Ареально-рекуррентные деформации гиперповерхностей с сохранением их грассманова образа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

: О ин

- 5 ИЮН 1995

На правах рукописи УДК 513.81

БОДРЕНКО АНДРЕЙ ИВАНОВИЧ

АРЕАЛЫЮ-РЕКУРРЕНТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ С СОХРАНЕНИЕМ ИХ ГРАССМАНОВА ОБРАЗА

(01.01.04 - геометрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1995

РГ6 ОД

- 5 ИЮН 1995

Работа выполнена на кафедре дискретной математики Волгоградского государственного университета. Научный руководитель -

доктор физико-математических наук профессор В.Т.Фоменко.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук профессор Ю.Ф.Борисов доктор физ.-мат. наук профессор А.К.Гуц

Ведущая организация -

Российский государственный педагогический университет (г.Санкт-Петербург)

Защита состоится "_"_1995 года в_час.

на заседании специализированного совета К 002.23.02 в Институте математики СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, 90, Университетский преспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "_"_1995 года.

Ученый секретарь специализированного совета к.физ.-мат. наук

В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Изучение свойств деформаций, при которых элемент площади поверхности изменяется по заданному закону, занимает важное место в теории деформаций поверхностей. Деформации поверхностей, при которых элемент площади поверхности не изменяется называются аре-альными деформациями (А-деформациями). Класс А-деформаций шире, чем класс изометрических деформаций. Первые работы, где определены и изучены А-деформации были опубликованы в 19б1-1962гг.

Реферируемая работа посвящена изучению свойств почти ареально-рекуррентных деформаций гиперповерхностей с сохранением их грас-сманова образа в евклидовых пространствах.

В.Т.Фоменко определил и исследовал свойства бесконечно малых АЕС-деформадий, что подтолкнуло к изучению свойств непрерывных и аналитических почти А1Ю-деформаций.

В теории деформаций поверхностей огромное место занимает теория изгибаний поверхностей. Большое место в этой теории занимает изучение связи между изгибаниями(здесь под изгибанием мы понимаем непрерывное изгибание) и б.м. изгибаниями поверхностей.

Известны примеры жестких поверхностей, допускающих непрерывные изгибания. Так, например, из результатов Й.Н.Векуа следует, что полусфера в трехмерном евклидовом пространстве, склеенная с нерастяжимой, абсолютно гибкой нитью и закрепленная в одной точке -жесткая, но в то же время такая поверхность изгибаема.

Результат с подобными свойствами получен в главе 2, где изучаются непрерывные почти А1Ю-деформации замкнутых гиперповерхностей и гиперповерхностей с краем при внешних связях, а именно: показано, что если гиперповерхность является А— жесткой в отношении допустимых б.м. АЛС-деформаций, то при некоторых условиях она допускает непрерывные почти А1Ю-деформации.

Большой интерес представляет изучение аналитических изгибаний поверхностей.

Известна проблема продолжения б.м. изгибаний в аналитические, поставленная С.Э.Кон-Фоссеном, состоящая в следующем. Известно,

что всякое аналитическое изгибание поверхности порождает поле z^ б.м. изгибания поверхности. Возникает вопрос, для всякого ли изгибающего поля ¿(1) поверхности можно указать шля Л(2)> ¿(3),..., такие, чтобы деформация:

00 ь к=1

определяла аналитические изгибания поверхности.

В такой постановке эта задача нашла положительное решения для некоторых классов поверхностей, например, в работах Т.Г.Исанова и С.Б.Климентова. Вопрос о продолжении б.м. изгибаний при внешних связях изучался В.Т.Фоменко и Е.М.Колегаевой.

Поэтому естественно возникает вопрос о постановке аналогичных задач для ARG—деформаций: какова связь б.м. ARG—деформаций и непрерывных почти ARG—деформаций, при каких условиях б.м. почти АЙС—деформация допускает продолжение в аналитическую почти ARG-деформацию. Исследованию данных задач и посвящена настоящая диссертация.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЕЕ НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

В реферируемой работе изучены новые виды деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах.

1. Изучены некоторые свойства непрерывных почти ARG- деформаций замкнутых гиперповерхностей с положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.

