Устойчивость и стабилизация линейных и линейных интервальных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Никонов Владимир Иванович

Устойчивость и стабилизация линейных и линейных интервальных динамических систем

01.01.09 - Математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена па кафедре дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Щенников В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Балтийский государственный технический университет имени Д. Ф. Устинова (Военмех)

Защита состоится _ 1998 г. в ч. на за-

седании диссертационного совета К-йбЗ.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санк-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10-я линия, дом 33„ I/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ имени A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

профессор Квитко А.Н.,

кандидат физико-математических наук, доцент Виноградова Т.К.

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

В. Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. За последние 30 лет интенсивное развитие получила задача об устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных, постановка которой принадлежит великому русскому математику и мехашжу А.М.Ляпунову.

Основы теории устойчивости относительно части переменных были разработаны В.В.Румянцевым и его учениками. В настоящее время прямой метод Ляпунова относительно части переменных получил существенное развитие в работах В.И.Зубова, В.И.Воротникова, В.Г.Делина, В.Л.Фурасова и других ученых.

Привлекательным подходом к исследованию устойчивости и стабилизации относительно части переменных (¿/-устойчивости и у-стабилизацнп) является метод, разработанный В.И.Воротниковым, основанный на построении вспомогательной системы, которая и решает указанную задачу.

Тем не менее возникают существенные трудности как при решении задачи ^-стабилизации, так и при решении проблемы устойчивости и стабилизации динамических объектов, параметры которых изменяются в заданных интервалах.

Одним из способов представления неопределенностей в динамических системах являются линейные интервальные системы, которые в некотором смысле близки к линейных стационарным (автономным) системам, а, значит, анализ таких систем можно проводить с использованием теории линейных стационарных систем, а вопросы стабилизации решать опираясь на теорию стабилизации линейных систем.

Цель работы. 1. Разработка нового геометрического подхода к исследованию у-устойчивости линейных стационарных и нестационарных динамических систем.

2. Получение условий существования управляющего воздействия, решающего задачу декомпозиции линейных стационарных динамических систем.

3. Получение достаточных условий асимптотической устой-•швости линейных интервальных динамических систем, а также

линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью.

4. Получение достаточных условий стабилизации линейных интервальных динамических систем и систем с параметрической неопределенностью.

Общая методика не следовании основана на применении теории устойчивости и стабилизации линейных систем, теории линейных операторов, теории линейных неравенств и элементов матричного анализа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

1. Предложен новый геометрический подход к исследованию у-устойчивости линейных стационарных и нестационарных динамических систем.

2. Получены условия существования управляющего воздействия, решающего задачу декомпозиции линейных стационарных динамических систем.

3. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем, а также линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью.

4. Получены достаточные условия стабилизации линейных интервальных динамических систем и систем с параметрической неопределенностью.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены к исследованию у-устойчивости и у-стабилизации движения динамических систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Саранск, 1994 г.), на Огарев-ских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1993, 1995 1996, 1997 гг.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений (Мордовский госуниверситет, 1994-1998 гг.), на конференци* молодых ученых (Саранск, 1998 г.).

Публикации. Основные результаты работы отражены в шести публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура п объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и библиографического списка. Объем диссертации 102 страницы. Библиографический список содержит 72 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, дается краткий обзор работ по ее тематике, представлены существующие подходы к решению рассматриваемых задач, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава посит вспомогательный характер. Здесь приводятся известные факты го теории устойчивости и стабилизации линейных стационарных динамических систем, некоторые сведения из теории линейных операторов, теории линейных неравенств и элементов матричного анализа, на которые опираются основные результаты настоящей работы.

Вторая глава посвящена решению задачи устойчивости линейных стационарных, нестационарных и интервальных динамических систем.

В § 2.1 решается задача у-устойчивости динамической системы

у = Ау + Вху

где А € Пт*т,В £ И"1*?, С е Шхт,0 € Пр*? являются постоянными матрицами.

Предваритслыго вводится класс лилейных неособых преобразований, инвариантом которого является ¡/-устойчивость

х = Рх, (2)

где ж = (у, г), у € 11™, г е Ш\

V о ; •

a Si— неособая тхт матрица, Si— неособая рх р матрица.

В новых координатах система (1) примет вид

1 ~ V s^csi S;1DS2 JW

Теорема 2.1.1. Для того, чтобы система (1) была асимптотически у-устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы система (3) била асимптотически у-устойчивой.

