Об одном виде выпуклости в многомерном комплексном анализе и его приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение 3

Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ НА ЛИНЕЙНО ВЫПУКЛОМ ОТКРЫТОМ МНОЖЕСТВЕ

Предварительные сведения I?

§1. Об описании сопряженного пространства к пространству 21 голоморфных функций

§2. О разделении особенностей голоморфных функций

§3. О разложении голоморфных функций в ряды простейших дробей

Глава 2. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ВЫПУКЛОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

§4. Свойства £ -сопряженных множеств

§5. Свойства )С -выпуклых множеств

§6. X. -выпуклые оболочки

§7. Схема Вольфа для £-выпуклых областей

§8. О связи между обобщенной линейной и полиномиальной 60 выпуклостями

Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ВЫПУКЛОСТИ

§9. Характеристика рационально выпуклых компактов конечного порядка

§10. Об описании пространства jt (Е) для открытого

-выпуклого множества

§11. О разделении особенностей функций, голоморфных на & -выпуклых множествах

п Область 3) пространства С 71 комплексных переменных называют линейно выпуклой, если для каждой ее граничной точки X можно указать комплексно 71-{ -мерную плоскость, проходящую через СС и не пересекающую eZ) • Связный компакт в С называется линейно выпуклым, если его можно аппроксимировать извне последовательностью линейно выпуклых областей.С понятием линейной выпуклости тесно связано понятие сопряженного множества. Для О^Е^ С сопряженным множеством называют множество Аналогично определяется £ как сопряженное к Е • При этом Е называется первым, а £" -вторым сопряженным множеством к с. .Как уже указывалось, при Ti-Z> понятие линейной выпуклости было введено Беенке и Пешлем. Б случае произвольного 71 оно введено в работе [2] . Рассматриваемая там выпзгклость называлась обобщенной, но затем [ю] термин "обобщенная выпзгклость" был заменен ' более удачным термином "линейная выпуклость".Указанную линейную выпуклость следует отличать от линейной выпуклости по А.Мартино. Термин "линейная выпуклость" прюленялся в работах А.Мартино fll, 12] в близком, но не тождественном с!лысле.А именно, множество О^Е^С Мартино называл линейно выщпклым, если Е ^ Е . Оказывается, что линейно выпуклые по Мартино области и компакты являются линейно выпуклыми, а обратное не. верно, как показывают примеры в [Ю, 13] .В этом определении фигурируют два условия: геометрическое /линейная выпуклость/ и функциональное /изоморфизм пространств/. До 1979 г. не было чисто геометрического описания класса сильно линейно выпуклых множеств, пока не появилась работа [l4] . В ней доказано, что для сильной линейной выпуклости области S) ^ С необходимо и достаточно, чтобы сечение ее любой аналитической прямой было стягиваемо.На комплексной плоскости все области и компакты сильно линейно 72. выпуклы, в с выпуклые в геометрическом С1лысле области и компакты являются сильно линейно выпуклыми [И, 15] . Таковыми являются области и компакты, аппроксимируе^лые линейно выпуклыми областяьш с гладкими границами [з, 16J . Сильно линейно выпуклые множества нашли применения в решении ряда задач многомерного комплексного анализа fs, 17, 18] .В настоящее время понятие линейной вьшуклости хорошо исследовано. Возникла задача об обобщении этого понятия с целью получения результатов, аналогичных известным результатам А.Мартино, Л.А.Айзенберга, В.М.Трутнева, но в более общем случае. Такая задача решается в предлагаемой работе. Перейдем к изложению ее содержания.Как показывает теорема Пуанкаре-Ароншайна-Хавина fl9, 20, 21] , при Т1=^{ разделение особенностей всегда возможно, а при 7г>{ оно возможно не всегда [З, 22] . Таким образом, при U>{ для выполнения условия (I) на рассматриваемые множества следует налагать дополнительные ограничения.Если множества Е , Е^ сильно линейно выпуклы, то [З, 18] геометрическое условие H(E,UEj=E является достаточным /и даже необходимым/ для (1) , В §2 показано, что для линейно выпуклых множеств это условие перестает быть достаточным и что вместо него можно взять равенство Теорема 2. Если ограниченные множества £" , £"^ , f 2^ линейно выпуклы, то (2)=Ф(1) .Доказательства этих теорем основаны на тех же идеях, что и при 71-i [23J . Там роль & играла жорданова область, областью Х> было дополнение ff , а ряды (3) имели вид к5 г->д Во второй главе изучается понятие так называемой обобщенной линейной выпуклости. Оно вводится следующим образом.Таким образом, понятие обобщенной линейной выпуклости обладает определенной гибкостью.Тем самым определены операторы оС •' Л —^ Л , j * * ^ —*" *^ > которые в линейном слзгчае /т.