Приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА

1.1. Об оценках погрешности аппроксимации некоторых интегральных операторов

1.2.0 сходимости используемых приближенных схем для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ

2.1. Приближенное вычисление интеграла типа Коши во внутренности контура

2.2. Пример приближенного вычисления интеграла типа

Коши по улитке Паскаля

2.3. Приближенное вычисление интеграла типа Коши во внешности контура

2.4. Пример приближенного вычисления интеграла типа

Коши во внешности эллипса

2.5. Об оценке погрешности вычисления интеграла типа Коши в случае замены функции, задающей конформное отображение, ее приближением

ГЛАВА 3. О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1. О приближенном решении краевой задачи Гильберта для аналитических функций

3.2. Оценка погрешности приближенного решения задачи Гильберта 49 3.3.0 приближенном решении обобщенной краевой задачи типа Гильберта для аналитических функций

3.4. Об оценке погрешности решения интегрального уравнения Фредгольма, связанного с обобщенной задачей Гильберта

3.5.0 приближенном решении краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций

3.6. Об оценке погрешности приближенного метода решения краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций

3.7.0 приближенном решении некоторых задач теории упругости

ГЛАВА 4.0 ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТИПА РИМАНА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И БИАНАЛИТИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

4.1. О приближенном решении краевой задачи Римана для аналитических функций

4.2. О приближенном решении обобщенной краевой задачи типа Римана для аналитических функций

4.3. О приближенном решении краевой задачи типа

Римана для бианалитических функций

4.4. Об оценке погрешности приближенного метода решения краевой задачи типа Римана для бианалитических функций

Данная диссертационная работа посвящена разработке приближенных методов решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианали-тических функций.

Полианалитической функцией порядка и (и-аналитической) в некоторой области D называется ( [4], [16], [82], [117], [129], [130]) функция

F(z)=U{x,y)+iV(x,y) комплексного переменного z = x + iy, которая имеет в D частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению dnF(z) dz

-П 0, где д 1 v д . д Л — + i — дх ду дифференциальный оператор Коши-Римана, dz, 2 neNfn> 2.

Полианалитическая функция порядка п- 2 называется бианалитической. Действительная и мнимая части бианалитической функции являются бигар-моническими функциями.

Одна из основных краевых задач типа Гильберта (см. [16], с. 301, или [106], с. 165) для бианалитических функций может быть сформулирована следующим образом.

Пусть простой замкнутый гладкий контур L ограничивает конечную односвязную область D , а

Требуется определить в области D+ бианалитическую функцию F{z) = u{x,y) + iv{x,y), непрерывно продолжающуюся на контур L вместе со своими частными производными первого порядка, по краевым условиям: чди , ч dv ох ох ди a2(t)-+ b2(t) dv t),

0.1) ду ду где ak{t),bk{t),ck{t) (£ = 1,2)- заданные наL действительные функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (3-&)-го порядка, причем [ак (/)] 2+ [bk (/)] 2= 1 на L.

Одна из основных краевых задач типа Римана (см. [16], с. 316, или [106], с. 86) для бианалитических функций может быть сформулирована так: найти все кусочно бианалитические функции F±{z) с линией скачков L, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим краевым условиям ох ох ду ду где Gk{t), gk (t) (к = 1,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (3-к), причем Gk{t)* 0 на L.

Впервые задача (0.1) в случае, когда область D+ - круг или рациональный образ круга, была исследована в работах B.C. Рогожина [107]-[108], М.П. Ганина [15], а задача (0.2) впервые была решена в работе К.М.Расулова [82]. В течение последних десятилетий опубликовано достаточно большое количество работ (см. [106] и имеющуюся там библиографию), посвященных исследованию линейных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений. Однако методы точных решений задач (0.1) и (0.2) в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами были получены недавно в работах К.М.Расулова [81]-[106].

В классе аналитических функций приближенные методы решения краевых задач Римана и Гильберта рассматривались в работах А.В.Батырева [5], В.В.Иванова [34]-[37], В.Н.Русака [109]-[111] и других. С задачей поиска приближенных методов решения краевых задач тесно связана задача поиска методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Этой проблеме посвящены работы Б.Г. Габдулхаева [10]-[14], З.Пресдорфа [75], С.М. Белоцерковского и И.К. Лифанова [6], [63], А.В.Джишкариани [24], В.Д. Диденко и В.М. Мацкула [27] и некоторые другие ([41], [66]. Однако многие важные задачи математической физики и механики сплошной среды (см. например, [16], [42], [69]), приводятся к краевым задачам для бигармонических и бианалитических функций и, в первую очередь, к задачам вида (0.1) и (0.2) . Поэтому разработка приближенных методов для решения краевых- задач в классах бианалитических и бигармонических функций является актуальной задачей.

