Геометрический поход к исследованию систем управления с параметрической неопределенностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

СП

° ,~-САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ¿1 УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Желудков Александр Геннадьевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

специальность: 01.01.09 —математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

Санкт-Петербург 1998.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Харитонов В.Л. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Осипенко Г.С. кандидат физико-математических наук Рожков Ю.С.

Ведущая организация:

Петрозаводский государственный университет.

Защита состоится" го »мм

1998 года в 1г часов на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, ауд. Сб.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К-063.57.16, доктор физико-

математических наук В.Ф. Горьковой

1.Общая характеристика работы.

1.1 Актуальность темы. При разработке различных математических моделей систем управления чаще всего целесообразно считать, что значения некоторых постоянных параметров, входящих в рассматриваемую систему точно не известны. При этом полагается известной лишь область возможных значений этих параметров.

Для такой модели часто требуется установить, сохранит ли она то или иное свойство при всех значениях неопределенных параметров из заданного множества.

Для ряда математических моделей поставленная таким образом задача допускает эффективные методы решения, не требующие проверки желаемого свойства системы для всех значений параметров из заданного множества.

К таким свойствам относятся те, которые выражаются при этом б терминах расположения корней характеристической функции системы.

В связи с этим весьма актуальными являются вопросы, связанные с исследованием семейств полиномов. Полином р(.ч) называется D-устойчивым, если все его корни содержатся в некоторой заданной области D комплексной плоскости, а семейство полиномов U называется D-устойчивым, если £>-устойчив каждый долином этого семейства.

Основные задачи, которые традиционно рассматриваются при анализе ^-устойчивости семейств полиномов, можно сформулировать следующим образом.

1. Дано семейство полиномов U. Найти такое подмножество Т С U, что из £>-устойчивости Т следует D-устойчивость семейства U. Множество Т в этом случае называется проверочным множеством D-устойчивости семейства. При этом важно минимизировать множество Т.

2. Дано семейство полиномов U и .¿^-устойчивый полином po(s). Рассмотрим po(s) + eU = {po(s) + eu (s) j u(s) £ U}. Требуется найти максимальное значение to при условии, что семейство po(s) -f eU является .D-устойчивым для всех е £ [0, ео). Это максимальное значение со носит название меры робастности полинома

P(s)-

Одним из наиболее важных методов, позволяющих проводить минимизацию проверочного множества Т является метод выпуклых направлений.

Подобные задачи представляют интерес и для семейств полиномов от нескольких переменных, к исследованию которых сводится, например, нроверка устойчивости многомерных линейных фильтров.

1.2 Цель реферируемой работы. В диссертации разработаны методы построения и минимизации проверочных множеств семейств полиномов как от одной, так и от нескольких переменных на основании единого подхода, использующего локальные геометрические свойства границы множества устойчивых полиномов. Полученные результаты позволили значительно обобщить метод выпуклых направлений и разработать новые методы решения упомянутых задач.

1.3 Научная новизна.

Задача построения проверочного множества семейств полиномов от одной переменной и от нескольких переменных в геометрических терминах пространства, коэффициентов в общем случае ранее не рассматривалась. Полученное в реферируемой работе описание таких множеств является новым.

Новым является метод вычисления меры робастности, основанный на использовании в явном виде геометрических свойств множества £>-устойчивых полиномов.

Все полученные результаты касающиеся обобщения метода выпуклых направлений (в частности, полное описание, многомерных выпуклых направлений полиномов Гурвица и Шура, а также выпуклых направлений множества секторно устойчивых полиномов) являются новыми.

Новым является полное описание выпуклых направлений множества устойчивых полиномов от двух переменных, а также метод выделения проверочного множества устойчивости и максимизации меры робастности для случая полиномов от нескольких переменных.

1.4 Практическая ценность. Полученные результаты дают возможность построения конструктивных алгоритмов проверки устойчивости различных систем управления с параметрической неопределенностью, описываемых системами дифференциальных и разностных уравнений.

Они позволяют упростить исследование качественных свойств системы, зависящих от расположения корней характеристического уравнения, для всех допустимых значений параметров. В част-

ности, рассмотрен случай ограничений на колебательность системы.

С помощью полученных результатов возможно также построение различных методов исследования робастности так называемых многомерных систем, в частности, достаточно широкого класса линейных многомерных фильтров. Такие фильтры используются, например, при электронной обработке видеоизображений и идентификации образов.

