Исследование интервальной устойчивости динамических систем и моделирование процессов водообмена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЭНИ ТАРАСА.ШЕВЧЕНКО л п

■ >0 V«»

„,,,-л На правах рукописи

1 1 ИОВ

МУСТАФАЕВА Рахима'-

УДК 517.929.4

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВОДООБМЕНА

01.05.04 - системный-анализ и теория.оптимальных: решений, -физико-математические науки'

Автореферат

диссертации, на соискание ученой степени кандидата физико-математических.наук.

Киев- 1995

Диссертацией является рукопись Работа выполнена в Киевском национальном, университете имени Тараса Шевченко

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ХУСАКНОВ Д.Я.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук, профессор ВАЛЕЕВ К.Г. кандидат физико-математических наук, СТ. научн. сотр. ОБОЛЕНСКИЙ A.D.

Ведущая организация: институт математики HAH Украины-.

Защита состоится " 199.С г. в. /Г часов

на заседании специализированого совета Д.01.01.20 в Киевском национальном университете имени Тараса.Шавченко по здресу:.. 252127, Киез-127, проспект Академика Глушкова, 6, факультет кибернетики, ауд.40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат розосдэя "Ifö " vU^/si* IS9 £ г.

Ученый секретарь специализированного, совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

ЗИНЬКО П.Н..

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Задаче создания систем управления, свойства которых мало изменялись бы при небольших отклонениях их параметров, возникали yse в начале развития теории систем. Особенно остро встал этот вопрос после развития теории оптимальных систем. Многие методы оптимизации оказались чувствительными к малым отклонениям принятых предположений от действительных и не работоспособными. Метода, свободные от этого были названы робастными, т.е. грубыми, малочувствительными. В настоящее время термин робастность приобрел более широкий смысл. Он характеризует сохранение некоторых свойств множества систем, в частности, систем с параметрами, принимаипими значения из заданных интервалов.

Существенной проблемой качественного анализа систем является исследование устойчивости и управляемости. Одним из основных методов исследования устойчивости эсть прямой метод А.М.Ляпунова. Он используется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных, разностных, двффэренциально-развостных уравнений, уравнений в частных производных, систем стохастических уравнений, процессов в общих динамических системах и пр. Существенный вклад в его развитие внесли Н.Г.ЧетаеЕ, К.Г.Малкин, Е.А.Барбашин, Н.К.Красозский, с.К.Персидский. Многочисленные вопросы устойчивости стохастических систем, систем функционально-ДЕфференциальнкх уравнений, систем с распределенными параметрами рассматривались в работах К.Г.Валеева, В.В.Колмановского, Д.Г.Кореневского, В.К.Ясинского, А.Ю.Оболенского. Исследование систем большой размерности проводилось в работах В.М.Матросоза, А.А.Мартынгог. Проблемы управления и стабилизации систем с помощью прямого метода А.М.Ляпунова решались в работах Б.Н.Бублика, Н.Ф.Кириченко, С.Г.Гаращенко, В.М.Кунцевича.

Исследование устойчивости систем, коз^йгшиентк которых могут

ло бурное развитие, после, опубликования работ В.Л.Харитонова. Мм были получены изящные условия устойчивости линейных стационарных-дифференциальных уравнений с интервально заданными коэффициентами. Однако распространение полученных им результатов на системы уравнений, а такяе на уравнения других видов встретило значительное затруднение..

целью диссертации является получение эффективных условий интервальной устойчивости систем линейных обыкновенных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений запаздывающего и нейтрального типов, получение оценок интервальной управляемости дифференциальных систем, разработка моделей динамики водообмена экологических систем и исследование их устойчивости и управляемости:.

Научная новизна. Получены ноше конструктивные условия интервальной устойчивости линейных систем. Рассмотрена задача оценки полученных условий с использованием оптимальных функций Ляпунова. Исследована задача управления линейными системами с помощью квадратичной функции Ляпунова.

Иетода исследования. Основным методом исследования выбран второй метод ¿.К.Ляпунова с функцией квадратичного вида. При получении конкретных условий к разработке алгоритмов применялись методы линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и методов нелинейного программирования.

