MG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ
|
Жуков, Дмитрий Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Таганрог
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
005048701
Жуков Дмитрий Александрович
МС-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны
01.01.04 - геометрия и топология
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Казань 2012
005048701
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт имени А. П. Чехова» на кафедре алгебры и геометрии.
Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ,
доктор физико-математических наук, профессор Фоменко Валентин Трофимович.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Бикчантаев Ильдар Ахмедович;
Защита состоится 20 декабря 2012 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ауд. 610.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.
Автореферат разослан 3 ноября 2012 года.
Ученый секретарь Липачёв
доктор физико-математических наук, профессор Шикин Евгений Викторович.
Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Южный федеральный
университет».
диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент
Евгений Константинович
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В современной геометрии важным направлением является теория деформаций поверхностей. Существует большое число разновидностей бесконечно малых и непрерывных деформаций, самыми изученными из них являются деформации, сохраняющие длины дуг на поверхности - изгибания. Именно с бесконечно малых изгибаний берет свое начало теория деформаций. Бесконечно малые изгибания получили широкое распространение и развитие в XX веке. Изгибания изучались в работах В. Бляшке, С. Э. Кон-Фоссена, Г. Либмана, Р. Зауера, А. Д. Александрова, А. В. Погорелова, Н. В. Ефимова, В. Т. Фоменко, И. X. Сабитова, С. Б. Климентова, П. Е. Маркова и многих других.
Благодаря тому, что изгибания на данный момент хорошо изучены, актуально изучение деформаций, отличающихся от изгибаний. Перечислим некоторые из них: ареальные (А-деформации), конформные, геодезические, бесконечно малые деформации с сохранением асимптотической сети линий или сети линий кривизны, эквиареальные деформации, бесконечно малые деформации, сохраняющие объект связности, деформации, сохраняющие грассманов образ поверхности (О-деформации), АО-деформации, АКС-деформации. Указанные деформации изучались в работах В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаева, М. С. Синю-кова, С. Г. Лейко, Л. Л. Бескоровайной, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко, В. В. Сидорякиной и многих других.
Одними из актуальных в настоящее время деформаций являются О-деформации, которые, по определению, сохраняют поточечно грассманов образ поверхности. Этот вид деформаций изучался В. Т. Фоменко, И. А. Бик-чантаевым, В. А. Горькавым, ими получен ряд результатов, описывающих свойства О-деформаций двумерных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Вопросами восстановления поверхности по заданному грассманову образу, тесно примыкающими к в-деформациям, занимались Ю. А. Аминов и А. А. Борисенко.
Особый интерес представляет изучение й-деформаций в трехмерном евклидовом пространстве Ег, так как для двумерных поверхностей в Е3 существует широкое множество О-деформаций, отличных от тривиальных. Для того, чтобы их изучать, накладывают дополнительные условия на О-деформации. В случае непрерывных О-деформаций условие накладывают на приращение некоторой функции, а в случае бесконечно малых О-деформаций на вариацию такой функции. Этим способом были введены некоторые виды деформаций, например, АО-деформации (О-деформации, при которых сохраняется элемент
площади поверхности), изучавшиеся в работах В. Т. Фоменко, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко.
В настоящее время представляет интерес изучение обобщений бесконечно малых АО-деформаций. Одним из примеров таких обобщений, изучающихся в настоящее время, являются А1Ю-деформации.
Сохранение элемента площади поверхности эквивалентно равенству нулю вариации гауссовой кривизны, поэтому для дальнейшего изучения нами выбрано условие 5К = а, где ¿К- вариация гауссовой кривизны деформируемой поверхности, а - заданная функция класса 01р, р > 2, на деформируемой поверхности. Известная проблема Минковского состоит в решении вопроса о существовании и единственности замкнутой выпуклой поверхности, которая имеет заданное произведение главных радиусов кривизны (величина обратная гауссовой кривизне), поэтому бесконечно малые в-деформации, при условии 8К = <т, получили название бесконечно малых МО-деформаций.
Исследованию бесконечно малых МО-деформаций поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве посвящена данная диссертация. Эти деформации впервые введены и рассмотрены автором в работах [1], [5] и [7].
Цель работы. Целью данной работы является исследование бесконечно малых МО-деформаций замкнутой выпуклой поверхности 5 положительной гауссовой кривизны и элементарной односвязной поверхности Я положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве с краем при различных условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, а также применение полученных результатов при исследовании других видов деформаций.
Научная новизна диссертации. Научная новизна работы состоит в следующем:
- введено понятие бесконечно малой МО-деформации;
- получена система дифференциальных уравнений, описывающая бесконечно малые МО-деформации;
- доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой МО-деформации с точечной связью для элементарной односвязной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;
- изучены бесконечно малые МО-деформации замкнутой выпуклой поверхности положительной гауссовой кривизны;
- введено понятие бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн;
- получена система дифференциальных уравнений, описывающая этот вид деформаций;
- доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн с точечной связью для элементарной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;
- при доказательстве теорем существования и единственности бесконечно малой О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн использованы результаты полученные при изучении бесконечно малых Мв-деформаций.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы как для дальнейшего изучения бесконечно малых МО-деформаций и бесконечно малых С-дсформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, так и в других исследованиях по геометрии.
