Особый интеграл, интеграл типа Коши с непрерывной плотностью и краевая задача Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Предварительные сведения и обозначения.

ГЛАВА П. Интеграл типа Коши

§ I. Об Основной лемме Привалова И.И. для интегралов типа Коши.

§ 2. Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши в замкнутой области

ГЛАВА Ш. Особый интеграл.

§ I. О теореме Заманского М.М.

§ 2. Оценки для особого интеграла.

ГЛАВА 1У. Краевая задача Римана.

В настоящей работе исследуется особый интеграл Коши, интеграл типа Коши и краевая задача Римана.

В первой главе введены необходимые обозначения и приведены используемые в дальнейшем сведения. Часть этих утверждений доказана, а часть приведена без доказательств с указанием источника, где эти доказательства могут быть найдены.

Все утверждения из этой главы названы леммами, хотя многие приводимые результаты являются довольно значительными достижениями в соответствующих областях. Это, на наш взгляд, оправдано тем, что в данной работе они носят вспомогательный характер.

Утверждения и обозначения имеют двойную нумерацию: первое число показывает номер главы, второе - порядковый номер утверждения или обозначения внутри этой главы.

Во второй главе исследован интеграл типа Коши, который является основным математическим аппаратом при решении непрерывных и кусочно-непрерывных граничных задач теории аналитических функций. f

Пусть £ - замкнутая жорданова спрямляемая кривая (з.ж.с.к.), а /е Су ( С^ - множество непрерывных на f функций).

Рассмотрим интеграл типа Коши

FW.+rf-M-dt. zi,

2П J ? - 2 0

If

Важным является вопрос о непрерывной продолжимости на £ (изнутри или извне) функции в зависимости от функции плотности f и кривой интегрирования /f . Начало исследованиям, посвященным этому вопросу, было положено работами Сохоцкого Ю.В.,

Гарнака А., Племеля И. (см. [ 22 ] ).

После основополагающих работ Привалова И.И. (Г23]) и Мусхе-лишвили Н.И. ([22 ] ), сформировался классический результат, подводящий итог всем предыдущим исследованиям: функция F(&) непрерывно продолжима на f изнутри и извне, если jf - кусочно-гладкая кривая и ^ ( Н^ - множество функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ote (0,1] ).

В дальнейшем последний результат обобщался в работах Магна-радзе Л.Г. ([ 21] ), Давыдова Н.А. ([ 12]), Гегелия Т.Г. ([ 22]), Бабаева А.А. ([ I ],[ 2 ]), Тамразова П.М. ([36 ]), Салаева В.В. (Г 27J), Геруса О.Ф. (ГИ ]) и других.

Если, следуя [25] или [ 20 ] , ввести сле,пующие обозначения:

В±(Ю = wes ( wes X обозначает линейную меру Лебега измеримого множества X с Jf ),

9(Ю = sup Q (S) , §,(&) =в,(Г)-вШ, iejf t ■ t то можно сформулировать наиболее общее достаточное условие непрерывной продолжимости F (2) на jf , полученное независимо друг от друга Дынькиным Е.М. ([13]) и Салимовым Т.С. ([29 ]): если J - з.ж.с.к., f е Су и то F(i) непрерывно продолжима на jf изнутри и извне и верны формулы Сохоцкого Ю.В.:

I) S г~с±\ / t кю- ко ,

4 где F (i) , F (i) - граничные значения , соответственно, изнутри и извне ^ , а

0)£($) = Ssupr1 SUp , &>0 . f Нг-Ь21**

Достаточное условие для непрерывной продолжимости интеграла типа Коши F(jO на jf , в несколько иных терминах было получено Гончаром А.А. и Григоряном Л.Д. ( [ 10]): для непрерывной продолжимости на гладкую жорданову кривую jf , достаточно, чтобы

Е/^Г )<<*>, (2) где через j>n (jf) обозначено наилучшее приближение f на Jf (в равномерной метрике) посредством рациональных функций порядка не выше П с полюсами вне jf .

Несмотря на достаточно большое количество исследований, посвященных вопросу о непрерывной продолжимости F(Sr) на jf , необходимые и достаточные условия найдены только Салаевым В.В. (T26J ), который, используя громоздкий метод трансфинитной индукции, показал, что, если jf - замкнутая кусочно-гладкая кривая без точек возврата (в доказательстве этот факт существенен), f Е Cj» , то FC2) непрерывно продолжима на jf изнутри или извне тогда и только тогда, когда интеграл J

J ь r\h(u сходится равномерно по i е jf при 8 -* 0 .