В настоящей диссертации предлагается приближенный метод решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций, опирающийся на оригинальные методы приближенного вычисления интегралов типа Коши и интегральных уравнений Фредгольма с ядрами специального вида. Все результаты доведены до программ на языках Mathcad и Maple.

Перейдем к изложению полученных результатов.

Первая глава «Об одном методе приближенного решения уравнений Фредгольма второго рода» состоит из двух разделов. В ней общий подход к приближенным методам решения линейных уравнений, предложенный Ж.П. Обэном ([73]), применяется к приближенному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Предлагаемая схема построения приближенного решения такого уравнения заключается в следующем. Интегральное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений. Находится решение этой системы. По этому решению строится кубический сплайн, который и является приближенным решением рассматриваемого уравнения. Исследуются условия устойчивости и сходимости такой схемы.

В первом разделе дается описание используемой вычислительной схемы приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма и доказывается ее устойчивость.

Пусть X - банахово пространство. Для приближения его элементов используется следующая конструкция. Рассматривается последовательность банаховых пространств {Хп}. Связь между пространствами Хп и пространством X задается при помощи последовательности операторов Тн (п = 1,2,.) следующим образом

ТпХ = Хп. (0.3)

В качестве оператора Тп мы будем рассматривать оператор, который строится следующим образом.

Разобьем отрезок \a,b\ на п равных частей. Положим h = -—= а + h, t2 = а + 2h,., tn =■а + nh = b. Пусть f(t) - функция из п рассматриваемого класса. Тогда Tn(f) есть вектор следующего вида: (/(/J,/(/2),.,/(О)

Во втором разделе доказывается сходимость используемых приближенных схем и оценивается порядок этой сходимости. Получены следующие основные результаты. Рассмотрим интегральное уравнение ь f{t)+\K(t,T)f(T)dT = q(t). (0.4) а

Будем предполагать, что уравнение (0.4) является однозначно разрешимым. В силу нашего предположения о свойствах ядра K(t,r) решение уравнения

0.4) также будет принадлежать классу СА[а,ь]. Имеет место следующая

Теорема 1.6. Пусть дано интегральное уравнение (0.4), где функция q(t)eC4[a,b], a K(t,T) - функция, имеющая в квадрате непрерывные частные производные до четвёртого порядка включительно. Заменим его системой линейных уравнений, применяя для дискретизации ядра формулу Симпсона. В качестве приближенного решения возьмем кубический сплайн, построенный по решению системы линейных уравнений. Тогда приближенное решение уравнения (0.4) сходится к точному решению в пространстве С\аф\, причем порядок сходимости равен 3.

Рассмотрим теперь следующее уравнение в пространстве X

Af = q, (0.5) где А ■- линейный оператор.

Уравнение (0.5) будем называть точным уравнением, а его решения -точными решениями.

Последовательностью приближенных уравнений для уравнения (0.5), следуя В.А. Треногину ([122]), будем называть последовательность

Anfn=qn, (0.6) где qn - элемент Хп.

Последовательность задач решения уравнений (0.6) называется приближенной схемой решения уравнения (0.5).

Вторая глава посвящена методам приближенного вычисления интегралов типа Коши.

Интегралы типа Коши нашли широкое применение в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды. Свойства этих интегралов достаточно хорошо изучены, однако как пишет в своей монографии «Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида» Г.Н. Пыхтеев, «методы их вычисления развиты слабо по сравнению с методами вычисления обычных интегралов Римана». В монографии [79], а также в работах [77]-[78] рассматриваются некоторые приемы вычисления интегралов типа Коши с плотностью специального вида для случая, когда контур интегрирования есть окружность или отрезок прямой.

Один из известных способов вычисления интегралов типа Коши состоит в замене плотности некоторым интерполяционным полиномом. Для случая окружности этот способ рассматривался, в частности, в работах Б.Г. Габдул-хаева [10] - [15], В.В. Иванова ([41], с. 159-163), для других классов контуров в работах В.А. Золотаревского и его учеников ([32], [33], [67]), В.К. Дзя-дыка [25], [26], М. И. Исраилова и Р. Джуракулова [42], а также в работах [127], [132], [133], [139], [140], [141], [142].

Большое число работ посвящено исследованию квадратурных формул для приближенного вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши. К ним относятся работы В.В. Иванова [38]-[41], И.К. Лифанова [64], Д.Г. Са-никидзе [112]-[115], М.А. Шешко [121]-[124].

Предлагаемый нами метод приближенного вычисления интеграла типа Коши ориентирован на использование современных систем компьютерной алгебры. На наш взгляд, он свободен от некоторых недочетов методов, указанных выше. Так, при нахождении коэффициентов интерполяционных полиномов получаются плохо обусловленные матрицы, предложенные квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов с ядром Коши приводят к очень большому объему вычислений для случая, когда плотность интеграла зависит от двух аргументов. С такой ситуацией мы встречаемся при приближенном решении обобщенных задач Гильберта и Римана для аналитических функций.