1.5 Аппробация работы. Полученные результаты докладывались и получили одобрение на ежегодных конференциях факультета ПМ-ПУ СПбГУ, на Зй Российской университетско-академической научно-практической конференции, Ижевск, 1996, на Втором симпозиуме "Робастное Управление" Международной Федерации Автоматического Управления (ROCOND'97), Будапешт, 1997; доклад на III Международной Балтийской Студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (ВОАС'95), Санкт-Петербург, 1995 в научной секции был удостоен диплома олимпиады. Помимо этого полученные результаты докладывались на семинарах кафедры теории управления.

1.6 Публикации. По результатам исследований опубликовано 4 научных работы.

1.7 Объем работы. Объем работы составляет 123 страницы.

1.8 Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Двупараметрическое описание проверочного множества D-устойчивости семейств полиномов, а также построение однопара-метрического проверочного множества для случая устойчивости Гурвица.

2. Решение задачи отыскания меры робастности для заданного полинома сведением ее к задаче мининизации на конечном множестве.

3. Полное описание выпуклых направлений множества сектор-но устойчивых полиномов, а также полное описание так называемых многомерных выпуклых направлений области Гурвицевых полиномов и полиномов Шура.

4. Описание ряда классов областей D на комплексной плоскости для которых проверочное множество £>-устойчивости семейств полипомов специального вида (см. стр. 12) является конечным.

5. Для семейств полиномов от нескольких переменных предложен метод выделения проверочного множества устойчивости и максимизации меры робасхности, а, также полное описание выпуклых направлений множества устойчивых полиномов от двух переменных.

2 Содержание работы.

2.1 Используемые понятия и обозначения.

Будем называть регулярными точками границы области D на комплексной плоскости такие ее точки Zo, что 8D допускает параметризацию z{u>) = zji(ll>) -f ¿2/(w), w £ í! С Я, при которой вещественные функции z#(cj), z¡(w) в точке w : z(w) = г0 являются дважды непрерывно дифференцируемыми и удовлетворяют

условию +

Остальные точки границы будем называть нерегулярными (или точками негладкости).

Предполагается, что область D — односвязна, симметрична относительно вещественной оси и если множество ее нерегулярных точек непусто, то оно является конечным. Для любой коночной нерегулярной точки го = z{ui) существует такой замкнутый конус М(х0) = {z | г ф- О, arg г € [<Pi; <¿>2]}, V"¡ - <pi е [0; тг), что

— для любого z, находящегося внутри M(zq) существует такое е0 > 0, что z0+ez £ D для всех е € (0,с0).

— для любого z, не принадлежащего M(zo) существует такое £() > 0, что z0 + ez £ D для всех £ € (0, е0). _

Без ограничения общности полагается, что z(u) = z(—а>), SI = [—Wo", о], а обход по границе области D при ш > 0 осуществляется в положительном направлении ( таким образом, что область D при обходе остается слева).

Иногда параметризация z(lo) записывается также в виде z(w) = полагая гд(и) = R(u)casip(oj), zj{ui) — п{ш)ь'тц>(ы).

Определение 1 Назовем полином D-устойчивым, если все его корни расположены е некоторой области D, обладающей вышеуказанными свойствами.

Семейство полиномов будем называть D-устойчивым, если D-устойчивы все полиномы из данного семейства.

Частными случаями U-устойчивости являются устойчивость Гурвица ( в дальнейшем — просто устойчивость) и устойчивость Шура.

Задачи исследования устойчивости семейств полиномов удобно интерпретировать в пространстве Rn коэффициентов ai, я2, ..ап полинома p(s) = sn 4- ai«"-1 4- ans"*2 4- ... 4- an степени п. Отдельному полиному p(s) в евклидовом пространстве коэффициентов соответствует точка а £ Rn, а семейству полиномов соответствует некоторое множество А С Rn. Далее множество А будет предполагаться замкнутым и односвязньш, а соответствующее семейство полиномов будет обозначаться p(s, А). Полином с вектором коэффициентов а будет иногда обозначаться p(s, а).

Совокупность коэффициентов U-устойчивых полиномов данной степени п образует множество So, и задача исследования устойчивости семейства полиномов интерпретируется в работе как задача проверки принадлежности одного множества в R" другому.