Теоретическая и практическая ценность. Основные исследования проводились в рамках научно-исследовательской тема "Разработка моделей и исследование устойчивости нетрадиционных динамических систем", проводимой согласно постановления Министерства образования Украины л 44 от 18 ишя 1992 г.

Полученные в диссертации результаты будут использованы при конструировании систем водоснабжения Республики Каракалпакстан и при управлении режимами-водообмена. ..

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсукдались на Украинских конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1992, 1994, 1995, 1993), Международной конференции памяти Ганса Гана (Черновцы, 1994), Второй Крымской Международной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Симферополь, 1995), Республиканском се- -мкнаре по проблеме "Кибернетика" "Моделирование и оптимизация сложных систем" (н.р. член.-корр. Н&Н Украина, проф. Бублик Б.Н., проф. Наконечный А.г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.

Структура е обьеи работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 138

наименований.

СОДЕРХШЕ РАБОТЫ

Во вступлении формулируется цель диссертационной работа, ее новизна и актуальность. Обосновывается научная и практическая ценность вопросов, рассмотренных в работе, даются краткие обзоры развития теории устойчивости систем дифференциальных уравнений с ив-тервально заданными параметрами, второго метода А.М.Ляпунова, теории систем с отклонявшимся аргументом. Сжато излагается содержание диссертации по главам. ...

В первой главе получены достаточные условия интервальной устойчивости некоторых зидов -динамических систем.

В первом параграфе рассматривается линейная стационарная система гида

. ± = U+D)~, г £ FT. (I)

здесь А = {а.р матрица с постоянными коэффициентами, в = {£..} матрица с коэффициентами, которые могут ипинимвть значения из"не-

кототзого матричного интервала Id. .1 $ С.i,J = TTri.

Система (I) называется интерЕально устойчивой, если онг устойчива при произвольной матрице I) из заданного матричного интервала. Получены следующие условия устойчивости.

Теорема!. Пусть существует симметричная положительно определенная матшца Н, пои кототюй выполняется неравенство ■

А. . (-А'Я-ВА)

пъп

> 2¡D|J, Щ = кг: f|D|).

Id..15В.Л J

mas 1 t,j 1 vj

Тогда система (I) интервально устойчива..

Здесь- и в. дальнейшем х (.), х. . (•) -г экстремальные

vías iдгг.

собственные числа состввтстьуеенх матриц, ф(Ь, = •

Конструктивность полученной теоремы зависит от выбора матрицы К. Ее нахождение сводится к решению оптимизационной задачи:

X . ЫтН-Н/1)

х Г 1 nitn

Н = arg зир b(H)L ф(Н) -- , (2)

ч-^-рЛ > ■>. (Н)

пси- i л ' 'яа?

G(H) = { H: ^ifi(H)>0, > о}.

Рассматривается вспомогательная задача H0 = arg зир {ф0(Н)}, Фо(Н) =

H6G,(Н)

С, (В) = {н: ? 0, Ка1пЫтЯ-ЕА) ? О, ^(Н) < 1}.

X '

Л е м м а I. Если Н решение задачи (2), § Н0 решение задачи (3), 10 Н0 = ОН*, 0 < а $ 1.

л е м и а 2. Задача оптимизации (3) имеет решение.

Для решения задачи (3) используется функция лагранжа

3(н,р) = ф0(Ю + р1<р1 <н> + р2ф2(Н),

(4)

9ЛН) = X___(Н) - 1, ф,(Н) = -я. . (Н), р.?0,

.1 ем м а 3. точка К0 является решением задачи (3) тогда е только тогда, когда сушествуют > 0, ^ Ч311 которых является седловой точкой функции Лагракха (4).

При численной реализации задачи оптимизации используется метод обобщенного градиента. Градиентное множество функции ф0(К) состоит из матриц ?0 вида

*0 =

foCtA113J/o

Уос^Уо

С [ а у 3 = -Аа^ - а „А, t^ij ~ матрица, у которой {'.J) к и,'.) -элементы равны единице, а остальные равны нулю, уп- единичный век-

ное значение. Градиентное множество функции Лагранаа (4) состоит из матриц + р^ + р2Гг : = = х0, х, -единичные векторы, при которых ^Н^ принимает минимальное и максимальное значения.

