Разрывные граничные задачи мембранной теории выпуклых оболочек и их геометрические аналоги тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

005535726

На правах рукописи

ТЮРИКОВ Евгений Владимирович

РАЗРЫВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

14 ОКТ 2013

Ростов-на-Дону 2013

005535726

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», г. Ростов-на-Дону

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Климентов Сергей Борисович

доктор физико-математических наук,

профессор ФГАОУ ВПО ЮФУ

Викчантаев Ильдар Ахмедович

доктор физико-математических наук,

профессор ФГАОУ ВПО КФУ, Заслуженный работник высшей школы РФ

Гликлих Юрий Евгеньевич

доктор физико-математических наук,

профессор ФГБОУ ВПО ВГУ Кокарев Виктор Николаевич

доктор физико-математических наук,

профессор ФГБОУ ВПО СГУ

ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Защита состоится «¿6» 2013г. в ¿£часов 00_ минут на засе-

дании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008 г. Казань, ул. Кремлёвская, д. 35, ауд.(3-10

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлёвская, д. 35, НБ КФУ).

Автореферат разослан «/¿Г» 2013 г. и размещён на офици-

альном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: ■www.kpfu.ru.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф. м. н., доцент

Е.К. Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основы бсзмомситной (мембранной) теории топких упругих оболочек были заложены в первой половине прошлого столетия в классическом сочинении А. Лява1, где наряду с вопросами безмоментной теории рассмотрены также вопросы бесконечно малых изгибаний поверхностей. В дальнейшем общие и специальные задачи мембранной теории оболочек, а также ее связи с бесконечно малыми изгибаниями поверхностей рассматривались в работах В.З. Власова, А. Л. Гольденвейзера, В. В. Новожилова, Ю. Н. Работнова. Общие методы теории функций комплексной переменной, развитые главным образом в работах Н. И. Мусхелишвилн, начали применяться в теории оболочек во второй половине прошлого века. В работах И. Н. Векуа эти методы были использованы для исследования основных задач общей теории тонких пологих оболочек. В работа А. Л. Гольденвейзера2 рассмотрены задачи безмоментного напряженного равновесия сферических оболочек с краем, где под краем оболочки понимается граница ее серединной поверхности. При этом на разных участках края задаются различные статические условия (впоследствии названные И.Н. Векуа смешанными граничными условиями), а пограничные точки таких участков полагаются угловыми точками границы. Такое предположение является вполне естественным с точки зрения теории стержневых систем, используемых для реализации статических граничных условий. Дальнейшее продвижение в построении мембранной теории связано с основополагающей работой II. Н. Векуа3, в которой создан общий метод изучения основных задач безмоментной теории выпуклых оболочек. Основу этого метода составляет разработанная в указанной работе теория граничной задачи Римана-Гильберта для эллиптических систем линейных уравнений первого порядка на плоскости (обобщенных аналитических функций) с последующим анализом уравнений равновесия мембранной теории и статических граничных условий. Определяющим здесь является то обстоятельство, что безмоментное напряженное состояние равновесия выпуклой оболочки при тех или иных статических граничных условиях вполне определяется решением соответствующей граничной задачи Римана-Гильберта для некоторой обобщенной аналитической функции (комплексной функции напряжения). Этот метод

'Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: ОНТИ, 193-5.

2Гольденней зер А. Л. О применении решений задачи Римана-Гильберта к расчету безмоментных ооолочек // Прпкл. мжгем. п мех. 1951. Т. XV. X» 2. С. 149 166.

Векуа И. Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек //' Матом, сб. 1952. Т. 31. Л» 2. С. 217 314

нашел свое дальнейшее развитие в известной монографии И.Н. Векуа «Обобщенные аналитические функции», в которой аппарат теории обобщенных аналитических функций применен прежде всего для постановки и решения ряда специальных граничных задач теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны и заданного класса регулярности. К таким задачам относятся следующие:

(а) задача об отыскании бесконечно малых изгибаний поверхности с заданной вариацией нормальной кривизны либо геодезического кручения в направлении края;

(б) задача об отыскании бесконечно малых изгибаний, совместимых

с условием ортогональной втулочной связи.

' Постановка этих задач непосредственно связана с задачами мебраи-ной теории, так как в случае выпуклой оболочки физическая краевая задача определения тангенциального поля напряжений есть статический аналог задачи (а), а кинематическая задача об отыскании поля смещения (или задача о деформационном состоянии оболочки) и задача (б) сводятся соответственно к неоднородной и однородной задачам Римана Гильберта для обобщенной аналитической функции. При этом задачи (а) и (б), а также соответствующие им физическая и кинематическая задачи мембранной теории приводят к взаимно сопряженным краевым задачам теории обобщенных аналитических функций, ч то существенно облегчает исследование вопросов разрешимости этих задач Важно также отметить, что на основе анализа решений задач (а) и (б) дано описание механизма реализации статических граничных условий при помощи ортогональной втулочной связи. Разработанная И. Н. Векуа теория задачи Римана-Гильберта доя обобщенных аналитических функций с гельдеровым коэффициентом граничного условия, а также результаты о разрешимости задач (а) и (б) для поверхностей класса регулярности р> 2, с С1,А-гладкой (0 < Л < 1) границей составляют математическую часть мембранной теории выпуклых оболочек Создание этой теории было завершено И.Н. Векуа в монографин «Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек» (гл Ш-У) в которой основные граничные задачи мембранной теории выпуклых'оболочек с серединной поверхностью указанного класса регулярности и положительной гауссовой кривизны редуцируются к той или иной задаче Римапа-Гильберта для обобщенных аналитических функций При этом каждому из основных статических условий, заданному на гладкой боковой поверхности оболочки (или на гладкой границе ее сере-

1 Векуа И.нГн^т^ обшие^оды построения различных вариантов теории оболочек. -М., 1982. 288 с.

длиной поверхности) соответствует задача Римана Гильберта с гельде-ровым коэффициентом граничного условия. Однако поставленная ранее II. Н. Векуа задача о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия выпуклой оболочки при заданном смешанном граничном условии уже по укладывается в рамки теории задачи Ргшапа-Гпльбсрта с гельдеровым коэффициентом. Это обстоятельство никак не отмечено в указанной работе, хотя из полученных там же граничных условий с очевидностью следует, что в математической постановке мы имеем задачу Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия даже в случае гладкости границы серединной поверхности. Более того, если граница серединной поверхности — кусочно-гладкая кривая (т. е. боковые поверхности оболочек кусочно-гладкие поверхности с ребрами), а вид статического граничного условия при переходе через угловые точки не меняется, то мы также имеем дело с разрывной граничной задачей Римана-Гильберта. Следует отметить, что описание граничного условия Римана-Гильберта, данное А. Л. Гольденвейзером5, не позволяет в полной мере использовать результаты Н. И. Мусхели-швили и дать точные математические формулировки о разрешимости поставленных задач. Однако это не умаляет значение ранее упомянутой работы А. Л. Гольденвейзера, в которой впервые установлена связь между задачами безмоментпой теории сферических куполов и задачей Римана-Гильберта для аналитических функций с разрывным коэффициентом граничного условия, а также введен термин «концентрация напряжении» для механической интерпретации решений, неограниченных в точках разрыва граничною условия.

Методы И. Н. Векуа6 получили дальнейшее развитие в работах С. Б. Климентова7, В. Т. Фоменко8 по теории непрерывных изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны с гладким краем класса регулярности С1~х, 0 < А < 1, однако здесь уже приходится иметь дело с нелинейной задачей Римана-Гильберта с гельдеровым коэффициентом граничного условия для эллиптических систем квазилинейных уравнений на плоскости.

Разработанные H.H. Векуа методы не позволяют дать решение смешанной граничной задачи, поставленной для оболочки с гладкой боковой поверхностью. В случае же оболочек с кусочно-гладкими боковыми

'"Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 197G. С. 257.

''Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. 512 с.

7Кл1шентов С. Б. Пзгпбоння локально-выпуклых поверхностей положительной кривизны: дне. ... докт. фпз.-мят. наук. — Новосибирск. 1987. — 280 с,.

Фоменко В. Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем // Матом, сб. — 19G*>. — Т. (¡6 (108). — G. 127-144.

поверхностями решение как основных граничных задач, так и задач со смешанными граничными условиями также невозможно без дальнейшего развития этих методов. То же самое можно сказать о задачах (а) и (б) теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны с кусочно-гладким краем (которые мы называем геометрическими аналогами основных граничных задач мембранной теории),^ также нелинейных граничных задачах теории изгибаний поверхностен.

Все это делает актуальными следующие задачи.

1) Развитие методов H.H. Вскуа, позволяющее получить полную картину разрешимости задачи Римана Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия для обобщенных аналитических функций в областях с кусочно-гладкой границей.

2) Использование их для построения мембранной теории выпуклых оболочек с кусочно-гладкими боковыми поверхностями, а также решение геометрических аналогов основных граничных задач этой теории, к которым следует отнести прежде всего задачи (а) и (б) для поверхностей указанного класса регулярности с кусочно-гладким краем.

3) Отыскание методов исследования нелинейной задачи типа Римана-Гпльберта с разрывным граничным условием для эллиптических систем квазилинейных уравнений первого порядка на плоскости, а также сходных с ней задач для аналитических функций.

Цель работы. Цель работы — изучить разрешимость задачи 1) для односвязной области, а также разрешимость связанных с ней задач (а) и (б) для одноевнзных поверхностей заданного класса регулярности; на основе полученных результатов в рамках решения задачи 2) исследовать основные граничные задачи мембранной теории выпуклых оболочек, серединная поверхность которых является односвязной поверхностью указанного класса регулярности с кусочно-гладким краем; изучить смешанные граничные задачи для таких оболочек, поставленные H.H. Век.уа и А. Л. Гольденвейзером, а также дать решение более общей граничной задачи, постановка которой учитывает специфику состояния напряженного равновесия оболочки с ребристой боковой поверхностью; получить содержательные результаты в решении задач вида 3).

Методы исследования. Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводится методами теории обобщенных аналитических функций, при систематическом использовании методов граничных задач для аналитических функций, сингулярных интегральных уравнений, функционального анализа.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. В диссертации дано полное решение задачи Римапа-Гильберта для обобщен-

пой аналитической в единичном круге функции с кусочно-гольдеровым коэффициентом граничного условия, допускающим конечное число точек разрыва первого рода, причем в случае безусловной разрешимости решение найдено в резольвентной форме. Полученные результаты используются для исследования задач вида (а) и (б) теории бесконечно малых изгибаний односвязпых поверхностей положительной гауссовой кривизны. При этом предлагается естественное расширение класса непрерывных бесконечно малых изгибаний в рамках задачи об отыскании всех б.м. изгибаний поверхности класса регулярности \¥3-р, р > 2, с кусочно-гладким краем, совместимых с одним из граничных условий вида (а), а также со смешанным граничным условием. Установлено, что картина разрешимости рассматриваемых задач вполне определяется направлением дут границы в угловых точках. Выделен класс задач теории б.м. изгибаний со смешанными граничными условиями вида (а) и (б), картина, разрешимости которых определяется как направлением дуг границы в угловых точках, так и конфигурацией тех дуг, вдоль которых задано кинематическое условие ортогональной втулочной связи для вектора смещения. Задачу указанного вида можно рассматривать в определенном смысле как геометрический аналог граничных задач мембранной теории, отнесенных И. Н.Векуа к задачам с граничным условием Синьо-рини.

Разработан метод исследования основных граничных задач мембранной теории оболочек со срединной поверхностью положительной гауссовой кривизны класса регулярности \У'Л'Р, р> 2, и кусочно-гладким краем, состоящим из дуг класса регулярности С1'х, 0 < Л < 1, а также дано решение смешанной граничной задачи в расширенной постановке. Полученный результат содержит как частный случай решение смешанной граничной задачи И. Н. Векуа для оболочки, срединная поверхность которой есть одпосвязпая поверхность указанного класса с гладким краем класса регулярности С1>х, 0 < Л < 1. Найдены геометрические критерии безусловной разрешимости таких задач в ограниченных классах решений, а также в подходящих классах, допускающих концентрацию напряжений в угловых точках.

