AG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях кинематического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Па правах рукописи УДК 513.736

РГ5 ОН

ЯП ПЛ

Бабенко Олеся Николаевна

АС-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ПРИ ВНЕШНИХ СВЯЗЯХ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ТИПА

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2000

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Таганрогского государственного педагогического института.

Научный руководитель:

■заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Фоменко В. Т.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бикчантаев И, А.; доктор физико-математических наук, профессор Шикин Е. В.

Ведущая организация:

Ростове кий государствен н ы й университет

Зашита состоится «¿3 » М.сЬ/гге_____ 2000 г. и часов на заседании диссертационного совета К 053.29.05 при Казанском государственном университете но адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18, КГУ,корп. 2,аул.¿.(У .

С диссертацией можно ознакомиться п научной библиотеке Казанского государственного университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18.

Автореферат разослан « ¿5 » Сктл^л 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

'ММЛЗЧ^ОЗ

Общая характеристика работы.

Актуальность исследования. Одним из важнейших разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформации поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве.

К настоящему времени достаточно полно изучены изометрические деформации поверхностей, называемые изгибаниями, сохраняющие длины дуг всех кривых, лежащих на поверхности. Вопросы изгибаний поверхностей нашли отражение в работах А.Д. Александрова, A.B. Погорелова, Н.В. Ефимова, В.Т. Фоменко, С.Б. Климентова и других авторов. Одним из основных результатов теории изгибания поверхностей является теорема A.B. Погорелова об однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей, а также теорема о существовании изгибаний поверхностей положительной полной кривизны с краем.

Наряду с теорией изгибаний поверхностей в настоящее время значительный интерес представляют исследования более общих форм деформаций поверхностей: деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности, ареальных деформаций, конформных, геодезических и других. Более подробно остановимся на результатах из теории ареальных деформаций и деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности.

Ареальные деформации поверхности, то есть деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности (коротко Л - деформации), рассматривались М.С. Синюковым, J1.J1. Бескоровайнон, Н.В. Дерманец и другими. Основные уравнения бесконечно малых А - деформаций первого порядка в тензорной форме впервые были получены М.С. Синюковым. Им же было указано на возможность применения для бесконечно малых .1 -деформаций теории обобщенных аналитических функции и на возмож-

ность приложения этих деформации в теории оболочек. Впоследствии, Н.В. Дерманец были изучены вопросы продолжения бесконечно малых А -деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны с краем в аналитические.

Вопросы деформаций поверхностей с сохранением поточечно гауссова, или, как иногда говорят, сферического образа (коротко (1 - преобразования) изучались в работах В.Ф. Кагана, Ю.А. Аминова, В.Т. Фоменко и других. Наиболее распространенными преобразованиями, сохраняющими гауссов образ поверхности, являются преобразования гомотетии. К числу а - преобразований относится также переход от данной поверхности к параллельной ей поверхности.

Проблема изучения преобразований двумерных поверхностей в /:'"', которые одновременно являются и Л - преобразованиями и О' - преобразованиями (коротко А(/ - преобразования) возникает при рассмотрении проблемы Минковского, где решается вопрос о существовании и единственности в И* замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной как функцией внешней нормали, заданной на единичной сфере. В такой постановке единственность решения проблемы Минковского означает отсутствие АО - преобразований овалоида, отличных от параллельного переноса.

Известно, что односвязный кусок поверхности положительной гауссовой кривизны допускает А(! - деформации (как бесконечно малые, так и непрерывные).

Бесконечно малые АО - деформации поверхности положительной гауссовой кривизны исследовались в работах В.Т. Фоменко. Им была установлена связь между бесконечно малыми изгибаниями односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны в Л" и бесконечно малыми АО - деформациями этой же поверхности. Доказано, также, что замкнутая

двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны в силу ее жесткости относительно бесконечно малых изгибаний допускает только бесконечно малые АО - деформации, совпадающие с параллельным переносом.

Так как замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны не допускает АО - преобразований, отличных от параллельного переноса, поэтому представляет большой интерес рассмотрение таких преобразований для поверхностей с краем.

Если на поверхность наложить внешнюю связь и отыскивать АО -деформации поверхности , совместимые с этой связью, то вопрос о существовании таких АО - деформаций остается открытым. В настоящее время изучены АО - деформации односвязных поверхностей положительной гауссовой кривизны при задании поведения некоторых геометрических характеристик края поверхности при ее АО - деформации (стационарность линейного элемента вдоль края, стационарность второй квадратичной формы поверхности вдоль края, стационарность кривизны вдоль края и другие). В то же время недостаточно изученными в теории АО - деформаций поверхностей являются внешние связи вида К(51) = от,, где К - линейный аддитивный оператор, заданный на некотором множестве / точек поверхности /*', <7, - заданная на / функция, сг„ = 0. Такие внешние связи были введены И.Н. Векуа в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и названы им внешними связями кинематического типа. Особый интерес представляет рассмотрение корректных и квазикорректных с р степенями свободы внешних связей кинематического типа, характеризующихся тем свойством, что поверхность, подчиненная этим связям, допускает деформации, порождаемые одним или конечным числом р 1 параметров. В связи с этим возникает проблема отыскания внешних связей ки-

нематического типа, которые могут быть описаны в терминах корректности и квазикорректности.

В предлагаемой диссертации изучаются АН - деформации одно-связных поверхностей положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве при внешних связях кинематического типа: условии обобщенного закрепления края поверхности относительно заданной плоскости, условии защемления края, условии обобщенного скольжения.