Имея в виду такую интерпретацию рассматриваемых задач, часто будут отождествляться полином p(s) и соответствующая ему точка (вектор ) в пространстве коэффициентов, (и наоборот), а также семейство полиномов p(s,A) и множество А С Rn.

Рассмотрим некоторое компактное односвязное множество Р С Rn и некоторую точку J € дР.

Определение 2 Будем говорить, что множество Р £ R" размерности п принадлежит классу V, если для каждой его граничной точки существует открытый выпуклый конус Mf, обладающий следующими свойствами.

1. Если вектор q € Mf, то для некоторого tu > 0 вектор / + ец находится внутри множества Р при всех £ € (0,£о].

2.Для любого q, не принадлежащего замыканию М/ имеет место f 4- eq £ Р при всех £ б (0,бо] для некоторого > 0.

Обозначим также N/ — конус сопряженный Mf.

Определение 3 Будем называть открытое множество Р 6 R" звездообразным относительно заданной точки а, являющейся внутренней точкой Р, если для любого Ь £ R" пересечение границы множества Р и луча а 4- АЬ, Л > 0, состоит не более чем из одной точки.

2.2 Содержание работы

В главе 1 рассматриваются методы построения и минимизации проверочного множества D-устойчивости семейств полиномов для некоторого достаточно широкого класса семейств полиномов.

Глава организована таким образом, что полученные результаты вначале излагаются для случая устойчивости Гурвица, а в последующих параграфах проводится их обобщение на случай D-устойчивости.

В параграфах 4, 7 исследуются локальные свойства границы множества Sd ^-устойчивых полиномов заданной степени с фиксированным старшим коэффициентом. В этих параграфах получено полное описание регулярных и особых точек гиперповерхности, ограничивающей множество So-

Для нерегулярных точек f(s) показано, что если хотя бы для одного полинома q(s) степени меньшей, чем степень f(s) имеет место f(s) +eq(s) € Sd Для любых е € (0,£о), при некотором е0 > О, то множество всех таких полиномов q(s) образует выпуклый полиэдрический конус. В параграфе 6 проведено построение этих конусов для всех нерегулярных точек dSp-

Установлен также ряд других геометрических свойств гиперповерхности dSp.

В параграфе 5 для случая устойчивости Гурвица получена одномерная параметризация проверочного множества в геометрических терминах пространства коэффициентов полинома для семейств полиномов, задаваемых в пространстве коэффициентов выпуклым телом с гладкой границей. На основании этой параметризации предложен следующий метод исследования устойчивости таких семейств.

Обозначим п-—степень семейства Р, а а(и>) — такую точку на дА, для которой полином, коэффициентами которого являются компоненты нормального вектора к А ъ этой точке, направленного вовнутрь множества А, имеет вид

Г при п = 2тп +-2

| + при тг = 2m -f 1

для а = 0 = ы € ft. (Здесь f{s) — полином с

вектором коэффициентов а(ш).)

Теорема 1 Критерием устойчивости семейства Р является

устойчивостъ noAunoAiap(s,a(0)) и отсутствие вещественных решений ui\, и>2 системы уравнений

Rej?(iwi ,а(ш2)) — 0, hnp(icj1, a(u.'2)) = О

Далее в параграфе 8 получено двупараметрическое описание проверочного множества D-устойчивости семейств полиномов, образующих множество класса V в пространстве коэффициентов.

Это описание основано на следующей теореме.

Теорема 2 Пусть семейство полиномов i>o(s) + P(s) ujueem корни на кривой z{îj), ограничивающей область D и множество этих корней состоит из некоторого количества связных сегментов на кривой, ограничивающей область D. Тогда полиномы f(s) рассматриваемого се.меиства, имеющие корни z(w) на концах этих сегментов являются точками границы po(s) -j- -P(s). в которых множество Nj содержит полином вида

Па0ы(в) - а£"=1 sn-iRn-i{uj)cas{n - j)V(u)+ +0 E7=i sn-mn~i{U) sin(n - j)<p(w)

для некоторых a, /3 £ Й, w € f2.

В параграфах 5, 8 предложен метод вычисления меры ро-бастности полинома, основанный на использовании в явном виде локальных геометрических свойств границы множества D-устойчивых полиномов.

Рассмотрим семейство полиномов степени п вида

где Л > 0, po(-f) — заданный устойчивый полином, a P(s) — семейство полиномов, представляющее собой выпуклое тело, ограниченное замкнутой гладкой гиперповерхностью в пространстве коэффициентов.