Во второй главе последний результат обобщен на широкий класс негладких кривых, причем доказательство проще, чем соответствующее доказательство Салаева В.В. (в частности, трансфинитная индукция, не используется). Рассмотрен также случай произвольной з^ж.с.к.

В первом параграфе, при дополнительных условиях на функцию ^ , несколько уточняется основная лемма Привалова И.И. (лемма 2.1). Далее, во втором параграфе, на основе этого уточнения доказывается следующее необходимое условие непрерывной продолжимости на )[ .

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть jf - з.ж.с.к., f € Cf . Тогда, если интеграл типа Коши непрерывно продолжим на jf изнутри или извне, то интеграл

- 7 сходится равномерно по i е Т при £->0

Если кривая ^ такова, что = , то это условие также и достаточно для непрерывной продолжимости F(30 на If .

ТЕОРЕМ 2.3. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой = 0($) . Тогда интеграл типа Коши FOO непрерывно продолжим на f изнутри и извне тогда и только тогда, когда интеграл

-<75 сходится равномерно по I е f при £ -+0

Нам неизвестно, остается ли верной теорема 2.3. в случае произвольной з.ж.с.к. Для этого случая получен следующий результат

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть f - з.ж.с.к., Су . Тогда интеграл типа Коши F(i) непрерывно продолжим на jf изнутри и извне тогда и только тогда, когда существует неотрицательная функция (X^fe) , £ >0 , удовлетворяющая следующим условиям:

1) йт =

->0 Т

2) для любого ё >0 и любых Z jf и /е^" таких, что I $ -{ 14 &/2 » выполняется соотношение

I , | ^ оЛ>сг; f(i),C)(i)>sO f(.i) = 0(fli))*3C>o IHeSSfOSg f(V * С

При этом граничные значения изнутри FW и извне Ftt) функции FOO определяются формулами (I).

Третья глава посвящена изучению особого интеграла Коши. Пусть ^ - з.ж.с.к., Рассмотрим особый интеграл

Коши Г где jf » а интеграл в правой части понимается в смысле главного значения по Коши.

Хорошо известна связь между интегралом типа Коши FOO и особым интегралом Коши, которую вскрывает основная лемма Прива

ГТТ лова И.И.: существование почти всюду £(i) эквивалентно существованию почти всюду угловых граничных значений /"(*) изнутри и извне и при этом для почти всех /б f верны формулы (I).

В силу классической теоремы Племеля И.-Привалова Й.И.(Г22 3 ), если jf - гладкая кривая и £ в Н^ ( 0 < * 1 ) ,то при 0 < оС < 1 f е Н^ , а при 1 происходит логарифмическая потеря, то есть для любого ? У 0 и .

В дальнейшем теорема Племеля-Привалова для более широкого класса кривых и некоторые ее обобщения доказывались в работах Магнарадзе Л.Г. (Г21 ]), Давыдова И.А. (Г 12 3), Гегелия Т.Г. ([22 3), Бабаева А.А. (С 13~[ 3 3), Салаева В.В. (Г27 3 ), Там-разова П.М. (Г35 3,Г36 3), Геруса О.Ф. (С IlJ), Дынькша Е.М. (CI3J) Салимова Т.С. (Г29 3)» В то же время ни в одной из этих работ не исследовался вопрос о нахождении необходимых и достагр точных условий непрерывности особого интеграла £ ({) . Такое условие было получено Заманским М.М. (Г44 ] ) и Салаевым В.В. ([26 ] ), соответственно, для случаев, когда кривая интегрирования fr - окружность и кусочно-гладкая кривая без точек возврата.

В первом параграфе показано, что условие, приведенное в [44 J и [26 ] , является необходимым и достаточным для непрегр рывности f (г) ив случае негладких кривых, то есть верна

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Г - з.ж.с.к., у которой 8( . У гр f € Cj- . Тогда, чтобы особый интеграл f(i") был непрерывен на £ , необходимо и достаточно, чтобы интеграл t МhM-b

J (\tett) сходился равномерно по 4 Е ]f при 8 0 •

При доказательстве этой теоремы используются следующие результаты, представляющие самостоятельный интерес.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой Q(S) = , /в Ср . Тогда интеграл типа Коши F(i )е Ер , ps (0, ooj ( Ер - классы Смирнова В.И.).