2. Изучены некоторые свойства непрерывных почти ARG- деформаций при внешних связях гиперповерхностей с краем со строго положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.

3. Исследована проблема продолжения бесконечно малой почти ARG— деформации Замкнутых гиперповерхностей с положительными главными кривизнами в аналитическую почти ARG- деформацию.

4. Исследована проблема продолжения бесконечно малой почти ARG— деформадии гиперповерхностей с краем со строго положительными главными кривизнами в аналитическую почти ARG— деформацию.

5. Изучены некоторые свойства непрерывных почти AR— деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей

замкнутых гиперповерхностей с положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.

6. Изучены некоторые свойства непрерывных почти АЯ- деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей при внешних связях гиперповерхностей с краем со строго положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.

ПРИЛОЖЕНИЯ.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации являются новыми и могут быть применены к дальнейшему исследованию почти ареалыю-рекуррентных деформаций поверхностей в ри-мановых пространствах.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ.

В работе используются традиционные методы геометрии. Существенную роль играет применение неравенства Шаудера для операторов эллиптических типов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Волгоградского госуниверсмтета (19921994), на международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (18-22 августа 1992г.,Казань), на Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (3-8 сентября 1992г., Одесса), на Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам геометрии и анализа.(25.09-2.10 1994г., Абрау-Дюрсо).

ПУБЛИКАЦИИ.

Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, список которых находится в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.

Диссертация содержит 85 страниц текста, состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы в 23 наименования.

Главы имеют следующие названия:

Гл. 1. Вспомогательные результаты из теории операторов эллиптического типа.

Гл. 2. Некоторые свойства непрерывных почти АНО— деформаций.

Гл, 3. О продолжении б.м. почти А1Ю— деформаций в аналитические почти А1Ю— деформации.

Гл. 4. Некоторые свойства непрерывных почти АД— деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор основного содержания диссертации.

Первая глава состоит из 4-х параграфов и содержит результаты по теории операторов эллиптического типа, имеющие вспомогательный характер при решении геометрических задач.

В первом параграфе приводятся основные определения и обозначения, связанные с теорией функций пространства Гельдера. Во втором параграфе доказываются некоторые свойства решения операторного уравнения^/ = /// -Ь 7, а именно: доказываются оценки норм этих решений в пространстве Гельдера, важные для исследования геометрических задач. В третьем и четвертом параграфе исследуется разрешимость некоторых краевых задач.

Глава 2 посвящена исследованию свойств непрерывных почти ЛЯС-деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах. Глава 2 состоит из четырех параграфов. В первом параграфе опере-деляются непрерывные почти А ДС—деформации замкнутых гиперповерхностей и гиперповерхностей с краем в евклидовых пространствах. Формулируются основные результаты главы.

Рассмотрим деформацию {/•(},< > 0, Ро = гиперповерхности Р £ С3,\ з 6 (0,1), определяемую уравнениями: у* = уа + а = 1,в + 1, где (уа)— точка гиперповерхности F. га - тензорное поле деформации гиперповерхности - параметр деформации. Пусть дана функция 7(, непрерывная по У< > 0 : 7< 6 С0,'(^), 7о = 0. Деформацию {^}(е[о,10) назовем допустимой непрерывной почти ареально- рекуррентной ¿-деформацией с коэффициентом рекуррентности А, если поле деформации г" непрерывно по I, его касательная и нормальная составляющая принадлежат, соответственно, классам и С2,'(Р), и выполнены условия:

1) Изменение Д((^сг) элемента площади Аа гиперповерхности F удовлетворяет соотношению:

Д<(<&г) = 2А Нсйа + 2# 7,с*ст,

б

где Л - заданный числовой коэффициент рекуррентности, Н = h\n¡2, hi— средняя кривизна гиперповерхности в точке (у"),с - искомая координата нормальной составляющей поля деформации га: с = 6apzavP, (п*3) - компоненты единичного вектора нормали гиперповерхности в точке (у°).

2) Рассматриваемая деформация является (7—деформацией, т.е. при деформации сохраняется грассманов образ гиперповерхности F в том смысле, что касательные плоскости переносятся параллельно.