Апробация работы. Результаты работы были представлены на международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 17-22 апреля 2011 г.), международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 г.), международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011» (Одесса, 15-28 марта 2011 г.) и XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.).
Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в девяти работах, список которых приводится в конце автореферата. Публикации [1] - [3] осуществлены в журналах, входивших в список ВАК России на момент публикации, работы [5], [6] и [9] опубликованы в материалах международных конференций.
Связь работы с научными проектами и заданиями. Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» (проект
№ 1.423.2011), «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель - Фоменко В. Т.
Структура диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав и списка литературы из 28 названий. Объем диссертации составляет 108 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе диссертации собраны сведения из теории обобщенных аналитических функций, краевых задач для систем уравнений эллиптического типа, а также некоторые свойства вращений векторного поля, необходимые для исследования.
В § 1 описываются все классы функций, используемые в работе, а также связанные с ними понятия. В § 2 описывается понятие сопряженно изометрической системы координат. В § 3 вводится в рассмотрение понятие вычета поверхности относительно поля направлений. Также в третьем параграфе приводятся примеры сетей линий на поверхности и их вычетов. Приведем некоторые
важные определения.
Рассмотрим односвязную поверхность 5 класса П3р ,р> 2, с краем 35
класса С'р,0< р<1, гомеоморфно отображающуюся на плоскую область О.
Положительным направлением обхода контура 35 будем называть направление, оставляющее поверхность слева. Зададим вдоль 35 на поверхности 5 непрерывное поле направлений Я, не имеющее особых точек.
Зададим в некоторой точке 2 кривой 35 направление поля Л стрелкой, выбирая произвольно одну из возможностей. Отметим также в точке Q касательный вектор к кривой 35, направив его в положительном направлении. Обозначим через р угол, отсчитываемый от касательного вектора до стрелки, изображающей направление К, против хода часовой стрелки.
Вычетом поверхности 5 относительно поля направлений Я будем называть число Гй(5) = — Ад;;р, где Л-Ур - приращение угла р, при обходе контура л
35 в положительном направлении.
Четвертый параграф посвящен эллиптическим системам уравнений с частными производными в общем виде и в каноническом виде с коэффициентами класса Ьр, р> 2, и неизвестными функциями и и V. Ввод в рассмотрение неиз-
вестной функции и'(г)=С/ + ¿V , где г = м + /у, /2 =-1, (и,у)е£2 - односвязная область позволяет записать общую систему уравнений в виде одного комплексного уравнения дí^v-q^{z)дzw-q1(z)д:w+A■w+Bw = Р, где А,В,РеЬр, р> 2, функции (Д, с]2 измеримы и (/,(г)| + ;(/2(г)!<(/,, <1. Каноническая система уравнений записывается в виде уравнения д^+Ам+Вуу =Р , где А,В,Ре1р, р> 2. Если правые части комплексных уравнений тождественно равны нулю, то уравнения называют однородными, в противном случае неоднородными.
В § 4 также обсуждается метод построения решений полученных комплексных уравнений, указываются свойства решений, производится запись краевого условия а1! + рУ = у в комплексной форме Ке{Л(г)и<(1)} = у , где Л = <* + //?еСДЭП).
Присоединяем к полученным комплексным уравнениям краевое условие, в результате получаются две краевые задачи Римана-Гильберта. Задача для комплексного уравнения, полученного из канонической системы, называется в работе задачей А, из общей - задачей А, в случае однородных комплексных
уравнений и / = 0, рассматриваемые задачи называются задачами Л и А , соответственно.
В § 5 описывается понятие индекса функции, и приводятся некоторые его свойства.
Индексом функции А будем называть целое число, обозначаемое 1пс/А, равное деленному на 2л приращению аргумента функции 1 при обходе границы ВО. области О в направлении, оставляющем область слева, т. е.
2 л
Основным методом доказательства существования и единственности бесконечно малых МО-деформаций, а также бесконечно малых в-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, является применение признаков разрешимости краевых задач А и А по И. Н. Векуа, которые приводятся в § б в виде теорем 5 и б:
Теорема 5. Если ЬгйХ > 0, то:
1) задачи А и Л имеют (2/пс1Л +1) линейно независимых решений;
2) задачи А и А всегда разрешимы, при этом общее решение задачи А
2/ЛС/Л+1
дается формулой = + ^с^лгДг), где су - произвольные вещественные постоянные, - частное решение неоднородной задачи А, - полная
система решений однородной задачи А, у =1,2,...,(2/жй + 1), решение задачи А зависит от (21пс1А + 1) произвольных вещественных постоянных. Теорема 6. Если 1пс1Я < 0, то:
1) задачи А и А не имеют нетривиальных решений;
2) задача А имеет решение (и притом единственное) тогда и только тогда, когда выполняются (-2ШЛ-\) условий разрешимости;
3) задача А имеет решение (и притом единственное) тогда и только тогда, когда выполняются (-21пс1Л-\) условий разрешимости.