Вторая глава состоит из пяти разделов.

Первый раздел посвящен вычислению интеграла типа Коши во внутренности контура. В нем изложена сущность предлагаемого метода приближенного вычисления приближенного метода вычисления интеграла типа Коши. Она состоит в том, что интеграл типа Коши аппроксимируется квазирациональной функцией (рациональной функцией от функции, осуществляющей конформное отображение единичного круга на область D) в замкнутой области.

Для погрешности данного метода здесь получены следующие оценки. Теорема 2.1. Пусть функция f(r{s)) принадлежит классу Гелъдера Hp, функция z = y/{w), осуществляющая конформное отображение единичного круга на область D+ удовлетворяет условию: у/' (и>) непрерывна при |w| < 1.

Тогда для всякого числа J3\ такого, что 0 < /?'< /3, найдутся константы cIq и d], для которых max z<=D+^L п

Здесь и далее Ф+(z) - точное, значение интеграла типа Коши с плотностью /(т), а Ф +n{z) - его приближенное значение.

Теорема 2.2. Пусть:

1) односвязная область D+ ограничена контуром L,

2) т — - уравнение контура L, отнесенное к натуральному параметру;

3) т = t(s) дифференцируема и производная этой функции принадлежит классу Гелъдера На;

4) плотность интеграла типа Коши /(г) удовлетворяет условию: функция /'(т(б')) дифференцируема, и ее производная принадлежит классу Гелъдера Hp.

Тогда существуют константы dQ и dx, не зависящие от п, что max ze£>+ui

Ъ + \пп ар v п.

Теорема 2.3. Пусты

1) односвязная область D+ ограничена контуром L;

2) т = t(s) -уравнение контура L, отнесенное к натуральному параметру s;

3) г- r(s) m раз дифференцируема (т> 2).

4) плотность интеграла типа Коши /(г) удовлетворяет условию: функция f(r{sj) Iраз дифференцируема (1>т).

Тогда существуют константы d0 и clA, не зависящие от п, для которых имеет место соотношение

Ъ + \пп max|<r(z)-<D„+(z)|< dn v n

В разделе 2 приводится пример приближенного вычисления интеграла типа Коши по улитке Паскаля, в разделе 3 описывается приближенное вычисление интеграла типа Коши во внешности контура, а в разделе 4 приводится пример приближенного вычисления интеграла типа Коши во внешности эллипса.

Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда вместо функций, задающих конформное отображение области D на единичный круг, единичного круга на область D, приходится пользоваться их приближениями. Естественно попытаться оценить, насколько изменится погрешность, если заменить здесь функции, задающие конформное отображение рассматриваемых областей, их приближениями. Соответствующий результат приведен в пятом разделе главы 2.

Пусть Dm - последовательность ограниченных областей, содержащих D, {у/т (w)} - последовательность функций, осуществляющих конформное отображение единичного круга на Dm, - последовательность функций, осуществляющих конформное отображение Dm на единичный круг, <р(м>) функция, осуществляющая конформное отображение единичного круга на

D.

Функция f(t) определена на контуре L, ограничивающем область D. Пусть F(w) = f(if/{w)), Fm(w) = fiy/m(w)), S„(w)- «-я частичная сумма ряда Фурье функции F{w), Sm^n (w) - п -я частичная сумма ряда Фурье функции Fm (w) на единичной окружности, |w| = 1.

Имеет место следующая

Теорема 2.4. Пусть f(t)e Ha(l\ ! i = <l(m\ р{т)-(рт{г^С1^ = h(m). Тогда существуют константы А и В, независящие от т, для которых

1 г S„ (<р(т))

2т , г -z j (<Рт (r)) ^ Aq(m)a + Bh(m).

L T~Z I T~Z

В третьей главе рассматриваются методы приближенного решения обычной и обобщенной краевых задач типа Гильберта для аналитических функций, а также краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций. Эта глава состоит из 7 разделов.

Первый раздел посвящен приближенному решению краевой задачи Гильберта для аналитических функций.

Известно, что краевая задача Гильберта для аналитических функций ставится следующим образом: найти аналитическую в области D и непрерывную на контуре L функцию f{z)=u{x,y)+iv{x,y), предельные значения действительной и мнимой частей которой удовлетворяют на L соотношению a(t)u(t) + b(t)v(t) = c{t\ (0.7) где a{t\ b(t) и c(t) - заданные на L действительные функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условию Гельдера (т. е. a{t\ b(t), c(f)e H(l)). a(t) + ib(t) a(t) - ib(t)

Н.И. Мусхелишвюш, число к будем называть индексом задачи Гильберта (0.7).