Пусть Л - не более чем счетное множество действительных чисел {А,},з = 1,2,... : -1 = Ai < А2 < ..., не имеющее конечных предельных точек.

ТЕОРЕМА 2.1. Для гиперповерхности F с положительными главными кривизнами в Еп+1 существует множество Л такое, что при А ^ Л верно утверждение: для любой заданной функции т< существует такое значение параметра деформации íq, что гиперповерхность F для t G [0, ¿о) допускает непрерывную почти ARG—деформацию с коэффициентом рекуррентности А.

Для гиперповерхности Ф с краем ЭФ рассматриваются деформации при внешних связях.

Рассмотрим граничное условие:

Сщ = #>(1)

функция tp{t), непрерывная по t, Vi > 0 : <p(t) G С2''(дФ), ip(0) = 0.

ТЕОРЕМА 2.2. Для гиперповерхности Ф со строго положительными главными кривизнами в Еп+1 существует множество Л такое, что при А £ Л верно утверждение: для любых заданных функций 71 и <p(t) существует такое значение параметра деформации tо, что гиперповерхность Ф для t € [0,<о) допускает непрерывную почти ARG—деформацию с коэффициентом рекуррентности А, удовлетворяющую краевой задаче (1).

Во втором параграфе выводятся уравнения непрерывных почти ARG—деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах.

В третьем и четвертом параграфах доказываются теоремы второй главы.

Глава 3 состоит из четырех параграфов. В первом параграфе дается определение бесконечно малых почти ARG—деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах. Определяются аналитические почти ARG— деформации гиперповерхностей, стадится задача о продолжении бесконечно малых почти ARG— деформаций гиперповерхностей в аналитические почти ARG— деформации гиперповерхностей.

Рассмотрим деформацию {Fc}, Fü = F, гиперповерхности F, определяемую уравнениями:

„,ог _ „а I от

Уе = У +z(lf>

где - тензорное поле деформации на гиперповерхности F, е > О - малый параметр. Пусть дана функция у £ C°''(F). Деформацию {Fe}, гиперповерхности F назовем допустимой бесконечно малой почти ареально-рекуррентной G-деформацией, с коэффициентом рекуррентности Л, если:

поле деформации zfa такое, что его касательные и нормальные составляющие принадлежат, соответственно, классам C1''(F) и C2,'(F), и выполнены условия:

1) вариация ¿(da) элемента площади da гиперповерхности F удовлетворяет соотношению:

6{dar) = 2HXc{1)da + 2Hjda,

где А - заданный числовой коэффициент рекуррентности, Е = /ii«/2, где h\ - средняя кривизна гиперповерхности F в точке (уа), C(i) = ¿aßZfanß.

2) рассматриваемая деформация является G—деформацией, то есть при деформации сохраняется грассманов образ гиперповерхности F в том смысле, что касательные плоскости переносятся параллельно.

Рассмотрим деформацию {Fe}, Fq = F, с G [0,1) гиперповерхности F, определяемую уравнениями:

00 L

„а _ „а _L V4

Vi ~ У + L z(kf .

Ы1

где z"k) - тензорные поля деформации на гиперповерхности F.

Деформацию {Fr}, г G [0,1) гиперповерхности F назовем допустимой аналитической почти ареально-рекуррентной G-деформацией, с коэффициентом рекуррентности Л, если:

поля деформации такие, что их касательные и нормальные составляющие принадлежат, соответственно, классам Cl*'(F) и C2'"(F), ряды z°k)ek сходятся на промежутке е € [0,1), и выполнены условия:

1) изменение Ac(da) элемента площади da гиперповерхности F удовлетворяет соотношению:

Ac{dcr) = 2H\ccda + 2H^eda,

где Л - заданный числовой коэффициент рекуррентности, ct =

£¡£=1 <Кк)ек, <\к) = ScfiZ^n13.

2) рассматриваемая деформация является G—деформацией, то есть при деформации сохраняется грассманов образ гиперповерхности F в том смысле, что касательные плоскости переносятся параллельно.

