Построение и анализ сходящихсяинтервальных методов решениязадачи Коши для обыкновенныхдифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

п £ д $

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

УТЮБАЕБ Габдулрахпм Шунаповнч

УДК Г) 19.61:63

Построение и анализ сходящихся интервальных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

01.01.07 — вычислительная математика

'V

А Б Т О Р К Ф К Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата - 1992

Работа выполнена в Вычислительном центре Сибирского отделения Российской Академии Наук города Красноярск.

На у ни ы и руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор фпзнко-математпческнх наук, профессор 10. II. Шокнн

Официальные' оппоненты :

доктор финико-математнчес-кпх наук, профессор III. С. Сма-гулои,

кандидат фшшко-матиматичес-кпх наук, доцент С. А. А тан-бас»

Подущая организация:

Новосибирский государственный университет

¿Защити диссертации состоится « » UAt/H*£— 1992 году

LAilÎ_I-!L,utl11 "а а а с е ^ а 111111 ''нецпалилнроканнот Сонета

К COS. 11.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Институте математики и механики Академии Наук Республики Казахстан но адресу: 480021, г. Алма-Ата ул. Пушкина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Академии Наук Республики Казах-стаи.

J л

Автореферат разослан * " „¿¿il^L- 1992 году

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физпко-математнчес-

кпх наук M. Е. Рахимберднев

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность rem обусловлена нэ только потребностью вычисленхй приближенных решений, но и необходимостью получения гарантированных оценок близости получающася приближенных решений к точным решениям. Работа развивает идеи интервального анализа для построения новых интервальных методов решения задачи Кош» для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Дель работы. Целью настоящей работы является разработка конкретных математических проблем интервального анализа, а также построение сходявдахся интервальных методов решения задачи Кош для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сходимость метода обеспечивает близость приближенного решения к точному решению в метрике Хаусдорфа для выпуклых ограниченных" множеств.

Методика исследований. Основным инструментом исследования являются метода интервальной математики и апостериорного анализа.

Научная новизна. В диссертационной работа введены следуйте понятия: гомоморфизм квазилинейного пространства, подпространство квазилинейного пространства, обобщенная операция вычитания, аппроксимация, подчиненность, устойчивость, сходимость интервальных методов, числовая характеристика интервальной матрицы и доказаны новые результаты по теории сходимости интервальных методов.

Связь с планом научно-исследовательских работ Института. Тема диссертации входит б план научно-исследовательских работ ВЦ СО РАН (г. Красноярск) по теме: "Разработка и исследование эффективных вычислительных методов решения задач математической физики". Номер гос. регистрации 0186.0 060372

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на I-VIII Всесоюзных совещаниях то интервальной математике (Красноярск,1984-1988; Абакан, 1989; Ростов-на-Дону, 1990; Бишкек, 1991), Школе молодых ученых МГУ "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Москва, 1986), Конференции молодых ученых

ВЦ СОАН (Новосибирск, 1985), Всесоюзной конференции ко ус-лошо-корректшш задачам (Алма-Ата, 1939), I Советско-болгарском семинаре по число вой обработке информации (Пэрояс-лавль-3алесский,1939), VIII Республиканской конференции по математике и механике (Алма-ата, 1934), II Республиканской конференции по проблемам вычислительной математика и автоматизации научных исследований (Алма-Ата, 1933 ), VII Всеси-бирской школе по проблемам вычислительной математики (Красноярск, 1991), объединенном сешшаре йкстатута математики и механики Академии Наук Республики Казахстан ( рук., академик Султаптазин У.М.), семинарах "Числений! анализ" (Красноярск, рук., член-корреспондент АН СССР ЙЬкин Ю.И.), семинаре "Краевые задачи механики сплошной среда" Казахского госуниверси-тетз (рук., д.ф.-м.н., проф. Смагулов И1.С.), семинаре "Алгебраические сястекы" Красноярского гссуниьерситега ( рук., д.ф.-м.н., проф. Шунков В.П.), семинаре " Комбинаторный анализ" КШ (Красноярск, рук., д.ф.м.н., проф. Егорычев Г.П.), конференциях колодах ученых ВЦ СОАН (Красноярск, 1984-1987).

