Параметрически выпуклые множества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

004613900

На правах рукописи

Балашов Максим Викторович

ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

Специальность 01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЗЯНВ2йи

МОСКВА 2010

004618900

Работа выполнена на кафедре высшей математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Научный консультант:

доктор физико-математических наук

профессор ' Половинкин Евгений Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

профессор Арутюнов Арам Владимирович

доктор физико-математических наук профессор Дудов Сергей Иванович

доктор физико-математических наук

профессор Протасов Владимир Юрьевич

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

Защита состоится 3 марта 2011 г. в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (ГУ) по адресу: МО, г. Долгопрудный, Институтский пер. д. 9, ауд. 903 КПМ. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ).

Автореферат разослан " "

20 -¿¿> г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.156.05

кандидат физико-математических наук

Федько О. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Понятие выпуклости (множества, функции, экстремальной задачи и т.п.) является одним из центральных понятий в математике. В конце 19-го столетня и начале 20-го столетия Г. Минковским1 был создан специальный раздел геометрии — выпуклая геометрия. В создание и развитие выпуклой геометрии наряду с Минковском большой вклад внесли Я. Штейнер, К. Каратеодори, Э. Хелли, В. Бляшке, Т. Боннезен, В.Фенхель, А. Д. Александров и другие ученые. Основные понятия выпуклой геометрии, такие как опорная функция, поляра, крайняя точка сыграли большую роль в создании в начале 20-го века функционального анализа.

После 1950-х годов интерес к проблемам выпуклости снова возрос в связи с развитием математического программирования, оптимального управления и вычислительной математики. Многие задачи имеют принципиально "выпуклые" алгоритмы решения, например линейные дифференциальные игры2. После знаменитой книги Р. Т. Рокафеллара3 словосочетание "выпуклый анализ" стало общепринятым.

Начиная с 1950-60-х годов, появляется большое количество обобщений понятия "выпуклость"4. Это было вызвано тем фактом, что свойств выпуклых множеств оказалось недостаточно для решения задач, возникающих в области оптимизации, негладкого анализа и приложений.

Вопросам обобщения понятия "выпуклость" посвящено значительное число работ как отечественных (А. Д. Александров, Ю. Г. Решетпяк, В. Г. Болтянский, Б. Т. Поляк, Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, В. М. Тихомиров, С. С. Кутателадзе, А. Г. Кусраев, В. П. Солтан, Е. С. Половинкин, П. В. Семенов и др.), так и зарубежных (Л. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Кли, Э. Майкл, Л. Сантало, Р. Т. Рокафеллар, Ч. Олех, X. Франковска, Ж.-Ф. Виаль, Ф. Кларк и др.) ученых. Основными вопросами, связанными с обобщениями выпуклости, являются вопросы характеризации и описания обобщенно выпуклых множеств, а также вопросы двойственности и тесно с ними связанные вопросы об отделимости и об опорных свойствах множеств, различные аналитические и комбинаторные вопросы (обобщение теорем о крайних/выступающих точках, комбинаторных теорем типа Каратеодори и

'}!. Minkowski, Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder, Nachr.Ges. Wiss. Göttingen, 1897, 198219; Gesammelte Abhandlungen. Bd.2. Leipzig-Berlin: Teubner, 1911, 103-121 и др.

2J1. С. Поптрягин, Линейные дифференциальные игры преследования, Матем. сб., 112(154):3(7) (1980), 307-330.

3Р. Т. Рокафеллар, Выпуклый анализ, М., Мир, 1973.

4В. П. Солтаи, Введение в аксиоматическую теорию вы71уклости, Кишинев. 11зд-во "Штииица", 1984.

Хелли5). Все эти свойства находят приложения в оптимизации (построение обобщенных градиентов6), многозначном анализе (изучение многозначных отображений с обобщенно выпуклыми значениями7), а также в задачах условной минимизации и в дифференциальных играх8 9.

Цели исследования

(1) Выяснить взаимосвязь между параметрически выпуклыми множествами рассматриваемых классов, которые возникли в задачах математического программирования, оптимального управления и негладкого анализа. Исследовать новые классы выпуклых компактов со свойством открытости их проекционных отображений.

(2) Установить новые свойства отделимости и новые геометрические свойства указанных множеств.

(3) На основе полученных результатов выявить новые случаи решения задачи параметризации многозначного отображения и задачи расщепления для селекций.

(4) Получить оценки погрешности внешних многогранных аппроксимаций строго выпуклых компактов из R" в зависимости от модуля выпуклости этих компактов.

(5) Решить ряд задач характеризации для сильно выпуклых множеств в гильбертовом пространстве.

Научная новизна и результаты

Все результаты работы являются новыми. Основные результаты работы следующие.

(1) Получена связь между слабо выпуклыми и проксимально гладкими множествами в произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве. Получен критерий на норму пространства, при котором эти два класса совпадают.

5Л. Далцер, Б. Грюпбаум, В. Кли, Теорема Хелли и ее применения, М.: Мир, 1968.

6F. Н. Clarkc, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, SpringerVerlag, New-York Inc., 1998. 276 p.

7П. В. Семенов. Теоремы о неподвижной точке при контролируелюм отказе от выпуклости значений многозначного отображения, Матем. сб. 189:3 (1998), 141-160.

8В. Т. Polyak. Existence theorems and convergence of minimizing sequences in extremum problems with reslrictions, Sovict Math, 7 (1966), 72-75.

9Г. E. Иванов, E. С. Половипкин, О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх. Диффер. уравнения, 1995, 31:10, 1641-1648.

(2) В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве доказана равномерная непрерывность метрической проекции на проксимально гладкое множество с константой Я для всех точек, достаточно близких ко множеству. Равномерная непрерывность имеет место по точке и по множеству.

(3) В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве дана характеризация проксимально гладких множеств через существование и единственность метрической проекции на это множество, а также непрерывную зависимость проекции от проецируемой точки. Обобщен опорный принцип для проксимально гладких множеств из равномерно выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства.

(4) Получены необходимые условия и достаточные условия возможности отделимости сферой сильно выпуклого множества от слабо выпуклого множества.

(5) Получена оценка на модуль выпуклости равномерно выпуклого множества. На основе модуля выпуклости множества получена оценка между строго выпуклыми компактами в демьяновской метрике через расстояние в метрике Хаусдорфа.

(6) Введено определение слабо выпуклого множества с модулем невыпуклости и показано, что в банаховых пространствах с модулем выпуклости второго порядка полученный класс множеств с модулем иевы-пуклости второго порядка входит в класс проксимально гладких множеств. Получены новые теоремы о равномерной непрерывности пересечения равномерно непрерывных многозначных отображений, одно со слабо выпуклыми и другое с сильно выпуклыми значениями.

(7) Получены новые равномерно непрерывные и непрерывные по Липшицу параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями.

(8) Введен класс Р-множеств, и получены новые теоремы об открытости некоторых отображений.

(9) Получены новые достаточные условия положительного решения задачи расщепления для селекций.

(10) Получены новые оценки погрешности аппроксимации строго выпуклых компактов из М" на сетке единичных векторов заданной мелкости.

(11) В гильбертовом пространстве решен ряд задач характеризации: (¡) доказано, что множество с модулем выпуклости второго порядка есть пересечение замкнутых шаров заданного радиуса и получена неулучша-емая оценка на этот радиус; (п) охарактеризованы множества в гильбертовом пространстве, которые для всякой достаточно удаленной от множества точки пространства имеют единственную наиболее удаленную точку, липшицево зависящую от указанных точек пространства; (ш) доказан аналог теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки; (гу) получено положительное решение задачи Данцера о существовании гладкого тела постоянной ширины 1, которое содержит данное гладкое множество диаметра 1.

Основные методы исследования

В работе используются результаты выпуклого анализа (в основном связанные с отделимостью) и теории многозначных отображений (в основном связанные с (равномерной) непрерывностью), геометрии банаховых пространств (различные свойства модулей выпуклости и гладкости, теоремы о продолжении). В некоторых разделах активно используются свойства сильно выпуклых и порождающих множеств, а также свойства слабо выпуклых по Виалю множеств в гильбертовом пространстве.

Достоверность и обоснованность результатов работы Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается наличием полных и строгих доказательств утверждений, приведенных в диссертации. Новизна результатов подтверждается сравнением с известными результатами по данной тематике.

Теоретическая и практическая значимость работы Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут применяться в дальнейших исследованиях в области выпуклого и многозначного анализа, в оптимизации и теории приближений. В работе установлена связь между разными классами множеств, возникших у разных авторов и имеющих многочисленные приложения в оптимизации, выпуклом и негладком анализе. В работе значительно развиты теоретические свойства модулей выпуклости банахова пространства и произвольного множества, что важно не только для результатов работы, но также имеет самостоятельное значение. Ряд результатов (об оценке погрешности аппроксимаций) может быть применен при оценке погрешности численных методов. Работа поддержана грантами РФФИ 01-01-00743, 03-01-14053, 04-01-00787, 07-01-00156, 10-01-00139-а, ФЦП "Кадры" программа 1.2.1 контракт П938, грантами Словенского исследовательского агенства В1-ГШ/08-09/001, В1-1Ш/10-11/002.

Апробация работы

Результаты работы докладывались н обсуждались на школах и конференциях:

(1) Воронежская зимняя школа по теории функций в 1999, 2001 гг.; (2) конференция по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо в 2002, 2004 гг.; (3) конференция, посвященная 80-летшо Л. Д. Кудрявцева, в Москве в 2003 г.; (4) летняя школа по математическому анализу в Санкт-Петербурге в 2002, 2005 гг.; (5) конференция памяти И. Г. Петровского в Москве в 2007 г.; (6) летняя школа по теории приближений С. Б. Стечкина в Алексине в 2007 г.; (7) конференция по дифференциальным уравнениям и топологии, посвященной 100-летию Л. С. Понтрягина в Москве в 2008 г.

Результаты работы докладывались на научных семинарах в Московском физико-техническом институте, в Московском государственном университете (на семинаре по теории приближений под рук. И. Г. Царькова в 2005, 2006, 2007 гг.; на семинаре по выпуклому анализу в МГУ под руководством В. М. Тихомирова в 2007 г.; на научном семинаре кафедры ОПУ под рук. В. М. Тихомирова в 2008, 2010 гг.; на научном семинаре по теории функций под рук. Б. С. Кашина, С. В. Конягина, М. И. Дьяченко, Б. И. Голубова в 2010 г.), на семинаре Математического института РАН по теории функций под рук. С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева в 2007 г.; на семинаре по геометрии и топологии факультета Математики, Физики и Механики в Любляне (Словения) под рук. Д. Реповша в 2008, 2009, 2010 гг.; на семинаре "Теория автоматического управления" лаборатории 7 ИПУ РАН под рук. Б. Т. Поляка в 2010 г.

Публикации

По теме диссертации автором опубликована 31 работа, основные из которых приведены в конце автореферата. Часть результатов диссертации опубликована в совместной с Е. С. Половинкиным монографии, 1-е изд. 2004 г. [1], 2-е изд. исправленное и дополненное 2007 г. [2]. Работы [3]-[15] опубликованы в журналах из Перечня рекомендованных ВАК изданий, [16]-[19] — в ведущих рецензируемых журналах и изданиях. Личный вклад соискателя в работах с соавторами указан для каждой работы в списке публикаций в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Объем работы составляет 235 страниц текста, работа содержит 7 иллюстраций. Список литературы включает 183 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Различные ученые независимо друг от друга обратили внимание на то, что в прикладных задачах получаются хорошие результаты, когда в них рассматриваются классы выпуклых множеств из конечномерного евклидова пространства Ж", получаемых в результате пересечения сдвигов шара заданного радиуса. Так, в приложении "Обобщенная выпуклость"10 приведены новые результаты двойственности для множеств, получаемых пересечением сдвигов одного и того же выпуклого множества. Ч. Олех и X. Франковска11 получили новый опорный принцип для множества, являющегося пересечением шаров из R", а также сформулировали условия, при которых интеграл от многозначного отображения является пересечением шаров одного радиуса. С. Лоджасевич12 и А. Плиш13 доказали, что множество достижимости управляемой системы при определенных условиях является пересечением шаров. М. А. Красносельский и А. В. Покровский14 обнаружили хорошее свойство таких множеств в системах с гистерезисом. Г. Е. Иванов и Е. С. Половинкин15 получили условия второго порядка для сходимости алгоритмов решения линейных дифференциальных игр, при условии, что терминальное множество и множество управления одного из игроков являются пересечением шаров заданного радиуса.

