Обобщенная задача Коши и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

/

Казаков Александр Леонидович

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

0031БЭ1ЬИ

Специальность 01 01 02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 5 МАМ 2008

Иркутск — 2008

003169158

Работа выполнена в Уральском государственном университете путей сообщения (УрГУПС)

Научный консультант

доктор физико-математических наук,

профессор Баутин Сергей Петрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Баранцев Рэм Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Блохин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Рудых Геннадий Алексеевич

Ведущая организация

Институт гидродинамики им Лавреньева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 10 июня 2008 г в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д003 021 01 при Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу 664033, г Иркутск, ул Лермонтова, д 134

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН

Автореферат разослан 29 апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

д ф -м н

Щеглова А А

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию систем квазилинейных аналитических дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными

Изучена обобщенная задача Коши (ОЗК), которая отличается от задачи Коши в традиционной постановке тем, что начальные (граничные) условия ставятся не на одной, а на двух или на нескольких поверхностях Число поверхностей не превосходит числа независимых переменных Число условий совпадает с числом неизвестных функций Термин "обобщенная задача Коши" предложен Н А Ледневым1 Именно к обобщенным задачам Коши, с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, приводит математическое описание течений газа с ударными волнами Доказанные в диссертации теоремы применяются для исследования таких течений

Наиболее часто встречающейся задачей для дифференциальных уравнений с частными производными является задача Коши (ЗК), т е задача с начальными данными, поставленными для всех искомых функций на некоторой поверхности Если ЗК записана в нормальной форме, то теорема, доказанная С В Ковалевской, обеспечивает существование и единственность аналитического решения такой задачи при условии аналитичности всех входных данных

Одним из важных направлений развития аналитической теории дифференциальных уравнений с частными производными, в том числе с точки зрения приложений, является доказательство аналогов и обобщений теоремы Ковалевской В частности, теоремы существования и единственности решения задачи Коши в шкалах банаховых пространств являются современными аналогами теоремы Ковалевской Первым из таких результатов является теорема, доказанная Л В Овсянниковым Затем обобщение теоремы Ковалевской получил Ф Трев (F Treves) Также теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нелинейных сингулярных операторов доказаны Л Ниренбер-гом (L Nirenberg) и Т Нишидой (Т Nishida) С С Титов установил эквивалентность требований теорем Л В Овсянникова и Трева-Ниренберга-Нишиды Также в работах С С Титова доказаны новые аналоги теоремы Ковалевской для систем не типа Ковалевской

Для многих начально-краевых задач, имеющих содержательный газодинамический или физический смысл, вопросы существования и единственности решений в тех или иных функциональных пространствах в случае нелинейных систем исследованы далеко не полностью Возможны различные обобщения ЗК

Одно из направлений обобщения результата С В Ковалевской было развито

1 Леднев Н А Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными // Мат сб 1948 - Выл 2-С 205-266

в работах Ш Рикье (Ch Riquier) и Ш Мерея (Ch Méray) Они исходили из такой постановки задачи, при которой начальные значения для всех искомых функций (а также для производных в случае присутствия в системе производных не только первого порядка) задаются не на координатной плоскости, а в конкретной точке После этого исследовался вопрос на каких координатных плоскостях и для каких искомых функций (а также и для производных в отмеченном выше случае) надо задать начальные значения, чтобы поставленная задача имела единственное аналитическое решение При исследовании сходимости рядов, являющихся решениями некоторых из возникающих при таком подходе задач, было доказано существование и единственность аналитического решения у простейшей ОЗК с данными на двух поверхностях Результаты Ш Рикье были улучшены российским математиком H M Гюнтером и обобщены Дж Томасом (J Thomas)

Другие обобщения ЗК связаны с увеличением числа поверхностей, несущих начальные (граничные) условия, а также с введением в систему особенностей Необходимость таких обобщений обусловлена наличием их содержательных приложений в механике сплошной среды, в частности, в газовой динамике В качестве самостоятельного объекта исследования ОЗК была рассмотрена H M Гюнтером, а в дальнейшем С JI Соболевым и H А Ледневым

В работе С JI Соболева исследована ОЗК (автор называет ее задачей Гур-са) для системы произвольного порядка с данными на двух поверхностях, т е когда для части искомых функций начальные данные заданы на одной поверхности, а для всех остальных — на другой поверхности Решение задачи ищется в виде рядов по степеням независимых переменных х,у Получены системы линейных алгебраических уравнений, при решении которых определяются коэффициенты указанных рядов Описан определитель Р(п) таких систем Отличие от нуля определителей Р(п) при всех п € N является необходимым и достаточным условием существования решения задачи в виде ряда Получены некоторые свойства определителей Р(п), хотя сами они не вычисляются и не определяются явно коэффициенты рядов Приведены достаточные условия, при выполнении которых сходимость рядов доказывается методом мажорант

В работе H А Леднева рассмотрена ОЗК в случае, когда начальные данные для искомых функций заданы на произвольном числе координатных гиперплоскостей, и на каждой такой гиперплоскости начальные данные определены для произвольного числа искомых функций H А Ледневым для этой задачи получены достаточные условия ее разрешимости в классе аналитических функций Поскольку решение задачи в явном виде не строится, условия теоремы Леднева являются достаточно жесткими

К сожалению, результаты С Л Соболева и H А Леднева, фундаментальные для нелинейной теории аналитических уравнений с частными производными,

оказались в течение многих лет не востребованными в приложениях

Работы В М Тешукова дали "вторую жизнь" ОЗК Оказалось, что многие важные и сложные задачи газовой динамики, связанные с построением аналитических течений, состыкованных между собой через ударные волны, являются ОЗК с точки зрения теории уравнений с частными производными Исследован случай, когда начальные (граничные) условия для разных функций заданы на двух разных поверхностях При этом решения задач построены в явном виде, получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решений в виде двойных рядов При ограничениях, диктуемых физическим смыслом задач, доказана сходимость рядов В своей научной школе академик А Ф Сидоров в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого века предложил повторить результаты В М Тешукова в другой методике, в том числе уменьшить число искомых функций и использовать "физические" переменные, для того, чтобы в явном виде выписать вторые коэффициенты рядов Однако в то время попытки некоторых учеников А Ф Сидорова решить поставленную задачу успехом не увенчались

ОЗК для уравнений газовой динамики с условиями на границах, пересекающихся в звуковых точках, рассмотрена Р Г Баранцевым

В работах А М Блохина с помощью техники диссипативных интегралов энергии исследуется ОЗК (автор называет ее смешанной задачей) для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне в линейной и квазилинейной постановках

Еще одно направление обобщения задачи Коши и теоремы Ковалевской связано с тем, что предполагается равным нулю определитель матрицы, стоящей перед вектором производных, выводящих с поверхности, несущей начальные данные В этом случае записать систему в нормальном виде невозможно и возникает характеристическая задача Коши (ХЗК) Исследованием ХЗК занимались В М Бабич, Д Людвиг (Б Р Курант, А А Дородницын, А Ф Сидоров Аналог теоремы Ковалевской для квазилинейной ХЗК доказан С П Баутиным

Следует отметить, что следствием принципиального отличия ЗК, характеристической и обобщенной ЗК как краевых задач в теории систем уравнений с частными производными является их различие с точки зрения приложений в газовой динамике

1 Задача Коши для всех искомых газодинамических параметров при t — 0 заданы начальные данные Требуется построить течение газа при t > 0 Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема Ковалевской

2 Характеристическая задача Коши из точки х = хо в момент времени t = tо начинает плавное движение в однородном покоящемся газе непроницае-

мый поршень по заданному закону х = хр(г), хр(0) — хо, х'р(0) = 0, хр(0) ^ 0, т е начальное значение скорости поршня совпадает со скоростью газа в точке х ~ хо в момент времени t — 0 По фоновому течению из точки х — хо начнет распространяться слабый разрыв, т е звуковая характеристика, траектория движения и значения параметров газа на которой однозначно заданы фоновым течением Требуется построить при t > 0 течение в области между характеристикой и траекторией движения поршня, удовлетворяющее на поршне условию непротекания, а на характеристике — условию непрерывного примыкания к фоновому течению Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная С П Баутиным

3 Обобщенная задача Коши из точки х = хо в момент времени £ = 0 по заданному закону х = хр{£) непроницаемый поршень резко вдвигается в однородный покоящийся газ, х'р(0) (начальное значение скорости поршня) строго больше нуля По однородному покоящемуся газу из точки х = хо начнет распространяться ударная волна (УВ) с траекторией движения х = ф^), ^>(0) = хо, ф'(0) > > 0, которая заранее неизвестна и на которой должны выполняться некоторые функциональные соотношения (условия Гюгонио), связывающие значения параметров газа по разные стороны от УВ Требуется определить траекторию движения ударной волны и все течение газа в области между ударной волной и поршнем, удовлетворяющее на поршне условию непротекания, а на фронте ударной волны — условиям Гюгонио Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная В М Тешуковым (см также работы А М Блохина)

Цель работы Основной целью диссертации является конструктивное построение решений обобщенных задач Коши с данными на двух и на трех поверхностях в виде бесконечных кратных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами, в том числе для систем с особенностями, и доказательство существования и единственности решений этих задач в классе аналитических функций с получением максимально широких достаточных условий сходимости рядов Важной задачей диссертации является применение построенных решений и доказанных теорем для исследования течений газа с ударными волнами Методы исследования В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физики, в частности, метод представления решения в виде степенных рядов и метод мажорант для доказательства сходимости рядов

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Разработаны теоретические положения по методологии детального исследования обобщенной задачи Коши с начальными данными, заданными на двух и на трех поверхностях, для квазилинейной системы

2 Доказаны новые теоремы существования и единственности аналитических решений обобщенной задачи Коши с начальными данными, заданными на двух поверхностях, для квазилинейной аналитической системы Доказанные теоремы развивают и обобщают результаты, полученные для обобщенной задачи Коши С Л Соболевым и В М Тешуковым

3 Доказаны новые теоремы существования и единственности аналитических решений обобщенной задачи Коши с начальными данными, заданными на трех поверхностях, для квазилинейной аналитической системы Решения указанной задачи впервые построены в явном виде, что позволило ослабить ограничения, наложенные на систему в теореме Н А Леднева1

4 Для обобщенных задач Коши в случае, когда на одной или на обеих поверхностях, несущих начальные данные, квазилинейная система имеет особенности, впервые доказаны теоремы существования и единственности решений в классе аналитических функций

5 Построены новые нсавтомодельные течения газа с ударными волнами в окрестности оси или центра симметрии В том числе впервые построена неавтомодельная ударная волна, расходящаяся от оси или центра симметрии с конечной скоростью Обобщено на случай двух независимых переменных известное автомодельное решение Л И Седова (см также работы И Е Забабахина, В А Симоненко, Я М Каждана)

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Разработаны положения по методологии детального исследования обобщенной задачи Коши (ОЗК) С помощью этой методологии решена научная проблема построения аналитических решений ОЗК с данными на двух и на трех поверхностях Доказаны новые теоремы существования и единственности локально аналитических решений ОЗК с данными на двух и на трех поверхностях для различных квазилинейных систем первого порядка, в том числе в случае, когда на всех или на части поверхностей, несущих граничные условия, система имеет особенности Данные теоремы являются аналогами и обобщениями теоремы Ковалевской, а также теорем С Л Соболева, Н А Леднева, В М Тешукова на рассмотренные случаи Общая методика исследования ОЗК может быть применена в теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и в соответствующих приложениях (в механике сплошных сред)

Практическая значимость работы определяется содержательными приложениями доказанных теорем и построенных решений в газовой динамике при описании течений газа с сильными разрывами — ударными волнами Построенные решения, в частности, могут быть использованы при исследовании проблемы безударного сильного сжатия газа Исследование процессов неограниченного или очень сильного сжатия газа имеет важное значение для решения ряда фи-

зических проблем, в том числе для осуществления управляемого термоядерного синтеза

Апробация работы Результаты диссертации в разные годы докладывались на следующих научных семинарах ИММ УрО РАН (Екатеринбург, рук акад АФ Сидоров ), ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, рук акад Л В Овсянни-

ков), ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, рук чл -корр В М Тешуков и проф В Ю Ляпидевский), ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, рук чл-корр ПИ Плотников), ИВТ СО РАН (Новосибирск, рук акад Ю И Шокин и проф В М Ковеня), НГУ (Новосибирск, рук проф А М Блохин), ИДСТУ СО РАН (Иркутск, рук чл -корр А А Толстоногов и проф И В Бычков), УрГУПС (Екатеринбург, рук проф С П Баутин)

Результаты диссертации докладывались на следующих международных и всероссийских научных конференциях Всероссийских школах-семинарах "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (1996, 1998, 2000, 2002, 2004), Всероссийской конференции "Аналитические методы в газовой динамике" (2006), Международных конференциях "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (1995, 2000, 2005), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2001), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика А Ф Сидорова, "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (2003), Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика Л В Овсянникова, "Новые математические модели механики сплошной среды построение и изучение" (2004), Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И Н Векуа (2007), Всероссийской конференции, посвященной 50-летию Института гидродинамики им Лаврентьева СО РАН, "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва" (2007) и др

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Уральском государственном университете путей сообщения в рамках тематического плана НИР Министерства образования и науки РФ ("Нелинейные уравнения с частными производными и их приложения", 2001-2005 гг, № ГР 01200220281, "Математическое моделирование с помощью нелинейных уравнений", 2006-2010 гг., № ГР 01 2 00606945) Работа поддержана РФФИ, проекты 02-01-01122, 04-01-00205