Поставим задачу определить максимальное значение Л — Ао, при котором семейство + A-P(.ç) является Х>-устойчивым для всех A G (0, Ао).

Метод вычисления такого значения А0, называемого также мерой робастпости полинома po{s), основанный на использовании в явном виде локальных геометрических свойств границы множества D-устойчивых полиномов, предложен в параграфах 5, 8.

Помимо этого в главе 1 излагаются некоторые из существующих методов исследования семейств полиномов ( параграф 2 ). Это сделано для полноты изложения и для обоснования актуальности некоторых задач, решаемых в настоящей работе.

Глава 2 посвящена исследованию так называемых выпуклых направлений множества £)- у с то йчив ы х полиномов.

Определение 4 Назовем полином степени с1 выпуклым направлением множества О-устойчивых полиномов степени тг > й, если из Ю-устойчивости р(з) + Аод'(в) следует И-устойчивость выпуклой оболочки р(в) + Ду(ь'), А £ [0, Ао] для любого И-устойчивого полиномар(в) степени п.

Для случая устойчивости Гурвица и секторной устойчивости (см. далее) удобно ввести понятие выпуклого направления несколько иначе.

А именно, в этих случаях полином д(я) степени <1 называется выпуклым направлением, если он является выпуклым направлением для полиномов любой степени большей 6,.

(Заметим, что полное описание выпуклых направлений известно для случая устойчивости Гурвица и Шура).

Важность понятия выпуклого направления объясняется например тем, что исследование ^-устойчивости семейств полиномов, соответствующих в пространстве коэффициентов выпуклым многогранникам сводится согласно так называемой Реберной теореме к исследованию устойчивости семейств полиномов, соответствующих ребрам (одномерным граням ) этих многогранников.

В параграфе 12 вводится понятие многомерного выпуклого направления для случая устойчивости Гурвица и предлагается полное описание, а также некоторые нетривиальные примеры многомерных выпуклых направлений.

Определение 5 Семейство полиномов

где а = (а^ ... ост) — вектор параметров, а полиномы пред-

полагаются линейно независимыми, назовем многомерным выпуклым направлением (или подпространстволь выпуклых направлений), если любой полином из этого семейства является выпуклым направлением.

т

(1)

Помимо полного описания многомерных выпуклых направлений было в частности доказано следующее необходимое условие.

Теорема 3 Любое многомерное выпуклое направление необходимо принадлежит одному из двух следующих классов.

Класс Pi — семейства полиномов eudaQ(a,s) = skH(a,s2)q($). (Здесь H (a, s2) означает семейство полиномов вида (1), все полиномы -которого содержат лишь четные степени, s).

Класс Рг — двумерные семейства. Q(a, s) = «^(s) + 0:252(3).

В следующем частном случае искомые условия для полиномов из этого класса особенно просты.

Лемма 1 Если qi(s) и Q2(s) являются четным и нечетным полиномами соответственно, то Q(a, s) есть двумерное выпуклое направление тогда и только тогда, когда два полинома qi{s) + дг(^), qi(s) — Ç2(*) являются выпуклыми направлениями.

В параграфе 13 вводится понятие локального многомерного выпуклого направления в сильном и слабом смысле для случая устойчивости Гурвида.

Известно следующее определение.

Определение 6 Назовем полином q(s) локальным многомерным выпуклым направлением для заданного устойчивого полинома p(s) степени большей, чем степень q(s), если все ненулевые корни s(A) полинома p(s) + Xq{$). А > 0, расположенные на мнимой оси) являются простыми и удовлетворяют неравенству Re >0.

Определение 7 Семейство полиномов (1) назовемi локальным многомерным выпуклым направлением, для данного полиномаp(s), если любой полином из этого семейства является локальным выпуклым направлением дляp(s).

Очевидно, что если Q(a,s) является локальным многомерным выпуклым направлением для полинома p(s), то пересечение линейного многообразия p(s) 4- Q(a,s) и множества 7^„гурвицевых полиномов степени п является звездообразным множеством.

Определение 8 Сем,ейство полиномов (1) назовем локальным многомерным выпуклым направлением в слабом смысле для данного полиномаp(s), если пересечение линейного многообразия p(s)+ Q(a,s) и множества Нпявляется звездообразным множеством.