Глава вторая полностью посвящена исследованию бесконечно малых МО-деформаций односвязной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем.
В первом параграфе второй главы вводятся понятия бесконечно малой МО-деформации, векторного поля деформации, заданной на поверхности известной функции а, точечной связи, а также задается регулярность вводимых функций.
Рассмотрим деформацию (е (-*„,*„), /0 > 0, поверхности 5, задавая ее уравнением г, = Ё(и,у,(), где (и,\>)еО., Л(м,у,/) - функция класса й3_р,р> 2, по параметрам м,у и класса С2 по параметру X, Л(и,у,0) = г(и,у).
= от обозначим через у и будем называть вектор-
5Я
Векторное поле —
ным полем деформации. Будем в дальнейшем считать, что у = у(и,у)е03р, р>2. Две деформации называются эквивалентными, если их векторные поля деформаций равны. Каждый класс эквивалентных деформаций будем называть бесконечно малой деформацией поверхности 5.
Определение 1. Бесконечно мачой С-деформацией называется бесконечно малая деформация поверхности 5, при которой поточечно сохраняется сферический образ поверхности 5, аналитически это условие записывается в виде: Зп = 0,
где ёп - вариация единичного вектора нормали поверхности 5. Зададим на поверхности 5 функцию сг е В1р ,р> 2.
Определение 2. Бесконечно малой МС-деформацией называется бесконечно малая О-деформация поверхности Б, при которой выполняется условие: 5К = <7, где 8К - вариация гауссовой кривизны поверхности 5.
Отметим на поверхности 5 точку М0 и потребуем, чтобы точка Ма при деформации смещалась на заданный вектор С, это условие будем называть точечной связью. Аналитически точечная связь записывается в виде:
УШ0) = С. (*)
Во втором параграфе выводится система уравнений, описывающая бесконечно малые МО-деформации поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с точечной связью в трехмерном евклидовом пространстве. Для этого используются известные соотношения, характеризующие бесконечно малые С-деформации: д;у = а*дкг, / = 1,2 , где а) - некоторые скалярные функции от и,\>, применяются деривационные формулы Гаусса и учитывается выбор изометрически сопряженной системы координат. Далее, вводим обозначения и = ~(«22 - а\), V = а?, П = ^(«2 + ), имеем:
дхи - д2у + 2г,2с/ + (Г,2, - Г222)К = а,^,
дги + д,У + 2Г1и + (Гц - Г¡2)Г =
Полученная система уравнешш описывает бесконечно малые МО-деформации, имеет две неизвестных функции V и V. Решив эту систему уравнений, можно однозначно определить вектор деформации у в произвольной
м
точке М поверхности 5 по формуле: у(М) = + С.
Л/0
В третьем параграфе вводятся в рассмотрение краевые условия геометрического типа, налагаемые на край поверхности. Эти условия представляют собой задание вариации некоторого инварианта Р вдоль края поверхности в выбранном направлении Л. После преобразований становится очевидным, что проблема существования бесконечно малой МО-деформации поверхности 5, при условии 5РК = ц/ вдоль края Э5, сводится к исследованию вопроса о разрешимости краевой задачи для системы уравнений бесконечно малых МО-деформаций с краевым условием ЗРК = ц/, где ц/ - заданная функция класса С,,
О < р < 1.
Если вариацию инварианта Р можно представить в виде дР = (сг,1 ау + а]а2 + а:а(р , где щ, а2, а^<р - известные функции класса С,,
0 < р<\ , {^-а^1 + (аг)г (рф 0, то краевое условие 8Рк = ц/ может быть
а ц/
переписано в виде: и (аъ — а,) + Уа2 =—— (а} +а,)н—•
2 К (р
В четвертом параграфе полученная краевая задача записывается в комплексной форме. При этом система уравнений бесконечно малых МО-деформаций записывается в следующем виде: А1тл>+Вхм> = Р , где
Д = 1 (Г,\ -Г12 -н2Г=)-^(ГЛ --, Р = . Краевое условие переписывается в виде: Яе{/иг} = у , где
у = (а, +аЛ + — . Также в четвертом параграфе проверяется выполнение ус-
1 2К 3 1<р
ловие регулярности относительно данных порченной краевой задачи, таким образом устанавливается, что полученная краевая задача есть задача А, формулируются и доказываются две леммы, необходимые для вычисления индексов конкретных краевых условий.