Установлено, что в случае безусловной разрешимости каждой из таких задач число вещественных параметров, входящих в решение, зависит только от направления дуг границы, сходящихся в угловых точках, и не зависит от конфигурации этих дуг.

В диссертации дается решение новой по своей постановке задачи о реализации безмоментного напряженного состояния оболочки при выполнении граничного условия общего вида, включающего в себя все рас-

смотренные до этого статические граничные условия. Ее постановка позволяет в случае безусловной разрешимости дать прозрачную геометрическую интерпретацию решений, неограниченных в угловых точках границы, а также «сравнивать» различные состояния напряженного равновесия но числу параметров, входящих в соответствующие решения.

Разработан подход к исследованию разрешимости ряда нелинейных задач типа Римаиа-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия для квазилинейных эллиптических систем уравнений на плоскости Такие задачи возникают при изучении изометрических преобразований и непрерывных изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны с кусочно-гладким краем. Предложен новый метод исследования сходных граничных задач для аналитических функций, а именно: нелинейной задачи сопряжения с недифференцируемым сдвигом и нелинейной задачи сопряжения с разрывным граничным условием.

Степень достоверности. Все результаты диссертации достоверны, что подтверждается строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты создают основу для их систематического применения в задач«« дифференциальной геометрии и механики, имеющих отношение к теории изгибаний и теории тонких упругих оболочек.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Седьмой Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (Минск, 1979);

Украинской конференции по геометрии «в целом» (Симферополь,

1980);

Всесоюзной школе «Оптимальное управление. Геометрия и анализ»

(Кемерово, 1986);

Всесоюзном совещании молодых ученых по дифференциальной геометрии, посвященном 80-летию Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1990): Международной конференции по геометрии «в целом» (Черкассы,

Украина, 1995);

Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1998);

Четвертой международной конференции по геометрии и топологии

(Черкассы, Украина, 2001);

Международной школе-семинаре по геометрии п анализу памяти

Н В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002);

Пятой международной конференции по геометрии и топологии памяти A.B. Погорелова (Черкассы, Украина, 2003);

Международной школе семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004);

Международной школе семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006);

Седьмой международной конференции по геометрии и топологии (Черкассы, Украина, 2007);

Международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007);

Международной школе семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2008);

Международной конференции «Векуа-100» (Новосибирск, 2008); Седьмой международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010);

Четырнадцатой международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-па-Дону, Азов, 2010);

Девятой международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2011);

Международной конференции «Современные проблемы математики и се приложения в естественных пауках и информационных технологиях» (Харьков, Украина, 2011):

Двадцатой международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, Украина, 2012): Международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического аналпза-Н» (Ростов-на-Дону, 2012);

Международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложенпя-Ш» (Ростов-на-Дону, 2013);

а также на следующих научных семинарах:

научный семинар МГУ по геометрии в целом (1976, рук. проф. Н. В. Ефимов, проф. Э.Г. Позняк);

научный семинар кафедры дифференциальных уравнений РГУ (1976, рук. проф. B.C. Рогожин);

научный семинар кафедры геометрии Южного федерального университета (1990-2012, рук. проф. С. Б. Климентов):

научный семинар кафедры теории упругости Южного федерального университета (2008, рук. проф. А. О. Ватульяп);

научный семинар по нелинейной теории оболочек Южного федерального университета (2010, рук. проф. Л. М. Зубов).

Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 29 работ, из них 15 работ ([1]-[15]) в изданиях, входящих в перечень

ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденный ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав (16 параграфов, каждый из которых разбит на пункты и имеет сквозную нумерацию). Объем диссертации - 240 страниц, включая список литературы из 90 наименований.

Краткое содержание. Введение содержит общую характеристику работы и описание основных результатов.

Нумерация теорем и лемм, формулируемых в реферате, не зависит

от принятой в диссертации.

В первой главе (§§ 1 3) дано решение важных с точки зрения приложений краевых задач Римана-Гильберта для обобщенных аналитических в односвязной области функций с разрывным коэффициентом в граничном условии. Классическая теория граничных задач дня аналитических функций зарождалась в трудах Б. Римапа, Д. Гильберта. В отдельную теорию она оформилась в 20-м веке в трудах И. И. Привалова, Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, Ф. Д. Гахова и др. С исчерпывающей полнотой изложение теории появилось в 1946 г. в монографии Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения», в которой впервые было дало решение задачи Римапа-Гильберта для аналитических функций с гсльдеровым коэффициентом граничного условия, допускающим конечное число точек разрыва на границе односвязной области, путем сведения к соответствующей задаче сопряжения для кусочно-аналитической в комплексной плоскости функции. Там же ссылкой на указанную выше работу А. Л. Гольденвейзера отмечена важность этой задачи с точки зрения приложений к безмомсптпой теории сферических оболочек. Впоследствии в работе Л. Г. Михайлова9 результаты Н. И. Мусхелишвили по теории задачи линейного сопряжения с разрывным коэффициентом граничного условия были перенесены на случай эллиптической во всей плоскости системы уравнений первого порядка (обобщенной аналитической по И.Н. Векуа в комплексной плоскости функции). Здесь следует отметить, что вопрос о том, возможно ли получить картину разрешимости разрывной задачи Римана Гильберта для обобщенной аналитической в односвязной области функции, переходя к задаче сопряжения для некоторой обобщенной аналитической во всей плоскости функции, в работе Л. Г. Михайлова не ставился. Этот вопрос поставлен автором в работе [1], в которой дано полное решение задачи Римапа

»Михайлов Л.Г. Краевая задача •пшазадачи Римана д,ж систем первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения „ V чевые записки. 1р. фга.-мат. ф-та Тадж. гос. ун-та. — 1907. — Т. 10. — С. 32-79.

Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия для обобщенной аналитической в единичном круге функции. Изложение результатов этой работы приводится в § 1 первой главы.

В п. 1.1 рассматривается задача Римана Гильберта для обобщенных аналитических функций в следующей постановке: в единичном круге D комплексной г-плоскости Е найти комплекснозначное решение w(z) уравнения

<9j и; = B(z)w(z), (1)

удовлетворяющее на 0D = L граничному условию

Re{A {t)w(t)} = 7 (i), (2)

где B{z) € LP(D), р > 2, X(t), 7(i) - заданные на L функции класса Н0 (см. [2]) при узлах сь...,сП; причем |A(i)| ф 0 па L, включая и предельные значения A(q±0) в точках разрыва сь .... еп. Отыскиваются IV ^-регулярные в области D решения w(z), непрерывно-продолжимьте на границу L, за исключением точек разрыва сь ... ,сп, в окрестности которых имеют место оценки

I , .. const

< 0 ^ «i < (3)

В п. 1.2 поставленная задача сводится к отысканию на. всей ¿-плоскости решения уравнения

dsw == B(z)w, (4)

удовлетворяющего условию сопряжения

w+(t) = A(t)w~(t) + w(i). t е L, (5) _ N<i,

Особенный (по Н. И. Мусхолишвили) узел с? (1 < ^ ^ п) граничного условия (5) есть особенный узел граничного условия (2), а решение класса Ца,ач) задачи (4), (5) задает решение того же класса задачи (1), (2). Индекс ^ в классе 1г(с,и... ,с,-(/) граничного условия (5) мы называем индексом граничного условия (2). Доказывается

Теорема 1. При х ^ 0 однородная (-у{1) = 0; задача (1)-(2) имеет ров по х + 1 линейно независимых решений данного класса /г(сь с3, ...,ся) совокупность всех решений дается формулой

2х+1

W{z) = X{z) Y, AkSk(z);

k=о

гдеХ(2) - каноническая функция задачи (4), (5); 5*.. (г) - обобщенные аналоги степеней уравнения (А); А0, Аи А2„+1 - вещественные постоянные, подчиненные условиям

А2как - А2к+1Ьь] = А2„-2к, А2кЬк + Мк+^к = к = 0,1,.... х,

в которых пары (ак,Ьк) « (а«^) (г2 = -1; вещественных констант вполне определяются обобщенными константами уравнении д^т = и, О,™ = соответственно, где

= {к = ОЛ,...,*), Я-еМЕ),

при х < О однородная задача (1), (2) не имеет решений данного класса отличных от нуля. При х > -1 неоднородная задача разрешима в данном классе П{ск,ск,... при любой правой части Г> в частности при х = -1 она разрешима однозначно; при х ^ -2 задача имеет (единственное) решение, данного класса тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия разрешимости:

/

L

Jhrit) _e-«(t)dt = ск fc = 0li.....,-x-i,

л (t)X+(t)

где функция ui(t) строится по уравнению (А).

В п 1 2 поставлена задача Римана-Гильберта с разрывным граничным условием для обобщенной аналитической функции в односвязнои области с кусочно-гладкой границей, дано понятие индекса граничного условия в классах h{ch„...,О Н.И. Мусхелишвили (1 < гк < »; с сп угловые точки границы), а затем указанная задача с помощью конформного отображения на единичный круг сводится к рассмотренной ранее. Полученные ранее С.Н. Антоновым и В.Н. Монаховым10 результаты о разрешимости разрывной граничной задачи

-^Х^шов С.Н., Монахов В.Н. Краевая .ядача Римапа-Гпльбсрта с ра^в.^т граи^пьши

условиями для квазилинейных эллиптических систем уравнений „ Докл. АН ССС1. Т. 175, № 3. С. 511 513.

Pmrnira Гильберта для квазилинейной эллиптической системы на плоскости в силу специфики рассматриваемых уравнений не могут быть использованы при исследовании разрывных граничных задач мембранной теории и их геометрических аналогов. Обзор дальнейших результатов по теории разрывной задачи Римапа-Гнльбсрта с кусочпо-гельдеровым коэффициентом для систем уравнений эллиптического и смешанного типов в односвязной области на плоскости и их приложений дается в монографии Guo-Cliuii Wen11, в которой содержится достаточно полная библиография. Однако следует отметить, что в указанной монографии автор (Gno-Chun Wen) использует результаты о разрешимости разрывной задачи Рнмапа-Гильбсрта для обобщенных аналитических в односвязной области комплексной плоскости функций со ссылкой на свои работы, опубликованные в 1980-1985 г.г., т.е. через шесть лет после публикации работ автора [1|, [2|.

В последующих параграфах (§§ 2, 3) главы 1 построена специальная техника нахождения индекса граничных условий Римана-Гильберта, возникающих при постановке основных граничных задач мембранной теории. С этой целью коэффициент А(£) задачи Римана-Гильберта для односвязной области G с кусочно-гладкой границей Г задается в виде MO = a(Oß(C) (С е Г), где a(() = ai(0 + ">2(C), ß(0 = МО + 'Ш), МО,!%{О {к = 1; 2) — вещественнозначные функции аргумента С, имеющие разрывы первого рода в точках Q (j = 1_____ п) контура Г. При

этом предполагается, что односторонние пределы функций а((), ß(0 в каждой из точек Q связаны некоторыми соотношениями. Интерес к данному граничному условию вызван следующими причинами:

большинство рассматриваемых в рамках мембранной теории граничных задач для оболочки с кусочно-гладкой границей ее серединной поверхности сводится к задаче Римана-Гильберта с коэффициентом указанного вида;

выбор специальных соотношений между односторонними пределами функций Qfc(C), /МС) (к = 1.2) в точках разрыва позволяет, с одной стороны, «приспособить» граничное условие к рассматриваемой задаче, а с другой — получать эффективные формулы для вычисления индекса и, как следствие теоремы 1, законченные результаты о разрешимости соответствующих граничных задач мембранной теории оболочек и их геометрических аналогов.

Для описания вводимых ниже соотношений между односторонними пределами функций а(£), ß(Q) в точках разрыва удобно исполь-

uGuo-Chun Wen. Elliptic, hyperbolic und mixed complex equations ivitli parabolic degeneracy // Peking Univ. — Scries in Math. — 20(18. — Vol. 4. — 427 p.

