Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю

Сидорякина, Валентина Владимировна

Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Сидорякина, Валентина Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Таганрог МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю»

Автореферат диссертации на тему "Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю"

На правахрукописи

Сидорякина Валентина Владимировна

Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю

01.01.02 - дифференциальные уравнения, 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математический наук

Ростов-на-Дону 2004

На правах рукописи

Сидорякина Валентина Владимировна

Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю

01.01.02 - дифференциальные уравнения, 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математический наук

Ростов-на-Дону

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Таганрогского государственного педагогического института

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Фоменко Валентин Трофимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится "21" декабря 2004 г. в 16.50 на заседании диссертационного совета К 212.208.06 по физико-матемагическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, Зорге, 5, механико-математический факультет РГУ, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: Ростов-на Дону, Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " н&Яг^иЯ- 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.208.06,

профессор Шикин Виктор Евгеньевич; кандидат физико-математических наук, доцентМихалкович Станислав Станиславович

Ведущая организация: Казанский государственный университет

1Т

ВД. Кряквин

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория бесконечно малых деформаций поверхностей в евклидовом и римановом пространствах. Содержание этой теории составляют различные виды бесконечно малых деформаций, определяемых заданным свойством, связанным с поведением поверхности при ее деформации.

Значительное место в этой теории бесконечно малые изгибания поверхностей, характеризующиеся стационарностью длин кривых на поверхности в начальный момент деформации, а также ареальные, конформные, геодезические и другие виды бесконечно малых деформаций поверхностей.

Бесконечно малые деформации поверхностей, определяемые только нормальными смещениями точек поверхности при ее деформации для поверхностей в римановом пространстве изучены B.Y. Chen and К. Yаnо и названы нормальными вариациями. Ими установлено, что для нормальных вариаций поверхностей в римановом пространстве имеет место соотношение, рекуррентное относительно вариации 8{do) элемента площади поверхности:

где Н - средняя кривизна поверхности, с - нормальное смешение точек поверхности при ее деформации,

Бесконечно малые деформации поверхностей, подчиненные условию (1), называют ареально рекуррентными бесконечно малыми деформациями с коэффициентом рекуррентности Я :или AR-деформациями.

В.Ф. Каган рассматривал деформации поверхностей в евклидовом пространстве, определяемые переходом от данной поверхности к эквидистантным ей поверхностям. Эти деформации также в начальный момент порождают AR-деформации поверхности с коэффициентом рекуррентности и хорошо изучены.

Другой класс рассматриваемых бесконечно малых деформаций поверхностей в евклидовом пространстве составляют бесконечно малые деформации, которые сохраняют в начальный момент деформации поле единичных векторов нормалей вдоль поверхности. Такие деформации называют деформациями с сохранением поточечно сферического (гауссова) образа поверхности.

Для поверхностей в римановом пространстве к настоящему времени нет устоявшегося понятия сферического образа поверхности, поэтому отображения поверхностей, в частности, деформации поверхностей с сохранением сферического образа в римановом пространстве до последнего времени не рассматривались.

В.Т. Фоменко была сформулирована задача о бесконечно малых деформациях поверхностей в римановом пространстве, при которых поле единичных нормальных к поверхности тензоров в начальный момент деформации переносится вдоль траекторий точек поверхности при ее деформации параллельно в смысле Леви-Чивита. Такие деформации называют G-деформациям и.

Бесконечно малые деформации поверхностей в римановом пространстве, которые являются одновременно и ЛЯ-деформациями и G-деформациями, В.Т. Фоменко называет АЯй-деформациями поверхностей.

Им показано, что поверхности положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве допускают ARG-деформации с достаточно большим произволом. В связи с этим им была поставлена задача нахождения внешних связей, налагаемых на поверхность, которые были бы совместимы с конечным числом линейно независимых ARG-деформаций.

Поведение поверхностей в евклидовом пространстве относительно AG-деформаций, то есть ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности при некоторых внешних связях кинематического

типа (закрепление поверхности вдоль края относительно заданной плоскости и др.) было изучено А.В. Забегловым, О.Н. Бабенко.

Следуя И.Н.Векуа, в настоящей работе для ARG-деформаций в качестве внешней связи рассматривается соотношение вида:

где - тензор деформации поверхности, - линейный оператор,

заданный на краю поверхности, к -заданная функция. Линейный оператор как правило, задается скалярным произведением, поэтому в настоящей работе условие (2) в римановом пространстве с метрическим тензором задается в виде: - заданное

тензорное поле вдоль края поверхности. Выбор таких внешних связей определяется заданием тензорного поля вдоль края поверхности.

При исследовании бесконечно малых изгибаний поверхности положительной внешней кривизны И.Н. Векуа введено понятие втулочной

связи, налагаемой на поверхность F вдоль края dF. Эта связь определяется условием R^J'^a^Wl^ =й на 3Fгде lß есть поле единичных тензоров, являющихся вдоль 5F полем нормалей к некоторой поверхности содержащей край dF. В настоящей работе аналогичным образом определяется понятие втулочной связи при ARG-деформациях.

Внешняя связь (2) называется корректной, если для любой функции h существует единственное поле деформации у, удовлетворяющее условию (2), при этом малому изменению функции h (в смысле некоторой нормы) соответствует малое изменение поля

ARG-деформации, соответствующие полю деформации (/"=0> назовем тождественными.

Внешняя связь (2) называется некорректной, если при поверхность допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h, а при А = 0 поверхность допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование поведения поверхности, подчиненной на краю втулочной связи при ARG-деформациях поверхности, нахождение условий, налагаемых на втулочную связь и коэффициент рекуррентности деформации, при выполнении которых втулочная связь является корректной, а также описание распределения некорректных втулочных связей.