I. е м м а 4. Точка Е0 является решением задачи (3) тогда и только тогда, когда .существуют при которых выполнявтся

зл9дущи8 условия.

1) Градиентное множество ей функции Лагранзса содеожит

„ п О

нулевую матрицу, т.е. О б

2) Выполняется условия (HQ) = О, р°ф2(Н0) = 0.

- Во втором параграфе рассматривается система разностных уравнений

гь+1 = [Ä+D)X%, й= 0,1,2... (5)

Получены зледуззше условия интервальной устойчивости.

Л е м м а 5. Пусть существует положительно определенная мат- . рица Н, при которой выполняется неравенство

X . (Н - 4ТНЛ) .

ПИП1

--———: > |2>Ц(ЦЛ| + 2^1).

X (Н) якха

Тогда система (5) интервально устойчива..

Нахождение матрицы S сводится к решении задачи

Xmin(H - ЛТН4)

Н* = arg 3UD ( ср(Н)1, ср(Н) = -г-тттт- .

H€b'(H)L > Ктах{й) (6)

1(H) =( Н: X . (Н) > Q, X . (Н - ЛГНА) > о).

I лип тат j

Для решения задачи (6) рассматривается вспомогательная задача

Н0 = arg зщ> { ф0(Н)], <р0(Н) = Xm.JK -

Н € Z, (7)

Ь,(Н) =( Н: Xein(H) ? О, \я4пСН - /НА) > О, ^(Н) « l}.

Л в м м а S. Если н* решение задачи (S), а Н0 решение (7), то HQ = аН*, где о < а ^ 1-

Лемма?1. Задача оптимизации (S) имеет решение. Для нахождения HQ используется функция Лагранга и методы, аналогичные полученным для дифференциального уравнения (I).

В третьем параграфе рассматривается интервальная система дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием

X (t) = {А + U)X(t) + (3 + AB)X(t-T),

(8)

где АЛ = {Ла{^}, лВ= {ДЬ£^} матрицы, элементы которых могут находиться з заданных интервалах

|Да..| <rtJ, |Aü..i <s1Jf ¿«J =Т7л.

Решение x(t) системы (8) является асимптотически устойчивым, если

для произвольного б > О существует S > О, такое, что |х(Г)| < н,

г > о, лишь только ||г(0)Цт < 3 и llm |x(t)| = 0.

t => 00

Здесь

|х(Г)| = { У x7(t)V"\ Цх(0)Ц = зио Í|x(3)|}. U=i " J v J

Система (8) является асимптотически устойчивой, если устойчиво ее нулевое решение. Система (8) является интервально устойчивой, если она асимптотически устойчива при произвольных матрицах LA и ДВ из заданных интервалов.

Получены следующие условия интервальной устойчивости. Т 8 о р е м з 2. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует положительно определенная матрица Н, при которой выполняется неравенство

Хж4п[-<АЛ)Ъ - HU+B)] - 2[ЦН(В-*ДЛ)| + ||H(£+áfl)flvW] > О, (9) |}Н(В-Д4)Й = пах (|H(B-íU)|]-, Р(В+ДВ)| = ni а х ()Н(В+ДВ)jl.

Тогда система (8) интервально устойчива при произвольном запаздывании т > 0, причем 8(е) = s/vípIHT.

ТеоремаЗ. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует положительно определенная.матрица F, npw.которой, , выполняется неравенство

\ainf~ (Л+В)ТН - ЩА+В)] - 2[|Н(ДЛ+ДВ)|[ > О,

ЯЩЫ+ДВ)» = mas (|Н(Д4 + ДВ)

^jl^l'l^ljl^ij1 ; Тогда при х < tq, где

\я1п Г-и+В)тН-НЫ+В)1 - 2gH(M+AB)B

т0 = -LÜ- , (Ю)

2||Н(В4-ЛВ) П [||4+iU|l+(|B4-AB((]yípTH7

зистема (8) интервально устойчива. Причем

-цж-длят

= Л р + АБ|}г ^ ' J«

ЯВ+ДВЦ= шаг (|В+АЯ|1, ЦДЛ+ДВй = тах (|ДЛ + ДВ|}.