Е. С. Половинкин и М. В. Балашов детально исследовали свойства множеств, которые являются пересечением произвольных сдвигов одного и того же выпуклого замкнутого подмножества данного банахова пространства. При этом для построения содержательной теории, как показал Е. С. Половинкин, указанное подмножество должно являться порождающим. Особенно важно и отдельно стоит случай, когда указанным выше подмножеством является замкнутый шар из банахова пространства, где радиус шара R фиксирован. При этом параметр R естественным образом выступает в качестве параметра выпуклости. Множества, являющиеся пересечением шаров получили специальное название: сильно выпуклые множества с радиусом R. Новые свойства порождающих множеств позволили получить новые результаты в выпуклом анализе (новый опорный принцип), в

10Л. Данцср, Б. Грюнбаум, В. Кли, Теорема Хелли и ее применения, М.: Мир, 1968.

11Н. Frankowska, Ch. Olech, R-convexity of the integral of the set-valued functions, Contributions to Analysis and Geometry, John Hopkins Univ. Press, Baltimore, Md., 1981, pp. 117-129.

l2St.(3r.) Lojasiewicz, Some properties of accessible sets in поп linear control systems, Ann. Polon. Math. XXXVII.2 (1979), 123-127.

UA. Pli's, Accessible Sets in Control Theory, int. Conf. on Diff. Eqs. Academic Press (1975), 646-650.

11M. А. Красносельский, А. В. Покровский, Системы с гистерезисом, М.: Наука, 1983.

1ГТ. Е. Пеанов, Е. С. Половинкин, О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх. Диффер. уравнения, 1995, 31:10. 1641-1648.

задачах аппроксимации множеств многогранниками (новые более точные оценки погрешности аппроксимации многогранниками в метрике Хаусдор-фа некоторых классов множеств), в теории приближений и геометрии (конструктивные формулы для тела постоянной ширины, новые свойства этих тел), построить новые непрерывные по Липшицу в метрике Хаусдорфа селекторы многозначных отображений16, доказать высокую эффективность некоторых алгоритмов решения линейных дифференциальных игр17.

Другой подход к обобщению понятия выпуклого множества возник в работе французского математика Ж.-Ф. Виаля18. Виаль заменил в определении выпуклого множества отрезок на некоторое более широкое множество — сильно выпуклый отрезок с константой R. Сильно выпуклый отрезок с константой R у Виаля — это пересечение всех замкнутых шаров радиуса R, содержащих две данные точки — концы сильно выпуклого отрезка.

Виаль назвал замкнутое множество слабо выпуклым с константой R, если для любых двух точек из множества, находящихся на расстоянии не более 2R друг от друга, сильно выпуклый отрезок с константой R и концами в этих точках имеет со множеством общую точку, отличную от двух точек, выбранных в качестве концов.

Виаль рассматривал это определение в конечномерном евклидовом пространстве (при этом существенно использовал как конечномерность, так и евклидовость) и получил ряд интересных результатов, касающихся геометрических свойств таких множеств. В частности, он получил новый опорный принцип для слабо выпуклых множеств.

Отметим, что Вналь впервые сформулировал определение слабой выпуклости для негладкого случая. Класс слабо выпуклых по Виалю множеств из R" с С2-гладкой границей рассматривался и ранее, например в работах Ю. Г. Решетняка19. Хотя определение у Решетняка другое, но по сути оно совпадает (для множеств с гладкой границей) с определением Виаля.

Заметим, что весьма близкий к слабо выпуклым по Виалю класс множеств рассматривался также Н. В. Ефимовым и С. Б. Стечкиным при исследовании чебышевских множеств (т.н. а-выпуклые множества)20.

Г. Е. Иванов21 обобщил определение Ж.-Ф. Виаля на случай гильберто-

16Е. С. Половинки», М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Фнчматлнт. Москва, 2007. 2-е изд. исправленное и дополненное. 440 с.

17Г. Е. Иванов, Е. С. Половинкнн, О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх. Диффер. уравнения, 1995, 31:10, 1G41-1648.

18J.-P. Vial, Strong and weak convexity oj sets and Junctions Math. Ops. Res. 8:2 (1983), 231-259.

19Ю. Г. Решетняк, Об одном обобщении выпуклых поверхностей, Матем. сб. 40(82):3 (1956), 381-398

20Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебыгиев-ские множества, ДАН СССР, 127:2 (1959), 254-257.

21Г. Е. Иванов, Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения, N1.: Физматлит, 2006.

ва пространства. Им был получен ряд новых результатов о связи слабой выпуклости множества с гладкостью его границы, а также о существовании локальных геодезических на поверхности слабо выпуклых множеств, причем геодезические липшицево зависят от концов геодезической и от некоторых других параметров. Кроме того, на основе свойств слабо выпуклых множеств, Ивановым получены достаточные условия существования седловой точки в некотором классе линейных дифференциальных игр.

Дальнейший импульс идеи Виаля получили также в работах Ф. Кларка, его коллег и Р. Т. Рокафеллара22 23 24 25 26 27. Кларк ввел понятие проксимально гладкого множества с константой R, определив его как такое множество, что для всех точек на расстоянии не более R от множества функция расстояния от точки до множества непрерывно дифференцируема по Фреше. То есть множество обладает окрестностью "толщины" R, внутри которой функция расстояния непрерывно дифференцируема. Кларк рассматривал определение проксимально гладкого множества в гильбертовом пространстве. Как оказалось, определения Виаля и Кларка в гильбертовом пространстве задают один и тот же класс множеств. Кларк обобщил результаты Виаля на гильбертово пространство, получил ряд новых результатов в оптимизации и в вариационном исчислении. На основе проксимально гладких множеств Ф. Кларком, Ю. С. Ледяевым, Р. Штерном, П. Во-ленски28 был введен в рассмотрение проксимальный субградиент, который может быть определен для полунепрерывных снизу функций в равномерно выпуклом пространстве и является на сегодняшний день существенной конструкцией в оптимизации. Кроме того, была локально переформулирована широко известная проблема выпуклости: верно ли, что если множество Л в гильбертовом пространстве обладает окрестностью "толщины" R, для каждой точки из которой существует единственная ближайшая к ней точка из А, то множество А является проксимально гладким с константой

22F.H. Clarke, R.J. Stern, P.R. Wolenski, Proximal smoothness and lower-C"2 property, J. Convex Anal. 2:1-2 (1995), 117-144.

23F. H. Claike, Yu. S. Ledyaev, P.R. Wolenski, Proximal analysis and minimization principles, J. Math. Anal. Appl. 196, (1995), 722-735.

2,R. A. Poliquin, R.T. Rockafellar, L. Thibault, Local Differentiability of Distance Functions, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 5231-5249.

2r'R.A. Poliquin and R. T. Rockafellar Prox-regular functions in variational anaiysis, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), 1805-1838.

26F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, SpringerVerlag. New-York Inc., 1998. 276 p.

2TF. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, Proximal analysis and feedback construction, Сборник научных трудов, Тр. JIMM 6:1 (2000), 91-109.

28F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, SpringerVerlag. New-York Inc., 1998. 276 p.

В'? Положительный ответ (на сегодня не известно, верен ли) повлек бы решение и проблемы выпуклости чебышевского множества в гильбертовом пространстве.

Коллеги Кларка обобщили свойства проксимально гладких множеств на

класс банаховых пространств с модулями выпуклости и гладкости степен-20

ного вида .

Упомянем еще один класс множеств, задаваемых параметром выпуклости. Б. Т. Поляк30 ввел в рассмотрение модуль выпуклости произвольного выпуклого множества, а не только шара, и определил равномерно выпуклое множество. Это такое множество, что модуль его выпуклости строго больше пуля при всех допустимых значениях аргумента. Определение Поляка позволило ему доказать сходимость некоторых минимизирующих последовательностей в алгоритмах минимизации выпуклой функции. Обратная функция к модулю выпуклости встречается в работах по геометрической теории приближений31, в задачах устойчивости функционалов. Близким и активно используемым в выпуклом анализе и приложениях является понятие "модуль выпуклости функции"32 33 34.

В работе также рассматриваются некоторые задачи выпуклого и многозначного анализа.

При решении многих задач аппроксимации и условной оптимизации используется оператор метрической проекции точки на множество, который заданной точке ставит в соответствие ближайшую к ней точку заданного множества35 36 37. Если заданное множество замкнуто, но не выпукло, то метрическая проекция точки может быть не единственной, а в бесконечномерном случае и не существовать. Аналогичные вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости от параметров возникают и про наиболее удаленные точки (выпуклого) замкнутого множества от данной точки пространства38. Основные вопросы про ближайшие точки (вы-

29F. Bernard, L. Thibault, N. Zlateva, Characterization of proximal reguîar sets in super reflexive Banach spaces, J. Convex Anal 13:3,4 (2006), 525-559.

30B. T. Polyak, Existence theorems and convergence of minimizmg sequences in extremum problems with restrictions, Soviet Math, 7 (1966), 72-75.

31B. И. Бердышев, Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 483-509.

32Б. Т. Поляк, Введение в оптимизацию, М.: Наука, 1983.

33Ф. П. Васильев, Численные методы решения экстремальных задач, Наука, Москва, 1980.

34С. Zalinescu, On uniformly convex fonctions, Journal of Math. Anal. Appl. 95:2 (1983), 344-374.

35JI. П. Власов, Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах, УМН, 28:6(174) (1973), 3-66.

зеЖ.-П. Обэн, И. Экланд, Прикладной нелинейный анализ, М.: Мир, 1988.

"B.C. Балагаиский, Л.П. Власов, Проблема выпуклости чебыгиёвских множеств, Успехи мат. наук, 51:6 (1996), 125-188.

38И. Эклавд, Р. Темам, Выпуклый анализ и вариационные проблелш, \1.: Мир, 1979. Приложение II.

пуклых) множеств — существование и непрерывная зависимость от параметров задачи, оценка модуля непрерывности. Основной результат про наиболее удаленные точки в равномерно выпуклых пространствах — существование для всякого ограниченного замкнутого множества всюду плотного подмножества С^-типа, на котором существует непрерывно зависящая от точек Gi-множества единственная наиболее удаленная точка данного замкнутого ограниченного множества.

В задаче о параметризации многозначного отображения F ставится вопрос о представлении этого многозначного отображения F через семейство его селекторов: F(x) = {f(x,u)}v£u- Проблема параметризации многозначных отображений возникает, в частности, при исследовании взаимосвязи постановки задачи оптимального управления с управляемой динамической системой

x(t) = f(x(t),u(t)), u(t) Е и (1)

и с дифференциальным включением x(t) £ F(x(t)). Легко видеть, что всякая управляемая система (1) может быть представлена дифференциальным включением x(t) £ F(x(t)), где F(x) = {fix, и) | и £ U}. Обратный вопрос о представлении включения x(t) £ F(x(t)) в виде управляемой системы (1) нетривиален. В связи с вопросом существования и единственности решения дифференциального уравнения (1) важны свойства непрерывности и липшицевости функции /. Для многозначных отображений задачи параметризации рассматривались в разное время многими авторами39 40 41

42 43 44

Задача расщепления для селекций сформулирована в работе Д. Реповша и П. В. Семенова45. Некоторые частные постановки этой задачи и их приложения в вопросах теории вероятностей, оптимизации, топологии возникали и ранее в работах Д. Лука, М.-Л. Мартинеца-Легаза, А. Сигера и др.46 47

39Ф. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ, М.: Наука, 1988.

40А. Le Donne, М. V. Marchi, Representation of Lipschitz compact convex valued mappings, // Rend. Ac. Naz. Lincei, 68 (1980), 278—280.

4lA. D. Ioffe. Representation oj set-valued mappings — II, Application to differential inclusions, SIAM J. Control Optim., 21 (1983), 641 — 651.

42J.-P. Aubin, A. Cellina, Differential inclusions, Springer, 1984.

43A. Ornelas, Parametrization of Caratheodory Multifunctions. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 83, (1990), 33-44.

44J.-P. Aubin, H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhauser, Basel, 1990.

45D. Repovs, P. V. Semcnov, Sections of convex bodies and splitting problem for selections, J. Math. Anal. Appl. 334 (2007), 646-655.

46M.-L. Martinez-Lcgaz, A. Seeger, Л general cone decomposition theory based on efficiency, Math. Programming 65 (1994), 1-20.

4'D. T. Luc, M.-L. Martinez-Legaz, A. Seeger, Least deviation decomposition with respect to a pair of convex sets, J. of Convex Anal. 6:1 (1999), 115-140.

48. Пусть X, Y, Y¡, i = 1,2, банаховы пространства. Пусть F¡ : X —> 2Ví, í = 1,2, есть произвольные непрерывные или полунепрерывные снизу многозначные отображения с замкнутыми выпуклыми значениями и пусть L : Y] © Y¿ —> Y есть произвольная линейная сюръекция. Задача расщепления является задачей представления произвольного непрерывного селектора /(х) € L(F1(x),F2(x)) в виде f(x) = L(Mx), f2{x)), где f¡(x) в Ff{x) некоторые непрерывные селекторы, i = 1,2. Реповш и Семенов доказали существование приближенного решения для полунепрерывных снизу многозначных отображений, а также решили некоторые частные случаи этой задачи в конечномерном пространстве. Были также решены некоторые задачи расщепления специального вида.