зовать кусочно-непрерывные векторные поля в(() = {аЦС)-«2(0), {(О = {¡31(0,02(0}, заданные на Г коэффициентом А (О = «(О/3 (О-Такой подход позволяет заменить описание труднообозримых соотношений формулировкой геометрических свойств^этих нолей. Отметим также, что все необходимые свойства полей в(С), ¿(0 па Г вполне определяются свойствами векторных полей на границе некоторой поверхности, порожденных соответствующей граничной задачей мембранной теории. Описание свойств этпх полей дается в п. 2.1. С этой целью вводится в

рассмотрение множество кусочно-непрерывных векторных полей £(Г), содержащее указанные векторные поля з(0, Г(<) Для любой из задач мембранной теории. Множество £(Г) разбивается па непересекающиеся классы где произвольно отмеченные точки (1 <

ип.ККя). и-,.....<*, - оставшиеся точки из числа <1,...,С»

(г + д = п), а = (¿1,..., ¿,), 3 = (кх, ...,кд) — выборки соответствующих индексов. Далее для любых двух комплекснозначных функций

т(О (С € Г), таких, что /1(0 = {Кс//,1т/(}, т(<) = {Яег, 1тг} € £(Г), вводится понятие нормальной пары (/«(С),т(С)) п рассматривается граничная задача вида (1), (2) с коэффициентом А(С), определенным на Г парой (/х(С).т(С)) и условием (задача Д): на каждой из дуг Г выполняется одно из равенств: А(С) = МСМО, МО = Ш? (С е Г). Выбор одного из равенств для каждой из дуг Г;- разбивает множество всех узлов Сь...,Сп па три класса, а именно: если па сходящихся в точке й дугах выполняется первое (второе) равенство, то узел ^ назовем Я -точкой (Д^-точкой). В противном случае узел 0 есть Д^-точка (или смешанная точка). Для каждого к = 1,2.3 дается геометрическое описание (в терминах векторных нолей /7, т) особенных Д^-точек, а на его основе - классификация всех (особенных и неособенных) Д^'-точек, по которой каждую Д№)-точку можно отнести к одному из четырех типов для к = 1.2, и одному из пяти типов для к = 3. Основным результатом § 2 является

Теорема 2. Если нормальная пара (МОМО) задает векторные пом а(0 - {11е/х(С),1п1/2(0}, г(С) = {Кег(0,1тг(0} одного и того же класса С''а%(Т), число Я^-точек к-го типа задачи Я (\ < к ^ 4

для э = 1^ 2,• К к < 5 для в = 3), то индекс х(Я) граничного условия в классе ограниченных решений вычисляется по формуле

Я[Н) = _4 + ¿(2 - к)(М^ + Л12») + \ £(5 - <6>

Следствие. Если ..., — произвольно отмеченные узлы, включающие в себя все особенные узлы граничного условия, то индекс в классе /1(0,,...,вычисляется по формуле

= (7)

В § 3 главы 1 вычисляется индекс граничного условия

мжжсмс)}=7(а се г, (8)

в котором р(0 = Р1(£) + гр2(0, £(0 = £х(С) + ¿4(0 комплексно-зиачные функции на Г. гельдеровы на каждой из дуг Г,-, допускающие разрывы 1-го рода в угловых точка д контура Г, |р((}\ = |£(£)| = 1, а

векторные поля р(С) = ЫС),/Э2(С)Ь ¿¡С) = ШС1М0} принадлежат классу £(Г) без дополнительных условий нормальности пары (р((), £(()) и принадлежности полей р{С), £(С) одному и тому же классу Не

нарушая общности можно считать, что односторонние пределы в точке С/ одного ИЗ указанных векторных полей, например, £((), совпадают с односторонними пределами касательного к Г вектора ¿?(С).

Условие (8) назовем каноническим, если £(£) = я«;) = ¿^(С) + гв2(С)-где а(С) = (з1(С), Я2(С)} — единичный касательный к Г в точке С вектор, направление которого совпадает с положительным направлением кривой Г. В этом случае задачу (8) пазовом канонической задачей Т.

Для описания точек разрыва канонической задачи Т рассматривается пара векторов г?(2), задающих внутренний угол */,• (0 < 1/. < 2) в угловой точке д границы Г, и вводится вспомогате,аъная классификация угловых точек д границы области О, а именно: угловая точка д есть точка Ахгипа (к — 1,..., 4), если

к-1 к -у-* <„;<-*.

Точку д, для которой ъ>5 = тг/2 (I/,- = 37Г/2) будем относить к 1-типу (З-тниу) соответственно.

Для каждого к = 1,2,3,4 дано геометрическое описание особенных точек д Аг-типа задачи Т. а затем все точки Дг-тииа разбиваются на 3

класса Т^ (г = 1,2. 3), и доказывается следующая формула для вычисления индекса в классе /г,...,

х = п — т — С — '{ + N. (9)

где

г 1 ,

г(0

г=1 4-1

дг(') _ число узлов а(Т), принадлежащих классу Тк* , £ ~ число особенных узлов.' В п. 2 § 3 главы 1 изучается важное с точки зрения приложений обобщенное условие Римапа-Гильбсрта (задача Г») с главным коэффициентом специальной структуры, содержащее как частные случаи граничные условия из § 2, так и другие важные частные случаи. Эта структура вводится заданием вдоль границы дополнительного векторного поля, допускающего конечное число точек разрыва первого рода, и позволяет с помощью только геометрических характеристик подходящих векторных полей дать описание точек разрыва граничного условия. Остановимся на этом подробнее.

Пусть в каждой точке С Дуги Г,- {] = 1,...,«) вектор г(С) задан своими проекциями а (С) п /Ж) ™ направление векторов з(<) и ¿(0 соответственно (а2+/32 = 1), функции а(С), /3(0 гельдеровы на каждой из дуг Г,-, вектор-функция г(С) имеет разрывы 1-го рода в угловых точках О Если при этом функция /3(0 знакопостоянна на Г, то векторное поле г (С) принадлежит классу ¿(Г). Не нарушая общности, будем считать, что /3(0 ^ 0 па Г, а соответствующее поле г называть допустимым.

Модификацией канонического условия (8) является граничное условие (задача М)

Не{8(С)[/3«ЖО - аКМОМО) = ч(0 (И>

в котором функции я(0 = 51(0 + ^2(0, т = Ш+ЫО заданы векторными полями касательного и нормального к Г векторов в^) и соответственно. С помощью введенного понятия «индикатор векторного поля г(С) в точке С,» дается геометрическое описание особенных узлов задачи М. Отдельно рассматривается важный с точки зрения дальнейших приложений случай (задача М*), когда векторное поле г (С) е ДГ) задает непрерывное поле направлений г(С). В этом случае описание особенных узлов задачи А Г принимает наиболее простой вид: узелО есть особенный узел задачи АГ тогда и только тогда, когда V, = -к (1 < к < 5) В соответствии с этим вводится классификация, по кото-рогГкаждая угловая точка 0 границы Г есть неособенный узел к-типа

(к = 1, 6). если ——7г < ч < |тг. Для каждого непрерывного поля

направлений г(С) задачи А Г вводятся понятия входящего и выходящего поля (класса " класса Р,х соответственно) в точке Получена формула для вычисления индекса задачи Т* в классе 1г{си,..., с1т), име-

тощая вид (9), в которой еле,дует положить

* = ¿(3 - к)„Г'; + Е(2 - + ¿(4 - *)„<«">,

А-=1 ¿=4

где (п(к(п':>) — число угловых точек ¿-типа (1 < к < 6) границы Г, для которых непрерывное поле направлений г(£) является выходящим (выходящим) соответственно.

В п. 3.4 рассматривается граничное условие (11), в котором векторные поля в(С), тГ(С) и г (С) принадлежат классу £(Г) без каких-либо дополнительных ограничений (задача Т„). В этом случае с помощью понятия «индикатор узла. 0(7"«)» дается геометрическое описание особенных узлов задачи Т* и разработан алгоритм вычислспис«вклада» каждого узла в индекс л граничного условия, позволяющий получить формулу вида (9) (10).

В заключение главы 1 приводится пример граничного условия Римана-Гильберта с главным коэффициентом видоизмененной структуры, индекс которого в заданном классе решений может зависеть от конфигурации той или иной части границы. Подробное исследование этого примера дается в главе 3.

Во второй главе (§§ 4-6) приводятся некоторые новые методы построения решений нелинейной задачи типа. Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия для квазилинейных эллиптических систем уравнений первого порядка, а также сходных с ней нелинейных граничных задач для аналитических функций. Начало систематическому изучению нелинейных задач теории аналитических функций было положено в работах А. Н. Гусейнова и В. К. Наталевича, в которых рассмотрены некоторые нелинейные граничные задачи типа Римапа-Гильберта (подробный обзор и библиография приводятся в монографии А. Н. Гусейнова12. Дальнейшее развитие теории нелинейных граничных задач Римана-Гильберта и задач сопряжения для аналитических функций, а также нелинейной разрывной задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций связано с именем польского математика Погоржсльского и его учеников. Следует отмстить, что в ходе развития этой теории переход от гельдеровых коэффициентов граничного условия к кусочно-гельдеровым, а также переход от аналитических функций к обобщенным аналитическим по И. Н. Векуа функциям

12Гусейнов А. II.. Мухтаров X. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. — м.: Наука, 1980. — 41В с.

диктовался внутренней логикой развития теории и возможностями используемых методов и не был обусловлен постановкой каких-либо новых содержательных задан теории оболочек и геометрии. Постановка некоторых задач газовой динамики со свободными границами приводит к задаче с разрывным линейным граничным условием для квазилинейной эллиптической системы уравнений на плоскости, теория которой была изложены в монографии В. Н. Монахова13. В это же время В. Т. Фоменко была предпринята попытка использовать методы И. Н. Векуа для решения ряда задач теории непрерывных изгибаний регулярных выпуклых поверхностей с гладким краем. Было установлено, что поставленные задачи сводятся к нелинейной граничной задаче Римаиа-Тпльбсрта для квазилинейной эллиптической системы уравнений первого порядка на плоскости. Как было указано автором в [16], постановка этих же задач для поверхностей с кусочно-гладким краем приводит к появлению точек разрыва первого рода у главного коэффициента граничного условия Римапа-Гильбсрта. В такой постановке задача изучена в § 4 главы 2 путем комбинации метода Шаудера с техникой интегралов типа Коти. При этом удается сохранить «минимальные» требования к дифференциальным "свойствам коэффициентов системы, что приводит к достаточно обременительным для этих коэффициентов условиям «малости» по норме используемых функциональных пространств. В дальнейшем для решения нелинейных граничных задач регулярных выпуклых поверхностей с гладким краем С. Б. Климентовым был использован метод. в основе которого лежит применение теоремы о неявной функции. При этом для равномерно эллиптических квазилинейных систем с линейным краевым условием были получены законченные результаты, а для нелинейного краевого условия (но без точек разрыва) — разрешимость в окрестности нуля. Однако применению этого метода для исследования разрывной нелинейной задачи Римана-Гильберта для квазилинейных эллиптических систем общего вида препятствует ряд непреодолимых до сих нор трудностей, связанных с изучением свойств соответствующих пптегро-дифференциальных операторов, действующих в подходящих весовых пространствах.

В §4 главы 2 изучена нелинейная краевая задача типа Римана

Гильберта в следующей постановке.

Рассмотрим в единичном круге К комплексной плоскости г квазилинейную эллиптическую систему уравнений в комплексной форме

дги>-Ми), г)дхи)-ц2(м>, г)д~й> = А0(ь), г)+Аг(ю, г)и)+А2(го, г)гВ, (12)

' "Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. — Новосибирск: Наука, 1977. — 420 с.