Далее, на основе теорем 2.3, 3.2 и 3.3 устанавливается ТЕОРЕМА 3.5. (основная) Пусть £ - з.ж.с.к., у которой 9(Ю и С^ . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I. Интеграл типа Коши г

- 10 непрерывно продолжим на jf изнутри и извне.

2. Угловые граничные значения интеграла типа Коши изнутри или извне jf почти всюду совпадают с некоторой непрерывной на jf функцией.

3. Особый интеграл Коши

If непрерывен на jf 4. Интеграл сходится равномерно по i £ jf при б-*-0 .

Принципиально важным обобщением теоремы Племеля И.-Привалова И.И. является оценка модуля непрерывности особого интеграла Коши t) через модуль непрерывности функции плотности .

Впервые такая оценка была получена Зигмундом А. (Г14Д), точнее верна

ТЕОРЕМА (Зигмунд А.) Пусть £ - единичная окружность, fsC^ и a/fir)

А,

•f СО

Тогда /го е С/г и верна оценка

- II $ or

0 * где С - постоянная, не зависящая от j! .

Для особого интеграла Коши по гладкой кривой эта оценка была доказана Магнарадзе Л.Г. (С 213 ). В терминах введенных ими же характеристик кривой , Бабаев А.А. и

Салаев В.В. ([ 4 ] ) получили оценку типа оценки Зигмунда А. в случае произвольной з.ж.с.к., из которой, в частности, вытекает оценка Зигмунда А. для кривых, у которых отношение небольшей из длин дуг, стягивающих любые две точки к длине хорды, соединяющей эти же точки, ограничено сверху. Телесный аналог этой оценки было получено Тамразовым П.М. (Г 35],[ 361). Впоследствии подобные оценки получались в терминах характеристики 9(ft") (или ее аналогов) Салаевым В.В. (Г 27]), Герусом О.Ф. (ГП ] ), Дынькиным Е.М. ([13 ]), Салимовым Т.С. (Г29 ]). Из оценки Са-лаева В.В. следует, что если jf - з.ж.с.к., у которой

- О (Ю , то на этой кривой верна оценка Зигмунда А.

В совместной работе [7 3 Бари Н.К. и Стечкин С.Б. рассмотрели вопрос о точности оценки Зигмунда А. и доказали, что верна

ТЕОРЕМА. Пусть jf - единичная окружность, if> - модуль непрерывности. Тогда, при г:-= +00 О существует функция С|» такая, что ^(fr) г—I и f Ц) е С^ , а при

Г W» J J —=-< + 0° О существует функция ^е такая, что 0)^(8) ^ и Яо $ где С - абсолютная постоянная.

Объединением оценки Зигмунда А. и теоремы Бари Н.К. - Стеч-кина получается

ТЕОРЕМА (Зигмунд А.- Бари Н.К. - Стечкин С.Б.). Пусть f -единичная окружность, . Тогда для того, чтобы соЛП - 0(П =? ьу (О = Oiftty т т необходимо и достаточно, чтобы о 5 О J s

Последняя теорема была перенесена Салаевым В.В. на случай з.ж.с.к. - j* , у которой 5(0 = и касательная к <Г непрерывна хотя бы в одной точке, а оценка типа обратной оценки Бари Н.К. - Стечкина С.Б. была получена Салимовым Т.С.

Эти результаты показывают, что если - з.ж.с.к., у которой 9 (£) =■ 0 (&) , то знание модуля непрерывности функции f позволяет получить подробную информацию о модуле непрерывности гр функции 1 . В то же время Салаевым В.В. (Г26]) показано, что существуют кусочно-гладкая кривая и функция С^ такие, что d

-- - +00 0 гр a f (i) e Сд*

В связи с вышеизложенными результатами возникает задача о нахождении новых отличных от модуля непрерывности, естественных для рассматриваемого круга вопросов, характеристик непрерывных функций и изучения особого интеграла Коши в терминах этих характеристик. В этом направлении отметим работу Салаева В.В. и Исса Р.Б. (CI6J), в которой вводится класс S^ , состоящий из функций f , fs Ср , таких, что интеграл J

Г\ГМ) сходится равномерно по i е: £ при £-*0 . Далее, для функции ^е S^ определяется характеристика aco-fsupr-'aipl f Ь-fr ^ ief в терминах которой для з.ж.с.к. без точек возврата и такой, у которой = 0(B) , изучается поведение особого ин-^ теграла Коши и строится шкала инвариантных относительно /\ •• -f функциональных пространств , среди которых имеются пространства отличные от инвариантных пространств Ну . Аналогичные результаты в случае разомкнутого контура (удовлетворяющего условию = 0(&) ) были получены Селимом М.С. ([32 ]).