Далее рассматриваются матрицы

Ki = {В,АВ,...,А"1'1 В], К2 = {С,DC,...,D^C).

Пусть fti1',..., ft?' - г-линейно независимых столбцов матрицы i£i,ftp',...,fc, - л-линейно независимых столбцов матрицы Ki.

Определение 2.1.1. Подпространство /?г С /?т, порожденное векторами ftp',...,fcr' будем называть подпространством воздействия переменной z на переменную у.

Определение 2.1.2. Подпространство Д, С 0Р, порожденное векторами

ft[21.....ft?1 будем называть подпространством воздействия переменной у на переменную z.

Теорема 2.1.2. Каково бы ни. било воздействие переменной z, подпространство /?Г) порожденное г-линейно независимыми столбцами матрицы Ki, является инвариантным подпространством подсистемы у = Ау + Bz.

Теорема 2.1.3. Каково бы ни. было воздействие переменной у, подпространство /?,, порожденное s-линейно независимыми столбцами матрицы Ki, является инвариантным подпространством подсистемы z = Dz + Су.

Таким образом, первым этапом исследования у-устойчивости Системы (1) является выделение независимых от переменной z или от переменной у подсистем (если это врозможно). За счет выделения независимых подсистем решение поставленной задачи существенно упрощается. В некоторых случаях уже на этом этапе можно обнаружить у-устойчивостъ исследуемой системы.

Если гапдК\ = m, rang К? = р, то в системе (1) нельзя выделить независимые от переменной z или от переменной у подсистемы. В этом случае приходим ко второму этапу исследования.

Показывается, что задача у-устойчивости динамической системы (1) сводится к следующей задаче:

В пространстве, заданном системой линейных уравнений

Bz = О,

найти подпространство, которое являлось бы инвариантным по отношению к оператору D с заданной матрицей D.

В результате получается, что если существует такое подпространство, то в исследуемой системе можно выделить независимую подсистему с меньшим числом переменных z. При этом используется следующее свойство линейных операторов:

Любой линейный оператор расслаивает линейное пространство в прямую сумму инвариантных циклических подпространств.

В § 2.2 получены достаточные условия устойчивости линейной интервальной динамической системы

х = Ах, (4)

где х 6 Rn, А < А<А — интервальная матрица.

Задача решается с использованием функции Ляпунова вида

V{x) = хТНх. (5)

Система (4) представляется в виде

à=(A + R)x, (6)

где 0 < R < А - А.

Предполагается, что система

х = Ах, (7)

асимптотически устойчива.

Теорема 2.2.1. Пусть система (7) асимптотичесхи устойчива. Если при этом для системы (7) найдется функция Ляпунова вида (5) с неотрицательной матрацев H такая, что

dV/dfj^ = ~xTG х,

где С £ рпх'1 и выполнено условие

р(К) < Хт!а(С),

где

К = (А- А)ТН -(- Н(А - А),

то система (6) асимптотически устойчива.

Теорема 2.2.3. Если для системы (7) найдется фуикция Ляпунова вида (5) такая, что

¿У/Л] ? = —а;г(7х,

КП

где б € Рпхп, и существует такая неотрицательная матрица Т, что при всех Я : 0 < Я < А — А выполнено неравенство

+ НЛ[ < Т,

тогда, если

р(Г) < Аыи (<?)> то система (в) асимптотически устойчива.

Далее в параграфе 2.3 решается задача устойчивости динамической системы вида

т

¿^(Ао+^Па.Л-)«. (8)

1=1

где а,- € Л С Е.

Пусть V = хТНх функция Ляпунова для системы

х = Ао х, (9)

такая, что

— I = -Лг '

иь ц.^

где С? б Р".

Найдем полную производную от функции V на решениях' системы (8). Получим

где 6', = А[Л + НА;.

Предположим, что Уог; € /; выполнено матричное неравенство

/=1

где Т - постоянная неотрицательная матрица.

Теорема 2.3.2. Если для системы дифференциальных уравнений (9) найдется функция Ляпунова V = хТНх, удовлетворяющая (10), такая, что

р{Т) < Ат;„(6'),

то в области изменения параметров система (8) асимптотически устойчива.

Здесь р(Т) — спектральный радиус матрицы Т, Ат1П(С) — минимальное характеристическое число матрицы С7.