Публикации. По теме диссертация опубликовано 14 работ, список котораз. приведен в конце автореферата.

Структура к объем диссертации. Диссертация состоит введения, трех глав, заключения, списка литература из 86 наименований и 2 приложений.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор литературы и результатов, посвященных построению интервальных методов решения задачи Коли. Приводится краткое содержание диссертации, формулируются основные результаты диссертации.

Введем обозначение: 1 Ж. - »тожество интервальных чисел, построенных над упорядоченным шлем действительных чисел В :

= ,51, г % ос., ос, а

В настоящей работе интервальные числа, функции, отображения будем обозначать большими буквами, а обычные

числа, функции, отображения а т. д. - малыми буквам. Пространство -13:13} со стандартными интервальные онерадаяш изоморфно одномерному ладейному пространству К , поэтому не будем делать раз.ыг«й иевду Е и 1°®..

Первая глава посвящена некоторым алгебраическим и аналитическим проблемам интервальных пространств. Основным инструментом исследования являются алгебраические методы, аналогичные применяемым методам при исследования линейных ( векторных) пространств.

§ 1.1 является вводным. В нем приведены формулы стандартной интервальной арифметики и аксиомы квазилинейного пространства!

В § 1.2 введены определения квазиллейных подпространств и гомоморфных отображений квазилинейных пространств. Доказаны обте свойства квазилинейных пространств с аксиомой сокращения. Приведены ирш/.ери хЕазилшейшх подпространств при помоют гомоморфах отображений.

В § 1.3 введена дополнительная аксиома кв?зилинейного прос транс тв зН :

С-ПА , V А

Показано, что любое квазилинейное пространство с аксиомой сокращения погружается в квазилинейное пространство, удовлетворяющее дополнительной аксиоме. Основная теорема этого параграфа утверждает, что квазилинейное пространство представляется прямой суммой ядра и образа гомоморфизма квазилинейного пространства. При этом ядро и образ являются соответственно линейным пространством и симметрическим квазилинейным пространством. На основе этой теоремы введено обобщенное понятие серэдаы и ширины любого элемента квазилинейного пространства. Доказано, что конечно-порожденное квазилинейное пространство с базисом изоморфно ЕГ©!^.

В § 1.4 получены некоторые новые свойства нестандартной

1 Калмыков С.А., Пекин Ю.И., Юлдаяев З.Х. Метода интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986. - 220 с.

интервальной арифметики Маркова. Доказаны следующие включения для любых А., £ , С

(А - С £ А ИВ-С)

А-СЪ-С)

А-Ъ-А-С ^АСЬ-С) А-А-Ъ-Ъ <= АСА-й^ЪСА-Ъ)

При этом приведены необходимые и достаточные условия выполнения тождеств в выие приведенных включениях. Например для первого включения таким условием будет неравенство:

^ Л*Я(1(Ь^ - иасЦСУ)* ИЛсЦМ >г О

где икс! - л - г - ширма интервала X . В § 1-5 приведены примеры построения интервальных (квазилинейных ) пространств при. помощи линейного пространства Основная теорема этого параграфа гласит:

Теорема 1 - множество всех выпуклых подмножеств из <£ является максимальным квазилинейным пространством по операции Минковского для множеств:

+ а & А , 8&М

Теорема 2. р(.) - объединенное расширение функции является отображением ) тогда и только тогда,

когда ^ ) есть аффинное отображение ^ в ^ Пусть А - линейные операторы в В." . Теорема 3.

АХ , X* тогда и только тогда, когда

II АН 4 1

где . (( - матричная норма, порожденная функционалов Мик-ковского:

\l-xii = Ы ы = би.р £> , ^¡р е х } Обозначим Л/огрС^'4) ~ множество всех ограниченных шо-

кеств из К. . Тогда является метрическим про-

странством по метрике Хаусдорфа:

№ux{mqx тш muí

ыХ У ¿I нjfY Ч«=Х.

Теорема 4.