где w(z) - и{х, y)+iv(x, у) искомая комплексная функция, 2 = x+iy, операции d/dz, d/dz понимаются в обобщенном по Соболеву смысле, функции Ai и ßi (i = 0,1,2; j = 1.2) нзмеримы_по 2 при фиксированных w и непрерывны по w для почти всех z в К, причем для z € К и любого фиксированного w выполнено условие эллиптичности _г)| +

\№(w,z)\ < ¡io < 1. = const, Aj(w,z) £ L^K), pQ > 2, для любого фиксированного w.

Нелинейная краевая задача Рнмана-Гильберта (задача Ai) сформулируется так: найти и К решение уравнения (12), принадлежащее классу Р > 2, D С К, непрерывно продолжимое на границу дК, за исключением конечного числа точек разрыва c¡ G OK, i = 1,2,____n,

в окрестности которых имеет место оценка |u'(^)| < const- Cj\~a\ О < cvj < 1, j = 1, 2...., п, и удовлетворяющее на дК \ U{c¿} граничному условию 1

R*{Ww{t)}=g(t) + b(t)F[t,w(t)], t = с'"', -у е [0,2тг]. (13)

Для коэффициентов A, g, h и нелинейной части F[t.w) будем требовать выполнения следующего предположения:

п

= o<«¡E<i, (ai)

fc=i

b 6 C^l^'k^k+iU CX/Í<1, где et = exp(¿7¿.) — точки разрыва первого рода функций А, о„ Ъ

|A(í)| = l; '

F[í,u»] €^f,.(cbc2,...,cn), 0 < а* < 1, 0 < /3 < 1, 0 < a*+ß < 1, (a2)

где Sj„,(ci,----с„) — класс Погоржельского14.

Определим индекс я задачи Аг в классе решений h(ch,. ..,c¡) так же, как и для задачи (1), (2).

Пусть нелинейная часть F[t, w] удовлетворяет следующим предположениям:

= tedK, (a:í)

где F[t,Ûj(t)} 6 С'\ 0 < i/ ^ min{/3, /3*}, если Q(t) е Cß", ()</?*< 1, и выполняется неравенство

L0 ■ ||ó3(í)|¡c, 0 < а < ß*.

"Pogorxelski W. Problems aux limites descountinus dons la tlieorie des fonctions analytiques // Bulletin de L'Academie Polonaise des science. Série des sei math. astr. et pliys. — 1059. -1 Vol. VII. •Yî 6. — P. .'¡11-317: ou: .1. of Math, and Modi. Indiana Univ. — I960.

где ü(z) - весовая функция, вполне определяемая классом h(ck, ...,ciq)

в случае х > О, М0, Ь0 константы.

Будем полагать, что функция F[t,u)} удовлетворяет условиям:

HFli.iD1^)] ~ <*(Р) ■ FW -£2(t)|U, М

О < I/ < mint/S,М. 1*1 = гДе < Р. = еСЛП 21(Т)'

г2(г) гомеоморфизмы класса С1-*, 0 < А < 1, единичной окружности \т\ = 1 на себя и w(t) S то

- F[z2(t),Z(t)}\\c^ I<i\\zl{r) - z2(r)\\c>,

Irl = 1, 0 < v0 < V, 1<0 = const..

Обозначим через W}{K) П Cß.(K\ р > 2, 0 < ß < 1, множество функций гф), принадлежащих Wlp{D) в любой замкнутой подобласти

D С К, и таких, что j ft(z - € ГДе ~ Т0ЧКа

неограниченности lu(z).

Теорема 3. Пусть для коэффициентов и нелинейной части F[t,w] краевого условия (13) выполнены предположения (а^Ы, « пУсть К0ЭФ-фициенты Mw.z), г = 0,1,2, уравнения (12) непрерывны по го при почти всех z. N < 1, Mw,z) € LVa{I<), Po > 2, для любого фиксированного w, причем |Mw, z)\ + Ы*>, z)\ < Mo < 1 равномерно по га, а в случае неограниченности w(z) удовлетворяется неравенство

0 < а*к < {р - 2 )/р,

р некоторое число, р = p(po,Vo) > 2- . _

Тогда существуют такие константы si; ßi; 7г. г - 0.1,2, Si, ъ > О < ß- < в < I. j = 0,1,2. что как только для коэффициентов задачи А выполняются неравенства

||b(i)llc*. < ЫОИс* < ei, z)\\Ln{ü) < J = °>2'

равномерно no w € W}{K), p = p(po^o) > 2, при x> 0 задача A имеет семейство ранений данного класса h(cqx,... зависящее от

х + 1 вещественных параметров Dh JA| < £2, г - 1,2,..., х + 1, и принадлежащее классу W${I<) П С*2(К), 0 < Дг < ß-

В 8 5 главы 2 теорема о неявной функции используется для изучения сходной нелинейной задачи сопряжения с недифференцируемым сдвигом в следующей постановке.

Пусть D — единичный круг с границей L, D~ — дополнение к DHL до полной комплексной плоскости Е, SWp{L), р > 2, банахово пространство функций, заданных на единичной окружнос.ти_Ь, таких, что для любой функции /(f) найдется функция F(z) G Wp(D), р > 2, совпадающая на L с /(f), с нормой H/Hsu;1 = Н^МНи^С»)' 1"де F(z) — интеграл Пуассона с плотностью /(f). Краевую задачу сопряжения со сдвигом сформулируем следующим образом: найти кусочно-аналитическую и ограниченную на бесконечности функцию u{z) с линией скачков L, удовлетворяющую граничному условию

(j+[a(t)} = G(t)u>~{t) + g(t) + ÀF{f, wf [a(f)], (f)}. f G L. (14)

Здесь G(t), g(t) G SW£(L), p > 2, Л вещественный параметр, гомеоморфизм a(t) контура L на себя сохраняет направление обхода и продолжается до полного гомеоморфизма a(z) всей плоскости Е на себя, удовлетворяющего уравнению Бельтрами д~а = q(z)Ô£a, где q(z) — измеримая и ограниченная в области D функция, \q(z)\ < (¡о < 1, операции дифференцирования dz и понимаются в обобщенном по Соболеву смысле, а (2) G И^Лос, р > 2. На необходимость изучения задач сопряжения с неднфференцируемым сдвигом описанного выше класса (класс SQ) впервые указано С. Н. Антонцевы.м н В.Н. Монаховым15. Там же изучена линейная (F(t, u, v) = 0) задача сопряжения со сдвигом класса SQ для квазилинейных эллиптических систем.

Опишем условия, налагаемые на нелинейную часть F{t,u\,u2). Всюду ниже мы полагаем, что F{t,U\,U2) как функция аргумента t есть граничное значение некоторой функции F(Ç,ui,u2), аналитической но каждой из переменных щ, i = 1.2, в любой ограниченной области ЕхЕ и принадлежащей классу W}](D), р > 2, по переменной ( для любых фиксированных и,- G Е (г = 1,2). Для удобства записи введем следующую систему обозначений:

du\div'2 i,j = 0,1,...;

От функции F(ç,ui, «2) потребуем выполнения следующих условий:

1°. FM(С, «i, и2) G Wl (D) V щ, и2 G D), p > 2, 6 < i + j sC 3;

2°. »;.«:■) G Lp(D) Vuuu2 G W£(D), p > 2, 0 < i + j ^ 2 (то

же относительно F^)]

1!г'Антонцев С. П., Монахов В. H. О разрешимости одного класса задач сопряжения со сдвигом // Докл. АН СССР. 1972. Т. 205, » 2. С. 263 266.

3°. функции П1, и2), 0 ^ г + 7 ^ 2, допускают представ-

ление ии2) ='_^(С) • где ¿у б ИДО), Р >

2, ^-(С, «1,1/2) € С1(£)) по £ и аиалптичны по г/1, «г; при этом МЪ "2)1 ^ К + |^(г/ьи2)|, ГДе ^(«ь^г) — некоторая функция, аналитическая по «1, и2, К — константа;

4°. существуют такие функции а^, 6у 6 Ьр(В), р > 2, что в любой точке, £ ограниченности функции рМ выполняются неравенства

|Рс(у)(С,«1,и2)| < 1^(01 + 1М01 • Ы«ь

где аналитичны по щ, и2 (то же относительно Р^).

Рассмотрим сначала задачу о скачке (задача Аг), являющуюся частным случаем (С(£) = 1) задачи (1). Будем отыскивать решения зада-

п

чи А2, имеющие заданное разложение Сьгк на бесконечности. Основало

ным результатом § 3 является

Теорема 4. Для любого набора комплексных постоянных с^. с^,..., с'0) существуют, такие положительные числа и ео (зависящие от с^), что, как только А 6 (—Ао,Ао); задача А2 имеет решение с раз-

п

ложением 52 Ск*к на бесконечности, причем с/„. — произвольно фикси-к=о

рованные числа из области — Сд-| < к — 0,1, .. ,п. При этом решение непрерывно зависит от А и а-, А- = 0,1,..., п.

Следствием теоремы 4 является Теорема 5. Пусть индекс з< = тс1/,С(£) > 0. Тогда для любого набора 2и + 1 вещественных постоянных с¡^ (к = 1.2,..., 2я + 1) существуют такие положительные числа Ао и е0 (зависящие от с^), что, как, только А £ (—Ао, Ао), задача (14) имеет решение, ограниченное на бесконечности и непрерывно зависящее от вещественных параметров с* в области — сд] < со, А- = 1,2,..., 2х + 1, и параметра- А.

В § 6 главы 2 рассматривается задача сопряжения типа задачи Рп-мана в следующей постановке: найти в комплексной плоскости Е исчезающую на бесконечности кусочно-аналитическую с линией скачков Г функцию 1,2(2) по граничному условию

= + (6Г, (15)

где £?(<), д(£) — кусочно-гельдеровы функции, имеющие разрывы первого рода в точках с*, г = 1,..., п контура Г; А — вещественный параметр.

В дальнейшем считаем, что Г единичная окружность, а функции G(t), g(t) непрерывны слева. Задача вида (15) впервые была сформулирована в цитированной ранее работе Погоржельского, определившей направление и метод дальнейших исследований но нелинейным задачам с разрывными коэффициентами в граничном условии. Особо следует отметить здесь работы W. Zakowski (достаточно подробная библиография содержится указанной выше монографии А.Н. Гусейнова). Общим для всех работ по этой тематике является применение принципа Шаудера в сочетании с техникой интегралов типа Коши в классах Погоржельского. Этот метод позволяет при неотрицательном индексе х коэффициента G(t) и дополнительном требовании малости по модулю параметра А (либо малости по норме некоторого пространства оператора суперпозиции F(t,u,v)) доказать существование решения задачи (15), зависящего от конечного числа вещественных параметров.

В § б главы задача (15) исследуется методом линеаризации. Такой подход позволяет получить достаточные условия разрешимости, не содержащие требования малости параметра А, а также при необходимости выяснить характер зависимости решения от произвольных вещественных параметров. При этом в силу нетёровости производной Фреше от соответствующего нелинейного оператора, порожденного задачей (15), мы можем говорить об условной разрешимости при отрицательном индексе граничного условия. Разумеется, на нелинейную часть налагаются условия, обеспечивающие применение одного из вариантов теоремы о неявной функции. Заметим, что достаточные условия разрешимости, сформулированные в § 5 главы 2, содержат требование малости параметра А. однако это обусловлено спецификой рассматриваемой задачи.

Для описания условий, налагаемых на нелинейную часть F(t,u,v), введем следующие обозначения. Пусть а = («1,0.2, • • •, ап; сь с2,..., сп) — мультшшдекс, где o ¿ — вещественные числа, c¡ — фиксированные точки контура Г; ЯМ(Г; сь с2, •. •, с„) банахово пространство непрерывных слева на Г функций y?(t) таких, что <р € Н^к), т*_гладкие разомкнутые дуги; с,- — концы разомкнутых дуг, причем U7к = Г; #M(7fc) —

класс гельдеровых с показателем ц (0 < ц < 1) функций на с нормой Нм.,к (к = 1 ,...,п); || • ||я„ = max#Wfc - норма в пространстве

ЯДГ;сь ... ,с„);

р) — множество функций <p(t), непрерывных всюду на Г, за исключением, быть может, точек с», таких, что ptp 6 ЯДГ; а, Со,..., с„),

TL

1'де весовая функция р определяется равенством p(t.) = j^J |i — с^.|c>ir.

