Некоторые задачи геометрии в целом для замкнутых невыпуклых поверхностей с биективным сферическим отображением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ8 ОД

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 513

МЕНДЕЛЬ ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ В ЦЕЛОЙ Ж ЗАМКНУТЫХ НЕВЫГЮТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С БИЕКТИВНЫМ СФЕРИЧЕСКИМ ОТОБРАЖЕНИЕМ

■ _ 01.01.04 - геометрия и топология .

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук А. Я. БЕРНЕ?

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В. А. ЗАЛГАДЛЕР

кандидат физико-математических наук 5. Д. САПОЖНИКОВ Ведущая организация: МПГУ им. В. И. ЛЕНИНА

у/ О

Защита состоится _ ' '_ 1993 г. в

/ ^"часоа на заседании Специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 138904, С.-Петербург, От. Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, математико-ыехйяический факультет с. -ПГО. Запита будет проходить по адресу: 101011, С.-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27, 3-й этаж, зал 311, С помещение ЛОМЮ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького Петербургского университета, Университетская набережная, 7/3.

3. 0&

Автореферат разослан ^ _1833 г.

Ученнв секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических

наук, доцент Р. А. ШМИДТ

о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ И ЦЕЛЬ РАБОТУ. Замккутна невыпуклыа поверхности с биективным сферическим отображением попали в поле зрения геометров еще в 1937 году, когда А. Д. Александров показал, что при решении, задачи Кристоффеля даке в аналитическом случае монет возникнуть нерегулярная замкнутая гиперповерхность, имеющая особенности тз!па ребер возврата (см.

М).

Позднее А. Л. Ворнер, А. А. Дудкин и В. Г. Шармин в серии работ [2-4] определили класс £ гиперповерхностей с биективным сферическим отображением, имеющих особые компоненты, и исследовали топологическое строение поверхностей этого класса. В частности, для двумерных поверхностей этого класса, имеющих ребрами возврата только регулярные замкнутые кривые (класс В>), было установлено, что связные области неположительной гауссовой кривизны на таких поверхностях всегда двусвязнн.

Тема диссертации относится к крупному и актуальному разделу геометрии "в целом" - теории нерегулярных поверхностей с биективным сферическим отображением, и входит в план научной работа кафедры геометрии ИТ1У им. А. И. Герцена по проблеме "Глобальная геоме.трия погруженных многообразий и пограничные вопросы дифференциальных уравнений",' номер государственной регистрации 79006576 от 9.03.1979 года. Тема диссертации примыкает к исследованиям геомэтров Московского, Харьковского и Новосибирского университетов, ФТИНГа АН Украины.

Целью диссертации является рассмотрение для поверхностей описанных выше классов традиционных задач геометрии "в целом":

задачи Кристоффеля о восташшлешет поверхности по сферическому отображении и сумме главных радиусов кривизна;

задачи Шнковского о восстановлении поверхности по сферическому отображению и гауссовой кривизне; задачи о бесконечно малых изгибаниях. Кроме этого, в Дополнении к диссертации две последние задачи рассматриваются для поверхностей знакопеременной гауссовой кривизны, связанных с исследуемыми поверхностями полярным соответствием.

ШТОДИ ИССЛЕДОВАНИЯ. При доказательства существования и единственности решения задачи Кристоффвля для замкнутых невыпуклых гиперповерхностей используется метод перехода к параллельным выпуклым сзаловдам.

