Сильная линейная выпуклость тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Российская Академия Нлук Сибирскою Отлил ем и 15 Институт математики

* \

Ига

1 о-июноо^

на правах рукописи

Знаменский Сергей Витальевич

УДК 517.55

Сильная линейная выпуклость 01.01.01. — Математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук '

Новосибирск 1994 г.

Работа выполнена в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской АН.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Доктор физико-профессор Доктор физико-профессор Доктор физико-профессор

математических наук Ю. Ф. Коробейник математических наук А. Д. Медных математических наук А. М. Кытманог?

Институт математики Башкирской АН

Защита состоится « I Ь» июнл 1994 года в на заседании специализированного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Институте математики Сибирского отделения Российской Академии Наук по адресу 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО Российской АН

Автореферат разослан

1994 года

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

иь

В. А. Шарнфутдшюц

Актуальность темы. Понятие линейной выпуклости возникло б 30® (planarconvexüüt в работе Н. Belinke, Е. Pesclil при попытке построить такой естественный комплексный аналог выпуклости, п котором роль прямых и плоскостей играли бы комплексные плоскости и прямые.

Прилив интереса к линейно выпуклым .множествам, начавшийся в 60х и сегодня усиливающийся, вызван проблемой описания линейных функционалов на пространстве H(D) функций, аналитических в области D £ С" (см. публикации L. Fantappie, Л.

A. Айзенберга, A. Martillean Y. Tsuno, С. Г. Гиндикина, Г. М. Хенкина и других авторов), задачами о разделении особенностей (рассматривавшимися JI. А. Айзенбергом, А. П. Южаковым и их учениками), о разложении на простейшие дроби (JI. А. Айзенберг,

B. М. Трутнев), о разрешимости дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и уравнений свёртки (A. Martineau), об аппроксимации Кергина ( М. Aiulersson, М. Passare) и о томографии в пространстве аналитических функционалов и другими, см. также обзор [9] и литературу в нём.

А. Мартино называл линейно выпуклое множество сильно линейно выпуклым (jortement linéclement convexe) если предложенное JI. Фантаппье соответствие устанавливает изоморфизм между некоторыми пространствами аналитических функционалов и функций, связанных с этим множеством. Автором описан класс сильно линейно выпуклых множеств. Он состоит из таких линейно выпуклых областей или компактов, сечения которых комплексными прямыми ацикличны [1, 6] (ацикличность открытого или компактного множества на комплексной проективной прямой означает связность самого множества и непустоту и связность дополнения к нему).

В других перечисленных задачах простой ответ оказался возможным лишь в классе сильно линейно выпуклых множеств.

Геометрические свойства линейно и сильно линейно выпуклых множеств систематически исследовались в работах A. Martillean, JI? А. Айзенберга, JI. Я. Макаровой. А. П. Южакова, В. А'. Сте-паненко, Б. С. Зиновьева, Ю. Б. Зелинского и других математиков России, стран ближнего и дальнего зарубежья.

Это интуитивно ясное понятие постепенно оказалось настолько естественным комплексным аналогом обычной выпуклости, что шведские математики М. Aiulersson, М. Passare и L. Horiimncler стали называть его более лаконично — С-аыпуклостъю Результа-

ты диссертации раскрывают .многогранные аналогии между обычной выпуклостью и этим её комплексным аналогом.

С. Г. Гиндикин и Г. М. Хенкин выявили естественную этих исследований с математической физикой (теорией твисторов). Упомянутые исследования неожиданно оказались связаны также с инвариантными метриками в комплексном анализе (L. Lempert). Растущий интерес к понятиям линейной и сильной линейной выпуклости вызвал серию попыток обобщений этих понятий (С. О. Kiselman, Ю. Б. Зелинский, С. Л. Симонженков, Г. А. Мкртчян, J. Boo и др.). '

Цель исследования. Изучение геометрических свойств сильной линейной выпуклости в сопоставлении со свойствами обычной выпуклости; исследование аналогии поведения пространств голоморфных функций, и других объектов теории функций многих комплексных переменных на сильно линейно выпуклых множествах множествах поведению соответствующих объектов вещественного анализа на выпуклых множествах; использование полученных результатов для доказательства разрешимости уравнений свёртки.

Методика исследования. Используются методы топологии, геометрии, теории функций одного и многих комплексных переменных и функционального анализа-, развитые в работах Л. А. Айзенберга, А. Гротендика А. Мартино, Ю. Б. Зелинского, Ф. Ф. Бра-удера, К. Чисельмана, А. П. Южакова и других исследователей.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. В частности:

• Получен ряд результатов и примеров, убедительно свидетельствующих о том, что что сильная линейная выпуклость является точным комплексным аналогом выпуклости несмотря на то, что она наследует от выпуклости совершенно не те свойства, которые наследуются многочисленными изученными аналогами выпуклости; Невозможность использования традиционных идей и методов выпуклого анализа потребовала создания качественно иной теории.

• Сопряжённое к пространству функций, голоморфных на линейно выпуклом открытом либо компактном множестве описано в виде замкнутого подпространства голоморфных функций от 7i точек сопряжённого множества, что позволило распространить геометрический критерий сильной линейной выпуклости на произвольные линейно выпуклые открытые и ком-

пактные шщшожсствл CP". Для сильно линейно выпуклых множеств и только для них удалось установить рял утверждений, связывающих свойства аналитических функционалов и их семейств со свойствами одномерных линейных проекций (аналог преобразования Радона).

Теоретическая значимость. В диссертации исследованы и систематизированы геометрические свойства сильно линейно выпуклых множеств и качественно расширен класс их известных примеров. Выявлены фундаментальные свойства дифференциальных уравнений и аналитических функционалов, имеющие место только на этих множествах. Разработаны эффективные методы получения разрешимости линейных уравнений в пространствах голоморфных на таких множествах функций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях по комплексному анализу и его приложениям (Варна, Болгария, 1985, 1987), на Всесоюзных конференциях по комплексному анализу (Донецк, 1984; Ташкент, 1985; Красноярск, 1987) и по теории функций (Теберда, 1985; Уфа, 1989; Архыз, 1991), на семинарах по многомерному комплексному анализу в городах Гётеборге (Швеция), 1992; Красноярске, 1981 - 1993; Москве: МГУ, 1985; МИАН, 1992; Новосибирске, 1991; Ростове-на-Дону, 1992; Стокгольме (Швеция), 1992; Упсале (Швеция), 1992; Уфе, 1992; Дюссельдорфе (Германия), 1993; Фехте (Германия), 1993; на семинаре отдела топологии МИАН, 1992: на семинаре отдела математической физики МИАН, 1985, 1990- 1993.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4-16]. В работах [7, 10] автору принадлежат формулировки всех результатов и идеи их доказательств, а в [16] соискателю принадлежит всё, кроме определений и формулировки теоремы 1, ранее полученной соавтором.

Структура и об-ьём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих*20 параграфов и списка литературы и содержит 250 страниц текста. Библиография содержит 148 наименований.