А—1

Множество с нормой Ц^ЦдЫ = Н/О^Ня,, — банахово про-

странство. Введем в рассмотрение функциональные пространства Yß = ЯДГ; сь с2,..., Сп) х Я„(Г; си с2, ■ ■ ■, с,,) и У„(о) = Я<а)(Г; р) х Я/f }(Г; р) элементов у = (уиуг) с нормой ||y||r = max Ц^-Ця,, и 1М1у<»> =

max |Ы| „(а) соответственно, а также пространство Z = Y^ х R эле-i

ментов г = (у, А) с нормой \\z\\z - -- ||y||v + |А|. Будем полагать, что комплекснозначная функция F(t, и, v) трех комплексных аргументов удовлетворяет следующим условиям:

1) F(t, it, v) как функция аргумента t (при и = const, v = const) — функция класса Я,,(Г; с\, с2...., сп):

2) F(t,u,v) — оператор суперпозиции из Y^a> в р)\

3) F дважды дифференцируема по it, v, причем Fu(t.u, v) = , и, v), Fv(t, и, v)

, u, v) операторы суперпозиции из Ytl

в Ял(Г;сьс2, ...,с„);

4) для значений F^0 = lim F»[<, u(t), t>(i)] (i = 1,2; k= 1,2,...,n)

t-*Cb±0

величина In v)/F^}_{){u, не зависит от выбора (u,v) e Y^;

5) для функций F^(t,u, v) = d,+^F(t, и, v)/du'd-v^ выполняются условия

FM(t, и, v) = iFW>(f? и. v), где F&\t, и, v) (i +j = 2) некоторые операторы суперпозиции из Yß в #М(Г; ci,c2,..., с„), р весовая функция.

Пример оператора суперпозиции, удовлетворяющего свойствам 1-5. приведен автором в [5] как пример нелинейного оператора, используемого в теории непрерывных изгибаний локально выпуклых поверхностей с краем.

Для формулировки основного результата к условиям 1) 5) добавил! условия

F<'1{t,y)^ -Г', F<»(l,y)G(t)t\-1, (16)

«-Ыг» + V, (17)

к — индекс функции Ф(i), вычисленный в классе h(c\,..., cQ).

Теорема 6. Если для всех X, таких, что |А| < Ао, где число Ао вполне определенное положительное число, выполнены условия (16J, (17), то задача имеет единственное решение класса h(ci, сг,..., сд), непрерывно зависящее от napaxiempa А.

В главе 3 (§§ 7-12) развитый в гл. 1 аппарат применяется к исследованию разрешимости задан вида (а) и (б) теории бесконечно малых изгибаний поверхностей в новой (расширенной) постановке. Ее отличие от постановки И. Н. Векуа состоит в том, что граница поверхности содержит конечное число угловых точек, а на различных частях границы задастся любое из условии вида (а), а также любое из условий вида (а) или (б). Как было сказано выше, постановка этих задач восходит к упомянутой ранее работе И. Н. Векуа. по теории обобщенных аналитических функций и ее приложению к безмоментной теории тонких упругих оболочек, в которой рассмотрены граничные задачи безмоментного напряженного состояния равновесия выпуклой оболочки с гладкими боковыми поверхностями и заданными на границе ее серединной поверхности либо нормальной составляющей N1 либо касательной составляющей Т вектора усилий. Там же поставлена смешанная краевая задача, когда на одной части гладкой границы задана составляющая а на остальной — составляющая Т. Постановка граничных задач вида (а) теории бесконечно-малых изгибании для поверхностей с кусочно-гладким краем дается в § 7 гл. 3. Остановимся на этом подробнее.

Пусть 5* — строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности 5° класса регулярности р > 2, с кусочно-гладким краем Ь, состоящим из конечного числа дуг класса регулярности С1'6, 0 < е < 1. Рассмотрим на Ь множество точек с1,...,с„, содержащее все угловые точки, а также произвольно отмеченные точки гладкости, полагая при этом, что точки С;- = 1, 2.... ,п) следуют друг за другом при обходе

■и

границы Ь в заданном направлении. Тогда Ь = и Lj, где началом и

.7 = 1

концом дуги Ь^ (7 = 1,..., п — 1) являются точки с,- и С7+1, а началом и концом дуги Ьп являются точки сп и с\ соответственно. Рассматривается следующая

Задача А. Существуют ли бесконечно малые (б. м.) изгибания поверхности 5*, для которых на каждой из дуг выполняется одно из условий:

5тд = сг(1)(в) на Ь}, (18)

6кп = <7(2)(в) на Ь], (19)

где (к — 1,2) наперед заданные на Ь функции, гельдеровы

на каждой из дуг Ьз — натуральный параметр, 5кп и ётд — вариации соответственно нормальной кривизны и геодезического кручения поверхности в направлении края.

Уточним постановку задачи А. Для этого точки с,- с учетом заданных на сходящихся в точке с, дугах граничных условий обозначим через сДА) и назовем угловой точкой задачи А, или сДА)-точкой. Если на сходящихся в точке с^ дугах заданы условия (18) (условия (19)), то точку Су (А) назовем А^-точкой (А(2'-точкой) задачи А. Если же на одной из соответствующих дуг задано условие (18), а на другой — (19), то точку сДА) назовем смешанной угловой точкой задачи А или А^-точкой.

Граничное условие на Ь, заданной выбором на каждой из дуг Ь^ (1 ^ 3 ^ п) одного из условий (18)—(19), обозначим через Л(Ь).

Если С] и = 1,...,?г) — точки гладкости кривой Ь (т.е. граница поверхности 5° — гладкая кривая), ст^Да) (к = 1,2) — гелъдеровы иа Ь функции, то задачи об отысканипи б. м. изгибаний поверхности 5°, совместимых с одним из условии (18), (19), были поставлены и изучены И.Н. Векуа. Если с^ (1 ^ ] ^ га) — точка гладкости кривой Ь, то постановка задачи А будет содержательной лишь в том случае, если с,-(А) — смешанная точка. Очевидно также, что число всех смешанных точек задачи А — четное. Если среди угловых точек сДА) граничного условия А(Ь) содержится А^-точки, то задачу А назовем смешанной задачей. Если же все угловые точки сДА) ^ = 1,..., 2а) условия А(Ь) есть А('!)-точки, то соответствующую задачу А назовем канонической смешанной задачей.

Отметим следующие частные случаи:

1°. Точки с, = 1...., 2в) — точки гладкости границы Ь, причем (А) — смешанные угловые точки. Задача А есть геометрический аналог канонической смешанной граничной задачи безмоментпого напряженного состояния выпуклой упругой оболочки, поставленной И. Н. Векуа в 1952 году.

2°. Точки с, (.;' = 1,..., п) — угловые точки границы, причем все угловые точки с, (А) условия А(Ь) — либо А(1)-точкп, либо А(2)-точкн. В этом случае задача А есть задача, поставленная В. Т. Фоменко в 1972 году и изученная автором в работах [2], [6], |7].

3°. Точки с? и = 1,..., 2,?) — угловые точки границы, причем сДА) — смешанные угловые точки граничного условия А{Ь). Задача А есть обобщение геометрического аналога смешанной граничной задачи о реализации напряженного состояния равновесия безмоментпого сферического купола, поставленной А. Л. Гольденвейзером. Некоторые частные случаи этой задачи рассмотрены автором в работах [8], [10].

Для исследования разрешимости поставленных задач существенным образом используются результаты главы 1. Рассмотрение общего слу-

пая потребовало специальной техники вычисления индекса граничного условия, в построении которой важную роль играет § 8 главы 3. В этом параграфе установлено новое свойство сопряженно изометрической системы координат на регулярной выпуклой поверхности, необходимое для определения особенных А^-точск (для каждого в = 1,2,3) граничного условия А(Ь) с последующей классификацией всех А^'-точек. В § 9 задача А приводятся к вспомогательной задаче Я, изученной в главе 1. В § 10 с помощью построений из § 2 и конструкции из § 8 даны геометрические классификации точек разрыва граничных условий Римапа-Гильберта, соответствующих задачам из § 7, а также получены эффективные формулы для вычисления индексов граничных условий. Формулировки основных геометрических результатов приведены в § 11 главы 3 и используют понятие бесконечно малого изгибания расширенного класса, впервые введенное автором в [6]. Переход к расширенным классам обусловлен тем обстоятельством, что решения соответствующей «разрывной» задачи Римапа-Гильберта для комплексной функции изгибаний отыскиваются в весовых классах Гельдера с весом, заданным канонической функцией соответствующей задачи сопряжения.

Ниже для обозначения И^'-регулярных решений класса /г(Сь • ■., Ст) используются обозначения Ь)'^ Лт, к1/, й^', введенные в гл. 1. Обозначим через Я*,г { Яд'Г, Я,1/" (г > 2) — классы б. м. изгибаний, заданных решениями класса //;' . к]-г, й£,г Ф 1к\ 1 < £ < п - ш; 1 < к ^ т) соответствующей задачи Римапа-Гильберта.

Введем следующие обозначения: 5„ — введенная выше поверхность 5* с внутренними углами цж (1 < ц < 2) в угловых точках с,-, во = ип1х{1.^(^)}, где набор ы(и) = (в1,...,вп) вполне определен набором V = (VI,.... ип) и направлениями дуг, сходящихся в точках су, М^ —

число А(,)-точек ¿-типа граничного условия А(Ь), где ¿(Л7^1- + Ад:"1) +

Ь-1

Е Я® = п, £ N1» - четное число; Р = ¿(2 - + Л^2>), £ =

/;=1- к=1 к=1 5

(5 — 2, где С) четное число.

к=1

Справедлива

Теорема 7. Пусть заданная выше поверхность класса регу-

лярности \\/3-р, р > 20о, с«,(А),...,ът(А) - произвольно отмеченные неособенные точки граничного условия А(Ь), 1 < т < п. Если <5+2Р > 6—2т. то поверхность допускает ((¿/2+Р-3+т) — параметрическое семейство нетривиальных б. м. изгибаний, класса Нлч .¡т,

2 < q < -,-7—совместных с неоднородным, условием A(L).

2+р{1 — 1/00 j

При Q+2P < 4—2m задана А однозначно разрешяша в указанном, классе тогда и только тогда. когда для функций (к = 1,2) выполнены m — 4 — Р — Q/2 условий разрешимости интегрального типа.

Теорема 8. Если Q ~ 2Р >- 6, то поверхность S„ допускает (Q/2 + Р — 3) — параметрическое семейство б. м. изгибаний класса Н^'1, совместимых с неоднородным условием A(L). Ec.nu при этом все угловые точки Cj(A) — неособенные точки граничного усговия A(L), о, (функция а, заданная на L функциями ст^ (к = 1,2), удовлетворяет дополнительным условиям точечного типа cr(cj) = 0 (j = 1,...,п). то б.м. изгибания непрерывны в Sv U L.

Теорема 9. Если Q + 2Р Js 8, то поверхность S„ допускает Q/2 + Р — 3 линейно-независимых б. м. изгибаний класса Н};4, совместимых с однородным условием А(Ь), и является жесткой в том лее классе, если Q + 2P < 6. Если при, этом все точки Cj(A) неособенные точки граничного условия A(L), то б. м. изгибания непрерывны в S,, U L.

Наряду с задачей A{L) дается постановка так называемой смещенной задачи А(Ь). С помощью введенного понятия «т-снмметрическая угловая точка с,» (то = 1,2) приводится описание достаточно широкого класса поверхностей, для которых картины разрешимости задач А(Ь) и А{Ь) совпадают.