Результаты задачи о расщеплении для селекций имеют приложение в т.н. задаче «подъема управления», которая часто встречается в оптимальном управлении и в линейных дифференциальных играх. Смысл «подъема управления» состоит в том, что, зная непрерывный по параметру элемент из проекции оптимального множества на подпространство, мы хотим восстановить некоторый также непрерывно зависящий от этого параметра прообраз из проецируемого множества. В качестве проекции обычно выступают существенные управляющие параметры, а в качестве прообраза — тот управляющий параметр, которым мы можем распоряжаться. Поскольку такая задача восстановления не всегда имеет решение (как и задача расщепления для селекций, которой она по сути и является), то для приложений весьма важно выделить случаи ее разрешимости.

Задача аппроксимации многогранниками выпуклых компактов является важной в теоретических и вычислительных приложениях выпуклого анализа. Мы рассматриваем задачу в следующей постановке: для данного выпуклого компакта на произвольной сетке заданной мелкости найти погрешность его внешней многогранной аппроксимации, т.е. решается вопрос о наихудшей по всем сеткам заданной мелкости гарантированной оценке сверху погрешности внешней многогранной аппроксимации данного выпуклого компакта. Для такой постановки хорошо известно49, что для произвольного выпуклого компакта имеет место оценка первого порядка по мелкости сетки. При этом, как показали Г. Е. Иванов50 и Е. С. Поло-

4SL. F. Midolo, G. De Marco, Right inverses of linear maps on convex sets, Topology Appl. 156:7 (2009), 1186-1191.

49Handbook of Convex Geometry, ed. P. M. Gruber, J. M. Wills, NH, Elsevier Science Publisher, 1993.

50Г. E. Иванов, Оценка погрешности алгоритма вычисления альтернированного интеграла Понтря-гина, связанной с дискретизацией по проетпранству, Числешгьге методы интегральных уравнений в прикладных задачах: Научно-метод. матер. - М.: ВШ1А им. Н.Е. Жуковского, (1994), 76-90.

винкин51, если множество является пересечением шаров одного радиуса, то погрешность будет иметь второй порядок по мелкости сетки.

Настоящая работа продолжает исследования сильно выпуклых, слабо выпуклых и проксимально гладких множеств с константой Я. Отметим, что множества всех трех классов рассматриваются с единых позиций — параматрической выпуклости. Последнее означает, что основные теоремы носят количественный характер, включая в условия те или иные параметры выпуклости: это может быть константа слабой выпуклости/проксимальной гладкости Я, значения модуля выпуклости или невыпуклости, константа сильной выпуклости. Основное внимание сосредоточено на вопросах ха-рактеризации множеств и вопросах двойственности, вопросах отделимости и опорных свойствах. В главах 2 и 3 рассматриваются также приложения в задачах выпуклого и многозначного анализа.

Все пространства в работе рассматриваются над вещественным полем скаляров.

Глава 1 посвящена изучению слабо выпуклых и проксимально гладких множеств. В ней также рассмотрены равномерно выпуклые множества и сильно выпуклые множества.

Пусть Е — нормированное пространство над вещественным полем скаляров. Через (р, х) будем обозначать значение функционала р £ Е* на векторе х £ Е. Для вектора а € Е и функционала ро € Е* через В ¡¡(а) и В}{(р^) будем обозначать замкнутые шары радиуса Я в пространствах Е и Е* соответственно:

Вв(а) — {х & Е : \\х - а\\ < Я}, В*н(Ро) = {р € Е* : ||р - р()|| < Я}.

Модулем выпуклости нормированного пространства Е называется функция 8е '■ (0; 2] —* Е, определяемая формулой

МеНьф—Их + уИ: х,уеЕ, ||®|| < 1, 1Ы1 <1, ||я-у|| >е}.

Нормированное пространство Е называется равномерно выпуклым, если > 0 Для любого £ е (0; 2]. Будем говорить, что пространство Е имеет модуль выпуклости р-го порядка, если существует такое С > 0, что <5е(£) = Сер + о(£р), £ —> +0. Так же определяется порядок других модулей, рассматриваемых в работе.

Модулем гладкости нормированного пространства Е называется функ-

51Е. С. Половипкин, Сильно выпуклый анализ, Матсм. сб., 187:2 (1996), 103-130.

ция qe ■ [0; +00) —» М, определяемая формулой

дЕ{т) = sup

зир I

x + y

+

x-y

- 1 : ||.t|| = 1, Hull = r

Нормированное пространство E называется равномерно гладким, если

lim Mill = о.

т-»+0 Г

Через int А, А или cl А, дА, (Л)с будем обозначать соответственно внутренность, замыкание, границу и дополнение множества А С Е. Диаметром множества А С Е называется

diamА = sup ||:t; — у||.

х.уеЛ

Расстояние Хаусдорфа между двумя множествами А, В С Е будем обозначать через h(A, В):

h(A, В) = max < sup inf ||а — i||, sup inf ||а. — i>|| > .

t aeA bsB ЬчВ aSA J

Расстоянием от точки u e E до множества А С E называется величина

ß(u,^) = inf ||u - .т||.

xeA

Метрической проекцией точки u E E на множество А С Е называется любой элемент множества

7г(и, А) = {х Е A: ||u - х|| = д( и, Л)}.

Опорной функцией множества А С Е называется функция s(p,A) = sup(p,a), Vp е Е*.

aeA

Через со А обозначим выпуклую оболочку множества А, через со / обозначим выпуклую оболочку функции /.

В работе рассматриваются следующие классы множеств.

• Сильно выпуклые множества с радиусом R (Ч. Олех, X. Франковска, Е. С. Половинкин)

• Слабо выпуклые множества с константой R (Ж.-Ф. Виаль)

• Проксимально гладкие множества с константой R (Ф. Кларк, и др.)

• Порождающие множества (Е. С. Половинкин)

• Равномерно выпуклые множества с модулем выпуклости (Б. Т. Поляк)

• Слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости

• Р-множества

В скобках указаны фамилии авторов, в работах которых введены соответствующие классы множеств.

Два последних класса введены автором работы. Слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости второго порядка в пространствах с модулем выпуклости второго порядка являются проксимально гладкими, при этом существенно упрощается работа с этими множествами. Р-множества важны в задачах об открытости и о непрерывности многозначных отображений.

Определение. (Ч. Олех, X. Франковска, Е. С. Половинкин). Множество А в нормированном пространстве Е называется сильно выпуклым с константой/радиусом В > 0, если существует непустое множество А] с Е такое, что

А = р| Вп{а).

06.41

Определение. (Ж.-Ф. Виаль). Пусть .т0,Ж1 £ Е, Цж! - хо|| < 2Р. Множество

0я{х{),х1)= Р| Вц{а) аеЕ-. {зд,и}сВп(п) называется сильно выпуклым отрезком, а множество

¿>п(х(,,£]) = Оп(хо,хх) \ {яо,^}-

называется сильно выпуклым отрезком без концевых точек.

Определение. (Ж.-Ф. Виаль). Множество А в нормированном пространстве называется слабо выпуклым с константой В > 0, если для любых двух точек Х0.Х1 6 А таких, что 0 < ||.Т| — .сцЦ < 2В, справедливо соотношение

Определение. (Ф. Кларк, и др.). Множество А С Е называется проксимально гладким с константой В., если функция расстояния и > о(и, .4) непрерывно дифференцируема на множестве

ЩЯ, А) = {иеЕ: 0 < в(и, А) < В}. (1)

Всякое выпуклое замкнутое множество слабо выпукло и, например, в гильбертовом пространстве, проксимально гладко с произвольным параметром R > 0. Также легко заметить, что слабо выпуклое или проксимально гладкое множество может не быть выпуклым.

Определение. Будем говорить, что множество А в банаховом пространстве Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой R > 0, если из того, что и € U(R, А) и х 6 7г(и, А) следует неравенство

<2)

Опорное условие слабой выпуклости напоминает определение строго солнца. 52 53 54 Однако в отличие от строго солнца опорное условие слабой выпуклости не предполагает существование метрической проекции любой точки и. В работах Кларка рассматривается опорное условие слабой выпуклости для множеств в гильбертовом пространстве, хотя используется другая терминология: в случае выполнения неравенства (2) говорится, что вектор и — х "реализуется Д-шаром".

Пусть в линейном пространстве Е заданы множества А,ВсЕ. Геометрическими суммой или, что то же самое, суммой Минковского множеств А и В называется множество

А + В = {х +у : хеА, у 6 В}.

Непосредственно из определения следует равенство А + В = |J (Л -f./;)

хе В

Определение. (Е. С. Половинкин). Выпуклое замкнутое множество В в банаховом пространстве Е называется порождающим множеством, если для любого множества X С Е такого, что множество

С=П(В + *) (3)

хех

непусто, найдется выпуклое замкнутое множество С\ С Е такое, что

сГГс = В. (4)

Если множество В ограничено и пространство Е рефлексивно, то в определении множество С\+С замкнуто и равенство (4) эквивалентно равенству

52В. С. Балаганский, Л. П. Власов, Проблема выпуклости чебышевских множеств, Успехи мат. паук, 51:6 (1996), 125-188.

53Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкип, Некоторые свойства чебышевских множеств, ДАН СССР, 118:1 (1958), 17-19.

"М. И. Карлов, И. Г. Царьков, Выпуклость и связность чебышевских множеств и солнц, Фундаментальная н прикладная математика 3:4 (1997), 967-978.

С\ + С — В. Замкнутость С\ + С следует из того, что множества С и С] выпуклы, замкнуты и ограниченны (а значит, слабо компактны).

Среди важнейших примеров порождающего множества отметим шар в гильбертовом пространстве. Существуют и другие примеры равномерно гладких и равномерно выпуклых пространств с порождающим шаром55.

Теорема 1.3.1 главы 1. Пусть Е — равномерно выпуклое и равномерно гладкое банахово пространство. Пусть множество А С Е замкнуто и слабо выпукло с константой Я. Тогда множество А удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой Я.

Следующая теорема показывает, что утверждение, обратное к теореме 1.3.1, справедливо тогда и только тогда, когда шар нормы является порождающим множеством.

Теорема 1.3.2 главы 1. Пусть Е — равномерно выпуклое и равномерно гладкое банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

(1). Любое замкнутое множество А С Е, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости с константой Я, является слабо выпуклым с константой Я.

(2). Шар нормы пространства Е является порождающим множеством.

Следующая теорема показывает, что метрическая проекция точки на множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, непрерывно зависит от проецируемой точки и множества при условии, что расстояние от точки до множества меньше константы слабой выпуклости.

Теорема 1.3.3 главы 1. Пусть Е — равномерно выпуклое банахово пространство. Через обозначим множество, состоящее из пар (и, А), где и е Е, А С Е. Для любых двух пар (и]. /1]) б О, (иг, А2) Е О определим

<?п((иьЛ,),(и2,А2)) = ||и, -и2|| +ЦАиА2),

где })( А] , Лг) — расстояние Хаусдорфа между множествами А\ и Лч. Пусть Я > 7- > 0. Через ЩЯ,г) обозначим множество пар (и, Л) € П таких, что множество А замкнуто, удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой Я и ¿э(и, А) < г.

Тогда функция ж : 0(7?, г) —» А однозначна и равномерно непрерывна относительно метрики да.

Получены оценки модуля непрерывности 7Г : 0.(Я, г) —► А через геометрические характеристики множества А и модуль выпуклости пространства Е.

55Г. Е. Иванов. Критерий гладких порождающих множеств, Мат. сборник, 198:3 (2007), 51-76.

Следующая теорема характеризует класс невыпуклых множеств, для которых метрическая проекция точки на множество существует, единственна и непрерывно зависит от достаточно близких точек множества.

Теорема 1.3.4 главы 1. Пусть Е — равномерна выпуклое и равномерно гладкое банахово пространство; А С Е — замкнутое множество, R > 0. Следующие условия эквивалентны:

(1). Множество А удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой R.

(2). Множество А является проксимально гладким с константой R.

(3). Проекционное отображение u i—* 7г(и, А) однозначно и непрерывно на множестве U(R,A), определенном формулой (1).

Теорема 1.3.4 при дополнительном предположении о том, что модули выпуклости и гладкости пространства Е имеют степенной вид, получена Бернардом, Тибальтом и Златевой.

Теорема 1.4.1 главы 1. (Об отделимости; М. В. Балашов, Г. Е. Иванов). Пусть Е — равномерно выпуклое и равномерно гладкое банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

(1). Для любых чисел г > 0, R > г и любых непересекающихся множеств А, С С Е таких, что Muooicecmeo А замкнуто и слабо выпукло с константой R, а множество С сильно выпукло с константой г, найдутся точки b,d 6 Е, удовлетворяющие условиям

С С Br{d) С int Вп{Ь) С Е \ А. (5)

(2). Шар нормы в Е является порождающим множеством.