Как известно (см., напр., [106]), при к>0 общее решение задачи Гильберта (0.7) дается формулой

Пусть к-lnd Тогда к = 2т, где т = Ind\a{t)+ ib{t\ Следуя p(z)=zm -X{z)

L ^ ^ y=Q где //(г) - решение интегрального уравнения Фредгольма

T -t^-fWY

2m г

L J (0.8)

X(z) = exp{-L

2ro I t - Z у (?) - также является решением некоторого интегрального уравнения Фред-гольма второго рода, функции Wj(z) выражаются через интегралы типа Коши с плотностью, получаемой как решение интегрального уравнения Фредгольма. Поэтому приближенное решение задачи (0.7) удается получить, используя результаты глав 1 и 2.

В разделе 2 третьей главы приводится оценка погрешности приближенного решения задачи Гильберта, описанного в первом разделе.

В разделе 3 описывается приближенное решение обобщенной краевой задачи Гильберта для аналитических функций.

Под обобщенной краевой задачей типа Гильберта для аналитических функций будем понимать следующую задачу: пусть дана конечная односвяз-ная область D, ограниченная простым замкнутым контуром Ляпунова L. Требуется найти аналитическую в D функцию (p(z) = u{x,y) + iv(x,y), непрерывную в DU L и удовлетворяющую на L условию

Re{[fir(0 - /ВД]ф+(0+ /4(г,т)Ф+(т>/т + т)ф+(т>/т} = c(t), (0.9) l l где a(t\ b{t\ c{t) - заданные на L действительные функции класса а ядра А] (t, г), В1 (/, г) - заданные на LxL фредгольмовы ядра.

Как показано К.М. Расуловым, {[105], [106]), решение задачи (0.9) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода

2т+1

МЧ)+\N{t,T)fi{T)d<j = 2c(t)~ (*), (0.10)

L к=1 где

X(t)

TO I 1-1J ' TO i т - T, 1 ''

0)2W (0 = 21m] ЦТ)?"4 + Ц (f, x)xk'ldx - \B{ (t, x)xk~ldx i l l

0.11)

CO

2k \A,(t,xy-xdx+ \Bx{t,x)xk-[dx\, a2W =Imcbl, £ = 1,2,.,m +1; a2/t =RecA,15 k-\,2,.,m.

Важно заметить, что в ядро (0.11) входят сингулярные интегралы вида 1 и 1 .

В данной работе рассматривается только случай, когда однородное интегральное уравнение с ядром N(t,z), соответствующее (0.10), имеет лишь нулевое решение, т.е. случай, когда неоднородное уравнение (0.10) однозначно и безусловно разрешимо.

Как указано выше, в ядро интегрального уравнения Фредгольма (0.10)

1 rAityZ^dz, „ входят сингулярные интегралы вида — I-. При их аппроксимации та ^ z — Г] используется метод приближенного вычисления интегралов типа Коши, описанный в гл. 2. Оценка возникающей при этом погрешности приведена в разделе 4ДТеоремы 3.5-3.7) ,

Сформулированные выше теоремы дают возможность оценить погрешность аппроксимации ядра интегрального уравнения (0.10). Для оценки погрешности приближенного решения интегрального уравнения (0.10) можно воспользоваться одним результатом, полученным Ф. Трикоми (см., например, [45], с. 165).

Как было показано К.М. Расуловым ([105], [106]), решение задачи (0.1) сводится к последовательному решению обычной и обобщенной задач Гильберта для аналитических функций. Поэтому приближенное решение задачи (0.1) удается получить, последовательно решая приближенно обобщенную и обычную краевые задачи Гильберта для аналитических функций.

Параметры интегральных уравнений, к которым сводится решение обычной и обобщенной задач Гильберта, определяются с некоторой погрешностью. Естественно возникает вопрос о том, как влияет погрешность на решение соответствующих интегральных уравнений. Эта оценка дается теоремой 3.8.

Общая оценка погрешности предлагаемого нами приближенного метода решения краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций приведена в разделе 3.6. Получена следующая теорема.

Теорема 3.9. Пусть ak{t\bk{t\ck{t) - заданные на L действительные функции, причем Ь&С5Ц , ak($\bk(t\ck(t)<EH5{t),

Тогда, если соответствующее интегральное уравнение разрешимо, можно найти приближенное решение рассматриваемой задачи с погрешностью, имеющей порядок 0\ + О -К- , где 0 < а < 1, в классе Hl{L), где па j 1

Km ) п - порядок аппроксимации интегралов типа Коши, т - порядок дискретизации интегральных уравнений, используемых при решении задачи.

Полученные результаты были протестированы на примере решения некоторых задач теории пластин, решение которых сводится к решению краевых задач вида (0.1). Соответствующие результаты приведены в разделе 7.