Рассматривается каноническая смешанная задача A(L), все угловые точки Cj(A) (J = l....,2s) которой есть Л^-точки. В общем случае вопрос о разрешимости указанной задачи дает теорема 7, в которой следует положить N{kl) = Nf] = 0 (1 ^ k ^ 4), TV'f = 2s. Отметим

частный случай канонической смешанной задачи А (геометрический аналог задачи H.H. Векуа). Пусть S* заданная выше однос.вязная поверхность с гладким краем L, ci,... ,cos — произвольно отмеченные на L точки. Имеет место

Теорема 10. Если т — s ^ 3, то каноническая задача A(L), а также смещенная задача А(Ь) для поверхности S* безусловно разрешимы в любом из классов Н^Ро f , 2 < ро < р, где с-1г,..., cim произвольно отмеченные точки из числа ... ,Qa. При этом поверхность S* допускает (m — s — Z) — параметрическое семейство б.м,. изгибаний указанного класса,. В частности, для 2s — 6 задачи А(Ь) и А(Ь) являются безусловно разрелиимыми только в классе HqFo. Если же то — $ < 3,

то задачи А и А разрешгшы в любом из классов Н^" ^ только при выполнении 3 + в — т условий разрешимости на правые части условий А(Ь) и А(Ь) соответственно.

Теоремы 7 9 в первой своей части являются геометрическими критериями безусловной разрешимости соответствующих задач вида А(Ь). В каждом из рассмотренных случаев картина разрешимости задачи вполне определяется величинами внутренних углов и направлением дуг в угловых точках.

При доказательстве указанных теорем используются результаты §§ 1-2 главы 1, а также § 8.

В § 12 главы 3 рассмотрена новая по своей постановке задача Рпмана Гильберта со сметанным граничным условием для аналитически х функций, к которой сводится задача об отыскании бесконечно малых изгибаний поверхности второго порядка с кусочно-гладким краем, совместимых на какой-либо части границы с одним из условий (а), а на другой — с условием (б). Установлено, что картина разрешимости такой задачи может зависеть от конфигурации той части границы, вдоль которой задано кинематическое условие ортогональной втулочной связи для вектора смещения.

Приведен пример сферического купола (теорема 12.1), для которого соответствующая смешанная задача является безусловной разрешимой.

В главе 4 разработанный в главах 1, 3 аппарат, используется для постановки и решения основных граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек с кусочно-гладкими боковыми поверхностями при условии, что серединная поверхность оболочки — одиосвязпая поверхность класса регулярности \¥л'р, р > 2.

В § 13 дается постановка обобщенной граничной задачи (задача Д) о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки, серединная поверхность которой есть односвяз-ная поверхность положительной гауссовой кривизны указанного

п

класса регулярности с кусочно-гладким краем Ь = У Ь], состоящим

¿=1

из конечного числа дуг Ь^ класса регулярности С1'-, 0 < е < 1. Предполагается, что в каждой точке дуги Ь - {] = 1...., п) задана проекция вектора усилий на направление принадлежащего поверхности вектора г(в) = {«(в),/3(й)} с касательной и нормальной составляющими а, /?, соответственно, где в — натуральный параметр, а2 + /З2 = 1, а(в), р(з) гельдеровы на каждой из дуг Ь^, 8(з) — знакопостоянная функция, векторное поле г как вектор-функция г (с) контура Ь имеет разрывы 1-го

рода в угловых точках. Как ужо было сказало, задача Я для серединной поверхности с гладким краем Ь в случаях а = 0 или ¡3 = 0 на Ь, а также в случае непрерывного на Ь векторного поля г была поставлена н изучена И. Н. Векуа в цитированных выше работах. Там же установлено, что в каждом из этих случаев задача Я не является безусловно разрешимой, причем случаи безусловной разрешимости (наиболее содержательные с точки зрения возможных приложений) реализуются в теории II. Н. Векуа лишь для неодносвязных поверхностей. Здесь же дается математическая постановка задачи Я.

Пусть 51,, С 5о, 3 — отображение поверхности 5о на комплексную плоскость ( = и1 + ш2, заданное выбором сопряженно изометрической

п

параметризации (и1, и2) на ЙЬ; О = 3(5,,) — Г = и Г^, Г^ = С? =

3(су). Задача Я сводится к отысканию в области Б комплекснозначного решения и<(() уравнения

*Ш-В(СМО = Ш СеД (20)

д(

д? = - | -—г + ¿тт^т I ~~ оператор комплексного дифференцирования, 4 2 \сшх ди2)

и>(С) — комплексная функция напряжений, выражаемая через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метрической формы поверхности, В{£) — заданная поверхностью функция класса Ьр(0), р > 2, -Р(С) — комплексная функция- внешней нагрузки оболочки, по заданному граничному условию

Кс{£ "г"(с)}=1{и-к>к"х)' с е Г' (21)

в котором й^/дв = 51 + г«2, (г = 1,2) — координаты касательного к Г орта, ¿С,/¿(1 = Е1 + г£2, £г (г = 1,2) координаты орта направления на плоскости С, являющегося -3-образом направления на поверхности 5°, ортогонального направлению кривой Ь, где значения функций а (С), /3(£) совпадают со значением функций а, ¡3 в соответствующей точке с Л_1(С)> 7 ~~ вполне определенная функция своих аргументов, К, к8, тч — соответственно гауссова кривизна поверхности, нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности в направлении края в точке с = Л-1 (С), X — нормальная компонента, вектора поверхностных и объемных сил на единицу площади, € Ьр(0), р > 2. Классы

регулярности решений задачи (20), (21) введены ранее в главе 1.

Остановимся подробнее на общем случае сметанного граничного условия.

Рассматривается задача А о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки со срединной поверхностью й1,, в предположении, что па каждой из дуг Ь^ {3 = 1,... ,п) выполняется одно из следующих условий:

где T(s) и N(s) — касательная и нормальная составляющие вектора усилий, a{k){s) (к = 1,2) — наперед заданные на L функции, гельдеровы на каждой из дуг Lj, s натуральный параметр.

Задача (22), (23) есть статический аналог сметанной задачи A(L), изученной в главе 3. Для описания точек разрыва соответствующего граничного условия (21) используются понятия Л^'-точек (s = 1,2,3) задачи A(L), введенные в главе 3.

Решением задачи А будем называть решение задачи R в любом из классов h)'q , . и наоборот.

Справедлива

Теорема 11. Пусть S — заданная выше односвязная поверхность класса регулярности W3,p, р > 20О) ch(A), .... с,JA) - произвольно от,.меченные неособенные угловые точки задачи. А, £ — число всех особенных точек

(2 ^ t + т < 2п). Если 2Р + Q ^ 6 + 2{т + £ - 2п), то задача А безусловно разрешима в классе h{'1 2 < q < 2+p(i-i/ea)> 0 ее решение зависит от P + \Q + n-m-C-3 вещественных параметров. Если же 2P + Q <6+ 2(т-f £ - п). то задача А имеет решение (единственное) в указа,ином классе тогда и только тогда, когда для правой части равенства (21) выполнены т + £ + 3 - (n + + Р) условий разрешимости интегрального типа.

Здесь величины Р, Q совпадают с величинами, входящими в формулировку теоремы 11.

В § 14 дается решение задачи R для случая, когда а = О на одной части границы, и 0 = 0 — па другой. Очевидно, этот случай включает в себя смешанную граничную задачу И. Н. Векуа для поверхности с гладким краем, а также задачу А. Л. Гольденвейзера для сферического купола, т. е. для односвязной сферической поверхности с кусочно-гладким краем. Рассмотрены случай простейшего (канонического), а также общий случай смешанного граничного условия. Отдельно рассматривается смешанная граничная задача И. Н. Векуа для поверхности с гладким краем.

Т(з) = <т(1>(я) на L3 N(s) = crW(s) на L

(22) (23)

В каждом из этих случаев найден геометрический критерий безусловной разрешимости. При этом состояние безмоментного напряженного равновесия, заданное решением соответствующей задачи Римана-Гильберта с весом, рассматривается как состояние равновесия при условии концентрации напряжений (по терминологии А. Л. Гольденвейзера) в отмеченной угловой точке.

Рассмотрим подробнее важный частный случай теоремы 11, дающий решение смешанной граничной задачи И. Н. Векуа для поверхности с гладким краем в следующей (уточненной) постановке.

Пусть Cj (vj = 1; j = 1,... ,2n) — точки гладкой границы L, cii} ..., Cim — произвольно отмеченные точки из числа с\,..., С2П- Наряду с каноническим условием естественно также рассмотреть смещенное условие и соответствующую смещенную задачу R. Имеет место

Теорема 12. Если п ^ 4, 1 < m îî п — 3, то задача R, а также задача R безусловно разрешимы в классе h]'4 ¿ , 2 < q < р■ Если п = 3, то задачи Ru R безусловно разрешимы только в классе h^'9. В случаях п = 1, 2 задача R хш.сет единствемное решение в любом из классов (1 ^ m ij 2п), Iiq4, тогда и только тогда, когда для правой части равенства, (21) выполнены m — п + 3 условий разрешимости интегрального типа.

В случае гладкой границы L (i/j = 1) и выполнении одного из условии а = 0, ¡3 = 0 (па L) из теоремы 12 следует известный результат И. Н. Векуа о существовании единственного решения для основных граничных задач мембранной теории для односвязной поверхности (при выполнении трех независимых условий интегрального типа). Теорема 11 дает также полное решение этих задач в расширенной автором постановке, т. е. для поверхности с кусочно-гладким краем.

В § 15 главы 4 дается решение задачи R для сферических куполов. Термин «сферический купол» использовался А. Л. Гольденвейзером. Обобщенным сферическим куполом мы называем односвязную часть поверхности So, ограниченную кусочно-гладкой кривой, все угловые точки которой — омбилические. С помощью введенного понятия «индикатор векторного поля г» и конструкций, используемых в гл. 1 (§ 3, п. 2) при исследовании канонической граничной задачи Т и ее модификации Л'1, дано описание неособенных узлов задачи R. Основным результатом § 15 является найденный в геометрической форме критерий безусловной разрешимости задачи R в классе решений, задающих концентрацию напряжений в заданных неособенных узлах. Отдельно

рассмотрен случай кусочпо-пепрерывпого векторного поля г(с), задающего вдоль L непрерывное поле направлений г. Для таких полей мы имеем наиболее простой механизм описания граничного условий в угловой точке при условии концентрации напряжений, а именно: конец условного вектора усилий, приложенного к угловой точке, принадлежит прямой, заданной в проективной плоскости парой параллельных плоскостей, ортогональных направлению поля г в этой точке. Далее на множестве непрерывных вдоль L полей г выделяются два класса полей (входящих Pent и выходящих Рсх), а затем для каждого из классов находятся критерии безусловной разрешимости, формулировка которых содержит лишь величины внутренних углов в угловых точках границы. Приводится один простой способ построения границ сферических куполов, для которых задача R является безусловно разрешимой при любом поле направлений г одного из классов Pent, Р.-Х-

Приведем основной результат § 15. Пусть Sv — сферический купол, г — векторное, поле на L, задающее непрерывное поле направлений г одного из классов Pmt, РРХ.

Узел Cj(R) есть особенный узел задачи R тогда и только тогда,

7Г

когда Uj — —к /1 ^ к -< 5).

Любой неособенный узел С;(Д) отнесем к одному из шести типов (к-типу) согласно неравенству —-—тг < ^ < -7Г (к = 1,..., G), а особенный узел есть узел fc-типа, если vt — —к (к = 1,..., 5j.