до. Л J да. )

tj ij ij

В пятом параграфе рассматривается интервальная, система дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа

± (t) = (II)

Решение x(t) s о системы (II) асимптотически устойчиво, если для

произвольного е>0 существуют б1 >0 и С2>0 ' такие, что ) J1 < s, t > 0, как только Ц;г(0)|| < 01, [(¿(О)^ < 32 и Иж |x(i)|,= 0.

Т=эоо

Здесь 1х(Г)|п= шаг ||x(t)|, |i(t)||.

Получены следующие условия интервальной устойчивости. I е о р 8 м а 4. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует положительно определенная матрица Н, при которой выполняется неравенство

Ш) - 2flj\E-D)-Ai)]TH(2+AB)K(T + -

, ЦА+ААЦ+ЦЗ+Щ _

- 4Я! (E-Z>)-<1D Н(2>+ДО)|! - УфЩТ >0,

L J 1 - ЦГН-ДЭД

Ь(Н) = X . [-U+B)TH(E-I>) - CE-D)TH(/i+B)l-

лгп! J

-гд(^+в)тнлг> - (ДА+дв)тн£(Е-и)-д^)|, < ^

Тогда система (II) интервально устойчива при произвольном отклонении аргумента т > 0, причем Ct(s) = s/vfTHy,

02(fi) =

1(H) - 2фЕ-£)-Д^тН(В*-Дг)|}(1+г^ШТ) 4jJ (E-D) - icj TH (Д1)) J

р+ыц-щв+двя

1 -

^грТНТ

Ей

К = т!п-

1,

1(и)-2|) (т+у^ртнт)

+ - 1 -

-1

Теорема 5. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует положительно определенная матрица Н, при которой 1(Н) > 0. Тогда при т < т0, где

^о =

кнт-^дэд)

-I

Г V «лт^

¡И+д^П+р+дв!

система (II) интервально устойчива, причем

-Р+Д4ЦТ

31 (е,т) = шй'

ь(н)(1-£)с

1 + гцш-доц+цв+лвиг вцгц-дии

и £ (Е-П)-До| ТН (В+ЛБ) М £ (Е-П) ТН (14-Ы)) I *

¡^ыв + й^двп

1 - цв+лсц

б,

Ог(Б,1) =

_НИЩ -1)0 - С) н

Е.

- э -

R = min

1,

L(H)(1-5)(1-C)

L зц^дод |)Л+ДЛ||+|)В+ДЯ||

(E-D)-AI)JTH(I>fAD)||yípÍHT

iw

т^ШТ

f = т/т0, 0 < С < 1 - произвольная постоянная.

Вторая глава посвящена управляемости интервальных систем. Рассматривается система

х = Ах + йи , и = с х. Пусть замкнутая система

х = (А + йст):г имеет характеристическое уравнение

(12)

(13)

+

Обозначим

+____+ а ,Х + а = О.

п— 1 п

Q(a) = ( а.: а', ^ а, í а( , í = i ,п

(_ i min -. теох * J*

Q(c) = ( е.: с'. í с. < с! , i = TT«

(_ i mm v ши' J

а = (а^с^,...,^), с = (с1 ,с2>...,сп).

Система (12) интервально управляема, если для произвольного

а е П(а) существует с с Q(c) такое, что замкнутая система (13) имеет коэффициенты характеристического уравнения a i С1(а).

Пусть характеристическое уравнение системы (12) с нулевым управлением имеет вид

úat{XE-A) = \п + р^"""1 + . . . + р".