Методы исследования. Исследование рассматриваемых в работе вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа, теорий дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений.

Научная новизна и практическая значимость работы

определяется следующими результатами:

1. Установлено, что втулочные связи поверхности вдоль края могут быть описаны в терминах корректности внешних связей относительно бесконечно малых ARG-деформаций рассматриваемых поверхностей;

2. Найдены достаточные условия жесткости поверхности положительной внешней кривизны в евклидовом и римановом пространствах в отношении бесконечно малых ARG-деформаций при заданной втулочной связи вдоль края поверхности;

3. Найдены достаточные условия корректности втулочной связи на краю поверхности положительной внешней кривизны относительно бесконечно малых ARG-деформаций;

4. Выделены однопараметрические с параметром ц, семейства втулочных связей, порожденных тензорными полями 1\ц\ таких, что каждое из семейств содержит точно счетное множество значений pik, причем, при ц # fjt, поверхность /допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию для любой функции h, при jj = /jt{k = 1,2,...) втулочная связь, порожденная полем является некорректной.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании бесконечно малых деформаций поверхностей, подчиненных на краю втулочным связям, разработке спецкурсов по дифференциальной геометрии.

Достоверность исследования. Поставленные в диссертации задачи имеют ясный математический смысл, все полученные результаты строго обоснованы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

• Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Бфимову, п. Абрау-Дюрсо, РГУ, 5-11.09.2002, 5-11.09.2004;

• Международная школа-семинар молодых ученых «Лобачевские чтения - 2002», г. Казань, КГУ, 28.11 -1.12.2002;

• 8 Международная конференция «Математические модели физических процессов и их свойства», г. Таганрог, ТГПИ, 28-29.06.2003;

• 5 Международная конференция по геометрии и топологии памяти

A.В. Погорелова, г. Черкассы, ЧГТУ, 8-13.09.2003;

• итоговые научные конференции Таганрогского государственного педагогического института (2002-2004 г.гД руководитель проф.

B.Т.Фоменко.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти статьях и двух тезисах докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка литературы из 36 названий, объем работы -126 страниц.

2. Содержание работы

Перейдем к обзору диссертации по главам.

В первой главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхности в трехмерном евклидовом пространстве £', совместимые с заданной внешней связью.

Считаем, что рассматриваемые поверхности являются (flJ+1)-связными (т> 0), имеют положительную внешнюю кривизну К^к0>0, к„ = const, и в декартовых координатах х, у, г заданы уравнением z=fe,y\ где (x,y)eD, /еС!"(о\ 0<а<1, D = D+8D, 3D - граница области D, ЗОеС2".

Первые два параграфа носят предварительный характер и служат главным образом для установления терминологии и обозначений, используемых в работе. Здесь дается описание основных функциональных пространств и перечисляются некоторые факты теории дифференциальных уравнений и систем, необходимые для дальнейшего. Вводятся основные понятия теории бесконечно малых деформаций поверхностей и внешних связей.

В параграфе § 1.3 доказывается

Теорема 1. Пусть (т+1 )-связная (м>0) поверхность F положительной гауссовой кривизны заданная

уравнением подвергнута

бесконечно малым ARG-деформациям с полем смещения U{x,y)- Тогда всякое поле смещения класса принадлежит классу

0<а<1.

В § 1.4 изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхности при внешних связях на краю. В качестве внешней связи рассматривается внешняя связь обобщенного скольжения поверхности вдоль края.

Пусть вдоль края поверхности F задано регулярное векторное поле /, |/|*0. Будем говорить, что поверхность F подчинена вдоль края 5F

условию обобщенного скольжения относительно векторного поля если поле смещения (J бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет условию

где к -заданная функция.

Пусть вдоль края задано векторное поле

единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Оху, п — единичный вектор нормали к поверхности, у -заданная функция, у еС!<*> 0<а<1.

Показывается, что }(у) всегда можно рассматривать как поле нормалей к втулке £ вдоль 5F> поэтому условие обобщенного скольжения (3) может рассматриваться, как условие втулочной связи. Верно и обратное утверждение: любая втулочная связь поверхности F представим а в виде (3), где = )/ + /«•

В § 1.5 изучаются вопросы корректности внешней связи (3) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций поверхности с коэффициентом рекуррентности

Теорема 2. Пусть односвязная поверхность F положительной гауссовой кривизны заданная уравнением

Мя.У.Жз')}. feC"(p\ 0<а<1, с краем 3F класса С2",

расположена выпуклостью вниз и подчинена втулочной связи: /еС!°(сЮ)> heC!°(dD)- Тогда при у^О втулочная связь является корректной в классе в отношении бесконечно малых ARG-

деформаций с коэффициентом рекуррентности . При сделанных

предположениях, всякое поле деформации принадлежит классу в замкнутой области и имеет место оценка:

где - поля деформации поверхности F, совместимые с внешней

связью C^const

Замечание. Результат теоремы 2 справедлив для случая Я = 0, у < 0 > то есть для втулочных связей: в отношении бесконечно малых

AG-деформаций.

В §1.6 описывается распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях.