О

Обозначим через jv£0) число узлов с,(Д) fc-типа задачи R при

условии принадлежности поля направлений г классу Рех (классу Pent)-

Теорема 13. Критерий безусловной разрешимости задали R в классе Л?'1 I для сферических куполов имеет вид

N > 3 + m + £' - гс,

6 (0)

где t — число особенных узлов. N = 52(3 — k)Nk для r G Рех, и

k-= 1

3 в

N = ]Г(/2 - ' + ^(4 - k)N^ для г е Pent-

k=1 /.-=4

В § 16 главы 4 задача R рассматривается для поверхностей общего вида (т. е. без условия омбиличности угловых точек) и векторных полей, допускающих разрывы первого рода в этих точках. В этом случае с использованием понятия «индикатор узла задачи Т*», введенного в гл. 1

(§ 3), дана классификация особенных узлов соответствующей задачи Римана Гильберта и сформулирован критерий безусловной разрешимости (теорема 16.2). Однако приведенный алгоритм нахождения «вклада» каждого узла граничного условия в индекс приводит к решению труднообозримых тригонометрических уравнений [27], что не позволяет получить эффективную формулу для вычисления индекса и сформулировать критерий безусловной разрешимости в геометрической форме. Исключением здесь является лить случай смешанной граничной задачи. Тем не менее и в самом общем случае можно сформулировать утверждение, устанавливающее связь между «геометрией» границы в угловых точках и картиной разрешимости задачи R.

Теорема 14. Пусть vf^ — произвольно заданные векторы в точках Cj (j — 1..... п) соответственно, m — произвольно фиксированное целое число, 0 ^ m ij 3n - 3. Тогда в каждой точке Cj можно указать вектор rfp и соответствующее набору пар (i-j1', семейство St/ поверхностей, для которых задача R безусловно разрешима при любом непрерывном допустимом тюле г, а ее решение зависит точно от m вещественных параметров.

Замечание. В формулировке теоремы направление f - можно заме-

-42)/ ч

пить некоторым связным семейством, направлении ¡уj {£)■ непрерывно зависящим от вещественного параметра е и включающим в себя на--42)

правление i/j .

Отметим также, что в случае неомбиличеекпх угловых точек разбиение непрерывных полей направлений г на классы Рсх и Pcnt не позволяет получить эффективные формулы для вычисления индекса граничного условия. Однако если угловые точки удовлетворяют некоторым дополнительным условиям симметрии (например, сходящиеся в угловой точке дуги образуют равные углы с главными направлениями на поверхности в этой точке), то для непрерывных полей г класса Р,.х или РаЛ существует алгоритм нахождения эффективных формул для индекса, граничного условия соответствующей задачи Римана-Гильберта. Это показано в п. 16.2 па примере угловых точек первого типа (по вспомогательной классификации) и полей направлений г класса Рех.

Предполагается, что все угловые точки с,: являются симметрическими точками (в указанном выше смысле), вводится понятие несимметрической точки (ш = 1,2) и доказывается

Теорема 15. Если все угловые точки с, (г = 1...., п. п > 2) поверхности S есть 2-симметрические точки с внутренними. углами 2vi ^ 2щ,

где величина, вполне определенная главными кривизнами поверхности в точке с; ({) < ш,- < тг/2), то задача Л безусловно разрешима в классе ограниченных решений для любого выходящего поля направлений, а ее решение зависит от 2п - 3 вещественных параметров. В частности, если к® = то щ = тг/6.

Список публикаций автора по теме диссертации

I. Издания, рекомендованные ВАК РФ для публикации материалов докторских диссертаций:

1. Тюрпков, Е.В. Краевая задача Гильберта для обобщенных аналитических функций с разрывными коэффициентами в граничном условии / Е. В. Тюрпков // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 1975. - № 4. - С. 104-105.

2. Тюриков, Е. В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и положительной кривизны с кусочно-гладким краем / Е.В. Тюрпков /7 Матем. сб. - 1977. - Т. 103 (145), № 3 (7). - С. 445-462.

3. Тюриков, Е.В. Нелинейная краевая задача Римана Гильберта для квазилинейных эллиптических систем / Е.В. Тюрпков // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 247, № 5. - С. 1068-1072.

4. Тюриков, Е. В. Об одном классе нелинейных задач сопряжения со сдвигом для аналитических функций / Е.В. Тюрпков // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 290, № 4. - С. 796-800.

5. Тюриков, Е.В. Метод линеаризации в теории нелинейных задач сопряжения аналитических функций / Е. В. Тюриков /,' Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 1. С. 34 39.

6. Тюриков, Е.В. Об одном расширенном классе бесконечно малых изгибаний регулярных выпуклых поверхностей / Е.В. Тюриков // Владпкавк. мат. ж. 2005. Т. 7, №1. С. 61 66.

7. Тюриков, Е. В. Об одной граничной задаче теории бесконечно малых изгибаний поверхностей / Е. В. Тюриков // Владик. матем. ж. 2007. Т. 9, № 1. С. 62 68.

8. Тюриков, Е. В. Смешанная граничная задача теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей / Е. В. Тюриков // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. пауки. — 2008. — № 6. — С. 17-22.

9. Тюриков, Е. В. Геометрический аналог задачи Векуа Гольденвейзера / Е. В. Тюриков // Докл. РАН. - 2009. - Т. 424, № 4. -С. 455-458.

10. Тюриков, Е. В. Некоторые достаточные условия разрешимости сметанной граничной задачи И. Н. Векуа / Е. В. Тюриков // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Еетеетв. науки. — 2009. — № 1. — С. 21-26.

11. Тюриков, Е. В. Решение смешанной граипчной задачи мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тюриков // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. — 2011. — № 6. — С. 13-18.

12. Тюриков, Е. В. Общий случай смешанной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек /' Е. В. Тюриков // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 2. С. 30 35.

13. Тюриков, Е. В. Об одном классе граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тюриков /7 Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 3. С. 18 24.

14. Тюриков, Е. В. Об одной граничной задаче мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тюриков // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № б. С. 38 41.

15. Тюриков, Е. В. Некорректная граничная задача теории бесконечно малых изгибаний поверхностей / Е. В. Тюриков // Изв. Вузов Сев.Кавк. регион. Серия естеств. науки. — 2013. — № 3. — С. 12-15.

II. Остальные публикации:

16. Тюриков, Е. В. Об одной нелинейной краевой задачи теории изгибаний поверхностей / Е. В. Тюриков // Седьмая Всесоюзная конференция но современным проблемам геометрии (Минек, 3-5 октября, 1979). Тезисы докладов. - БГУ. - 1979. - С. 205.

17. Тюриков, Е.В. Нелинейные граничные задачи для квазилинейных эллиптических систем / Е. В. Тюриков // Всесоюзная школа-семинар «Оптимальное управление. Геометрия и анализ» (Кемерово, 29 сеитября-8 октября 1986). Тезисы докладов. — Кемерово, 1986. С. 125.

18. Тюриков, Е. В. О жесткости двусвязного куска овалоида с кусочно гладким краем при втулочной связи / Е. В. Тюриков // Межд. конф. по геометрии «в целом» (Черкассы, Украина, 12 15 сентября 1995). Тезисы докладов. ЧИТИ. 1995. С. 88 89.

19. Тюриков, Е. В. К вопросу о распределении нежестких втулочных связей для выпуклых поверхностей / Е.В. Тюриков // Межд.

школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 5 11 сентября 1998). Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998. - С. 76-77.

20. Тториков, Е. В. Расширение класса бесконечно малых изгибаний регулярных локально выпуклых поверхностей / Е.В. Тториков Ц Труды участников межд. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2002. — С. 82-83.

21. Тториков, Е. В. Об одной смешанной граничной задаче И.Н. Вскуа мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тториков //' Межд. конф. «Векуа-100» (Новосибирск, 28 мая-2 июня 2008). Тезисы докл. — Новосибирск: Новосибирск, гос. ун-т. — 2007. — С. 478-479.

22. Тториков, Е. В. Сметанная граничная задача И. Н. Векуа теории б. м. изгибаний поверхностей / Е. В. Тториков // Тезисы докладов 7-й Межд. конф. по геометрии и топологии. — Черкассы (Украина): ЧГТУ, 2007. - С. 81-82.

23. Тюриков, Е. В. Решение задачи Векуа Гольденвейзера Фоменко в общем случае / Е. В. Тюриков // Труды участников межд. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. — Ростов-на-Дон.у, 2008. - С. 74-76.

24. Тюриков, Е. В. Об одном случае сметттанной граничной задачи И.Н. Векуа / Е.В. Тюриков // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. — Владикавказский научный центр РАН. - 2008. - С. 67-74.

25. Тюриков, Е. В. Обобщенная граничная задача Гольденвейзера для безмоментных сферических куполов / Е. В. Тюриков // Труды XIV межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-па-Допу, 19-24 июня 2010. — Ростов-па-Дону, 2010. — Т. И. -С. 290 293.

26. Тюриков, Е. В. Граничная задача И. Н. Векуа для обобщенных сферических куполов / Е. В. Тюриков // Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнения и их приложениям. Владикавказский научный центр РАН. 2010. Т. 4.

С. 290-297.

27. Тюриков, Е. В. Обобщенная граничная задача И. Н. Вскуа мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тюриков // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказский научный центр РАН. — 2011. — Т. 5. - С. 225-229.

28. Тюриков, Е. В. О разрешимости обобщенной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тюриков //' Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа-П» (Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012). Тезисы докладов. — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2012. — С. 74.

29. Тюриков, Е. В. Об одном геометрическом аналоге смешанной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек / Е. В. Тюриков /7 Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-Ш» (Ростов-на-Дону, 2 6 июня 2013). Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2013. - С. 85.

Подписано в печать 2.10.13. Формат 60 х 84 Vi6- Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,33. Уч.-изд. л. 2,43. Тираж 150 экз. Заказ № 3197.

Отпечатано в типографии ЮФУ 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1. Тел. (863) 247-80-51.

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего профессионального образования Южный федеральный университет

05201450412 На правах рукописи

Т Ю Р И К О В Евгений Владимирович

РАЗРЫВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ

01.01.04 — геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Климентов С. Б.

Ростов-на-Дону 2013

Оглавление

Введение 4

1 Краевые задачи Римана—Гильберта для обобщенных ана литических функций с разрывным коэффициентом в гра ничном условии

Введение ................................

§ 1 Краевая задача Римана-Гильберта для единичного круга . .

§ 2 Задача Римана-Гильберта специального вида.........

§ 3 Обобщение граничной задачи Я ................

2 Нелинейные граничные задачи с разрывным граничным условием для эллиптических систем уравнений первого по-

рядка на плоскости 88

Введение ................................ 88

§ 4 Нелинейная краевая задача Римана-Гильберта с разрывным граничным условием для квазилинейных эллиптических систем уравнений.......................... 90

§ 5 Об одном классе нелинейных задач сопряжения со сдвигом

для аналитических функций.................. 111

§ 6 Метод линеаризации в теории нелинейных задач сопряжения

аналитических функций..................... 138

3 Смешанные граничные задачи теории бесконечно малых изгибаний регулярных выпуклых поверхностей 151

§7 Введение. Постановка задачи.................. 151

25

25

26 42 73

§ 8 Некоторые свойства сопряжённо изометрической системы координат на поверхности..........................................154

§ 9 Сведение задачи А к вспомогательной задаче R..............165

§ 10 Классификация угловых точек граничного условия A(L) . . 167

§11 Геометрические результаты......................................182

§ 12 Геометрический аналог смешанной задачи мембранной теории выпуклых оболочек с граничными условиями Синьорини 188

4 Разрывные граничные задачи мембранной теории выпуклых оболочек 198

§ 13 Введение. Постановка задачи....................................198

§ 14 Решение смешанной граничной задачи мембранной теории

выпуклых оболочек .......................201

§ 15 Решение общей граничной задачи для обобщенных сферических куполов...........................210