Материал диссертации сгруппирован по главам следующим образом: первая глава содержит подробное систематическое изложение важнейших геометрических свойств линейной выпуклости по Мартино и С-выпуклости, вторая посвящена свойствам пространств аналитических функционалов, а третья — свойствам ли-

нейных функциональных уравнений.

Обзор главы I. Первая глава посвшцсна геометрическим свойствам линейной выпуклости по Мартино и С-выпуклости.

Понятие линейной выпуклости возникло в [7] как естественная попытка построить такой комплексный аналог выпуклости, в котором роль опорных гиперплоскостей играли бы комплексные гиперплоскости. Близкое понятие введено А. Мартино. Он назвал множество линейно выпуклым (буквальный перевод (linéelement convexe) — линейчато выпуклым) если через каждую точку его 'дополнения проходит гиперплоскость, не задевающая множество.

В отечественной литературе 70ж за такими множествами закрепился термин линейно выпуклые по Мартино, как только стало известно, что первоначальное определение линейной выпуклости характеризовало строго более широкий класс множеств.

Подход А. Мартино оказался во многом более удачным. Именно для множеств, линейно выпуклых по Мартино, определён правильный аналог полярного преобразования выпуклых множеств. Точный вещественный аналог линейной выпуклости по Мартино называется обозримостью и используется В. П. Голубятниковым в исследованиях возможности восстановления тел по их проекциям.

Автором установлено [1], что С-выпуклые области в С7' линейно выпуклы по Мартино. Это дало основание посвятить §1 классу множеств, линейно выпуклых по Мартино с точки зрения свойств, аналогичных свойствам выпуклых множеств и наряду с новыми привести в нём для полноты изложения известные свойства этих множеств, достаточно полного обзора которых пока не опубликовано.

В частности, установлено (Следствие 1.6'), что всегда существует дробно-линейная функция, отображающая сопряжённое к произвольному линейно выпуклому по Мартино множеству на дополнение самого множества до произвольной пересекающей его прямой.

Поскольку линейная выпуклость по Мартино определяется в терминах гиперплоскостей, то естественно было бы предположить, что она сохраняется при всех отображениях, переводящих подмножества прямых в подмножества прямых. Такие отображения полностью описаны Ю. Б. Зелинским и являются полупроективными, т.е. суперпозициями проективных отображений и зеркальных симметрии.- В п. 1.7 строится опровергающий это предлоложо-

с

ние пример (Пример 1.7) линейно выпуклого множества, линейная проекция которого не является линейно выпуклой.

Известные примеры линейнц выпуклых областей с гладкими границами громоздки и визуально почти не отличаются от выпуклых. Более того, с 1971 г. известно, что все такие области гомеоморфны шару. Первый наглядный пример ограниченной невыпуклой С-выпуклой области с гладкой границей строится в п. 1.9 применением автоморфизма СРП к выпуклой области.

Ряд операций над множествами сохраняет линейную выпуклость по Мартино: £"-сжатие, произведение, пересечение произвольного семейства линейно выпуклых по Мартино множеств и объединение неубывающего семейства линейно выпуклых по Мартино открытых множеств — линейно выпуклы по Мартино. Исключение составляют замыкание линейно выпуклого по Мартино множества, его е-раздутие и алгебраическая сумма таких множеств.

В п. 1.11. полученная Л. А. Айзенбергом характеризация линейно выпуклых областей распространяется на произвольные множества:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Для того, чтобы открытое или компактное множество Р С С" было линейно выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы I*1 совпадало с изолированной частью множества Р**.

Второй параграф посвящён элементарным свойствам С-выпук-лых множеств. В частности, п. 2.2 устанавливается, что внутренность С-выпуклого компакта не обязана быть С-выпуклой областью и замыкание ограниченной С-выпуклой области не обязано быть С-выпуклым компактом. Более того, приводятся пример С-выпуклого компакта, замыкание внутренности которого несвязно и пример С-выпуклой области, внутренность замыкания которой неодносвязна.

Несколько более сложные примеры п. '2.3 показывают, что в отличие о'г обычной и линейной выпуклости С-выпуклость не сохраняется даже при сколь угодно малом е-сжатии области, а пересечение (причём связное) двух С-выпуклых областей может не быть С-выпукло.

Пункт 2.4. содержит короткое доказательство комплексного аналога теоремы Каратеодори, ранее полученного Ю. Б. Зелинским и используемого в последующих главах.

Для построения логически завершенной теории полезно с легка выйти за рамки С-вылуклых множеств и по аналогии с проективно выпуклыми множеств в КРП рассмотреть проективно выпуклые множества в СРП. Множество Р С СРП проективно выпукло, если связны пересечения с произвольной проективной прямой как самого множества, так и его дополнения. Очевидно, дополнение к проективно выпуклому множеству лежит в том же классе. Таким .множествам посвящен §3.

Примерами проективно выпуклых множеств очевидно являются С-вьшуклые множества и дополнения н ним. Кроме того в этот класс входят множества положительных*, отрицательных и нулевых твисторов, играющие очень важную роль в математической физике.

Ранг г{Р) множества Р определяется как максимальная размерность проективной плоскости, лежащей п Р, так; что ранг С-выпук-лого тожества равен нулю, а ранг его дополнения — п — 1. Структуру класса проективно выпуклых множеств несколько проясняет

Теорема 3.3. Пусть Р <Е СР11 проективно выпукло, п ^ 1. Тогда

(1) г(^) + г(СР" \ Р) = п - 1,

(2) через каждую точку г £ Р проходит целиком лежащая в Р плоскость размерности г(Р),

(3) образ множества Р при любом проективнолс отображении в СР"1 также проективно выпукл, если он открыт или компактен.

и следствие из неё:

Следствие 3.3. Пусть Р б СРп проективно выпукло, п ^ 1 ,• проективные отображения

V : СГ1 СР"\ ф : СР^ -» СР"

таковы, что ¡р(Р) и ф~1{Р) либо открыты, либо компактны,. Тогда <р(Р) € СГ" и 6 СРЬ проективно выпуклы.

Следствие 3.3'. Если Р £ СР" С-выпукло, то оно линейно выпукло по Мартино.

Следующие важные утверждения непосредственно вытекают из результатов п. 3.3 и следствия 1.0'.

теорема 3.4. Сопряженное к С - выпуклому множеству С-аъшукла.

ТЕОРЕМА 3.4'. Если образ С-выпуклто множества при проективном отображении открыли, либо :компактен, то он С-оы-пукл.

Не известно иных комплексных аналогов выпуклости, которые наследовали бы то свойство выпуклости, что она сохраняется при линейном проектировании

теорема 3.4". Если прообраз в СР", п > 1 С-выпуклого множества при проективном отображении открыт либо компактен, то он С-выпукл.