Теорема 5. ^ ^^ , тогда Я(АХ,ЪХ) iU-ЪЦ^Л)

Вторая глэеэ диссертации исследует проблема сходимости интервальных методов рэшенгы задачи Коши для ОДУ. Введены интервальные аналоги понятий аппроксимации, .устойчивости и сходимости и доказано ряд теорем.

Пусть задано ОДУ

¿ = > -té ю,±«3

с начальным условием

(2)

Решением задачи (1),(2) будет

4U) 4ДО - ■ «0>é*e }

Рассмотрим интервальное доЗЕфэренциальвое уравнение

X * F (X) (3)

с начальта.! условием

Теорема 6. Пусть в задаче (1), (2) функция удовлетворяет условию Липшица с константой Í и Пусть, кроме того, существует такое S?0 , что S, не возрастает на {о^-бД^Ь]. Тогда существует интервальное расширение функции -$(•) такое, что задача Коши (3),

(4) имеет единственное убывающее по ширине решение и для любого другого интервального расширения функции $ удовлетворявшего условию типа Липшица, верно включение

где ХфС*)- убыващее по ширине решение (3), (4) с Ф вместо Р.

Доказана аналогичная теорема для возрастающих по ширине решений.

Б § 2.2 введены определения аппроксимации, подчиненности интервальных методов.

Еведем общую формулу одношагового интервального метода

Х^-виЧм , (5)

для произвольной дискретизации отрезка

Будем, считать, что огкрататорц. монотонны по

включению и вик удовлетворяют условию типа Липшица:

\\ й- 5с* Ч\\ * *Iк\\X-■^ 1\

(о)

5ц = .. «•■$»<

Определение. Интервальный метод (5) аппроксимирует задачу (1), (2), если существует величина ЗЧОч^}» определяемая из равенства

+ 3 адн^-о т

удовлетворяет условиям

О с-Гг (8)

А= «ахЦ^Ь^в^Ц =о(Ю О)

Будем говорить, что метод (5) аппроксимирует задачу (1), (2) с порядком т , если верно (7) - (9) и выполнена

оцвнка чстоАха^) = ой-™)

При выполнена (7) - (9) имеет место включения точного реаешя задачи (1) - (2) в приближенное (5)

Определение. Интервальный метод

называется подчиненным методу (5), если для любой дискретизации верно включение

Записывать это будем в виде <Л) ¿(X)

т. к. отношение подчиненности есть отношение частичного порядка на множестве всех интервальных методов.

Утверждение. Пусть заданы метода QO , cí £ & , аппроксимирующие задачу (1), (2). Построим метод (ЛП

Y* = f\ X« , = K-Í7.

dita

где X« - приближенное реиениэ, полученное на * -ом шаге методом (ХУ*1 Тогда верш следующие утверждения

1. СО ХУ* для любого 4Í .

2.

для любого w

3. ?,Яетод СЧ> аппроксимирует задачу (1), (2). Предложение. Если метод (5) ахтроксндарует задачу с порядком m , тогда верна оценка

Kj - константы, не зависящие от t к h . В § 2.3 введены определения устойчивости, сходимости интервальных методов.

Определение. Метод (5) устойчив

- константы Липшица из (6). Приведем теорему устойчивости "близких" интервальных методов, аналогичную точечным методам.

Теорема 7. Пусть метод (5) устойчив npnVíh'n для

лгхЗого I и любых. X верно

И - & Л л « Ч Ь? И X ти , *

тогда возмущенный метод

V, = ^Л1-1 *

является устойчивым при к^Ь".

Определение. Метод (5) называется сходящимся к решению задачи (1), (2), если

= «кхси^хо О С ь-о)

Если ¿и £ ^ 171 , то будем говорить, что метод (5) сходится к решению задачи (1 ),(2) с порядком т .

Теорема. Если метод (5) аппроксимирует задачу (1), (2) и устойчив, тогда он является сходящимся к решению задачи. (1), (2).