В пятом параграфе доказываются теоремы существования и единственности бесконечно малых МС-деформаций при некоторых краевых условиях. В каждом случае краевое условие приводится к виду, удобному для вычисления индекса, для этого применяются многочисленные свойства индекса и проводятся соответствующие оценки и, наконец, вычисляется индекс, а затем, с помощью теорем 5 и 6, доказываются теоремы 7 - 13 и следствия 1-6.
Зададим на поверхности Я поле направлений К отношением (£://). Отметим на краю поверхности о? произвольно выбранную точку О. Изобразим в этой точке направление К стрелкой.
Теорема 7. Пусть первая квадратичная форма односвязной поверхности 5 вдоль края 95 в направлении Я имеет заданное приращение у при бесконечно малой МО-деформации с точечной связью (*). Тогда: 1) если > -2, то
- при а = 0 и I/' = 0 существует и единственна бесконечно малая МО-деформация поверхности Б, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности 5 в Е3 на заданный вектор С;
- при аф 0 или ц/Ф О бесконечно малая МО-деформация поверхности 5
существует и единственна тогда и только тогда, когда функции а и у/ удовлетворяют (2УК(Б) + 3) условиям разрешимости;
2) если Ук (Б) < -2, то
- при <х = О и I// = 0 существует (- 2 (5) - 3) линейно независимых бесконечно малых МО-деформаций поверхности 5;
- при а Ф О или ц/ф 0 бесконечно малые МО-деформации поверхности 5 существуют и зависят от (-2УК(Б)-3) произвольных вещественных постоянных.
Следствие 1. Пусть первая квадратичная форма односвязной поверхности 5 вдоль края дБ в направлении края имеет заданное приращение у/ при бесконечно малой МО-деформации с точечной связью (*). Тогда:
- при а = О и (// = 0 существует и единственна бесконечно малая МО-деформация поверхности Б, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности Б в Е* на заданный вектор С;
- при а Ф 0 или ц/ Ф 0 бесконечно малая МО-деформация поверхности 5 существует и единственна тогда и только тогда, когда функции а и ц/ удовлетворяют трем условиям разрешимости.
Теоремы 8 — 12 и следствия 2 — 6 устанавливают аналогичные свойства при задании вдоль края 35 поверхности 5 вариаций второй квадратичной формы, нормальной кривизны, четвертой квадратичной формы, сферической кривизны, а также линейной комбинации вариаций первой и второй квадратичных форм. В последнем случае вводятся дополнительные условия на ориентацию поверхности.
Доказана теорема, устанавливающая зависимость бесконечно малых МО-деформаций при задании вдоль края дБ поверхности 5 вариации средней кривизны от вычета поверхности 5 относительно поля главных направлений (обозначим его через УГН(Б)).
Теорема 13. Пусть средняя кривизна вдоль края дБ односвязной поверхности Б имеет заданное приращение у при бесконечно малой МО-деформации с точечной связью (*), а край дБ поверхности 5 не содержит омбилических точек.
Тогда:
1) если У1Н (Б) > -2, то
- при а = О и I// = 0 существует и единственна бесконечно малая МО-деформация поверхности 5, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности £ в Е3 на заданный вектор С;
- при а Ф О или у/Ф О бесконечно малая MG-деформация поверхности S существует и единственна тогда и только тогда, когда функции а и у/ удовлетворяют (2VrH (S) + 3) условиям разрешимости;
2) если Vm(S)<-2, то
- при а = 0 и ц/ = 0 существует (-2VrJf(S)-3) линейно независимых бесконечно малых MG-деформаций поверхности S;
- при сгф 0 или ц/ Ф О бесконечно малые MG-деформации поверхности S существуют и зависят от (-2Vrf£S)-3) произвольных вещественных постоянных.
В третьей главе диссертации исследуются бесконечно малые G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн. Этот тип деформации впервые исследуется в данной работе. Важной особенностью изучения G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн является то, что при доказательстве теорем существования и единственности рассматриваемых деформаций используются результаты, полученные для тех же краевых условий в случае бесконечно малых MG-деформаций. Таким образом, в главе третьей показано применение бесконечно малых MG-деформаций к исследованию другого вида деформаций при найденных краевых условиях.
В начале главы вводится понятие бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн.
Определение 3. Бесконечно малой G-деформацией с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, называется бесконечно малая G-деформация поверхности S, при которой выполняется условие: /л-ЗК + 2Hv ■ SH = 0, где SK - вариация гауссовой кривизны поверхности S, SH - вариация средней кривизны Н поверхности S, /mv - произвольные непрерывные функции параметров (u,v), которые удовлетворяют условиям:
В § 1 выводится система уравнений для данных деформаций:
IdjW + A^v + Blw = -бгП,
Система имеет две неизвестные функции w и П, состоит из двух уравнений, одно из которых является комплексной записью эллиптической системы уравнений в частных производных, а второе выражает линейную зависимость
между № и П. В § 2 система уравнений бесконечно малых О-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн записывается в виде одного уравнения: д¡^v-q^(z)д2^v-q2{z)дгw + A]\v + B^w =0. Во втором параграфе также изучаются условия регулярности коэффициентов данного уравнения.