Обозначим

Рт = (р,, Р2.....pj, s = (Ъ, Л),..., <ín-1b),

С(р) =

-1 -Р,

О

о

... о ... о

-Pn-1 -P*-a ••• -Pi -1

Теорема S. чтобы система (12) была интервально управля-

ема, необходимо и достаточно, чтобы rang S = п. Причем Q(c) имеет нид

с®. = пin Я (p)(a-p)l„ : a. = a{. , a* , t = 77ñ\,

latn (_[_ r r JS t ism ши J

ce = шт (Г S"^"1 (p)(a-p)]a : a. = a*. , аг , t = T7ñ),

як» Ц ~ r'JS i min' ши' J'

где [ - ] - з-я компонента соответствующего вектора. Рассматривается интервальная система

х = (А + Ы)х + bu, u = cT,z. ' ■. (14)

Замкнутая система имеет вид

± = (А + и + Ъс*)х. (15)

Система (14) вполне интервально управляема, если для произвольного

a € Q(a) существует такое с € Q(c), что система (15) имеет коэффициенты характеристического уравнения a ^ G(a)» при любых

¡Да^| ^ 5.J, l,j = TTü. Обозначим

0(c) = { сь: clin $ съ « , fe = Т7д }, , = min { a3*. , 5Ь = тюх (а31 , р* ),

min I mtn. ~min j * max I max 'masj

ДО. .=+0.. ij - i j

ij - tj

(Jet(?wE - Л - АЛ) = Xn + p1 (Д^Я"-1 + ... + РП(АЛ),

SOU) = jö, U+¿U)D, ... , и+Ш^ъу

Теорема7. Чтобы система (14) была вполне интервально управляема необходимо и достаточно, чтобы rang S(LA) = п. Причем

Q(c) имеет вид

S»ín = mtn {[ S~1(AA)G"1 (p(AÄ))(a ~ р(Д4))]я :

a, = äk, , 5& ; I Aa.. 1 $ С.., fe = TTn, i,J = TTñj,

к mm' max ' ' ij' ij J

= {[ S"1 (A¿)ff-1(p(¿U)Ha - p(Ai))]3 :

= ^ох 5 < к = и = 1,Л }.

Собственные числа не всегда хорошо оценивают динамику системы. Существуют системы, имеющие одинаковые собственные числа при разных значениях параметров. Поэтому в ряде случаев целесообразно рассматривать управление системой с помощью функции Ляпунова.

Система (13) будет управляемой с помощью функции 7(х) = х*Нг с показателем 7 , если существует вектор параметров управления с, что

Обозначим:

со

д.

7(x(t)) = - Т7(Г(Г)).

Я1 = S-1HS, = {П1^}, l,J = ТТг.

О ... О +

О. . . о _ тп;г + п\3 +

уп)п + h]p + ^

2Л11 0

,1

11

К о

In.

11

V

О яца

л.

13 1 г

л

О

о

TftlP + hi + hi

•22 ггз

Т^ + п.

'23 t

'24

'32 1

33

Згг

я

-[

ООО . . . 2h

1

1 п

т/г1 + йЧ'

1 П.П. '

ПП

cu

Кг.....n\j' rT = (Л1- Rl •

со

Теорема 8. Система (12) управляема с помощью 7(х) =

т '

х Нх с показателем 7 тогда и только тогда, когда

CV3

rang з = п и rang RT =■ п.

В ряде случаев целесообразно рассматривать более слабый вид управляемости.

Система (12) будет-управляемой с помощью функции 7(х(Г) =

О

О

гтНг с показателем не менее 7, если существует вектор параметров с, при котором.

УСПГ)) < -77сг(Г)).

Обозначим

= { ' «5, - -К - пЪ' - та. .......... .......

»а = {«Ь}. «и - Л},и, + = ^ Л1|Л+1 - V,

д.

Ли-га1Ли

,h"22 " гйгпгг.

tii-tAi-trtz

h2.. - 2C2.il1..

ТеоремаЭ. Система (12) управляема с помощью У(х> = хтНг с показателем не менее у тогда и только тогда, когда rang S = п и система неравенств

det t А.(сг,, d,)] > 0, i = ТТд.

имеет непустое решение относительно переменных d. = [STc]t, i = 1,п, [STc]. - ¿-я компонента соответствующего вектора.

Третья глава посвящена разработке модели динамики водообмена. Рассматривается иерархическая система гг-связэнннх подсистем 31, каждая из которых состоит из т~ водоемов, динамика водосмещения направлена сверху-вниз. Введены следующие обозначения.

- матрица поступлений.из подсистемы Б. в , х* = ( х.,, хгг, ..., х.п) ~ вектор содержания аидкости в хо = Ц»' ~ог' хот) ~ В9КТ0Р поступления в , - интенсивность вытекания зидкости из А1д в А1к,

(Г),.