Целью настоящей работы является выделение класса корректных и квазикорректных связей кинематического типа в отношении АО - деформаций поверхностей (бесконечно малых, непрерывных, аналитических по параметру) и описание поведения поверхностей в отношении АС} - деформаций при этих связях.

Методы исследования. Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

-Установлено, что внешняя связь обобщенного закрепления односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны вдоль края относительно заданной плоскости совместно с условием точечного тина, а также условие защемления края поверхности являются корректными внешними связями в отношении А О -деформаций поверхности (бесконечно малых и непрерывных).

-Найдены условия жесткости и однозначной определенности в - окрестности односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с краем в отношении бесконечно малых и непрерывных Ж/ —деформаций поверхности при указанных выше внешних связях.

-Устамовлено, что внешняя связь обобщенного скольжения описывается в терминах квазикорректности для бесконечно малых и непрерывных АО — деформаций рассматриваемой поверхности.

-Указаны условия, при которых бесконечно малая А(1 - деформация од-носвязной поверхности положительной гауссовой кривизны, подчиненная условию обобщенного закрепления вдоль края, может быть продолжена в аналитическую АО - деформацию при внешней связи обобщенного закрепления края относительно заданной плоскости.

Теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии в «целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях ТГПИ (1997-2000), международной конференции «Ломоносов-2000» (Москва, апрель, 2000г.), на семинаре кафедры геометрии Ростовского государственного университета (руководитель проф. С.Б. Климентов) (май, 2000г.), на шестой международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства» (Таганрог, июнь, 2000г.), на международном школе-семинаре по геометрии и анализу памяти И.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь, 2000г.).

Работа вошла в научно-техническую программу Министерства образования России «Университеты России - фундаментальные исследования» (проект 1686, 1998-1999), а также получила поддержку РФФИ (проект №99-01-00814).

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [1]-[7].

Структура и объем работы. Диссертация содержит 135 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 названий.

- s -

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается выбор и актуальность избранной темы, определяются цели и задачи исследования, его научная новизна, теоретическая значимость, методы исследования, а также дается информация об апробации основных положений и результатах работы.

В первой главе диссертации изучаются бесконечно малые АС! - деформации поверхности /•', совместимые с внешними связями кинематического типа вида R(ii) = <r, где R - линейный аддитивный оператор, заданный на множестве Уточек поверхности /•', н- поле скоростей точек поверхности при бесконечно малой А(! - деформации, а- заданная на множестве '/'функция.

§1 содержит некоторые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

В §2 вводится определение бесконечно малых АН - деформаций поверхности }■'.

Пусть Оху: - прямоугольная декартовая система координат в /:" с базисом { /,./Д ). Будем рассматривать в I:'' односвязную поверхность F положительной гауссовой кршшзны 1С > к0 О, л>, const, с гладким краем гг.

Будем говорить, что поверхност ь /•' удовлетворяет условиям регулярности, если она может быть задана в декартовых координатах .v, у, : уравнением г / (х.у), fx,у) el), /) - плоская область с границей 81), / е

С'"(В), 1)=1) + д1)Л а 1, г/) е С2 ".

Пусть поверхность /•' с радиус-вектором г преобразована в поверхность /•", с радиус-вектором /; = г + , где / - достаточно малое число, г, -

поле смешений точек поверхности /-'при данном преобразовании. Считая I переменным, будем предполагать, что существует предел lim — = /7, называемый полем скоростей деформаций поверхности /«'. Две деформации будем называть эквивалентными, если они имеют одинаковые поля скоростей. Класс эквивалентных деформаций вида г, = г +f и + o(t) будем называть бесконечно малой деформацией поверхности /•'.

Будем рассматривать бесконечно малые деформации поверхности I ' в /;"', подчиненные условиям: 1) вариация S(clcx) элемента площади Ja в любой точке поверхности F равна нулю; 2) вариация Sil единичного вектора нормали п в каждой точке поверхности равна нулю. Первое условие обеспечивает ареальные бесконечно малые деформации поверхности /•'. второе условие означает поточечное сохранение сферического образа поверхности /''при ее бесконечно малой деформации.

Бесконечно малые деформации, удовлетворяющие условиям 1), 2). будем называть бесконечно малыми АО - деформациями поверхности /•', а векторное поле П - полем скоростей точек поверхности F при бесконечно малой АО - деформации. Следуя И.Н. Векуа, поверхность /•' назовем кинематически жесткой относительно бесконечно малых АО - деформаций, если /•' не допускает отличных от нулевого полей скоростей //. В противном случае поверхность назовем кинематически нежесткой.

Далее, в §2 описываются внешние связи кинематического типа.

В §3 выводится уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности.

Доказывается (§4-§6), что нахождение бесконечно малых АО - деформаций поверхности /-'сводится к исследованию разрешимости системы трех дифференциальных линейных уравнений относительно трех искомых функций в односвязной области D. Поля скоростей и бесконечно малых

A(J - деформаций поверхности /''восстанавливаются в классе ли-

бо нредставимы в виде суммы /Т = /Гг + /Т , где /7Г - касательная составляющая поля и класса (''", //„ - нормальная составляющая класса С'2", О <а <1.

В §7 установлено, что внешняя связь обобщенного закрепления поверхности вдоль края относительно заданной плоскости совместно с условием точечного типа является корректной внешней связью в отношении бесконечно малых АС/ - деформаций поверхности, а именно, имеют место Теорема 1.1.