В § 3 краевое условие геометрического типа, аналогичное рассмотренному в предыдущей главе, записывается для бесконечно малых в-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн. Имеем:
<Р
X = ((А +/3)(а, -«,)+(/, -/3)(я3 + а,))+/((/, +/3)а2 ~/2(а3 +а,)), /,,/2,/3 известные функции. Таким образом, получаем краевую задачу для бесконечно малых в-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, которая является задачей А . Для того чтобы исследовать разрешимость задачи, необходимо вычислить индекс функции х, которая имеет громоздкий вид. Эта трудность, преодолевается при выполнении некоторых условий, а именно, если для данных полученной краевой задачи верно неравенство: -4 а3 а, + > 0, то 1пс1х = 1пс/А, где Л = аъ - а, + /«,.
При выполнении указанных условий, облегчается вычисление индекса функции Этот факт имеет большое значение, так как позволяет доказать теоремы существования и единственности бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью для нескольких краевых условий геометрического типа.
Теорема 14. Пусть первая квадратичная форма поверхности 5 вдоль края дБ в направлении Я имеет заданное приращение ц/ при бесконечно малой О-деформащш с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью (*). Тогда:
1) если Ук (5) > -2. то
- при а = О и у/ = 0 существует и единственна бесконечно малая О-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности 5 в Е3 на заданный вектор С;
- при а Ф О или у/ Ф 0 бесконечно малая С-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5 суще-
ствует и единственна тогда и только тогда, когда функции а и у/ удовлетворяют (2УК(Б) + 3 ) условиям разрешимости;
2) если Ук(Б)<-2, то
- при (т = 0 и (// = 0 существует (-2(^(5)-3) линейно независимых бесконечно малых в-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности Б;
- при а Ф 0 или у/ Ф 0 бесконечно малые в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности Б существуют и зависят от (-2Г/Я(5') - 3) произвольных вещественных постоянных.
Следствие 7. Пусть первая квадратичная форма поверхности 5 вдоль края 55 в направлении края имеет заданное приращение у/ при бесконечно малой О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью (*). Тогда:
- при сг = 0 и !// = 0 существует и единственна бесконечно малая О-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности Б, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности 5 в Ег на заданный вектор С;
- при сг Ф 0 или ц/Ф 0 бесконечно малая в-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5 существует и единственна тогда и только тогда, когда функции а и у/ удовлетворяют трем условиям разрешимости.
Аналогичные факты устанавливаются в теоремах 15 - 19 и следствиях 8 -12 при задании вдоль края дБ поверхности Б в направлении Я вариаций второй квадратичной формы, нормальной кривизны, четвертой квадратичной формы, сферической кривизны, а также линейной комбинации вариаций первой и второй квадратичных форм. В последнем случае вводятся дополнительные условия на ориентацию поверхности.
Доказана теорема, устанавливающая зависимость бесконечно малой О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью от вычета поля главных направлений, при задании вдоль края дБ поверхности 5 приращения средней кривизны.
Теорема 20. Пусть средняя кривизна вдоль края дБ односвязной поверхности 5 имеет заданное приращение у/ при бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью (*), а край дБ поверхности 5 не содержит омбилических точек. И
пусть // Ф 0. Тогда:
1) если УП1 (5) > -2, то
- при а = 0 и цг = О существует и единственна бесконечно малая О-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности 5 в Еъ на заданный вектор С;
- при а Ф О или у/ Ф 0 бесконечно малая О-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5 существует и единственна тогда и только тогда, когда функции а и ц/ удовлетворяют (2УГН (5) + 3) условиям разрешимости;
2) если Уги (5') < -2, то
- при <т = 0 и у/ = 0 существует (-2Гга(5,)-3) линейно независимых бесконечно малых О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5;
- при ст^О или ц/Ф 0 бесконечно малые О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5 существуют и зависят от (-2Угн (5) - 3 ) произвольных вещественных постоянных.
В четвертой главе исследуется бесконечно малая Мв-деформация овалоида .*> класса Э} р,р> 2. Векторное поле МО-деформации у также считается принадлежащим классу Э3р,р>2. Если векторное поле у имеет вид у = С, то
будем говорить, что овалоид является жестким относительно бесконечно малых МО-деформаций.
В первом параграфе комплексное уравнение бесконечно малых МО-деформаций приводится к виду, удобному для изучения овалоида:
д2 й' + - где _ п^/Ё ^ ^ _ дискриминант первой квадра-
тичной формы овалоида ¿>. Во втором параграфе доказывается теорема.
Теорема 21. Для каждой функции а существует единственная бесконечно малая МО-деформация с точечной связью овалоида 5 положительной гауссовой кривизны. Овалоид 5 является жестким относительно бесконечно малых МО-деформаций тогда и только тогда, когда а = 0.