В § 2.-1 получены достаточные условия ащшптотической устойчивости линейных систем по отношению к части переменных с использованием теории линейных неравенств.

Рассматривается линейная стационарная система

х = Ах. (11)

Из элементов матрицы А системы (11) составим матрицу V, определенную следующим образом:

- Г ан>

= \ ы

если »=7, . -—. если » ф 1 4 '

Потребуем, чтобы о,-; <0, I = 1,п.

Пусть V'! — матрица порядка пгхп составлеппая из первых т строк матрицы У, У2 — матрица порядка (п-т)хп, составленная из остальных строк матрицы V. Рассмотрим систему линейных неравенств

Угу < 0. М

Теорема 2.4.3. Пусть уь...,у; минимальная система образующих элементов конуса неотрицательных решений системы неравенств

Уу< 0,

тогда, если каждый из элементов у,-,» = 1,/, удовлетворяет си-

I

стеме неравенств (12), и первые т координат вектора у = у;

1=1

положительны, то система (11) асимптотически устойчива по переменным XI,...,хт.

В § 2.5 рассматривается задача ¡/-устойчивости динамической системы

у = Л(<)у+В(<)г> .

¿ = с(г)г/+ £>(*)*, 1 ;

где у £ 11т,2 е Ш,т + р = п,А{1),В{1),С{1),0(1) — переменные матрицы соответствующих размеров непрерывные при всех I £ [А>, +оо).

В связи с втим рассматривается задача декомпозиции системы (13) с таким условием, чтобы вопрос у-устойчивости данной системы сводился к задаче устойчивости системы с меньшим числом переменных г.

Пусть Ф(1) — фундаментальная матрица решений системы

¿ = Жф-

Теорема 2.5.1. Лля того чтобы в системе (13) можно было выделить независимую подсистему необходимо и достаточно, чтобы при всех / € [¿о, +°о) гапз{Д(^)Ф(4)}-< р.

Здесь же рассматривается задача о приведении одного класса нестационарных динамических систем к стационарной системе.

Рассмотрим следующий класс линейных нестационарных динамических систем

У — Ау + В^г, . .

¿= С^'у + Яг,

где В\ — постоянная т х р матрица, С\ — постоянная р х т матрща, Вг — постоянная рхр матрица, Сг — постоянная тхгп матрица.

Лемма 2.6.1. Если для системы (14) выполнены следующие условия:

1 )ВгС1 +С^С2 = 0; 2)В2В - йВъ = О,

то данная система с помощью преобразования

-=(1гА)г' (15)

приводится к виду

Ау +• В {г, , .

г= са+ф + вдх. 1 ;

Теорема 2.5.4. Пусть выполнены условия леммы, тогда, если система (16) асимптотически устойчива по переменной у, то система (14) будет асимптотически у-устойчивой.

Замечание 2.5.2. Если предположить, что матрицы е"®3' и ограничены, то исходя из леммы 2.5.1., условия теоремы 2.5.4 будут необходимыми и достаточными для асимптотической у-устойчивости исследуемой системы.

Глава 3 посвящепа стабилизации линейных стационарных и интервальных динамических.

В §3.1 решается задача стабилизации линейных стационарных динамических систем с помощью подхода предложенного в §2.1.

Рассматривается динамическая система

у=Ау + Вх + Ри, . .

г = Су + Ог, ( 4

где у € И"1, х 6 й' — векторы, характеризующие состояние системы, ш + р = п, и£й' — вектор управляющих воздействий, А,В,С,0,Р — постоянные матрицы соответствующих размеров.

Используя общую идею построения стабилизирующего управления, предложенную В.И.Воротниковым, управление ищется в виде

и = и, + и*,

где и, — управление, решающее задачу декомпозиции системы (17), т.е. выделения независимой подсистемы, а а* — управление, стабилизирующее полученную подсистему (конечно, в случае, если выполнены условия стабилизируемости подсистемы).

Основная проблема поставленной задачи состоит в нахождении условий существования управления иг.

В результате, для линейных стационарных динамических систем существование управления иг сводится к существованию инвариантного подпространства относительно оператора О, такого, что на этом подпространстве разрешима система уравнений Вг+Ри = 0.

В связи с этим, используя теорему Нетера, приходим к условию разрешимости системы уравнений Ри — —Вг.