Далее предлагается полное описание локальных многомерного выпуклого направления в сильном смысле и некоторые достаточные условия того, что данное семейство полиномов предствля-ет собой локальное многомерное выпуклое направление в слабом смысле.

Предложен ряд классов семейств вида (1), заведомо являющихся многомерными выпуклыми направлениями.

В параграфе 14 предложено нетривиальное описание выпуклых направлений для общего случая £)-устойчивости.

В параграфе 16 вводится понятие многомерных выпуклых направлений множества полиномов Шура и предлагается полное их описание .

Основываясь на результатах параграфа 14, в параграфе 15 предложено полное описание выпуклых направлений для случая секторной устойчивости.

Определение 9 Назовем полином p(s) секторно устойчивым, если все его корни расположены в секторной области z ф О, arë(z) G (f 4- <Р, — <р) для заданного ip 6 (0, ).

Описание выпуклых направлений для случая секторной устойчивости получено в форме, подобной той, в которой оно известно для случаев устойчивости Гурвица и Шура.

Теорема 4 Полином q(s) является выпуклым направлением секторной устойчивости

— для случая, когда <р — ^-тг, — тогда и только тогда, когда для всех ы > 0 справедливо неравенство

daig q(iu>eltfi) дш

<

sin(g-y-O-l)V))sin(3sc-0 + (fc~l)y>) | ui sin2^>

8\n(0+cp—kip) sin(kït'j+ip—&) ш sin 2

+ Mje

, tgje

I 0„1

в&А

,0e в

где в = ф = ШЩЬр±А = р _ гуф.(к -

В = [(к — кф], к > 1 — целое число;

— для случая, когда <р не является тх-соизмеримым, — тогда и только тогда, когда ^ ^ для всех и > 0.

Глава завершается параграфом 17, в котором рассмотрена задача, связанная с классификацией областей О. Именно, рассматривается семейство полиномов вида Р\{в) = р(з) + ,

где p(s) = Y^k-o акяП~к — некоторый заданный номинальный полином, а Д = (<5j,..., 6п) —вектор возможных отклонений коэффициентов полинома от заданных номинальных значений, о котором известно лишь, что afc|^fc| < 1, где 7, ак, к = 1,п - заданные

положительные константы. (Этому семейству соответствует шар в так называемой взвешенной Ц норме в пространстве коэффициентов полинома). Предложен ряд таких областей D, для которых проверочное множество вышеприведенного семейства полиномов является конечным и состоит из полиномов, соответствующих першипам многогранника, образуемого данным семейством в пространстве коэффициентов полинома. (Известно, папример, что к числу таких областей относится левая полуплоскость комплексной плоскости).

Обозначим

¡>J \<*lj 1>J \atij

Лемма 2 Проверочное множество D-устойчивости семейства полиномов, являющегося шаром радиуса 7 во взвешенной метрике есть множество полиномов p(s) ± j ~ 1,п, если

область D, симметричная относительно вещественной оси, не содержит множество {г | В < \z\ < A} U0 и при этом является кругом ( частный случай — полуплоскостью) либо секторной областью.

Глава 3 посвящена исследованию устойчивости семейств полиномов от нескольких переменных.

Для мотивации исследований данной главы в параграфе 18 излагается описание и некоторые методы исследования математической модели так называемых двумерных линейных фильтров для обработки изображений.

Параграф 19 посвящен основным понятиям и результатам, связанным с исследованием устойчивости полиномов от нескольких переменных

p(s!,s2,...sk) = si2. (2)

Степенью полинома будем называть вектор его частных степеней deg(p) = (ni,n2, ...,n.fc).

Определим область U как множество наборов {s : Re(si) >

0,ае(я2)>0,...,П*Ы>0}.

В случае полиномов от нескольких переменных традиционно используется несколько аналогов гурвицевых полиномов от одной переменной. Так полином p(s) называется устойчивым в сильном смысле, если он не имеет корней в U.

Однако в любом из этих классов гурвицевых полиномов найдется полином, для которого сколь угодно малые изменения коэффициентов выведут его из данного класса.

Известно, что для случая нескольких переменных максимальный подкласс гурвицевых полиномов, являющийся открытым, определяется по индукции следующим образом.

Определение 10 Рассмотрим полипом p(si,S2,...,s/¡:') степени («1, «2. —,Пк),

• При к = 1 он называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательную вещественную часть.