При доказательстве теоремы используются свойства изометрически сопряженной системы координат на плоскости, проводится исследование решения однородного комплексного- уравнения МО-деформаций в окрестности бес-
конечно удаленной точки, применяются свойства обобщенных аналитических функций.
Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В. Т. Фоменко, за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к данной работе.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ
1) введено понятие бесконечно малой МО-деформации;
2) получена система дифференциальных уравнений для бесконечно малых МО-деформаций;
3) найдены условия, которым должны удовлетворять поверхность Я и направление Л, зафиксированное вдоль края, при которых бесконечно малая МО-деформация элементарной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем и точечной связью, при нескольких требованиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, существует и единственна;
4) установлен факт существования и единственности бесконечно малой МО-деформации овалоида положительной гауссовой кривизны для каждой функции а;
5) найдено необходимое и достаточное условие жесткости овалоида положительной кривизны относительно бесконечно малой МО-деформации;
6) введено понятие бесконечно малой О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн;
7) получена система дифференциальных уравнений, описывающая этот вид деформаций;
8) установлены условия для односвязной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем и направления Я, при которых бесконечно малая О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн с точечной связью, при нескольких требованиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, существует и единственна;
9) найдены условия, при выполнении которых, значительно упрощается поиск индекса краевой задачи для бесконечно малых О-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК РФ
1. Жуков, Д. А. О жесткости овалоида относительно бесконечно малых МО-деформаций / Д. А. Жуков // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2010. -Т. 17, вып. 5. - С, 719-720. (0,1 п.л.)
2. Жуков, Д. А. Бесконечно малые МО-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности четвертой квадратичной формы поверхности вдоль края / Д. А. Жуков // Вестник Воронежского государственного университета. - Сер. Физика. Математика. - 2011. - № 2. - С. 85-92. (0,93 п.л.)
3. Жуков, Д. А. Бесконечно малые МО-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности средней кривизны вдоль края / Д. А. Жуков // Научно-технический вестник Поволжья. -2012. -№ 3. - С. 18-25. (0,93 п.л.)
Публикации в других изданиях
4. Жуков, Д. А. О жесткости поверхности, склеенной из кусков поверхностей неотрицательной гауссовой кривизны, относительно бесконечно малых АО-деформаций / Д.А. Жуков // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - Сер. Физико-математические и естественные науки. -Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2010. -№ 1. - С. 5-11. (0,75 п.л.)
5. Жуков, Д. А. МО-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны при условии стационарности второй квадратичной формы вдоль края / Д. А. Жуков // Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011. Физика и математика: сб. науч. тр. по мат. международ, научно-прак. конф. - Одесса: Черноморье, 2011. - Т. 8. - С. 47^18. (0,12 п.л.)
6. Жуков, Д. А. О бесконечно малых МО-деформациях поверхности положительной гауссовой кривизны с краем при условии стационарности нормальной кривизны вдоль края / Д. А. Жуков // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: тезисы докладов международной конференции. - Харьков: Апостроф, 2011. - С. 143— 144. (0,12 пл.)
7. Жуков, Д. А. Бесконечно малые МО-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны с краем при стационарной вдоль края первой квадратичной форме / Д. А. Жуков // Вестник Таганрогского государственного
педагогического института. - Сер. Физико-математические и естественные науки. - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2011. - № 1. - С. 3-9. (0,88 пл.)
8. Zhukov, D. A. On infinitesimal MG-deformations of a surface of positive Gaussian curvature with stationarity of normal curvature along the boundary / D. A. Zhukov // Contemporary problems of mathematics, mechanics and computing sciences / Ed. by N. N. Kizilova, G. N. Zholtkevych. - Kharkov: Apostrof, 2011. -P. 377-384. (0,46 пл.)
9. Жуков, Д. А. О бесконечно малых MG-деформациях поверхности при стационарности средней кривизны вдоль края / Д. А. Жуков // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения: тезисы докладов международной научной конференции. - Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, 2012. - С. 56. (0,1 пл.)
Сдано в набор 29.10.2012. Подписано в печать с оригинал-макета 06.11.2012. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x90 71б. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Уч.-изд. л. 0,9. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 60.
Отпечатано в полиграфичемкой лаборатории Издательства ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» Адрес: 347936, Таганрог, ул. Инициативная, 46.
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 61. РЦ. 09.000.М.002400.08.02 от 05.08.2002.
ВВЕДЕНИЕ.
Глава Т НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Классы функций.
§ 2. Сопряженно изометрическая система координат.
§ 3. Вычет поверхности.
§ 4. Эллиптическая система уравнений с частными производными.
§ 5. Понятие индекса функции и его свойства.
§ 6. Признаки разрешимости краевых задач А и А.
Глава II БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ МО-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ С
КРАЕМ.
§1. Понятие бесконечно малой МО-деформации.
§2. Система уравнений для бесконечно малой МО-деформации.
§3. Бесконечно малые МО-деформации с заданной вариацией инварианта
Р вдоль края.