Пусть Ф — фундаментальная матрица решений системы уравнений Ртф — 0.

Теорема 3.1.1. Лая того, чтобы существовало управление и,, решающее задачу декомпозиции системы (17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

гапд{ВТУ, ОтВтЧ1,..., (Вту~1Вт Ф} < р.

Затем рассматривается случай, когда исследуемая система имеет вид

у=Ау+Вг+Ри,

¿=Су+Г>г+Зи, ^

где у 6 И"1, г £ Ир,и е В/, А, В,С, Б, Р, (? — постоянные матрицы соответствующих размеров.

Предполагается, что размерность подпростанства управляемости системы

¿= + (¿и,

меньше р. Показывается, что если на этом подпространстве разрешима. система уравнений

Вг + Ри- 0,

то существует управление иг, решающее задачу декомпозиции системы (18),

В параграфах 3.2, 3.3 решается задача стабилизации линейной интервальной динамической системы, опираясь па результаты §§ 2.2, 2.3, соответственно. Решение проводится с использованием фупкцнп Ляпунова.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Никонов В.И., Щенников В.Н. Стабилизация линейной управляемой системы с нечетко задапной матрицей // Тез. докл. Междунар. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 20-24 декабря, 1994. - Саранск, 1994. - С. 29.

2. Никонов В.И., Шеннйков В.Н. Стабилизация систем с неточно заданной матрицей // Дифференциальные уравнения и методы их решения / Морд. гос. ун-т. - Саранск, 1995. - С. 53-61. - Деп. в ВИНИТИ 05.12.95, № 3224 - В95.

3. Никонов В.И. Устойчивость интервальных динамических систем //24 Огаревские чтения: Тез. докл. научн. конф., Саранск, 4-9 декабря, 1995, Ч.З. - Саранск, 1995. - С. 20.

4. Никонов В.И. У-устойчиность линейных стационарных динамических систем // Вестн. Морд, ун-та. - 1996. - № 4. - С. 45-47.

5. Никонов В.И. Об ¡/-устойчивости одного класса линейных нестационарных динамических систем // III конференция молодых ученых Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева: Научн. тр., Саранск, 22-24 апреля, 1998, 4.1. -Саранск, - 1998. - С.221.

6. Никонов В.И. Достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем по части переменных // Вестн. Морд, ун-та. - 1998. - № 3-4. - С. 75-78.



о о

Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева

На правах рукописи

Никонов Владимир Иванович

Устойчивость и стабилизация линейных и линейных интервальных динамических систем

01.01.09 - математическая кибернетика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Шенников

Саранск - 1998

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ........................................................4

Глава 1. Необходимые сведения ..........................16

1.1. Устойчивость и стабилизация.............................16

1.2. Элементы матричного анализа и теория

линейных неравенств ............................................20

Глава 2. Устойчивость линейных стационарных, нестационарных и интервальных

динамических систем .........................................26

2.1. Устойчивость линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных ....................26

2.2. Достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем ................42

2.3. Устойчивость линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью ................ 49

2.4. Достаточные условия асимптотической устойчивости

и теория линейных неравенств .................................53

2.5. Устойчивость линейных нестационарных динамических систем по отношению к части переменных ....................58

Глава 3. Стабилизация линейных стационарных и интервальных динамических систем ...................70

3.1. Стабилизация линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных ....................70

3.2. Стабилизация линейных интервальных динамических систем ...........................................................82

3.3. Стабилизация линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью ................88

Список обозначений Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

За последние 30 лет интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных, постановка которой принадлежит великому русскому математику и механику A.M. Ляпунову[21].

Среди существующих подходов к ее решению следует отметить результаты, полученные В.В.Румянцевым и А.С.Озиранером [41], В.И.Зубовым[15], В.И.Воротниковым[б].

Особенно привлекательным подходом является метод, разработанный В.И.Воротниковым, основанный на построении вспомогательной системы, которая и решает поставленную задачу.

Тем не менее при решении задачи стабилизации возникают существенные трудности при выборе стабилизирующего управления. В связи с этим, данная задача представляется весьма актуальной.

Одно из центральных мест в современной теории автоматического управления занимает проблема устойчивости и стабилизации динамических объектов, параметры которых изменяются в заданных интервалах.