Во втором параграфе третьей главы в терминах пары характеристик (са>^ , функции f устанавливаются оценки для этих же характеристик функции £ . Эти оценки приведены в теореме 3.6. ТЕОРЕМА 3.6. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой Q(£) = 0(S), fsSf. Тогда.для любого (0,d] верны неравенства a) d f i где постоянные Cf и Сг зависят разве лишь от jf .

Отметим, что эти оценки проще соответствующих оценок работы С 32J и обобщают их. Из теоремы 3.6 получено

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой 9(f>) = = 0(S) , feSp . Тогда Sr

ТЕОРЕМА 3.6 позволяет строить новые, инвариантные относительл ПР но особого интегрального оператора А : f f пространст

- 15 ва -gy , определяемые следующим образом

Zp * I /е 5r 1 c^ff) - OQftb)) = 0(у> f ft)} и со

2y> Cr tefo.di W) J ?(*) ' где ij> - модуль непрерывности, a d/ = sup li-^j teef

Верна

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть f - з.ж.с.к., у которой в(Ю *()($), /е С^ , у ~ модуль непрерывности и d В

Тогда особый интегральный оператор * £ ограниченно действует из 2 у в .

Отметим, что если jf - гладкая кривая, то класс Sp содержит функции ^ , £ е Ср , с сколь угодно "медленно" стремящимися к нулю модулями непрерывности (Г 9 1, Г 10 1).

Если же f - произвольная з.ж.с.к., то S f содержит все функции £ , С^ , удовлетворяющие условию d

Г ) л

J * , tfg < +оо о s

С Г 13 Л , Г 29 J).

- 16

Четвертая глава посвящена применению полученных результатов к решению краевой задачи Римана.

Пусть Y — з.ж.с.к. Обозначим, как обычно, через и , соответственно, внутренность и внешность ft .

Функцию ф (?) будем называть кусочно-аналитической функцией с линией скачков jf , если: а) ф(ъ) - аналитична в jf+ и непрерывна в £ * ; б) ф(2) - аналитична в (включая ?=со ) и непрерывна в Г; в) ф(оо) = о

Пусть G- е Су » причем (r(i)^O для любого

Задача Римана. Найти кусочно-аналитическую функцию с линией скачков f , удовлетворяющую в каждой точке линейному соотношению

Задачу Римана в такой постановке будем называть неоднородной непрерывной краевой задачей, а функцию - ее непрерывным решением.

При (r(t) £ / задача Римана называется задачей о скачке, а при - однородной задачей Римана.

Развивая и продолжая идеи предыдущих исследований, Гахов Ф.Д. (Г 8 2) ввел понятие иццекса задачи и с помощью этого понятия дал полное решение как однородной, так и неоднородной задач Римана в интегралах типа Коши в классических предположениях: ft* - простая замкнутая гладкая кривая, £, ^ 6 j-j^ и для любого {€.]* , (r(i) ? О

В дальнейшем результаты Гахова Ф.Д. обобщались в работах

Симоненко И.В., Хведелидзе Б.В., Иванова В.В. и др. (полный перечень этих работ имеется в Г 8 3 ,С 22 1, Г 41 1 ).

Из работ, близких к теме данной диссертации отметим работу Бабаева А.А. и Салаева В.В. Г 6 1 , в которой непрерывная крае-задача Римана решена на произвольной з.ж.с.к. при условии, что коэффициенты Q , (j удовлетворяют естественному обобщенному условию Дини.

В классах непрерывных функций, не описываемых в терминах модулей непрерывности эта задача рассматривалась в работах Исса Р.Б. ( Г151), Селима М.С. ([ 311). В первой работе, в случае, з.ж.с.к. без точек возврата и удовлетворяющей условию в(Ю ~ 0($) , ослаблены условия на коэффициенты С- , (j , а во второй - аналогичные результаты получены в случае разомкнутой ж. С.к., у которой as 0($)

Отметим также недавние результаты Каца ([193), в которых непрерывная задача Римана решена при очень обших предположениях на линию скачка, которая, вообще говоря, может быть и не спрямляемой. Решение задачи выражается в плоских интегралах, которые являются естественными обобщениями интеграла типа Коши.