Рассмотрим семейство втулочных связей, где каждая связь семейства порождена векторным полем из семейства векторных полей:

заданная фиксированная функция класса С'"(0D), 0 < а < 1. /г числовой парам етр, fjeSl- Имеет место

Теорема 3 Пусть F - (т+] )-связная (т>0) поверхность положительной гауссовой кривизны K'ikil> 0, ка = const, заданная

уравнением ~r = {x,y,f{x,yft, (x,y)sD, fzC°{p\ 0<а<1. с краем vF

класса С2" < расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых ARG-деформациях с коэффициентом рекуррентности Я, Л < 0 подчинена втулочной связи: р,1^0)}= h, у„еС*°(дО), heC2"(8D). Тогда, если /„>0, то существует точно счетное множество значений

при таких что при заданном

поверхность F допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию класса С'°(о}о<а<1 для любой функции h класса

то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи поверхность является

нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи поверхность допускает бесконечно малые ARG-

деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию

В §1.7 изучается поведение поверхности при втулочной связи относительно бесконечно малых AG-деформаций (Я^)-

Теорема 4. Пусть F - (т+1)-связная (fri>0) поверхность положительной гауссовой кривизны заданная

уравнением г = {x,y,f(x,y)}, МеА f&C"{p\ 0<а<1 С краем дF

класса расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых AG-деформациях подчинена втулочной связи:

то существует точно счетное множество значений при

таких что при заданном поверхность F допускает

единственную бесконечно малую AG-деформацию класса С'°(й][ 0<сг<1 для любой функции h класса Cla(8D)- Если /j = fji(k = 1,2,...)> то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи поверхность является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых AG-деформаций отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи поверхность

допускает бесконечно малые AG-деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h

Во второй главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в конформно евклидовых римановых пространствах при втулочных связях на краю.

Первые три параграфа главы 2 посвящены описанию основных характеристик, связанных с конформно евклидовыми римановыми пространствам и типа L? и с поверхностям и Fв указанном пространстве.

Рассматривается конформно евклидово риманово пространство R3, заданное метрикой:

где

Эти пространства включают пространство Лобачевского для которого £(z) = -i-, 2 > 0> поэтому их называем пространствам и типа О.

В § 2.4 вводится понятие бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в римановом пространстве и понятия, связанные с ним (вариация тензорной величины, сферический образ поверхности и др.)

В § 2.5 исследуется регулярность поля смещения Ц' бесконечно малой ARG-деформации поверхности F.

Теорема 5. Пусть конформно евклидово пространство типа I? с метрикой: ds1 = + dy1 + dz3\ £(z)>0, £(l)=l, £'(г)*0

удовлетворяет условию: £(г)еС'°, 0<«<1- Далее предполагаем, что (и+1 )-связная {»£0) поверхность F в пространстве тип^, задана уравнением и имеет

положительную внешнюю кривизну К^ к0 >0, к„ = const • Тогда поле смещения U'(x,y) бесконечно малой ARG-деформации принадлежит классу C2°(D).

В § 2.6 вводится в рассмотрение внешняя связь обобщенного скольжения вдоль края поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа

Пусть вдоль края поверхности F задано регулярное тензорное поле афГ1^ *0- Будем говорить, что поверхность Fs конформно евклидовом пространстве типа подчинена вдоль края условию обобщенного скольжения относительно тензорного поля если поле

смещения U' бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет условию:

где А-заданная функция.

При этом, если где nl - тензор единичной нормали к

втулке на которой лежит край поверхности F, то условие обобщенного скольжения (5) вдоль края 8F является условием втулочной связи.

В § 2.7 найдены условия корректности втулочной связи поверхности вдоль края при бесконечно малых ARG-деформациях.

Теорема 6. Пусть односвязная поверхность F в конформ но евклидовом пространстве типа положительной внешней кривизны задана уравнением Тогда втулочная связь:

является корректной в классе в отношении

бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности при выполнении следующих требований: 1. Для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз:

При сделанных предположениях, всякое поле смещения у принадлежит классу С1" в замкнутой области Г) и имеет место оценка:

где и', (/ = 1,2) - поля смещения поверхности совместимые с внешней связью аг/,и;1"{}')=к1, С^согиИ.

Некорректные втулочные связи относительно бесконечно малых ЛКО-деформаций в пространстве типа ¿' изучены в §2.8. Рассматривается семейство втулочных связей, каждая связь семейства порождена тензорным полем - заданная фиксированная

функция класса числовой параметр.

Теорема 7. Пусть (т+1 )-связная (т>0) поверхность /•'в конформно

евклидовом пространстве типа 1?, положительной внешней кривизны К ¿к„> 0, к„ = const> задана уравнением z = f(x,y), (x,y)eD, /€C'*(ö) dfeC2",0<a<i- Пусть далее, поверхность F вдоль края соподчинена втулочной связи: a!fU'lß{jtyll)=h, r.eCfa], heC!"{dD), 0<я<1, в

отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X. Тогда,

1. Для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз при

. E'J\ + p2+q! п ,

X < min —--—, уп>0, существует точно счетное множество j } ,

j Я « v w I /Ы

2 Е2Н

значений Q</ii<,fi1 £...<ftk <...., цк ->°о При ¿-*а>;

2. Для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх при

существует точно счетное м ножество

значений

таких, что при заданном поверхность F для любой функции h

класса допускает единственную бесконечно малую ARG-

деформацию класса C'°(ö) 0 < а Ели И = то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи поверхность F является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи поверхность F

допускает бесконечно малые ARG-деформаций лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.