Теорема З.1.: Для гиперповерхности F в Еп+1 с положительными главными кривизнами существует множество Л таксе, что при А £ Л верны утверждения:

1) гиперповрехность F допускает единственную бесконечно малую почти ЛДС—деформацию с коэффициентом рекуррентности А.

2) существует такое число М > 0, что для любой функции у, удовлетворяющей условию: |7|fo,» < М гиперповерхность F допускает единственное продолжение бесконечно малой почти ARG—деформации в аналитическую почти AHG—деформацию с коэффициентом рекуррентности А.

Для гиперповерхности Ф с краем дФ рассматриваются деформации при внешних связях.

Для допустимой бесконечно малой почти ARG—деформации гиперповерхности Ф рассматривается следующая краевая задача:

координата нормальной составляющей поля допустимой бесконечно малой почти ARG—деформации гиперповерхности Ф на ЭФ удовлетворяет условию:

со)|9Ф = С2''(ЗФ)(2)

Для допустимой алалитической почти Айв—деформации гиперповерхности Ф рассматривается следующая краевая задача:

координаты нормальных составляющих шлей допустимой аналитической почти А Дв—деформации гиперповерхности Ф на дФ удовлетворяют условию:

«<1)|№ = <р,<р€с2>'(дф)

С(*)|в* = ОД = 2,3, ...(3)

Теорема З.2.: Для гиперповерхности Ф в Еп+1 со строго положительными главными кривизнами существует множество А такое, что при А £ А верны утверждения:

1) гиперповрехность Ф допускает единственную бесконечно малую почти А ДО—деформацию с коэффициентом рекуррентности Л, удовлетворяющую граничному условию (2).

2) существует такое число М > 0, что для любых функций 7 и |р, удовлетворяющих условиям: ['у|фо,л < М |у>|вФ2,» < М гиперповерхность Ф допускает единственное продолжение бесконечно малой почти А1Ю—деформации в аналитическую почти АД(7—деформацию с коэффициентом рекуррентности А, удовлетворяющую граничному условию (3).

Во втором параграфе выводятся уравнения аналитических почти А ДО—деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах.

В третьем и четвертом параграфах доказываются теоремы третьей главы.

В четвертой главе рассматривается следующая задача. Для гиперповерхности с положительными главными кривизнами в Еа+1 рассматривается произвольная (определенного класса гладкости) непрерывная деформация Тогда эта деформация определяет изменение грассманова образа гиперповерхности Г. Требуется построить такую почти А11-деформацию {-£<}<6[а,<0) гиперповерхности Г, чтобы грассманов образ гиперповерхности F изменялся так же, как и при деформации {•Р,(<)}«6[о,4„)- То есть при деформации {^}<6[оа) сохраняется грассманов образ семейства гиперповрехностей {^чфЬерж)*

В первом параграфе дается определение непрерывных почти АИ,-деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей. Формулируются основные результаты главы.

Рассмотрим деформацию > 0, = гиперповерхно-

сти ^, определяемую уравнениями: = уа + г1,..., хя), где г}а -тензорное поле деформации гиперповерхности 1 - параметр деформации.

Деформацию назовем допустимой непрерывной, если поле

деформации т)а непрерывно по при I > 0 :7?а(г) £ С3,*(^).

Рассмотрим деформацию * > 0, ^ = гиперповерхности определяемую уравнениями: = у*ж1,..., ж"), где - тензорное поле деформации гиперповерхности / - параметр деформации.

Пусть дана функция 7<( непрерывная по У< > 0 : 7г е 7о = 0.

Деформацию {¿Ч^ер^о) назовем допустимой непрерывной почти ареально- рекуррентной деформацией с коэффициентом рекуррентности Л, с сохранением грассманова образа семейства гиперповрехпостей если поле деформации га непрерывно по t, его касательная и нормальная составляющая, вычисленные относительно поверхности принадлежат, соответственно, классам С1,'(Е) и С2,г(/Г), и выполнены условия:

1) Изменение А((<1сг) элемента площади йа гиперповерхности удовлетворяет соотношению:

Дг(сИа) = 2\НсЛа +

где А - заданный числовой коэффициент рекуррентности, Н = /1\п/2, /ц — средняя кривизна гиперповерхности в точке (г/а),с - координата нормальной составляющей поля деформации га: с = ЬаргапР, (и'3) -компоненты единичного вектора нормали гиперповерхности в точке (У%

2) Рассматриваемая деформация является деформацией с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей {^(()}(е[о,(„), т.е. при деформации грассмановы образы гиперповерхностей Р\ и ^^ поточечно совпадают.