В то же время до сих пор оставалась нерешенной следующая проблема, поставленная Гаховым Ф.Д. (Г 8 3 , стр.146): при каких минимальных условиях на коэффициенты £("0 и Cj(i) задача Римана имеет непрерывное решение.

В главе 1У эта проблема полностью решена в случае задачи о скачке и однородной задачи Римана.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть ^ - з.ж.с.к., у которой О(^) *

Су . Тогда для существования непрерывного решения задачи о скачке необходимо и достаточно, чтобы | е S^ .

Решением задачи является функция г

ТЕОРЕМ 4.2. Пусть f - з.ж.с.к., у которой 9(&)= 0(Ъ), fy и для любого % ief. Ш фО f ЭС * 2nd £СО «0 .

Тогда, чтобы однородная задача Римана имела непрерывное решение, необходимо и достаточно, чтобы 6п G- S. Sy

При условии <р foo) =1 решение дается функцией tf

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть - з.ж.с.к., у которой Of= 0(Ь)9 Q е ty , и для любого if е G(i)t0,2C = Ш G(i) >0 Тогда, чтобы однородная задача Римана имела 2С+/ линейно независимых непрерывных решений необходимо и достаточно, чтобы

Ьп Q б

Эти решения определяются формулами Г

Km.^Hdrf-^Ф1*)

If к = оУи ., к)

- 19

При К < 0 задача не разрешима. Для случая неоднородной задачи Римана получены следующие результаты

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой Q(S) = 0(К) $■>9 и для любого i^jf (r(i) ^ О , (n(r€=$f и оо

Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общим непрерывным решением является функция

I * О

3) где р (г) - полином с произвольными коэффициентами, а

Х(г) = Л fiP(-5T / f fTi-« i^pij-fA^ai

2ffi J

ТЕОРЕМА 4.5. Пусть f - з.ж.с.к., у которой Q(&) s 0(5), gt(}GCf и для любого G(t)$ 0, 9e*0, d

Ufi (Ю .

-Г:--< +00 .

0 g

Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общее непрерывное решение определяется формулой (3).

Автор выражает искреннюю признательность Бабаеву А.А., Салаеву В.В. за постоянное внимание.

- 21

1. Бабаев А.А. Об особом интеграле с непрерывной плотностью.-"Уч.зап." Азерб.ун-та, сер.физ.-мат.наук, 1965, № 5, с.11-23.

2. Бабаев А.А. Некоторые свойства особого интеграла с непрерывной плотностью и приложения.- ДАН СССР, 1966, 168, № 2, с.255' 258.

3. Бабаев А.А. Некоторые оценки для особого интеграла.- ДАН СССР, 1966, 170, № 5, c.I003-I005.

4. Бабаев А.А., Салаев В.В. Об одном аналоге теоремы Племе-ля-Привалова в случае негладких кривых и приложения.- ДАН СССР, 1965, 161, № 2, с.267-269.

5. Бабаев А.А., Салаев В.В. Одномерный сингулярный оператор с непрерывной плотностью по замкнутой кривой.- ДАН СССР, 1973, 209, № б, с.1257-1260.

6. Бабаев А.А., Салаев В.В. Краевые задачи и сингулярные уравнения на спрямляемом контуре.- Матем.заметки, 1982, 31, № 4, с.571-580.

7. Бари- Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций.- Тр.Матем.общества, 1956, 5, с.483-521.

8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- Изд.3-е, М., 1977, 640с.

9. Гончар А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями.- ДАН СССР, 1955, 100, № 2.

10. Гончар А.А., Григорян Л.Д. Об оценках нормы голоморфной составляющей мероморфной функции.- Матем.сб., 1976, 99 (X4I),4, с.634-638.1.. Герус О.Ф. Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Коши.- Укр.матем.журн., 1978, 30, № 5, с.594-601.

11. Давыдов Н.А. Непрерывность интеграла типа Коши в замкнутой области.- ДАН СССР, 1949, 64, № 6, с.759-762.

12. Дынькин Е.М. Гладкости интегралов типа Коши.- Зап.науч. сем.по теор.функ.ЛОМИ, 1979, 92, с.115-133.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.- М. 1965, т.1, 538с.

14. Исса Р.Б. К теории краевой задачи Римана,- Уч.зап.МВ и ССО Азерб.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1978, № 2, с.

15. Исса Р.Б., Салаев В.В. Об одном классе пространств непрерывных функций, связанных с особым интегралом Коши по замкнутой кривой.- Уч.зап. MB и ССО Азерб.ССР, 1977, № I.