В §2.9 дается распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых AG-деформациях (А-0) поверхности F в конформно евклидовых пространствах типа 1?. Имеет место

Теорема 8 Пусть (т+1 )-связная (т>0) поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа , положительной внешней кривизны задана уравнением Предполагаем далее, что поверхность F вдоль края подчинена втулочной связи:

0<«<1, в отношении бесконечно малых AG-деформаций. Тогда, 1. Для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз при и

у 1 > о, существует точно счетное множество }' |, значений

2. Для поверхности Ж, расположенной выпуклостью вверх при Е'(1)< О и существует точно счетное множество значений

таких, что при заданном ^ цф поверхность Ж допускает единственную бесконечно малую АО-деформацию класса С'°(о) 0<а<1 для любой функции И класса С2 "(50). Е с^^^т о втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи поверхность Ж является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых АО-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (/) ф 0) поверхность Ж допускает бесконечно малые

АО-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию к.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.Т. Фоменко за постановку задач, внимательное руководство и помощь при выполнении работы.

Публикации по теме диссертации

[1] Сидорякина В.В. Бесконечно малые АЯО-деформации поверхностей положительной кривизны при втулочных связях // Тезисы докладов X Международной конференции "Математика. Экономика. Образование". Ростов-н/Д., 2002. С. 141.

[2] Сидорякина В.В. Уравнения бесконечно малых АЯО-деформаций поверхностей положительной кривизны // Сб. науч. тр. VIII Международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства". Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2002. С. 132-136.

[3] Сидорякина В.В. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности положительной кривизны при внешней связи обобщенного скольжения // Сб. науч. тр. VIII Международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства". Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2002. С. 136-140.

[4] Сидорякина В.В. О корректности задачи бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей с краем // Сб. науч. тр. участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-н/Д., 2002. С. 73-75.

[5] Сидорякина В.В. Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в конформно евклидовых пространствах // Сб. науч. тр. "Проблемы нанесения износостойких порошковых покрытий, их прочности и некоторые вопросы физики спекания металлических порошков". Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2003. С. 106112.

[6] Сидорякина В.В. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при условии обобщенного скольжения в конформно евклидовых пространствах // Тезисы докладов V Международной конференции по геометрии и топологии памяти А.В.Погорелова. Черкассы: Изд-во ЧГТУ, 2003. С. 133-134.

[7] Сидорякина В.В. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при условии обобщенного скольжения // Известия высших учебных заведений. Математика. Вып. 11(498). Казань: Изд-во КГУ, 2003. С. 60-66.

[8] Сидорякина В.В. Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях в конформно евклидовых пространствах // Сб. науч. тр. участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-н/Д., 2004. С. 53-55.

Сдано в набор 5.11.04. Подписано в печать 12.11.04 Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100. Заказ № 48

Отпечатано с оригинала-макета в издательско-полиграфическом центре Таганрогского государственного педагогического института 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 46

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сидорякина, Валентина Владимировна

Введение

Глава 1. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем при заданной втулочной связи в евклидовом пространстве F?

§1.1. Предварительные сведения.

§ 1.2. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в Е3. Внешние связи.

§ 1.3. Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в

§ 1.4. Условие обобщенного скольжения вдоль края при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей в Е.

§ 1.5. О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARGдеформациях поверхности в Е?.

§ 1.6. Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей в Е.

§ 1.7. Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых AG-деформациях поверхностей в Ег.

Глава 2. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем при заданной втулочной связи в конформно евклидовом римановом пространстве типа Ьъ

§2.1. Риманово пространство R3.

§ 2.2. Конформно евклидовы римановы пространства типа L

§ 2.3. Поверхности в конформно евклидовом римановом пространстве типа L3.

§ 2.4. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в римановом пространстве/?3.

§ 2.5. Уравнение бесконечно малых ARG-деформаций поверхности в конформно евклидовом пространстве типа L3.

§ 2.6. Втулочные связи поверхностей при бесконечно малых ARGдеформациях в конформно евклидовых пространствах типа L.

§ 2.7. О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARGдеформациях поверхностей в конформно евклидовых пространстах типа L

§ 2.8. Распределение некорректных втулочных связей поверхностей при бесконечно малых ARG-деформациях в конформно евклидовых пространстах типа/,3.

§ 2.9. Распределение некорректных втулочных связей поверхностей при бесконечно малых AG-деформациях поверхности в конформно евклидовых пространствах типа L.

Введение диссертация по математике, на тему "Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при втулочных связях на краю"

Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория бесконечно малых деформаций поверхностей в евклидовом и римановом пространствах. Содержание этой теории составляют различные виды бесконечно малых деформаций, определяемых заданным свойством, связанным с поведением поверхности при ее деформации.

Значительное место в этой теории занимают бесконечно малые изгибания поверхностей, характеризующиеся стационарностью длин кривых на поверхности в начальный момент деформации, а также ареальные, конформные, геодезические и другие виды бесконечно малых деформаций поверхностей.

Бесконечно малые деформации поверхностей, определяемые только нормальными смещениями точек поверхности при ее деформации для поверхностей в римановом пространстве изучены B.Y. Chen and К. Yano и названы нормальными вариациями. В [27] установлено, что для нормальных вариаций поверхностей в римановом пространстве имеет место соотношение, рекуррентное относительно вариации S{d<r) элемента площади da поверхности:

S(da)= lAHcdcj, (1) где Н — средняя кривизна поверхности, с — нормальное смещение точек поверхности при ее деформации, Л = -1.

Бесконечно малые деформации поверхностей, подчиненные условию (1), называют ареально рекуррентными бесконечно малыми деформациями с коэффициентом рекуррентности X или, коротко, AR-деформациями [22].

Как показано в работе [27], поверхности в римановом пространстве допускают нормальные вариации, а потому и AR-деформации, с большим произволом. В частности, B.Y. Chen and К. Yano были найдены необходимые и достаточные условия, при которых нормальные вариации являются изометрическими, конформными или ареальными деформациями.