В главе 4 рассматривается приближенное решение задачи (0.2), полученное по той же схеме, что и приближенное решение задачи (0.1). Получена следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть контур L принадлежит классу С5М, функции

Gk{t),gk(/) принадлежат классу Н5(ь). Тогда погрешность при решении первой основной задачи типа Римана для бианалитических функций (0.2) 1 ^ fin/Л будет иметь порядок О —— + О - , где 0 < а < 1 в классе Н { (l), а т т2 j а \П порядок дискретизации ядер интегральных уравнений, п - порядок ряда Фурье.

В приложении к диссертации приводится программа на языке Maple, реализующая алгоритм приближенного решения задач типа Гильберта для биа-налитических функций.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты:

- метод приближенного вычисления интегралов типа Коши;

- метод приближенного решения краевой задачи типа Гильберта для аналитических функций

- метод приближенного решения обобщенных краевых задач типа Гильберта и типа Римана для аналитических функций;

- метод приближенного решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [46]-[59], [80], [134]-[135] и докладывались на Минском городском семинаре по краевым задачам им. Ф.Д. Гахова (руководитель - проф. Э.И. Зверович), на семинаре кафедры вычислительной математики и программирования БГУ (руководитель - проф. П.И. Монастырный), на семинаре кафедры математического анализа Белорусского государственного педагогического университета (руководитель - проф. Н.Т. Стельмашук), на семинаре факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководитель - проф. И.К. Лифа-нов), на семинаре кафедры информатики и вычислительной математики МГСУ (руководитель - проф. А.Б. Золотов), на Смоленском городском семинаре по комплексному анализу (руководитель - проф. К.М. Расулов), на семинаре по функциональному анализу СГПУ (руководитель - проф. В.Д. Будаев), на Смоленском городском семинаре по параллельным вычислениям и компьютерной алгебре СГПУ (руководители - доцент Е.П. Емельченков и доцент В.И. Мунерман), на международном семинаре Смоленского государственного педагогического института и Хагенского заочного университета (Смоленск-1997), на международной конференции, посвященной 75-летию профессора М.Б. Балка (Смоленск-1998), на школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань-1999), на конференции «Системы компьютерной математики и лингвистики» (Смоленск-2000), на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смо-ленск-2001).

16

При получении и обосновании результатов широко используются методы комплексного анализа (см. [1], [16], [21], [65], [117]), теории приближений (см. [40], [76]), функционального анализа (см. [120], [122]), методы вычислительной математики, в частности, теорию сплайнов (см. [3], [20], [60], [61], [68]). При программировании алгоритмов широко использовались методы компьютерной алгебры, реализованные в системах MathCad и Maple (см. [18], [28], [74], [136]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 142 наименований и приложения. Нумерация формул сквозная в пределах каждой главы, например, (3.4) означает четвертая формула третьей главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для аналитических и бианалитических функций. Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:

1. Разработан метод приближенного вычисления интеграла типа Коши. Получены оценки погрешности этого метода. Разработаны программы на языках сверхвысокого уровня MathCad и Maple, реализующие этот метод для вычисления интегралов типа Коши по внутренности и внешности эллипса и по улитке Паскаля.

2. Разработан метод приближенного решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций. Получены оценки погрешности этого метода. Разработана программа на языке MathCad, реализующая этот метод для приближенного решения задачи Гильберта в случае, когда контуром является эллипс.

3. Разработаны методы приближенного решения обобщенных краевых задач Римана и Гильберта для аналитических функций. Получены оценки погрешностей. Доказана устойчивость используемых вычислительных схем. Написаны программы на языке MathCad, реализующие этот метод.

4. Разработаны методы приближенного решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций, опирающиеся на алгоритм аналитического решения этих задач, разработанный К.М.Расуловым. Получены оценки погрешностей. Доказана устойчивость и сходимость используемых вычислительных схем. Получены приближенные решения некоторых задач механики, опирающиеся на эти методы

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань: КГУ, 1996. - 215 с.

2. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач.- М.: Наука, 1991. - 352 с.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - 744 с.

4. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр.-Т.85. -М.:ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

5. Батырев А.В. Приближенное решение задачи Римана-Привалова // УМН.- 1956. Т. 11, вып. 5 - С. 71-76.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. - 253 с.

7. Бельтюков Б.А. Некоторые вопросы теории приближенных методов решения интегральных уравнений. Иркутск: ИГУ, 1994. - 351 с.

8. Векуа И.Н. Комплексное представление решений эллиптических дифференциальных уравнений и его применение к граничным задачам Труды Тбилисского математического института, VII, (1939), с. 161-253.

9. Векуа И.Н. О сингулярных линейных интегральных уравнениях, содержащих интегралы в смысле главного значения по Коши // ДАН СССР. 1940. - Т.26 - С. 335-338.

10. Ю.Габдулхаев Б.Г. Поперечники и оптимизация численных методов решения сингулярных интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1977. - №8. - С. 95-98.

11. Габдулхаев Б.Г. Оптимизация численных методов решения линейных задач // Изв. вузов. Математика. 1977. - №10. - С. 37-49.