е. когда/\/= 71 , г^ГН)=Х/ совпадают с оператором А/ перехода от данного множества к его первому сопряженному множеству. При этом суперпозиции d,b и ВоС дают -Я^ .Для Е^Л ьшожества о6(Е), JoCiE) будем называть соответственно первым и вторым ^ -сопряженными к Е множествами.Аналогичная терминология }1щЕ^Л : р{Е) -первое, оС^ (F) второе i^ -сопряженные множества к Г .Изучению «5^-сопряженных множеств посвящен §4. Изложение ведется в терминах свойств операторов оС VL р, , Оказывается, что они наследуют ряд свойств оператора А^ , например, убьшают по включению, открытые множества переводят в компактные, а компактные - в открытые и т.д.В §5 устанавливаются некоторые свойства ^ -выпуклых областей и компактов. При этом существенно используются результаты §4.Различные описания , ^ -выпуклой области дает Теорема 5, Пусть 3) -ограниченная область в С , содержащая начало координат. Тогда следующие условия равносильны: а/ область «0 является обобщенно линейно выпзгклой; б/ область JZ) совпадает с одной из связных коьшонент своего второго. dC -сопряженного множества; в/ еЭ есть связная компонента открытого множества II г/ область S) выпукла относительно множества голоморфных в ней функций ^ 7 , д/ 3) является пределом возрастающей последовательности j^ -выпуклых областей.Заметюд, что в линейном случае равносильность условий а/ и б/ установлена в [2] , а импликация д/=^ а/ доказана в [2?] . Условие ограниченности S) существенно лишь в доказательстве в/=Фг/: если в формулировке теоремы опустить г/, то оставшиеся условия эквивалентны без требования ограниченности области (2) .Теорема 6. Для того, чтобы ограниченная ^ -вьшуклая область 5) *- С не имела дополнительной а2Г-выпуклой оболочки, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки X € bJD существовала такая непостоянная функция , ЧТО при отображении точках переходила в граничную точку ко!шакта £(ой) .Тем самым обобщен один результат, установленный ранее в условиях линейной выпуклости [28] или рациональной выпуклости конечного порядка [2б] .Кроме того, в §6 дается достаточный признак отсутствия дополнительной об -выпуклой оболочки.Теорема 7. Пусть 0€^ с С -ограниченная ^ -выпуклая область . Если первое iC -сопряженное ьшожество к <2) является толстым компактом /т.е. совпадает с замыканием своей внутренности/, то cZ) не имеет дополнительной X -выпуклой оболочки.Следует заметить, что в условиях линейной выпуклости данный факт ранее не был известен.В §7 изложена схема Вольфа [29, 2] для X -выпуклой области.Результат заключен в следующем утверждении, которое применяется далее в §§8, 9.Третья глава посвящена приложениям теории, развитой в главе 2.Тем самым обобщен известный результат Л.А.Айзенберга [2] о разложении голоморфных функций на простейшие дроби.Наконец, в §11 указан аналог теоремы 2 для обобщенной выпуклости. Пусть EJ » £"2, -ограниченные открытые множества, содержащие начало координат (С » и Е = Ejf)Eo* Рассмотрим следующие условия. а/ Любая функция -^^JKE) представима в виде Cl) . б/ HiEi и Е^ ) = Е' . • в/ H(E^UEJ =£".Теорема I I . Если множества Е i Ej i Е вС-выпуклые, то 1 Z б/=фа/. Если все они аппроксимирзгются регулярными областями, то в/=> а/.Таким образом, результаты проведенных исследований состоят в следующем, 1. Введено понятие обобщенной линейной выпуклости, включающее в себя как частный случай понятие линейной а также некоторые другие типы выпуклости.2. Даны описания и указаны свойства ьС -выпуклых областей и X, -выпуклых оболочек. Рассмотрен вопрос о сходимости таких оболочек и о связи между обобщенной линейной и полиномиальной выпзгклостями.3. Дана характеристика рационально выпуклых компактов.4. Продолжены исследования А.Мартино, Л.А.Айзенберга и других математиков по описанию сопряженных пространств к пространствам аналитических функций.5. Дополнены результаты Л.А.Айзенберга, В.М.Трутнева, относя'щиеся к задаче о разделении особенностей голоморфных функций.Показано, что методику изучения линейно выпуклых множеств можно применить для изучения множеств более общей природы. Обобщены некоторые известные и получены новые результаты в ьшогомерном комплексном анализе.Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [43-50] . По материалам диссертации были сделаны доклады на 5-й научной конференции Западно-Сибирского региона Ш и ССО PCiCP по математике и механике /Томск, 1975/, на научной конференции Омского государственного университета /Омск,1977/ а также на научно-исследовательских семинарах при Институте физики СО АН СССР, Красноярском и Уральском государственном университетах.