В книге В.Ф. Кагана [10] рассмотрены деформации поверхностей в евклидовом пространстве, определяемые переходом от данной поверхности к эквидистантным ей поверхностям. Эти деформации также в начальный момент порождают AR-деформации поверхности с коэффициентом рекуррентности Л = -1 и хорошо изучены.

В.Т. Фоменко [23] была сформулирована задача о бесконечно малых деформациях поверхностей в римановом пространстве, при которых поле единичных нормальных к поверхности тензоров в начальный момент деформации переносится вдоль траекторий точек поверхности при ее деформации параллельно в смысле Леви-Чивита. Такие деформации называют G-деформациями поверхности в римановом пространстве.

В работе [25] изучены также бесконечно малые деформации поверхностей в римановом пространстве, которые являются одновременно и AR-деформациями и G-деформациями. Такие бесконечно малые деформации В.Т. Фоменко называет ARG-деформациями поверхностей.

В работе [25], также показано, что поверхности положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве допускают ARGдеформации с достаточно большим произволом. В связи с этим им была поставлена задача нахождения внешних связей, налагаемых на поверхность, которые были бы совместимы с конечным числом линейно независимых ARG-деформаций поверхности. Рассматривается один из видов такой внешней связи, называемый условием защемления поверхности F вдоль края dF. Аналитически это условие записывается в виде: с\ = 0 и относится к числу так называемых условий кинематического типа, в частности, к числу втулочных связей.

Поведение поверхностей в евклидовом пространстве относительно AG-деформаций, то есть ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я = О, при некоторых внешних связях кинематического типа (закрепление поверхности вдоль края относительно заданной плоскости и др.) было изучено В.Т. Фоменко [24], [26], А.В. Забегловым [8], [9], О.Н.Бабенко [2], [3].

Описание поведения поверхности при бесконечно малых ARG-деформациях, подчиненных внешним связям, мы будем проводить, следуя И.Н. Векуа [6], в терминах жесткости или не жесткости поверхности, а описание внешних связей - в терминах корректности или некорректности внешней связи.

Следуя общей идеи И.Н. Векуа, для ARG-деформаций в качестве внешней связи рассматриваем соотношение вида:

Ф°)=Л, (2) где Ua - тензор деформации поверхности, R(ua) - линейный оператор, заданный на краю поверхности, h — заданная функция.

Линейный оператор R(U'), как правило, задается скалярным произведением, поэтому в настоящей работе условие (2) в римановом пространстве с метрическим тензором а^ задается в виде:

R(Ua) s aJJalp = h, где lp - заданное тензорное поле вдоль края поверхности. Выбор таких внешних связей определяется заданием тензорного поля 1Р вдоль края поверхности.

При исследовании бесконечно малых изгибаний поверхности положительной внешней кривизны в книге И.Н. Векуа [6] введено понятие втулочной связи, налагаемой на поверхность F вдоль края dF. Эта связь определяется условием R(ua) = aaf}Ualp = h на dF, где lp есть поле единичных тензоров, являющихся вдоль dF полем нормалей к некоторой поверхности L, содержащей край dF.

Приведем ряд определений, связанных с ARG-деформациями и внешними связями поверхностей.

Определение 1. Поверхность F называется кинематически жесткой или просто жесткой, если любая ее бесконечно малая ARG-деформация является тождественной (то есть, тензорное поле деформации Ua тождественно равно нулю).

Определение 2. Поверхность F называется нежесткой, если среди ее бесконечно малых ARG-деформаций найдется хотя бы одна, отличная от тождественной.

Определение 3. Внешняя связь (2) называется корректной, если для любой функции h существует единственное поле деформации U", удовлетворяющее условию (2), при этом малому изменению функции h (в смысле некоторой нормы) соответствует малое изменение поля U". При h=О внешняя связь (2) в этом случае называется оптимально жесткой.

Определение 4. Внешняя связь (2) называется некорректной, если при кфО поверхность допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию А, а при h=0 поверхность допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной. При h=0 внешняя связь (2) в этом случае называется нежесткой.

В терминах корректности внешних связей в работе В.Т. Фоменко [25] установлено, что условие защемления поверхности вдоль края является корректным в отношении ARG-деформаций, если коэффициент рекуррентности X не попадает на счетное множество {Я,}", значений Л,-. В частности, условие защемления порождает корректную внешнюю связь и оптимальную жесткость поверхности, если А<0.

Целью настоящей работы является исследование поведения поверхности, подчиненной на краю втулочной связи при ARG-деформациях поверхности, нахождение условий, налагаемых на втулочную связь и коэффициент рекуррентности деформации, при выполнении которых втулочная связь является корректной, а также описание распределения некорректных втулочных связей.

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

4. Выделены однопараметрические с параметром //, /i е 91, семейства втулочных связей, порожденных тензорными полями f{ji), таких что каждое из семейств содержит точно счетное множество значений причем при ц, ц * /лк, поверхность допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию, для любой функции А; при ц = (к = 1,2,.) втулочная связь, порожденная полем является некорректной.

Работа состоит из введения и двух глав. Нумерация определений, теорем и формул во введении не соответствует нумерации, используемой в главах.

Перейдем к описанию результатов работы.

В первой главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхности в трехмерном евклидовом пространстве Е3, совместимые с заданной внешней связью.

В дальнейшем считаем, что рассматриваемые поверхности являются (т+1)-связными {т>0), имеют положительную внешнюю кривизну К > кй > 0, кй = const, и в декартовых координатах х, у, z заданы уравнением z=fix,y\ где (х,у)бД feCha{p\ 0 < а < 1, D = D + dD, 3D - граница области Д 3D е С2,а.