Утверждения п. 1.4 подсказывают, что простейшим множеством, для которого может быть получена оценка линейно выпуклой оболочки, может оказаться объединение вещественно-двумерных дисков. §4 посвящен элементарной, технической оценке изнутри линейно выпуклой оболочки двух дисков. Приведу некоторые следствия полученных в нём оценок. По аналогии с шаром

иг(а) = { 2 € С" : |:-а|<г} радиуса г с центром в а можно для вектора н> £ С" обозначить ит{а) = {«ш + а : 1 € ВД) } е С"

диск вдоль ги £ С" с центром в точке а.

СЛЕДСТВИЕ 4.1. Пусть линейно выпуклое множество Е С СР'1 содержит диски С/У(а) и ии,(а -)- Ы). Тогда оно содержит множество

{«-К^ + Сг«;: (1 - Ы) > (И + 1)|С2| }

Аналогичные оценки для дисков, один из которых лежит вне множества, могут быть получены только для С-выпуклых множеств. В частности,

СЛЕДСТВИЕ 4.4. Пусть -Г С СР" — сально линейно выпуклое множество, комплексная прямая I С СР7' пересекает его и содержит диски радиусов /?„ и И/, с централей в точках а и Ь coomeemcmeev.no, причём ■первый их них целиком лежит в Е, а другой - в его дополнении. Тогда расстояния га и гь от центров дисков до С" \ Е и Р соответственно связаны неравепстволь

п Яь

>

На примере произведения кольца на круг нетрудно убедиться в том, что аналогичное утверждение неверно для линейно выпуклых тожеств.

СЛЕДСТВИЕ 4.4.4. Произвольная С-выпуклая область в СРП ■гомеоморфна шару.

Это утверждение получено совместно с М. Пассаре и излагалось на семинарах в 1991-1992 гг. Сейчас известно, что оно (не в полной общности) получено Л. Хёрмандером по-видимому ранее.

Остаток этого параграфа посвящен используемым в §5 оценкам в духе приведённых выше равномерно для дисков с центрами на подходящей соединяющей точки плоской кривой, существование кривых с нужными оценками при этом приходится довольно сложно формулировать и доказывать.-

Буду говорить, что последовательность множеств от-

крыто сходится, если любое открытое множество, содержащееся в бесконечном числе Г^, содержится во всех множествах последовательности кроме, возможно, конечного числа. Объединение всех таких открытых множеств назову открытым пределом этой последовательности .

ТЕОРЕМА 5.1. Связная компонента I) открытого предела последовательности С-выпуклых множеств {^ь}^-! в СРП С-выпукла.

Условия на последовательность здесь невозможно ослабить таге, чтобы вместо открытого предела в формулировке фигурировало открытое ядро Каратсодори.

СЛЕДСТВИЕ 5.2. Святая компонента, внутренности пересечения вложенной последовательности С-выпуклых множеств С-выпукла.

ю

следствие 5.2'. Свя:гпол компонента внутренности С-выпуклого .множества С-выиукла.

Введенные в п. '2.4 понятия и переход к сопряженному множеству дают аналогичные результаты для компактов.

Хотя условие С-выпуклости формулируется очень просто, но его проверка, как правило, затруднительна. Например, казалось бы, из этого критерия должно следовать, что декартово произведение односвязных областей является (С-выпуклым. Однако J1. Я. Макаровой доказано, что даже для областей более общего вида — аналитических линейных полиэдров с кусочно гладкой границей — С-выпуклость эквивалентна выпуклости (Ю. Б. Зелинский для декартовых произведений снял ограничение на гладкость границы). Поэтому представляет интерес задача выяснения геометрического характера условия сильной линейной выпуклости в конкретных классах областей и компактов.

Пусть m < п. Для л £ С" обозначу 'z = (21,.. ., zm), " z = (zvl+1,..., л71). Буду рассматривать компакты Гартогса следующего вида:

А' = {.-6Г: 'геЪ ¡"¿К г(;*)}, (6.1)

где 7 — кривая в С'", а г ф 0 — неотрицательная функция на 7.

Функция <р на кривой 7 С С,п называется выпуклой, если для любых точек С1, Ç2, (3, взятых последовательно на 7, выполняется неравенство уг^-С1] < |С3 - С2| + |С2 - СХ|, где <pj = 'Р (С ) 1 i = 1) 2, 3. Кривые, на которых существуют выпуклые неположительные, не равные нулю функции, назову допустимыми кривыми.

теорема g.i. Для того, чтобы компакт К вида (6.1) был сильно линейно выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы, 7 была образом допустимой ■кривой при еоотвстствукщсл1 линейном вложении, а функция —г была выпуклой на 7.

Остальная часть §6 посвящена исследованию свойств допустимых кривых на плоскости: инвариантности класса при дробно-линейных преобразованиях, существованию касательных во всех точках, спиралеподобности.

§7 посвяшён примеру ограниченной С-выпуклой области с не-спрямляемой грающей, кладущему конец представлениям о С-вы-пуклых множествах как о слабо деформированных выпуклых множествах. Сначала понятию бесконечной площади границы области

придаётся следующий достаточно убедительный смысл. Буду говорить, что метрическое пространство .1' имест аппроксимативно бесконечную r-мерную площадь, если для любого М > 0 существуют такие т > 1, кусочно гладкая поверхность Г С К"1 размерности г и сжимающее отображение ip пространства Л' на Г, что /•-мерный объём Г больше М.

Легко показать, что »--мерная мера Хаусдорфа множества аппроксимативно бесконечной / -мерной площади не может быть конечной.

»

теорема 7.6. Существует ограниченная С-выпуклая область в <Сп, граница которой имеет бесконечную 2п — 1-мерную площадь. Эта область может бить представлена в виде объединения возрастающей последовательности линейно выпуклых областей с гладкими границами.

Обзор главы II. Вторая глава посвящена свойствам аналитических функционалов и их пространств.

Предварительные сведения о двойственности пространств голоморфных функций постановка задачи об описании общего вида линейных непрерывных функционалов излагаются в §7. Основной результат теории двойственности пространств голоморфных функций, развитый в работах G. Köthe, А. Grothendieck и J. Sebastiäo е Silva утверждает, что для произвольного множества F С С,

9(0= т ((С- г)-1)

устанавливает изоморфизм пространств Hq(F) и i/o (С \ F).

А. Мартино и Л.А. Айзенбергом были предложены похожие определения сильной линейной выпуклости и показано что все выпуклые компакты и все выпуклые области сильно линейно выпуклы. Л. А. Айзенберг показал, что все линейно выпуклые по Мартино области с достаточно гладкой границей, их замыкания, а тггкже области и компакты, аппроксимируемые такими множествами, сильно линейно выпуклы. Из теоремы Южакова-Кривоколёско легко получить, что сечения таких множеств комплексными прямыми связны и одноевлзны. С другой стороны, А. Мартино доказал, что каждый сильно линейно выпуклый компакт в К" С С" при п. > 1 является выпуклым, (т.е. его сечения связны), а В. М. Трут-нов (при дополнительных ограничениях) получил односвязность

п —

сечспий сильно линейно выпуклой п смысле Айзенберга области. Возникла гипотеза, что открытое или компактное множество в С", и > 1,. сильно линейно выпукло в том и только том случае, когда оно С-вылукло. Для соответствия Айзенберга и области О 6 -О С С" эта гипотеза была подтверждена в [1].