При решении проблемы Минковского и задачи о бесконечно малых изгибаниях исполь^чются метода дифференциальной топологии, в частности исследуются поля асимптотических направлений на изучаемых поверхностях и связанных с ними специальных поверхностях.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Большинство результатов, полученных в работе - новые. В диссертации впервые рассмотрены и решены задачи геометрии "в целом" для нового класса поверхностей. Кроме того, некоторые, ужа известные теоремы доказываются новыми методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по геометрии в РГПУ им. А. И. Герцена в 1987 - 1992 гг., докладывались на Герценовских чтениях в 1990 г., на Всесоюзном совещании молодых геометров, посвященном 80 - летаю со дня рождений Н. в. Ефимова б г. Новороссийске в 1990 г., на Международной конференции по геометрии, посвященной 200 - лэтию со дня рождения Н. И. Лобачевского в О,- Петербурге в 1992 г., на семинаре по геометрии "в целом" под руководством профессора Э. Г. Позняка и доцента И. X. Сабитова в МГУ им. М. В. Ломоносова в 1992 г.. ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С5-83 .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав и Дополнения, разделенных на десять параграфов, и библиографии из 19 названий. Диссертация содержит 69 станиц, имеется б иллюстраций.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы основные результаты и описаны основные методы доказательств.

Глава I. Невыпуклые нерегулярные гиперповерхности с биективным сферическим отображением. Эта глава состоит из трех параграфов. В ней дается

б

определенна классов О и О исследуемых поверхностей, описывается топологическое строение поверхностей этого класса и исследуются некоторые свойства этих поверхностей.

В $ I дается определение исследуемого класса поверхностей. Так как заведомо известно, что поверхности имеют нерегулярные компонента, для определения , касательной гипэрплоскости и нормали к ней в нерегулярной точке, последовательно определяются понятия контингенции поверхности в точке, касания поверхностей и огибающей л- - параметрического семейства гиперплоскостей. Далее поверхность с биективным сферическим отображением определяется как гиперповерхность, которую можно представить как огибающую а - параметрического семейства своих касательных гиперплоскостей. При этом ориентированные нормали гиперплоскостей должны устанавливать взаимнооднозначное сферическое отображение.

В § 2 рассмотрены некоторые, общие свойства поверхностей класса В начале параграфе формулируется и доказывается теорема о существовании параллельного овалоида для поверхностей класса 5. Затем эта теорема используется для нового, доказательства известной теорема о смене порядка свдлообразности 'на особой компоненте невыпуклой замкнутой поверхности с биективным сферическим отражением.'

В { 3 рассматриваются свойства двумерных поверхностей класса Ю . Здесь приводится доказанная в Ш теорема 6 двусвязности гиперболических областей поверхности класса 1?.

Далее доказывается ■ теорема о регулярности сферического изображения регулярного (не имевдего точек возврата) ребра возврата и обратное утверадепие.

Завершается этот параграф формулировками теорем, описывающих свойства полей главных и асимптотических направлена на двумерных поверхностях.

Глава 2. Некоторые задачи геометрии "в целом" для замкнутых нэЕыпуклих гиперповерхностей о биективным сферическим отображением.

В этой главе излагаются основные результаты.

В $ 4 рассматривается задача о восстановлении поверхности

по суше главных радиусов кривизны, как функции нормали (задача Кристоффеля). Доказывается теорема. ТЕОРЕМА 4.1. ■ Существует' единственная с точностью до параллельного переноса гиперповерхность класса (D такая, что в точке с нормалью п суша главных радиусов кривизны равда f(n), где ^(п) - чанная ' двввды дифференцируемая функция, удовлетворящая условию замкнутости:

Доказательство этой теоремы основано на переходе к параллельным Еыпуклым поверхностям и применении достаточных условий Погорелов1: для задачи КристсОДеля.

Б § 5 рассматривается задача Минковского для О -поверхностей. Это задача о восстановлении поверхности по сферическому изображению и гауссовой кривизне. Для рассматриваемых поверхностей ставится задача об единственности решения. (Задача о существовании решения приводит к уравнению Монка - Ампера смешанного типа.) Доказывается теорема. ТЕОРИЙ 5.1. Пусть (FJ и СГа - две аналитические поверхности класса Е> и пусть в точках с одинаковыми нормалями п произведения главных радиусов кривизны этих поверхностей равны. Тогда эти поверхности могут быть сов-чещены параллельным

переносом.

Доказательство проводится методом от противного. При этом рассматривается поверхность, задаваемая разностью вектор-функций поверхностей, указанных в условии теоремы. Доказывается, что эта поверхность имеет односвнзную гиперболическую область, в которой поле ■асимптотических направлений имеет положительный индекс, что противоречит свойствам седловых поверхностей.