В параграфе 1.3 доказывается

Теорема 1. Пусть (/я+1)-связная (т>0) поверхность F положительной гауссовой кривизны K>k0>0,k0= const, заданная уравнением г = {х,у,/(х,у)}9 (x,y)<=D,f gC3"(d), 0<а<1, подвергнута бесконечно малым ARG-деформациям с полем смещения U(x,y). Тогда всякое поле смещения U(x,y) класса С1(р) принадлежит классу C2,"(d), 0<а<1.

В §1.4. изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхности при внешних связях на краю. В качестве внешней связи рассматривается внешняя связь обобщенного скольжения поверхности вдоль края. Перейдем к описанию указанной внешней связи при бесконечно малых ARG— деформациях поверхности.

Определение 5. Пусть вдоль края dF поверхности F задано регулярное векторное поле /, / * О. Будем говорить, что поверхность F подчинена вдоль края dF условию обобщенного скольжения относительно векторного поля /, если поле смещения U бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет условию с/,/)=/г HadF, (3) где h - заданная функция.

Пусть вдоль края dF задано векторное поле /(/) = v + уп,, где v единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Оху, п -единичный вектор нормали поверхности, составляющий с осью Oz острый угол, у - заданная функция, у € С2 ", 0 < а < 1.

Показавыется, что 1{у) всегда можно рассматривать как поле нормалей т к втулке 2 вдоль dF; поэтому условие обобщенного скольжения (3) может рассматриваться, как условие втулочной связи. Верно и обратное утверждение: любая втулочная связь поверхности F представима в виде (3), где l(y)= v + yn.

В параграфе 1.5 изучаются вопросы корректности внешней связи (3) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций поверхности с коэффициентом рекуррентности Л.

Теорема 2. Пусть односвязная поверхность F положительной гауссовой кривизны K>k0>0,k0= const, заданная уравнением г = {jc, у, /(х, >>)}, (x,y)eD, f еСъ'а(р\ 0<а<1, с краем 8F класса С1", расположена выпуклостью вниз и подчинена втулочной связи: (t/,/(/))= h, у е C2 a{dD), Тогда при у < 0 втулочная связь является корректной в классе Сг'а{р) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я, Я < 0. При сделанных предположениях, всякое поле деформации u принадлежит классу с2я в замкнутой области d и имеет место оценка: где ui (7=1,2) - поля деформации поверхности f, совместимые с внешней связью (Uij(y))=ht, C=const.

Замечание. Результат теоремы 2 справедлив для случая Л = 0, у < 0, то есть для втулочных связей: (с/,/(^))=/г в отношении бесконечно малых AG-деформаций.

В § 1.6 описывается распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях.

Рассмотрим семейство втулочных связей, где каждая связь семейства порождена векторным полем из семейства векторных полей: l(ju/0)=v + juy0n, где у0- заданная фиксированная функция класса С2"{до), 0<а<1, (л- числовой параметр, /л е 91. Имеет место

Теорема 3. Пусть F - (тя+1)-связная (т>0) поверхность положительной гауссовой кривизны K>kQ>0,ko = const, заданная уравнением г = {х,у,/(*,>>)}, (х,у)е D, / еС3,а(р), 0<а<1 с краем dF класса С2-", расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых ARG-деформациях с коэффициентом рекуррентности Л, Л <0 подчинена втулочной связи: u,/(//y0))=h, r0eC2"(dD\ heC2"(dD). Тогда, если г0 >0, то существует точно счетное множество {/ик значений

0 < //j < цк<цк оо при к со, таких что при заданном ц Ф , поверхность F допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию класса С1"(р\ 0<а<1 для любой функции h класса C2A{dD). Если ц = /лк (к = 1,2,.), то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (А = 0) поверхность является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи {h Ф О) поверхность допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.

Следствие.Векторное поле L =п предельно для векторных полей l(ju)~ }(jik) = v + jujon » МкУо > 0» при к оо. Втулочная связь

В §1.7 изучается поведение поверхности при втулочной связи относительно бесконечно малых AG-деформаций (Я=0).

Теорема 4. Пусть F - (т+1)-связная (ти>0) поверхность положительной гауссовой кривизны К > ка > 0, = const, заданная уравнением г = {х,у,/{х,у)}> (x,y)eD, f еСЗА(р), 0<а <1 с краем dF класса С2*, расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых AG-деформациях подчинена втулочной связи: (u,l(juy0))= h, уй eC2"(dD), /zeC2>e(dZ)). Тогда, если у0>0, то существует точно счетное множество {/ик}",, значений -1 < //, < fi2 <. < цк <., цк -» оо при оо, таких что при заданном jii, ц Ф /лк, поверхность F допускает единственную бесконечно малую AG-деформацию класса CXa(d\ 0<а<\ для любой функции h класса C2ja(dD). Если ju - цк (к = 1,2,.), то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (/2=0) поверхность является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых AG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h Ф О) поверхность допускает бесконечно малые AG-деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.

•)= h совпадает с условием защемления поверхности вдоль края.

Первые три параграфа главы 2 посвящены описанию основных характеристик, связанных с конформно евклидовыми римановыми пространствами типа I? и с поверхностями F в указанном пространстве.

Определение 6. Конформно евклидово риманово пространство R , заданное метрикой: ds2 = E(z\dx2 + dy2 + dz2), (4) где E{z) > 0, £(l)= 1, Е'{г)ф 0, называем пространством типа L3.