В § 2-4 разработан один общий алгоритм построения сходящихся интервальных методов при помощи точечного метода. Пусть задан устойчивый точечный метод с шагом К,,

Аппроксширующий ОДУ (1) с начальным точечным условием

Ч'т-мОг) ~ »-I )-ая производная решения XII уравнения (1).

Бустъ - ) .Ч'тнС" ^ ~ монотонные по включениям интервальные расширения функций , Ч'т-И • Построй метод в виде

X«. = I Э^м +

\.и ( "2 Л I "1 т-н \ — и / • «

где 2 (, удовлетворяет включению

(11)

- ю -

Теорема. Метод (11) является интервальным методом и сходится к решению задачи (1), (2) с порядком пг для Ь ^ где Н'^О и иясКХ„)>0.

Введено определение области устойчивости интервального метода.

Теорема. Область устойчивости интервального метода (11) содержит область устойчивости точечного метода (10).

В § 2.5 исследоется задача сходимости интервальных, методов с учетом ошибок округления на ЭВМ на примере модельного ОДУ.

Введено определение вычислительной сходимости метода (5) для модельной ЭВМ. Доказана теорема вычислительной сходимости метода (5) при постоянном шаге, который выбираотся таким образом, чтобы суммарная оценка ошибка дискретизации к округления была минимальна.

Глава 3 посвящена приложениям интервальных методов для линейных систем ОДУ

± =оЦ)х , , 4€ЮЛк1 (12)

§ 3.1 объясняет эффект Мура для нелинейной системы ОДУ. В соответствии с теоремой 2 для нелинейной системы с начальным условием из выпуклого множества мы получаем невыпуклое множество области достижимости. Т. е. для того, чтобы описать тожество достижимости на первом шаге интегрирования, мы "вписываем" это невыпуклое множество в некоторое оптимальное выпуклое множество (происходит намотка решения). Приводится пример линейной усточивой системы с интервальными параметрами без эффекта Мура.

В § 3.2 построен модифицированный метод Никкеля ъ пространстве П -мерных параллелепипедов для системы (12) с начальным условием вида:

Доказаны вспомогательные утверждения о проекции интервального вектора на любое направление и об автоматпзи-зированном вычислении остаточного члена ряда Тейлора. Выписана общая формула модифивдрованнго метода Никкеля го.-го порядка . Доказано, что модифицированный метод с постоян-

ным шагом вычислительно сходится, если сЦ-0 - полиномиальная матричная функция с целыми коэффициентами.

В начале § 3.3 приводится обоснование необходимости построения интервального метода в пространстве эллипсоидов Аналогично главе 2 настоящей диссертации введены определения аппроксимации, устойчивости, сходимости. Доказана теорема сходимости, построен метод второго порядка точности для класса устойчивых систем ОДУ (12).

В § 3.4 исследуется модельная интервальная задача Коши, у которой параметры присутствуют в правой части ОДУ в виде интервалов. Получаем, что для получения точного решения этой задачи Коши двух уравнений недостаточно. Далее рассматривается линейная интервальная система ОДУ. Для оценки стационарных точек этой системы вводится понятие числовой характеристики интервальной матрицы. Приведены свойства этой величины и оценка диаметра множества стационарных точек.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1.При помощи гомоморфных отображений квазилинейных пространств доказана представимость квазилинейного пространства прямой суммой линейного пространства и симметрического квазилинейного пространства. Введено обобщение операции вычитания в квазилинейных пространствах с базисом. Доказаны необходимые свойство сохранения монотонное™ нестандартной арифметики. Доказаны оценки для квазилинейных нормированных пространств с метрикой Хаусдорфа.

2. Показано совпадение соответствующего -иГ-монотонного решения интервальной задачи Коши и решения задачи Коши с монотонной правой частью и начальным значением из интервала. Введены определения понятий аппроксимации, устойчивости, подчиненности, сходимости з квазилинейном пространстве IÎR. Доказаны теоремы устойчивости, сходимости. Предложен общий алгорим построения интервального сходяшегося метода на ос-ве точечного метода. При помощи апостериорного анализа исследована вычислительная сходимость интервальных методов.