* При k > 1 полином называется устойчивы-м, если выполнены следующие условия

1. он гурвицев в сильном смысле;

2. в разложении полинома

p(3i,s2,..., sk) = a'¡i\sl,...,sj-1,sj+1,...,sk)slj.

1=0

по отношению к любой переменной sj, старший коэффициент

<*n?(si> ■••» SJ-и Sj+l, —, Sk)

является устойчивым полипомом к — 1 переменных, все частные степени которого совпадают с частными степенями по соответствующим переменным полинома p(si, S2, sjt).

Все задачи робастной устойчивости рассматриваются по отношению к данному классу полиномов.

Задачи робастной устойчивости полиномов (2) также рассматриваются в пространстве коэффициентов полинома, но в данном случае не предполагается фиксированным ни один из коэффициентов полинома, на рассматриваемые семейства налагается лишь то ограничение, что степень всех входящих в пего полиномов должна быть одной и той же. Таким образом задача рассматривается в пространстве всех коэффициентов полинома. Обозначим "Н — множество устойчивых полиномов постоянной степени

(ni,ra2, ...,nfc).

В параграфе 20 исследуются локальные свойства границы множества И устойчивых полиномов от к переменных.

Поставим в соответствие полиному /(5*) множество П полиномов fm(s), m = 0, А', которое строится следующим образом.

Рассмотрим два непересекающихся набора (ji ...., ji), (mi, m2,...., пгг), l = 0, к, г — 0, к, т+г < к и разложим полином f(s) по степеням переменных Sjt, ..., Sjn , sm2, ..., smr. Коэффициентами такого разложения будут полиномы от оставшихся d — к — I — г переменных. Обозначим fm(s) — коэффициент при (sji)nil '(s)2)nj2 '■■■(sji)n" (в случае / = 0 — младший коэффициент в этом разложении ).

Множество полипомов /m(s), m = 0,К, построенных таким образом для всевозможных непересекающихся наборов (jbJ2, •—,Л)> (ШЪ т2, ■■■■, mr), I ~ 0, к, г = 0, fc, m + г < к и будет множеством П. (При этом /о(s) f(s) ).

Наряду с пространством La коэффициентов полипома /(5*), в случае полиномов от многих переменных необходимо рассматривать пространства Lm коэффициентов полиномов fm{S), являющиеся подпространствами Lq.

Множеству А в пространстве Lo сопоставляются его проекции Ащ на подпространства Lm.

Аналогично случаю полиномов от одной переменной ставится задача исследования устойчивости семейства полиномов.

Семейству P(s) полиномов от нескольких переменных соответствуют семейства Pm(s) = {pm.(i') | Pm(s) G fi}, являющиеся проекциями P(s) на подпространства Lm.

В параграфе 21 рассмотрены вопросы устойчивости семейств полиномов от нескольких переменных Po(Î) + P(s), задающих в пространстве коэффициентов множество, принадлежащее классу V; при этом предполагается, что семейства полиномов (po(s) + Р(я))т также принадлежат классу V.

Обозначим Mf — конус М/, построенный в пространстве Ьт для множества Ат в его граничной точке /«(!*), а N™ — сопряженный ему конус.

Обозначим Tm(£j) С Po(s) + P(s) — множество полиномов f(s), принадлежащих границе семейства pa(s) 4- P(s), в которых конус NJ1 содержит для некоторых а, (3 полиномы вида

(-îy^o-71 • ...■(sdcjdy-'+

(суммирование идет по всем индексам^ = 0,nj y..,jj = 0,щ и п = 0,1,2,....) .

Для рассматриваемых семейств полиномов справедлив следующий критерий устойчивости.

Теорема 5 CeAieuaneo полинолюв po(s) + P(s) устойчиво тогда и только тогда, когда устойчив хотя бы один полином из этого семейства, а система уравнений, задаеваемая условиями

КЮбТ^ы),

Pm{iä) = О,

не имеет решения пи для каких вещественных и 6 Rd, т — 0, К.

В параграфе 21 рассмотрена также задача определения меры робастности полинома ро(?)

Дано семейство полиномов вида р(в,Л) = po(s) -f ЛP(s), где Л > 0, po{s) — заданный устойчивый полином, а P(s) — семейство полиномов, ограниченное замкнутой гладкой (тг - 1)-мерной поверхностью Г в пространстве коэффициентов. Предположим также, что множество, задаваемое семейством P(s) в пространстве коэффициентов — выпуклое.