Пусть поверхность /•'односвязна, имеет положительную гауссову кривизну К > Ко 0, к0 = const, и удовлетворяет условиям регулярности. Пусть, далее, поверхность /•' подчинена вдоль края с)/•' условию обобщенного закрепления (и,п ) = <т относительно вертикальной плоскости (-г), где it - поле скоростей точек поверхности при бесконечно малой АС! -деформации, и ={Л,Я,0}, ,-Г Н: ??<), а- заданная функция, и условию скольжения поверхности в некоторой точке Л7«. Л/„ с /•', по прямой (/) с направляющим вектором /I = {А, 0[. Тогда для любой функции а класса F),

О а ' /, поверхность /''допускает единственную бесконечно малую AG -деформацию с полем скоростей и класса ('"". При а г0 поверхность /•', подчиненная указанной внешней связи, не допускает бесконечно малых АС! - деформаций. Теорема 1.2.

Пусть I- - односвязная поверхность положительной гауссовой кривизны К > к„ 0, кц = const, удовлетворяющая условиям регулярности, и касательная плоскость к поверхности не параллельна плоскост и Оху ни в одной точке поверхности /•'. Пусть, далее, поверхность /■' подчинена вдоль края

dF условию обобщенного закрепления (и,к) = сг относительно плоскости (я,): 2 = 0,где к - единичный орт оси Oz, ст- заданная функция, и условию скольжения поверхности в точке Mo £ F по прямой (/) с направляющим вектором к ={0,0,1}. Тогда для любой функции ст класса С1а (г !■'). 0 а ■ 1, поверхность допускает единственную бесконечно малую АО • деформацию с полем скоростей и класса С'"". При сг=0 поверхность /•', подчиненная указанной внешней связи, не допускает бесконечно малых АО - деформаций.

Так как задача о бесконечно малых AG - деформациях поверхности /•' является линейной, то корректность внешней связи вида R (ft) = а означает, что однородная связь (при и = 0) обеспечивает наличие только нулевого поля скоростей й = 0 бесконечно малой АО - деформации поверхности F, и жесткость поверхности в этом случае, по терминологии И.Н. Векуа, является оптимальной, а неоднородная связь (при a * 0) совместима с единственной бесконечно малой АО - деформацией поверхности F для любой заданной функции сг, и потому поверхность, подчиненная этому условию, является нежесткой. Из сказанного следует, что внешние связи, указанные в теоремах 1.1 и 1.2, являются корректными и отношении бесконечно малых АО - деформаций рассматриваемых поверхностен.

В §8 исследуются бесконечно малые АО - деформации при условии защемления поверхности F вдоль края 3F. Доказывается Теорема 1.3.

Пусть F - односвязная поверхность положительной гауссовой кривизны К > к,) > 0, ко = const, удовлетворяющая условиям регулярности. Тогда для любой функции сг класса С2" условие защемления поверхности /•' вдоль края 3F является корректной связью кинематического типа в отношент1

бесконечно малых AG - деформации, причем для поля скоростей <7 = ит + ип касательная составляющая иг принадлежит классу СЛ а, О < а < 1, а нормальная составляющая Пп принадлежит классу ('2".

Если условие защемления поверхности вдоль края таково, что сг = О, то оно обеспечивает жесткость поверхности, при этом жесткость является оптимальной.

В §9 устанавливается, что внешняя связь обобщенного скольжения может быть описана в терминах квазикорректности для бесконечно малых АС! -деформаций поверхности. Справедлива Теорема 1.4.

Пусть /•' - односвязная поверхность положительной гауссовой кривизны К ¿ко 0, к,, = const, удовлетворяющая условиям регулярности. Пусть, далее, вдоль края dF задано переменное векторное поле / = {v, //, 0}, V" + jU" / е(':",0<аг<1. Тогда_ 1) если индекс/; векторного поля 1 в плоскости Оху вдоль границы д1) области 1) удовлетворяет неравенству п < 0, то условие обобщенного скольжения ( и ,/) = у, у е('2м, вдоль dF является квазикорректным в классе Сг~" с (2\п\ + 2) степенями свободы, 2) если индекс п > 0, то внешняя связь не является квази корректной, а именно, однородная связь (/ = 0) совместима с одной линейно-независимой

бесконечно малой AG - деформацией класса С:" поверхности /•', а неоднородная связь (^^0), / е (", совместима в классе ('"" с однопарамет-рическим семейством бесконечно малых Ж/ - деформаций тогда и только тогда, когда у ,у е ('*"", удовлетворяет (2н - I) условиям разрешимости.

Во второй главе диссертации изучаются непрерывные AG - деформации поверхности /■', совместимые с внешними связями вида R(5l) = al,

- п-

где И - линейный аддитивный оператор, заданный на множестве Т точек поверхности /•', г, - поле смещений точек поверхности при непрерывной АО - деформации, ст,- заданная на множестве '/'функция, такая, что <т , а также ее производные по длине дуги края первого, второго и третьего порядков непрерывно зависят от параметра г с (, /«), /„ 0: ст0 з= 0.

В §1 вводится определение непрерывных АО - деформаций поверхности /\

Будем говорить, что поверхность /*' допускает АО - деформации по параметру /, / е (-/0Л) > > 0 > если существует семейство поверхностей {/■',}, зависящих от параметра г, такое что /•' = 1\, и поверхность /•' допускает АО - преобразования в поверхность }■', для любого Л

Пусть поверхность заданная радиус-вектором г, при АО - деформации переходит в поверхность /•'* с радиус-вектором г* = г + :,. Векторное поле 5,, / е (-(„,!„), /„ > 0, назовем полем смещения точек поверхности [•' при ее АО - деформации.