Параграф 11 посвящен описанию сопряжённого к пространству функций, голоморфных на линейно выпуклых по Мартино множествах. Эта задача интересна тем, что класс линейно выпуклых по Мартино множеств существешю шире класса сильно линейно выпуклых множеств. Например, любой компакт в К2 С С2 линейно выпукл по Мартино, но сильно линейно выпуклы из них только выпуклые компакты.

Буду говорить, что точки г1,..., гп+1 6 СР" находятся в общем положении, если они лежат на некоторой (?). — 1)-мерной плоскости. Обозначу Г С (СР'1)'1"1"1 поверхность, образованную наборами точек не в общем положении. Поскольку условие нахождения не в общем положении точек из СР" соответствует линейной зависимости соответствующих прямых в Си+1, то Г является замыканием в (СР'1)11"*"1 множества наборов (и + 1) точек из С'1, для которых матрица

л1 1

лТ1+1 1

ч+1

,1

.71+1

1

1

вырождена. Поверхность Г является алгебраическим многообразием.

Для любой Ф 6 Но (-Р*'1) обозначу через Ф отображение, переводящее

(г1,.. ., 2П+1) б (СР" \ 0)"+1

в

п+1^-1 . ,1

-1 _п + 1

ТЕОРЕМА 11.1. ПустьР С СР" линейно выпукло по Мартино. Следующее условия на функцию Ф € Но (Р*п) эквивалентны:

а) Функция Ф является кратной индикатрисой некоторого функционала Т €Е Н$*(Р).

б) Функция

,1

"Л"

,п+1

.1

.11+1 ^

лежит в

#o(F*"+1).

с) Для любого набора ■ .,r11"1"1) £ р*п+1 1пакого> что

:"+1 1

=0 выполняется

su+1 Ф(.л,...,сп)

= 0.

г) Отображение Ф принимает на

rnF*u+1n(CPn \0)n+1 i

значения только из Г.

1

ТЕОРЕМА 11.3. Пусть 0 £ F с С" линейно выпукло по Мар-тино. Если F*n+l п Г связно, то условия теоремы 11.1 на функцию Ф £ Н (F*n) эквивалентны условию

д) сЪг.# любых двух n-мерных аргументов г £ i7"", : + при фиксированных остальных выполняется

£(ш)Ф(л, 2 +w) = + w, z+w),

где (w) показывает, что Е действует по переменному w. Если же связно и односвязно сечение F* каждой комплексной прямой, то условия а)~д) жвивалентны условию

е) для любых двух n-мерных аргументов z £ F*, z +u) £ F* при фиксированных остальных выполняется

1

Ф(г, z + w) = z -f w) = J $(z + tw, z + tw)dt,

o

где путь интегрирования выбирается как в доказательстве предложения 10.2.

следствие 11.3. Если Л*1 линейно выпукло по Мартпино, а сечения Р* всеми гиперплоскостями связны, то условия а)-д) на функцию Ф £ Н (Е*п) эквивалентны.

§12 посвящен геометричес кому критерию сильной линейной выпуклости, который выводится из результатов предыдущего параграфа.

теорема 12.2. Пусть 1 к //, п > 1. Для сильной линейной выпуклости со степенью I; множества Г С СР" необходимо и достаточно, чтобы оно было С-выпукло.

Это утверждение позволяет говоря о сильной линейной выпуклости множества но указывать степень, что означает эквивалентность подходов Айзенберга и Мартино.

Образ компакта К С С" при отображении линейной функцией I : С'1 —> С буду называть линейной проекцией компакта и обозначать 1{К). Пусть Ь — совокупность всех линейных функций из С'1 в С. Любой линейно выпуклый компакт (и только такой) определяется своими проекциями по формуле

А'= П Г\1{К)1 (13Л)

¡еь

где 1~1{гч) = { г : /(г) € М}.

Для / Е Ь рассмотрим отображение /„, сопоставляющее аналитическому функционалу Т 6 Н'{К) функционал /*(Т) € II1 (ЦК)) по правилу /*(Т)(/) = Т(1 о/). По аналогии с проекциями компакта буду называть /* (Т) проекцией аналитического функционала.

Как известно, медицинский прибор томограф создает картину внутреннего строения тела по результатам его рентгеновского просвечивания в различных направлениях. Плотность тела можно интерпретировать как меру Т 6 С'{К) С Н'(К), сосредоточенную на компакте К с к3 с С3, а результат просвечивания — как меру 1*(Т) на компакте 1(К). Не затрагивая вопроса о возможностях практических приложений такой интерпретации и учитыв;ш, что функционалы на 1(К) значительно легче поддаются исследованию, чем функционалы на К С С" при п > 1, сосредоточу внимание на чисто теоретической проблеме: в какой степени (и для каких компактов) о свойствах элементов и множеств в Н'(К) можно судить по «их проекциям? В рамках этой проблемы видны следующие вопросы: ,

1) Любому ли (согласованному) набору «проекций» соответствует функционал?

2) Однозначно ли восстанавливается функционал Т € II'(К) по своим проекциям?

3) Можно ли судить о сходимости последовательности функционалов в Н(К) по их проекциям?

4) Можно ли по проекциям судить об ограниченности множества в Я'(Л")?

Чтобы формулировать простые геометрические условия, обозначу НН(К) — пересечение всех голоморфно выпуклых открытых множеств, содержащих К. Если каждая функция из Н{К) голоморфна в каком-либо из этих множеств, то Нк(К) называется однолистной оболочкой голоморфности компакта (Но1ошогр1нс 1ш11).

ТЕОРЕМА 13.2. Следующие условия на компакт К С С" эквивалентны:

*

а) любой согласованный набор функционалов Т\1] Е Н'{1(К)), I Е Ь, однозначно определяет функционал Т Е Н'(К), для которого Т|/] = 1*(Т) при всех I Е Ь;

б) К имеет однолистную оболочку голоморфности, а все сечения последней комплексными прямыми святы и од-носвяты.

предложение 13.3. Следующие условия на компакт А* С С" эквивалентны:

в) последовательность Ть 6 Н'(к) сходится в Н'(К) в том и только тол1 случае, когда для любого I Е Ь последовательность /»(Т^) сходится в Н'{1(К));

г) множество М С Н'(К) ограниченно в том и только том случае, когда при всех I Е Ь ограничены множества

{ЦТ) : ТЕМ}.

ТЕОРЕМА 13.3. Еслг1 выполнено условие а) (или б)), то

выполняются и условия в) и г). Обратно, если К свято, то каждое из условий в) или г) влечет а).

Полученные результаты верны, в частности, для произвольных выпуклых компактов. Однако ситуация резко меняется, если попытаться вместо компактов рассмотреть область.