Пусть Л* - некоторое множество действительных чисел {Л > — 1}, -1 € Л*.

ТЕОРЕМА 4.1. Для гиперповерхности F с положительными главными кривизнами в Еп+1 и семейства гиперповерхностей где ii - некоторое фиксированное число, существует множество Л* такое, что при А £ Л* верно утверждение: для любой заданной функции 7« существует такое значение параметра деформации io < ¿ь что гиперповерхность F для t € [0,îq) допускает непрерывную почти АД—деформацию с коэффициентом рекуррентности А, с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей {fr,(t)}t6[o,t0)-

Для гиперповерхности Ф с краем дФ рассматриваются деформации при внешних связях.

Рассмотрим граничное условие вида:

CtfW =¥><»> (О

где координата нормальной составляющей поля деформации, вычисленной относительно поверхности Фч(ф функция ip{t) непрерывна по t, Vi > 0 : ipt g С2-'(дФ), tp0 = 0.

ТЕОРЕМА 4.2. Для гиперповерхности Ф со строго положительными главными кривизнами в En+i и семейства гиперповерхностей {Ф>у(<)}*е[о,М> где ^ " некоторое фиксированное число, существует множество Л* такое, что при А 0 Л* верно утверждение: для любых заданных функций 7< и <p(t) существует такое значение параметра деформации to < ii, что гиперповерхность Ф для t G [0,¿о) допускает непрерывную почти АД—деформацию с коэффициентом рекуррентности А, с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей {^i;(<)}î€[o,îo)» удовлетворяющую граничному условию (4).

Во втором параграфе выводятся уравнения непрерывных почти AR-деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей в евклидовых пространствах.

В третьем и четвертом параграфах доказываются теоремы четвертой главы.

Основные результаты диссертации содержатся в теоремах 2.1, 2.2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.2.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.Т.Фоменко за постановку задачи и руководство данной работой.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

[1] А.И.Бодренко. О непрерывных почти А ЕС-деформациях гиперповерхностей в евклидовых пространствах. Деп. в ВИНИТИ, 14 е., Ш084-В92, 27.10.92

[2] А.И.Бодренко. Некоторые свойства непрерывных А ЕС-деформаций. Международная научная конференция "Лобачевский и современная геометрия", Тезисы докладов, 4.1, с 15-16, Казань 1992.

[3] А.И.Бодренко. О непрерывных А1Ш-деформациях Республиканская научно-методическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского.Тезисы докладов, 4.1, с 56-57, Одесса 1992.

[4] А.И.Бодренко. О продолжении бесконечно малых почти АНХЗ-деформациий замкнутых гиперповерхностей в аналитические деформации в евклидовых пространствах. Деп. в ВИНИТИ, 30 е., N2419-693, 15.09.93

[5] А.И.Бодренко. О продолжении бесконечно малых почти А11С-деформациий гиперповерхностей с краем в аналитические деформации. Сборник трудов молодых ученых Волгоградского госуниверситета. Волгоград 1993. с.79-80

[6] А.И.Бодренко. Некоторые свойства непрерывных почти АН-деформаций гиперповерхностей с заданным изменением грассманова образа. Сборник научных трудов молодых ученых. Таганрог 1994, с.113-120

[7] А.И.Бодренко. О непрерывных почти АЕ-деформациях с заданным изменением грассманова образа. Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа. Абрау-Дюрсо. М.:"ТВП" Тезисы докладов, с.15-16.

Подписано к печати МН 12*. О 95г. Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 1 п.л.; 0,75 уч.-изд. л. _:_Заказ__Тираж 100 экз__

Отпечатано в Институте математики СО РАН 630090, Новосибирск, 90