§4. О разрешимости краевой задачи (2.18) - (2.20).
§5. Бесконечно малые МО-деформации при некоторых краевых условиях.
Глава III БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ й-ДЕФОРМАЦИИ С НУЛЕВОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВАРИАЦИЙ ГАУССОВОЙ И СРЕДНЕЙ
КРИВИЗН.
§ 1. Система уравнений для бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн.
§ 2. Преобразование системы (3.8).
§ 3. Комплексная запись краевого условия.
§ 4. Бесконечно малые в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн при некоторых краевых условиях.
Глава IV БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ МО-ДЕФОРМАЦИИ ОВАЛОИДА.
§ 1. Уравнение бесконечно малых МО-деформаций овалоида.
§ 2. Исследование бесконечно малых МО-деформаций овалоида.
В современной геометрии важным направлением является теория деформаций поверхностей. Существует большое число разновидностей бесконечно малых и непрерывных деформаций, самыми изученными из них являются деформации, сохраняющие длины дуг на поверхности - изгибания. Именно с бесконечно малых изгибаний берет свое начало теория деформаций. Бесконечно малые изгибания впервые появились в конце XIX века в работах Г. Дарбу и Л. Бианки и получили широкое распространение и развитие в XX веке. Так И. Иванова-Каратопраклиева и И. X. Сабитов насчитали более 600 работ, посвященных изгибаниям или бесконечно малым изгибаниям поверхностей и еще несколько сот работ, имеющих близкое отношение к этой теме, написанных только в период с конца 50-х по конец 80-х годов XX века [18]. Изгибания изучались в работах В. Бляшке, С. Э. Кон-Фоссена, Г. Либмана, Р. Зауера, А. Д. Александрова, А. В. Погорелова, II. В. Ефимова, В. Т. Фоменко, И. X. Сабитова, С. Б. Климентова, П. Е. Маркова и многих других.
Повышенный интерес исследователей к изгибаниям объясняется тем, что теория бесконечно малых изгибаний нашла применение в безмоментной теории оболочек [5], что придало дополнительный импульс к развитию этой темы. Теория изгибаний продолжает развиваться и по сей день, например, в работе В. Т. Фоменко [23].
Одновременно с изгибаниями изучались и другие виды бесконечно малых и непрерывных деформаций [8], которые также имеют самостоятельную научную ценность. Благодаря тому, что изгибания на данный момент хорошо изучены, особый интерес представляет изучение деформаций, отличающихся от изгибаний. Перечислим некоторые из них: ареальные (А-деформации), конформные, геодезические, бесконечно малые деформации с сохранением асимптотической сети линий или сети линий кривизны, эквиареальные деформации, бесконечно малые деформации сохраняющие объект связности, деформации сохраняющие грассманов образ поверхности (О-деформации), АО-деформации, АЯС-деформации [2], [17], [21], [25].
Указанные выше деформации изучались в работах В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаева, М. С. Сишокова, С. Г. Лейко, Л. Л. Бескоровайной, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко, В. В. Сидорякиной и многих других.
Рассмотрим подробнее О-деформации, которые, по определению, сохраняют поточечно грассманов образ поверхности [26]. Этот вид деформаций изучался В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаевым [26], В. А. Горькавым [7], ими получен ряд результатов, описывающих свойства О-деформаций двумерных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Вопросами восстановления поверхности по заданному грассманову образу, тесно примыкающими к О-деформациям занимались также Ю. А. Аминов [1] и А. А. Борисенко [4].
В случае двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве существует широкое множество О-деформаций, отличных от тривиальных [7]. Для того, чтобы их изучать, приходится накладывать дополнительные условия на О-деформации. Аналитически этот факт обусловлен тем, что для поверхности положительной гауссовой кривизны изучение О-деформаций сводится к исследованию системы двух дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями, поэтому в решении системы уравнений имеется большой произвол. Один из способов преодоления этой проблемы — введение дополнительного условия. В случае непрерывных О-деформаций условие накладывают на приращение некоторой функции, а в случае бесконечно малых О-деформаций на вариацию такой функции. Этим способом были введены некоторые виды деформаций, например, АО-деформации [17], [25], изучавшиеся в работах В. Т. Фоменко, А. В. Забеглова, О.Н. Бабенко. АО-деформациями называются О-деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности. Эти деформации обладают рядом замечательных свойств, например, векторное поле бесконечно малой AG-деформации является полем вращений бесконечно малого изгибания.
В настоящее время представляет интерес изучение обобщений бесконечно малых AG-деформаций. Одним из примеров таких обобщений, изучающихся в настоящее время, являются ARG-деформации [25].
