая р =

§ 1.5 Сходимость итерационной процедуры.

Глава 2. Краевые задачи для ограниченных решений уравнения р-адической струны

§2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Свойства ограниченных решений.

§2.2 Теорема о существовании решения при нечетных р.

§ 2.3 Многомерные уравнения движения.4G

Глава 3. Исследование нелинейного уравнения, приближенно описывающего тахион на неэкстремальной бране

§3.1 Тахион в бозопной полевой теории.

§3.2 Тахион на неэкстремальной бране

§ 3.3 Дифференциальная и интегральная формы уравнения

§3.4 Приближение для вспомогательного поля.

3.4.1 Результаты численного анализа решения уравнения движения при малых q.

3.4.2 Два режима поведения решения.

3.4.3 Результаты анализа решения уравнений движения при больших q.

§ 3.5 Итерации для двух нолей.

3.5.1 Случай гауссова ядра.

3.5.2 Учет кинетического члена.

3.5.3 Линеаризация системы на больших временах.

3.5.4 Асимптотика решения уравнения при больших q

Глава 4. Модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн

§4.1 Эффективный механический потенциал.

§4.2 Интерполяция между пертурбатпвным и пепертурбативным вакуумами.

§4.3 Интерполяция между двумя пепертурбатпвным вакуумами через пертурбативпый.

В локальной теории поли имеется хорошо известное соответствие между частицами и полями. Каждой частице, которая характеризуется неприводимым представлением алгебры Пуанкаре, соответствует квантовое поле. Это иоле удовлетворяет классическим уравнением движения. Для скалярной частицы соответствующее уравнение является уравнением второго порядка. Начальные данные задачи Кошп подвергаются квантованию, и на этой основе строится квантовая теория ноля [1|-|5]. Заметим, что в последние десятилетия по лучило развитие представление о том, что, используя классические решения типа солитонных, можно получить описание нескольких типов частиц при помощи одного поля [4, 5, 6].

В 1960-х годах при изучении спектра адронов было обнаружено большое число частиц с линейной зависимостью массы от спина - так называемый реджевский спектр. Вводить повое иоле для каждой из таких частиц представлялось нецелесообразным. Была предложена идея получать весь этот спектр как результат квантования единого объекта -струны, которая описывалась действием Ыамбу-Гато |7, 8]. Последовательная процедура квантования приводила к известным трудностям -теорию не удавалось сформулировать в четырехмерном пространстве-времени и в спектре струны (замкнутой струны) содержалось безмассовое иоле спина 2, а соответствующее возбуждение отсутствовало в спектре адронов.

Шерком и Шварцем [7, 8] была высказана идея рассматривать струну как фундаментальную теорию, из которой следовало получать все известные взаимодействия, при этом безмассовое ноле спина 2 отождествлялось с гравитоном. Одна из основных мотивировок такого рассмотрения была связана с тем, что среди известных элементарных частиц, как отмечалось выше, не было безмассовой или очень легкой частицы со спином 2. Другой важной мотивировкой было то, что квантовая гравитация не является в обычном смысле [1| перенормирусмой теорией. Предполагалось, что включение дополнительных полей, соответствующих другим струнным возбуждениям, а также появление специфических форм-факторов во взаимодействии, отражающих нелокальность теории струн, поможет решить проблему построения квантовой теории свободной от ультра-фиолетовых расходимостей и включающей квантовую гравитацию. В дальнейшем это и было реализовано для суперструн [7, 8].

Одна из первых трудностей, которая возникает на пути построения теории струн, связана с тем, что в спектре бозонной струны имеется возбуждение, соответствующее "частице" с отрицательным квадратом массы, т.е. бозонная струна содержит тахион. Это утверждение относится как к открытым, так и к замкнутым бозопиым струнам. Поскольку тахион приводит к неустойчивости, то, в свое время, это рассматривалось как существенный недостаток бозонной струпной теории.

Для борьбы с этой неустойчивостью было предложено рассматривать фермнонную струпу и брать в пространстве ее возбуждений сектор, в котором нет тахиона (аналог такого сектора нельзя выделить в бозон-ной струпе). Это так называемый GSO+ (Глиози, Олив, Шерк) сектор. В этом секторе струнные возбуждения, упорядоченные по массе, начинаются с безмассового векторного ноля и безмассового спипорного поля. В GSO~ секторе возбуждения начинаются с тахионного поля с квадратом массы равным (—1/2) (в единицах натяжения струны а'), т.е. тахиона.