Все динамические управляемые объекты в той или иной степени являются неопределенными. Параметры объектов обычно известны с некоторой степенью точности. При этом известны лишь интервалы, на которых изменяются те или иные параметры системы. Возникает следующий вопрос: будет ли сохранять спроектированная система управления свои основные свойства, и прежде всего, асимптотическую устойчивость, при некоторых изменениях (вариациях), не обязательно малых, ее параметров от расчетных?

В связи с этим вопросом возникло понятие "грубости" динамической системы, впервые введенное в работе А.А.Андронова

и Л. С.Понтрягина [2]. Особенно важным свойством линейных систем управления является грубость или "робастность" [13] по отношению к устойчивости системы. Сам термин "робастность" имеет более широкий смысл. Он характеризует сохранение тех или иных свойств не единственной системы, а целого множества (окрестности) систем. Таким образом, для линейных систем управления необходимо исследовать устойчивость целого класса матриц, характеризующих динамику системы, а стабилизирующее управление выбирать так, чтобы оно стабилизировало указанный класс систем.

Установление факта устойчивости линейных систем является первым этапом их исследования. Л ля того, чтобы линейная система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все нули ее характеристического полинома Р(А) имели отрицательные действительные части. Известные критерии устойчивости линейных непрерывных динамических систем (алгебраический критерий Рауса-Гурвица, частотные критерии устойчивости Найквиста, Михайлова) дают решение задачи устойчивости при точно заданных параметрах системы.

Прямое применение указанных критериев для исследования робастной устойчивости линейных динамических систем вызывает трудности, в связи с тем, что необходимо исследовать целое множество близких систем.

Одним из способов представления неопределенностей в динамических системах являются линейные интервальные системы, которые в некотором смысле близки к линейным стационарным(ав-тономным) системам, а, значит, анализ таких систем можно проводить с использованием теории линейных стационарных систем, а вопросы стабилизации решать опираясь на теорию стабилизации линейных систем.

В связи с этим начались поиски критериев устойчивости линейных интервальных динамических систем.

Наиболее значительные результаты в данной области исследования получены в работах В.Л.Харитонова [44, 45]. В них указаны критерии устойчивости систем, коэффициенты характеристических полиномов которых принимают произвольные значения из заданных интервалов.

Рассмотрим следующий вещественный интервальный многочлен

я

= аак е Ь* Щ. (0.0.1)

кв 0

Слабая теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием робастной устойчивости семейства многочленов (0.0Л) является гурвицевостъ (т.е. устойчивость) всех угловых многочленов. Угловыми многочленами называются все многочлены вида (0.0.1) с аи = либо а>к = Щ Vк. Таким образом, существует 2п+1 угловых многочленов.

Сильная теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием робастной устойчивости является гурвицевостъ лишь четырех многочленов с коэффициентами

йо а\ <¡¿2 «з £4 «б Щ ...

«о аг Щ а3 «5 Щ ...

«0 «1 §2 Од «4 Ж5 Од ...

а0 а2 % йб

соотв етств енно.

Указанные работы вызвали огромный поток публикаций, связанных с актуальностью решения проблем робастности систем [10, 11, 13, 14].

Частотные условия робастной устойчивости решены в работах Я.З.Иыпкина, Б.Г.Поляка и Ю.И.Неймарка[26, 35-36].

Другие способы решения задачи робастной устойчивости рассмотрены в работах[3-4, 7-8, 34, 38-40, 42, 50].

Одним из способов представления неопределенности в линейных системах являются линейные интервальные системы, динамика которых описывается интервальными матрицами. Исследованию таких систем посвящено большое число публикаций. Наиболее подробный список публикаций содержится в работах [11, 13, 14].

До недавнего времени, вопрос о нахождении критерия устойчивости линейных интервальных динамических систем (ЛИДС) оставался открытым. Так в работе [60] было предложено утверждение, сформулированное в форме критерия устойчивости интервальных матриц. Но, как оказалось, это утверждение было неверным, о чем свидетельствуют контрпримеры в [56, 64].