Будем говорить, что поверхность !• допускает непрерывные АО -деформации класса С* "(£>), 0 < от < 1, к> 1, порождаемые параметром I. если:

1) существует семейство полей смещений {г,}, (е{-!(>,10), /0 >0, непрерывно зависящих от параметра I;

2) при / 0 ноля смещений равны нулю;

3) для всех значений параметра I из промежутка / е (-'„,/„), '„ > 0, векторные поля принадлежат классу ('*"(/)), 0 < а < 1, А>1.

Если любое семейство полей смещений {5/, непрерывных АО - деформаций поверхности /•' равно нулю, то поверхность !•' назовем кинема-

шчески жесткой в отношении непрерывных AG - деформаций, в противном случае - нежесткой.

В §2 выводится уравнение AG -преобразований поверхности /■'.

Доказывается (§3-§5), что нахождение AG - преобразований поверхности сводится к решению системы трех дифференциальных квазилинейных уравнений относительно трех искомых функций в области D. Поля смещений z AG - преобразований поверхности !•' принадлежат классу ("{!)), либо представимы в виде суммы г = fr + zn, где zr - касательная составляющая поля г класса С1", г„ - нормальная составляющая класса С2", 0 <а < I.

Далее (§6) изучаются непрерывные AG - деформации поверхности F при условии обобщенного закрепления края поверхности относительно заданной плоскости и условии точечного тина. Используя результаты первой главы, методами функционального анализа, доказывается разрешимость поставленной краевой задачи, и устанавливаются соответствующие теоремы единственности решения этой задачи: Теорема 2.1.

Пусть односвязная поверхность /•' положительной гауссовой кривизны 1С >к,> 0, к„= const, удовлетворяющая условиям регулярности, подчинена вдоль края с"*/-' условию обобщенного закрепления (:,,/> ) - относительно вертикальной плоскости (;г) с вектором нормали И, где if = { А, И, О J, А" ■ В" & 0, о, - заданная функция, такая, что <т,, а также ее производные по длине дуги края до третьего порядка непрерывно зависят от параметра I, I с (-hi. hi) . hi (К и условию скольжения поверхности /•' в некоторой точке Л/0 е /•'по прямой (/) с направляющим вектором И . Тогда существует такое число v„ > 0, зависящее от поверхности /•', что при

IWL, <гг»' ^ a парзметр t порождает единственную непрерывную

AG - деформацию класса С'2", совместимую с заданной внешней связью. Если функция сг sO, то можно указать такую d0- окрестность поверхности F, в которой поверхность кинематически однозначно определена относительно AG - преобразований при указанной внешней связи. Теорема 2.2.

Пусть F - односвязная поверхность, К > 0, ко = const, удовлетворяющая условиям регулярности, и касательная плоскость к поверхности не параллельна плоскости 0ху ни в одной точке поверхности. Пусть, далее, поверхность F подчинена вдоль края 5F внешней связи обобщенного закрепления (:l,k)-al относительно плоскости г = 0, где к ={0,0,1} - единичный орт оси 0г, ег, - заданная функция класса С2 ", 0 а 1, которая вместе со своими производными по длине дуги края до третьего порядка непрерывно зависит от параметра t, t е (-1ц, h>) , <» и условию скольжения поверхности F в некоторой точке А/„ е /■' по прямой (/) с направляющим вектором к. Тогда существует такое число еп > 0, зависящее от поверхности /•', что при ¡¡сг |j2 ^ <£„, параметр t порождает единственную непрерывную AG - деформацию класса Сг'" совместимую с заданной внешней связью. Если функция ег, =0, то можно указать такую с>, - окрестность поверхности /•", в которой поверхность кинематически однозначно определена относительно AG - преобразований при указанной внешне)! связи.

В §7 исследуются непрерывные AG - деформации поверхности У при условии защемления края dF. Имеет место Теорема 2.3.

Пусть односвязная поверхность !•' положительной гауссовой кривизны К > к'ц 0, к0 =- const, удовлетворяющая условиям регулярности, подчинена вдоль края условию защемления (г,, /7 ) = с|, где п - единичный вектор

нормали к поверхности F вдоль д!'\ о, - заданная функция класса С1", 0<а<1, которая вместе со своими производными по длине дуги края первого, второго и третьего порядков непрерывно зависит от параметра /, I с (-to, to), to 0. Тогда существует такое число с„ > 0, зависящее от поверхности /'", что при выполнении неравенства <t*0 , параметр t порождает единственную непрерывную AG - деформацию поверхности /•', совместимую с заданной внешней связью. Причем для поля смещений z, = -,+ ?, касательная составляющая г, принадлежит классу С'", а нор-

(г| <п

мальная составляющая г, принадлежит классу С '2", 0 <а < I.

си

По аналогии с терминологией первой главы настоящей работы, указанные в теоремах 2.1, 2.2, 2.3 внешние связи можно назвать корректными в отношении непрерывных AG - деформаций поверхности /•'.

В §8 установлено, что условие обобщенного скольжения является квазикорректной внешней связю для непрерывных Ж/-деформаций рассматриваемой поверхности. Доказывается 'Георема 2.4.