В рамках как бозонной, так и фермионной теории струи, была предложена схема вычисления амплитуды рассеяния струнных возбуждений. Однако заметим, что эта схема не следовала напрямую из лагранжиана, как это имеет место в обычной квантовой теории поля [1]. Эта схема использовала интуитивные представления, которые в дальнейшем оформились в так называемый первичный подход к теории струн, о распространении струны как мирового листа. Амплитуда перехода в этом подходе, в соответствии с принципами квантовой теории, определялась суммированием по всем возможным конфигурациям мирового листа с весом пропорциональным экспоненте от действия струны. При этом амплитуды, соответствующие различным возбуждениям струны, задавались с помощью так называемых вершинных операторов.

В дальнейшем была предложена полевая теория струны в специальной калибровке, так называемой калибровке светового конуса, в которой задавался исходный лагранжиан, и по нему, но правилам, аналогичным правилам Фейнмана, вычислялась амплитуда рассеяния [7].

В полевой теории струн обычное соответствие части ца*-щоле замепяется соответствием струна*->бескопечный набор nojieii. Этот набор полей образуют ноля с массами и спинами, получающимися в результате квантования исходной струны. Другими словами, действие S в струпной теории поля зависит от бесконечного набора локальных полей А — {0п(х)}, т.е. S[A] = 5[{^п(.'е)}]. Отметим, что формализм струнной теории строится так, что координаты х, от которых зависят локальные поля в действии S являются координатами центра масс струны.

В конце 1980-х годов Виттеном [9] из общего принципа калибровочной инвариантности было предложено ковариаптное нолевое бозонное струнное действие «9 [.Л], в котором полевой переменной является произвольный вектор состояния первично-квантованной струны. Отметим, что это действие было предложено для открытой бозонной струны. Из действия S[A] автоматически получаются действия для всех полей фп{х). Тахиону в этом наборе соответствует скалярное поле ф с квадратом массы

Действие открытой бозонной струнной полевой теории в подходе Вит-тена имеет вид здесь струпное поле А = А[Х(а)-, с(сг), Ь(а)] зависит от координат струны Xlt(a) и гостовского с{а) и антигостовского Ь{а) нолей, до - безразмерная постоянная описывающая взаимодействие струи, - БРСТ заряд вида

S = < Л, QB А » « Л, Л, А »

3<7о где Тх{ст) и Tic(a) - тензоры энергии-импульса для координат струны и гостов. Здесь используется конформное представление для полилинейных функционалов •, . ;§>. Если ограничиться только тахионными модами ф{к) в разложении струнного поля, то имеем d2Gk где вершинный оператор имеет вид

A = A(w) = I —^ф^МЬш)

V(k,w) =: c(w)e2ik"x^w) :

Здесь w - комплексная переменная. Можно показать, что в этом случае виттеновское действие сводится к виду здесь ф{х) - Фурье образ ф{к), а' - натяжение струны, 7 - число (7 = т^д), характерное для описания взаимодействия локальных мод в полевой теории [10] и

Ф{х) = е°'н~<)аф{х) Оператор Даламбера определяется л где Д = щ + • • • + -7^2--оператор Лапласа.

По аналогии с ситуацией с TV-образным потенциалом в локальной теории поля естественно предположить, что в теории бозонной струны, в которой имеется тахион, приводящий, как указывалось выше, к нестабильности, может существовать другой вакуум отличный от пер-турбативного, в окрестности которого тахион отсутствует. Вопрос о существовании такого вакуума в теории струны связан с существованием специальных вакуумных решений. Это предположение высказали в 1987 году Костелецкий и Самуэль [10] и проверили его численными вычислениями, ограничиваясь простейшим приближением.

В последние несколько лет велась активная работа по исследованию нетривиальных (ненулевых) вакуумных, т.е. не зависящих от времени и пространственных координат, решений в струнной теории поля. К настоящему времени гипотеза о существовании стабильного вакуума подтверждена многочисленными вычислениями [11| - показано, что в кова-риантной теории открытых бозонных струн имеется непертурбативный стабильный вакуум и, естественно, спектр струны меняется в окрестности нового вакуума. Это явление аналогично хорошо известному явлению Хштса [2]. Интересно отмстить, что большинство таких исследований проводится с помощью существенного использования численных вычислений [11, 12, 13, 14].

Представляет интерес нахождение классических решений, интерполирующих между различными вакуумными решениями. Подчеркнем, что в отличие от аналогичной задачи по изучению решений солитонпого или кип ко во го типа в локальной теории поля, где обычно рассматривается интерполяция по пространственным переменным [4, 5], в струнах в связи с задачей о распаде D-бран рассматривается интерполяция по времени [15].