§ 16 Общий случай задачи R.....................220

Литература 231

Введение

Основы безмоментной (мембранной) теории тонких упругих оболочек были заложены в первой половине прошлого столетия в классическом сочинении А. Лява [31], где наряду с вопросами безмоментной теории рассмотрены также вопросы бесконечно малых изгибаний поверхностей. В дальнейшем общие и специальные задачи мембранной теории оболочек, а также ее связи с бесконечно малыми изгибаниями поверхностей рассматривались в работах В.З. Власова [13], А. Л. Гольденвейзера [16], В. В. Новожилова [36], Ю. Н. Работнова [37]. Общие методы теории функций комплексной переменной, развитые главным образом в работах Н. И. Мусхелишвили [35], начали применяться в теории оболочек во второй половине прошлого века. В работах И. Н. Векуа эти методы были использованы для исследования основных задач общей теории тонких пологих оболочек [5]. В работах А. Л. Гольденвейзера [15], [16] рассмотрены задачи безмоментного напряженного равновесия сферических оболочек с краем, где под краем оболочки понимается граница ее серединной поверхности. При этом на разных участках края задаются различные статические условия (впоследствии названные И. Н. Векуа смешанными граничными условиями), а пограничные точки таких участков полагаются угловыми точками границы. Такое предположение является вполне естественным с точки зрения теории стержневых систем, используемых в [16] для реализации статических граничных условий. Дальнейшее продвижение в построении мембранной теории связано с основополагающей работой И. Н. Векуа [5], в которой создан общий метод изучения основных задач безмоментной теории выпуклых оболочек. Основу этого метода составляет разработанная в [5] теория граничной за-

дачи Римана-Гильберта для эллиптических систем линейных уравнений первого порядка на плоскости (обобщенных аналитических функций) с последующим анализом уравнений равновесия мембранной теории и статических граничных условий. Определяющим здесь является то обстоятельство, что безмоментное напряженное состояние равновесия выпуклой оболочки при тех или иных статических граничных условиях вполне определяется решением соответствующей граничной задачи Римана-Гильберта для некоторой обобщенной аналитической функции (комплексной функции напряжения). Этот метод нашел свое дальнейшее развитие в известной монографии И.Н. Векуа «Обобщенные аналитические функции», в которой аппарат теории обобщенных аналитических функций применен прежде всего для постановки и решения ряда специальных граничных задач теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны и заданного класса регулярности. К таким задачам относятся следующие:

(а) задача об отыскании бесконечно малых изгибаний поверхности с заданной вариацией нормальной кривизны либо геодезического кручения в направлении края;

(б) задача об отыскании бесконечно малых изгибаний, совместимых с условием ортогональной втулочной связи.

Постановка этих задач непосредственно связана с задачами мебранной теории, так как в случае выпуклой оболочки физическая краевая задача определения тангенциального поля напряжений (см. [10]) есть статический аналог задачи (а), а кинематическая задача об отыскании поля смещения (или задача о деформационном состоянии оболочки) и задача (б) сводятся соответственно к неоднородной и однородной задачам Римана-Гиберта для обобщенной аналитической функции. При этом задачи (а) и (б), а также соответствующие им физическая и кинематическая задачи мембранной теории приводят к взаимно сопряженным краевым задачам теории обобщенных аналитических функций, что существенно облегчает исследование вопросов разрешимости этих задач. Важно также отметить, что

в [10] на основе анализа решений задач (а) и (б) дано описание механизма реализации статических граничных условий при помощи ортогональной втулочной связи. Разработанная в [10] теория задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций с гельдеровым коэффициентом граничного условия, а также результаты о разрешимости задач (а) и (б) для поверхностей класса регулярности }¥3'р, р > 2, с С1,А-гладкой (0 < Л < 1) границей составляют математическую часть мембранной теории выпуклых оболочек. Создание этой теории было завершено И. Н. Векуа в монографии «Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек» ([11, гл. III-V]), в которой основные граничные задачи мембранной теории выпуклых оболочек с серединной поверхностью указанного класса регулярности и положительной гауссовой кривизны редуцируются к той или иной задаче Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций. При этом каждому из основных статических условий, заданному на гладкой боковой поверхности оболочки соответствует задача Римана-Гильберта с гельдеровым коэффициентом граничного условия. Однако поставленная ранее И. Н. Векуа [8], [10] задача о реализации без-моментного напряженного состояния равновесия выпуклой оболочки при заданном смешанном граничном условии уже не укладывается в рамки теории [8]. Это обстоятельство никак не отмечено в работах [8]-[10], хотя из полученных там же граничных условий с очевидностью следует, что в математической постановке мы имеем задачу Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия даже в случае гладкости границы серединной поверхности. Более того, если граница серединной поверхности — кусочно-гладкая кривая (т. е. боковые поверхности оболочек — кусочно-гладкие поверхности с ребрами), а вид статического граничного условия при переходе через угловые точки не меняется, то мы также имеем дело с разрывной граничной задачей Римана-Гильберта. Следует отметить, что описание граничного условия Римана-Гильберта, данное А. Л. Гольденвейзером в [15], (см. также [16, с. 257]), не позволяет в полной мере использовать результаты Н.И. Мусхелишвили [35, гл.4, § 83] и дать точные

математические формулировки о разрешимости поставленных задач. Однако это не умаляет значение работы А. Л. Гольденвейзера [15], в которой впервые установлена связь между задачами безмоментной теории сферических куполов и задачей Римана-Гильберта для аналитических функций с разрывным коэффициентом граничного условия, а также введен термин «концентрация напряжений» для механической интерпретации решений, неограниченных в точках разрыва граничного условия.

Методы [10] мембранной теории выпуклых оболочек и теории бесконечно малых изгибаний поверхностей получили дальнейшее развитие в работах [25], [70]-[73] по теории непрерывных изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны с краем, однако здесь уже приходится иметь дело с нелинейной задачей Римана-Гильберта с гельдеровым коэффициентом граничного условия для эллиптических систем квазилинейных уравнений на плоскости.

Существующий в мембранной теории выпуклых оболочек метод [10], [11] не позволяет дать решение смешанных граничных задач, поставленных в [5], для оболочек с гладкими боковыми поверхностями. В случае же оболочек с кусочно-гладкими боковыми поверхностями решение как основных граничных задач, так и задач со смешанными граничными условиями невозможно без дальнейшего развития методов [10], [11]. То же самое можно сказать о задачах (а) и (б) теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны с кусочно-гладким краем (которые мы называем геометрическими аналогами основных граничных задач мембранной теории), а также нелинейных граничных задачах теории изгибаний поверхностей.

Все это делает актуальными следующие задачи.

1) Развитие методов [5]-[11], позволяющее получить полную картину разрешимости задачи Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия для обобщенных аналитических функций в областях с кусочно-гладкой границей.

2) Использование их для построения мембранной теории выпуклых обо-

лочек с кусочно-гладкими боковыми поверхностями, а также решение геометрических аналогов основных граничных задач этой теории, к которым следует отнести прежде всего задачи (а) и (б) для поверхностей указанного класса регулярности с кусочно-гладким краем.

3) Отыскание методов исследования нелинейной задачи типа Римана-Гильберта с разрывным граничным условием для эллиптических систем квазилинейных уравнений первого порядка на плоскости, а также сходных задач для аналитических функций.

Цель настоящей работы — изучить разрешимость задачи 1) для одно-связной области, а также разрешимость связанных с ней задач (а) и (б) для односвязных поверхностей заданного класса регулярности; на основе полученных результатов в рамках решения задачи 2) исследовать основные граничные задачи мембранной теории выпуклых оболочек, серединная поверхность которых является односвязной поверхностью указанного класса регулярности с кусочно-гладким краем; изучить смешанную граничную задачу для таких оболочек, поставленную И. Н. Векуа [10] и А. Л. Гольденвейзером [16] в частных случаях, а также дать решение более общей граничной задачи, постановка которой учитывает специфику состояния напряженного равновесия оболочки с ребристой боковой поверхностью; получить содержательные результаты в решении задач вида 3).

Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводится методами теории обобщенных аналитических функций, при систематическом использовании методов граничных задач для аналитических функций, сингулярных интегральных уравнений, функционального анализа.

В диссертации дано полное решение задачи Римана-Гильберта для обобщенной аналитической в единичном круге функции с кусочно-гельдеровым коэффициентом граничного условия, допускающим конечное число точек разрыва первого рода, причем в случае безусловной разрешимости решение найдено в резольвентной форме. Полученные результаты используются для исследования задач вида (а) и (б) теории бесконечно малых изгибаний односвязных поверхностей положительной гауссовой

кривизны. При этом предлагается естественное расширение класса непрерывных бесконечно малых изгибаний в рамках задачи об отыскании всех б.м. изгибаний поверхности класса регулярности р > 2, с кусочно-

гладким краем, совместимых с одним из граничных условий вида (а), а также со смешанным граничным условием. Установлено, что картина разрешимости рассматриваемых задач вполне определяется направлением дуг границы в угловых точках, выделен класс задач теории б.м. изгибаний со смешанными граничными условиями вида (а) и (б), картина разрешимости которых определяется как направлением дуг границы в угловых точках, так и конфигурацией тех дуг, вдоль которых задано кинематическое условие ортогональной втулочной связи для вектора смещения. Задачу указанного вида можно рассматривать как геометрический аналог задач мембранной теории, отнесенных И. Н. Векуа к задачам с граничным условием Синьорини (см. [11, с. 157]).

Разработан метод исследования основных граничных задач мембранной теории оболочек со срединной поверхностью класса регулярности И/4 р > 2, и кусочно-гладким краем, состоящим из конечного числа дуг класса регулярности С1,Л, 0 < Л < 1, а также дано решение смешанной граничной задачи, поставленной в [10]. Найдены геометрические критерии безусловной разрешимости таких задач в ограниченных классах решений, а также в подходящих классах, допускающих концентрацию напряжений (см. [15]) в угловых точках.

Установлено, что в случае безусловной разрешимости каждой из таких задач число вещественных параметров, входящих в решение, зависит только от направления дуг границы, сходящихся в угловых точках, и не зависит от конфигурации этих дуг.

В диссертации дается решение новой по своей постановке задачи о реализации безмоментного напряженного состояния оболочки при выполнении граничного условия общего вида, включающего в себя все рассмотренные до этого статические граничные условия. Ее постановка позволяет в случае безусловной разрешимости дать прозрачную геометрическую ин-

терпретацию решений, неограниченных в угловых точках границы, а также «сравнивать» различные состояния напряженного равновесия по числу параметров, входящих в соответствующие решения.

Разработан подход к исследованию разрешимости ряда нелинейных задач типа Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия для квазилинейных эллиптических систем уравнений на плоскости. Такие задачи возникают при изучении изометрических преобразований и непрерывных изгибаний поверхностей положительной гауссовой кривизны с кусочно-гладким краем. Предложен новый метод исследования сходных граничных задач для аналитических функций, а именно: нелинейной задачи сопряжения с недифференцируемым сдвигом и нелинейной задачи сопряжения с разрывным граничным условием.

Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты создают основу для их систематического применения в задачах дифференциальной геометрии и механики, имеющих отношение к теории изгибаний и теории тонких упругих оболочек.

Перейдем к обзору диссертации по главам. Чтобы не загромождать изложение, во введении почти не оговариваются классы регулярности за исключением тех случаев, когда это необходимо для понимания дальнейшего изложения.

Диссертация состоит из введения, четырех глав (16 параграфов, каждый из которых разбит на пункты и имеет сквозную нумерацию). Объем диссертации — 240 страниц, включая список литературы из 90 наименований.

В первой главе (§§ 1-3) дано решение важных с точки зрения приложений краевых задач Римана-Гильберта для обобщенных аналитических в односвязной области функций с разрывным коэффициентом в граничном условии. Классическая теория граничных задач для аналитических функций зарождалась в трудах Б. Римана, Д. Гильберта. В отдельную теорию она оформилась в 20-м веке в трудах И. И. Привалова, Н. И. Мусхелишви-ли, И. Н. Векуа, Ф. Д. Гахова и др. Благодаря их исследованиям и работам

их учеников теория краевых задач аналитических функций и ряд ее приложений приобрели, в известном смысле, законченный характер. С исчерпывающей полнотой изложение теории появилось в 1946 г. в монографии Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения», в которой впервые было дано решение задачи Римана-Гильберта для аналитических функций с гельдеровым коэффициентом граничного условия, допускающим конечное число точек разрыва на границе односвязной области. Там же ссылкой на работу [15] А. Л. Гольденвейз