„1 ' И Г?,... 11 1 1

„1 ' 12 —та

г? 1Ш Гт и»

41

Я12

0 <4 •••

9 К

О

е.- =

в=1 о

7 а! ...

3= 1

о

о

У ^

1 о ... С О 1 ... о

О О ... 1

При сделанных допущениях математическая модель динамики водообмена описывается системой дифференциальных уравнений.

II о* о4 + (5, - ^ - й, +

= + - «2 -г X и-2

X п _ Т> л. — л ..А. „ п—1 п—\ + Мп - + <

Вычислен стационарный реким водообмена. Он имеет вид

= (Д. + - О, Г1 <Я^о + )

42

х* = + 'в! - (Я , + ?*)■

Л Л Л П» IV—1 Л—»

Рассматривается задача синтеза параметров управления системой

Су С/ » • ^ »»V V ^ С^

о

обходимый режим водообмена , ~2,..., хп. Решение имеет вид

Й1 = К-о + Ф - '

Кг = [(Я, г, + д*) - - $2)г2]^/]хг|2 К = Г (Л .г 1+о*)-(С?т - 5 )5]гт/|х I2 .

71 П-1 П—1 П. П 1 П1 <

4

Исследована задача устойчивости построенной модели динамики водообмена. Для устойчивости функционирования всей системы г необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой каждзя£\, т.е.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены достаточные условия интервальной устойчивости систем линейных стационарных дифференциальных и разностных уравнений.

2. Проведено исследование интервальной устойчивости систем дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием и нейтрального типа.

3. Получены оценки параметров интервальной управляемости дифференциальных систем.

4. Решены задачи стабилизации линейных систем с помощью функции Ляпунова.

5. Разработана математическая модель динамики водообмена на основе линейных дифференциальных и разностных уравнений. Проведено исследование ее устойчивости и управляемости.

1. ыустафаева Р. Исследование робастной устойчивости линейных систем. - Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, 24-28 мая 1993 г. Тезисы докладов, Киев.- 1993,- С.34.

2. Мустафаеза Р. оценка величины запаздывания интервальных си-

стем. - Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, 16-20 мая 19Э4 г. Тезисы докладов.- Киев, 1994.- С.119.

3. Мустафаева Р. Оценка допустимого запаздывания в системах с отклоняющимся аргументом. - Международная конференция памяти Ганса Гана, Черновцы 10-15 октября 1994 г. Тезисы докладов, Черновцы, 1994. - С.25.

4. Хуса1нов Д.Я., Мустафаева Р. математичве моделювання процесс обм1ну р!дини // В!сник КиХвського ун!верситету. Сер1я ф!зико-математичн1 науки, М1носв1ти Укра1ни, Ки1в. - 1994. - • С.224-229.

5. Мустафаева Р. Моделирование динамики рек // Украинская конфе-- ренция "Моделирование и исследование устойчивости систем",

Киев, 15-19 мая 1995 г. Тезисы докладов.- Киев.- 1995. - С.130.

6. Хусаинов Д.Я., Мустафаева Р. Робастная устойчивость систем с запаздыванием // Украинский математический журнал, Т.47.,

- 1995. - С.859-863.

7. Мустафаева Р. Использование прямого метода д.¡/..Ляпунова для получения условий робастной устойчивости дискретных систем. -Вторая Крымская международная школа по методу функций Ляпунова и его приложениям, СГУ. - Алушта.- 1995.- С.17.

8. Мустафаева Р. Исследование интервальной устойчивости дискретных систем./ К. 1995. - Ю е.- Дэп.в ГКТБ Украины, И Ю53 Ук

- 95 Деп.

9. Мустафаева Р. Об одной математической модели динамики водоемов./ К. 1995. - 12 С.- деп.В ГЕГБ Украины,. £ 2084 Ук - 95 Деп.

10. Кожаметов А.Т., Мустафаева Р. Управление до заданной функции Ляпунова. - Украинская конференция " моделирование к исследование устойчивости систем", Киев, 20-24 мая 1996 г. Тезисы докладов.- Киев.- 1993. - С.65.