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 16 печатных работах, куда входят одна монография [8], издательство "Наука" (Новосибирск), а также 15 статей [1-7, 9-16] Статьи [1-7] и монография [8] содержат основные результаты диссертации

Личный вклад автора Основные результаты диссертации получены автором лично и не затрагивают интересы соавторов Простейшая обобщенная

задача Коши с данными на двух поверхностях (задача Коши с начальными данными на разных поверхностях), представленная в § 1 диссертации только для полноты изложения, исследована С П Баутиным [8, § 1] В совместных статьях [1-3] С П Баутину принадлежат постановки задач и основные идеи доказательств, автору принадлежат точные формулировки теорем и их подробное обоснование В совместной с С П Баутиным монографии [8] автором единолично написаны §§ 2, 3, 5-7, 9, совместно с С П Баутиным написаны введение, §§ 4, 8, 10, заключение и библиографический обзор

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Список литературы содержит 135 наименований Объем диссертации 359 страниц

Основное содержание диссертационной работы

Во введении обосновывается актуальность исследуемых в диссертации задач Приводится обзор литературы по изучаемой и смежной тематике Кратко излагается содержание диссертации

Глава I (§§ 1-3) посвящена построению решений обобщенной задачи Коши с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы первого порядка В § 1 рассматривается простейший случай двух независимых переменных и двух неизвестных функций, каждая из которых задана на своей поверхности В § 2 исследуется случай произвольного числа неизвестных функций, часть из которых задана на одной поверхности, остальные — на другой В § 3 рассматривается случай, когда каждое из граничных условий содержит обе неизвестные функции, что приводит к появлению в системе дополнительных слагаемых специального вида

Решения всех рассмотренных в диссертации задач строятся в классе аналитических функций, те в виде бесконечных кратных рядов по степеням независимых переменных с рекуррентно определяемыми коэффициентами Сходимость построенных рядов доказывается с помощью классического метода мажорант

В § 1, который включен в диссертацию для полноты изложения материала, рассматривается простейшая ОЗК

' их - а(х, у, и, у)иу + Ь(х, у, и, у)ух + /(ж, у, и, у), < Уу - с(х, у, и, у)иу + <1(х, у, и, у)ух д(х, у, и, ь),

, и(о> у) — о> «М) = о,

где и, V — искомые функции, х, у — независимые переменные, а, Ь, с, с1,/,д — аналитические функции, зависящие от переменных х, у, и, у Доказывается теорема существования и единственности локально аналитического решения и обосновывается пример типа Адамара для данной задачи, который показывает,

что сформулировать необходимые и достаточные условия аналитической разрешимости ОЗК в виде ограничений на коэффициенты системы в данном случае невозможно Теорема и пример принадлежат С П Баутину [8, § 1]

В § 2 строится решение ОЗК с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы первого порядка в случае т неизвестных функций

I

Аг(х, у, г, и) и* + А2(х, у, г, и)иу = ^ Ак+2(х, у, г, и)иг, -I- Цх, у, г, и)

*=1

с граничными условиями

{ и(0и=о = Ф,{у,г), г = 1, ,р,

\ и^\у=о = Ф]{х,2), 3 =Р+1, ,771, 1 <р < т — 1

Здесь и = , и- вектор-столбец искомых функций, х,у,г = {г\, ,

- независимые переменные, А^ = (аг})к, г,] — I, ,т, к = 0, ,1 + 2 -матрицы размерности т х т, Г = (/1, ,/т) — аналитические функции, зависящие от переменных х, у, г, и Доказана теорема существования и единственности локально аналитического решения поставленной задачи В том числе указаны необходимые и достаточные условия существования и единственности формального решения в виде кратных рядов по степеням независимых переменных в рассмотренном случае, а также достаточные условия, обеспечивающие сходимость этих рядов Приведены примеры типа Адамара, показывающие, что невыполнение некоторых из достаточных условий сходимости может повлечь расходимость формальных рядов, а следовательно, отсутствие у рассматриваемой задачи аналитического решения Также приводится теорема существования и единственности локально аналитического решения для одного из возможных обобщений рассмотренной задачи Доказанные теоремы развивают результаты, полученные для ОЗК С Л Соболевым и В М Тешуковым

В § 3 рассматривается ОЗК с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы первого порядка в случае двух неизвестных функций в наиболее общей постановке, когда каждое из граничных условий содержит обе искомые функции Это обстоятельство приводит к тому, что после приведения задачи к стандартному виду в системе появляются дополнительные слагаемые, содержащие производные неизвестных функций, заданные на координатных осях

их = Аиу -I- Вух + Авьу|х=0 + Вких\у=о + Р, < уу = Сиу + Оух + С9Уу\х=о + Пких\у=о + Я, (1)

4и(0,у) = 0, ф,0)=0, где и,у — искомые функции, х, у — независимые переменные Функции р = р(х,у,и,у,иу,ьх,их\у=о, Уу\х=о), Я - ч(х,у,и,у,иу,ух,их\у=0,уу\х=0) линейны

относительно переменных их, ух, иу, ьу, причем коэффициенты перед этими переменными обращаются в нуль в точке 0(х = 0, у = 0, и = О, у = 0), Л, В, С, Д к, в — константы Получены необходимые и достаточные условия существования решения поставленной задачи в виде двойных рядов по степеням независимых переменных Выписаны системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), при решении которых определяются коэффициенты рядов Системы решены в явном виде, и получены формулы для искомых коэффициентов В результате анализа данных формул определены достаточные условия сходимости построенных рядов Получены также удобные для проверки достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемая ОЗК имеет единственное локально аналитическое решение

Теорема 1 (Достаточные условия существования формального решения и достаточные условия аналитической разрешимости задачи (1))

Пусть в задаче (1) функции р — р(х, у, и, V, иу, ух) и1|2/=о, уу\х= о), я = я{х,у, и,у,иу,ух,их\у=о,уу\х=о) обладают следующими свойствами а) линейны относительно переменных их,ух,иу,уу, причем коэффициенты перед этими переменными обращаются в нуль в т 0(х = 0, у = 0, и = 0, у — 0), б) ана-литичны в некоторой окрестности т 0(х = 0, у — 0, и = 0, у = 0) по переменным х, у, и, у 1 Пусть

а = АВ, р = ВС, 7 =1-/3 +а, Д0 = --^--т-1-

1 — Ок

и справедливы неравенства

7 т^ 0, 72 — 4а > 0, 1-вкф0, Д0 ф 0 (2)

Тогда найдется числовое множество Л(а;, 7) такое, что при выполнении условия

До£Л(а,7) (3)

задача (1) имеет единственное решение в виде рядов по степеням х, у При этом

1 1 Если 7 > 0, а > 0, то Л(а, 7) =

а 2 7 ' 2

1 2 Если 7 < 0, а > 0, то Л(а, 7) =

1 3 Если 7 < 0, а < 0, то Л(а, 7) = 1 4 Если 7 > 0, а < 0, то Л(а, 7) —

щ

70_ а Г^ ' 7

а 7 с* 7 ' уГГ^

1 5 Если 7 ф 0, а = О, то А{а, 7) = {0}, т е множество Л(а, 7) вырождается в точку

2 Пусть выполнены неравенства (2), (3) и

72-4а^0, Д0 Ф |(7 ± V72 - 4а)

Тогда задача (1) имеет единственное аналитическое решение в некоторой _ _ окрестности т (х = 0, у = 0)

Удобные для проверки достаточные условия аналитической разрешимости других рассмотренных в данной диссертации задач формулируются аналогично и в автореферате не приводятся ввиду их громоздкости

Также в § 3 приведены примеры и теоремы, которые показывают, что сформулировать необходимые и достаточные условия аналитической разрешимости ОЗК в виде ограничений на коэффициенты системы в данном случае невозможно, а также что при невыполнении любого из полученных достаточных условий сходимости ряды могут (в зависимости от того, какие условия заданы на границах) как сходиться, так и расходиться

Пример 1. Рассматривается задача (М, в, к = const)

их = Миу + M6vJx=о + v + 1,

(4)

vy = vx + rax|y=.o + и + 1) и(0, у) = 0, v(x, 0) = 0

1 Если М = const >1, в = к = 0, то задача (4) имеет единственное решение в виде формальных степенных рядов, которые сходятся только в тп (х = 0, у = 0)

2 Если при некотором п £ No справедливо равенство вк = , то построить решение задачи (4) в виде степенных рядов нельзя

3 Если М ф 1, вк ф 0, вк ф -j^n при всех п £ No, то у задачи (4) существует в некоторой окрестности т (ж = 0, у = 0) единственное аналитическое решение

Кроме того, рассмотрена ОЗК с данными на двух поверхностях в случае четырех неизвестных функций, которая возникает в газовой динамике при решении задачи о распаде произвольного квазиодномерного разрыва

Глава II (§§ 4-6) посвящена построению решений обобщенных задач Коши с данными на двух поверхностях для квазилинейных систем первого порядка с особенностями В § 4 анализируется простейший случай двух неизвестных функций и двух независимых переменных Каждая из неизвестных функций задана на своей поверхности для системы с особенностью и/х или х/и В § 5

рассмотрен случай трех неизвестных функций, когда граничные условия не разрешены относительно неизвестных функций, что приводит к появлению в системе дополнительных слагаемых специального вида В § 6 исследуется случай системы с особенностями и/х и у/у, когда каждая из двух неизвестных функций задана на своей поверхности Для задач, рассмотренных в §§ 4, 5, только одна из поверхностей, несущих граничные условия, является характеристикой Для задачи, рассмотренной в § 6, обе поверхности, несущие граничные условия, являются характеристиками Таким образом, в главах I, II рассмотрены все возможные, с точки зрения расположения характеристик, постановки ОЗК с данными на двух поверхностях

В § 4 строятся аналитические решения ОЗК с данными на двух поверхностях для квазилинейной системы уравнений с частными производными в случае двух неизвестных функций и двух независимых переменных, когда задача имеет конкретную особенность вида и/х или х/и

{их = а(х, у, и, у)иу + Ь(х, у, и, у)ух + §/1(3;, у, и, у) + ¡2{х, у, и, у),

уу = с{х, у, и, у)иу + ф, у, и, у)ух + §51(1, у, и, у) + д2{х, у, и, у), (5)

и(0,у) = 0, «(®,0) = 0,

где и, у — искомые функции, х,у — независимые переменные, а, Ь, с, й, /1, д\, Ь, 92 ~ аналитические функции, зависящие от переменных х, у, и, V Указаны необходимые и достаточные условия существования и единственности решения поставленной задачи в виде формальных степенных рядов, а также достаточные условия их сходимости

Теорема 2 Пусть в задаче (5) функции а, Ь, с, /1,01, /2,32 являются аналитическими в некоторой окрестности т 0(х = 0, у = 0, и = 0, г; = 0) Пусть

Ло = а(0), Д> = 6(0), С0 = с(О), Д, = ¿(0), /о = /х(0), 9о = 91(0), = =

До = 1, ¿0 = 0,

1 + В0фО,

1, В0 = 0, Ап+1 = 1 - Сп+2Вп+16п+1, п = 0,1, Если выполняются условия

/о ф п, Ап ф 0, п 6 N. (6)

1ип 5„ = ¿оо, I ¿оо |<

П-Ю0

Ьт Д„ — Доо, 0<|Доо|<+ОО, 00

¿-»оо

то у задачи (5) существует в некоторой окрестности т О единственное аналитическое решение При этом условия (6) являются необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения в виде формальных степенных рядов, а условия (7), (8) — достаточными условиями сходимости

Построены примеры, которые показывают, что введение устранимой особенности вида и/х в систему существенно меняет свойства ОЗК Пример 2 Задача

их — Ну И- ух,

Ьу = 1 + хд{у), (9)

„ и(0,у) = 0, и(ж,0) = О,

где а (у) — аналитическая функция, дп = , имеет единственное фор-

аУ у—о

мальное решение в виде рядов по степеням х, у При этом

1 Если кшУЫ = .Ко < оо, то эти ряды сходятся при |ж| < тутг,

п-юо ¿Ло

м<ж0 _

2 Если же 1ип \/|<?п| = оо, то ряды расходятся всюду, кроме т (х = О,

п—> оо

у = 0)

Приведено обобщение одной из задач, которое используется при построении течений идеального газа с ударными волнами в окрестности оси или центра симметрии

Отметим, что если умножить обе части системы (5) на а;, то для полученной задачи линия х — 0 будет являться характеристикой Однако задача (5) не попадает под действие теорем для ХЗК, поскольку является ОЗК и принципиально отличается от ХЗК по постановке

В § 5 строится решение ОЗК с данными на двух поверхностях для квазилинейной системы первого порядка с двумя неизвестными функциями в случае, когда задача имеет особенности вида и/х, и)/х, а граничные условия носят

характер более общий, чем рассмотренные в § 4

ux = а(х, у, u, v, w)uy + Ъ(х, у, u, v, w)vx + ^—у, и, v, ги)+ +f2{x, y,u,v,w),

vy = с(х, у, и, v, w)uy + d(x, у, и, v, w)vx + д(х, у, и, v, w),

1 Wx — [г(х, у, и, V, w)^—нМ1 + 2/) и} v< w){w xw°) +

+h(x,y,u,v,w)]\y=0,

го|а:=0 = WO, ^\x=0 = «oQ/)U=Cb «o(°) = UOD, _ v\y^o-vo(xtu,w)\y=o, v0(0,uqü,wq) = г/оо