Импликация (1) => (2) доказана Балашовым, импликация (2) =Ф- (1)

доказана Балашовым и Ивановым.

Следствие 1.4.1 главы 1. Пусть Е —равномерно выпуклое банахово пространство, г > 0, R > г. Пусть множество А замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой R, а множество С сильно выпукло с константой г и inf \\а — с|| > 0. Пусть сущест-

аел, <:6С

вует такое выпуклое замкнутое множество С\ С Е, что С + С\ = Вг(0). Тогда найдутся точки b,d 6 Е, удовлетворяющие условиям (5).

Предыдущие результаты показывают, что свойство шара быть порождающим множеством является существенным в задачах, связанных со слабо выпуклыми и проксимально гладкими множествами. Это тем более любопытно, что определение порождающего множества возникло вне всякой связи со множествами указанных классов.

Обсуждаются некоторые свойства локальной связности слабо выпуклых и проксимально гладких множеств.

Далее в работе рассматриваются равномерно выпуклые множества. Этот раздел носит технический характер.

Определение. (Б. Т. Поляк). Пусть Е является банаховым пространством и А С Е его замкнутое подмножество. Модуль выпуклости 5а : (0, сНат Л) —> [0, +оо) есть функция, определяемая как

BS ( Xl t Х'2 I С А, \/хих2 е А : ||:ci - х2\\ = £

6а(е) = sup > О

Если модуль выпуклости ¿л(г) строго положителен для всех е € (0, diam А), то мы назовем множество А равномерно выпуклым (с модулем

Теорема 2.2.1 главы 1. Пусть Е есть банахово пространство и пусть А С Е, А ф- Е, есть замкнутое и равномерно выпуклое подмножество с модулел1 5л(-)- Тогда для любого г S (0, diam А)

diam А <

+ 1

где [и] есть целая часть числа х.

Далее мы приводим результат, который близок к теореме Дэя-Нордлендера и обобщает ее на произвольные выпуклые тела.

Теорема 2.2.2 главы 1. Пусть Е есть банахово пространство и А с Е — его замкнутое и равномерно выпуклое подмножество с модулем 5л{')> dia.ni А = 1. Пусть г о > 0 и а £ Е таковы, что Вго(а) С А. Тогда для всех £ £ (0,1):

¿л(2г0е) < ^ (1 - л/1 - е2) . (6)

В формуле (6) равенство имеет место когда А есть евклидов шар диаметра 1 в евклидовом пространстве (с г0 =

Далее кратко обсуждается взаимосвязь модулей выпуклости равномерно выпуклой функции и равномерно выпуклого множества. В частности доказано, что лебеговы множества равномерно выпуклой функции равномерно выпуклы. Рассмотрена зависимость лебеговых множеств равномерно выпуклой функции от уровня.

Для выпуклого компакта А С К" обозначим

А{р) = дз(р,А) = {хеА \ (р,х) = ф, Л)},

т.е. субдифференциал опорной функции в точке р ё К". Метрика р (демь-яновская метрика) на пространстве выпуклых компактов из Е" задается

формулой

= вирЛМр), В(р)), (7)

1ИМ

для любых выпуклых компактов А, В С К".

Теорема 2.6.3 главы 1. Пусть А, В С Ж" есть выпуклые компакты. Пусть множество А является иеодноточечпым и строго выпуклым (а значит — в конечномерном пространстве — и равномерно выпуклым) множеством с модулем выпуклости ¿д. Пусть Д = ^ Нт Тогда

Г Н(А,В)+6^{1г{А.В)), Ь{А,В)< Д, В) $ | Ъ{А, В) (1 + , 1г(А, В) > Д, <8>

где функция обратная к функции ¿4- Далее, если множество А одно-точечное, то р(А, В) = Н{А, В).

В конце раздела 1.2 главы 1 рассмотрены приложения модуля выпуклости и демьяновской метрики в некоторых задачах многозначного анализа.

Также показано, что при определенных соотношениях диаметра и константы опорного условия слабой выпуклости множества в равномерно выпуклом банаховом пространстве, это множество является непрерывным ретрактом.

Работа со слабо выпуклыми в смысле Виаля и проксимально гладкими в смысле Кларка множествами в банаховом неевклидовом пространстве сопряжена с серьезными техническими проблемами. Поэтому целесообразно "заменить" сильно выпуклый отрезок на более простое множество и оперировать с этим более простым множеством. Это приводит к следующему определению.

Определение. Пусть Е есть банахово пространство, и пусть подмножество Ас Е является замкнутым и д е (0. сПат А). Модуль невыпуклости 7а '■ [0, сI) —> [0, +оо) определяется следующим образом

7л(е) = и* > 0 В1 (^у^) П А ф 0, У.с, ,х2 € А : Ц.7.4 - х2 II < е

и 7а(0) = 0. Будем называть множество А слабо выпуклым с модулем невыпуклости 7л(е), £ € [0,с?) ((I < сНатЛ), если модуль невыпуклости 7.1 удовлетворяет неравенству

0<7л(е)<|, УееМ).

Легко видеть, что модуль невыпуклости является неубывающей функцией. Кроме того, далее мы будем предполагать, что модуль невыпуклости непрерывнен справа. В противном случае мы переопределим его по непрерывности справа.

Теорема 3.1.1 главы 1. Пусть пространство Е является равномерно выпуклым с модулем 8е, (I > 0. Пусть А С Е является слабо выпуклым множеством с модулем невыпуклости 7а, и величины (15е{£/(1) — 7д(е) положительна при всех £ € (0,тт{2с/, сНатЛ}). Тогда для любой точки х 6 и((1, А) множество

ж(х, А) = {а Е А | ||з- - а|| = Л)}

является одноточечным.

Далее показано, что типичным является условие, что модуль невыпуклости имеет в нуле порядок малости не менее второго.

Следствие 3.2.1 главы 1. Пусть А — слабо выпуклое множество с модулем невыпуклости второго порядка в нуле. Пусть модуль выпуклости банахова пространства имеет второй порядок в нуле. Тогда найдется (I > 0 такое, что проекция тг(х,А) равномерно непрерывно зависит от х, х € и((1,А). Более точно найдется яо > 0, что если ||хг — жг|| < ¿>о и .гч, х2 в и {в,, А), то \\фл, А) - тг(х2, Л)|| < - з;2||), где ^(в) ^ V*, в +0.

В итоге мы получаем следующий результат. Предположим, что банахово пространство Е имеет модуль выпуклости 5е второго порядка и замкнутое подмножество Л С Е является слабо выпуклым с модулем невыпуклости 7а также второго порядка. Принимая во внимание то, что при всех 0 < (1 < (1у выполнено (/¿^(е/й) > ¿^(е/с/х), Уе 6 (0,2с2), и (¿¿^(е/с/) х е —> +0, мы заключаем, что существует число <1 > 0 такое, что ¿¿^(г/с?) > 7.4(г), \/е 6 (0,2(1). Если дополнительно пространство Е является гладким, то по теоремам 3.1.1 и 1.3.4 главы 1 и следствию 3.2.1 главы 1 мы получаем, что множество Л является проксимально гладким с константой <1. Отметим, что ё, не является максимально возможной константой проксимальной гладкости.

За счет введения модуля невыпуклости упрощается работа с проксимально гладкими множествами в банаховом пространстве с модулем выпуклости второго порядка. Получен ряд теорем о связности и о непрерывности пересечения многозначных отображений. Приведем последнюю теорему.

Вводится определение равномерной слабой выпуклости и равномерной выпуклости многозначного отображения.

Определение. Пусть многозначное отображение Fi : (Т. р) —* является равномерно выпуклым с модулем 5 и многозначное отображение F'2 : (Г, р) —► 2^-11"' является равномерно слабо выпуклым с модулем 7. Мы будем говорить, что условие (И) справедливо для модулей S и 7 если

(1) при всех s £ [0, so] существует решение t = t,s > s уравнения S(t — .s) — 7 (t) = 0,

(2) функция S(t — s) — 7(7) положительна и возрастает при t > ts,

(3) при всех s £ [0, s0l существует решение t.(s) уравнения S(t — s) — ^(t) = Теорема 3.3.4 главы 1. Пусть Fi,F2 : (Г, р) —■> Пусть значения

F2 являются равномерно выпуклыми с модулем 5(e). Пусть значения F\

являются равномерно слабо выпуклыми с модулем 7(5). Предположим,

что многозначное отображение Fi является равномерно непрерывным с

модулем непрерывности и,\, г = 1,2. Пусть выполнено условие (и).

Пусть H(t) = F\(t) П F-i(t) ф 0 при всех t € Т и для некоторого М > 0

выполняется включение |J H(t) С Вц{0). Тогда

teT

ним,mt2))< {' ^"(9)

Здесь uJi = Ui{p{t\,t2)), г = 1,2.

В заключение раздела 1.3 главы 1 показано, что всякая простая гладкая замкнутая поверхность коразмерности 1 в равномерно выпуклом банаховом пространстве является слабо выпуклым множеством и получена оценка на модуль невыпуклости.

Глава 2 диссертации посвящена задаче параметризации многозначных отображений.

В начале приводится ряд технических лемм, уточняющих геометрические свойства слабо выпуклых (здесь и далее — по Виалю) множеств в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.2.1 главы 2. Пусть (E. q) — метрическое пространство, Н — гильбертово пространство. Пусть F : Е —> 2м — многозначное отображение, принимающее замкнутые слабо выпуклые по Виалю с константой R значения. Пусть г £ (0; R) и для любого х £ Е существует вектор ах £ Н такой, что F(x) С В^(ах). Пусть существует число М такое, что F(x) С Вд/(0).

Тогда существует функция / : Е х 0) —> Л, задающая параметризацию многозначного отображения F, т.е. F(x) = /(.т, 5^(0)) для всех х £ Е. При этом

1) для любого х £ Е функция f(x, •) удовлетворяет условию Липшица;

2) если многозначное отображение Е непрерывно в метрике Хаусдорфа, то для любого и € В™(0) функция 1{-,и) непрерывна на Е;

3) если многозначное отображение Е удовлетворяет условию Липшица в метрике Хаусдорфа, то для любого и € 0) функция /(-,и) удовлетворяет условию Гельдера с показателем 1/2 на Е.

В разделе 2.2 главы 2 рассматриваются многозначные отображения с гладкой границей со значениями в гильбертовом пространстве. Более точно, значения и самого многозначного отображения, и его дополнения являются слабо выпуклыми по Виалю (с разными, вообще говоря, константами). Отображение непрерывно по Липшицу в метрике Хаусдорфа. Решается вопрос о липшицевой параметризации такого многозначного отображения. Рассматриваются два случая: когда значения многозначного отображения конечномерны (в конечномерном евклидовом пространстве) и бесконечномерны. В первом случае для построения параметризации используется центр Штейнера, а во втором - теорема Киршбрауна-Валентайна о липшицевом продолжении функции на гильбертово пространство. По ходу доказательства предложен способ липшицевой парметризации многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми значениями из гильбертова пространства.

Напомним, что центром Штейнера выпуклого компакта А С М" называется точка

N1=1

где ¡лп мера Лебега в Ж".

Лемма 2.3Л главы 2. Пусть заданы положительные числа г, Я, а такие, что г < Я, а < В.. Определим число

(Я 3-Г-У £ ~ 12Я4 '

Пусть множество Р С К", удовлетворяет условиям (1) Е замкнуто и слабо выпукло с константой И; (¡1) существует вектор а € К" такой, что Е с Вг(а); (111) множество с1 ((/*")') слабо выпукло с константой а. Для любого вектора и € К" определим

Ъ{Е, и) = 8(со Л + 2ги, и) = д(ь(Е, и), со ,

и) = (со Р) р| ВЫРм) (б(Р, и)), и) = з и)),

(10)

IV(Г, и) = Е(~] В(ШШр,и)Мр>")). «) = в (со и'(Г,«)).

ДР, и) = «) + и) - и)).

Тогда функция /(К-) : В^О) —+ К" (где В^О) С М"^ задает параметризацию множества Е, т. е. /(Е, 5) (0)) = Е. При этом для любых множеств С К", удовлетворяющих условиял1 ({) - (Ш) и для любых векторов щ,и2 Е -61(0) справедливо неравенство

„о-^2)11 < ^д"0"^!)^(с^- +^Ъ)+2,-||Ц1 - »2н). (11)

т 2 Г(!+1) где число Ьп = ^^[Ж) •

Прямым следствием леммы 2.3.1 является следующая теорема.