3.Построена модификация метода Никкеля s пространстве параллелепипедов с учетом ошибок округления для линейных систем ОДУ с начальным значением из интервального вектора. Для одного класса линейных ОДУ с начальным значением из vi-мерного эллипсоида построен метод второго порядка точности. Получены сценки для стационарных точек линейных интервальных систем при гомосц! числовой характеристики интервальной матртащ.

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю, члену-корреспонденту АН СССР Ю. й. Иокину за постоянное внимание к работе, к.ф.м.н. В. А. Новикову за полезные научные дискуссии.

4. РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Утюбаев Г.Ш., Шокин Ю.И. О числовой характеристике интервальной матрицы // VIII мехвуз. конф. по математике и механике : Тез. докл. 4.II. - Алма-Ата, 1934. - С.44.

2. Утпбаев Г.Ш. Интервальный метод Эйлера репения задачи Нош для ОДУ // Диалоговые системы в задачах управления. -Новосибирск, 1937. - С.148-158.

3. Утюбаев Г.Ш. Некоторые свойства нестандартной арифметики // Инф.-операт. материал. - Красноярск, 1987. С.38 - 40. -( Препр./ ВЦ СО АН СССР; JS 2 ).

4. Утюбаев Г.Ш. Области устойчивости линейно-интервальных методов // Школа молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" ( Шушенское, 1987 ) : Тезисы докладов. 4.1.

- Новосибирск, С.120-121.

5. Утюбаев Г.Ш. О сходимости интервальных катодов типа Эйлера для линейных уравнений // Инф.-операт. материал.

- Красноярск 1987. - С.40-42. - ( ïïpsnp./ВЦ СО АН СССР; «2)

6. Вербицкий В.If., Горбазь А.Н., Утюбаев Г.Ш., Шокин Ю.И. Об зффекте Мура для динамических систем ¡J Труды Первого советско-болгарского семинара по числовой обработке, Переславль-Залесский, 13-24 окт., 1987 / Ит - т програмшх систем АН СССР. - Переславлъ-Залесский, 1988. Деп. в ВИШИ 21.04.89 2634 - В89.

7. Утюбаев Г.Ш- О гарантированном методе решения задачи Кош для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Тез. II респуб. конференции то проблемам вычислительной математики и автоматизации научных исследований, Алма-Ата, 2-6 окт., 1988 / Наука Каз.ССР.

- Алма-Ата, 1988. - С.102.

8. Новиков В.А. .Утвбаев Г.Ш. О сходимости интервальных методов решения задачи Кош для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Илф.-операт. материал. - Красноярск, 1988. С.33-35. - (Препр./ ВЦ СО АН СССР; J5 6).

9. Вербицкий. В.И.,Горбаяь А.Н..Утюбаев Г.Ш.,Шокин Ю.И. Об эффекте Ыура для автономных систем // Инф.-операт. материал.

- Красноярск, 1988. - С.28-30. - (Препр./ ВЦ СО АН СССР; Х6)

10. Вербицкий В.И.,Горбань А-Н. .Утюбаев Г.Щ.,Шокин Ю.И. Эффект Ыура в интервальных пространствах. //

Докл. АН СССР. - 1989. Т.304., & 1. - С.17-22.

11. Утюбаев Г.Ш. О вычислительной сходимости интервальных методов // Инф.-операт. материал. - Красноярск, 1989. -

С.38-38. ( Препр./ ВЦ СО АН СССР; J6 9 ).

12. Утюбаэв Г.Ш. О методь эллипсоидов для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Инф.-операт. материал. - Красноярск,1990. - С.28-32. - (Препр./ ВЦ СО АН СССР; Ji16).

13. Базаров М.Б., Новиков Е.А., Утюбаев Г.Ш. Разработка методов, алгоритмов и программ для эффективного численного моделирования динамических систем (решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений ): Отчет ВЦ СО АН СССР* 1987. - 43 с.

14. Утюбаев Г.Ш. Об изоморфизме квазилинейных пространств // Материала Всесоюзной конференции * Актуальные проблемы прикладной математики " - Саратов - 1991 - 20-22 мая - с.120-125