При исследовании непертурбативных свойств струны оказалось, что существуют решения, в которых ноля сосредоточены на гиперповерхностях, т.е. решения тина солптонов в обычной локальной теории поля. Такие решения были названы £)-бранамп. Имеется аналогия между доменными стенками [16, 17] и D-бранами. Выяснилось, что поскольку D-браны - объекты теории струны, локализующие на своей мировой поверхности концы открытых струп, то одним из способов описания динамики таких бран является рассмотрение струны с граничными условиями, заданными па этих гиперповерхностях. Точнее, если рассматривать струну, на (р -f- 1) пространственно-временную координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, то Дирихлс-брана (jD-брана) будет той самой (р + 1) мерной гиперповерхностью, на которой находятся концы струны. При этом обычные струнные возбуждения, например тахион, находятся на бранс. Это связано с тем, что в результате наложения условий Дирихле по (cl— \р+ 1]) переменной координаты центра масс струны оказываются фиксированными по этим направлениям и поэтому в действии S[A] возникают поля, зависящие только от первых (р + 1) координат х.

Задача нахождения решений, интерполирующих между различными вакуумамп, в струнной теории поля имеет две существенные специфики но сравнению с аналогичной задачей локальной теории поля. Прежде всего, как отмечалось выше, полевая теория струн соответсгвует бесконечному набору локальных полей {(/2,t(:/;)}. Во-вторых, взаимодействие, получающееся для этих полей, нелокально в том смысле, что соответствующие уравнения движения содержат бесконечное число производных. Заметим, что в отличие от некоммутативной теории поля, где имеется бесконечное число пространственных производных, в струпной теории ноля присутствуют пространственные, временные и смешанные производные {18].

Интерполяция между различными вакуумами изучалась в [19] в рамках приближения, в котором в качестве действия для тахиона рассматривалось действие Борна-Инфельда (20]. Однако, получение этого действия непосредственно из струнной теории поля является трудной задачей. По-видимому, это действие получается интегрированием исходного струнного полевого действия по бесконечному набору нолей с высшими спинами [21].

Переходы между различными вакуумами в струнной теории, т.е. между вакуумами с которыми связана определенная картина бран, можно изучать также со стороны гравитации. При таком подходе эти переходы описываются специальными решениями, так называемыми s-бранами [22, 23]. Локализация полей на брапах в рамках гравитационного подхода активно изучается в современной литературе [17]. Соответствующие квантовые эффекты рассматривались, например в [24].

Задача о построении решений описывающих переходы между различными вакуумами непосредственно в струнной теории поля в рамках специальной итерационной процедуры недавно рассматривалась в работе А. Сена [25]. В этом рассмотрении учитывалось, что у вакуумных решений несколько компонент локальных полей {</?„} могут быть отличны от нуля.

Если ограничиться случаем одного скалярного тахионного поля ф(х) получаются уравнения вида а'П + 1) с-2«/1п<7)° ф = Д-Ф2, (0.1) 7 здесь как и выше а' - натяжение струны, 7 - число (7 = Переменная Ф связана с исходным тахионным полем ф нелокальным преобразованием

Если оператор в правой части понимается в виде формального ряда

-■■■(^□^(-«Чпт)"^ (0.2) п\

11=0 то приведенное выше уравнение движения является дифференциальным уравнениям с бесконечным числом производных. Оно описывает динамику пространственно-однородного тахионного поля в теории струн в пренебрежении вкладом остальных полей. Для определенного класса интегрируемых функций оно записывается как нелинейное интегральное уравнение. Это уравнение удобно привести к каноническому виду, сосредоточив все имеющиеся в теории параметры в одном параметре г/,

2П+1)е-аФ = Ф2 (0.3)

Оказывается это уравнение в пренебрежении кинетическим слагаемым, сводится к нелинейному уравнению, возникающему в р-адической теории струн [26]. Напомним, как получается р-адпческая струна. Хорошо известно, что если с струпной теории рассмотреть рассеяние тахиона, то получается амплитуда Вснсциапо [7, 8], которая представима в виде бета функции. Если эту бета функцию заменить р-адичсской бета функцией, то получится амплитуда рассеяния тахиона в /;-адической струне [26, 27]. Эту амплитуду можно получить также из эффективного действия, которое называется эффективным действием />адической струны [28].

Уравнение £>-адичсской струны в приближении одного скалярного поля ф(х) имеет вид [27, 28] р-^Ф = Ф", где как и выше □ - оператор Даламбера. Оператор как и оператор 1п(7) □ появившейся выше в струнной теории поля можно представить в виде ряда, аналогичного (0.2)

00 1 п»

Z 71.

71=0

Как видно из приведенного выше соотношения рассматриваемое уравнение движение содержит производные всех четных порядков. Получаемые уравнения являются уравнениями нового класса, они отличаются от уравнений, ранее рассматривавшихся в математической физике [29], и их исследование представляет большой интерес.