Сохранение элемента площади поверхности эквивалентно равенству нулю вариации гауссовой кривизны, поэтому для дальнейшего обобщения нами было выбрано условие öK-cj, где 5К - вариация гауссовой кривизны деформируемой поверхности, а - заданная функция класса Dip,p> 2, на деформируемой поверхности. Известная проблема Минковского [22] состоит в решении вопроса о существовании и единственности замкнутой выпуклой поверхности, которая имеет заданное произведение главных радиусов кривизны (величина обратная гауссовой кривизне), поэтому бесконечно малые G-деформации, при условии SK -сг, получили название бесконечно малых MG-деформаций.
Исследованию бесконечно малых MG-деформаций посвящена данная диссертация. Эти деформации впервые введены и рассмотрены автором в работах [11],[12] и [15].
Целыо данной работы является исследование бесконечно малых MG-деформаций замкнутой выпуклой поверхности S положительной гауссовой кривизны и элементарной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем при различных условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, а также применение полученных результатов при исследовании других видов деформаций.
Научная новизна диссертации состоит в следующем:
- введено понятие бесконечно малой MG-деформации;
- получена система дифференциальных уравнений, описывающая бесконечно малые Мв-деформации;
- доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой Мв-деформации с точечной связью для элементарной поверхности £ положительной гауссовой кривизны с краем, при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;
- изучены бесконечно малые Мв-деформации замкнутой выпуклой поверхности положительной гауссовой кривизны;
- введено понятие бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн;
- получена система дифференциальных уравнений, описывающая этот вид деформаций;
- доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн с точечной связью для элементарной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем, при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;
- при доказательстве теорем существования и единственности бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн использованы результаты полученные при изучении бесконечно малых МО-деформаций.
Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы как для дальнейшего изучения бесконечно малых МС-деформаций и бесконечно малых в-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, так и в других исследованиях по геометрии.
Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах [9] - [16] и [28]. Публикации [9], [10] и [15] осуществлены в журналах, входивших в список ВАК России на момент публикации, работы [12] -[14] опубликованы в материалах международных конференций.
Результаты работы были представлены, на международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 17-22 апреля 2011 г.), международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 г.), международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011» (Одесса, 15-28 марта 2011 г.) и XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.).
Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» (проект № 1.423.2011), «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель -Фоменко В. Т.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 28 названий.
1. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. Киев : Наукова думка, 2002. 468 с.
2. Безкоровайна Л. Л. Ареальш нескшченно иши деформаци \ вр1вноважеш стани пружно! оболонки. Одеса : Астропринт, 1999. 168 с.
3. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М. : ГИТТЛ, 1957.231 с.
4. Борисенко А. А. Об однозначной определенности многомерных подмногообразий в евклидовом пространстве по грассманову образу // Математические заметки. 1992. Т. 51, вып. 1. С. 8-15.
5. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М. : Наука, 1988.512 с.
6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Физматгиз, 1958. 544 с.
7. Горькавый В. А. Деформируемость поверхностей Б2 в Е4 с сохранением грассманова образа // Труды конференции «Геометрия и приложения» (13-16 марта 2000 г.). Новосибирск. С. 34-56.
8. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей//УМН. 1948. Т. 3, вып. 2. С. 47-158.
9. Жуков Д. А. Бесконечно малые МО-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности средней кривизны вдоль края // Научно-технический вестник Поволжья. № 3. 2012. С. 18-25.
10. Жуков Д. А. О жесткости овалоида относительно бесконечно малых МО-деформаций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17, вып. 5. С. 719-720.
11. Иванова-Каратопраклиева П., Сабитов И. X. Изгибание поверхностей. 1. // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геометрии / ВИНИТИ. 1991. № 23. С. 131 184.
12. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М. : Физматгиз, 1963. 248 с.
13. Розендорн Э. Р. Теория поверхностей. 2-е изд., перераб. и доп. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. 304 с.
14. Синюков Н. С. О развитии современной дифференциальной геометрии в Одесском государственном университете им. И.И. Мечникова за последние годы //Изв. вузов. Математика. 1986. С. 69-74.
15. Фоменко В. Т. О единственности решений проблем Кристоффеля и Минковского для овалоидов // Сборник научных трудов по межвузовской программе «Университеты России фундаментальные исследования». Таганрог : Изд-во ТГПИ, 1998. Проект 1686. С. 73-95.
16. Фоменко В. Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем. Таганрог : Изд-во ТГПИ, 2011. 74 с.
17. Фоменко В. Т. Об одном аналоге теоремы Зауера // Математические заметки. 2003. Т. 74, вып. 3. С. 463-470.
18. Фоменко В. Т. Распределение нежестких внешних связей обобщенного скольжения в теории бесконечно малых деформаций поверхности // Труды геометрического семинара. КГУ. Казань. 2003. Вып. 24. С. 169-178.
19. Фоменко В. Т., Бикчантаев И. А. Применение обобщенных аналитических функций на римановых поверхностях к исследованию О-деформаций двумерных поверхностей в Ел II Математический сборник. 1988. Т. 136(178), № 4(8). С.561-573.
20. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М. : Физматгиз, 1963. 540 с.