1. BeknU //., E. K°7ivexrfat in ancLiyUiche, £Sene?z cn k&inen unoL ръыеп. - sttbik.Ann., iS3s-t Bd.Ul> л/Z, S. iSS-tn.

2. Айзенберг Л.А. О разложении голоморфных функций многих комплексных переменных на простейшие дроби. -Сиб. матем. журн., 1967, т.8, Ш 5, с.1124-1142.7Z

3. Айзенберг Л.А. Линейная выпуклость в €■ и разделение особенностей голоморфных функций. jlca,d. Jo£on. Sti.,96*, v.iS, A/?, p. W-495.

4. Айзенберг Л.А., Трутнев B.M. Об одном методе суммирования Бореля 71 -кратных степенных рядов. -Сиб. матем. журн., 1971,т.12, № б, с.1398-1404.

5. Шейнов В.П. Трансфинитный диаметр и некоторые теоремы Пойа в случае функций многих комплексных переменных. -Сиб. матем. журн., 1971, т.12, Р б, с.1382-1389.

6. Красикова Н.С., Трутнев В.М. Об одном многомерном аналоге теоремы Пойа. -В кн.: 0 голоморфных функциях многих комплексных переменных. Красноярск, йзд-во Ин-та физики СО АН СССР, 1976, с.78-86.

7. Айзенберг Л.А., Губанова А.С. Об областях голоморфности функций с действительными или неотрицательными тэйлоровскими коэффициентами. -Теор. функций, функц. анализ и их прилож., 1972, т.15, с.50-55.

8. Трутнев В.М. Об одном аналоге ряда Лорана для функций многих комплексных переменных. -В кн.: Голоморфные функции многих комплексных переменных. Красноярск, йзд-во йн-та физики СО АН СССР, 1972, с.139-152.

9. Трутнев В.М. Уравнения в свертках в выпуклых областях типа конуса в С71. -В кн.: Некоторые вопросы многомерного комплнкс-ного анализа. Красноярск, Изд-во Ин-та физики СО АН СССР, 1980, с.161-172.

10. Айзенберг Л.А., Южаков А.П., Макарова Л.Я. 0 линейной выпуклости в (Q . -Сиб. матем. журн., 1968, т.9, № 4, с.731-746.11. jtCcLvtineMA* А. notion. cL'enibtoitie.

11. Макарова Л.Я., Худайберганов Г., Черкашин В.П. Заметка о линейной и полиномиальной выпуклости. -Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1973, Р I, с.36-42.

12. Знаменский С.В. Геометрический критерий сильной линейной выпуклости, -функц, анализ и его прил., 1979, т.13, Р 3, с.83-84.

13. Айзенберг Л.А. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве функций, голоморфных в выпуклых областях (L .огъ&тепя иксе сетс СоптУехв.СсепсbtO, W, p. ft?-435.-Докл. АН СССР, 1966, т.166, с.1015-1018.

14. Айзенберг Л.А. Линейные функционалы в пространствах аналитических функций и линейная выпуклость в -Исследования по линейным операторам. Записки науч. семинаров ЛОМИ, 1978, т.81, с.29-32.

15. Знаменский С.В. О существовании голоморфных первообразных по веем направлениям. -Препринт Р 23 М йн-та физики СО АН СССР, Красноярск, 1983, 8 с.

16. Трутнев В.М. О свойствах функций, голоморфных на сильно линейно выпуклых множествах. -В кн.: Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных. Красноярск, йзд-во Ин-та физики СО АН СССР, 1973, с.139-155.

17. Роспсаге tf. fSut £ел -findion*-Amet. iJlcitL, №2, VAk, f.2ol-22l.

18. Лгок^асп AL с{г* Compact ion. d-вб <fonchoiii amfyityuet d Jut ьрр€сс^соп4%-1/(сЬ JiodL, {935> iT.6Sy pA-ise.