Полевые теории с бесконечным числом производных естественным образом связаны с нелокальными квантовыми теориями поля, изучающимися в связи с попытками избежать ультрафиолетовых расходимо-степ, а также в связи с теорией струн [30, 31].

Проблема постановки задачи Копш для таких уравнений недавно исследовалась Мюллером и Цвибахом [18]. Было показано, что наличие бесконечного числа производных приводит к ограничениям на возможное множество начальных условий.

Отметим, что несмотря на наличие бесконечного числа производных, решение соответствующего линейного уравнения, в классе функций, допускающих преобразование Фурье, зависит не от бесконечного числа произвольных функций (или констант, для решений зависящих от одной переменной), а только от двух произвольных функций пространственных переменных, как это имеет место для обычного уравнения Клейна-Гордона [4]. Действительно, если решать линейное уравнение f(O)<p = 0 при помощи преобразование Фурье, ф) = J eikxS (f(—k2)) ф{к) ddk, то число произвольных функций пространственных переменных равно числу корней уравнения f(—k2) = 0. В частности, при f(x) — е~х — А и 0 < Л < 1 имеем два корня

При Л > 1 получаем тахион.

Заметим однако, что для пространственно-однородных конфигурации, т.е. случая, когда полевые функции зависят только от времени, исходное уравнение движения можно переписать в виде свертки с гауссовым ядром |18, 27, 42], которая после нерерастяжки <p(t) = ф{1\/21п р) принимает вид

Таким образом па пространственно-однородных конфигурациях исходное уравнение переписывается в интегральной форме, которая удобна как для анализа так и для численных вычислений. Численный анализ дифференциальной формы уравнения как правило основывается на пренебрежении вкладом высших производных [18], в то время как анализ интегральной формы уравнения основывается на стандартных методах вычисления квадратур [49, 50]. Сравнение динамики подчиняющейся соответствующим дифференциальным уравнениям в пренебрежении вкладом высших производных и тем же уравнениям, записанным в интегральной форме, недавно проводилось в серии работ, в частности в [18, 39, 40, 43]. Заметим также, что интегральное уравнение допускает вообще говоря более широкий класс функции.

Интерес к задаче о построении нестационарного, пространственно-однородного классического решения, интерполирующего между различными вакуумамп [67]-[80], связан с возможными применениями в космологии. Л пмешю, А. Сен [19j предложил отождествлять тахион в бозонной струпной теории с космологическим скалярным полем.

Попеку и исследованию решений нелинейных уравнений такого типа посвящено много работ. В частности, Беккн, Фрейдом, Олсеном и Впттеном [27| было численно построено зависящее от времени решение типа кинка, интерполирующее между двумя нетривиальными вакуума-ми теории р-адической струны р = ф3 (0.4) для случая р = 3. В дальнейшем эти вычисления были проверены с более высокой точностью в работе [18]. В работе [41] с использованием было численных оценок была продемонстрирована сходимость соответствующего итерационного процесса. Наконец, в [42] было проведено полное теоретическое доказательство существования решения для любого нечетного р, что окончательно подтвердило гипотезу, выдвинутую первоначально в [27].

Уравнение (0.3) имеет два вакуумных решения: пертурбатпвный вакуум фо = 0 и нетривиальный вакуум фц — 1. В недавней работе Мюллера и Цвибаха [18] проведено исследование существования решения уравнения (0.3), интерполирующего между вакуумамп фо = 0 и фо = 1. Показано, что таких монотонных решений не существует. Этот результат связан с кубическим характером взаимодействия. Было естественно рассмотреть аналогичную задачу для тахиона фермиониой струны, в которой Taxiioiiiibiii потенциал является потенциалом 4-ои степени [13].

В настоящей работе проведено исследование существования решений тахионных уравнений, интерполирующих между вакуумами фермион-пой струны. Как отмечалось выше, в фермпонной струне существует тахион в GSO~ секторе. Смысл рассмотрения такого сектора состоит в том, что именно фермионная струпа без выделения GSO+ сектора, описывает так называемое неэкстремальные D-браны [15]. А именно фермионная струна, на (р+ 1) координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, и описывает неэкстремальную D-брапу (non-BPS брану), на которой находятся концы струны. Если в этой теории ограничиться только тахионным полями (их теперь два, хотя второе поле является вспомогательным и не содержит кинетического члена), то соответствующий лагранжиан для пространственно-однородных конфигураций имеет вид знак д здесь и далее обозначает производную но времени, остальные обозначения описаны в главе 3. Это действие приводит к уравнениям движения типа 1 где

U = е-а'1п^)02и, Ф - е-а'1пЬ)°2ф e-2a'lnh)0^U{f) 1 ф

67 ^

0.5)

В приближении слабо меняющегося поля и эти уравнения можно заменить уравнением (после перерастяжки, сосредоточивающей все параметры в q, подробнее §§3.3-3.4)

-q2d2 + 1) е^Фф = Ф(03 (0.6)

При <7 = 0 это уравнение переходит в уравнение р-адичсской струны при р = 3.