теорема 13.4. Пусть О С С2 — открытый единичный шар. Тогда:

1) существует согласованный набор функционалов {Т[!\} С Н'(1(К)), не. определяющий никакого -функционала из

я'(£>);

2) существует расходящаяся последовательность функционалов {Тп } с H'(D), для которой {/* (Гп)} сходится в H'{l{D)) при любых I G L.

§14 посвящен исследованию взаимного расположения носителей аналитического функционала.

ТЕОРЕМА 14.4. Пусть «1, «2, • • -С»т — такой набор аналитических плоскостей в С™, не обязательно одинаковой размерности, что *

(А) никакие две из них не лежат в одной гиперплоскости. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) Любые две плоскости этого набора пересекаются.

(2) Суи^ествует аналитический, функционал Т £ Н'{<С1), который для любых е > 0, ] = 1,... ,т имеет выпуклый носитель в г-окрестности с*у.

К примеру, для гиперплоскостей tvi, no, • •. а,п условия (1) и (2) всегда эквивалентны. При п = 2 они также эквивалентны.

Нестрого говоря, теорема приближенно описывает возможные взаимные расположения "близких к плоским" выпуклых носителей аналитического функционала. Из нее вытекает, что существует аналитический функционал Т € Н'(С2), три выпуклых носителя которого не имеют общих точек.

§15 решает другую задачу, связанную с взаморасположением опорных множеств аналитического функционала, полезную в приложениях (см. §17):

Теорема 15.1. Пусть

(1) {Da}aeA — семейство звездных областей в С",

(2) область D = ПаеА 1:ильно линейно выпукла и

(3) для любой экстремальной для D гиперплоскости существует область Da, не пересекающая ее.

Тогда любой аналитический функционал Т 6 Н*(С"), продолжающийся на каждое H[D„). продолжается и в H(D).

Эквивалентная формулировка заключения теоремы: если функционал Т имеет замкнутую опору в любом D,v. то oit имеет замкнутую опору в D.

Приводятся примеры, показывающие, что ни одно из ограничений на область в теореме 15.1 не может быть отброшено.

Обзор главы III. Третья глава посвящена приложениям сильной линейной выпуклости к уравнениям свёртки и уравнениям в частных производных

Если для функции .г некоторого класса Л" есть интегральное представление

,v(t) = J x(s)u{s, t)d/i

S

с ядром и, интегрируемым по некоторому множеству 5 с мерой /(, то для решения линейного функционального уравнения

«(!)=»/, (16.1)

где у 6 У, v : X Y — линейный непрерывный оператор, достаточно знать непрерывно от s зависящее решение хл уравнения v (х3) (t) = u(s, t). Искомое решение при этом дается формулой

x(t) = J y(s)xs(t)(lfL.

S

Эта схема лежит в основе использования преобразования Радона для решения дифференциальных уравнений. Она представляет возможность строить решения уравнения (16.1) с помощью непрерывно зависящего от правой части решения этого же уравнения с правой частью специального вида

y=gol, (1G.1')

где д — функция одного переменного, а I — линейная функция. Формула Jlepe для выпуклых областей позволяет проводить аналогичные построения для функций нескольких комплексных переменных.

Рассмотренная схема зачастую 'неприменима из-за того, что решения уравнения (16.1) с правой частью (16.1') плохо зависят от д и I. §16 посвящён доказательству теорем о том, что даже в этой ситуации иногда можно доказать наличие решений уравнения (16.1) с любой правой частью, пользуясь лишь фактом существования решений для правых частей вида (16.1') или еще более частного вида. Такой переход от разрешимости с правыми

частями специального вида к разрешимости с произвольными правыми частями буду называть продолжением разрешимости.

Возможность продолжения разрешимости оказывается неразрывно связанной с понятием сильной линейной выпуклости, введенным А. Мартино и Л. А. Айзенбергом и подробно рассмотренным в первой главе.

Следуя [9], линейное отображение г; плотного в x линейного множества ^(и) в пространстве У называется замкнутым, если его график

Г(|7) = {(г,«(а:)):хеад} * *

замкнут в X х У, через

Щи) = { г>(;г) : х 6 Щь<)} обозначается образ отображения с, а через

сЛ» = {х- е ЗД : и(х) =0}

его ядро. Такие отображения изучаются в п. 16.2.

Теорема 16.2. Пусть X, У — рефлексивные пространства Фрегие, V — плотно в X определенное замкнутое линейное отображение в У. Тогда следующие условия жвивалентпы:

а) ,5? (и*) замкнуто,

б) V* открыто,

в) V* слабо открыто,

г)

д) (у) замкнуто,

е) V открыто,

ж) V слабо открыто,

з) Щи)

Следствие 16.2. Пусть X, У -- сопряженные к рефлексивным пространствам Фрглие, г — плотно в X определенное замкнутое линейное отображение н У. Тогда вес условия а) з) теоремы. 16.2 эквивалентны.

теорема ig.2'. Пусть X -и у — рефлексивные, пространства Фрсшс либо сощ>я:нс.чппъ\с к ним. v — плотно в X определенное замкнутое линейное отображение в У. Тогда v является отображением на (-tf(v) — У) в том и только том случае, когда v* имеет непрерывный па .'я? (и*) обратный.

Условие разрешимости уравнения (16.1) с любой правой частью — это условие -- У, фигурирующее в теореме 16.2'. Чтобы

перевести на язык функционального анализа обсуждаемое условие с целью дальнейшего использования сначала зафиксирую I и рассмотрим тожество У)} правых частей вида (16.1'). Очевидно, что Yt° —линейное пространство, изоморфное некоторому пространству Yi функций одного переменного. Обозначу через г; : У; —» У вложение, задаваемое формулой (16.1'). Если временно обозначить символом L совокупность всех линейных функций, то слова «продолжение разрешимости» приобретают строгий смысл, означая эквивалентность условия М(и) = У условию

Щг)Э U 2?(ii). (16.4)

leb

Далее в этом параграфе L — произвольное множество, г; — непрерывное вложение пространств Vi в У. При условии (16.4) очевидно содержит линейную оболочку правой части из (16.4), но не обязано содержать замыкание этой оболочки (например, X - U¿%(ii) и v — тождественное отображение). Таким образом, для продолжения разрешимости необходимо наложить согласованные требования на X, У, У; и набор отображений ij. Обозначу через У+ = У; прямую сумму локально выпуклых пространств leb

Y[ и определю линейное непрерывное отображение I : У+ —> У формулой 1{у +) = ^ г/ ('/+)), где согласно определению У+

1еь „

суммируется лишь конечное число ненулевых слагаемых. Пункт 16.4 посвящён формализации условий продолжения разрешимости:

Предложение 16.4. Рассмотрим отображение I* : У —> У-f сопряженное к I. Условия:

1) Щ1) = ¥,

2) существует и слабо непрерывен на 2£(1*) оператор (г)-1

- эквивалентны и вытекают из условия

3) существует непрерывный на £$?(/*) обратный (/*)_1 к

(П.