12. Габдулхаев Б.Г. Компактная аппроксимация одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений // Математический анализ: Сб. статей. Казань: КГУ. - 1978. - С. 24-32.

13. Габдулхаев Б.Г. Полиномиальные аппроксимации по В.К. Дзядыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1978.- №6. - С. 51-62.

14. Габдулхаев Б.Г. Об оптимальных квадратурных формулах для сингулярных интегралов // Изв. вузов. Математика.-1978.- №3. С. 2439.

15. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // ДАН СССР. 1951. - Т.80, №3. - С. 313-316.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

17. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.-295 с.

18. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

19. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. - 628 с.

20. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: МГУ, 1983. - 208 с.

21. Гурса Э. Курс математического анализа: В 3 т / М.-Л.: ГТТИ., 1934. -Т.З. ч.2.-298 с.

22. Гутер Р.С., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М. Элементы теории функций / Под редакцией П.Л. Ульянова. М.: Физматгиз, 1963. - 244 с.

23. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1963. - 600 с.

24. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Журнал выч. мат. и мат. физ.- 1979.-№5.-С. 1155-1161.

25. Дзядык В.К. О применении обобщенных многочленов Фабера к приближению интегралов типа Коши и функций классов А' в областях с гладкой и кусочно-гладкой границей // Укр. мат. ж.- 1972.-Т.24, №1. С. 3-19.

26. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 511 с.

27. Диденко В.Д., Мацкул В.М. Метод редукции решения сингулярных интегральных уравнений с сопряжением // ДАН УССР, сер. «А», физико-математические и технические науки. 1987. - № 7.- С. 4043.

28. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad PLUS 6.0 PRO. М.: СК Пресс, 1997. - 336 с.

29. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. 1975.- Вып. 12.-С. 50-57.

30. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. -Кишинев: Штиница, 1991. 134 с.

31. Иванов В.В. Приближенное решение особых интегральных уравнений//ДАН СССР. 1956.-Т.110, №1. - С. 15-18.

32. Иванов В.В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1957. - Т. 114, №5. - С. 945-948.

33. Иванов В.В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Математический анализ. 1963. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР): Сб. ст.-М., 1965.-С. 125-177.

34. Иванов В.В. Теория численных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Нау-кова думка. 1968, - 287 с.

35. Исраилов М.И., Джуракулов Р., Применение эрмитовых сплайнов для вычисления интегралов типа Коши и сингулярных интегралов // ДАН УзССР. 1977. - №9. - С. 9-11.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 667 с.

37. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

38. Киров Г.Хр., Трендафилов Г.С. Квадратурные формулы для интеграла Шварца и сингулярного интеграла с ядром типа Коши // Го-дишн. Висш. техн. учебн. завед. Мат.-1973 (1974).-Т.9, №1.- С. 6184.

39. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости. M.-JL: ОНТИ, 1935. - 224 с.

40. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. - 424 с.

41. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. - 352 с.

42. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. М.: Физматгиз, 1959.

43. Кристалинский В.Р. Об одном методе приближенного вычисления интегралов типа Коши // Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи: Межвузовский сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. ин-т. Смоленск, 1997. - С. 34-38.

44. Кристалинский В.Р. Об оценках погрешности приближенных методов вычисления интегралов типа Коши // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям /

45. Смоленский гос. пед. ун-т. Смоленск, 2000, Вып. 2. - С.71 -81.

46. Кристалинский В.Р. О решении одной задачи теории упругости // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям / Смоленский гос. пед. ун-т. Смоленск, 2000, Вып. 2. - С.82-87.

47. Кристалинский В.Р. Об оценке погрешности для одного метода приближенного вычисления интегралов типа Коши. Материалы международной научной конференции «Проблемы математики и механики», Казань, «Унипресс».-С. 122

48. Кристалинский В.Р. Об оценке погрешности приближенного метода вычисления интеграла типа Коши. Материалы международной конференции «Системы компьютерной математики и лингвистики», Смоленск, 2000. С.52-53.

49. Кристалинский В.Р., Кристалинский Р.Е. О применении математических пакетов к решению некоторых задач механики. Материалы V Казанской международной летнбй школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань, «ДАС», 2001.-С.146.

50. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, .1967.- 500 с.

51. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962,- 192 с.

52. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. - 448 с.

53. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М.: Янус, 1995. 519 с.

54. Ловитт У.Р. Линейные интегральные уравнения. М.: ГИТТЛ, 1957.-263 с.

55. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 703 с.

56. Мастяница B.C. Применение параболических сплайнов для приближенного вычисления сингулярного интеграла // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1979. - №2. - С. 124-126.

57. Мацкул В.П. Приближенное решение краевых задач и сингулярных интегральных уравнений с приложениями. Одесса, 1988. - 17 с.