Другой интересный аспект настоящего развития исследований физического процесса распада нестабильной D-браны связан с учетом взаимодействия открытой и замкнутой струп. В настоящее время имеется проблема отсутствия согласованности результатов относительно энергии нестабильной Л-брапы, полученных в рамках процедуры обрезания по уровням для кубической открытой струны и рассмотрения методами конформной теории поля. Это повлекло за собой исследования системы взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Предполагается, что необходимо учитывать диссипацию энергии D-браны в сектор закрытой струны в процессе скатывания в стабильный вакуум полной теории.

Мы будем исследовать модель с двумя взаимодействующими тахионными полями, которая недавно была предложена Омурп в [33]. Эту модель можно рассматривать как упрощенную модель теории взаимодействующих открытой и замкнутой струп в которой выполнено приближение обрезания по уровням, при чем часть членов отброшена даже па первом нетривиальном уровне. Несмотря на то, что эта модель может рассматриваться лишь как упрощенная модель полной открыто-замкнутой струпной теории, она допускает интересные роллипговые решения. Пер-турбатпвпый вакуум теории интерпретируется как фон нестабильной D-браны, а стабильный вакуум отвечает вакууму открытой струны вблизи которого отсутствуют возбуждения D-браны.

Исследуемая модель [33, 45] взаимодействующих открытой и замкнутой струн, описывается действием где Ф = ехр(№)0, Ф = ехр(гаШ)'</>, к и т - некоторые постоянные, для численного анализа мы согласно [33] кладем к = rn = In 2. Здесь д -некоторая константа, величина которой обсуждается ниже.

Для пространственно-однородных конфигураций Ф = Ф(£), Ф = Ф(t) уравнения движения имеют вид

Мы исследуем свойства системы и указываем на наличие решений при значениях параметра д = ^ и д = [45]. Решения для случая д = были численно построены в [33].

План работы следующий. В главе 1 проведено исследование уравнений 7>адической струны при р — 3. Уравнение представлено в интегральной форме. Для этого уравнения построена итерационная процедура нахождения решения, интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, и доказана ее сходимость.

S =

-д2 + 1)е2^2ф - Ф2 + r/Ф - 2ФФ = О (-д2 + 4)е2ш^2ф + дФ - Ф2 = О

В главе 2 проведено исследование краевых задач для ограниченных решений уравнения р-адичсской струны. Соответствующему уравнению движения придается точный смысл в терминах обобщенного преобразования Фурье. Исследуются свойства ограниченных решений. Для нечетных р доказана экспоненциально быстрая сходимость итерационной процедуры к непрерывному нечетному решению, выходящему па ±1 при t —* ±00.

В главе 3 проведено исследование существования решения приближенного уравнения (0.6), интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, в зависимости от параметра q. Уравнение сведено к интегральной форме, и показано, что при достаточно больших q уравнение допускает периодическое решение, а при малых q имеется решение типа кинка с асимптотиками ±1 на бесконечности. Особое внимание уделено нахождению критического значения параметра gcr, при котором происходит смена режима - интерполирующее решение переходит в периодическое. Численными вычислениями показано, что q2r ~ 1.38. Физически интересным решением является решение при

О1 = Qstring = « 0.96

Далее, в главе 3 аналогичное исследование проведено для системы уравнений (0.5). Показано, что в этом случае q2T ~ 2.22. И, наконец, проведено сравнение построенных решений полных уравнении (0.5) и решений приближенных уравнений (0.G) при физически интересном значении q2 = q2atTing.

В главе 4 исследована модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Исследована эффективная механическая задача, получаемая из исходных уравнений в приближении высшими производными, а также решения интерполирующие между различными вакуумамп теории.

В Приложении описаны алгоритмы построения итерационного решения рассматриваемых уравнений, и проведена оценка их сложности.

Основные результаты диссертации представлены в работах автора [41, 42, 43, 44].

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.В. Белокурову за постоянное внимание и неоценимую поддержку, B.C. Владимирову за внимание и ценные советы, а также И.Я. Арефьевой и Б. Драговичу за полезные обсуждения. Автор также хочет поблагодарить JI.B. Жуковскую за интересные советы и поддержку.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

• Исследованы решения нелинейных уравнений движения с бесконечным числом производных, описывающих зависимость от времени тахионного поля р-адической струны. При р = 3 эти уравнения описывают поведение тахионного поля на неэкстремальной бране при пренебрежении кинетическим слагаемым в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля. При нечетном р построена итерационная процедура нахождения решения интерполирующего между различными вакуумами и аналитически доказана ее экспоненциально быстрая сходимость.