В £ 6 ставится задача о бесконечно малых изгибаниях поверхностей класса©.

Под бесконечно малыми изгибаниями поверхности понимается такая деформация поверхности, при которой в начальный момент времени длины кривых на поверхности стационарны. Дифференциальное уравнение звдачи выглядит так:

сЫг=0

где г - вектор-функция, определяющая поверхность, a t -

изгибающее поле этой поверхности.

Доказывается следующая теорема. ТЕОРЕМА 6.1. Аналитическая ИЪ поверхность (Г в классе аналитических изгибающих полей является жесткой.

Доказательство основано на рассмотрении свойств диаграмм вращений, т.е. поверхности, вектор-функция которой является полем вращений для данной поверхности. Для этой поверхности доказывается те же свойства, что и в ТЕОРЕМЕ 3.1.

В ДОПОЛНЕНИИ определяется класс двумерных поверхностей знакопеременной гауссовой кривизны (класс ОО который связан с П>- поверхностями следующим образом:

если взять односвязнуп кошоненту положительной гауссовой кривизны и часть прилегавшей к ней седловой компонента (гомеоморфной трубке) то полярное преобразование этой части поверхности относительно некоторой сферы даст нам поверхность класса К.

Поверхности класса К устроены так: они имеют одиосвяэние компоненты неотрицательной гауссовой кривизны, отделенные от седловых компонент параболическими линиями. При: том параболические линии должны быть замкнутыми гладким! кривыми, а сужение сферического отображения поверхности на эти линии должно устанавливать гомеоморфизм между этими линиями и их сферическим образом.

Для поверхностей класса К доказывается теоремы о жесткости н об однозначной определенности сферическим изображением и гауссовой кривизной, аналогичные ТЕОРЕМАМ 3.1 и 8.1, доказанным для поверхностей класса О.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А. Д. К вопросу о существовании выпуклого тела.

сумма главных радиусов кривизны которого есть данная положительная функция, удовлетворяющая условиям замкнутости //Докл. АН СССР. - 1937. - 14, N 1. - С. 59 - 60.

2. Вернер А. Л., Дудкия А. А, Двусвязность гиперболической области на замкнутой невыпуклой поверхности с биективным сферическим отображением //В сб.: Современная геометрия. Л.; ЛГПИ, 1981, С. 3-8.

3. Дудкин А. А. Замкнутые невыпуклые поверхности с биективным сферическим.отображением, вложенные в Е*//В сб.: Современная геометрия. Л.; ЛГПИ, 1981, С. 19-39.

4 . Шармин В. Г. Замкнутые невыпуклые гиперповерхности с биективным сферическим отображением в Р // В сб.: Глобальная и риманова геометрия. Л.; ЛГПИ, 1983.- 92-96.

5 . Мендель В. В. Бесконечно малые изгибания ЕЬ поверхностей // В сб.: Задачи геометрии "в делом" для погруженных многообразий. о.-Пб.; РГПУ, 1991, С. 97 - 103.

6 . Мендель В. В. Бесконечно малые изгибания и однозначная определенность метрикой II)- поверхностей // Всес. совей, молодых.ученых по дифференц. геометр., посвящ. 80-летив Н. В. Ефимова: Тез. докл. - Ростов-на-Дону, 1990.-С. 68.

7 . Мендель В. В. Задача Кристоффеля для замкнутых невыпуклых поверхностей с биективным сферическим отображением // Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена. - Л.; 1990. - - 8 с. Деп. в ВИШИ АН СССР 14.02.90. N 882 - В90.

8 . Мендель В. В. Однозначная определенность поверхностей класса Ю сферическим отображением и гауссовой кривизной // Хабаровский гос. пед. ин-т.- Хабаровск; 1991.- 6 с. Деп. в ВИШГШ АН СССР 28.06.91, N 2762 - В91.

Работы автора по теме диссертации.