Здесь u,v,w — искомые функции, x, у — независимые переменные, а, Ь, с, d, д, /ъ /2, ?~> Sj h, vg, щ — аналитические функции своих аргументов, uw,voo,wq -константы Определены необходимые и достаточные условия существования решения рассмотренной задачи в виде двойных рядов по степеням независимых переменных Выписаны системы линейных алгебраических уравнений, при решении которых определяются коэффициенты рядов Системы решены в явном виде, и получены формулы для искомых коэффициентов В результате анализа данных формул определены достаточные условия сходимости построенных рядов Найдены также удобные для проверки достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемая ОЗК имеет единственное локально аналитическое решение Также рассмотрено одно из возможных обобщений доказанной теоремы, которое используется при решении задачи о фокусировке на ось или в центр симметрии волны сжатия с последующим возникновением ударной волны, распространяющейся с конечной скоростью

В § 6 строятся аналитические решения ОЗК с данными на двух поверхностях для квазилинейной системы уравнений с частными производными в случае двух неизвестных функций и двух независимых переменных, когда задача имеет особенности вида и/х и v/y

их — a(x,y,u,v)uy + b(x,y, u,v)vx + fi{x,y, и, ")§+ +/2(3", У, и, уЦ + /3(х, у, и, v), < Vy = с(х, у, и, v)uy + d(x,y, u,v)vx+gi{x,y,u, (10)

+g2(x, у, u,v)| + £/зОс, У. и, v), ЦО, у) = 0, 0) = 0,

где u, v — искомые функции, х,у — независимые переменные, a,b,c,d,fi,gi, /2, <?2, /з> 93, — аналитические функции, зависящие от переменных х, у, и, v Указаны необходимые и достаточные условия существования и единственности ре-

шения поставленной задачи в виде формальных степенных рядов, а также достаточные условия их сходимости

Теорема 3. Пусть в задаче (10) функции а, Ъ, с, (1, /1,51, /г, <72, /з,5з являются аналитическими в некоторой окрестности т 0{х — 0, у = 0, и — 0, 0 = 0)

Пусть

А0 = а(О), Во = Ь(О), С0 = с(О), D0 = d{O), e0 = /i(O), /0-/2(0), go = gi(Ö), ho = g2(0), Hk,n-k - {k + 1 - e0)(n - fc + 1 - ho) - fogo,

Hh,n- -k

(fc + l)(n+l-fc- -/i0)S0 +A>/o

Hk,n- -fc

(n + l-k)(k + l - e0)C0 + Aogro

як,„. -fc

(n + 1 - k)(k + 1 - e0) Д) + B0g0

A k,n~k = Btn-k+

До,п = 1, <5(),п = Д),п>

1 - С*,п-Л-1,п+1-Ь если Ак,п-к ф О, не определено, если &к,п-к — 0,

Аь п-Фк- 1,п+\-к

<5к п-к — <

Д

д^ п2к—--1 если Дк,п~к ф о, ф О,

не определено, если Дк,п-к — О,

^к,п-к^к,п-к „, д А

•к,п-к--Скп-к-' &к~1,п-к+1 = 0,

п— 1,2, , к = 1,

,п

Если выполняются условия

Нк,п-кф®, Д«,о#0, п £ N, к = 0,1, ,п, lim 5„ о = 5оо, | <5оо |<+оо, lim Д„ о = А» # 0, | Дта |< +оо,

П-+00 оо

|А>А>1

(П)

AI

<1,

то у задачи (10) существует в некоторой окрестности т О единственное аналитическое решение При этом условия (11) являются необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения в виде степенных рядов

Если умножить обе части системы (10) на ху, то для полученной задачи линии х — 0, у — 0 будут являться характеристиками, однако задача (10) не является задачей Гурса Обсуждается вопрос о приложениях ОЗК с данными на двух характеристиках в газовой динамике

Глава III (§§ 7-9) посвящена построению аналитических решений обобщенной задачи Коши с данными на трех поверхностях для квазилинейной аналитической системы первого порядка в случае трех неизвестных функций, зависящих от трех независимых переменных

В § 7 ставится ОЗК с данными на трех поверхностях для квазилинейной системы первого порядка в случае трех неизвестных функций С помощью замен независимых переменных и неизвестных функций она приводится к стандартному виду

их = ai(x, U)wy + яг(х, и)щ + а3(х, U)vx + а4(х, \J)vz + a5(x, и)шж+

+о6(х, U)wy + gi{x, U), vy = 6i(x, U)uj, + 62(х, U )uz + 63(х, UK +■ Ь4(х, U)v2 + b5(x,U)wI-|-< +Ьб(х, U)wj, + <?г(х> U),

wz = ci(x, U)uy + с2(х, U)m2 + с3(х, U)ux + с4(х, U)vz + с5(х, 11)^+ +c6(x,U)wj/ + 33(x, U),

и(0, у, z) = 0, v(x, 0, z) = 0, w(x, у, 0) = О

(12)

Здесь U = (u,v,w) — искомые функции, х = (x,y,z) — независимые переменные, а„Ь„с,,<7*, где г = 1, ,6, к = 1,2,3 — аналитические функции, зависящие от переменных х, U Подробно рассматривается задача, в которой поверхность z = 0, несущая данные для функции w, является характеристикой кратности два для линейной системы, совпадающей с исходной в главной части Предполагается, что

6з(0,0) = 0, 65(0,0) = 0, сз(0,0) = 0, с5(0,0) - 0, (13)

те в правой части системы (12) 4 из 18 коэффициентов, на которые умножаются производные неизвестных функций, в т 0(х = 0,U = 0) равны нулю Получены необходимые и достаточные условия существования решения этой задачи в виде тройных рядов по степеням независимых переменных х, у, z и достаточные условия сходимости рядов Вводятся следующие обозначения

Л = а(0,0,0,0,0,0), В, = Ьг(0,0,0,0,0,0),

Сг — с,(0,0,0,0,0,0), г = 1, ,6, Д, Д, С, - const,

а? = В4, а°2 = С6, а о = Ms, 70 = 1 - ДА + ВД, 7* = 1 - А5С2 + А3В2С5 - А3В6С2 + ^¡к,

7 = 1 + В4С6 - ВД - А3Вг - АЬС2 + А3В2С6~ ~А3В6С2 + АъВцС\ - Аъвгаи

7* = 1 - Л3В1 + Аф^ - АьВгСь +

аг = Bi + Л3В2 + Л5В2С4 - Л5В4С2,

а2 = С6 + A5Ci + A3BaCi - A3BiCe, а = ага2 Вводятся числовые последовательности цп, £п, по формулам

/Lt0 = l, Mi = 7*7*-«, Mn+i = 7Мп - сф«-ъ neN, 6 = 1» 6 = 7, fn+i = 7£n-a£n-i, n € N, Mo = 1. Mi = 1, Mu+i = 7oM° - aoMn-i. " S N, iS = l, £? = 7o, C1=7oC°-o!oC°-i, neN Теорема 4. Пусть в задаче (12) все входные данные аналитичны в некоторой окрестности т О по переменным x,y,z,u,v,w Если выполняются условия (13), а также соотношения

lin Ф 0, Ф 0, п е N, (14)

hm ^ii — цоо, 0 <| //оо |< +оо,

п-> оо

lim —I = £сЮ! £сО ~ MOOJ n-Юо fn

bm = о <| & |< +oo,

hm = fO =

Sn

0

А ' Ю2 ' 1м2оМоо| |^ооГ ' то у задачи (12) существует в некоторой окрестности т (х = 0, у = О, 2 = 0) единственное аналитическое решение При этом условия (14) являются необходимыми и достаточными условиями существования формального решения задачи

Выписаны СЛАУ, при решении которых находятся рекуррентные формулы для коэффициентов рядов В результате анализа данных формул получены

удобные для проверки достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемая ОЗК имеет единственное локально аналитическое решение Показано, что теоремы, доказанные в данном параграфе, не сводятся к теореме Н А Лед-нева, которая обеспечивает существование и единственность аналитического решения ОЗК в наиболее общей постановке в случае, когда система удовлетворяет определенным (довольно жестким) условиям

В § 8 подробно рассматривается ОЗК с данными на трех поверхностях для квазилинейной аналитической системы первого порядка в случае трех неизвестных функций, в которой поверхности х — 0 и у = О, несущие данные для функций и и и, являются характеристиками кратности один для линейной системы, совпадающей с исходной в главной части Предполагается, что

С1(0,0) = 0, с3(0,0) = 0, с5(0,0) = 0, с6(0,0) = 0 (15)

Также, как и в § 7, в правой части системы (12) 4 из 18 коэффициентов, на которые умножаются производные неизвестных функций, в т 0(х = 0, и = 0) равны нулю, хотя эти коэффициенты отличны от рассмотренных в § 7 Для этой задачи получены необходимые и достаточные условия существования решения в виде тройных рядов по степеням независимых переменных х,у г Выписаны СЛАУ, при решении которых находятся рекуррентные формулы для коэффициентов рядов В результате анализа данных формул определены достаточные условия сходимости рядов Вводятся обозначения

аг = Аг + А6С2 - А1В6С4 + В1А6С4, а1 = В3 + В5С4 - А5В3С2 + А3В5С2,

7 = 1 + АгВ3 - А3В\ - А5С2 - В6С4 + АфьС4 + А5В3С2 - А3В6С2 - А5ВгС4, 7* = 1 - А5С2 - В6С4 + А5В6С2С4 - АёВьС2С4, а = а1а2, <4 = А1г а°2 = В3, ай = А1В3, 7о = 1 + А^ - А3Вх

Здесь символами у, а\, а2,7*, а?, а2,70 обозначены величины, отличные от фигурирующих в § 7

Также вводятся числовые последовательности П7„, (п, , по следующим формулам

сто = 1, етх = 7*, етп+1 = 7го„ - сгс7п_:, п Е М,

Со = 1, С1 = 7, Сп+1 = 7Сп - «Сп-ъ 71 6 =1, го? = 1, = 70- ско^п-ъ " е Со°=1, С?-70, С+1 = %С-аоС-ь пеК Теорема 5. Пусть в задаче (12) все входные данные аналитичны в некоторой окрестности т О по переменным х, у, г, и, V, ги Если выполняются

условия (15), а также соотношения

ьо„ ф 0, пёК, (16)

^ Ф О, п б К, (17)

с„ ф о, П е м, С„° ^о.пем,

г п I I ^ ,

ит -= Стоо, 0 <| Стоо < +оо,

п->оо

Сп+1

пТоЬ £п

Ьт -^г— = Соо, Соо = ^оо,

П7°

Ьт = а0 о <| |< +оо,

п-юа

Ьт — /-ч _ „и

11ГП„ "То" ~ Соо) Соо ~

'зп

- />0

а

А> /_0 \2 ^ |_П _ I ^ 1' 1_11 _ I ^ 1

то у задачи (12) существует в некоторой окрестности т (х = 0, у = 0, г = 0) единственное аналитическое решение Причем условия (16), (17) являются необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения в виде формальных рядов по степеням х, у, г

Показано, что теоремы, доказанные в данном параграфе, не сводятся к теореме Н А Леднева Получены также удобные для проверки достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемая ОЗК имеет единственное локально аналитическое решение Приведены примеры тина Адамара, которые показывают, что при существовании у ОЗК с данными на трех поверхностях решения в виде рядов по степеням независимых переменных х, у, г аналитическое решение задачи, тем не менее, может отсутствовать, так как ряды сходятся только вт (я = 0, у = 0, ^ = 0) Пример 3. Задача

' их = иу + иг+ р(х, у, г, и, V, ш), * иг = ух + уг + д{х,у,г,и,и,ш),

к 1и2 = и]х + и1у + г{х,у)г,и,и,'ш),

и{0, у, г) = 0, у(х, 0, г) = 0, ю(х, у, 0) = 0,

где р — д = г = и+и+ги-Ы, имеет единственное решение в виде формальных степенных рядов, которые сходятся только в т (х = 0, у = 0, г = 0)

Также установлено, что невозможно сформулировать необходимые и достаточные условия аналитической разрешимости ОЗК с данными на трех поверхностях в виде ограничений на коэффициенты системы в угловой точке

В § 9 в наиболее общей постановке рассмотрена ОЗК с данными на трех поверхностях для квазилинейной системы первого порядка в случае трех неизвестных функций

' Аг(х, и)иг + А2(х, 11)17, + Ал(х, и)и, = ^х, и), , Ф1(х,и)и(х)=о = 0,

Ф2(х, и)1й(х)-о — О, к Фз(х,и)|Ых)=0 = 0

Здесь и = (и, V, т) - вектор-столбец искомых функций, х = (х, у, г) - вектор независимых переменных, Ак = (ац)ь г,3,к = 1,2,3 - матрицы размерности 3x3, Г = (/1,/2,/з)> Ф*; — аналитические функции, зависящие от переменных х, II, фк — аналитические функции, зависящие от переменных х, у, г Для исследования задачи используется методика диагонализации системы, отличающаяся от методики, использованной для исследования ОЗК с данными на трех поверхностях в §§ 7, 8 Своеобразие методики диагонализации состоит в том, что две матрицы, стоящие перед векторами производных, при помощи замены неизвестных функций приводятся к диагональному виду Ранее эта методика применялась в работах С Л Соболева, В М Тешукова и в § 2 диссертации для исследования обобщенной задачи Коши с данными на двух поверхностях Доказаны новые теоремы существования и единственности локально аналитических решений ОЗК с данными на трех поверхностях, не попадающие под действие как теоремы Н А Леднева, так и теорем, доказанных в §§ 7, 8