58. Милн В.Э. Численный анализ. М.: ИЛ, 1951.- 284 с.

59. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

60. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-511 с.

61. Николаева Г.А. О приближенном построении конформного преобразования методом сопряженных тригонометрических рядов // Тр. Мат. ин-та АН СССР.- 1959. Т.53. - С. 236-265.

62. Никольский С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1945. -Т.15.-С. 1-76.

63. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.-399 с.

64. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.: Компания «Петит», 1997. - 200 с.

65. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. - 493 с.

66. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука. 1969. -456с.

67. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши по разомкнутому контуру // Apl. mat. 1965. - Vol.10, №4. - С. 351373.

68. Пыхтеев Т.Н., Шешко М.А. Приближенное вычисление интеграла Шварца и интеграла Гильберта при помощи полилогарифмов // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1973.- №2. - С. 11-22.

69. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск: Наука, 1982. - 125 с.

70. Расулов К.М. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Смоленск, 1980. - 125 с.

71. Расулов К.М. О решении некоторых краевых задач типа Римана для полианалитических функций // ДАН СССР. 1980. - Т.252, №5. -С. 1059-1063.

72. Расулов К.М. Краевые задачи типа Римана для одного дифференциального уравнения высшего порядка // Совр. вопросы теории функций и функц. анализа. Караганда, 1980. - С. 113-120.

73. Расулов К.М. Краевые задачи типа Римана для полианалитических функций, разрешаемые в замкнутой форме // ДАН СССР.- 1983.-Т.270, №5.-С. 1061-1065.

74. Расулов К.М. О решении краевых задач типа Дирихле и Шварца для полианалитических функций // Исследования по полианалитическим функциям и их обобщениям: Межвузовский сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. институт. Смоленск: 1988. - С. 41-54.

75. Расулов К.М. Об одной модельной краевой задаче типа Римана для полианалитических функций // Всесоюзная конференция по геометрической теории функций. Новосибирск, окт.1988 г.: Тез. докл. / Новосибирск, 1988.-С. 81.

76. Расулов К.М. О краевых задачах для полианалитических функций // 5-я конференция по комплексному анализу. Галле, дек. 1988 г.: Тез. докл. / Галле, 1988. С. 70.

77. Расулов К.М. О решении краевых задач типа Римана для полианалитических функций в случае многосвязных областей // ДАН СССР.- 1989.- Т.306, №1. С. 41-46.

78. Расулов К.М. О решении краевых задач типа задачи Дирихле для полианалитических функций // ДАН СССР. 1989.- Т.309, №6,- С. 1309-1313.

79. Расулов К.М. О правильной постановке некоторых граничных задач для полианалитических функций и методах их решения // 15 Национ. летн. школа по приложен, матем. в технике, Варна, авг. 1989 г.: Сб. докл. и научн. сообщ. София, 1989. - С. 192-195.

80. Расулов К.М. О единственности решений задач типа Дирихле для полианалитических функций // Годишник на висшите учебни заведения. Приложна математика (Болгария). 1989. - Т.25. Книга 3. - С. 99-103.

81. Расулов К.М. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // ДАН СССР. 1991. - Т.320, № 2,-С. 284-288.

82. Расулов К.М. Об основных краевых задачах типа задачи Гильберта для бианалитических функций // Некоторые вопросы теории полианалитических функций и их обобщений: Межвузовский сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. ин-т, Смоленск, 1991.- С. 5664.

83. Расулов К.М. О задачах типа Дирихле для одной эллиптической системы уравнений, порожденной оператором Коши-Римана // Дифференц. уравнения. 1992. - Т.28, №2. - С. 355-357.

84. Расулов К.М. О разрешимости в замкнутой форме задач типа Гильберта для полианалитических функций: Тез. докл. VI Конференции математиков Беларуси. Часть 2, Гродно, сент. 1992. Гродно, 1992. -С. 58.

85. Расулов К.М. Об одном методе эффективного решения векторных задач Римана и Гильберта для аналитических функций / Смоленск, гос. пед. ин-т. Смоленск, 1992. - 42 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.11.92, №3224 - В92.

86. Расулов К.М. О решении основных краевых задач типа Гильберта для полианалитических функций в многосвязных областях // ДАН Беларуси. 1992. - Т.36, №9-10. - С. 782-785.

87. Расулов К.М. Об одной граничной теореме единственности для полианалитических функций // Тез. докл. Международной науч. конф., посвящен. 200-летию со дня рожд. Н.И. Лобачевского. Часть II, Минск, дек. 1992. Минск, 1993. - С. 11.

88. Расулов К.М. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений // Дифференц. уравнения. 1993. - Т.29, №2. - С. 320-327.

89. Расулов К.М. Об одной дифференциальной граничной задаче Римана для аналитических функций // Вестник Белорусского ун-та. Серия 1. 1994. - №1. - С. 44-47.