• Исследована динамика тахионного поля на неэкстремальной бране, интерполирующего между вакуумами в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля в зависимости от параметра q. Численно показано, что при g2r ~ 1.38 происходит смена режима -интерполирующее решение переходит в периодическое.

• Численно установлено существование решения системы уравнений, описывающей, без предположения о слабо меняющемся вспомогательном поле, тахион на неэкстремальной бране. Решение интерполирует между различными вакуумами при q < qcr, численно найдено g2r ~ 2.22. Тем самым установлено, что как для приближенного уравнения, так и для полной системы уравнений для тахиопа на неэкстремальной бране при физическом значении параметра q2 = q2lrmq ~ 0.96 имеет место интерполирующий режим.

• Получено качественное обоснование наличия критического значения параметра q при помощи рассмотрения линеаризованной системы при больших временах. Показано, что при q оо интегральное уравнение переходит в дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора, что подтверждает численно найденный переход в осцилляторный режим.

• Исследована эффективная модель Омури, описывающая взаимодействие тахионов открытой и замкнутой струн. Найдены значения параметров теории, допускающие интерполирующие решения. Предложена итерационная процедура, которая численно сходится к новому решению, интерполирующему между двумя непертурба-тивиымп вакуумами теории.

В основу диссертации положены работы, выполненные в 2002-2004 годах иа кафедре квантовой статистики и теории поля Физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах МГУ, МИАН РАН, па Международной конференции но р-адичсской математической физике, VIII научной конференции молодых ученых и специалистов, Дубна, ОИЯИ.

1. Н.Н. Боголюбов и Д.В. Ширков, Введение в теорию квантовых полей, Москва, Наука, 1973

2. А.А.Славиов, Л.Д.Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, изд. 2, Москва, Наука, 1988

3. В.В. Белокуров, Д.В. Ширков, Теория взаилюдействий частиц, Москва, Наука, 198G

4. В.А. Рубаков, Классические калибровочные поля, М.: Эдиториал УРСС, 1999

5. Р. Раджараман, Солитпоны и инстантоиы в квантовой теории поля, Москва, Мир, 1985

6. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Регулярная и хаотическая динамика, 1999

7. М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн, Москва, Мир, 1990.

8. М. Каку, Введение в теорию суперструп, Москва, Мир, 1999

9. Е. Witten, Noncommutative geometry and siring field theory, Nucl. Pliys. B268 (1986) 253; Interacting field theory of open superstrings, Nucl.Phys. B276 (1986) 291.

10. V.A. Kostelecky and S. Samuel, On a nonperturbative vacuum for the open bosonic string, Nucl.Pliys. B336 (1990) 286.

11. W. Taylor, N. Mocller, Level truncation and the tachyon in open bosonic string field theory, Nucl. Pliys. B583, 105 (2000) liep-th/0002237]

12. K. Ohmori, A Review on Tahyon Condensation in Open Siring Field Theories, hep-th/0102085

13. I.Ya. Arefcva, el al, Tahyon Condensation in the Cubic Superstring Field Theory Nucl. Phys. B, 638:3-20, 2002; Gauge Invariance and Tahyon Condensation in the Cubic Superstring Field Theory, Nucl. Phys. B, 638:21-40, 2002

14. Davide Gaiotto, Leonardo Rastelli, Experimental string field theory, hep-th/0211012

15. A. Sen, Tachyon Dynamics in Open String Theory, hcp-th/0410103

16. V. A. Rubakov and M. E. Shaposhnikov, Do We Live Inside A Domain Wall?, Phys. Lett. В 125, 136 (1983).

17. V. A. Rubakov, Большие и бесконечные дополнительные размерности: Введение, УФН, 171, 913, hep-ph/0104152, (2001).

18. N. Moeller, В. Zwebacli, Dynamics with Infinitely Many Time Derivatives and Rolling Tachyons, hep-th/0207107.

19. A. Sen, Time and Tahyon, hep-tli/0209122

20. E. A. Bcrgshoeff, M. cle Roo, Т. C. de Wit, E. Eyras and S. Panda, JHEP 0005, 009 (2000), hep-th/0003221

21. W. Taylor, D-brane effective field theory from string field theory, Nncl.Phys. B585 (2000) 171, liep-th/0001201

22. M. Gntperle and A. Strominger, Spacelike branes, JHEP 0204, 018 (2002), hep-th/0202210

23. С. M. Chen, D. V. Gal'tsov and M. Gntperle, S-brane solutions in supergravity theories, Phys. Rev. D 66, 024043 (2002), hep-th/0204071