Глава IV (§§ 10-14) посвящена построению математических моделей течений газа с ударными волнами в виде обобщенной задачи Коши В §§ 10, 11 рассматриваются известные задачи о поршне и о распаде разрыва, ранее кусочно аналитические решения этих задач при помощи другой методики были построены В М Тешуковым В §§ 12,13 строятся течения газа в окрестности оси или центра симметрии с расходящимися ударными волнами Основным элементом здесь является построение решения системы уравнений газовой динамики в области между центром (осью) симметрии и фронтом ударной волны, включая построение неизвестного фронта ударной волны В § 14 рассмотрены приложения ОЗК с данными на трех поверхностях

В § 10 рассматривается задача о поршне В идеальный газ вдвигается непроницаемый квазиодномерный поршень Если в начальный момент времени условие согласования скорости газа и скорости поршня не выполнено, в течении газа возникает ударная волна, фронт которой заранее неизвестен Под удар-

ной волной здесь понимается гладкая поверхность, на которой газодинамические параметры терпят разрыв первого рода При этом параметры газа по разные стороны поверхности разрыва связаны функциональными соотношениями, которые являются следствиями законов сохранения и называются условиями Гюгонио Строится течение газа в области, ограниченной поршнем и фронтом ударной волны, включая построение фронта ударной волны Задача приводится к стандартному для ОЗК виду с помощью следующих действий 1) введение новых независимых переменных х, у так, чтобы траектория поршня и фронт ударной волны стали новыми координатными осями, 2) введение новых искомых функций так, чтобы условия на поршне и ударной волне перешли в нулевые для этих новых искомых функций, 3) приведение полученной задачи к нормальному виду, когда уравнения разрешены относительно производных, выводящих с каждой из координатных осей, на которых заданы нулевые граничные условия для соответствующих искомых функций, 4) выделение у полученной задачи главной части В результате получается ОЗК с данными на двух поверхностях для аналитической системы Существование и единственность локально аналитического решения данной задачи обеспечивает теорема, доказанная в § 3 Таким образом, в диссертации решена задача, поставленная 30 лет назад перед своими учениками академиком А Ф Сидоровым (см раздел актуальность темы)

В § 11 рассматривается пространственная задача о распаде произвольного квазиодномерного разрыва, сосредоточенного в начальный момент времени на криволинейной поверхности, в случае, когда в результате распада разрыва образуются две ударных волны и контактный разрыв, т е имеет место конфигурация Б (по терминологии Б Л Рождественского и Н Н Яненко) Данная газодинамическая задача приводится к стандартному для ОЗК виду с помощью той же методики, которая использовалась § 10 для преобразования задачи о поршне В результате получается ОЗК с данными на двух поверхностях для аналитической системы Существование и единственность локально аналитического решения данной задачи обеспечивает теорема, доказанная в § 3

То обстоятельство, что предложенный в диссертации подход оказался применим не только к новым (§§ 12-14), но и к некоторым ранее решенным задачам (§§ 10-11), свидетельствует о его универсальности

В § 12 рассматривается задача о распаде разрыва в особой точке в случае конфигурации Б Пусть известно аналитическое по переменным Ь, г решение системы уравнений газовой динамики в случае сферической или цилиндрической симметрии в некоторой полной окрестности точки (£ = 0, г = 0) (фоновое течение) При этом дополнительно предполагается, что иЬ=о,г=о < 0, а|г=о,г=о > 0, я|(=о,г=о > 0 В силу условия симметрии при г = 0 скорость газа и = 0 В следствие этого возникает сильный разрыв решения — ударная волна,

фронт которой неизвестен и определяется вместе с решением задачи Строится решение в области между осью (центром) симметрии и ударной волной Впервые неавтомодельное решение этой задачи построено в данной диссертации

В § 13 решается задача о неавтомоделыюм безударном сжатии симметричного объема газа на ось или в центр симметрии фокусируется волна сжатия, вызванная плавным вдвижением в идеальный покоящийся газ непроницаемого поршня, после чего возникает ударная волна, движущаяся с конечной скоростью Строятся течения газа перед фронтом ударной волны и стыкуются с течением за фронтом с выполнением условий Гюгонио Построенное решение обобщает известное автомодельное решение Л И Седова на случай двух независимых переменных Конфигурация соответствующих течений газа в плоскости переменных г приведена на рис 1

Рис 1

Линия АВ — траектория движения поршня Прямая АО - звуковая характеристика, отделяющая область волны сжатия от области покоя По Момент фокусировки характеристики АО берется за I = 0 Линия ОС — траектория движения ударной волны

§ 14 посвящен приложениям ОЗК с данными на трех поверхностях Рассматриваются двумерные нестационарные течения идеального политропного газа Установлено, что ОЗК с данными на трех поверхностях для системы уравнений газовой динамики в наиболее "естественной" постановке не имеет в общем случае аналитического решения, хотя ее решение в виде рядов по степеням независимых переменных строится Установлена аналитическая разрешимость одной ОЗК с данными на трех поверхностях для двумерной системы уравнений газовой динамики в случае, когда две из поверхностей, на которых заданы граничные условия, являются характеристиками кратности один Впервые приложения ОЗК с данными на трех поверхностях рассматриваются в данной диссертации

В заключении на основе полученных результатов сформулированы выводы

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1 Приведены постановки ОЗК с данными на двух и на трех поверхностях для различных квазилинейных систем первого порядка, в том числе в случае, когда на всех или части поверхностей, несущих граничные условия, система имеет особенности Поставленные задачи при помощи замен неизвестных функций и независимых переменных преобразуются к стандартному виду

2 Предложена методика детального исследования ОЗК, включающая в себя замены независимых переменных, переводящие поверхности, несущие граничные условия, в координатные плоскости, замены неизвестных функций, приводящие граничные условия к однородному виду, построение решения в виде кратных рядов по степеням независимых переменных, доказательство сходимости рядов при помощи метода мажорант, использование найденных в явном виде коэффициентов формальных рядов для получения максимально широких и вместе с тем в виде удобных для проверки достаточных условий их сходимости

3 Доказаны теоремы существования и единственности локально аналитических решений ОЗК с данными на двух поверхностях для различных квазилинейных систем первого порядка, в том числе в случае, когда на одной или на обеих поверхностях, несущих граничные условия, система имеет особенности Данные результаты являются аналогами и обобщениями теоремы Ковалевской на рассмотренные случаи

4 Доказаны теоремы существования единственности локально аналитических решений ОЗК с данными на трех поверхностях

5 Построены примеры типа Адамара, которые показывают, что невозможно получить необходимые и достаточные условия аналитической разрешимости ОЗК в виде ограничений на коэффициенты, на которые умножаются производные неизвестных функций, а также — что при невыполнении некоторых из условий доказанных в диссертации теорем построенные единственным образом ряды расходятся вне многообразия, по которому пересекаются поверхности, несущие начальные данные, т е примеры показывают, что условия теорем являются в определенном смысле неулучшаемыми

6 Доказанные в диссертации теоремы использованы для построения неавтомодельных разрывных течений газа вблизи оси или центра симметрии в задаче о распаде разрыва в особой точке и в задаче о фокусировке волны сжатия на ось или в центр симметрии с последующим расхождением ударной волны, имеющей конечную скорость движения Показано также, что под действие доказанных в диссертации теорем попадают некоторые задачи газовой динамики, решенные ранее

Основные публикации по теме диссертации

1 Баутин С П Некоторые течения газа в окрестности оси или центра симметрии с отраженными ударными волнами /СП Баутин, А Л Казаков // Доклады Академии наук - 1996 - Т 347, №2 — С 195-198

2 Баутин С Г1 Течения газа с ударными волнами, расходящимися от оси или центра симметрии с конечной скоростью /СП Баутин, АЛ Казаков // Прикладная математика и механика — 1996 — Т 60, вып 3 — С 465-474

3 Баутин С П Одна задача Коши с начальными данными на разных поверхностях для системы с особенностью /СП Баутин, А Л Казаков // Известия вузов Математика - 1997 - № 10 (425) - С 13-23

4 Казаков А Л Построение кусочно-аналитических течений газа, состыкованных через ударные волны, вблизи оси или центра симметрии /АЛ Казаков // Прикладная механика и техническая физика — 1998 — № 5 — С 25-38

5 Казаков А Л Некоторые течения газа с ударными волнами, являющиеся решениями обобщенных задач Коши /АЛ Казаков // Вычислительные технологии - 2004 - Т 9, № 3 (42) - С 278-286

6 Казаков А Л Об аналитических решениях обобщенной задачи Коши с данными на трех поверхностях для квазилинейной аналитической системы / А Л Казаков // Сибирский математический журнал — 2006 — Т 47, № 2 — С 301-315

7 Казаков А Л Обобщенная задача Коши с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы /АЛ Казаков // Сибирский математический журнал - 2007 - Т 48, № 5 - С 1041-1055

8 Баутин С П Обобщенная задача Коши и ее приложения /СП Баугин, А Л Казаков — Новосибирск Наука, 2006 — 399 с

9 Казаков А Л Неавтомодельное безударное сжатие симметричного объема газа /АЛ Казаков // Вычислительные технологии — 2008 — Т 13, № 1 — С 56-70

10 Казаков А Л Построение решений обобщенной задачи Коши с данными на трех поверхностях в классе аналитических функций /АЛ Казаков // Сибирский журнал индустриальной математики — 2008 — Т 11, № 1 (33) — С 63-79

И Казаков А Л Некоторые течения газа с ударными волнами в пневматических магистралях железнодорожного транспорта /АЛ Казаков // Транспорт Урала - 2004 - № 2 - С 70-74

12 Казаков А Л Теоремы существования и единственности аналитических решений обобщенной задачи Коши /АЛ Казаков // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Материалы Всерос науч конф , РГПУ им А И Герцена — СПб , 2005 — С 51-55

13 Казаков А Л Задача о распаде разрыва в случае конфигурации Б как

обобщенная задача Коши /АЛ Казаков // Проблемы прикладной математики — Екатеринбург Уральский гос ун-т путей сообщ , 2006 — Вып 41 (124) — Т I — С 100-166

14 Казаков А Л Обобщенная задача Коши с данными на двух характеристиках /АЛ Казаков // Проблемы прикладной математики и механики — Екатеринбург Уральский гос ун-т путей сообщ , 2007 — Вып 58 (141) — Т I — С 285-299

15 Казаков А Л Применение метода диагонализации для построения аналитических решений обобщенной задачи с данными на трех поверхностях /АЛ Казаков // Проблемы прикладной математики и механики — Екатеринбург Уральский гос ун-т путей сообщ , 2007 - Вып 58 (141) - Т I - С 300-326

16 Казаков А Л Построение аналитических решений одной обобщенной задачи Коши с данными на трех поверхностях /АЛ Казаков // Известия вузов Математика - Казань, 2007 - С 1-26 - Деп в ВИНИТИ 06 07 07, № 700 - В2007

Казаков Александр Леонидович ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Подписано в печать 01 04 2008

Бумага писчая № 1 Объем 1,6 п л

Тираж 150 экз Формат 60x90 1/16 Заказ 74

Уральский государственный университет путей сообщения 620034, Екатеринбург, ул Колмогорова, 66

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С ДАННЫМИ НА ДВУХ ПОВЕРХНОСТЯХ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Простейшая обобщенная задача Копти

§ 2. Случай произвольного числа неизвестных функций.

§ 3. Случай общих начальных данных.

ГЛАВА И. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С ДАННЫМИ НА ДВУХ ПОВЕРХНОСТЯХ ДЛЯ СИСТЕМЫ

С ОСОБЕННОСТЬЮ .J

§ 4. Простейшая обобщенная задача Коши для системы с особенностью.

§ 5. Случай общих начальных данных.

§ 6. Случай системы с двумя особенностями.

ГЛАВА III. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С ДАННЫМИ

НА ТРЕХ ПОВЕРХНОСТЯХ.

§ 7. Случай характеристики кратности два

§ 8. Случай двух характеристик кратности один .22 L

§ 9. Применение метода диагонализации для решения обобщенной задачи Кошп с данными на трех поверхностях.

ГЛАВА IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

§ 10. Задача о резком вдвижешш в газ непроницаемого поршня

§ 11. Задача о распаде разрыва в случае конфигурации Б

§ 12. Задача о распаде разрыва в особой точке

§ 13. Задача о неавтомодельном безударном сжатии симметричного объема газа.

Диссертация посвящена изучению специальной краевой задачи для систем квазилинейных уравнений с частными производными - обобщенной задачи Копти, которая отличается от задачи Коти в традиционной постановке тем, что начальные (граничные) условия ставятся не на одной, а на двух или на нескольких поверхностях. Число поверхностей не превосходит числи независимых переменных. Число условий совпадает с числом неизвестных функции. Рассмотрены случаи, когда начальные (граничные) условия ставятся но на одной, а па двух и на трех поверхностях. Термин "обобщенная задача Коши" предложен H.A. Леднёвым [76]. Именно к обобщенным задачам Кошп с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными приводит математическое описание течений газа с ударными волнами. Доказанные теоремы применяются для исследования таких течений.

Наиболее часто встречающейся задачей для дифференциальных уравнений с частными производными является задача Коши (ЗК): задача с начальными данными, поставленными для всех искомых функций па некоторой поверхности. Если ЗК записана в нормальной форме, то теорема Ковалевской [67| обеспечивает существование и единственность локально аналитического решения при аналитичности всех входных данных задачи.

