AG-преобразования поверхностей положительной гауссовой кривизны с граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ВРАЩЕНИЯ ВЕК

ТОРНЫХ ПОЛЕЙ

§1. Некоторые классы функций и функциональные пространства.

§2. Свойства операторов Т/, Тх/ в С™(В).

§3. Основная лемма теории обобщенных аналитиче ских функций.

§4. Вращение векторного поля на плоскости.

§5. Изометрически сопряженная система координат.

ГЛАВА 2. О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

§1. Исследование разрешимости краевой задачи А.

§2. Исследование разрешимости краевой задачи Б.

ГЛАВА 3. АО-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ С ГРАНИЧНЫМИ

УСЛОВИЯМИ

§1. Вывод уравнения АО-преобразования.

§2. Некоторые вспомогательные результаты. Индекс поверхности. Свойства функции

§3. Существование нетривиальных Ав-преобразова

Одним из важнейших разделов дифференциальной геометрии является теория отображения поверхностей. Классическим примером отображений является преобразование одной поверхности в другую с сохранением некоторых наперед заданных свойств поверхности. К числу таких преобразований относятся изометрические преобразования поверхностей, преобразование поверхностей с сохранением грассманова образа, ареальные преобразования и другие виды преобразований поверхностей.

Изометрические преобразования характеризуются сохранением при преобразовании поверхности длин всех кривых лежащих на поверхности. К настоящему времени изометрические преобразования достаточно хорошо изучены. Аналитически вопрос об изометрических преобразованиях двумерной поверхности Т7 в трехмерном евклидовом пространстве Е3 можно свести к вопросу разрешимости системы трех квазилинейных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций, рассматриваемых в некоторой плоской области. Одним из основных результатов в теории изометрических преобразований является теорема А.В.Погорелова об однозначной определенности общей замкнутой выпуклой поверхности [16]. Если из замкнутой выпуклой поверхности вырезать некоторый кусок так, чтобы полная кривизна поверхности стала меньшей 4п, то поверхность перестает быть однозначно определенной. Более того, она станет изгибаемой. Однако если на край поверхности наложить некоторую внешнюю связь, то поверхность вновь может стать однозначно определенной. Исследования различного рода внешних 5 связей, налагаемых на край поверхности, при которых она допускает или не допускает изгибания рассматривались различными авторами: В.Т.Фоменко [18]-[20], И.Х. Сабитовым [17], С.Б. Климентовым [13].

Преобразования поверхности с сохранением ее грассманова образа (коротко О-преобразования поверхности) изучались в работах А.А. Борисенко [3]-[4], В.Т. Фоменко [19] и Ю.А. Аминова [1]-[2]. Для двумерной поверхности в Я3 О-преобразование поверхности означает преобразование поверхности с сохранением поточечно ее сферического изображения или, как говорят, ее сферического образа. Аналитически вопрос о О-преобразовании F2 в Е3 можно свести к вопросу о разрешимости системы двух линейных дифференциальных уравнений с тремя неизвестными, рассматриваемыми в некоторой плоской области. В этом случае задача о О-преобразованиях поверхности допускает, вообще говоря, решения с большим произволом. Так любая регулярная замкнутая поверхность положительной гауссовой кривизны допускает О-преобразование на любую другую регулярную замкнутую поверхность положительной кривизны. Такое преобразование можно осуществить, поставив в соответствие точки поверхностей с одинаковыми векторами внешних нормалей. В работе [19], в частности, доказывается, что всякая заданная на единичной сфере 52 функция /, класса С3, порождает отличное от парало лельного переноса О-преобразование двумерной сферы в Е с полем смещения, нормальная составляющая которого совпадает с функцией /.

Ареальные преобразования двумерных поверхностей в Е3 являются частным случаем эквиареальных преобразований, рассмотрен6 ных в книге В.Ф. Кагана [14]. Ареальные преобразования по определению сохраняют площадь любой области на поверхности при ее преобразовании. Такие преобразования называют А-преобра-зованиями. Аналитически А-преобразования двумерной поверхности в Е3 можно свести к одному нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных с тремя неизвестными функциями. Отсюда можно сделать вывод, что всякая поверхность допускает А-преобразование с большим произволом. Вопросы О-преобра-зований и А-преобразований двумерных поверхностей в Е3 возникают при исследовании единственности решения проблемы Минков-ского. Известно, что проблема Минковского заключается в вопросе существования и единственности в Е3 замкнутой двумерной поверхности с заданной гауссовой кривизной как функцией внешней нормали поверхности, заданной на единичной сфере. Отсюда следует, что вопрос единственности решения проблемы Минковского можно интерпретировать как вопрос о существовании О-преобразования замкнутой поверхности с сохранением ее гауссовой кривизны в каждой точке поверхности. Можно показать [7], что сохранение гауссовой кривизны при О-преобразовании поверхности эквивалентно сохранению ее элемента площади в каждой точке поверхности. Следовательно, вопросы единственности решения проблемы Минковского эквивалентны вопросам существования преобразования овалоида с поточечным сохранением его грассманова образа (О-преобразование) и сохранением площади любого его куска (А-преобразование). Преобразования поверхности, являющиеся одновременно А-преобразованиями и О-преобразованиями мы будем называть в дальнейшем АО-преобразованиями поверхности. Так как 7 любые замкнутые поверхности, дающие решение проблемы Мино ковского, отличаются друг от друга на трансляцию в Е [16], то это означает, что замкнутая поверхность положительной полной кривизны не допускает АО-преобразований отличных от параллельного переноса. Таким образом, единственность проблемы Минковского для замкнутых поверхностей положительной гауссовой кривизны дает полное решение относительно АО-преобразований овалоидов. Естественно возникает вопрос единственности решения проблемы Минковского для поверхности с краем. В общем случае поверхность положительной полной кривизны с краем не определена однозначно относительно АО-преобразований. Укажем пример поверхности положительной кривизны с краем, допускающей АО-преобразования в Е3, отличные от параллельного переноса. Рассмотрим, как в работе [12] веретенообразную поверхность вращения ("веретено") постоянной гауссовой кривизны К = +1. Исключим из рассмотрения полюса этой поверхности. Сферическое изображение этой поверхности представляет собой пояс без границы, симметрично расположенный вдоль экватора сферы. Так как сферические изображения пояса и "веретена" поточечно совпадают, а гауссова кривизна поверхностей равна 1, то мы имеем АО-преобразование "веретена" на сферический пояс, отличное от параллельного переноса.