Теорема 2.3.2 главы 2. (Первая теорема о липшицевой параметризации.) Пусть Е - метрическое пространство. Пусть задано многозначное отображение Е : Е 2е", удовлетворяющее условию Липшица относительно метрики Хаусдофа и принимающее замкнутые слабо выпуклые с константой В и телесно-гладкие с константой С значения. Пусть г Е (0;Д) и для любого х Е Е существует вектор ах Е К" такой, что Е(х) С Вг(ах). Тогда существует функция / : Е х В\{0) —> К" (где В\ (0) С М."^, задающая параметризацию многозначного отображения .Р и удовлетворяющая условию Липшица.

Далее уточняется следствие теоремы Киршбрауна-Валеитайна о липши-цевом продолжении функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема 2.5.3 главы 2. (Вторая теорема о липшицевой параметризации.) Пусть 7^1,7^2 ~ гильбертовы пространства, X С Н\. Пусть многозначное отображение Е : X —> удовлетворяет условию Липшица с константой Ьр в метрике Хаусдорфа. Пусть В > г > 0, /? > гт > 0 и для любого х Е X:

(¿) множество Е(х) замкнуто и слабо выпукло с константой Я;

(и) множество с1 ((^(а:))') слабо выпукло с константой а;

(Ш) существует вектор а(х) Е ТС\ такой, что С(х) С Вг(а(х)).

Тогда существует функция / : X х -61(0) —♦ Н2 (где В\{0) С Иг), удовлетворяющая условию Липшица и такая, что ${х,В\{0)) = Е(х) для любого х Е X.

Отличие полученных в главе 2 теорем от известных ранее состоит в том, что 1) получена параметризация для класса невыпуклых многозначных отображений и 2) множество параметров является единичным шаром из

пространства значений многозначного отображения. Отметим, что в случае, когда значения многозначного отображения содержатся в конечномерном пространстве, построенная параметризация принципиально не сложнее, чем хорошо известный результат Орнеласа56.

В главе 3 на основе полученных ранее результатов решаются некоторые актуальные задачи выпуклого и негладкого анализа.

В разделе 3.1 главы 3 описан новый класс множеств из R". По заданному произвольному вектору q G M", ||д|| = 1, определим прямую Kcl) — {"М"^ G M} и подпространство L{q) = {х G ]Rn| {x,q) = 0}. Таким образом пространство Ж" представим в виде прямой суммы подпространств L(q) и l(q), т.е. Ж" = L(q) ф l(q). В итоге произвольная точка 2 G R" пред-ставтга в виде z ~ х + fiq, где х G L(q), a ß € К, или короче: г = (x;/î). Опираясь на такое представление, определим линейный оператор проектирования Рцч) : Ж" —» L(q) по формуле Рцч)г = х, где z = (х;ц). В результате для произвольного выпуклого компакта А с Ж" определим функцию

/л,„ : РЦд)А -» Ж; /Ав(ж) = mhi{/i | (х;ц) G А}, Ух G РЦя)А. (12)

Определение. Выпуклый компакт А С Ж" будем называть Р-множеством, если для каждого вектора q G R", ||q|| = 1, функция /д.ч, определенная выражением (12), непрерывна на множестве Рц^А.

Дано описание Р-множеств. Оказывается, что любой многогранник, строго выпуклый компакт есть Р-множество. Конечная сумма Минков-ского Р-множеств есть Р-множество. Линейный оператор переводит Р-множество в Р-множество.

Установлена связь Р-множеств с открытостью некоторых отображений.

Теорема 1.2.3 главы 3. Выпуклое компактное множество А С Ж" является Р-множеством тогда и только тогда, когда для всякого натурального числа m и всякого линейного оператора Т : М" —» Жг" отображение Т : А —> ТА открыто в индуцированных топологиях.

Завершает раздел теорема о связи Р-множества и порождающего множества: доказано, что всякое порождающее компактное подмножество из R" является Р-множеством.

Далее свойства Р-множеств используются в задаче расщепления для селекции.

Раздел 3.2 главы 3 посвящен решению задачи расщепления для селек-ций.

56A. OnH-ias. Parametrization of Caratheodory Multifunctions. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 83, (1990), 33-44.

2G

Раздел начинается с простого случая задачи, который рассматривался Мартинецом-Легазом, Сигером, Реповшем, Семеновым: существуют ли для произволных выпуклых замкнутых мноэюеств А, В и С = А + В непрерывные функции а : С —> А и b : С —+ В со свойством: а(с) + Ь(с) = с при всех с S С ? В пространстве размерности 3 или больше ответ отрицательный. Приводится пример множеств из R'1, для которых задача неразрешима.

Далее мы получим положительное решение задачи расщепления для се-лекций сначала в конечномерном пространстве, а затем в некоторых бесконечномерных банаховых пространствах.

Ключевая идея — доказать непрерывность пересечения (Pi (.с), Fjix)) П L~l(f(x)). Когда это сделано, мы можем выбрать некоторый непрерывный селектор (например, центр Штейиера) отображения х —> (F] (x), Fo(x)) П L~l(f(x)) и решить задачу.

Приводится ряд теорем — достаточные условия разрешимости задачи. Приведем один из результатов.

Теорема 2.2.4 главы 3. Пусть elп А, В выпуклые замкнутые множества и С = А + В. Если С является Р-множеством, то существуюе непрерывные функции а : С А и Ъ : С —> В со свойством а(с) + Ь(с) = с для всех с G С.

Таким образом, для разрешимости достаточно, чтобы множество С (а значит и множества А, В) было Р-множеством.

В подразделе 3.2.3 главы 3 доказывается существование приближенного решения для липшицевых селекторов в гильбертовом пространстве. Доказательство основано на применении теоремы Киршбрауна-Валентайна.

Теорема 2.3,2 главы 3. Пусть X,Y,Y¡, i = 1,2, гильбертовы пространства и X¡ С X — выпуклое подмножество X. Пусть L : Y¡ ф Yo —> Y непрерывная линейная сюрьекция. Пусть Fi : Х\ —> 25¡, i — 1,2, paenoAiep-но непрерывные (с модулем ы,) многозначные отображения с выпуклыми

замкнутыми ограниченными значениями и d = sup diam (Pi (x), Po (•'')) <

xeXi

+00. Пусть при всех х Е Xj f(x) £ L{F\{x), Fn{x)) и /(:г) — Липшицев селектор. Тогда для всех е > 0 существуют липшицевы селекторы fi(x) € F¿(x) + В}'{0) со свойством /(.г) = L(f\(x), /Н-т)) для всех х 6 .Yi.

В конце раздела получены положительные решения задачи расщепления в равномерно выпуклых банаховых пространствах для многозначных отображений с сильно и слабо выпуклыми значениями.

Раздел 3.3 главы 3 посвящен оценке погрешности аппроксимации выпуклых компактов. Уточним определение сетки и внешней многогранной

аппроксимации.

Определение. Сеткой G мелкости А € (0, называется конечный набор единичных векторов {р,} С К", г € 1,1 = {1,..., /}, таких, что для любого вектора р ф 0, р 6 К", с ^ <G существует множество индексов 1р С 1,1 и числа аг- > 0, г € 1Р, со свойствами

P = J2a№> P'eG' (13)

ieij,

Hft-pJ<A, Vi, j e Ip. (14)

Хорошо известно, что для всякого выпуклого замкнутого подмножества А С Е" мы имеем

А = \х G R" | (р,х) < s(p, А) = sup(р,a), Vp е ¿>£i(0)j .

I «ел J

Мы рассмотрим внешнюю многогранную аппроксимацию компакта Л С R" на сетке G вида

А = {.х € R" | (р,х) < s(p, A), Vp 6 G}.

Таким образом, по сути для данного выпуклого компакта А ищется наихудшая аппроксимация на множестве всех сеток заданной мелкости А, Д G (0, |). Напомним, что во многих приложениях (например, в некоторых алгоритмах вычислительной геометрии, в линейных дифференциальных играх) такая постановка достаточно типична.

Из включения G С OBi (0) мы легко получаем, что А С А. Для произвольных выпуклых компактных множеств Л С М" имеет место хорошо

известная оценка h(A,A) < 2Adiam А. Если А = (~) Вд(х) =/= 0, то, как

хех

показали Г. Е. Иванов и Е. С. Половинкин, h(A,A) < 2RA2. Далее мы рассмотрим аппроксимацию произвольного строго=равномерно выпуклого компактного множества Л С8".

Теорема 3.2.2 главы 3. Пусть А С R" является выпуклым компактным множеством с модулем выпуклости S(e), £ € [0, diam^]. Пусть G есть сетка мелкости A G (0,^), ¿(diam Л)/diam А > Тогда

ЦА,А)<8-£( А) А, где г(Д) решение уравнения ^ = .

Указанная в теореме 3.2.2 оценка по порядку мелкости Д точна, что легко показать на примерах.

В ряде важных для приложений случаев получены оценки погрешности аппроксимаций при отсутствии информации об опорной функции множества. Приведем один из таких результатов. Для положительно однородной функции f(p) обозначим С f(p) — f(p), если ^ £ С, и С f(p) = +00, если

„ , „ и

Теорема 3.3.1 главы 3. Пусть А, В С К" являются выпуклыми компактами и предположим, что В равномерно выпуклое множество с модулем 5¡}. Пусть f(p) = s(p. В) — s(p, А). Пусть ВГо(а) С f) (В — х) С Bj(a).

.7-6.4

Пусть G является сеткой мелкости Д € (0,^); ¿/j(diami?)/diamB > Тогда

со Яр) < со с/(р) < со f(P) + |^В(Д)Д|Н|, vP е М", (15)

"0

где е = £в(Д) есть решение уравнения =

Завершают главу короткие разделы о характеризации сильно выпуклых с радиусом R множеств в гильбертовом пространстве Н. Приведем эти результаты.

Теорема 4.2.1 главы 3. Предположим, что непустое замкнутое выпуклое подмножество А С Tí равномерно выпуклое с модулем выпуклости второго порядка в нуле: существует число С > 0 такое, что

5А(е) = Се2 + о(е2), е +0.

Тогда существует подмножество X С Н такое, что

A=n(x+éBi{0))>

хеХ 4 '

и для всякого г < и любого У С Ti, А ф р| Вг(.г).

re Y

В разделе 3.5 главы 3 вводится понятие ñ-сильно крайней и Д-сильно выступающей точек. Через strco/j/l мы обозначим сильно выпуклую оболочку множества А с радиусом R, т.е. пересечение всех замкнутых шаров радиуса R, каждый из которых содержит множество А.

Определение. (Е. С. Половинкии.) Для множества А С Tí точка х 6 А называется Д-сильно крайней, если для любых двух точек у. z £ Л: у ф х, z Ф х, выполнено х ^ strco/?{y.,:}. Будем обозначать множество Д-силыю крайних точек А через extr^A

Определение. Для множества А С Н точка х Е -4 называется Я-выступающей. если существует шар радиуса R с центром в точке z, такой, что А С Bfj(z) и А(~]дВц(г) — {а;}. Будем обозначать множество Д-выступаю-щих точек А через ехрдА

Множество R-силыю выступающих точек является подмножеством R-сильно крайних точек.

Теорема 5.0.1 главы 3. Пусть А'С "Н замкнутое множество, причем А С Bp(zq), где р < R. Тогда справедливо включение

А с strcoftexpfiA

Теорема 5.0.2 главы 3. Пусть А С Л замкнутое множество, А с Bp(zo)i где р < R- Тогда справедливо включение А С strco^extr/iA

Отметим, что в теоремах 5.0.1 и 5.0.2 множество А не является компактным, поэтому при доказательстве пришлось обобщить результат М. Эделстейна57 о выступающих точках на ii-выступающие точки.

В разделе 3.6 главы 3 рассматривается задача об наиболее удаленных точках. Пусть А — выпуклое замкнутое подмножество банахова пространства Е. Для числа г > 0 определим функцию удаленности Ja-E—^R:

/а(х) = sup Ця — а|| и множество

аб А

Тг = Тт(А) = {хеЕ I fA(x) > г}.

Заметим, что граница этого множества дТг = {ж € Е | /л(а:) = } ■

Определение. Пусть А С Е — выпуклое замкнутое множество, х Е Е. Будем говорить, что точка а(х) Е А наиболее удаленная от точки х точка множества А, если ||х — а(х)|| = /л(х) и для всех других точек а Е А выполнено неравенство ||х — а|| < /л{■'')• Будем далее обозначать наиболее удаленную от точки х точку множества А через а(х).

Исследуются свойства множеств, имеющих единственную наиболее удаленную точку.

Получено описание таких множеств в терминах свойств нормы банахова пространства.

Теорема 6.2.1 главы 3. Пусть Е — рефлексивное банахово пространство, в котором шар является строго выпуклым и порождающим множеством. Тогда если А С Е есть сильно выпуклое множество с радиусом г, то для любого хо Е ТГ(А) существует наиболее удаленный (единственный) элемент а(хо) Е А.