Таким образом, условия непрерывности (/*)-1 и даже слабой непрерывности приводят к малоинтересному случаю = У. В ряде имеющихся в виду предложений .%?(/) ^ У, а оператор (/* ограничен, но не обязательно непрерывен.

теорема 16.4. Пусть X — пространЬтво, сопряженное к пространству Фреше-Шварца, а У и У/ — пространства, сопряженные к рефлексивным пространствам Фреше. Если существует и ограничено на 3$ (_/*) обратное отображение то для любого плотно в X определенного ■замкнутого линейного отображения V в У условие ¡¡?(и) = У эквивалентно

(16.4).

В п. 16.5 на основе результатов п. 16.2 доказывается более сильная

ТЕОРЕМА 16.5. Пусть X иУ — сопряженные к рефлексивным пространствам Фреше, аь — плотно в X определенное замкнутое линейное отображение в У; для каждого I 6 Ь пусть оба Х[ и У; — либо одновременно рефлексивные пространства Фреше, либо сопряженные к таким пространствам; ]1 : Л'; X и г/ : У; —> У — линейные непрерывные отображения, причем гI взаимно однозначно, а VI плотно в X/ определенное замкнутое линейное отображение на У; Предположим, что ^/(^(иг)) С 3>{ь) и vojl — %1 о VI. Если I* имеет ограниченный обратный на то = У.

Множество 0 £ И С <СРП буду называть комплексно звездной областью, если связно для всех а £ Сп \ {()}, а И \ {()}

открыто в СР'.

Следующее утверждение возникло в результате неоднократных обсуждений его с А. П. Южаковым и публикуется с любезного согласия собеседника.

Теорема 16.6. Пуепъь {Д } С Я(£>) — последовательность функций, голоморфных в комплексно звездной области О С СР". Если для почти всех « £ С" последовательность {/п(£'0} сходится в #(£>/(*), то {/,,} сходится в Н(О).

Из теоремы 1G.G и леммы 1G.3 вытекает

Следствие 16.G. Пусть D с СР" — комплексно звездиа.» область, L состоит из почти всех тачек С". Тогда 'каноническое отображение I : H(D) -» JJ H[Df<x) имеет ограниченное

обратное 1~1 на Si (fj .

Важно отметить, что в данном случае 1~1 не будет непрерывным, иными словами, в формулировках предложения 1G.6 и теоремы 16.6 последовательность функций нельзя заменить несчетной направленностью. Непрерывность 1~1 означала бы открытость I, тогда для любого компакта К С D существовала бы M > 0 и конечное множество F С С" такие, что неравенство |/(£а)| < 1 для всех а € А и £ € H{Dja) влекло бы неравенство |/(<:)| < M при 2 G К. Однако легко подобрать ненулевой однородный полином Р, для которого |P(£cv)| = о при а € А, и умножением его на

константу добиться sup \P(z)\ > М.

z&K

Для замкнутого единичного шара в С" аналоги теоремы 16.6 и следствия 16.6 не выполняются уже для последовательности полиномов Тейлора функции f{z)=-Zïj(z\-\-l).

Сформулированные в п. 16.5 утверждения удобно применить, взяв в качестве Y пространство H (К) функций, голоморфных в окрестностях компакта К С С" с обычно рассматриваемой топологией пространства DFS (сопряженного к пространству Фреше-Шварца).

Любое a G <Сп задает линейную функцию l(z) = zcv' — :iaj • • ■ + znan. Образ компакта К при отображении I обозначу через К а' = {га': г £ А'}. Пространство H (К а') совпадает с множеством таких функций / одного переменного, что / о / g

Н(К) =

Утверждение о продолжении разрешимости усилится, если удастся заменить К а' большим множеством, поскольку H (К а') от этого заменится на меньшее. Для точности формулировки напомним, что сильная линейная выпуклость открытого или компактного множества С СР" означает (см. [6]) его голоморфную нерасширяемость и наличие изоморфизма сг, ставящего каждому функционалу Т £ в соответствие его индикатрису Фантап-

пье <р Е по правилу y>(Ç) = Т(Д-), где Д-(г) = (1+г(')-1 и

■=(' = -siCi + • • • + Множество .?* = {( : ф -1 Vr £ }

называется сопряженным к ¿F.

Если D С А'*, то нетрудно видеть, что Ка' С (D/n)*, и поэтому Н(Ка') Э H((D/a)*). Обозначу У„ = Н ((D/n)*). Можно, в частности, положить D = К*, и тогда Ка' = (D/n)*. Вложения ?Q : Уа У зададим формулой ?'„(/) = / о /.

Теорема 16.8. Пусть 0 6 А" С С11 связно, полиномиально выпукло и компактно, D С С" — комплексно звездная область, множество L С Сп содержит nqumu все точка Сп, а I = гаож. Для того чтобы I* имел ограниченный обратный

на С Y+, необходимо при D = К* и достаточно при

D D К*, чтобы К было сильно линейно выпукло.

Рассмотренное утверждение легко обобщается на случай нескольких компактов, возникающий для систем линейных уравнений.

ДРУГУЮ возможность для использования теоремы 16.4 предоставляют

ТЕОРЕМА 16.9. Пусть К — сильно линейно выпуклый компакт, — произвольное семейство содержащих

& множеств (открытых либо компактных), для которых

U -^а ) — К*> а г« : Н Н(К) — естественные

а£А /

вложения. Тогда I* : Н*(К) —> JJ Н* а) имеет ограничение А

ный обратный.

Полученные результаты применяются к продолжению разрешимости линейных уравнений

следствие 16.10. Пусть К, М —компакты к с", компакт К сильно линейно выпуклый, v : Н(М) —> Н(К) — линейно непрерывное отображение. Если уравнение (16.1) обладает голоморфными на М решениями для любой правой части вида у = f о / £ Н(К), где / — функция одного переменного, а I — линейная функция п переменных, то это уравнение имеет в Н(М) решение для любой правой части у £ Н(К).

ч р

Следствие 16.10'. Пусть К - Р) А'„, и М — Р| М1П —

т=1 т= 1

■компакты, причем К — сильно линейно выпуклый -компакт, К* = и-- • и/Г*)' , а V : Я(М) Н{К) — линейное нс-прсрывное отображение. Если уравнение (16.1) имеет решение х £ Н{Мт) для любой у £ Н(К1П), то оно имеет, решение х € Н{М) для любой у € Н(К).

Столь же тесно связаны они с задачей о разделении особенностей голоморфных функций: Если вместо Н(М) положить в следствии 16.10' Н (К 1) х • • • х Н (Кд), а вместо Я (М}) — подпространство {0} х - • • х {0} х Я [К]) х {0} х • • • х {0}, то получится утверждение о разделении особенностей голоморфных функций.

теорема 16.11. Пусть К\,. — компакты в Сп, компакт К = К\ п • • • п Кч сильно линейно выпуклый и К* = и ■ • • и К*) . Тогда для любой / 6 Н{1() найдутся функции /1 € Я (А'г) ,...,/,€ Я (Кч) такие, что / = Д Н-----Ь .