Пусть F односвязная поверхность положительной гауссовой кривизны К > ко 0, Ко = const, удовлетворяющая условиям регулярности. Пусть поверхность /•' вдоль края dF подчинена условию обобщенного скольжения (г, ,/) = /,, где I - переменное векторное поле, / = {»%//,«), t/2+/r^0, / е ('2", 0 < а < I, у, - заданная функция класса ('2", такая, что у,, а также ее производные по длине дуги края первого, второго и третьего порядков

непрерывно зависят от параметра I, I е ( -/«, /«), !<> О. Пусть, далее, индекс // векторного поля / удовлетворяет неравенству п < О. Тогда существует такое число £0 > 0, зависящее от поверхности, что при ||2 <е0 параметр I порождает АО - деформацию поверхности /•', совместимую с заданной внешней связью. Эта деформация дополнительно зависит от 2(|м| + 1) действительных параметров с;,с?.....с:(:„+п- Если

то при фиксированных Г = Г, с/,с?.....с,-/, с,, /,-.с11п.2 , 7 е(-1о. ¡о), 1п <К

параметр с,-, /е[1, 2(| /г | +!)], порождает непрерывную Л С; - деформацию поверхности совместимую с указанной внешней связью. В случае и > 0 существует ¿> - окрестность поверхности I ', в которой поверхность однозначно определена при однородной внешней связи.

В третьей главе изучаются аналитические по параметру АО - деформации поверхности /•" при условии обобщенного закрепления края сУ-" относительно вертикальной плоскости (,т): ( г,, п ) = <т( , где - поле смещений точек поверхности /•' при аналитической /1 С! - деформации. / е (-/о, /у), 0 < /() < 1, /7 - единичный вектор нормали плоскости (к).

В §1 вводится определение аналитической по параметру АС! - деформации поверхности /•'.

Пусть поверхность !■' с радиус-вектором г допускаем А С} -деформацию по параметру /, / е (-'„,/„), 0 < /0 < 1, в поверхность /•", с

(I) (2) <л>

радиус-вектором =г + 12+12 ? + ... + /" 5 + ... = г + где г, - поле смешений точек поверхности при АС! -деформации, представимое в виде рял;

г, = ^1" : , который сходится для любого значения / е (-/,„/„), 0 </„ < I

4 = 1

Такую деформацию будем называть аналитической АС! -деформацией но-

- IN-

CH

верхности /•' по параметру /, а векторные поля 5 - полями смещений порядка /У при аналитической AG- деформации.

Будем говорить, что поверхность /•' допускает аналитические ЛИ -

СО

деформации класса Г3", 0<а<1,если г е('2" для любого/;, // = 1,2,....

О)

Если при аналитической AG - деформации иоле : в разложении г,

<о

таково, что уравнение = г +/ г задает бесконечно малую AG - деформацию поверхности /•', то будем говорить, что бесконечно малая AG - деформация поверхности /•* продолжима в аналитическую AG - деформацию.

Далее ($ 2,3) выводится уравнение аналитической AG - деформации

СП

поверхности и доказывается, что поля смещений 5 аналитической AG-деформации поверхности восстанавливаю гея в классе Г: ", для любого п,

>I= 1,2.....

D §4 указаны условия, при которых бесконечно малая AG - деформация поверхности, подчиненная условию обобщенного закрепления края ^/•'относительно заданной плоскости, может быть продолжена в аналитическую AG - деформацию при указанной внешней связи. Доказываются Теорема 3.1.

Пусть односвязная поверхность /•' положительной гауссовой кривизны К > кц О, ко = const, удовлетворяющая условиям регулярности, подчинена вдоль края £)/•' условию обобщенного закрепления относительно вертикальной плоскости (/Т) с единичным вектором нормали п = {/¡,/i,0|: ( г, ,il) = <r,. Пусть, далее, функция а, допускает разложение в сходящий-

^ ко in» ,

ся ряд <х, ет - функции класса <" " вдоль края г?/'', /- числовой

н -1

параметр, / с / -1„, /„), 0 < !„ < 1. Тогда существует такое число с , завися-

щее от поверхности /% что если функция а удовлетворяет неравенству а

< ~ , то поверхность /•' допускает аналитическую по параме!ру / п

г.и

АО - деформацию, совместимую с заданной внешней связью, причем при фиксированном I поле смещений 5, принадлежит классу С" ", 0 а I. Указанная аналитическая АО - деформация зависит еще от двух произвольных функций параметра (, порождающих параллельный перенос поверхности }■ вдоль осей Оу, 0:. Теорема 3.2.

Всякое поле скоростей и , й класса С2", 0<а <1, бесконечно малой АО - деформации поверхности /г, удовлетворяющей условиям регулярности, подчиненное внешней связи

(«,/•) =<г , (и,]) |Мл = 0 , (и,к) =0 , (3.10)

где о--функция класса Сг", заданная вдоль края поверхности.

-единичные орты осей Ох,ОууО:, М„ - некоторая точка поверхности допускает продолжение в аналитическую /((/-деформацию поверхности /•' с полем смещений 5, е С2" , совместимую с внешней связью

(5„/)|да=сг|, (3.11)

где 2, =2*1":, г эк, ; еС , а,- заданная функция, а, а.

/7=1

(I) (")

о-эсг, (теС1", ( £(-/„,(„), 0</(|<1 .

Публикацпн по теме диссертации.

[1] Бабенко О.Н. Ареальные преобразования гиперповерхностей в Ii", сохраняющие их грассманов образ // Сб. науч. работ по межвузовской научной программе «Университеты России фундаментальные исследования» - Таганрог, изд. ТГПИ - проект 1686. - 1998. - ч.1. - с. 14-22.

[2] Бабенко О.Н. Бесконечно малые AG - деформации односвязной поверхности положительной кривизны с условием обобщенного закрепления поверхности относительно плоскости вдоль края // Сб. науч. работ по межвузовской научной программе «Университеты России - фундаментальные исследования» - Таганрог, изд. ТГПИ - проект 1686. - 1999. - ч.2. - с.44-49.