"М. Edelstein, Farthest points of sets in uniformly convex Banach spaces, Isr. J. of Math. 4:3 (1966), 171-176.

В гильбертовом пространстве дана характеризация сильно выпуклого множества через свойства наиболее удаленных точек.

Теорема 6.2.5 главы 3. Пусть А — выпуклое замкнутое ограниченное множество в гильбертовом пространстве. Множество А сильно выпукло с константой г > 0 тогда и только тогда, когда для любой точки х £ ТГ(А) существует а(х) — наиболее удаленная (единственная) точка множества А и для любого числа Я > г функция х н-> а(х) удовлетворяет условию Липшица на множестве Тп(А).

Получены оценки константы Липшица через В, г.

Теорема 6.2.7 главы 3. Пусть Е — конечномерное пространство, в котором шар является строго выпуклым; г > 0. Пусть для каждого множества А С Е, сильно выпуклого с радиусом г, и для любой точки х € ТГ(Д) существует а(х) — наиболее удаленная (единственная) точка множества А. Тогда шар в Е является порождающим множеством.

Завершает главу 3 коротенький раздел 3.7. В нем доказано, что для гладкого множества А из гильбертова пространства его сильно выпуклая оболочка с радиусом В (в предположении, что она не пуста) тоже является гладким множеством. Сильно выпуклая оболочка с радиусом Я множества А есть пересечение всех замкнутых шаров радиуса Я, содержащих множество А. Отсюда, используя результат Е. С. Половинкина о множествах постоянной ширины, для гильбертова пространства следует положительный ответ на вопрос Л. Данцера о существовании гладкого тела постоянной ширины 1, содержащего данное выпуклое замкнутое гладкое тело диаметра 1.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. - М.: Физматлит, 2004. - 416 с.

В данной работе М. В. Балашову принадлежит 9 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17 печатных листов.

[2] Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. - М.: Физматлит, 2007. - 440 с. 2-е изд. исправленное и дополненное.

В данной работе М. В. Балашову принадлежит 10 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17,5 печатных листов.

[3] Балашов М. В., Половинкин Е. С. М-силыю выпуклые множества и их порождающие подмножества// Матем. сб. - 2000. - Т. 191, вып. 1.

- С. 27-64.

В данной работе М. В. Балашову принадлежат определение 7.1, теоремы 2.5, 2.6, 5.3, 5.4, 6.1, 7.1, 8.1, 8.3. Постановка задач и остальные результаты принадлежат Е. С. Половинкнну.

[4] Половинкин Е. С., Иванов Г. Е., Балашов М. В., Константинов Р. В., Хорее А. В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр// Матем. сб. - 2001. - Т. 192, вып. 10. - С. 95-122. В данной работе М. В. Балашову принадлежит приближенный алгоритм нахождения выпуклой оболочки положительно однородной функции и оценка его погрешности в теореме 4. Все остальные результаты принадлежат другим авторам.

[о] Балашов М. В. О геометрической разности многозначных отображений// Матем. заметки. - 2001. - Т. 70, вып. 2. - С. 163-169.

[6] Балашов М. В. Об аналоге теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки в гильбертовом пространстве// Матем. заметки. -Т. 71, вып. 1. - С. 37-42.

[7] Балашов М. В. О Р-свойстве выпуклых компактов// Матем. заметки.

- 2002. - Т. 71, вып. 3. - С. 323-333.

[8] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Об удаленных точках множеств// Матем. заметки. - 2006. - Т. 80, вып. 2. - С. 163-170.

В данной работе М. В. Балашову принадлежат теоремы 1, 2, 4, 5, 6, 7. Г. Е. Иванову принадлежит постановка задач и остальные результаты.

[9] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями// Матем. заметки. -2006. - Т. 80, вып. 4. - С. 483-489.

В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и доказательство теоремы 2 (совместно с Г. Е. Ивановым) и теоремы 3. Остальные результаты принадлежат Г. Е. Иванову.

[10] Иванов Г. Е., Балашов М. В. Лнпшицевы параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями// Изв. РАН. Сер. матем. - 2007. - Т. 71, вып. 6. - С. 47-68.

В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 4, 7, 8. Г. Е. Иванову принадлежат теоремы 1, 2, 5.

[11] Балашов М. В., Богданов И. И. О некоторых свойствах Р-множеств и свойстве зажатости в выпуклых компактах// Матем. заметки. - 2008.

- Т. 84, вып. 4. - С. 496-505.

В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 1, 2, примеры 1, 2, 3. И. И. Богданову принадлежит теорема 3 и примеры 4, 5.

[12] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах// Изв. РАН. Сер. матем. - 2009.

- Т. 73, вып. 3. - С. 23-66.

В работе [12] М. В. Балашову принадлежат теоремы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.10, 2.15. Г. Е. Иванову принадлежат теоремы, 2.8, 2.9, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14. В теореме 2.6 Балашовым доказана импликация (1) —» (2), импликация (2) —► (1) доказана Балашовым и Ивановым.

[13] Balashov М. V., Repovs D. On the splitting problem for selections// J. Math. Anal. Appl. - 2009. - V. 355, N 1. - P. 277-287.

В данной работе M. В. Балашову принадлежат достаточные условия разрешимости задачи расщепления для Р-множеств, а также теорема о существовании приближенного решения задачи расщепления в гильбертовом пространстве, Д. Реповшу принадлежит постановка задачи расщепления.

[14] Balashov М. V., Repovs D. Uniform convexity and the splitting problem for selections// J. Math. Anal. Appl. - 2009. - V. 360, N 1. - P. 307-316. В данной работе M. В. Балашову принадлежат свойства модуля выпуклости и достаточные условия разрешимости задачи расщепления для равномерно выпуклых множеств в равномерно выпуклых банаховых пространствах, Д. Реповшу принадлежит постановка задачи расщепления.

[15] Balashov М. V., Repovs D. Weakly convex sets and the modulus of non-convexity// J. Math. Anal. Appl. - 2010. - V. 371, N 1. - P. 113-127.

В данной работе M. В. Балашову принадлежит определение модуля невыпуклости и связанные с ним свойства, а также теоремы о непрерывности пересечения многозначных отображений, Д. Реповшу принадлежит идея использовать результаты для решения задачи расщепления.

[16] Балашов М. В. Об одном вопросе о телах постоянной ширины// Вестник РУДН. Серия Математика. - 2003. - Т. 1, вып. 10. - С. 3-7.

[17] Балашов М. В. О непрерывности пересечения многозначных отображений с сильно выпуклыми значениями// Эл. журнал "Исследовано в России". 2002. С. 534-539 [PDF] (http: //zhurnal.ape.relarn.ru / articles/2002/049.pdf).

[18] Половинкин Е. С., Балашов М. В. О вложении пространства выпуклых компактов в линейное топологическое пространство и его следствиях// Тр. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования". - М.: Физматлит. -2003. - С. 311-326.

В данной работе М. В. Балашову принадлежат результаты о непрерывности многозначных отображений, Е. С. Половинкину принадлежат результаты о телах постоянной ширины.

[19] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабая выпуклость и проксимальная гладкость в банаховых пространствах// Математический форум. Т. 2. Исследования по выпуклому анализу / отв. редактор В. М. Тихомиров.

— Владикавказ: ЮМИ ВНЦ. - 2009. - С. 7-40 (Итоги науки. ЮФО). Работа [19] есть часть работы [12].

[20] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Сильная выпуклость множеств уровня сильно выпуклой функции// Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики; Междувед. сб./ Моск. физ.-тех. инст.

- М.,1996. - С. 46-52.

В данной работе М. В. Балашову принадлежат доказательства, Г. Е. Иванову постановка задачи.

[21] Балашов М. В. О множествах с положительным модулем выпуклости// Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики: Сборник научных трудов/ Моск. физ.-тех. инст. - М.,2007. - С. 6-22.

[22] Балашов М. В. Слабо выпуклые множества и модуль невыпуклости// Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики: Сборник научных трудов/ Моск. физ.-тех. инст. - М., 2009. - С. 8-28.

Балашов Максим Викторович Параметрически выпуклые множества

Подписано в печать 22.11.2010

Формат бумаги 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 1,8. Уч.-печ. л. 2,1 Тираж 120 экз. Заказ 35

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованна Московский физико-технический институт (государственный университет) Издательский сектор оперативной полиграфии 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

0.1 Введение. Структура работы.

1 Сильно выпуклые, слабо выпуклые, и проксимально гладкие множества с константой Я. Равномерно выпуклые множества

1.1 Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества с константой Я в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах.

1.1.1 Введение.

1.1.2 Определения и обозначения.

1.1.3 Связь слабой выпуклости с другими условиями

1.1.4 Отделимость и локальная связность

1.1.5 Свойства равномерно выпуклых и равномерно гладких пространств.

1.1.6 Свойства сильно выпуклого отрезка

1.1.7 Доказательство теорем.

1.2 Равномерно выпуклые множества.

1.2.1 Определения.

1.2.2 Основные свойства равномерно выпуклых множеств

1.2.3 Равномерно выпуклые функции, и связь модуля выпуклости функции с модулем выпуклости множества

3.3.2 Аппроксимация по опорной функции.178

3.3.3 Аппроксимация по предопорпой функции.183

3.3.4 О нахождении выпуклой оболочки.186

3.3.5 Заключение.188

3.4 Равномерно выпуклые подмножества гильбертова пространства с модулем выпуклости второго порядка.190

3.4.1 Обозначения и постановка задачи.190

3.4.2 Основной результат.190

3.4.3 Предварительные леммы.191

3.4.4 Доказательство теоремы 4.2.1.199 у

3.5 Обобщение теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки.200

3.6 Сильно выпуклые множества и удаленные точки.205

3.6.1 Определения.205

3.6.2 Свойства удаленных точек.206

3.7 О гладких множествах постоянной ширины.215

Список использованных источников 220 ч

0.1 Введение. Структура работы

Настоящая работа посвящена изучению свойств выпуклых в некотором обобщенном смысле множеств, а также приложениям этих свойств в задачах оптимизации, задачах: выпуклого и негладкого анализа, а также задачах аппроксимации. Работа носит теоретический характер.

Понятие выпуклости (множества, функции, экстремальной задачи и т.п.) является одним из центральных понятий в математике. В конце 19-го столетия и начале 20-го столетия Г. Минковским был создан специальный раздел геометрии — выпуклая геометрия (см, например, [159, 160, 161, 162, 163]). В создание и развитие выпуклой геометрии наряду с Минков-ском большой вклад внесли Я. Штейнер, К. Каратеодори, Э. Хелли, В. Бляшке, Т. Боннезен, В.Фенхель, А. Д. Александров и другие ученые (см., например, [177, 178, 138, 139, 41, 42, 125, 126, 124, 127, 46, 129, 130, 140, 1]) Основные понятия выпуклой геометрии, такие как опорная функция, поляра, крайняя точка сыграли большую роль в создании в начале 20-го века функционального анализа.

Существенной особенностью выпуклых множеств является возможность их двойного описания: прямого (на основе определения, т.е. если две точки принадлежат выпуклому множеству, то и весь отрезок с концами в указанных точках также принадлежит данному множеству) и двойственного (выпуклое множество может быть представлено как пересечение полупространств). Это соображение двойственности позволяет сформулировать в разном виде принцип отделимости выпуклых множеств, и на его основе получить разнообразные приложения в оптимизации (необходимые и достаточные условия в теории экстремальных задач), в геометрии, функциональном анализе (отделимость, крайние и выступающие точки), в задачах аппроксимации и в теории приближений.

После 1950-х годов интерес к проблемам выпуклости снова возрос в связи с развитием вычислительной математики. Многие задачи имеют принципиально "выпуклые" алгоритмы решения, например линейные дифференциальные игры [98]. После знаменитой книги Р. Т. Рокафеллара [102] словосочетание "выпуклый анализ" стало общепринятым.

В настоящее время имеется много замечательных монографий по выпуклому анализу: [1, 6, 45, 55, 75, 76, 84, 150, 85, 90, 102, 105, 116, 145, 146, 150, 164, 176, 181, 179, 133, 137]. Еще больше монографий существует по приложениям выпуклого анализа (см., например, [2] — [8], [40], [44] — [45], [49] - [60], [62], [65], [73] - [80], [84, 85], [87, 88], [90] - [92], [96] - [99],

107] — [111], [114, 116], [119, 120, 133, 137, 142, 146, 164, 168, 176, 179, 181].