На основе результатов В.Л.Харитонова в работе Р.О.Ома-рова [33] был предложен критерий устойчивости ЛИДС в следующей форме

Теорема[33]. Для того, чтобы положение равновесия ЛИДС било асимптотически устойчивым при всех А Е И или чтобы интервальная матрица А была асимптотически устойчивой при всех А € .О, необходимо и достаточно, чтобы были гурвицевы все четыре угловые полиномы Харитонова, составленные по последовательным сепаратным угловым коэффициентам Ь (£¿,6;, г = 1,п) характеристических полиномов системы,

Лемма[33]. Сепаратные угловые коэффициенты 6,- г =

1,п) образуются как соответствующие коэффициенты характеристических полиномов при угловых значениях элементов а^ = 1,п) матрицы А, либо при нулевых значениях некоторых элементов (если интервал принадлежности включает нуль).

Другим способом решения данной задачи является вероят-

ностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц [37].

Пусть А - вещественная пхп матрица с элементами а^, все характеристические числа которой имеют отрицательную вещественную часть. Случайные матрицы вида А+А, где Д - матрица с неизвестными одинаково распределенными равномерно распределены на [—7, 7], называются случайным интервальным семейством. Задается некоторый доверительный уровень 0 < а < 1 (например, а = 0.99).

Случайное интервальное семейство робастно устойчиво с вероятностью а, если

Р(А + А устойчива) > а.

Наибольшее 7, для которого выполняется это условие, называется вероятностным интервальным радиусом устойчивости матрицы А и обозначается гд(А)

гд(А) = : А + В неустойчива для некоторой Вь [|2?|| < е).

Случайное интервальное семейство робастно устойчиво с вероятностью 0.99, если

и робастно устойчиво с вероятностью 0.998, если

. у/г 0.77

7 * 2л&л(л) =

В связи с тем, что при практической реализации критериев устойчивости возникают трудности с огромными вычислениями, начались поиски простых по форме и удобных с вычислительной точки зрения достаточных условий устойчивости интервальных матриц. Об этом свидетельствует библиографический список в [11], а также работы [56-72].

В обзоре [11] отмечено, что большинство результатов в области получения достаточных условий устойчивости ЛИДС группируются по нижеперечисленным направлениям:

1) применение теоремы Гершгорина;

2) составление и решение матричного уравнения Ляпунова;

3) использование метода характеристических годографов.

В данной работе используются первые два направления.

Задачи создания систем управления, свойства которых мало

изменялись бы при некоторых отклонениях параметров системы от расчетных возникли уже в начале развития теории автоматического управления.

Для оценки этого свойства было использовано понятие функции чувствительности, впервые введенное в теории усилителей с отрицательной обратной связью . Особенно остро вопрос о чувствительности систем управления возник после развития и оформления теории оптимальных процессов. Как отмечено Я.З.Цыпки-ным, данная теория реализовывала лозунг 50-х годов "Оптимизировать все, что оптимизируется, а что не оптимизируется — сделать оптимизируемым." Однако применение таких классических методов, как принцип максимума, динамическое программирование часто не оправдывало своих надежд. Оказывалось, что найденные алгоритмы сильно чувствительны к отклонениям параметров управляемой системы.

Вследствии этого, требовалось разрабатывать другие методы, позволяющие учесть вышеуказанные недостатки. В связи с этим, возникла задача регулирования системы с неизвестными параметрами.

В [52] эта задача сформулирована в следующей форме. Пусть движение управляемого объекта описывается уравнением

х —

(0.0.2)

где х € К71,а £ С? С - некоторая ограниченная замкнутая

область, и е Нг- вектор управляющих воздействий, ^ - некоторая непрерывная векторная функция своих аргументов.

Задача. Найти управление и = «(ж), не зависящее от а, при котором система (0.0.2) асимптотически устойчива относительно начальных условий.

В указанной работе стабилизирующее управление ищется на основе использования условий устойчивости Гурвица.

Другое решение поставленной задачи предлагается в работах

[23-25].

Дана линейная управляемая система

х = Ах + Вщ х € Н\ и € Нг, (0.0.3)

где А и В - постоянные матрицы соответствующих размерностей, о которых известно лишь то, что (А, В) € С? - замкнутому ограниченному множеству в пространстве всевозможных упорядоченных пар таких матриц. Требуется построить управление вида

и = Мх, (0.0.4)

где М - постоянная г х т матрица, что нулевое решение системы (0.0.3), замкнутой управлением (0.0.4), будет асимптотически устойчивым по Ляпунову при У(А, В) €

В указанной работе рассматривается случай, когда матрица А принадлежит некоторому многограннику с вершинами А\,..., Ат, а матрица В фиксирована. При этом, управление ищется в виде линейной формы с достаточно большим коэффициентом усиления, так, чтобы заданная положительно определенная квадратичная форма монотонно убывала на всех возмущенных движениях системы.