Эти пространства включают пространство Лобачевского для которого

E(z)=\, z> 0. z

В параграфе 2.4 вводятся бесконечно малые ARG-деформации л поверхностей в римановом пространстве R с метрическим тензором атр с помощью следующих определений:

Определение 7. Будем говорить, что деформация {F,} поверхности F сохраняет гауссов образ поверхности F в римановом пространстве R , если единичный касательный бивектор пхр поверхности F для каждой точки М переносится параллельно в смысле Леви-Чивита вдоль траектории 1М точки М при деформации поверхности F.

Определение 8. Будем говорить, что бесконечно малая деформация {Ft} поверхности F сохраняет сферический образ в римановом пространстве R3, если в начальный момент деформации единичный касательный бивектор п* стационарен, другими словами, бесконечно малая деформация есть класс эквивалентных деформаций {Ft} поверхности F для которых def Dnf drip dt для любой точки Мповерхности F в римановом пространстве Л3. 0 t-a 3

Определение 9. Будем говорить, что поверхность F допускает бесконечно малую ареально рекуррентную деформацию с полем смещения UT и коэффициентом рекуррентности X, если вариация элемента площади dcr поверхности F определяется формулой:

S(da) = 2ЛН(афи'V)dcr, где Н - средняя кривизна поверхности F, пр - единичный тензор нормали поверхности F, Х- заданный коэффициент рекуррентности.

Бесконечно малые ареально рекуррентные деформации поверхности F с сохранением гауссова образа поверхности называем бесконечно малыми ARG-деформациями с коэффициентом рекуррентности X в R3.

В §2.5 исследуется регулярность поля смещения Ur бесконечно малой ARG-деформации поверхности F.

-у

Теорема 5. Пусть конформно евклидово пространство типа L с метрикой: ds2 = E(z)(dx2 dy2+dz2\ E(z)> 0, £(l)=l, E'(z)*0 удовлетворяет условию: £(z)eC3ar, 0<a<l. Далее предполагаем, что (Аи+1)-связная (m>0) поверхность F в пространстве типа £3, задана уравнением z = f{x, у), (х, у) е D, f е СХа (d), 0<а<\, и имеет положительную внешнюю кривизну К>к0> 0, k0= const. Тогда поле смещения UT(x,y) бесконечно малой ARG-деформации принадлежит классу c2-°(d).

В § 2.6 вводится в рассмотрение внешняя связь обобщенного скольжения вдоль края 6F поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа Ьъ.

Определение 10. Пусть вдоль края dF поверхности F задано регулярное тензорное поле lp, ajixlp * 0. Будем говорить, что поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа l) подчинена вдоль края dF условию обобщенного скольжения относительно тензорного поля , если поле смещения UT бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет условию: aJJxl' = h на dF, (5) где h - заданная функция.

При этом, если 1р{у)=пгде - тензор единичной нормали к втулке на которой лежит край dF поверхности F, то условие обобщенного скольжения (5) вдоль края dF является условием втулочной связи.

В параграфе 2.7 найдены условия корректности втулочной связи поверхности вдоль края при бесконечно малых ARG-деформациях.

Теорема б. Пусть односвязная поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа Z3, положительной внешней кривизны К > к0 > 0, к0 = const, задана уравнением z = f(x,y), (x,y)^Db f gC3^/)) dF g C2ja, 0 < a < 1. Тогда втулочная связь: a^U'l"(y)=h, у g C2a(<3D), hzClA(dD), 0<а<1, является корректной в классе С2*[р) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности Я при выполнении следующих требований:

1. для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз: . E'J\ + p2+q2 Л <mm——-f-—, у< 0;

2 ЕгН

2. для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх: . e'Ji+7+7

Я<тт———f——, ^>0. 2 Е~2Н

При сделанных предположениях, всякое поле смещения UT принадлежит классу С2" в замкнутой области D и имеет место оценка: где UJ, (/ = 1,2) - поля смещения поверхности F, совместимые с внешней связью ajU]lfi (y) = ht, C=const.

Некорректные втулочные связи относительно бесконечно малых ARG-деформаций в пространстве типа L3 изучены в §2.8. Рассматривается семейство втулочных связей, каждая связь семейства порождена тензорным полем lp{juy0)= vp + liyQnp, где у0 - заданная фиксированная функция класса

С2'а {dD), 0 < а < 1, ц - числовой параметр.

Теорема 7. Пусть (/я+1)-связная (т>0) поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа L3, положительной внешней кривизны К > к0 > 0, к0 = const, задана уравнением z = f(x,y), (x,y)eD, f e C3,a (d), dF e C2'a, 0 < a < 1. Пусть далее, поверхность F вдоль края dF подчинена втулочной связи: атриЧ^(/луй)=к, y0&C2'a(dD), heC2a(dD), 0<а<1, в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности Л. Тогда,

1. для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз при . E'zJ\ + p2+q2 , Я < mm —^-5-, у0 > 0, существует точно счетное множество \/лк \к=х,

2 Е~2Н значений 0 < //, < /и2 <. < цк </ик -> оо при к -> оо;

2. для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх при E^l + p2 + q2 ; Хт Л< mm—-з-, у0 < 0, существует точно счетное множество \juk ,

2 Е~2Н значений . < //, < 0, juk —> -оо при £ —» оо; таких, что при заданном //, /л Ф juk поверхность F для любой функции h класса C2tt(5D) допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию класса С1а{р\ 0 <« < 1. Если /л = juk, то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (/г = 0) поверхность F является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h Ф 0) поверхность F допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.