Аналогичное утверждение для областей при дополнительных ограничениях на множества было получено Л. А. Айзенбергом.

Вместо условия К* = и • • • и К*) " в этих работах фигурировало более сильное условие, и недостаточно обоснованно утверждалась его необходимость. О невозможности ослабить моё условие свидетельствует

Предложение 16.11. Пусть К = /и П---ПЛ', — сильно линейно выпуклые компакты в С'1 и любая / £ Я(Л') разлагается в сумму / = Д 4-----¡- /ч, где £ Н (К,п) для т = 1,.. .д. Тогда

§17 посвящён приложению описываемых в диссертации понятий и результатов к задаче о сюрьективности оператора свёртки в пространствах функций, голоморфных на компактных множествах, интенсивно исследовавшейся в работах Р. П. Боаса, А. Мартино, Ю. Ф. Коробейника, В. В. Напалкова, О. В. Епифгшова, В. В. Моржакова, А. С. Кршзошеева, Д. Грумана, Р. Сигурдсона и других математиков. В [11] автором в наиболее общей постановке задачи получены достаточные условия сюрьективности оператора свёртки. Пусть Е и .Р — множества в С", либо оба открытые, либо оба компактные. Линейное непрерывное отображение у

с замкнутым в Н{Е) х H(F) графиком буду называть оСщил1 оператором свертка из Н(Е) в H(F), если оно коммутирует Dj о v = v о Dj с оператором дифференцирования Dj = d/Ozj.

JlEMMA 17.1.1. Следующие условия эквивалентны:

1) г> — обилий оператор свертки из Н{Е) в H(F),

2) если vfi = /2, /1 голоморфна в е-окрестности Е, /2 голоморфна в Е-окрестности F, то при \z\ < е выполняется vo Tz{f\) = Tz{Sr>), яде 7Z — оператор сдвига

гШО = /(* + О* *

Рассмотрим простейшие примеры общих операторов свертки.

• Пусть ',р — цел;гя функция экспоненциального типа. Дифференциальный оператор бесконечного порядка

<p{D) = £ ^">(0 )Da(cc\, D=(D\,..., Dn),

определен на целых функциях, линеен и непрерывен на Н (Сп) в Я(СП).

• Для F D Е оператор аналитического продолжения : Н(Е) —> H{F) является общим оператором свертки.

• Для F С Е оператор сужения 1р : Н(Е) —> H{F) является общим оператором свертки.

• Если любая связная компонента множества Е U F содержит точки Е, то оператор I§UF взаимно однозначен и определен оператор IJ? = о (/JfuF) Х, также являющийся общим оператором свертки.

• Если Е — замкнутая верхняя единичная полуокружность, F — замыкание дополнительной к Е полуокружности, то оператор v, определенный на функциях из Н(Е), продолжающихся в окрестность единичной окружности (каждая — в свою), и ставящий им в соответствие их главные части разложения в ряд Лорана, — также общий оператор свертки из Н(Е) в H(F).

Обозначу через Е\\г множество таких л £ С", что 5zo<p(D) продолжается до линейного непрерывного функционала Qz £ Н*(Е).

ЛЕММА 17.1.2. Пусть любое открыто-замкнутое подмножество содержит хотя бы одну точку множества . ■ E^ipv.. Хргда p{D) имеет замкнутое рпеширеппс в Н(Е) х H(F).

Предложение 17.1.. Пусть Я(С") плотно в Н(Е). Тогда следующие условия эквивалентны:

(а) FC

(б) <p(D) имеет замкнутое в Н(Е) х H(F) расширение п п для любого такого расширения D(v) — Н(Е),

(в) <p(D) продолжается до линейного непрерывного отображения пространства Н{Е) в H{F).

теорема 17.2. Пусть для любах k = 1,.. .р, I = 1,... ,q дани компакт Мк С Сп, сильно линейно выпуклый компакт Ki С Сп, оператор свертки ьщ изН (М^) в Н (Ki) и комплексно звездная область Di С С", для которой Di Э /if. Зафиксирую множество L С Сп, содержащее почти все комплексные прямые, проходящие через 0. Если при любых т = 1,.. .q и ( £ £П Dm система

wu(a;i) +----1-Vpiixp)-yi, l = l,...,q, (17.2)

имеет решение х^ 6 Н (Mk), к = 1,... ,р для правой части вида yi(z) = ¿"l (1 4- где — символ Кронекера, то (17.2)

имеет решение того же класса для любого набора функций У1 6Я(А',); l=l,...,q.

Применительно к задаче о разделении особенностей отсюда вытекает усиление предложения 16.7.

Следствие 17.2. Пусть Ki,...,Kg — компакты в С1, К — сильно линейно выпуклый компакт, К* = D. Если любая функцияy^(z) — {zQ' -f-I)-1, С € D , представима в виде суммы функций из Н (Iij) по j = 1,..., q, то в таком виде представима каждая J € Н(К).

t

Если обозначить через [г/] множество предельных точек выражения zj\z\ при г —> оо и v(z) = 0, то из лемм 17.5 и 17.6, теоремы 17.2 и леммы 3 из [2] получается

следствие 17.10. Пусть К — сильно линейно выпуклый компакт, а и — оператор свертки из II(К) в Н(К), причем v uAteem минимальный тип при первом порядке. Если для любого

С £ [у] и любого с £ R множество К П тг(£, с) связно, то v открыто и его образ совпадает с К.

Для удобства будем говорить, что гиперплоскость q С С" 1-свободна относительно области G С С",, если существуют такие плоскость q' С 7 размерности и — 2 и открытый шар В С С", что для каждой гиперплоскости q, q' С q по крайней мере одно из множеств qC\G и q[\B не пусто.

Следствие 17.7'. Пусть G и 0 ф G' С Gi — области в С'1, a G' С G1 and. U ; Н(G) —> H(G') — оператор свертки. Следующее условие достаточно для £/(H(G)) Э H((7i): Д/иг каждой не 1-свободной относительно G' гиперплоскости а должно существовать по крайней мере одно полупространство Ga Э G\, 0 — Ga Л а такое, что

hG(г) ^ /iG](г) + /t»i/(r),

где г — нормаль к Ga; Iig u ¡lg! — носитель функций областей и h*u — сопряженный регуляризованный нижний индикатор характеристической функции множества U.

Последнее утверждение вкупе с простой леммой 17.3 о разрешимости уравнений свёртки в пространствах функций, голоморфных в параллельных полупространствах, содержит все известные для выпуклого случая достаточные условия разрешимости уравнений свертки включая достаточную часть критерия А. С. Кривошеева [90] разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства <С".

Рассмотрим область G С С2 с границей 0G и линейный дифференциальный оператор P(DZ) с постоянными коэффициентами, где Р — полином степени т на

Dz = (0/c)2i, 0/дг2У ,

t — транспонирование.