Поставим задачу определить максимальное значение А = Ао, при котором семейство является устойчивым для всех

Л € (0, А0).

Вместе с поверхностью Г будем рассматривать поверхности Гг,!, ограничивающие проекции семейства P{s) на подпространства Lm.

Обозначим Nm(s,p) — нормальный вектор в Ьтк поверхности Гт в ее граничной точке pm(s), направленный вовнутрь множества P(s)- ( Под нормальным вектором здесь опять понимается полином, коэффициентами которого являются компоненты этого нормального вектора.)

Теорема 6 Константа Ао является решением задачи А —> min

при условиях

(po)m(iw) +- \рт{гш) = о,

Pm(s) 6 dPm(s),

ars I--ft3ï-J= arg {-щ-J '

a = âêr(Im(Po)m(!'w) + APm(iui))

„ы G Rd,m = lTK,j =

(суммирование в выражении для ATm(s,p) идет по всем индексам j 1 = О, n\,...,ji — О, п^ и п = 0,1,2, ,

В параграфе 22 исследуется вопрос о выпуклых направлениях для случая полиномов от нескольких переменных.

Определение 11 Рассмотрим полином ç(si, ¿2, Sfc) и некоторый устойчивый полином p(s\, S2,Sk, ■■•, sm), m > k, для которого частные степени q(s) не выше соответствующих частных степеней р{$). Будем называть q{s) выпуклым направлением, если для любого устойчивого p(s), такого что p(s), q(s) удовлетворяют вышеуказанным требованиям и любого Ао € R, такого, что старший коэффициент p(Î) имеет тот же знак, что и старший коэффициент p(s) + \aq(s), из устойчивости р{s) + Aq5(s) следует устойчивость p(s) -f Aq(s), А € (0, Ао).

Известно, что выпуклыми направлениями являются четные (Imq(iw) = 0) и нечетные (Rед(гсЛ) s 0) полиномы g(s). Получены некоторые другие классы полиномов, заведомо являющихся выпуклыми направлениями:

1. Множество полиномов вида <ji(s) = pi(si, S2,..., sm) ■ й(йга4Ь ...., Sk), где m — l, к, pi(s) — четный или нечетный полином, р2(s) — произвольный. ( "Вырожденный" случай — pi s const, в этом случае полином psÇsm+i, ■ •■■> sk) является выпуклым направлением множества полиномов ....,sfc)).

2. Полиномы которые не имеют корней в области {<7i Re(si) > 0, (72 Re(sa) > 0,.....'crjtRe(sfc) > 0}, где cry могут принимать значения 1 или —1 и при этом хотя бы одна из oj равна -1.

3. Произведения ql(s) ■ Чз^в), где хотя бы одна из переменных о-], j — 1, тп равна —1.

Основным результатом параграфа 22 является полное описание выпуклых направлений для случая полиномов от двух переменных:

Теорема 7 Полином , ^2) является выпуклым направлением ■ множества устойчивых полиномов степени (а,Ь), а > 2, Ь > 1 тогда и только тогда, когда не существует таких значений и Е Я* что одновременно выполняются следующие условия:

Итак, предложенный в работе геометрический подход позволил рассмотреть в общем виде целый ряд задач, связанных с исследованием систем с параметрической неопределенностью и предложить для их решения эффективные алгоритмы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих печатных трудах.

1. Желудков А.Г. Методы проверки робастной ^-устойчивости полиномов в частном случае // Вестник С.-Петербург, унта.—1997— Сер. 1, №3(15).— С. 46-48

2. Желудков А.Г. Об одном классе выпуклых подмножеств множества устойчивых полиномов // Вестник Хакас, гос. унта.— 1996. — Вып. 1, сер. 1,—С.114-116.

3. Желудков А.Г. Об одном классе корневых критериев качества // Тезисы докладов 3-й Рос. унив.-акад. науч.-практ. конф. — Ижевск, 1997.— Ч.5.—С.106-107.

4. Zheludkov A.G. Multidimensional convex directions for Hurwitz stability case // Proc. of the 2nd IFAC Symp. on Robust Control Design.— Budapest, 1997.— P.89-93.

fc

j=i

dargq(iui,icj2) dujj

>0, j = 1,2