[3] Бабенко О.Н. Непрерывные AG - деформации выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Сб. науч. работ преподавателей и аспирантов матем. кафедр ТГПИ - Таганрог, изд. ТГПИ - 1999. - с.20-39.

[4] Бабенко О.Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости // Сб. науч. трудов преподавателей и аспирантов ТГПИ -Таганрог, изд. ТГПИ. - 2000. - с.216-226.

[5] Бабенко О.Н. Непрерывные AG - преобразования выпуклых поверхностей с краевым условием // материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным паукам «Ломоносов». -М.; изд. Московского университета. 2000. вып. 4. с. 318-319.

[6] Бабенко О.Н. Бесконечно малые AG - деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости // Сб. научных трудов шестой международной конференции «математические модели физ. процессов и их свойства» - Таганрог, изд. ТГПИ - 2000. - с. 45-49.

(7) БабенкоО.Н. Аналитические А(! деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости // Тезисы докл. международ, школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова - Ростов-на-Дону, изд. Цетр множительной техники ООО КСС.- 2000 г.- с.20-21.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ АО - ДЕФОРМАЦИИ

ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ВНЕШНИХ СВЯЗЯХ

КИНЕМАТИЧЕСКОГО ТИПА.

§1. Некоторые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

§2. Определение бесконечно малых АО - деформаций поверхности К Описание внешних связей кинематического типа. Основные предположения.

§3. Уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности К.

§4. Уравнение бесконечно мшых АО - деформаций поверхностиТ7для компонент £, 77, ¿Г.

§5. Уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности Р для нормальной компоненты Л.

§6. Уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности Т7 для комплексной функции смещения.

§7. Бесконечно малые АО - деформации поверхности I7 с условием обобщенного закрепления края относительно плоскости и условием точечного типа.

§8. Бесконечно малые АО - деформации поверхности Т с условием защемления края.

§9. Бесконечно малые АО - деформации поверхности И при внешней связи обобщенного скольжения.

ГЛАВАII. НЕПРЕРЫВНЫЕ AG - ДЕФОРМАЦИИ

ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ВНЕШНИХ

СВЯЗЯХ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ТИПА.

§1. Определение непрерывных AG - деформаций поверхности F. Описание внешних связей кинематического типа. Основные предположения.

§2. Уравнение AG - преобразований поверхности F.

§3. Интегро-дифференциальные уравнения

AG - преобразований поверхности F.

§4. Уравнение AG - преобразований поверхности F для нормальной компоненты Л.

§5. Уравнение AG - преобразований поверхности F для комплексной функции смещения.

§6. Непрерывные AG - деформации поверхности F с условием обобщенного закрепления края относительно плоскости и условием точечного типа.

§7. Непрерывные AG - деформации поверхности F с условием защемления края.

§8. Непрерывные AG - деформации поверхности F при внешней связи обобщенного скольжения.

ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКИЕ AG - ДЕФОРМАЦИИ

ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ УСЛОВИИ ОБОБЩЕННОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ КРАЯ ПОВЕРХНОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕРТИКАЛЬНОЙ

ПЛОСКОСТИ.

§ 1. Определение аналитических AG - деформаций поверхности F. Описание внешней связи обобщенного закрепления края поверхности. Основные предположения.

§2. Уравнение аналитических AG - деформаций поверхности F.

§3. Уравнение аналитических AG - деформаций п п п поверхности/7 для компонент Tjп =1,2,.

§4. Аналитические AG - деформации поверхности F с условием обобщенного закрепления края относительно вертикальной плоскости.

Одним из важнейших разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформации поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Под деформацией поверхности F понимают семейство /Ft} преобразований поверхности F в поверхность Ft, зависящее некоторым образом от параметра t, t е (~t0> to), h > 0, так, что F0 = F. Как правило, рассматривают деформации, сохраняющее некоторые наперед заданные свойства поверхности F.

К настоящему времени достаточно полно изучены изометрические деформации поверхностей, называемые изгибаниями, сохраняющие длины дуг всех кривых, лежащих на поверхности. Вопросы изгибаний поверхностей нашли отражение в работах А.Д. Александрова [1], A.B. Погорелова [19], Н.В. Ефимова [8], В.Т. Фоменко [23], С.Б. Климентова [13] и других авторов. Одним из основных результатов теории изгибания поверхностей является теорема A.B. Погорелова об однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей, а также теорема о существовании изгибаний поверхностей положительной полной кривизны с краем [19].

Наряду с теорией изгибаний поверхностей в настоящее время значительный интерес представляют исследования более общих форм деформаций поверхностей: деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности, ареальных деформаций, конформных, геодезических и других.

Более подробно остановимся на результатах из теории ареальных деформаций и деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности.

Ареальные деформации поверхности, то есть деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности ( коротко А - деформации), рассматривались М.С. Синюковым [20], JI.JI. Бескоровайной [3], и другими. Основные уравнения бесконечно малых А - деформаций первого порядка в тензорной форме впервые были получены М.С. Синюковым [20]. Им же было указано на возможность применения для бесконечно малых А - деформаций теории обобщенных аналитических функций и на возможность приложения этих деформаций в теории оболочек. Впоследствии, JI.JI. Бескоровайной было доказано [2], что бесконечно малая А - деформация первого порядка односвязной поверхности S ненулевой гауссовой кривизны К описывает безмоментное напряженное состояние равновесия оболочки со срединной поверхностью S при наличии внешней нагрузки, в выборе которой имеется две степени свободы и наоборот. Там же установлено, что поверхность положительной полной кривизны с краем допускает бесконечно малые А - деформации с произволом в две действительные функции. В работе [4] изучены вопросы продолжения бесконечно малых А - деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны К >к0 > 0, ко = const, с краем в аналитические.