Далее исследуются геометрические условия локальной разрешимости в точке С € 0G уравнения

P{Dz)Y = J(z), (18.1)

которая понимается в следующем смысле: для любой окрестности U С С2 точки С найдется такая окрестность V С U этой точки,

что уравнение (18.1) будет иметь голоморфное к 1' П С! решение для любой голоморфной в С п I' правой части. Локальную разрешимость в точках ( £ С мы не рассматриваем, поскольку в выпуклой окрестности голоморфное решение вс егда существует. В дальнейшем буду предполагать, что С л (У голоморфно выпукло, иначе найдется выпуклая окрестность V С и точки ( € ОС, в которую голоморфно продолжается функция /, и поэтому в ней существует голоморфное решение уравнения (18.1). Сдвинув при необходимости систему координат, считаем С = 0.

теорема 18.1. Если Р,п (^^(О)) = 0 и сужение формы, г/2«,э(0, ёг) на комплексную касательную плоскость

{(1г£С2 : с1г - £>гу(0) = 0 }

не вырождено, то для локальной разрешимости уравнения (18.1) в точке С, = 0 необходимо и достаточно, чтобы область (7 была линейно выпукла в этой точке.

Близкие по смыслу утверждения для действительного случая давно известны. Провести в комплексном случае схему их доказательств не удается по причине неединственности носителей аналитического функционала. К сожалению, используемая схема доказательства не позволяет освободиться от условия невырожденности гессиана <12ф(г, с1г).

Хорошо известный результат Б. Мальгранжа, утверждает, что условие сюрьективности каждого ненулевого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в пространстве <?(Х>) функций, бесконечно дифференцируемых в области Р С К", эквивалентно выпуклости этой области. Аналогичные утверждения известны и для некоторых классов обобщенных функций. В. М. Трут-нев указал на естественность рассмотрения комплексного аналога этого утверждения и выдвинул гипотезу о том, что роль выпуклости в комплексном случае должно сыграть условие связности и односвязности всех сечений области V С С" комплексными прямыми.^

Теорема 20.1. Пусть V с С'1 ограниченная область. Следующие условия эквивалентны:

(а) Т> — область голоморфности и любой ненулевой оператор дифференцирования по фиксированному направлению

к=1 К

— 2в —

сюръективен в пространстве Н('Р); (б) Т> — область голоморфности и любой ненулевой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

с?'*'

.... дг?,...д2?1"

сюрьективен в пространстве к{Т>) (здесь к — мулътпи-индекс с нертрицательпыми целочисленными компонен-тпами, а ¡ЭД = к^ 4- • ■ • + кп ),' (в) сечение области Т> каждой комплексной прямой стягиваемо.

Требование, чтобы 7? была областью голоморфности в условиях а и б, естественно: при удалении из V как угодно сложно устроенного компакта или вещественно одномерной кривой пространство Н(Т>), как известно, не изменится, и лишь это требование позволяет говорить о простых геометрических условиях.

Выводы. Доказанные утверждения и построенные примеры позволяют сделать вывод о том, что класс С-выпуклых множеств, являясь гибридом класса ацикличных множеств в С и выпуклых множеств в Кп, наследует от них

• замкнутость относительно проективных отображений;

• сочетание эквивалентных внутренних и внешних определений;

• наличие естественной двойственности между открытыми и компактными С-выпуклыми множествами;

• замкнутость относительно перехода к пределу сходящейся последовательности множеств.

Классы ацикличных компактов в С и выпулых компактов в К" естественно реализуются как подклассы класса всех С-выпуклых множеств.

Обычная выпуклость органически связана с аффинной (на самом деле, проективной) структурами К" С ЕР" и структурой поля Я, в котором топология может быть определена через отношение порядка {х < у). Её комплексный аналог С-выпуклость столь же органично связан с проективной структурой комплексного проективного пространства и топологической структурой поля С, которая не согласуется ни с каким отношением порядка. Именно

D этом обстоятельстве коренится причина многих трудностей, возникающих при исследовании С-выпуклых множеств. В частности, до сих пор никому не удалой, найти аналог выпуклых функций для С-выпуклых множеств и научиться аппроксимировать С-выпуклые компакты С-выпуклыми областями с гладкими границами. Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] ЗНАМЕНСКИЙ С. В. Геометрический критерий сильной линейной выпуклости // Функц. анализ и его прилож. 1979. Т. 13. №3. С. 83-84.

[2] знаменский С. В. Нетрадиционная выпуклость в направлении плоских областей и компактов и свойства голоморфных решений дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Деп. ВИНИТИ № 3060-80. Красноярск, 1980.

[3] знаменский С. В. О дифференциальных уравнениях бесконечного порядка в комплексном анализе и сильной линейной выпуклости. Канд. диссерт. Красноярск, 1980.

[4] Знаменск ии С. В. Спектральный синтез на выпуклых множествах // Комплексные методы в математической физике. Донецк. 1984. С. 145.

[5j Знаменский С. В., Знаменская Л. Н. Условия сильной линейной выпуклости для компактов Гартогса с криволинейным основанием // Известия Вузов. Математика. 1984. № 12. С. 32-35.

[6] знаменский С. В. Сильная линейная выпуклость. I. Двойственность пространств голоморфных функций // Сиб. матем. журн. 1985. Т. 20. С. 31-43.

[7] Знаменский С. В., Мысливеч С.Г. Критерий локальной разрешимости уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // III International conference on complex analysis and applications. Summaries. Varna: Bulg. Acad. Sei.. 1985. P. 15.

[8] ЗНАМЕНСК ИЙ С. В. Достаточное условие сюрьективности оператора свертки в пространстве H (К) // Актуальные вопросы теории функций. Ростов-н/Д: Изя-во Ростовского ун-та. 1987. С. 104-100.

[9] знаменский С. В. Сильная линейная выпуклость // Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск: Инс-т физики им. Л.В. Киренского СО АН СССР. 1988. С. 39-52.

[10] Знаменский С. В., МыслЙвец С.Г. Критерий локальной разрешимости уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами// Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29. №2. С. 70-74.

[11] знаменский С. в. Сильная линейная выпуклость. II. Существование голоморфных решений линейных систем уравнений // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29. №0. С. 49-65.

[12] Знаменски й С. В. О существовании голоморфных первообразных по всем направлениям // Матем. заметки 1989. Т. 45. №1. С. 16-19.

[13] знаменский С. В. Томография в пространствах аналитических функционалов // Докл. АН СССР 1990. Т. 312. >5. С. 1037-1040.

[14] ЗНАМЕНСКИЙ С. В. Всегда ли выпуклые носители аналитического функционала имеют общую точку? // Известия Вузов. Математика 1991. №2. С. 42-40.

[15] знаменский С. В. О пресечении выпуклых носителей аналитических функционалов // Матем. заметки 1993. Т. 54. №1. С. 10-19.

[1С] Зелинский Ю. Б., Знаменский С. В. Когда пересечение опор аналитического функционала является опорой // Докл. АН СССР 1993. Т. 328. №1. С. 16-18.

Ф