19. Хавин В.П. 0 выделении особенностей аналитических функций. -Докл. АН СССР, 1958, т.121, с.239-242.

20. Южаков А.П. Достаточное условие разделения аналитических особенностей и базис одного пространства функций. -Мат. заметки, 1972, т.11, № 5, с.585-596.

21. BtoWn X., Ske&ti А, £ Oil a&o&hгCoTivetgeTii exponenttaS SunixS. -Тгам. /Im-et. MotiL Soc.j i960, IT. ML, p. № ii3.

22. Коробейник 10.3>. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям. -Мат. замётки, 1982, т.З, Р 5, с.723-737.

23. Степаненко В.А. Об обобщении понятия линейной выпуклости и его приложениях. -В кн.: Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных. Красноярск, йзд-во йн-та физики СО АН СССР, IS73, с.123-137.

24. Макарова Л.Я., Потемкина Е.А. О дополнительных рационально выпуклых оболочках. -В кн.: Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных. Красноярск, йзд-во Ин-та физики СО АН СССР, 1973, с.219-223.

25. Зиновьев Б.С. Некоторые теоремы линейной выпуклости. -В кн.: Голоморфные функции многих комплексных переменных. Красноярск, Йзд-во Ин-та физики СО АН СССР, 1972, с.63-73.•

26. Макарова Л.Я. О дополнительных линейно выпуклых оболочках. -Сиб. матем. журн., 1970, т.II, № 3, с.547-551.

27. Уолш Д. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной плоскости. -М.:. Изд-во иностр. лит., 1961, 508 с.

28. Айзенберг JI.A., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. -Новосибирск: Наука, 1975, 114 с.

29. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. -М.: Изд-во иностр. лит., 1959, 410 с.

30. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. -М.: Шизматгиз, 1958, 470 с.

31. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.1. -М.: Наука, 1976, 320 с.

32. Шефер X. Топологические векторные пространства. -М.: Мир, 1971, 360 с.

33. Шукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многихкомплексных переменных. -М.: Физматгиз, 1962, 420 с.36. §ихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. -М.: Наука, 1966, 800 с.

34. Хенкин Г.М., Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных. -В кн.: Современные проблемы математики. Т.4. -М.: ВИНИТИ, 1975, 252 с.

35. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. . -М.: Изд-во иностр. лит., 1962, 852 с.

36. Рудин У. Функциональный анализ. -М.: Мир, 1975, 443 с.

37. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. -М.: Физматгиз, 1963, 428 с.

38. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. -г/г.: Наука, 1976, 400 с.

39. Гамелин Т. Равномерные алгебры. -М.: Мир, 1973, 520 с.

40. Симонженков С.Д. Об одном аналоге теоремы Вольфа для функций многих комплексных переменных. -Материалы 5-й науч. конф. по мат. и мех., т.1. -Томск, Изд-во Томского ун-та, 1975,с.24-25.

41. Симонженков С.Д. Об одном обобщении понятия линейной выпуклости. -Изв. вузов. Матем., 1978, Р 5, с.142-144.

42. Симонженков С.Д. 0 разложении функций в ряды правильных рациональных дробей. -Науч. труды Омского сельскохозяйст. ин-та, 1977, т.163, с.34-36.

43. Симонженков С.Д. К задаче о разделении особенностей. -В кн.: Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск, Изд-во Ин-та физики СО АН СССР, 1980, с.139-146.

44. Симонженков С.Д. Об общем виде линейного непрерывногофункционала в пространстве функций, голоморфных в обобщенном шаре. -Изв. вузов. Матем., 1981, Р 10, с.58-63.

45. Симонженков С.Д. Об описании сопряженного пространства к пространству функций, голоморфных в области одного специального вида. -Сиб. матем. журн., 1981, т.22, W 2, с.218-221.

46. Симонженков С.Д. О разделении особенностей функций, голоморфных в линейно выпуклых областях. -Изв. вузов. Матем., 1984, Р 3, с.86. Аннотация статьи, принятой к депонированию в ВИНИТИ 30 сент. 1983 г., Р 5430-83 Деп. 6 с. Библиогр. 3 назв. /рус/.

47. Симонженков С.Д. О полиномиальной выпуклости одного класса областей. -В кн.: Прикладная геодезия в сельском хозяйстве. -Омск: йзд-во Омского сельскохозяйст. ин-та, 1979,с. 39-40.