Одним из важных, в том числе с точки зрения приложений, направлений развития аналитической теории дифференциальных уравнений с частными производными является доказательство аналогов и обобщений теоремы Ковалевской. Для многих начально-краевых задач, имеющих содержательный газодинамический или физический смысл, вопросы существования и единственности решений в тех пли иных функциональных пространствах в случае нелинейных систем полностью еще не исследованы.

Возможны различные обобщения ЗК.

Одно из направлений обобщения результата C.B. Ковалевской было развито Ш. Рикье [129] и исходило из того, что не на координатной плоскости, а в конкретной точке задаются начальные значения для всех искомых функций (а также для производных в случае присутствия в системе производных не только первого порядка). А после этого исследовался вопрос: па каких координатных плоскостях и для каких искомых функций (а также и для производных в отмеченном выше случае) надо задать начальные значения, чтобы получившаяся задача имела единственное аналитическое решение. При исследовании сходимости рядов, решающих некоторые из возникающих при таком подходе задал, было доказано существование и единственность аналитического решения у простейшей обобщенной задачи Коши (ОЗК) с данными на двух поверхностях.

Другое обобщение ЗК связано с увеличением числа поверхностей, несущих начальные (граничные) условия, а также введение в систему особенностей. Это не просто формальные математические обобщения. Они обусловлены наличием содержательных приложений для таких обобщений.

Как отдельный самостоятельный объект исследования ОЗК была рассмотрена СЛ. Соболевым |94, 95] и H.A. Леднёвым [76]. К сожалению, пх результаты, фундаментальные для теории нелинейных аналитических уравнений с частными производными, оказались в течение многих лет не востребованными в приложениях.

Работы В.М. Тешукова [97, 99, 100, 102| дали "вторую жизнь" ОЗК. Оказалось, что многие важные и трудные задачи газовой динамики, связанные с построением аналитических течений, состыкованных между собой через ударные волны, с точки зрения теории уравнений с частными производными являются ОЗК. В них начальные (граничные) условия для разных функций заданы на двух разных поверхностях.

Еще одно направление обобщения задачи Коши и теоремы Ковалевской связано с тем, что предполагается равным нулю определитель матрицы, стоящей перед вектором производных, выводящих с поверхности, несущей начальные данные. В этом случае записать систему в нормальном виде невозможно и возникает характеристическая задача Коши (ХЗК). Соответствующий аналог теоремы Ковалевской для ХЗК доказан С.П. Баутпиым |6].

Особо следует отметить различие задачи Кошп, характеристической и обобщенной задач Коши с точки зрения пх приложений к решению содержательных задач газовой динамики. Это, несомненно, является следствием пх отличия как краевых задач для систем уравнений с частными производными.

1. Задача Коши: для всех искомых газодинамических параметров при t = 0 заданы начальные данные. Требуется построить течение газа при t > 0. Существование п единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема Ковалевской [67].

2. Характеристическая задача Коши: из точки х = .го в момент времени t = t.() начинает плавное движение в однородном покоящемся газе непроницаемый поршень по закону х = xp(t), .х'р(0) = xq , .7:^(0) = 0, r/;"(0) ^ 0. т.е. начальное значение скорости поршня совпадает со скоростью газа в точке х = хо в момент времени t = 0. По фоновому течению из точки .г = .г(1 начнет распространяться слабый разрыв - звуковая характеристика. Требуется построить при /, > 0 течение в области между характеристикой и траекторией движения поршня. Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная C.I I. Баутппым

3. Обобщенная задача Коши: из точки х — Хц в момент времени t — О непроницаемый поршень резко вдвигается в однородны]'] покоящийся га:;, т.е. начальное значение скорости поршня строго больше нуля. Г1о однородному покоящемуся газу из точки г — т*о начнет распространяться ударная волна с траекторией движения х = ф(£), ф(0) = х{) , ф'(0) > .г^(0) > 0, которая заранее неизвестна. Требуется определить траекторию движения ударной волны и все течение газа в области между ударной волной и поршнем. Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная В.М. Тешуковым [97].

Эти три задачи и отражают газодинамическую суть различия задачи Коши, характеристической и обобщенной задач Коши.

В данной диссертации решения ОЗК, в том числе с особеннос тью, строятся в виде кратных рядов по степеням независимых переменных, доказывается сходимость рядов. Построенные решения используются для описания течений газа с ударными волнами.

В диссертации рассмотрены ОЗК в случаях, когда граничные условия заданы на двух и па трех поверхностях. Решения всех рассмотренных задач строятся в классе аналитических функций. Естественно, что не всегда у поставленной задачи имеется аналитическое решение и часто необходимо искать решение с меньшей гладкостью или с особенностью. Нахождение производных произвольного порядка может оказаться достаточно трудоемким делом. Однако использование степенных рядов в качестве первого шага исследования более чем оправдано. Да и на последующих этапах (построение кусочно-составных решений, выделение у решения различных особенностей и т.п.) бесконечные ряды оказываются полезным инструментом.

Описание систем уравнений с частными производными ограничивается квазилинейным случаем без общей нелинейной ситуации. Это представляется оправданным, поскольку для любой нелинейной системы ее продолжение уже при однократном дифференцировании приводит к квазилинейной системе, а используемая при этом операция дифференцирования не выводит из рассматриваемого класса аналитических уравнений и решений.

Кроме того, рассмотрение ограничивается системами, в которые входят производные только первого порядка: стандартным для теории дифференциальных уравнений введением дополнительных искомых функций система с производными любого порядка сводится к эквивалентной с точки зрения аналитических решений системе с производными только первого порядка.

В диссертации рассматриваются ОЗК с данными на двух и на 'трех поверхностях для квазилинейной аналитической системы, а также ОЗК с дано ными па двух поверхностях для квазилинейной системы, имеющей особенности. Кроме того, рассматриваются некоторые задачи газовой динамики, математическое описание которых сводится к ОЗК.

В качестве примера сформулируем две задачи, исследуемые в диссертации:

1. Обобщенная задача Коши с данными на двух поверхностях

Рассматривается квазилинейная система с частными производными в случае п неизвестных функции, зависящих от двух независимых переменных

Ах(х, ?у, и)и,; + Л2(.г-, у, и)и(/ = Цх, у, и),

Здесь и = (н1^,. ,'и/"))1 - вектор-столбец искомых функций: х, у - независимые неременные; А\{х, и), Ао(х, у, и) - матрицы размерности п х п ; у. и) = ., - вектор-функция.

На двух разных поверхностях ф\(х,у) = 0, ф2(х,у) = 0 ставятся для неизвестных функции и п граничных условий

ФДж, у., и)(.к,гу)=о = 0, г = 1,.

ФДж, у, и)\ф2(х,у)=о = 0, 2 = р + 1,., га; I < р < п - I, где Фг(.г, у, и), г = 1,., щ ф\(х, у), 02(ж, у) - заданные функции своих аргументов. Данная задача есть обобщенная задача Коши с данными па двух поверхностях в случае п неизвестных функций, зависящих от двух независимых переменных.

2. Обобщенная задача Коши с данными на трех поверхностях в случае трех неизвестных функций

Рассматривается квазилинейная система уравнений с час тными производными в случае трех неизвестных функций, зависящих от трех независимых переменных

Аг(х, и)и,; + А2(х, и)и, + Л3(х, и)и, = ^х, и).

Здесь И = (м, г;, ги)г - вектор-столбец неизвестных функций; х = (гг./у, г) - вектор независимых переменных; Лх(х, II), у4.2(х, II), Л;5(х, и) матрицы размерности 3x3; Г(х.и) £

На трех разных поверхностях ф\(х. у, г) = 0, ф?(х, у, г) = 0, ф-л(х, /у. = 0 ставятся для неизвестных функций и, V, и; три граничных условия

Ф^ж, г/, и, V, т)\ф1{л.^)=[) = 0,

Ф2(ж, у, г, и, V, = 0,

Ф3(ж, у, г, и, V, из) |^(.С1//,-)=о = 0. где Ф] (х,у, г, и, Ф2{х,у, г:и,у,т), Ф 3(х,у,г,и,у,1и); (^(.т, ;гу, г), ф2{х,у ф:](х, /у. г) - заданные функции своих аргументов. Данная задача есть обобщенпая задача Коши с данными на трех поверхностях для трех неизвестных функции, зависящих от трех независимых переменных.

Также в диссертации исследованы течения газа в окрестности оси или центра симметрии с расходящимися ударными волнами, в том числе, построены решения задачи о распаде разрыва, сосредоточенного в особой точке, в случае конфигурации Б и задачи о неавтомодельном безударном сжатии сферического, пли цилиндрического объема газа с последующим возникновением ударной волны, имеющей конечную скорость движения. Кроме того, показано, что газодинамические задачи о резком вдвижении в газ непроницаемого поршня и о распаде произвольного квазиодномерного разрыва в случае конфигурации Б, ранее решенные В.М. Тешуковым, сводятся к теоремам, представленным в диссертации. Повторить результаты В.М. Тешукова. 1! том числе с использованием "физических" переменных, предложил в свое время А.Ф. Сидоров.

Решение сформулированных в дайной диссертации ОЗК производится по единой методике. Эта методика состоит из следующих основных моментов.

1. При помощи замены независимых переменных и искомых функции поверхности, несущие начальные данные, выбираются за новые координатные плоскости.

2. Исследуется и реализуется возможность замены искомых функций таким образом, чтобы либо начальные данные приводились к однородному виду, или чтобы система уравнений приводилась к диагональному виду.

3. Решение ОЗК строится в виде рядов по степеням тех независимых переменных, па координатных плоскостях которых поставлены граничные условия. Выписываются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения коэффициентов рядов.

4. Вычисляются определители этих СЛАУ и тем самым находятся необходимые п достаточные условия существования н единственности решения в виде формальных степенных рядов.

5. Решения СЛАУ, из которых определяются коэффициенты рядов, находятся в явном виде. При этом с увеличением числа поверхностей, несущих граничные условия, эти системы сильно усложняются. Метод преодоления возникающих алгебраических трудностей основан методах Гаусса и Крамера и использует нетривиальные приемы, разные для разных задач.

6. Сходимость построенных рядов доказывается методом мажорант, при этом определяются достаточные условия сходимости наиболее широкие из возможных.

7. Формулы для коэффициентов рядов анализируются, условия существования аналитического решения преобразуются к удобному виду, в котором требуют для проверки выполнения конечного числа арифметических операций.

8. Строятся примеры типа Адамара, показывающие, что получить необходимые и достаточные условия аналитической разрешимости ОЗК невозможно. А также показывающие, что при невыполнении полученных достаточных условии сходимости ряды могут расходиться.

Описание течений газа с ударными волнами в рамках ОЗК также привело к некоторой единой методике, которая состоит из следующих основных моментов.

1. Введение вместо декартовой системы координат другой координатной системы, обусловленной конкретной геометрической и газодинамической конфигурацией течений.

2. При построения течений с ударными волнами в окрестности оси пли центра симметрии с помощью вырожденной замены переменной раскрытие конкретных особенностей решения.

3. С помощью естественных для теории уравнении с частными производными замен независимых переменных и искомых функций сведение к ОЗК тех краевых задач, решения которых описывают течения газа с ударными волнами. Особо подчеркнем, что предлагаемые замены не требуют априорных знаний из газовой динамики специальных свойств решений.

4. Проверка для полученных ОЗК выполнимости достаточных условии существования и единственности аналитического решения у одного из доказанных в диссертации аналогов теоремы Ковалевской.

Для работ по исследованию краевых задач для нелинейных уравнении с частными производными, встречающихся при математическом описании движения сплошной среды, можно выделить следующие разделы: задача Коипг. теория Рикье; характеристическая задача Коши; обобщенная задача Коник аналитическое описание разрывных течений газа. Кроме того, ниже обсуждаются некоторые вопросы терминологии.

Задача Коши. Для нелинейных систем уравнении с частными производными классическим результатом является теорема Ковалевской. В работах [G7, 122] строится решение в виде степенных рядов,, фактически являющихся рядами Тейлора. Коэффициенты рядов рекуррентпо определяются в явном виде из алгебраических уравнений. Локальная сходимость рядов доказывается методом мажорант. Приведен пример, который показывает, что аналитическое решение задачи Коши, вообще говоря, существует только для систем, имеющих тип Ковалевской. Это означает, что для каждой искомой функции (рь ее выводящая с несущей начальные данные поверхности производная максимального порядка обязательно присутствует в левой части À;-го уравнения системы и ее порядок не меньше порядка остальных производных в данном уравнении.

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши в шкалах банаховых пространств являются современными аналогами теоремы Ковалевской. Первой такой теоремой является теорема JI.В. Овсянникова [82] для линейного уравнения с сингулярным оператором в правой части. Затем обобщение теоремы Ковалевской доказал Ж.Ф. Трев [133. 134]. Общая теорема Л.В. Овсянникова опубликована в [83]. Также теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нелинейных сингулярных операторов доказаны Л. Нпренбергом [80,126] и Т. Нишидой |127]. Требования теоремы Л.В. Овсянникова | S3 J представляются априори более жесткими, чем условия теоремы теоремы Трева-Ниренберга-Нишиды, однако С.С!. Титов [111] установил их эквивалентность. Также в работах С.С. Титова [i 11 И4[ доказаны новые аналоги теоремы Ковалевской для систем не типа Ковалевской. С их помощью решен ряд задач математической физики. В статьях [114, 132] результаты третьей и четвертой глав из работы [И1| обобщены в направлении нелокалыюсти путем отказа от слишком обременительных предположений, ограничений и гипотез с получением новых теорем существования, в том числе для системы Навье-Стокса.