24. Y. Grats and A. Rossikhin, Vacuum polarization near cosmic string in RS2 brane world, Mod. Phys. Lett. A 17, 1207 (2002), hep-ph/0201084

25. A. Sen, Time Evolution in Open String Theory, hep-th/0207105

26. B.C. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, Р-адический анализ и математическая физика, Москва, Наука, 1994

27. L. Bekke, P.G.O. Freund, М. Olson, Е. Witten, Non-archimedian string dynamics, Nucl.Phys. B302 (1988)

28. P.H. Frainpton, Y.Okada, Effective scalar field theory of p-adic string, Phys.Rev. D37 (1989)

29. B.C. Владимиров, Уравнения математической физики, Москва, Наука, изд. 5, 1988

30. М.А. Соловьев, В.Я. Фаииберг, Нелокализуемость и ассимптоти-ческая коммутативность, ТМФ, 93, стр. 514-528, (1992)

31. М.Л. Soloviev, Nonlocal Extension of the Borchers Classes of Quantum Fields, Contribution to the Marinov Memorial Volume, Eds.: M. Olshanetsky and A. Vainshtein, World Scientific, math-ph/0112053, (2001)

32. H. Yang, Stress tensors in p-adic string theory and truncated OSFT, JHEP 0211, 007 (2002).

33. K. Ohmori, Toward Open-Closed String Theoretical Description of Rolling Tachyon, hep-th/0306096.

34. A. Sen, Non-BPS States and Branes in String Theory, hep-th/9904207.

35. A. Sen, B. Zwiebach, Tachyon condensation in string field theory, JHEP 003 (2000) 002, hep-th/9912249

36. N. Mocller, A. Sen, B. Zwiebach, D-branes as Tachyon Lumps in String Field Theory, JIIEP 0008 (2000) 039, hep-th/0005036

37. Gary Shiu, S.-H. Henry Туе, Ira Wasserman, Rolling Tachyon in Brane World Cosmology from Superstring Field Theory, liep-th/0207119

38. I.Ya. Arcf'cva, L.V. Joukovskaya and A.S. Koslielcv, Time Evolution in Superstring Field Theory on поп-В PS brane. I. Rolling Tachyon and Energy-Momentum Conservation, JHEP 0309 (2003) 012;

39. I.Ya. Arefeva, Rolling Tachyon in NS SFT, 35tli Ahrcnshoop meeting, Fortschr.Phys., 51 (2003) 652

40. I.Ya. Aref'eva and L.V. Joukovskaya, Rolling Tachyon on non-BPS brane, Lectures given at the II Summer School in Modern Mathematical Physics, Kopaonik, Serbia, 1-12 Sept. 2002.

41. Yaroslav Volovich, Numerical Study of Nonlinear Equations with Infinite Number of Derivatives, J. Phys. A: Math. Gen. 36 pp. 86858701, math-ph/0301028, (2003).

42. B.C. Владимиров, Я.И. Волович, О нелинейном уравнении динамики в теории р-адической струны, ТМФ, т. 138, №3, стр. 355-368, math-ph/0306018, (2004).

43. Я.И. Волович, Свойства уравнений динамики в р-адической и полевой струнных люделях, Труды МИ АН, т. 245, стр. 296-, (2004).

44. Я.И. Волович, Нелокальная динамика в струнных моделях и моделях с дискретным временем, Труды VIII научной конференции молодых ученых и специалистов, Дубна, ОИЯИ, 2-6 февраля, (2004).

45. L. Joukovskaya and Ya. Volovich, Energy Flow from Open to Closed Strings in a Toy Model of Rolling Tachyon, math-ph/0308034.

46. Y. Michishita, Tachyon Lump Solutions of Bosonic D-branes on SU(2) Group Manifolds in Cubic String Field Theory, Nucl.Phys. B614 (2001) 26-70, hcp-th/0105246

47. JI.B. Жуковская, Сохранение энергии для уравнений р-адической теории струн и струнной теории поля, Труды МИ АН, т. 245, стр. 98, (2004).

48. N. Moeller, Codimension two lump solutions in string field theory and tachyonic theories, hep-th/0008101

49. B.A. Ильина, П.К. Силаев, Численные методы для физиков-теоретиков I, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований,2003

50. В.А. Ильина, П.К. Силаев, Численные методы для физиков-теоретиков //, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований,2004

51. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсении, Методы решения некорректных задач, Москва, Наука, 197952| А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов и А.Г. Ягола, Численные методы решения некорректных задач, Москва, Наука, 1990

52. В.И. Фридман, Усп. Мат. Наук, 11, №1, 1956.