В §2.9 дается распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых AG-деформациях (/1=0) поверхности F в конформно евклидовых пространствах типа L3. Имеет место

Теорема 8. Пусть (т+ 1)-связная (т>0) поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа Z,3, положительной внешней кривизны К > к0 > 0, k0 = const, задана уравнением z = f(x,y), х, y)eD, / g С3,а (d) dF g C2 e, 0 < a < 1. Предполагаем далее, что поверхность F вдоль края dF подчинена втулочной связи: atfiUTlfi(juy0) = h,

0 g С2,а(dD), he С2*(dD), 0<а<1, в отношении бесконечно малых AG-деформаций. Тогда,

1. для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз при E'(z) > 0 и у0 > 0, существует точно счетное множество \рк, значений, 0 < //, < ju2 <. < //t <., /лк->со при оо;

2. для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх при E'{z) < 0 и /„<0, существует точно счетное множество {рк, значений, . < цк < < jux < 0, цк -» -оо при к-> оо; таких, что при заданном /л, // ф /ик, поверхность F допускает единственную бесконечно малую AG-деформацию класса СХа(р\ 0<а< 1 для любой функции h класса C2ja(dD). Если // = //t, то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (h = 0) поверхность F является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых AG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h Ф 0) поверхность F допускает бесконечно малые AG-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.

Исследование рассматриваемых в работе вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа, теорий дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений.

Основные результаты работы опубликованы в [29] — [36] и докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимову, п.Абрау - Дюрсо, РГУ, 5-11.09.2002, 5-11.09.2004;

• Международная школа - семинар молодых ученых «Лобачевские чтения - 2002», г. Казань, КГУ, 28.11-1.12.2002;

• 5 Международная конференция по геометрии и топологии памяти А.В. Погорелова, г. Черкассы, ЧГТУ, 8-13.09.2003;

• Итоговые научные конференции Таганрогского государственного педагогического института (2002-2004 гг.), руководитель проф. В.Т.Фоменко.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Сидорякина, Валентина Владимировна, Таганрог

1. Аминов ЮА. Геометрия подмногообразий. Киев, Наука Думка, 2002.

2. Бескоровайная JI.JL Про нисюнченно Mani деформаци поверхонь, яю вщповщають одному Tinoei безмоменто1 напружено! ривновам навантажено1 оболонки //36. " Друга наукова конференщя молодих математиюв Украши" -Кшв: Наукова Думка. 1966, с. 39-42.

3. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Изд. Моск. ун-ты. - 1989, с. 156.

4. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука - 1988.

5. Гахов В.Д. Краевые задачи. М.: Наука - 1977.

6. Забеглов А.В. AG преобразование поверхностей положительной полной кривизны с заданным изменением первой и второй квадратичных форм поверхности вдоль края //Тезисы докладов конференции по геометрии "в целом" - Черкассы, ЧИТИ - 1999, с. 68-69.

7. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.: ОГИЗ - 1948. - т. 1-2.

8. Климентов С.Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибания поверхностей положительной кривизны //Укр. Геометр, сб. -1986. № 29, с. 56-82.

9. Ладыженская О.А., Уральцева И.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука - 1964.

10. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -М.: изд. иностранной лит. 1957.

11. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.: ОГИЗ - 1947.

12. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Гос. изд. технико-теоретической лит. - 1951.

13. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука -1969.

14. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука -1964.

15. Сабитов И.Х. Бесконечно малые изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Докл. АН СССР 1962. - 147, № 4, с. 793-796.

16. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука - 1979.

17. Схоутен И.А., Стройк Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. М.: изд. научно-теоретической лит. - 1948, т.1.

18. Фоменко В.Т. Об изгибании и односвязной определенности поверхностей положительной кривизны с краем //Мат. сб. 1964. - 63, № 3, с. 409-425.

19. Фоменко В.Т. О бесконечно малых G деформациях поверхностей в римановом пространстве// Сб. науч. работ "Деформации поверхностей с заданным рекуррентным соотношением" - Таганрог, изд. ТГПИ - 1995, с. 6-19.

20. Фоменко В.Т. Некоторые свойства AG-преобразований поверхностей //Сб. науч. Трудов 6 Международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства" Таганрог, изд. ТГПИ-2000, с. 3-5.

21. Fomenro V.T. ARG-deformation of a hypersurface with a boundary in a Remannian spact. Tensor. N.S. Vol. 54(1993), p.p. 28-34.

22. Фоменко В.Т. Распределение нежестких внешних связей обобщенного скольжения. Труды геометрического семинара КГУ, Казань, изд. КГУ, выпуск 24, 2003, с. 169-178.

23. Chen B.Y., Yano К. On the theory of normal variations/ J/ Differential Geometry. 03. Vol. 13 NO. 1978. 1-10.

24. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. M: изд. Иностранной лит. - 1948.

25. Сидорякина В.В. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей положительной кривизны при втулочных связях //Тезисы докладов 10 Международной конференции "Математика. Экономика. Образование." -Ростов-на-Дону. 2002, с. 141.

26. Сидорякина В.В. Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей положительной кривизны //Сб. науч. трудов 8 Международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства" Таганрог, изд. ТГПИ. 2002, с. 132-136.

27. Сидорякина В.В. О корректности задачи бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей с краем //Сб. трудов участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону.-2002, с. 73-75.

28. Сидорякина В.В. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при условии обобщенного скольжения. Научно-теоретический журнал "Известия высших учебных заведений. Математика", вып. 11(498). Изд. КГУ, Казань, 2003, с. 60-66.