Теория Рикье. Теория ортономпых систем Рикье содержит условия совместности уравнений с частными производными. Задаются начальные значении неизвестных функций в точке и исследуется вопрос о том. при каких условиях существует решение и какова степень его произвола. Конструктивное построение решения при этом не производится. Данная методика может привести к различным краевым задачам, в том числе к обобщенно]"! задаче4 Коши. Результаты Ш. Рикье были улучшены российским математиком Н.М. Гюптером [40, 41] и обобщены Дж. Томасом [130, L3J].

Детали этой методики выходят за рамки диссертации, однако отметим следующее. В случае, когда уравнений больше, чем искомых функций, метод Рикье. впоследствии развитый Н.М. Гюнтером, Дж. Томасом, а также Жане, Рпттом п др. (см. [90, с. 5-6, с. 74]), лег в основу метода Ж а н е -Спенсера-Кураниши исследования на совместность систем дифференциальных уравнений [90].

Алгоритм исследования по методу Жане-Спенсера-Кураинпш отличается от метода внешних форм Картана |117] исследования систем уравнений с частными производными на совместность. Естественно, что оба ме тода исследования на совместность эквивалентны с точки зрения окончательного результата и оба требуют больших скрупулезных вычислении, связанных с анализом достаточно громоздких формул.

Монография Ш. Рикъе, изданная почти сто лет назад в Париже на французском языке, и статьи Дж. Томаса являются библиографическими редкостями. Изложение некоторых положений теории Рикье с обобщениями Томаса можно найти в книге С.П. Финикова [117].

Характеристическая задача Коши. Одной из важных с точки зрения приложений разновидностей задачи Коши для системы типа Ковалевской является характеристическая задача Коши. Она возникает в случаях, когда, во-первых, ставится задача Коши, т.е. на конкретной поверхности задаются начальные данные для всех искомых функций. Во-вторых, по заданным начальным данным из системы дифференциальных уравнений невозможно определить выводящие с несущей начальные данные поверхности производные всех искомых функций. Эта ситуация возникает, когда обращается в пуль определитель матрицы, которая стоит перед вектором выводящих производных [79]. Существуют два различных типа таких задач: 1) в решении задачи есть дополнительный функциональный произвол; 2) произвол в решении задачи отсутствует, т.е. задача имеет единственное решение.

Для характеристической задачи Коши первого типа в случае линейных гиперболических систем В.М. Бабич [1, 2], Д. Людвиг [123], Р. Курант |73] разработали метод представления решений в виде обобщенной бегущей волны - бесконечного ряда по специальным системам функций, зависящим от (/?, где ср — 0 - уравнение характеристической поверхности исходной линейной гиперболической системы. Фактически этот метод есть постановка характеристической задачи Коши для линейной задачи и представление рр решения в виде специальных рядов. При соответствующей замене независимых неременных данные ряды становятся обычными рядами Тейлора, коэффициенты которых последовательно определяются из рекуррентных соотношений. Некоторые из этих соотношений являются алгебраическими, другие обыкновенными дифференциальными уравнениями. В случае аналитичности входных данных задачи В.М. Бабич [2] и Д. Людвиг [123] доказали сходимость этих рядов в малом. Д. Людвиг свел вопрос о сходимости обобщенной бегущей волны к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для этого случая Дж. Дафф |120] и Д. Людвиг [123] доказали соответствующие аналоги теоремы Ковалевской. Характеристическая задача Коши для линейной системы рассмотрена также в |77].

В нелинейном случае для системы уравнений газовой динамики постановки конкретных характеристических задач Коши в ситуации, когда данные на характеристике взяты из однородного движения с; постоянной скоростью, впервые рассмотрены в A.A. Дородницыным [42]. В работе [42] для описания сверхзвуковых двумерных стационарных течений решение поставленной характеристической за,дачи Кошн построено в виде бесконечных рядов в случае, когда у части рядов коэффициенты определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. И поэтому решение такой характеристической задачи Коши обладает дополнительным произволом. A.A. Дородницыным не только построены ряды, решающие рассмотренные задачи, но и доказана их сходимость.

Позже работы A.A. Дородницына [42] в работе E.II. Зубова и А.Ф. Сидорова [45], а также в работах А.Ф. Сидорова [88, 89] предложен метод построения решения конкретных задач, возникающих в газовой динамике, в виде формальных степенных рядов (в последующем названных авторами характеристическими рядами). Начальные данные в рассмотренных задачах ставились на звуковых характеристиках, примыкающих к однородному покою. Коэффициенты рядов рекуррентно определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Сходимость построенных формальных рядов в работах E.II. Зубова, А.Ф. Сидорова не была доказана. Как обобщенная бегущая волна, так и характеристические ряды являются решениями соответствующих характеристических задач Коши. Характеристические ряды при стандартной замене переменных становятся обычным рядами Тейлора с рекуррентно-определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов из работ [45,88,89] доказана С.П. Баутиным [3,6,7].

Теорема существования и единственности аналитического решения характеристической задачи Коши стандартного вида в общем случае квазилинейной аналитической системы доказана С.П. Баутиным [3,6].

Доказательство существования аналитических решений у нелинейных уравнений с частными производными в случаях, когда одна из рассматриваемых задач фактически является характеристической задачей Коши с дополнительным произволом в решении, имеются в работах В.А. Куликовского [75| и В.М. Тешукова [96, 98 1011.

Характеристическая задача Коши второго типа не содержит дополнительного произвола в решении. В работе .П.В. Овсянникова [81] доказана сходимость ряда,, описывающего стационарное осеспмметричное течение Мейера в окрестности оси симметрии, на которой система уравнений имеет известную особенность: 1 /г . Коэффициенты ряда определялись из разрешенной в явном виде системы линейных алгебраических уравнений, поэтому дополнительного произвола в решении данной задачи нет. С точки зрения теории уравнений с частными производными рассмотренная в работе |81] задача является характеристической задачей Коши, поскольку при указанных условиях за пуляется коэффициент перед выводящей производной.

Близкая к задаче из работы [81] как о точки зрения отсутствия дополнительного произвола в решении, так и по методике доказательства сходимости рядов, решающих ее, задача возникает при описании тепловых волн, распространяющихся по холодному фону [22] и являющихся решениями нелинейного уравнения теплопроводности.

Применение методологии характеристических рядов к построению тепловых волн предложено А.Ф. Сидоровым [91]. В работе С.Г1. Баутина [11] при заданной произвольной аналитической функции а(£), определяющей фронт движения тепловой волны, доказаны существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности, а также приведено обобщение данного результата как на многомерный случай, так п па другие уравнения параболического типа. В работе А.Ф. Сидорова [92] сформулирована теорема о существовании тепловой волны при заданном специальном краевом режиме, однако эта теорема осталась недоказанной (см. [93|). В работах С.П. Баутина [22, 23] доказаны существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности (в том числе многомерного) при заданном произвольном аналитическом краевом режиме с отличной от нуля в момент t — 0 производной по времени. Построение тепловых волн в течениях теплопроводного вязкого газа приведено в работе С.П. Баутина [13).

С.С. Титовым [110] при рациональных значениях константы а. являющейся показателем степени в нелинейном коэффициенте теплопроводности. 15 плоско-, цилиндрически- и сферически-симметричных случаях в виде- специальных рядов построены решения задачи о тепловой волне с заданным фронтом, обладающие на фронте тепловой волны конкретными особенностями. Показано, что сходимость этих рядов следует из приведенной теоремы С.П. Баутина.

В работах С.С. Титова [105, 106], С.С. Титова и В.А. Устинова |115| приведены примеры точных решении нелинейного уравнения теплопроводное! и в виде специальных многочленов. С.С. Титовым [107] также получены решения нелинейного уравнения теплопроводности для симметричного случая в виде сходящихся логарифмических рядов.

Обобщенная задача Коши. Одним из возможных обобщений задачи Коши является краевая задача, в которой начальные (граничные) условия для разных функций заданы не на одной, а на двух пли нескольких поверхностях.

Результаты Мерея-Рикье и Н.М. Гюнтера. Впервые обобщение задачи Коши па случай, когда начальные (граничные) условия для неизвестных фупкций заданы на разных поверхностях, встречается в работах французских математиков III. Мерея и Ш. Рикье ¡125, 129]. Ими рассмотрена краевая задача, фактически являющаяся обобщенной задачей Коши с данными па двух поверхностях для нелинейного уравнения второго порядка. В частности, получены первые (весьма узкие) достаточные условия существования и единственности аналитического решения данной задачи, названной в последствии H.A. Леднёвым [76] обобщенной за,дачей Коши. В работе Н.М. Гюнтера (411 эта задача исследована более подробно и результат Мерея и Рикье усилен. В своей работе [411 Н.М. Гюнтер не только в явном виде решил СЛАУ, из которых определяются коэффициенты формальных рядов решения рассматриваемой задачи, но и детально исследовал определители возникших СЛАУ.

Результаты С.Л. Соболева. В работах С.Л. Соболева [94, 95) рассмотрена задача, именуемая автором задачей Гурса, являющаяся фактически обобщенной задачей Коши сданными на двух поверхностях для нелинейной системы с произвольным числом неизвестных функций. Число уравнений равно числу неизвестных функций и числу граничных условий. Причем для части искомых функций граничные условия заданы на одной координатной осп, а для остальных - на другой. В исходной нелинейной системе выделена "главная часть", связанная с производными, т.е. с точки зрения построения формального решения система фактически сведена к квазилинейной.

С.Л. Соболев не только проанализировал структуру СЛАУ, из которых определяются коэффициенты формальных рядов п показал пх разрешимость. Им также исследованы определители этих систем и фактически уста по в. юны необходимые и достаточные условия существования формального решения у рассмотренной задачи. При этом одновременное приведение к диагональному виду двух матриц, стоящих перед векторами производных по х и по /у. существенно облегчает выкладки.

Результаты H.A. Ледиёва. Термин обобщенная задача Коши предложен именно H.A. Леднёвым [76]. Им рассмотрена краевая задача для нелинейной системы уравнений с частными производными в случае, когда данные для искомых функций заданы па произвольном числе координатных гиперплоскостей, и на каждой такой гиперплоскости данные заданы для произвольного числа искомых функций.

В обобщенной задаче Коши коэффициенты степенных рядов, задающих решения, определяются не из явных соотношений (как в задаче Коши для системы, записанной в нормальном виде), а из систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому условия существования аналитического решения должны содержать условия как существования формального решения в виде формальных рядов (разрешимости соответствующих СЛАУ), так и сходпмости формальных рядов.

Теорема H.A. Леднёва (как и теоремы С.Л. Соболева) также обеспечивает и существование формальных рядов и их сходимость. Однако условия H.A. Леднёва, как в общем случае и условия С.Л. Соболева, неконструктивны. Для ix)го чтобы ими воспользоваться, исследователю необходимо самому проделать весьма сложную и кропотливую дополнительную работу по подбору значении , при которых собственные числа характеристической матрицы задачи по модулю меньше единицы.

Результаты В.М. Тешукова. С точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными рассмотренные В.М. Тегпуко-вьгм [97, 99, 100| задачи с ударными волнами являются обобщенными задачами Коши для квазилинейной системы первого порядка. Для обозначения этих задач В.М. Тешуков использовал термины задача Гурса (нехарактерп-стическая) |97] пли обобщенная задача Гурса [100[. В.М. Тешуков рассмотрел [97, 99, 100] обобщенные задачи Коши с данными на двух поверхностях для аналитической системы в случаях различного числа неизвестных функций, зависящих от четырех независимых переменных. Для всех рассмотренных задач выписаны и разрешены в явном виде системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов рядов. Также в явном виде выписаны определители этих систем. Тем самым, фактически выписаны необходимые и достаточные условия существования формального решения и проверена их выполнимость для рассматриваемой задачи. Для доказательства сходимости формальных рядов по виду исходной системы и с учетом формул, задающих коэффициенты рядов, строятся мажорантные задачи п показывается, что они имеют аналитические, мажорирующие нуль решения. Полученные достаточные условия сходимости рядов являются для рассмотренных задач наиболее широкими из возможных.

Обобщенная задача Коши в линейном случае рассматривается также в работах III. Мерея [124[, К. Вагию [135|, К. Игари [121[.

ОЗК для уравнений газовой динамики с условиями на границах, пересекающихся в звуковых точках, рассмотрена Р.Г. Баранцевым [-119].

Аналитическое описание разрывных течений газа. Одним из содержательных приложений теории уравнений с частными производными является решение задач механики сплошной среды, в частности газовой динамики. Общеизвестно, что фоновые (невозмущенные) течения газа строятся при решении задачи Коши с помощью теоремы Ковалевской (см. например, [84], (86|).

Если в начальный момент времени параметры газа непрерывны, по рву тся производные, то возникает характеристическая задача Коши. Прпмепеншо характеристической задачи Коши дл51 решения различных задач газовой динамики посвящено большое количество работ, в частности, С.П. Баутппа [3, 12, 17, 25]. В.М. Тешуковым [96, 98, 99, 101] рассмотрены задачи о распаде произвольного разрыва па криволинейной поверхности, когда но обе1 стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля в случае общих пространственных течений нормального газа. Эти задачи либо являются характеристическими задачами Коши, либо одно из составляющих искомого кусочно-аналитического решения есть решение характеристической задачи Коши. В указанных работах В.М. Тешукова не только построены решения таких характеристических задач Коши, но и доказаны их существование и единственность в классе аналитических и кусочно аналитических функций. При этом методами, отличными от примененных в [7, 8], для некоторых решений детально описана область существования решений.