Другой подход решения данной задачи представлен в [54]. Здесь получены достаточные условия устойчивости ЛИДС и синтез стабилизирующего управления с зада,иной мерой робастности. Подход основан на применении скалярно- оптимизационной функции множеств и интервальных функций Ляпунова. При этом результаты опираются на теорию интервального анализа[55].

Довольно часто при проектировании возникает задача исследования влияния некоторого параметра системы на устойчивость замкнутой системы.

В [53] предложены частотные необходимые и достаточные условия устойчивости, опирающиеся на обобщенный критерий устойчивости Найквиста, и позволяющие находить точные границы на возможные отклонения данного параметра от его номинального значения.

При этом возникают следующие задачи:

Задача 1[53]. Найти £ и д интервала возможных значений параметра д 6 [д,д] при которых система сохраняет свойство асимптотической устойчивости.

Если границы интервала д и д заданы, то приходим к задаче анализа устойчивости.

Задача 2 [53]. Для данного интервала возможных значений д € [д,д] исследовать устойчивость системы.

Применительно к текущему состоянию проблемы можно выделить следующие направления синтеза робастных регуляторов [11]:

1) методы и алгоритмы синтеза ЛИДС, основанные на применении аппарата функций чувствительности, построения структур, допускающих неограниченное увеличение коэффициентов усиления, а также на других классических подходах;

2) частотные методы синтеза ЛИДС исходя из требования

устойчивости замкнутой системы;

3) методы и алгоритмы синтеза ЛИДС, предполагающие формирование модального управления (в интервальной постановке);

4) методы синтеза оптимальных регуляторов для ЛИДС;

5) методы синтеза регулятов для ЛИДС на основе аппарата функций Ляпунова.

Как отмечено в [14], наступает период в развитии теории автоматических систем, одним из лозунгов которого является: "Ро-бастизировать все, что робастизируется, а что не робастизирует-ся — сделать робастизируемым."

В настоящей диссертации получены результаты в области устойчивости и стабилизации линейных стационарных, нестационарных и интервальных динамических систем.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь содержатся все необходимые сведения, на которые опирается основной материал данной работы.

В §1.1 приводится необходимый материал из теории устойчивости и стабилизации линейных динамических систем.

Параграф 1.2 включает в себя элементы матричного анализа, теории линейных неравенств и некоторые сведения из теории линейных операторов.

Глава 2 посвящена исследованиям устойчивости линейных динамических систем.

В §2.1 рассматриваются вопросы устойчивости линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных. Рассматривается динамическая система вида

* = ГУ1Вп' (0.0.5)

г = Су + их. 4 '

Здесь исследуется асимптотическая устойчивость динамической системы (0.0.5) по отношению к переменной у = со1оп(у\,...,ут).

Предлагается новый геометрический подход к исследованию у-устойчивости системы (0.0.5), основанный на декомпозиции исследуемой динамической системы. По сравнению с существующим методом В.И.Воротникова[6], основанным на построении //-системы, использование предлагаемого подхода дает более полное исследование у-устойчивости рассматриваемой системы. Показывается, что декомпозиция возможна в том случае, если существует инвариантное подпространство оператора /), удовлетворяющего определенным условиям.

Параграф 2.2 содержит новые результаты, связанные с устойчивостью линейных интервальных динамических систем. Здесь приводятся достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем. Полученные результаты формулируются в условиях существования функции Ляпунова с использованием некоторых фактов из теории матриц. Кроме того, рассматриваются вопросы конвергентности исследуемой системы.

Далее, в § 2.3 рассматривается устойчивость линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью. Объектом исследования данного параграфа является динамическая система

где А{ (г = 0,га) — постоянные матрицы, а,- — интервальные параметры. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости системы (0.0.6). Отметим, что на изменения параметров О!; не накладывается достаточная малость.

Затем, в § 2.4 приводятся результаты по устойчивости линейных стационарных и интервальных динамических систем, основанные на использовании теории линейных неравенств. Дается

т

(0.0.6)

дальнейшее развитие результатов, полученных в данном направлении.

И в заключении главы 2, в § 2.5 исследуется устойчивость нестационарной динамической системы

у = )у + В(г)г,