Начиная с 1960-х годов, появляется большое количество обобщений понятия "выпуклость", см. подробности в [55, 105]. Это было вызвано тем фактом, что свойств выпуклых множеств оказалось недостаточно для решения задач, возникающих в области оптимизации и приложений. Среди обобщений выпуклости можно выделить два класса. Во-первых, мы можем усиливать определение выпуклости и получать новые, более сильные результаты с новым определением. Во-вторых, мы можем рассматривать более слабое определение выпуклости (т.е. слабо выпуклый объект не обязательно выпуклый в классическом смысле, но всякий выпуклый объект также и слабо выпуклый) и пытаться обобщать или даже усиливать для этих множеств результаты, верные для выпуклых множеств. В качестве примеров обобщенно выпуклых объектов упомянем строгую выпуклость (в конечномерном пространстве двойственная функция к строго выпуклой функции дифференцируема [183]), равномерную выпуклость (равномерно выпуклые банаховы пространства [61, 152]), iï-выпуклость (с ней тесно связаны теоремы В. Г. Болтянского об отделимости конусов [43]), метрическую выпуклость.

Значительное количество обобщенно выпуклых объектов* заставило выработать аксиоматический подход к определению понятия "выпуклое множество" . В рамках аксиоматического подхода [105] в произвольном пространстве X выбирается некоторое семейство подмножеств Ф, называемое базой выпуклости (аналогично по смыслу базе топологии). Множество А называется Ф-выпуклым, если оно представимо в виде пересечения некоторого подсемейства множеств из данного семейства Ф' (см., например, [55, 105, 144, 123, 22]). Основными вопросами, связанными с обобщениями выпуклости, являются вопросы характеризации и описания обобщенно выпуклых множеств, вопросы двойственности и тесно с ними связанные вопросы об отделимости и об опорных свойствах множеств, различные аналитические и комбинаторные вопросы (обобщение теорем о крайних/выступающих точках, комбинаторных теорем типа Каратеодори и Хелли [22, 55]). Все эти свойства находят щшложения в оптимизации (построение обобщенных градиентов [133]) и многозначном анализе (изучение многозначных отображений с обобщенно выпуклыми значениями [104]).

Различные ученые независимо друг от друга обратили внимание на то, что в прикладных задачах получаются хорошие результаты, когда в них рассматриваются классы выпуклых множеств из конечномерного евклидова пространства Кп, получаемых в результате пересечения сдвигов шара заданного радиуса. Так, в приложении "Обобщенная выпуклость" [55] приведены новые результаты двойственности для множеств, получаемых пересечением сдвигов, одного и того же выпуклого множества. Ч. Олех и X. Франковска [144] получили новый опорный принцип для множества, являющегося пересечением шаров из Мп, а также сформулировали условия, при которых интеграл от многозначного отображения является пересечением шаров одного радиуса. С. Лоджасевич и А. Плиш [154, 169] доказали, что множество достижимости управляемой системы при определенных условиях является пересечением шаров. М. А. Красносельский и А. В. Покровский [79] обнаружили хорошее свойство таких множеств в системах с гистерезисом. Р. Е. Иванов и Е. С. Половинкин [67] получили условия второго порядка для сходимости алгоритмов1 решения линейных дифференциальных игр, при условии, что терминальное множество и множество управления одного из игроков являются пересечением шаров заданного радиуса.

В книге Е. С. Иоловинкин'а и М. В. Балашова [22] детально исследовался» случай,, когда базой выпуклости является множество всевозможных сдвигов одного и того же выпуклого замкнутого подмножества данного банахо-. ва пространства. При этом для построения содержательной теории, как показал Половинкин, указанное множество (сдвиги которого определяют базу выпуклости) должно удовлетворять особому условию полного выметания или, как принято говорить, являться порождающим. Ососбенно важно и отдельно стоит, случай,, когда базой выпуклости являются птары Ва(х) из ; банахова пространства, где В, фиксировано, а х — любая точка пространства. При этом параметр К естественным образом выступает в качестве параметра выпуклости. Множества,, являющиеся пересечением шаров получили специальное название: сильно выпуклые множества с радиусом И. Новые свойства порождающих множеств позволили получить новые результаты в выпуклом анализе (новый опорный принцип), в задачах аппроксимации . множеств многогранниками (новые более точные оценки погрешности ап-■ проксимации многогранниками в метрике Хаусдорфа некоторых классов множеств), в теории приближений и геометрии (конструктивные формулы для тела постоянной ширины, новые свойства этих тел), построить новые непрерывные по Липшицу в метрике Хаусдорфа селекторы многозначных отображений [22], доказать высокую эффективность некоторых алгоритмов решения линейных дифференциальных игр [67].

• Другой подход к обобщению понятия выпуклого множества возник в ра. боте французского математика Ж.-Ф: Виаля [182]. Виаль заменил в определении выпуклого множества отрезок на некоторое более широкое множество — сильно выпуклый отрезок с константой В. Сильно выпуклый отрезок с константой В! у Виаля — это пересечение всех замкнутых шаров радиуса В, содержащих две данные точки — концы сильно выпуклого отрезка.

Виаль назал замкнутое множество слабо выпуклым с константой В, если для любых двух точек из множества, находящихся на расстоянии не более 2В друг от друга, сильно выпуклый отрезок с константой ВI и концами в этих точках имеет со множеством общую точку, отличную от двух точек, выбранных в качестве концов.

Виаль рассматривал это определение в конечномерном евклидовом пространстве (и существенно использовал как конечномерность, так и евк-лидовость) и получил ряд интересных результатов, касающихся геометрических свойств таких множеств. В частности, он получил новый опорный принцип для слабо выпуклых множеств.

Отметим, что Ж.-Ф. Виаль впервые сформулировал негладкое определение слабой выпуклости. Класс слабо выпуклых по Виалю множеств из Мп с С2-гладкой границей рассматривался и ранее, например в работах Ю. Г. Решетняка [101]. Хотя определение у Решетняка другое, но по сути оно совпадает (для множеств с гладкой границей) с определением Виаля.

Весьма близкий к слабо выпуклым по Виалю класс множеств рассматривался еще Н. В. Ефимовым и С. Б. Стечкиным при исследовании чебы-шевских множеств [64] (т.н. а-выпуклые множества).

Слабо выпуклым в смысле Виаля множествам посвящена значительная часть монографии Г. Е. Иванова [70]. В ней определение и результаты Виаля обобщаются на случай гильбертова пространства. Получен ряд новых результатов о связи слабой выпуклости множества с гладкостью его границы, а также о существовании локальных геодезических на поверхности слабо выпуклых множеств, причем геодезические липшицево зависят от концов геодезической и от некоторых других параметров. Кроме того, на основе свойств слабо выпуклых множеств, Ивановым получены достаточные условия существования седловой точки в некотором классе линейных дифференциальных игр.

Дальнейший импульс идеи Виаля получили в работах Ф. Кларка, его коллег и Р. Т. Рокафеллара [132, 131, 170, 171, 133, 134] и др. Кларк ввел понятие проксимально гладкого мноэюества с константой В, определив его как такое множество, что для всех точек на расстоянии не более В, от множества функция расстояния от точки до множества непрерывно дифференцируема по Фреше. То есть множество обладает "слоем" толщины Я, внутри которого функция расстояния непрерывно дифференцируема. Кларк рассматривал определение проксимально гладкого множества в гильбертовом пространстве. Как оказалось ([132], см. также теоремы 1.3.2 и 1.3.4 главы 1) определения Виаля и Кларка в гильбертовом пространстве задают один и тот же класс множеств. Кларк обобщил результаты Виаля на гильбертово пространство, получил ряд новых результатов в оптимизации и в вариационном исчислении. На основе проксимально гладких множеств Ф. Кларком, Ю. С. Ледяевым, Р. Штерном, П. Воленски [133] был введен в рассмотрение проксимальный субградиент, который может быть определен для полунепрерывных снизу функций в равномерно выпуклом пространстве и является на сегодняшний день существенной конструкцией в оптимизации. Была локально переформулирована широко известная проблема выпуклости: верно ли, что если множество А в гильбертовом пространстве обладает слоем "толщины" Я, для каждой точки.из которого существует единственная ближайшая к ней точка из А, то множество А является проксимально гладким с константой Я? Положительный ответ (на сегодня не известно, верен ли) повлек бы решение и проблемы выпуклости чебышевского множества в гильбертовом пространстве.

КоллегиКларка обобщили свойства проксимально гладких множеств на класс банаховых пространств, с модулями выпуклости и гладкости степенного вида [128].

Упомянем еще один класс множеств, задаваемых параметром выпуклости. Хорошо известно определение равномерно выпуклого банахова-пространства и модуля выпуклости банахова пространства [61, 152]. В работе [172] Б. Т. Поляк ввел в рассмотрение модуль выпуклости произвольного выпуклого множества, а не только шара, и определил равномерно выпуклое множество. Это такое множество, что модуль его выпуклости строго больше нуля при всех допустимых значениях аргумента. Определение Поляка позволило ему доказать сходимость некоторых минимизирующих после; довательностей в алгоритмах минимизации выпуклой функции [172, 151]. Обратная функция к модулю выпуклости встречается в работах по геометрической теории приближений (например, [47]). Близким и активно используемым в выпуклом анализе и приложениях является понятие "модуль выпуклости функции"' [49, 96, 183].

В работе также рассматриваются некоторые задачи выпуклого и многозначного анализа.'

При решении многих задач аппроксимации и условной оптимизации используется оператор метрической проекции точки на множество, который заданной точке ставит в соответствие ближайшую к нен точку заданного множества [88, 7]. Если заданное множество замкнуто, но не выпукло, то метрическая проекция точки может быть не единственной, а в бесконечномерном случае и не существовать. Аналогичные вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости от параметров возникают и про наиболее удаленные точки (выпуклого) замкнутого множества от данной точки пространства [116, Приложение II]. Основные вопросы про ближайшие точки (выпуклых) множеств — существование и непрерывная зависимость от параметров задачи, оценка модуля непрерывности. Основной результат про наиболее удаленные точки в равномерно выпуклых пространствах — существование для всякого ограниченного замкнутого множества всюду плотного подмножества С^-типа, на котором существует непрерывно зависящая от точек С^-мпожества единственная наиболее удаленная точка данного замкнутого ограниченного множества.

В задаче о параметризации многозначного отображения Р ставится вопрос о представлении этого многозначного отображения Р через семейство его селекторов. Параметризовать многозначное отображение — это значит представить его в виде Р(х) = {/(х, и) | и е С/}, где и — множество параметров. Проблема параметризации многозначных отображений возникает, в частности, при исследовании взаимосвязи управляемых динамических систем = /(*(*),«(*)), и(г) е и (1) и дифференциальных включений ±(£) е Р{х{Ь)). В связи с вопросом существования и единственности решения дифференциального уравнения (1) важны свойства непрерывности и липшицевости функции /. Для многозначных отображений задачи параметризации рассматривались в разное время многими авторами, среди которых А. Челлина, Ж.-П. Обен и X. Франковска, А. Д. Иоффе, А. Ле'Донне и М. В. Марчи, А. Орнелас [119, 120, 147, 141, 166]. В работе [166] многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями из Кп и непрерывное по Липшицу в метрике Хаусдорфа представлено в виде семейства липшицевых селекторов. При этом множество II, задающее параметризацию, есть единичный шар из Мп.

Задача расщепления для селекций сформулирована в работе Д. Репов-ша и П. В. Семенова [173]. Некоторые частные постановки этой задачи и их приложения в вопросах теории вероятностей, оптимизации, топологии возникали и ранее в работах Д. Лука, M.-JI. Мартинеца-Легаза, А. Сигера и др. [156, 155, 158, 174]. Пусть X, Y,Yi, г = 1,2, банаховы пространства. Пусть Fi : X —> 2y\ г = 1, 2, есть произвольные непрерывные или полунепрерывное снизу многозначные отображения с замкнутыми выпуклыми значениями и пусть L : Y\ ® Y<i —» Y есть произвольная линейная сюръекция. Задача расщепления является задачей представления произвольного непрерывного селектора f(x) G L(Fi(x), F2(x)) в виде f(x) = L(fi(x), где fi(x) G F{(x) некоторые непрерывные селекторы, г = 1,2. Реповш и Семенов доказали существование приближенного решения для полунепрерывных снизу многозначных отображений, а также решили некоторые частные случаи этой задачи в конечномерном пространстве. Были также решены некоторые задачи расщепления специального вида.

Результаты задачи о расщеплении для селекций имеют приложение в т.н. задаче «подъема управления», которая часто встречается в оптимальном управлении и в линейных дифференциальных играх. Смысл «подъема управления» состоит в том, что, зная непрерывный по параметру элемент из проекции оптимального множества на подпространство, мы хотим восстановить некоторый также непрерывно зависящий от этого параметра прообраз из проецируемого множества. В качестве проекции обычно выступают существенные управляющие параметры, а в качестве прообраза — тот управляющий параметр, которым мы можем распоряжаться. Поскольку такая задача восстановления не всегда имеет решение (как и задача расщепления для селекций, которой она по сути и является), то для приложений весьма важно выделить случаи ее разрешимости.