Кусочно аналитические решения с сильными разрывами. Течения газа с сильными разрывами (ударными волнами) являются решениями соответствующих обобщенных задач Коши.

М.Ю. Козманов [70] в виде формальных рядов строит, возможно впервые, решение задачи о распаде произвольного одномерного разрыва в течениях I аза в случае конфигурации Б, когда возникают две ударные волны и контактный разрыв. Им [71] построено формальное решение этой задачи в случае двумерных нестационарных течений. Вопросы сходимости рядов М.Ю. Ко 5-манов не рассматривал.

В.М. Тешу ков [97, 99, 100, 102] исследовал конкретные краевые задачи для системы уравнений газовой динамики (квазилинейной системы уравнений с частными производными гиперболического типа), в которых разные области течения газа разделены сильными разрывами ударными волнами. С точки зрения общей теории дифференциальных уравнений задачи с ударными волнами, рассмотренные В.М. Тешуковым, являются обобщенными задачами Коши для квазилинейной системы первого порядка.

В.М.Тешуковым [97] решается задача о резком вдвпженпи непроницаемого поршня в га.з, в результате чего в течении газа возникает ударная волна. Им решена |99] задача о распаде произвольного разрыва для описания течения в случае возникновения двух ударных волн и контактного разрыва: строится [100] решение задачи об отражении криволинейной ударной! волны от жесткой стенки в сверхзвуковом случае. Показано, что в случае дозвуковых течений множество, где обращаются в нуль определители систем линейных алгебраических уравнений, из которых находятся коэффициенты рядов, всюду плотное па множестве изменения некоторых параметров, являющихся определяющими в рассматриваемой газодинамической задаче. Наконец, решается [102] задача о пространственном взаимодействии сильных разрывов в газе.

В работах В.М.Тешукова [97, 99, 100, 102] все исследования газодинамических задач с неодномерными ударными волнами проведены по единой оригинальной методике. А именно. Вводятся специальные криволинейные координаты, в которых поверхности, несущие граничные условия, становятся координатными гиперплоскостями. Вводятся новые неизвестные функции, граничные условия для которых являются однородными. Следует отмстить, что преобразования зависимых и независимых переменных для задач, рассмотренных в [100, 102], являются более сложными, по сравнению с задачами из [97, 99|, поскольку жесткая стенка и фронт отраженной ударной волны |Ю0] (контактный разрыв и фронт ударной волны [102]) в любой момент времени пересекаются по замкнутой кривой. Не смотря на громоздкость проведенных выкладок, для всех исследованных задач строго обоснована возможность рекуррентного построения решения и с помощью специальной модификации метода мажорант доказана, сходимость рядов. Установлена однолистность отображения. Предложенная В.М. Тешуковым методика может быть перенесена па случай общих квазилинейных аналитических систем.

В работах А.AI. Блохина [30-32] ОЗК (автор называет ее смешанной задачей) для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне в линейной и квазилинейной постановках исследуется с помощью техники диссипативных интегралов энергии.

Автомодельные решения системы уравнений газовой динамики. Одним из способов раскрытия в системе уравнений газовой динамики особенности типа

1 /г является использование автомодельных переменных. С точки зрения математического формализма вначале делается замена переменных ц = r/ta . т = t, а затем полагается д/дт = 0. Такой подход убирает особенность типа 1/г из одномерных уравнений газовой динамики |87] и существенно упрощает задачу. Применению автомодельных решений в задачах газовой динамики посвящено много работ. В том числе это труды Л.И. Седова [87]. К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана [33], С.К. Годунова и И.Л. Киреевой [38[. Е.И. Забабахина и И.Е. Забабахина [43], И.Е. Забабахнна и В.А. Симопенко [44], Я.М. Каждана [46]. С помощью некоторых автомодельных решений возможно описание течений с ударными волнами. Классическими примерами являются задачи о сильном взрыве [87] и о фокусировке волн сжатия с последующим отражением от оси или центра симметрии ударных волн |38. 43, 44, 461.

Отличие обобщенной задачи Коши от других краевых задач.

В название конкретной краевой задачи введен термин "обобщенная задача Коши" по следующим причинам. Данная задача действительно является принципиально новой по сравнению с рассмотренной ранее другими исследователями задачей Коши для систем уравнений с частными производными. Принципиальное отличие обусловлено не только тем, что в обобщенной задаче Коши граничные условия для искомых функций ставятся ira разных гиперповерхностях (что и позволяет использовать термины "обобщенная задача Кошп" [76], "задача Коши с начальными данными па разных поверхностях" [14-16, 28]). В отличие от задачи Коши в традиционной постановке для существования аналитического решения у обобщенной задачи Коши недостаточно, чтобы задача имела тип Ковалевской, была записана в нормальном виде и все входящие в нее функции были аналитическими. В обобщенной задачи Коши требуется выполнение еще некоторых дополнительных условии, которые должны обеспечить построение формального решения и обеспечить сходимость рядов. Часто для этих двух моментов условия оказываются разными.

В книге C.B. Владимирова |34, с. 221-127] вводится понятие "обобщенная задача Кошп для волнового уравнения". Однако эта задача Коши для волнового уравнения ставится традиционно: в начальны!} момент времени задаются значения искомой функции и ее производной по времени. Л вот решение этой традиционно поставленной задачи ищется в классе обобщенных функций. 'т.е. строится обобщенное решение задачи Коши. Работа Н.Л. Леднёва [76]. в которой введен термин обобщенная задача Коши. вышла значительно раньше книги [34]. И главное в ней рассмотрена новая по постановке краевая задача, действительно являющаяся обобщением задачи Кошп. Исходя из этих соображений, авторы настоящей монографии используют термин "обобщенная задача Коши" в том смысле, в каком он был впервые введен в теорию уравнений с частными производными.

Естественно, что конкретные обобщенные задачи Коши можно подразделять в зависимости от вида рассматриваемых уравнения или системы уравнении.

Особо отмстим различие в использовании терминов обобщенная задача Коши и задача Гурса.

Термин "задача "Гурса" традиционно"(см. [39], |79], ]85|) используегтся для обозначения задачи

Uj-v — f(x,y,u,ux,u„), = и(х,о) = ф(х)} у>(0) = ^(0), в которой, во-первых, дифференциальное уравнение заведомо имеет гиперболический тип с известными (в силу полулиненности уравнения) характеристиками. Во-вторых, значения единственной искомой функции заданы па двух пересекающихся линиях, которые обе по условию являются характеристиками. Подобная специфика в постановке задачи не только влечет существование и единственность решения в соответствующих функциональных пространствах, но и позволяет использовать специальные приемы (например, метод функции Римана) для исследования этой задачи.

Различие обобщенной и характеристической задач Коши [6| состоит в изначальной постановке: в обобщенной задаче Коши граничные условия для различных функций заданы для разных функций, вообще говоря, па разных гиперповерхностях; в характеристической - значения всех искомых функций на одной гиперповерхности, т.е. исследование характеристической задачи Коши начинается с постановки задачи Коши. А уже потом (по виду системы, по значениям ее коэффициентов, по свойствам матриц, входящих в систему) проверяется: будет ли поставленная задача Коши являться характеристической задачей Коши стандартного вида. Из-за указанных различий и введены разные термины для этих двух задач.

Отличие обобщенной задачи Коши от задачи, рассмотренной Ш. Рпкье, Дж. Томасом ¡129-131] и др. состоит в следующем. В обобщенной задаче Коши:

1) число неизвестных функций в задаче совпадает с числом уравнений;

2) система имеет тип Ковалевской;

3) система является нормальной, так как при подстановке в систему начальных значений в правой части каждого уравнения не появится значение I производной функции , старше!'! по отношению к производной из левой части к-го уравнения;

4) для неизвестных функций и для соответствующих производных заданы не только начальные значения (значения в точке), но и граничные условия на плоскостях, параллельных соответствующим координатным плоскостям. в виде произвольных функций от соответствующих переменных. Именно эти . граничные условия обеспечивают единственность решения в виде формальных степенных рядов.

Диссертация состоит из четырех глав.

Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена крупная научная проблема: впервые подробно исследована другая по сравнению с задачей Коши и характеристической задачей Коши краевая задача для для квазилинейных систем уравнений с час тными производными - обобщенная задача Коши. Отличие обобщенной задачи Коши от задачи Коши и от характеристической задачи Коши в традиционных постановках заключается в том, что начальные данные для разных функций ставятся на разных поверхностях.

Авторы привели постановки обобщенной задачи Коши с данными на двух и на трех поверхностях для различных квазилинейных систем первого порядка, в том числе для систем с особенностями. Для поставленных задач доказаны локальные теоремы о существовании и единственности аналитических решений, являющиеся аналогами теоремы Ковалевской в рассмотренных случаях. Решения представлены в виде бесконечных рядов с коэффициентами, рекуррентно определяемыми в явном виде при решении систем линейных алгебраических уравнений.

На основе исследования структуры коэффициентов рядов получены удобные для проверки достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемые обобщенные задачи Коши имеют единственные локально аналитические решения.

Предложена методика исследования обобщенной задачи Коши, включающая в себя замены независимых переменных, переводящие поверхности, несущие начальные данные, в координатные плоскости; замены неизвестных функций, приводящие начальные данные к однородному виду; построение решения в виде рядов по степеням независимых переменных; доказательство сходимости рядов методом мажорант; использование найденных в явном виде коэффициентов формальных рядов для получения максимально широких и вместе с тем в виде удобных для проверки достаточных условий их сходимости.

Именно в том, что решение строится в явном виде, состоит отличие подхода, предложенного в монографии, от подходов, предложенных Ш. Рикье [129| и H.A. Ледпёвым [76]. При этом системы линейных алгебраических уравнений, из которых определяются коэффициенты рядов, с увеличением числа поверхностей, несущих начальные данные, сильно усложняются. Это обстоятельство не позволило к настоящему времени исследовать обобщенную задачу Коши с данными на трех поверхностях в самом общем случае.

В диссертации приведены содержательные приложения обобщенной задачи Коши в газовой динамике. Эта краевая задача возникает при описании течений газа с сильными разрывами - ударными волнами. В книге построены кусочно-аналитические решения некоторых задач газовой динамики с ударными волнами. В том числе описаны течения газа в окрестности осп или центра симметрии с отраженными ударными волнами, распространяющимися с конечной скоростью.

1. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнении // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 21, № 3. - С. 479-481.

2. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Мат. сб. 1960. - Т. 52(94), вып. 2. - С. 709-738.

3. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Численные методы механики сплошной среды. 1973. - Т. 4, № 1. - С. 3-15.

4. Баутин С.П. Потенциальные течения газа в поле тяжести под действием поршня и распространение слабых ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. 1974. - Т. 5, № 1. - С. 5-19.

5. Баутин С.П. Использование специальных рядов для приближенного расчета движения слабых ударных волн по покоящейся неоднородной среде // Численные методы механики сплошной среды. 1975. - Т. 6, № 1. - С. 5-12.

6. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12, № 11. - С. 2052-2063.

7. Баутин С.П. Исследование области сходимости специальных рядов, решающих некоторые задачи газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды. 1978. - Т. 9, № 4. С. 5-17.

8. Баутин С.П. Сходимость логарифмического ряда, решающего одну нелинейную задачу Коши с данными на линии параболического вырождения / / Аналитические методы механики сплошной среды. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1979. - Вып. 33. - С. 4-16.

9. Баутин С.П. Схлопывание одномерной полости // Прикл. математика и механика. 1982. - Т. 46, вып. 1. - С. 50-59.

10. Ю.Баутин С.П. Одномерное истечение газа в вакуум // Численные методы механики сплошной среды. 1983. - Т. 14, № 4. - С. 3-20.

11. Баутин С.П. Применение характеристических рядов для представления решений нелинейных уравнений параболического типа в окрестности линии вырождения // Численные методы механики сплошной среды. 1985. - Т. 16, № 5. - С. 16-28.

12. Баутин С.П. Сведение некоторых задач газовой динамики к характеристической задаче Коши стандартного вида // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1987. - С. 4-22.

13. Баутин С.П. Представление решений системы уравнений Навье-Стокса с помощью характеристических рядов // Динамика сплошной среды. 1987. - Вып. 83. - С. 11-31.

14. Баутин С.П. Задача Коши с начальными данными на разных поверхностях // Докл. РАН. 1995. - Т. 345, № 5. - С. 586-589.

15. Баутин С.П. Одна задача Коши с начальными данными на разных поверхностях, возникающая в газовой динамике // Актуальные вопросы современной математики. Новосибирск: НИИ МИОО НГУ. - 1995. - Т 1. -С. 31-42.

16. Баутин С.П. Задача Коши с начальными данными на разных поверхностях для квазилинейной аналитической системы // Дифферснц. уравнения.- 1996. Т.32, № 6. - С. 804-813.

17. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, Сиб отделение. 1997. 160 с.

18. Баутин С.П. Возникновение градиентной катастрофы при фокусировке на ось или в центр симметрии воли сжатия и разрежения. Екатеринбург. 1999.- С. 1 30. Деп. в ВИНИТИ 18.01.99, № 109-В99.

19. Баутин С.П. Задача Рикье и характеристическая задача Коши. Библиографический обзор. Екатеринбург. 1999. С. 1-75. - Деп. в ВИНИТИ 23.09.99, № 2908-В99.

20. Баутин С.П. Задача о резком вдвижении поршня в газ как задача Рикье. Екатеринбург. 2001. С. 1-37. - Деп. в ВИНИТИ 06.03.01, N° 590-В2001.

21. Баутин С.П. Математическое исследование безударного сжатия газа // Успехи механики. 2002. Т. 1, № 2. - С. 3-36.

22. Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. М.: Фпзматлпт. 2003. - 88 с.

23. Баутин С.П. Тепловая волна, порожденная заданным краевым режимом // Докл. РАН. 2003. - Т. 391, № 3. - С. 327-330.

24. Баутин С.П. Математическое моделирование сильного сжатия газа. Новосибирск: Наука. 2007. 312 с.

25. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, Сиб отделение. 2005. -390 с.

26. Баутин С.П., Казаков А.Л. Некоторые течения газа в окрестности оси или центра симметрии с отраженными ударными волнами // Докл. РАН. -1996. Т. 347, № 2. - С. 195-198.

27. Баутин С.П., Казаков А.Л. Течения газа с ударными волнами, расходящимися от оси или центра симметрии с конечной скоростью // Прпк.ч. математика и механика.- 1996.- Т. 60, вып. 3. С. 465-474.

28. Баутин С.П., Казаков А.Л. Одна задача Коши с начальными данными на разных поверхностях для системы с особенностью // Изв. вузов. Математика. 1997. № 10(425). - С. 13-23.

29. Баутин С.П., Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения.- Новосибирск: Наука. 2006. 399 с.

30. Блохин A.M. Оценка интеграла энергии смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями па ударной волне// Сиб. мат. журн. 1981. - Т. 22, № 4. - С. 23-51.

31. Блохин A.M. Единственность классического решения смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне// Сиб. мат. журн. 1982. - Т. 23, № 5. - С. 17-30.

32. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986. - 240 с.

33. Брушлинский К.В., Каждая Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // Успехи мат. наук. 1963. - Т. 18, № 2 (110). - С. 3-23.

34. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.- 512 с.

35. Вейерштрасс К. Письма к С. Ковалевской. М.: Наука. 1973. - 168 с.

36. Годунов С.К. Лекции по уравнениям математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1966. - 60 с.

37. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. - Т. 47(89), вып. 3. - С.271-306.

38. Годунов С.К., Киреева И.Л. О некоторых автомодельных движениях идеального газа // Журн. вычислител. математики и мат. физики. 1968.- Т. 8, № 2. С. 374-392.

39. ЗЭ.Гурса Э. Курс математического анализа. М. -Л.: Гос. техн. -теор. изд-во. 1933. - Т. 2, 4.2. - 287 с.

40. Гюнтер Н.М. Об аналитических решениях уравнения jf^ = Дат, у, к, g, 0, 0) // Мат. сб. 1925. - Т. 32. - С. 26-42.

41. Гюнтер Н.М. О распространении теоремы Коши на любую систему уравнений в частных производных // Мат. сб. 1925. - Т. 32. - С. 367-447.

42. Каждан Я.М. Сферический разлет газа к центру. М., 1969. - 46 с. -(Прспр. / Ин-т прикладной математики; № 2).353

43. Казаков А.Л. Один контрпример для задачи Коши с начальными данными на разных поверхностях. Екатеринбург. 1995. Деп. в ВИНИТИ 15.12.95, № 3347-В-95. - С. 1-26.

44. Казаков А. Л. Фокусировка на ось или в центр симметрии неавтомодельноп волны сжатия с последующим отражением ударной волны. Екатеринбург. 1995. Деп. в ВИНИТИ 7.05.1996. № 1504-В96. - С. 1-58.

45. Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и се приложения в газовой динамике:- Дне. . канд. физ. -мат. наук. Екатеринбург. 1996. - 98 с.

46. Казаков А.Л. Построение кусочно- аналитических течений газа, состыкованных через ударные волны, вблизи оси или центра симметрии // Прикл. механика и техн. физика. 1998. № 5. - С. 25-38.

47. Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши с данными на двух поверхностях. Екатеринбург. 2004. - С. 1-93. Деп. в ВИНИТИ 28.05.04, № 903-В2004. -С. 1-93.

48. Казаков А.Л. Некоторые течения газа с ударными волнами в пневматических магистралях железнодорожного транспорта // Транспорт "Урала. -2004. № 2. - С. 70-74.

49. Казаков А.Л. Некоторые течения газа с ударными волнами, являющиеся решениями обобщенных задач Коши // Вычислительные технологии // Вести. КазНУ. 2004. - Т. 9, № 3(42). - С. 278-286.

50. Казаков А.Л. Об аналитических решениях обобщенной задачи Копти с данными на трех поверхностях. Екатеринбург. 2005. Деп. в ВИНИТИ 03.02.05. № 165 -В2005. - С. 1-70.

51. Казаков А.Л. Об одной обобщенной задаче Коши с данными па трех поверхностях. Екатеринбург. 2005. Деп. в ВИНИТИ 11.05.05, № 676-В2005.1. С. 1 48.

52. Казаков А.Л. Задача о распаде разрыва в случае конфигурации Б как обобщенная задача Коши // Проблемы прикладной математики. Екатеринбург: УрГУПС, 2006. - С. 104-186.

53. Казаков А.Л. Об аналитических решениях обобщенной задачи Когпн с данными на трех поверхностях для квазилинейной аналитической системы // Сттб. мат. журн. 2006. - Т. 47, № 2. - С. 301-315.

54. Казаков А.Л. Построение аналитических решений одной обобщенной задачи Копти с данными на трех поверхностях.// Изв. вузов. Математика. -2007. № 8. - С. 81.

55. Казаков A. JI. Обобщенная задача Коши с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы // Сиб. мат. журн. 2007. -Т. 48, № 5. - С. 1041-1055.

56. Казаков А.Л. Применение метода диагонализации для построения аналитических решений обобщенной задачи с данными на трех поверхностях // Проблемы прикладной математики и механики. Екатеринбург: УрГУПС. - 2007,- С. 286-310.

57. Казаков А. Л. Обобщенная задача Коши с данными на двух характеристиках // Проблемы прикладной математики и механики. Т 1. Екатеринбург: УрГУПС. - 2007. - С. 310-325.

58. Казаков А.Л. Построение решений обобщенной задачи Коши с данными на трех поверхностях в классе аналитических функций // Сиб. жури, индустриальной математики. 2008 (принята к публикации).

59. Казаков А.Л. Неавтомодельное безударное сжатие симметричного объема газа // Вычислительные технологии. 2008 (принята к публикации).

60. Казаков А.Л. Построение полей течений газа за фронтом расходящейся ударной волны в задаче о сферически- или цилиндрически-симметричном неавтомоделыюм сжатии // Вычислительные технологии. 2008 (принята к публикации).

61. Клейн Ф. История математики в XIX столетии. М.: Наука. 1989. - 454 с.

62. Ковалевская C.B. Научные труды. К теории дифференциальных уравнений с частными производными. М.: изд-во АН СССР. 1948. - 368 с.

63. Козманов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка с двумя переменными // Прикл. математика и механика. 1975. - Т. 39, вып. 2. - С. 253-259.

64. Козманов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для систем квазилинейных уравнений первого порядка // Численные методы механики сплошной среды. 1976. - Т. 7, № 2. - С. 44-53.

65. Козманов М.Ю. К задаче о распаде произвольного разрыва // Численные методы механики сплошной среды. 1977. - Т. 8, N2 2. - С. 45-52.

66. Козманов М.Ю. К задаче о распаде двумерного разрыва // Численные методы механики сплошной среды. 1978. - Т. 9, № 2. С. 60-75.

67. Коковихина О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Численные методы механики сплошной среды. 1984. - Т. 15, № 3. С. 72-84.

68. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964. - 830 с.

69. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во иностр. лит. 1950. - 426 с.

70. Куликовский В.А. Задача Коши для квазилинейной системы при наличии характеристических точек на начальной поверхности // Прикл. математика и механика. 1985. - Т. 49, вып. 2. - С. 258-266.

71. Леднёв H.A. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными // Мат. сб. 1948. - Вып. 2. - С. 205-266.

72. JIepe Ж., Гординг JL, Котаки Т. Задача Коши. М.: Мир. 1967. - 152 с.

73. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -- М.: Наука. 1970. 904 с.

74. Математическия энциклопедия.- М.: Сов. энциклопедия. 1982. Т 3. 1183 с.

75. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. - 232 с.

76. Овсянников Л.В. О сходимости ряда Мейера для осесимметричного сопла // Мартенсен Е., фон Зенгбуш Р. Расчет околозвуковой части плоских и осесимметричных сопел с криволинейной линией перехода. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. С. 41-43.

77. Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1965. - Т. 163, № 4. - С. 819-822.

78. Овсянников Л.В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1971. - Т. 200. - С. 789-792.

79. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.

80. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз. 1961. 400 с.

81. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1968. - 529 с.

82. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1981. - 448 с.

83. Сидоров А.Ф. Метод решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых ударных воли // Прикл. математика и механика. 1972. - Т. 36, вып. 3. - С. 426-434.

84. Сидоров А.Ф. О решении некоторых краевых задач в теории потенциальных течений газа и распространение слабых ударных волн // Докл. АН СССР. 1972. - Т. 204, j\» 4. - С. 803-806.

85. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984. -272 с.

86. Сидоров А.Ф. О некоторых аналитических представлениях нелинейного уравнения нестационарной фильтрации многофазной несжимаемой жидкости // Численные методы механики сплошной среды. 1984. - Т. 15, № 2. -С. 121- 133.

87. Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 280, № 1. - С. 47-51.

88. Сидоров А.Ф. Избр. тр. Математика. Механика: М.: Физматлит, 2001. -576 с.

89. Соболев С.Л. Об аналитических решениях систем уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1931. - Т. 38, вып. 1-2. С. 107-147.

90. Соболев С.Л. К вопросу об аналитических решениях систем уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными // Тр. физико-математического института им. В.А.Стеклова. 1934. - Т. 5. - С. 265-282.

91. Тешуков В.М. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды. 1977. - Вып. 32.- С. 82-94.

92. Тешуков В.М. Построение фронта ударной волны в пространственной задаче о поршне // Динамика сплошной среды. 1978. Вып. 33. - С. 114— 133.

93. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях газа // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 39. - С. 102-118.

94. Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1980, № 2. - С. 126-133.

95. ЮО.Тешуков В.М. О регулярном отражении ударной волны от жесткой стенки // Прикладная математика и механика. 1982. - Т. 46, вып.2. С. 225-234.

96. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Римана и Прандтля-Майера // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1982, № 4. - С. 98-106.

97. Тешуков В.М. Пространственное взаимодействие сильных разрывов в газе // Прикладная математика и механика. 1986. - Т. 50, вып.4. С. 225 234.

98. ЮЗ.Титов С.С. Решение периодических задач Коши с помощью тригонометрических рядов // Численные методы механики сплошной среды. 1978. Т. 9, № 2. С. 112-124.

99. Титов С.С. Разложение решений нелинейных уравнений в двойные ряды // Диффереиц. уравнения. 1978. - Т. 14, № 10. - С. 1844-1850.

100. Титов С.С. Решение двумерного уравнения фильтрации газа в виде многочлена по пространственным переменным // Динамика многофазных сред.- Новосибирск: ИТПМ СО СССР, 1981. С. 291-293.

101. Юб.Титов С.С. Точные решения многомерного уравнения фильтрации в виде обобщенного многочлена // Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО СССР, 1983. С. 287-290.

102. Титов С.С. Представление решений нелинейного осесиммстрпческого уравнения фильтрации газа в виде логарифмического ряда // Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 68. - С. 132-144.

103. Титов С.С. Асимптотика некоторых функций, описывающих сферически-симметричный разлет газа в вакум // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды. -Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР. 1987. С. 113-118.

104. ЮЭ.Титов С.С. О нелинейных уравнениях типа Фукса // Динамика сплошной среды. 1994. Вып. 109. - С. 109 122.

105. Ю.Титов С.С. О движении фронта нелинейной фиффузии // Прикл. механика и тех. физика. 1996. - Т. 37, № 4. - С. 113-118.

106. Ш.Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Екатеринбург: УралГАХА. 1999. - 264 с.

107. Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах. I // Изв. вузов. Математика. 2000. - № 1(452). - С. 66-76.

108. ПЗ.Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полпалгеб-рах. II // Изв. вузов. Математика. 2000. - № 6(457). - С. 45-52.

109. Титов С.С. Нелокальные решения задачи Коши в шкалах банаховых полиалгебр // Тр. института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: УрО РАН. - Т.9, № 2. - 2003. - С. 64-70.

110. Титов С.С., Устинов В.А. Исследование многочленных решений уравнения фильтрации газа с целым показателем адиабаты // Приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УНЦ All СССР, 1985. - С. 64-70.

111. Пб.Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука. 1977. 735 с.

112. Фиииков С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.;Л.: ОГИЗ. 1948. - 432 с.

113. Thomas J.M. Riquier's existence theorem // Annals of Mathematics. 19281929. - Vol. 30, № 3-4. - P. 285-310.

114. Thomas J.M. Riquier's existence theorem // Annals of Mathematics. 1934. - Vol. 35, № 2. - P. 306-311.

115. Titov S.S. Non-local Solutions of the Cauchy Problem in Scales of Analytic Polyalgebras // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2003. -Suppl. 2. - P. 148-172.

116. Treves F. On the theory of linear partial differential operators with analytic coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 137. 1969. P. 1-20.

117. Treves F. An abstract nonlinear Cauchy-Kovalevska theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. - Vol. 50. - P. 77 - 92.

118. Wagschal C. Une generalisation du problème de Goursat pour des systèmes d'équations integro-differentielles holomorphes ou partiellement holomorphcs // Math, pures et appl. 1974. - Vol. 53, № 2. - P. 99-132.