В настоящей диссертации изучаются АО-преобразования одно-связных кусков поверхности положительной гауссовой кривизны с гладким краем. Показано, что если из замкнутой поверхности положительной гауссовой кривизны вырезать сколь угодно малый кусок поверхности с гладким краем, то оставшаяся часть поверхности бу8 дет допускать АО-преобразования, отличные от параллельного переноса с большим произволом.

Целью данной работы является исследование возможности АО-преобразований регулярной односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны при определенных условиях, накладываемых на поведение различных геометрических характеристик края при АО-преобразовании поверхности. Исследование АО-преобразований поверхности положительной гауссовой кривизны с краем осуществляется методами дифференциальной геометрии и аппарата теории обобщенных аналитических функций. Существенными при решении поставленных задач являются решение нелинейных задач с использованием вопросов теории вращения плоского векторного поля.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах:

Выяснено, что всякая поверхность положительной полной кривизны с краем допускает АО-преобразования, отличные от параллельного переноса.

Установлен ряд краевых условий, при которых задача о существовании АО-преобразований, отличных от параллельного переноса, односвязной поверхности с краем положительной гауссовой кривизны имеет решение.

Получены условия однозначной определенности односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с краем в отношении АО-преобразований при внешних связях. К числу таких условий относятся сохранение длины края, его нормальной кривизны, а также сохранения второй квадратичной формы вдоль края. 9

Установлено, что поведение поверхности относительно АО-преобразований при условии стационарности вдоль края средней кривизны поверхности существенно зависит от наличия на поверхности омбилических точек и их индекса относительно линий кривизны.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии в "целом", а также в построении раздела спецкурса по АО-преобразованиям поверхности.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [7]-[11] и докладывались на итоговых научных конференциях Таганрогского госпединститута (1996-1999), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 1998 г.), на семинаре Казанского госуниверситета (сентябрь 1999).

Работа входит в научно-техническую программу министерства образования России (Университеты России - фундаментальные исследования, проект 1686, 1998-2000), а также получила поддержку РФФИ (проект №99-01-00814).

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 20 названий.

1. Аминов Ю.А О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве // Укр. геометр, сб.-1980,-Вып.23.-с.3-16.

2. Аминов Ю.А. Определение поверхности в 4-х мерном евклидовом пространстве по ее грассманову образу // Мат. сб,-1982.-Т.117, №2.-с.147-160

3. Борисенко A.A. Об однозначной определенности многомерных подмногообразий в евклидовом пространстве по грассманову образу //Мат. заметки.-1991

4. Борисенко A.A. Николаевский Ю.А. Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий. / Успехи мат. наук -1991.-Т.46 вып. 2, -с. 41-83

5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции / М.: Физматгиз, 1959.

6. Гахов В.Д. Краевые задачи // М.: Физматгиз, -1963.

7. Забеглов A.B. О связи CG- и AG-преобразований поверхностиположительной полной кривизны в Е II Труды межд. конф. "Математика в индустрии",Таганрог, -1998. изд. ТГПИ -с. 139-140.

8. Забеглов A.B. AG-преобразования поверхности положительной полной кривизны с краем // Тезисы докл. межд. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова Ростов-на-Дону, изд. НЛП Коралл-Микро -1998.-С.29-30.

9. Забеглов A.B. AG-преобразование поверхностей положительной полной кривизны с заданным изменением первой и второй квадратичных форм поверхности вдоль края. // Тезисы докладов конференции по геометрии в "целом" Черкассы, ЧИТИ -1999. -с.68-69.

10. Забеглов A.B. AG-преобразование поверхностей положительной гауссовой кривизны с заданным изменением средней кривизны вдоль края. // Тезисы докладов 5 Межд. конференции "Математические модели физ. процессов и их св-ва" Таганрог. -1999,- с.58-60.

11. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей // М.: ОГИЗ- 1948.-т.1-2.

12. Климентов С.Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибания поверхностей положительной кривизны // Укр. геометр, сб. -1986,- №29. -с.56-82

13. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных задач // М.: Наука -1965.

14. Красносельский М.А. Перов А.И. Поволоцкий А.Н. Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости // М.: Наука, 1963.

15. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей // М.: Наука, 1969.

16. Сабитов И.Х. Бесконечно малые изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Докл. АН СССР.-1962.-147, №4.-с.793-9679

17. Фоменко В.Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем // Мат. сб.-63, №3,-с.409-425

18. Фоменко В.Т. Общая формула решений уравнения Петерсона-Кодацци на гиперсфере // Укр. геометр, сб.- 1989.-№32.-с. 82-85.

19. Фоменко В.Т. Непрерывные изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Мат. сб.- 1979.-110, №4.-с.493-504