Вопросы деформаций поверхностей с сохранением поточечно гауссова, или, как иногда говорят, сферического образа (коротко G - преобразования) изучались в работах В.Ф. Кагана [12], Ю.А. Аминова [2], В.Т. Фоменко [25] и других. Наиболее распространенными преобразованиями, сохраняющими гауссов образ поверхности, являются преобразования гомотетии. К числу G - преобразований относится также переход от данной поверхности к параллельной ей поверхности [12] (ч.1, §33). В работе [27]

2 3 показано, что двумерная сфера S в Е допускает G - преобразования с произволом в одну действительную функцию двух переменных. Отметим, что соответствие Петерсона двух поверхностей F и F*, рассматриваемое в

30], (с.280-285), является О - преобразованием поверхности Р в поверхность Р*.

Проблема изучения преобразований двумерных поверхностей в Е\ которые одновременно являются и А - преобразованиями и С - преобразованиями (коротко АО - преобразования) возникает при рассмотрении проблемы Минковского, где решается вопрос о существовании и единственности в Е3 замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной как функцией внешней нормали, заданной на единичной сфере. В такой постановке единственность решения проблемы Минковского означает отсутствие АО - преобразований овалоида, отличных от параллельного переноса.

Известно [9], что односвязный кусок поверхности положительной гауссовой кривизны допускает АС - деформации (как бесконечно малые, так и непрерывные).

Бесконечно малые АО - деформации поверхности положительной гауссовой кривизны исследовались в работах В.Т. Фоменко. Так, в работе

26], им установлена связь между бесконечно малыми изгибаниями односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны К >к0> 0, ко = 2 const^ в Е и бесконечно малыми АО - деформациями этой же поверхности, а именно, доказано, что всякое изгибающее поле двумерной поверхности 2 положительной гауссовой кривизны в Е при бесконечно малых изгибаниях поверхности порождает некоторое поле смещений бесконечно малых АО - деформаций этой же поверхности. Справедливо и обратное утверждение. Отсюда следует, что замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны в силу ее жесткости относительно бесконечно малых изгибаний допускает только бесконечно малые АО - деформации, совпадающие с параллельным переносом. В работе [26] доказано так же, что всякая пара поверхностей Ех и /72 положительной гауссовой кривизны, допускающих АО - преобразования друг на друга, порождает бесконечно малую АО - деформацию их срединной поверхности Р. Имеет место и обратное утверждение: всякая бесконечно малая АО - деформация срединной поверхности Р порождает пару поверхностей ^ и Р2, которые допускают АО - преобразования одной поверхности на другую. Отсюда еле

Л«»' дует, что пара изометричных поверхностей ^ и ^ порождает пару поверхностей I') и находящихся в АО - соответствии, и обратно.

Так как замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны не допускает АО - преобразований, отличных от параллельного переноса, то представляет большой интерес рассмотрение таких преобразований для поверхностей с краем.

Если на поверхность ^ наложить внешнюю связь и отыскивать АО - деформации поверхности Р, совместимые с этой связью, то вопрос о существовании таких АО - деформаций остается открытым. Внешние связи, налагаемые на поверхность ^ при ее АО - деформации могут быть весьма разнообразны: склеивание поверхностей [28], втулочные связи на краю поверхности F [24], защемление поверхности вдоль края [31], условия точечного типа [35] и другие. В настоящее время изучены АО - деформации односвязных поверхностей положительной гауссовой кривизны при задании поведения некоторых геометрических характеристик края поверхности при ее АО - деформации (стационарность линейного элемента вдоль края, стационарность второй квадратичной формы поверхности вдоль края, стационарность кривизны края, средней кривизны поверхности вдоль края и др.) [9], [10].

В то же время недостаточно изученными в теории АО - деформаций поверхностей являются внешние связи вида = о, , где К - линейный аддитивный оператор, заданный на некотором множестве Т точек поверхности Т7, сг - заданная на Т функция, сг0 = 0. Такие внешние связи были введены И.Н. Векуа в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и названы им внешними связями кинематического типа. Особый интерес представляет рассмотрение корректных и квазикорректных с р степенями свободы внешних связей кинематического типа, рассмотренных ранее в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [22] и характеризующихся тем свойством, что поверхность, подчиненная этим связям, допускает деформации, порождаемые одним или конечным числом р >1 параметров. В связи с этим возникает проблема отыскания внешних связей кинематического типа, которые могут быть описаны в терминах корректности и квазикорректности. Этим обусловлена актуальность данного исследования.

В предлагаемой диссертации изучаются АО - деформации одно-связных поверхностей положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве при внешних связях кинематического типа.

Целью настоящей работы является выделение класса корректных и квазикорректных связей кинематического типа в отношении АО - деформаций поверхностей (бесконечно малых, непрерывных, аналитических по параметру) и описание поведения поверхностей в отношении АО - деформаций при этих связях.

Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

-Установлено, что внешняя связь обобщенного закрепления односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны вдоль края относительно заданной плоскости совместно с условием точечного типа, а также условие защемления края поверхности являются корректными внешними связями в отношении АО-деформаций поверхности (бесконечно малых и непрерывных).