Достаточно актуальна следующая постановка: пусть А, В — выпуклые замкнутые (ограниченные) множества из банахова пространства и С = А + В. При каких условиях существуют непрерывные функции а : С А и b : С —> В со свойством: а(с) + 6(с) = с при всех с G С? Лук, Мартинец-Легаз и Сигер доказали, что па множестве intC указанные непрерывные (и даже локально липшицевы) функции существуют. Однако никаких разумных достаточных условий (кроме случаев строгой выпуклости множества А или случая, когда А, В выпуклые многогранники) разрешимости задачи на множестве С даже в конечномерном пространстве сформулировано не было.

Задача аппроксимации многогранниками выпуклых компактов является важной в теоретических и вычислительных приложениях выпуклого анализа. Мы рассматриваем задачу в следующей постановке: для данного выпуклого компакта на произвольной сетке единичных векторов заданной мелкости найти погрешность его внешней многогранной аппроксимации, т.е. решается вопрос о наихудшей по всем сеткам заданной мелкости гарантированной оценке сверху погрешности внешней многогранной аппроксимации данного выпуклого компакта. Для такой постановки хорошо известно [137], что для произвольного выпуклого компакта имеет место оценка первого порядка по мелкости сетки. При этом, как показали Г. Е. Иванов и Е. С. Половинкин [66, 93], если множество является пересечением шаров одного радиуса, то погрешность будет иметь второй порядок по мелкости сетки.

Настоящая работа продолжает исследования сильно выпуклых, слабо выпуклых и проксимально гладких множеств с константой Я. Отметим, что множества всех трех классов рассматриваются с единых позиций — параматрической выпуклости. Последнее означает, что основные теоремы носят количественный характер, включая в условия параметры выпуклости: это может быть константа слабой выпуклости/проксимальной гладкости Я, значения модуля выпуклости или невыпуклости, константа сильной выпуклости. Основное внимание в работе сосредоточено на вопросах ха-рактеризации множеств и вопросах двойственности, вопросах отделимости и опорных свойствах.

Остановимся коротко на содержании разделов работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

В работе-рассматриваются следующие классы множеств.

• Сильно выпуклые множества с радиусом Я (Ч. Олех, X. Франковска, Е. С. Половинкин)

• Слабо выпуклые множества с константой Я (Ж.-Ф. Виаль)

• Проксимально гладкие множества с константой Я (Ф. Кларк, и др.)

• Порождающие множества (Е. С. Половинкин)

• Равномерно выпуклые множества с модулем выпуклости (Б. Т. Поляк)

• Слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости

• Р-множества

Два последних класса введены автором работы. Слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости второго порядка в пространствах с модулем выпуклости второго порядка являются проксимально гладкими, при этом существенно упрощается работа с этими множествами. Р-множества важны в некоторых задачах об открытости и о непрерывности многозначных отображений.

Все пространства рассматриваются над вещественным полем скаляров.

Основные результаты работы следующие.

1) Получена связь между слабо выпуклыми и проксимально гладкими множествами в произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве. Получен критерий на норму пространства, при котором эти два класса совпадают.

2) В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве доказана равномерная непрерывность метрической проекции на проксимально гладкое множество с константой Я для всех точек, достаточно близких ко множеству. Равномерная непрерывность имеет место по точке и по множеству.

3) В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве дана-характеризация проксимально гладких множеств через существование и единственность метрической проекции на это множество, а также непрерывную зависимость проекции от проецируемой точки-. Обобщен опорный принцип для проксимально гладких множеств из равномерно выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства*.

4) Получены необходимые условия и достаточные условия-возможности отделимости сферой сильно выпуклого множества' от слабо выпуклого множества.

5) Получена оценка на модуль выпуклости равномерно выпуклого множества. На основе модуля выпуклости множества получена оценка между строго выпуклыми компактами в демьяновской метрике через расстояние в метрике Хаусдорфа.

6) Введено определение слабо выпуклого множества с модулем невыпуклости и показано, что в банаховых пространствах с модулем выпуклости второго порядка полученный класс множеств с модулем невыпуклости второго порядка входит в класс проксимально гладких мно жеств. Получены новые теоремы о равномерной непрерывности пересечения равномерно непрерывных многозначных отображений, одно со слабо выпуклыми и другое с сильно выпуклыми значениями.

7) Получены новые равномерно непрерывные и непрерывные по Липшицу параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями.

8) Введен класс Р-множеств, и получены новые теоремы об открытости некоторых отображений.

9) Получены новые достаточные условия положительного решения задачи расщепления для селекций.

10) Получены новые оценки погрешности аппроксимации строго выпуклых компактов из К" на сетке единичных векторов заданной мелкости.

11) В гильбертовом пространстве решен ряд задач характеризации: (1) доказано, что множество с модулем выпуклости второго порядка есть пересечение замкнутых шаров заданного радиуса и получена неулучша-емая оценка на этот радиус; (и) охарактеризованы множества в гильбертовом пространстве, которые для всякой достаточно удаленной от множества точки пространства имеют единственную наиболее удаленную точку, липшицево зависящую от указанных точек пространства; (ш) доказан аналог теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки; (Ьг) получено положительное решение задачи Данцера о существовании гладкого тела постоянной ширины 1, которое содержит данное гладкое множество диаметра 1.

Заключение

1. А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

2. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. В. И. Арнольд , Математические методы классической механики. М., Наука. 1974.

4. А. В. Арутюнов, Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

5. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин, С. А. Чуканов, Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

6. Е. Г. Белоусов, Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. М.: Изд-во МГУ,1977.

7. B.C. Балаганский, JI.П. Власов, Проблема выпуклости чебышёвских множеств, Успехи мат. наук, 51:6 (1996), 125-188.

8. А. Балакришнан, Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974.

9. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Сильная выпуклость множеств уровня сильно выпуклой функции, М., Изд. МФТИ, Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики, Междувед. сб. (1996), 46-52.

10. В данной работе М. В. Балашову принадлежат доказательства, Г. Е. Иванову постановка задачи.

11. М. В. Балашов, Е. С. Половинкин М-сильно выпуклые множества и их порождающие подмножества, Матем. сб., 191:1 (2000), 27-64.

12. В данной работе М. В. Балашову принадлежат определение 7.1, теоремы 2.5, 2.6, 5.3, 5.4, 6.1, 7.1, 8.1, 8.3. Постановка задач и остальные результаты принадлежат Е. С. Половинкину.

13. Е. С. Половинкин, Г. Е. Иванов, М. В. Балашов, Р. В. Константинов, А. В. Хорев, Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр, Матем. сб., 192:10 (2001), 95-122.

14. В данной работе М. В. Балашову принадлежит приближенный алгоритм нахождения выпуклой оболочки положительно однородной функции и оценка его погрешности в теореме 4. Все остальные результаты принадлежат другим авторам.

15. М. В. Балашов, О геометрической разности многозначных отобра-оюений, Матем. заметки, 70:2 (2001), 163-169.

16. М. В. Балашов, Об аналоге теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки в гильбертовом пространстве, Матем. заметки, 71:1 (2002), 37-42.

17. М-'. В. Балашов, О Р-свойстве выпуклых компактов, Матем. заметки, . 71:3 (2002), 323-333.

18. В данной работе М. В. Балашову принадлежат результаты о непрерывности многозначных отображений, Е. С. Половинкину принадлежат результаты о телах постоянной ширины.

19. Е. С. 'Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, Москва, 2004. 416 с.ji' I

20. В данной работе М. В. Балашову принадлежит 9 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17 печатных листов.

21. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Об удаленных точках множеств, Ма-тем. заметки, 80:2 (2006), 163-170.

22. В данной работе М. В. Балашову принадлежат теоремы 1, 2, 4, 5, 6, 7. Г. Е. Иванову принадлежит постановка задач и остальные результаты.

23. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями, Матем. заметки, 80:4 (2006), 483-489.

24. В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и доказательство теоремы 2 (совместно с Г. Е. Ивановым) и теоремы 3. Остальные результаты принадлежат Г. Е. Иванову.

25. Г. Е. Иванов, М. В. Балашов, Липшицевы параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями, Изв. РАН. Сер. матем. 71:6 (2007), 47-68.

26. В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 4, 7, 8. Г. Е. Иванову принадлежат теоремы 1, 2\ 5.

27. Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, Москва, 2007. 2-е изд. исправленное и дополненное. 440 с.

28. В данной работе М. В. Балашову принадлежит 10 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17,5 печатных листов.

29. М. В. Балашов, О мноэюествах с положительным модулем выпуклости, М., Изд. МФТИ, Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики, Сборник научных трудов (2007), 6-22.

30. М. В. Балашов, И. И. Богданов, О некоторых свойствах Р-мноэюеств и свойстве зажатости в выпуклых компактах, Матем. заметки, 84:4 (2008), 496-505.

31. В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 1, 2, примеры 2, 3. И. И. Богданову принадлежит теорема 3 и пример. 5.

32. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Слабая выпуклость и проксимальная гладкость в банаховых пространствах, Математический форум. Т.

33. Исследования по выпуклому анализу / отв. редактор В. М. Тихомиров — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ (2009), 7-40, 242 с. (Итоги науки. ЮФО).

34. М. В. Балашов, Г. Б. Иванов, Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах, Изв. РАН. Сер. матем., 73:3 (2009), 23-66.

35. М. V. Balashov, D. Repovs, On the splitting problem for selections, J. Math. Anal. Appl. 355:1 (2009), 277-287.

36. М. V. Balashov, D. Repovs, Uniform convexity and the splitting problem for selections, J. Math. Anal. Appl. 360:1 (2009), 307-316.

37. М. В. Балашов, Слабо выпуклые множества и модуль невыпуклости, М., Изд. МФТИ, Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики, Сборник научных трудов (2009), 8-28.

38. М. V. Balashov, D. Repovs, Weakly convex sets and the modulus of non-convexity, J. Math. Anal. Appl. 371:1 (2010), 113-127.

39. М. В. Балашов, О теореме Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки, Труды участников международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова 5-11 сентября, Абрау-Дюрсо. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ (2002), 100-101.

40. М. В. Балашов, Об одном вопросе о телах постоянной ширины, Труды участников международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова 5-11 сентября, Абрау-Дюрсо. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ (2004), 16-17.

41. М. В. Балашов, О порождающих множествах, Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 27.01 4.02, Тезисы докладов. Воронеж: Изд. ВГУ (1999), 28.

42. М. В. Балашов, Об одном свойстве границы выпуклых компактов, Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 27.01 4.02, Тезисы докладов. Воронеж: Изд. ВГУ (2001), 29-30.

43. М. В. Балашов, Об удаленных точках множеств, XIV международная конференция "Математика. Экономика. Образование", 25.05 3.06, Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ (2006), 99. 28.

44. М. В. Балашов, Топологические свойства слабо выпуклых множеств в банаховых пространствах, XXII международная конференция, посвященная И. Г. Петровскому, 21.05 26.05, Тезисы докладов. М.: Изд. МГУ (2007), 30-31. 28.

45. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Свойства слабо выпуклых и проксимально гладких множеств в банаховых пространствах, Международная летняя математическая школа С. Б. Стечкина по теории функций, Россия, Алексин 1.08 9.08, Тула: Изд. ТГУ (2007), 49 - 52.

46. М'. В. Балашов, Weakly convex and proximally smooth sets in Banach spaces, Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию JI. С. Понтрягина, Москва 17.0а- 22.06, М.: Изд. МГУ (2008), 223-224. .

47. М. В. Балашов, Пример невозможности параметризации суммы множеств, Труды 50-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VII, Т. 1,

48. Управление и прикладная математика, М.-Долгопрудный, М.: Изд. МФТИ, 6-8.

49. В. И. Благодатских, Введение в оптимальное управление (линейная теория) М.: Высшая школа, 2001.

50. В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.

51. В. Бляшке, Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности. M.-JL: ОНТИ, Глав. ред. общетехн. лит. и полиграфии, 1935.

52. В. Г. Болтянский, Э. Д. Баладзе, Проблема Секефальви-Надя в комбинаторной геометрии, М., Наука, 1997. 224 с.

53. В. Г. Болтянский, Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

54. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер, Геометрические неравенства. JL: Наука, 1980.

55. Т. Боннезен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел. М.: Издат. ФАЗИС, 2002.(Перевод книги: T.Bonnesen, W.Fenchel Theorie der konvexen körper, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1934.)

56. В. И. Бердышев, Непрерывность многозначного отобраэ/сения, связанного с задачей минимизации функционала, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 483-509.

57. В. И. Бердышев, Стабильность минимизации функционалов и равномерная непрерывность метрической проекции, Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Москва, 1987.

58. Ф. П. Васильев, Численные методы решения экстремальных задач, Наука, Москва, 1980.

59. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации М.: Факториал Пресс, 2002.

60. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров, Краткий курс теории эксремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989.

61. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров, Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.I