16. Камке Е. Интеграл Лебега-Стильтьесса.- М. 1959,

17. Кац Б.А. Об условиях разрешимости однородной задачи Римана на негладкой кривой бесконечной длины.- Известия вузов, математика, 1982, № 6, 75-77.

18. Кац Б.А. Краевая задача Римана на неспрямляемой жордано-вой кривой.- ДАН СССР, 1982, 267, № 4, с.789-792.

19. Кулиев Т.К. Шкала многомерных сингулярных интегралов из нижнего класса Коши по замкнутым негладким многообразиям.- Деп. ВИНИТИ № 990-76, 1976, 23с.

20. Магнарадзе Л.Г. Об одном обобщении теоремы Племеля-При-валова.- Сообщ. АН Груз.ССР, 1947, УШ, № 8, с.509-516.

21. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-Изд. 3-е, М., 1968, 511с.

22. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций.-Изд. 2-е, М.-Л., 1950, 336с.

23. Салаев В.В. Многомерный сингулярный интеграл по замкнутым негладким многообразиям в пространствах непрерывных функций.-Деп. в ВИНИТИ, № 1843-74, 18с.

24. Салаев В.В. Поведение интеграла типа Коши вблизи контура- 90 интегрирования.- В сб. прик.мат.вузов Азерб.ССР, 1974, № I.

25. Салаев В.В. Сингулярные операторы в пространствах непрерывных функций,- Докторская диссертация, Баку, 1975.

26. Салаев В,В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой,- Мат.заметки, 1976, 19, № 3,с.365-380.

27. Салимов Т.С. 0 теореме Племеля-Привалова.- В сб.: Научные труды MB и ССО Азерб.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, № 3, с.102-113.

28. Салимов Т.С. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой,- В сб. Научные труды MB и ССО Азерб.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, № 5, с.59-75.

29. Салимов Т.С, Обратная оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой.- Материалы науч.конф.аспир.АН Аз.ССР, 1980, с.242-245.

30. Селим М.С. Неоднородная задача Римана на негладкой разомкнутой кривой,- В сб. Научные труды MB и ССО Азерб.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, № 5, с.17-23.

31. Селим М.С. Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши вплоть до разомкнутой негладкой кривой.-Науч.труды MB и ССО Азерб.ССР, сер.физ.-мат., 1979, № 3, с.92-101,

32. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом.- ДАН СССР, 1959, 124, № 2, с.278-281.

33. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана и Римана-Газемана с непрерывным коэффициентом.- В сб. Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного, М., 1961,с.380-389,

34. Тамразов П.М. Контурные и телесные структурные свойстваголоморфных функций комплексного переменного.- Успехи мат.наук, 1973, 28, I (169).

35. Тамразов П.М. Гладкости и полиномиальные приближения.-Киев, 1975, 272с.

36. Токов А.О. О краевой задаче Римана.- В сб. Нелокальные краевые задачи для нагруженых уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа, Нальчик, 1982, с.218-224.

37. Токов А.О. О непрерывности особого интеграла и интеграла типа Коши.- Деп. в АзНИЙНТИ № 135-Аз-Д83, 14с.

38. ЗУмаркин Г.Ц. Свойства аналитических функций, представи-мых интегралами типа Коши-Стильтьеса и типа Коши-Лебега.Из в. АН Арм.ССР, сер .физ. -мат. наук, 1963, Т.ХУ1, №5, с.23-45.

39. Хавин В.П. Граничные свойства интеграла типа Коши и гармонически сопряженных функций в областях со спрямляемой границей.- Мат.сб., 1965, 68, № 4, с.499-517.

40. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр.Тбил.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1956, 23, с.З-158.

41. Хведелидзе Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной.- В сб.Современ.пробл.математики, М., 1975, 7, с.5-162.

42. CarCeman Т. Sur & resotuiion de ceriaines equations integrates. Arkiv for ma\astr.och.fys.,Bcl. I9&2 , I6; N 2.6

43. Zamansky M.M. Sur С approximation des functions continues. Compbes Rendus Sciences, iQ4:9 ,228 ,c.460-461.

44. ResoMiM des conjectures de CaPderon ei espaces de Hardy generalises (d'apres Coif man R., Aavid Mtfniosh A,, Meyer У.) Bony Уеап-MCchei, Jsterisgue", 1982 7jr 92-93, c. 293-300.