-Найдены условия жесткости и однозначной определенности в 8 - окрестности односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с краем в отношении бесконечно малых и непрерывных АО-деформаций поверхности при указанных выше внешних связях.

- Установлено, что внешняя связь обобщенного скольжения описывается в терминах квазикорректности для бесконечно малых и непрерывных АО - деформаций рассматриваемой поверхности.

-Указаны условия, при которых бесконечно малая АО - деформация односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны, подчиненная условию обобщенного закрепления вдоль края, может быть продолжена в аналитическую АО - деформацию при внешней связи обобщенного закрепления края относительно заданной плоскости.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии в «целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [31] - [37] и докладывались на итоговых научных конференциях ТГПИ (1997-2000), международной конференции «Ломоносов-2000» (Москва, апрель, 2000г.), на семинаре кафедры геометрии Ростовского государственного университета (руководитель проф. С.Б. Климентов) (май, 2000г.), на шестой международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства» (Таганрог, июнь, 2000г.), на международном школе-семинаре по геометрии и анализу памяти И.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь, 2000г.).

Работа получила поддержку РФФИ, проект №99-01-00814, а также вошла в научно-техническую программу Министерства образования России «Университеты России - фундаментальные исследования», проект 1686, 1998-1999.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 названий.

1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. -М. - Л.: ОГИЗ- 1948.

2. Аминов Ю.А. О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве // Укр. геометр, сб. 1980. -№23.-с. 3-16.

3. Бескоровайная Л.Л. Про нисюнченно мал! деформаци поверхонь, яю вщповщають одному типов! безмоментно! напружено! ривноваги навантажено! оболонки // 36. «Друга наукова конференц!я молодих математиюв Украши». Кшв: Наукова Думка. - 1966. - с. 39-42.

4. Бескоровайная Л.Л., Дерманец Н.В. О продолжении бесконечно малых ареальных деформаций поверхностей // Сб. «Восьмая Всесоюзная научная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии». Тезисы докладов. - Одесса. - 1984,- с. 20.

5. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.: ОНТИ НКТП СССР, гл. ред. общетехнической литературы и номографии - 1935.

6. Векуа H.H. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука -1988.

7. Гахов В.Д. Краевые задачи. М.: Наука - 1977.

8. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей // УМН. 1948. - т. 3, вып.2. - с. 47-158.

9. Забеглов A.B. AG преобразование поверхностей положительной полной кривизны с заданным изменением первой и второй квадратичных форм поверхности вдоль края // Тезисы докладов конференции по геометрии «в целом» - Черкассы, ЧИТИ - 1999. - с. 68-69.

10. Исанов Т.Г. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны // Сиб. мат. ж. 1979. - 20, №6. - с. 1261-1268.

11. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.: ОГИЗ - 1948. - т. 1-2.

12. Климентов С.Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибания поверхностей положительной кривизны // Укр. геометр, сб. 1986. - №29. - с.56-82.

13. Колегаева Е.М., Фоменко В.Т. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей в аналитические изгибания при внешних связях // Мат. заметки. 1989. - т. 45, №2. - с. 30-39.

14. Кон-Фоссен С.Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М.: Физматиз - 1959.

15. Ладыженская O.A., Уральцева И.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука - 1964.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М., изд. иностранной лит. - 1957.

17. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, изд. «Наука» - 1977,- с. 224-235.

18. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. -М.: Наука-1969.

19. Синюков Н.С. О развитии современной дифференциальной геометрии в Одесском государственном университете им. И.И. Мечникова за последние годы // Изв. вузов. Математика 1986. - №1. - с. 69-74.

20. Фоменко В.Т. Распределение нежестких втулочных связей для выпуклой поверхности // Доклады академии наук СССР 1966. - т. 166, №6-с. 1300-1303.

21. Фоменко В.Т. Непрерывные изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Мат. сб. 1979. - 110, №4 - с. 493-504.

22. Фоменко В.Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем // Мат. сб. 1964. - 63, №3. -с. 409-425.

23. Фоменко В.Т. О бесконечно малых G деформациях поверхностей в римановом пространстве //Сб. науч. работ «Деформации поверхностей с заданными рекуррентными соотношениями». - Таганрог, изд. ТГПИ -1995.-с. 6-19.

24. Фоменко В.Т. Некоторые свойства AG преобразований поверхностей // Сб. науч. трудов шестой международной конференции «Математические модели физ. процессов и их свойства» - Таганрог, изд. ТГПИ -2000. - с. 3-5.

25. Фоменко В.Т. Общая формула решений уравнений Петерсона-Кодацци на гиперсфере // Укр. геометр, сб. 1989. - №32 - с. 124-126.

26. Фоменко Л.П. О жесткости одного класса склеенных кусочно-выпуклых поверхностей // Сб. науч. работ по межвузовской науч. программе «Университеты России фундаментальные исследования» - Таганрог, изд. ТГПИ - 1999. - 4.2. - с.50-57.

27. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. -М., гос. изд. физ-мат. лит. 1963. - с. 280-285.

28. Бабенко О.Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Сб. науч. работ преподавателей и аспирантов матем. кафедр ТГПИ - Таганрог, изд. ТГПИ - 1999. - с.20-39.

29. Бабенко О.Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости // Сб. науч. трудов преподавателей и аспирантов ТГПИ -Таганрог, изд. ТГПИ - 2000. - с. 216-226.

30. Бабенко О.Н. Непрерывные AG преобразования выпуклых поверхностей с краевым условием // материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов». -М.; изд. Московского университета. - 2000. - вып. 4. - с. 318-319.