90. Расулов К.М. Об одном методе решения векторной задачи Римана // ДАН Беларуси. 1994. - Т.38, №2. - С. 23-26.

91. Расулов К.М. О решении задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с алгебраическими границами // Дифференц. уравнения. 1995.-Т.31,№1.-С. 106-113.

92. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений. Дис. . докт.физ.-мат. наук: 01.01.01, Минск, 1995.-241 с.

93. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Изд-во СГПУ, Смоленск, 1998. - 344 с.

94. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т.110, кн. 3. - С. 71-93.

95. Рогожин B.C. Новое интегральное представление кусочно аналитической функции и его приложение // ДАН СССР. 1960. - Т. 135, №4.-С. 791-793.

96. Русак В.Н., Шешко М.А. О приближении сингулярных интегралов сингулярными интегралами с полиномиальной плотностью // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1979. - №1. - С. 42-50.

97. ПО. Русак В.Н., Та Хонг Куанг. О сравнении наилучшего рационального и полиномиального приближения в круге \z\ < 1 // Вестник Белорус. ун-та, сер.1. -1991. №3. - С. 69-71.

98. Русак В.Н., Брайесс Д. Наилучшие полиномиальные приближения функциональных классов в интегральной метрике // ДАН Беларуси. 1992. - Т.36, №3-4. - С. 205-208.

99. Саникидзе Д.Г. О сходимости квадратурного процесса для некоторых сингулярных интегралов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1970. ТЛ 0, № 1.-С. 189-196.

100. Саникидзе Д.Г. Квадратурные процессы для интегралов типа Коши//Матем. заметки.-1972.-T.il, №5. С.517-526.

101. Саникидзе Д.Г. Вычислительные процессы для сингулярных интегралов с ядром Коши и их некоторые приложения.- М., 1985.- 27 с.

102. Саникидзе Д.Г. О некоторых вычислительных процессах сингулярных интегралов с ядром Коши й их применению к численному решению сингулярных интегральных уравнений с приложениями к граничным задачам.- М., 1982.- 23 с.

103. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. физ. мат. наук. -1969. -№5.-С. 64-71.

104. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: ГИТТЛ, 1957.- 457 с.

105. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций. Известия АН СССР, серия математическая, т. 15. -1951, с.219-242.

106. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

107. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа.- М.: Высшая школа, 1982. 383 с.

108. Тимошенко С.П, С. Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.- М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

109. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 488 с.

110. Шешко М.А. К приближенному решению краевой задачи Римана //ДАН БССР. -1971. Т.15, №9. - С. 773-776.

111. Шешко М.А. К оценке погрешности интерполяционных квадратурных формул для интеграла типа Коши // Изв АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1972. - №3. - С. 101-105.

112. Шешко М.А. О порядке приближения степенных интегралов со степенно-логарифмической особенностью // ДАН БССР. 1976. -Т.20, №11. -С. 975-976.

113. Шешко М.А., Мастяница B.C. Построение квадратурной формулы для интеграла с ядром Коши при помощи ломаных // Вестн. Белорус. ун-та. 1978. - сер.1, №3. - С. 18-21.

114. Шокамолов И. Интерполяционные квадратурные формулы для некоторых интегралов типа Коши и их главных значений // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н.- 1970. №4,- С. 53-60.

115. Atkinson Kendall. The numerical evaluation of the Cauchy transform on simple closed curves // SIAM J. Numer. Anal. 1972. - Vol.9, №2.-P. 284-299.

116. Balk M.B. Polyanalytic functions. Berlin.: Akademie Verlag, 1991. -192 p.

117. Burgatti P. Sulla funzioni analitiche d'ordini n II Boll. Math. Ital. -1922.-Vol. 1, N 1. P. 8-12.

118. Chawla M.M., Ramakrishnan T.R. Numerical evaluation of integrals of periodic functions with Cauchy and Poisson type kernels // Numer. Math. 1974. - Vol.22, №4. - P. 317-322.

119. Hunter D.B. The numerical evaluation of Cauchy principal values of integrals by Romberg integration // Numer. Math. 1973. - 21, №3. - P. 185-192.

120. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. On the numerical evaluation of Cauchy principal value integrals //Rev. roum. sci. techn. Ser. mec. appl. 1977, Vol.22, №6.-P. 803-818.

121. Kristalinskii V.R. An approximate method for computation of Cauchy-type integrals // 20-th Summer School «Applications of mathematics to Engineering».-Varna, 1994.-P. 81-84.

122. Kristalinskii V.R. About the approximate solution of the usual and generalized Gilbert boundary value problems // Journal Mathematical Modeling and Analysis. 2000. - Vol.5. - P. 119-126.

123. Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95 I, Перевод с англ. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996. - 712 с.

124. Nystrom EJ. Uber die praktishe Auflosung von linearen Integral -gleichungen mit Anwendungen auf Randwertaufgaben der Potential