53. R. de Mello Koch, J.P. Rodrignes, Lumps in level truncated open string field theory, Phys.Lett. B495 (2000) 237-244, hep-th/0008053

54. R. dc Mcllo Koch, A. Jevicki, M. Mihailescu, R. Tatar, Lumps and P-branes in Open String Field Theory, Phys.Lctt. B482 (2000) 249-254, hcp-th/0003031

55. J.A. Harvey, P. Kraus, D-Dranes as Unstable Lumps in Bosonic Open Siring Field Theory, JHEP 0004 (2000) 012, liep-th/0002117

56. D.P. Jatkar, R. Vathsan, Stable Solitons in Field Theory Models for Tachyon Condensation, JHEP 0106 (2001) 039, hep-th/0104229

57. A. Minahan, B. Zwiebach, Field theory models for tachyon and gauge field string dynamics, Л HEP 0009 (2000) 029, hep-th/0008231.

58. W. Taylor, Mass generation from tachyon condensation for vector fields on D-branes, ЛIIEP 0008 (2000) 038, hep-th/0008033.

59. E. Gamma, R.IIelm, RJohnson and Л. Vlissides, Design Patterns. Elements of Reusable Object-Oriented Software, Addison-Wesley, 1995

60. А. ЕИёп&, Principles of Object-Oriented Software Development, Ad-dison-Wesley, 2000

61. Т.К. Shi, W.-H. Steeb and Y. Hardy, Symbolic С++ and Introduction to Computer Algebra using Object-Oriented Programming, Springer, 2000

62. M. Ellis and B. Stroustmp, The Annoteted С++ reference manual, 1990

63. S.Wolftam, Mathematica. System for Doing Mathernatica by Computer, Addison-Wesley, 1991.

64. L. Brekke arid P.G.O. Freund, p-Adic Numbers in Physics, Pliys. Rep. (Rev. Set. Phys. Lett.), 1993, 233, N 1, pp. 1-66.

65. D. Ghoshal and A. Sen, Thachyon Condensation and Brane Descent Relations in p-adic String Theory, Nucl. Phys. 2000, B584, 300-312.

66. L. Bonora, C. Maccaferri, R.J.Scherer Santos, D.D.Tolla, Exact time-localized solutions in Vacuum String Field Theory, hep-th/0410103

67. M. Fujita, H. Hata, Rolling Tachyon Solution in Vacuum String Field Theory, hep-th/0403031

68. A. Sen, Moduli Space of Unstable D-branes on a Circle of Critical Radius, JHEP 0403 (2004) 070

69. A. Sen, Open-Closed Duality: Lessons from Matrix Model, Mod. Phys. Lett. A19 (2004) 841-854

70. J. Kluson, The Schrodinger Wave Functional and Closed String Rolling Tachyon, Int. J. Mod. Phys. A19 (2004) 751-760

71. M.R. Garousi, S-matrix elements and off-shell tachyon action with non-abelian gauge symmetry, JHEP 0312 (2003) 036

72. J. Kluson, The Schrodinger Wave Functional and S-branes, Class. Quant. Grav. 20 (2003) 4285-4304

73. A. Sen, Open-Closed Duality at Tree Level, Pliys.Rev.Lctt. 91 (2003) 181601

74. Y. Dernasurc, R.A. Janik, Baekreaetion and the rolling tachyon an effective action point of view, Phys.Lett. B578 (2004) 195-202

75. I.R. Klebanov, J. Maldacena, N. Seiberg, D-brane Decay in Two-Dimensional Siring Theory, JHEP 0307 (2003) 045

76. A. Sen, Open and Closed Strings from Unstable D-branes, Phys.Rev. D68 (2003) 106003

77. N. Moeller, M. Schnabl, Tachyon condensation in open-closed p-adic string theory, JHEP 0401 (2004) Oil

78. D. Gaiotto, N. Itzhaki, L. Rastelli, Closed Strings as Imaginary D-branes Nncl.Phys. B688 (2004) 70-100

79. M. Fujita, H. Hata, Time Dependent Solution in Cubic String Field Theory, JHEP 0305 (2003) 043

80. V.S. Vladimirov, On the Freund-Witten adelic formula for Veneziano amplitudes, Lett. Math. Phys. 28 (1993), 123-131.

81. И.М. Гельфанд п Г.Е. Шилов, Обобщённые функции, вып.2. Пространства основных и обобщённых (функций, М.: Фпзматлит, 1958.

82. B.C. Владимиров, Методы теории (функций многих комплексных переменных, М.: Наука, 1964.